Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.
Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.
Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, aceasta pare o încetinire a timpului până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.
Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.
Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limba lui Zeno, arată astfel:
În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Pentru următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va mai alerga o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.
Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar nu este solutie completa Probleme. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.
O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:
O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.
În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina fapta mișcării mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite în timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta) . Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.
miercuri, 4 iulie 2018
Foarte bine diferențele dintre set și multiset sunt descrise în Wikipedia. Ne uitam.
După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.
Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.
Oricât de ascunde matematicienii se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „studii de matematică concepte abstracte", există un cordon ombilical care este indisolubil legat de realitate. Acest cordon ombilical este bani. Aplicabil teorie matematică seturi către matematicienii înșiși.
Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie, plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm toată suma pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când va dovedi că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.
În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească în mod convulsiv fizica: pe diferite monede există sumă diferită murdăria, structura cristalină și aranjamentul atomic al fiecărei monede sunt unice...
Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.
Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.
Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.
Duminică, 18 martie 2018
Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar ei sunt șamani pentru asta, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.
Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există o formulă în matematică prin care să poți găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii, sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face în mod elementar.
Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor număr dat. Și așa, să presupunem că avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.
1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol grafic numeric. Aceasta nu este o operație matematică.
2. Am tăiat o imagine primită în mai multe imagini care conțin numere separate. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.
3. Convertiți caracterele grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.
4. Adunați numerele rezultate. Acum asta e matematica.
Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamani folosite de matematicieni. Dar asta nu este tot.
Din punct de vedere al matematicii, nu contează în ce sistem de numere scriem numărul. Deci, în sisteme diferite luând în calcul, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. DIN un numar mare 12345 Nu vreau să-mi păcălesc capul, luați în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu vom lua în considerare fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.
După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ați obține rezultate complet diferite atunci când determinați aria unui dreptunghi în metri și centimetri.
Zero în toate sistemele de numere arată la fel și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că . O întrebare pentru matematicieni: cum se notează în matematică ceea ce nu este un număr? Ce, pentru matematicieni, nu există decât numere? Pentru șamani, pot permite acest lucru, dar pentru oameni de știință, nu. Realitatea nu este doar despre cifre.
Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură ale numerelor. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu diferite unități de măsură ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.
Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei acțiuni matematice nu depinde de valoarea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.
Ai! Asta nu este toaleta femeilor?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studierea sfințeniei nedefinite a sufletelor la înălțarea la cer! Nimbus în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?
Femeie... Un halou deasupra și o săgeată în jos sunt masculin.
Dacă aveți o astfel de operă de artă de design fulgerând în fața ochilor dvs. de mai multe ori pe zi,
Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:
Personal, fac un efort pe mine să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (compunere din mai multe imagini: semnul minus, numărul patru, desemnarea grade). Și nu cred că fata aia este proastă, nu cine stie fizica. Ea are doar un arc stereotip al percepției imaginilor grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.
1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „omul care face caca” sau numărul „douăzeci și șase” în sistemul numeric hexazecimal. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat numărul și litera ca un simbol grafic.
Adesea, studenții întreabă indignați: „Cum îmi va fi de folos în viață?”. Pe orice subiect al fiecărui subiect. Subiectul despre volumul unui paralelipiped nu face excepție. Și aici este doar posibil să spui: „Va veni la îndemână”.
Cum, de exemplu, să afli dacă un pachet va încăpea într-o cutie poștală? Desigur, îl puteți alege pe cel potrivit prin încercare și eroare. Dacă nu există o astfel de posibilitate? Apoi calculele vor veni în ajutor. Cunoscând capacitatea cutiei, puteți calcula volumul coletului (cel puțin aproximativ) și puteți răspunde la întrebare.
Paralelepiped și tipurile sale
Dacă traducem literal numele său din greaca veche, se dovedește că aceasta este o figură formată din planuri paralele. Există astfel de definiții echivalente ale unui paralelipiped:
- o prismă cu o bază sub formă de paralelogram;
- poliedru, fiecare față fiind un paralelogram.
Tipurile sale se disting în funcție de figura care se află la baza sa și de modul în care sunt direcționate coastele laterale. În general, se vorbește despre paralelipiped oblic a căror bază și toate fețele sunt paralelograme. Dacă fețele laterale ale vederii anterioare devin dreptunghiuri, atunci va trebui să fie apelată deja direct. Și la dreptunghiular iar baza are și unghiuri de 90º.
Mai mult, în geometrie ei încearcă să-l înfățișeze pe acesta din urmă în așa fel încât să se observe că toate marginile sunt paralele. Aici, apropo, se observă principala diferență dintre matematicieni și artiști. Este important ca acesta din urmă să transmită corpul în conformitate cu legea perspectivei. Și în acest caz, paralelismul marginilor este complet invizibil.
Despre notația introdusă
În formulele de mai jos sunt valabile denumirile indicate în tabel.
Formule pentru o cutie oblică
Prima și a doua pentru zone:
Al treilea este pentru calcularea volumului cutiei:
Deoarece baza este un paralelogram, pentru a-și calcula aria, va trebui să utilizați expresiile corespunzătoare.
Formule pentru un cuboid
Similar cu primul paragraf - două formule pentru zone:
Și încă unul pentru volum:
Prima sarcină
Condiție. Având în vedere un paralelipiped dreptunghiular al cărui volum este de găsit. Se cunoaște diagonala - 18 cm - și faptul că formează unghiuri de 30 și 45 de grade cu planul feței laterale și respectiv al marginii laterale.
Soluţie. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, trebuie să aflați toate laturile în trei triunghiuri dreptunghiulare. Ele vor da valorile de margine necesare pentru care trebuie să calculați volumul.
Mai întâi trebuie să vă dați seama unde este unghiul de 30 de grade. Pentru a face acest lucru, trebuie să desenați o diagonală a feței laterale din același vârf din care a fost desenată diagonala principală a paralelogramului. Unghiul dintre ele va fi ceea ce aveți nevoie.
Primul triunghi, care va da una dintre laturile bazei, va fi următorul. Conține latura dorită și două diagonale desenate. Este dreptunghiular. Acum trebuie să utilizați raportul dintre piciorul opus (partea de bază) și ipotenuza (diagonală). Este egal cu sinusul de 30º. Adică, latura necunoscută a bazei va fi determinată ca diagonală înmulțită cu sinusul de 30º sau ½. Să fie marcat cu litera „a”.
Al doilea va fi un triunghi care conține o diagonală cunoscută și o muchie cu care formează 45º. De asemenea, este dreptunghiulară și puteți utiliza din nou raportul catetei la ipotenuză. Cu alte cuvinte, marginea laterală spre diagonală. Este egal cu cosinusul de 45º. Adică, „c” se calculează ca produsul dintre diagonală și cosinusul de 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
În același triunghi, trebuie să găsiți un alt picior. Acest lucru este necesar pentru a calcula apoi a treia necunoscută - „în”. Să fie marcat cu litera „x”. Este ușor de calculat folosind teorema lui Pitagora:
x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).
Acum trebuie să luăm în considerare un alt triunghi dreptunghic. Conține deja petreceri celebre„s”, „x” și cel care trebuie numărat, „în”:
c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).
Toate cele trei cantități sunt cunoscute. Puteți utiliza formula pentru volum și o puteți calcula:
V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).
Răspuns: volumul paralelipipedului este de 729√2 cm 3 .
A doua sarcină
Condiție. Aflați volumul paralelipipedului. Cunoaște laturile paralelogramului care se află la bază, 3 și 6 cm, precum și unghiul său ascuțit - 45º. Coasta laterală are o înclinare până la bază de 30º și este egală cu 4 cm.
Soluţie. Pentru a răspunde la întrebarea problemei, trebuie să luați formula care a fost scrisă pentru volumul unui paralelipiped înclinat. Dar ambele cantități sunt necunoscute în el.
Aria bazei, adică paralelogramul, va fi determinată de formula în care trebuie să înmulțiți laturile cunoscute și sinusul unghiului acut dintre ele.
So \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).
A doua necunoscută este înălțimea. Poate fi desenat din oricare dintre cele patru vârfuri de deasupra bazei. Poate fi găsit dintr-un triunghi dreptunghic, în care înălțimea este catetul, iar marginea laterală este ipotenuza. În acest caz, un unghi de 30º se află opus înălțimii necunoscute. Deci, puteți utiliza raportul dintre catete și ipotenuză.
n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.
Acum toate valorile sunt cunoscute și puteți calcula volumul:
V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).
Răspuns: volumul este de 18 √2 cm 3 .
A treia sarcină
Condiție. Aflați volumul paralelipipedului dacă se știe că este o linie dreaptă. Laturile bazei sale formează un paralelogram și sunt egale cu 2 și 3 cm. Colt ascutitîntre ele 60º. Diagonala mai mică a paralelipipedului este egală cu diagonala mai mare a bazei.
Soluţie. Pentru a afla volumul unui paralelipiped folosim formula cu aria bazei și înălțimea. Ambele cantități sunt necunoscute, dar sunt ușor de calculat. Prima este înălțimea.
Deoarece diagonala mai mică a paralelipipedului are aceeași dimensiune ca și baza mai mare, acestea pot fi notate cu aceeași literă d. Cel mai mare unghi al unui paralelogram este de 120º, deoarece formează 180º cu unul acut. Fie ca a doua diagonală a bazei să fie notată cu litera „x”. Acum, pentru cele două diagonale ale bazei, se pot scrie teoreme cosinus:
d 2 \u003d a 2 + în 2 - 2av cos 120º,
x 2 \u003d a 2 + în 2 - 2ab cos 60º.
Găsirea valorilor fără pătrate nu are sens, deoarece atunci acestea vor fi ridicate din nou la a doua putere. După înlocuirea datelor, rezultă:
d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,
x 2 \u003d a 2 + în 2 - 2ab cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.
Acum, înălțimea, care este și marginea laterală a paralelipipedului, va fi piciorul din triunghi. Ipotenuza va fi diagonala cunoscuta corp, iar al doilea picior - „x”. Puteți scrie teorema lui Pitagora:
n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.
Prin urmare: n = √12 = 2√3 (cm).
Acum, a doua cantitate necunoscută este aria bazei. Poate fi calculat folosind formula menționată în a doua problemă.
Deci \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).
Combinând totul într-o formulă de volum, obținem:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Răspuns: V \u003d 18 cm 3.
A patra sarcină
Condiție. Este necesar să se afle volumul unui paralelipiped care îndeplinește următoarele condiții: baza este un pătrat cu latura de 5 cm; fețele laterale sunt romburi; unul dintre vârfurile de deasupra bazei este echidistant de toate vârfurile aflate la bază.
Soluţie. Mai întâi trebuie să te ocupi de afecțiune. Nu există întrebări cu primul paragraf despre pătrat. Al doilea, despre romburi, arată clar că paralelipipedul este înclinat. În plus, toate marginile sale sunt egale cu 5 cm, deoarece laturile rombului sunt aceleași. Și din a treia devine clar că cele trei diagonale trase din ea sunt egale. Acestea sunt două care se află pe fețele laterale, iar ultima este în interiorul paralelipipedului. Și aceste diagonale sunt egale cu marginea, adică au și o lungime de 5 cm.
Pentru a determina volumul, veți avea nevoie de o formulă scrisă pentru un paralelipiped înclinat. Din nou, nu există cantități cunoscute în el. Cu toate acestea, aria bazei este ușor de calculat, deoarece este un pătrat.
So \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).
Puțin mai dificil este cazul înălțimii. Acesta va fi astfel în trei figuri: un paralelipiped, o piramidă patruunghiulară și un triunghi isoscel. Ar trebui folosită ultima împrejurare.
Deoarece este o înălțime, este un picior înăuntru triunghi dreptunghic. Ipotenuza din ea va fi o muchie cunoscută, iar al doilea catet este egal cu jumătate din diagonala pătratului (înălțimea este și mediana). Și diagonala bazei este ușor de găsit:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
Înălțimea va trebui calculată ca diferența dintre gradul al doilea al marginii și pătratul jumătate din diagonală și nu uitați să extrageți rădăcina pătrată:
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).
Răspuns: 62,5 √2 (cm 3).
Volumul cutiei
Valoarea volumului ne oferă o idee despre ce parte din spațiu ocupă obiectul care ne interesează, iar pentru a găsi volumul unui paralelipiped dreptunghiular, trebuie să înmulțim aria de bază a acestuia cu înălțimea.
În viața de zi cu zi, cel mai adesea, pentru a măsura volumul de lichid, de regulă, folosesc o astfel de unitate de măsură ca litru = 1dm3.
În plus față de această unitate de măsură, pentru determinarea volumului se folosesc următoarele:
Paralepipedul aparține celor mai simple figuri tridimensionale și, prin urmare, nu este greu să-i găsești volumul.
Volumul cutiei este egal cu produsul lungimea, lățimea și înălțimea acestuia. Acestea. pentru a afla volumul unui paralelipiped dreptunghiular, este suficient să înmulțiți toate cele trei dimensiuni ale acestuia.
Pentru a găsi volumul unui cub, trebuie să luați lungimea acestuia și să-l ridicați la a treia putere.
Definiția cutiei
Și acum să ne amintim ce este un paralelipiped și cum diferă de un cub.
Un paralelipiped este o figură tridimensională, la baza căreia se află un poligon. Suprafața unui cuboid este formată din șase dreptunghiuri, care sunt fețele acestui cuboid. Prin urmare, este logic ca paralelipipedul să aibă șase fețe, care constau din paralelograme. Toate fețele acestui poligon, care sunt situate una față de cealaltă, au aceleași dimensiuni.
Toate marginile paralelipipedului sunt laturile fețelor. Dar punctele de contact ale fețelor sunt vârfurile acestei figuri.
Exercițiu:
1. Privește cu atenție poza și spune-mi de ce îți amintește?
2. Gândește-te și dă un răspuns, unde în viața de zi cu zi poți întâlni o astfel de figură?
3. Câte muchii are paralelipipedul?
Soiuri de paralelipipede
Paralelepipedele sunt împărțite în mai multe soiuri, cum ar fi:
Dreptunghiular;
Înclinat;
cub.
Paralepipedele dreptunghiulare includ acele figuri ale căror fețe sunt formate din dreptunghiuri.
Dacă fețele laterale nu sunt perpendiculare pe baza sa, atunci aveți un paralelipiped înclinat.
O figură precum un cub este și un paralelipiped. Fără excepție, toate fețele sale sunt sub formă de pătrate.
Proprietățile cutiei
Figura studiată are o serie de proprietăți, despre care vom afla acum:
În primul rând, fețele opuse ale acestei figuri sunt egale și paralele între ele;
În al doilea rând, este simetric numai în raport cu mijlocul oricăreia dintre diagonalele sale, fără excepție;
În al treilea rând, dacă luați și desenați diagonale între toate vârfurile opuse ale unui paralelogram, atunci acestea vor avea un singur punct de intersecție.
În al patrulea rând, pătratul este lungimea diagonalei sale, este egală cu suma pătrate cu cele 3 dimensiuni ale sale.
Referință istorică
Pentru o perioadă diferită epoci istoriceîn tari diferite au folosit diverse sisteme pentru măsurarea masei, lungimii și a altor mărimi. Dar, deoarece acest lucru a împiedicat relațiile comerciale dintre țări și a împiedicat, de asemenea, dezvoltarea științei, a devenit necesar să existe un sistem internațional unificat de măsuri care să fie convenabil pentru toate țările.
Sistemul metric SI, care se potrivea majorității țărilor, a fost dezvoltat în Franța. Datorită lui Mendeleev, sistemul metric de măsuri a fost introdus și în Rusia.
Dar multe profesii încă folosesc propriile metrice specifice, uneori este un tribut adus tradiției, alteori este o chestiune de comoditate. Deci, de exemplu, marinarii încă preferă să măsoare viteza în noduri, iar distanța în mile este o tradiție pentru ei. Dar bijutierii din întreaga lume preferă o astfel de unitate de măsură precum caratul - și în cazul lor este atât tradiția, cât și comoditatea.
Întrebări:
1. Cine știe câți metri sunt într-o milă? Ce este un nod?
2. De ce se numește unitatea de măsură pentru diamante „carate”? De ce este convenabil din punct de vedere istoric pentru bijutieri să măsoare masa în astfel de unități?
3. Cine își amintește unitățile în care se măsoară uleiul?
Dreptunghi- una dintre cele mai simple figuri plate, iar un paralelipiped dreptunghiular este aceeași figură simplă, dar în spațiu (Fig. 1). Sunt foarte asemănătoare.
La fel de asemănător ca un cerc și o sferă.
Orez. 1. Dreptunghi și cutie
O conversație despre zone începe cu aria unui dreptunghi, iar despre volume - cu volumul unui paralelipiped dreptunghic.
Dacă știm cum să găsim aria unui dreptunghi, atunci acest lucru ne permite să găsim aria oricărei figuri.
Putem împărți această figură în 3 dreptunghiuri și găsim aria fiecăruia și, prin urmare, întreaga figură. (Fig. 2.)
Orez. 2. Figura
Orez. 3. O figură a cărei aria este egală cu șapte dreptunghiuri
Chiar dacă cifra nu este împărțită exact în dreptunghiuri, acest lucru se poate face cu orice precizie și aria poate fi calculată aproximativ.
Aria acestei figuri (Fig. 3) este aproximativ egală cu suma ariilor a șapte dreptunghiuri. Inexactitatea se obține datorită cifrelor mici de sus. Dacă creșteți numărul de dreptunghiuri, atunci inexactitatea va scădea.
Acesta este dreptunghi este un instrument pentru calcularea ariei oricărei figuri.
Situația este aceeași când vine vorba de volume.
Orice figură poate fi așezată cu paralelipipedi dreptunghiulare, cărămizi. Cu cât aceste cărămizi sunt mai mici, cu atât mai precis putem calcula volumul (Fig. 4, Fig. 5).
Orez. 4. Calculul ariei folosind paralelipipede dreptunghiulare
Cuboidul este un instrument pentru calcularea volumelor oricărei figuri.
Orez. 5. Calculați aria folosind casete mici
Să ne amintim puțin.
Un pătrat cu latura de 1 unitate (Fig. 6) are o zonă de 1 unitate pătrată. Unitatea liniară inițială poate fi oricare: centimetru, metru, kilometru, milă.
De exemplu, 1 cm2 este aria unui pătrat cu latura de 1 cm.
Orez. 6. Pătrat și dreptunghi
Zona dreptunghiulară este numărul de astfel de pătrate care se vor încadra în el. (Fig. 6.)
Așezăm pătratele unității pe lungimea dreptunghiului pe un rând. Am 5 bucăți.
3 pătrate sunt așezate în înălțime. Aceasta înseamnă că există trei rânduri în total, fiecare cu cinci pătrate.
Suprafața totală este de .
Este clar că nu este nevoie să plasați de fiecare dată pătrate de unitate în interiorul dreptunghiului.
Este suficient să înmulțiți lungimea unei laturi cu lungimea celeilalte.
Sau în vedere generala:
Situația este foarte asemănătoare cu volumul unui paralelipiped dreptunghiular.
Volumul unui cub cu latura de 1 unitate este de 1 unitate cubica. Din nou, valorile liniare originale pot fi orice: milimetri, centimetri, inci.
De exemplu, 1 cm 3 este volumul unui cub cu latura de 1 cm, iar 1 km 3 este volumul unui cub cu latura de 1 km.
Să aflăm volumul unui paralelipiped dreptunghic cu laturile de 7 cm, 5 cm, 4 cm (Fig. 7.)
Orez. 7. Cutie dreptunghiulară
Volumul cuboidului nostru este numărul de unități de cuburi care se potrivesc în el.
Așezați pe partea de jos un rând de cuburi simple cu o latură de 1 cm de-a lungul părții lungi. Montat 7 piese. Deja din experiența cu un dreptunghi, știm că doar 5 astfel de rânduri se vor potrivi în partea de jos, câte 7 bucăți în fiecare. Asta e tot:
Să-i spunem un strat. Câte astfel de straturi putem stivui unul peste altul?
Depinde de inaltime. Este egal cu 4 cm, ceea ce înseamnă că sunt așezate 4 straturi în fiecare din 35 de piese. Total:
De unde a venit numărul 35? Acesta este 75. Adică am obținut numărul de cuburi înmulțind lungimile tuturor celor trei laturi.
Dar acesta este volumul paralelipipedului nostru dreptunghiular.
Raspuns: 140
Acum putem scrie formula în formă generală. (Fig. 8.)
Orez. 8. Volumul unui paralelipiped
Volumul unui paralelipiped dreptunghic cu laturile , , este egal cu produsul tuturor celor trei laturi.
Dacă lungimile laturilor sunt date în centimetri, atunci volumul va fi în centimetri cubi (cm 3).
Dacă este în metri, atunci volumul este în metri cubi (m 3).
În mod similar, volumul poate fi măsurat în milimetri cubi, kilometri etc.
Un cub de sticlă cu o latură de 1 m este complet umplut cu apă. Care este masa apei? (Fig. 9.)
Orez. 9. Cub
Cubul este singular. Lateral - 1 m. Volum - 1 m 3.
Dacă știm cât cântărește 1 metru cub de apă (abreviat ca metru cub), atunci problema este rezolvată.
Dar dacă nu știm acest lucru, atunci nu este greu de calculat.
Lungime laterală.
Să calculăm volumul în dm 3.
Dar 1 dm 3 are un nume separat, 1 litru. Adică avem 1000 de litri de apă.
Știm cu toții că masa unui litru de apă este de 1 kg. Adică avem 1000 kg de apă, sau 1 tonă.
Este clar că un astfel de cub umplut cu apă nu poate fi mutat de nicio persoană obișnuită.
Răspuns: 1 t.
Orez. 10. Frigider
Frigiderul are o înălțime de 2 metri, o lățime de 60 cm și o adâncime de 50 cm.Găsiți-i volumul.
Înainte de a folosi formula de volum - produsul lungimilor tuturor laturilor - este necesar să convertim lungimile în aceleași unități de măsură.
Putem converti totul în centimetri.
În consecință, vom obține volumul în centimetri cubi.
Cred că veți fi de acord că volumul este mai de înțeles în metri cubi.
Ochiul unei persoane nu poate distinge un număr cu cinci zerouri de un număr cu șase zerouri, dar unul este de 10 ori mai mare decât celălalt.
Adesea trebuie să convertim o unitate de volum în alta. De exemplu, metri cubi în decimetri cubi. Este greu să-ți amintești toate aceste rapoarte. Dar acest lucru nu trebuie făcut. Este suficient să înțelegem principiul general.
De exemplu, câți centimetri cubi sunt într-un metru cub?
Să vedem câte cuburi cu latura de 1 centimetru încap într-un cub cu latura de 1 m. (Fig. 11.)
Orez. 11. Cub
100 de piese se potrivesc pe un rând (la urma urmei, sunt 100 cm într-un metru).
100 de rânduri sau cuburi se potrivesc într-un singur strat.
Sunt 100 de straturi în total.
În acest fel,
Adică, dacă cantitățile liniare sunt legate de raportul „100 cm într-un metru”, atunci pentru a obține raportul pentru cantitățile cubice, trebuie să ridicați 100 la a treia putere (). Și nu trebuie să desenați cuburi de fiecare dată.
Un paralelipiped dreptunghiular este o figură, la baza căreia se află un dreptunghi. Figura are șase laturi. Fețele, care se intersectează, formează muchii, sunt 12 dintre ele.
Un paralelipiped dreptunghiular are patru fețe laterale. În viață, întâlnim adesea această figură: un dulap, un frigider, o cutie - toate au forma unui paralelipiped dreptunghiular.
Orez. 1. Cutie dreptunghiulara
Formula pentru volumul acestei cifre
Volumul unui cub (o figură cu un pătrat la bază) cu o latură de 1 unitate se numește 1 unitate cubică.
Orez. 2. Unitate cub
Dacă partea de jos, pentru a așeza partea de jos a figurii cu astfel de cuburi, va avea nevoie de 4 cuburi în lungime și 3 în lățime.
Orez. 3. O cutie dreptunghiulară umplută cu o minge de cuburi
Astfel, pentru a umple baza, trebuie să:
3 x 4 \u003d 12 - așa că am calculat aria.
Pentru a umple întreaga cifră și a afla volumul, trebuie să calculați câte astfel de straturi de cuburi se vor potrivi în înălțime, de exemplu, dacă este 2, atunci volumul va fi:
3 x 4 x 2 = 24 cuburi
Deci, dacă luăm în considerare că lungimea bazei figurii este de 4 unități, lățimea este 3, înălțimea este 2, atunci pentru a scădea volumul unui paralelipiped dreptunghiular, este necesar să găsim produsul lui aceste cantități sau măsurători. O figură care are trei dimensiuni se numește tridimensională sau tridimensională.
Litera V este folosită pentru a desemna volumul.
Formula pentru volumul unui paralelipiped dreptunghic este:
$$V = a b c$$
Dacă este necesar, toate datele din sarcină trebuie convertite la aceeași unitate de măsură.
Unitățile sunt $mm^3, cm^3, dm^3$ și așa mai departe. Este important să citiți corect: $1 m^3$ și așa mai departe.
Iluzionistul englez a petrecut 44 de zile într-un cuboid de sticlă suspendat deasupra râului Tamisa. Tot ce avea la dispoziție era apă, o pernă, o saltea și materiale de scris.
Exercițiu: Scădeți volumul unei figuri a cărei lățime este de 4 inci, lungime 50 mm și înălțime 10 cm.
Soluţie: Mai întâi trebuie să convertiți toate datele într-o singură unitate de măsură.
4 dolari dm. = 40 cm$;
50 de dolari mm. = 5 cm$.
$V = 40 5 10 = 200 cm^3$
Astfel, volumul figurii este $V = 200 cm^3$
Pentru a măsura volumul unui lichid, o unitate specială de măsură este un litru - 1 litru.
Măsurători antice lichide, de exemplu cor = 220 l, baht = 22 l.
Măsurători de volum:
$$1 l = 1000 cm^3 = 1 dm^3$$
$$1 km^3 = 1000.000.000 m^3$$
$$1 m^3 = 1.000 dm^3 = 1.000.000 cm^3$$
$$1 dm^3 = 1.000 cm^3$$
