Regulile de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți sunt foarte simple.

Luați în considerare regulile de adunare a fracțiilor cu diferiți numitori în pași:

1. Aflați LCM (cel mai mic multiplu comun) al numitorilor. LCM rezultat va fi numitorul comun al fracțiilor;

2. Aduceți fracțiile la un numitor comun;

3. Adaugă fracțiile reduse la un numitor comun.

Pe exemplu simplu Aflați cum să adăugați fracții cu numitori diferiți.

Exemplu

Un exemplu de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți.

Adăugați fracții cu numitori diferiți:

1	+	5
6		12

Să decidem pas cu pas.

1. Aflați LCM (cel mai mic multiplu comun) al numitorilor.

Numărul 12 este divizibil cu 6.

De aici concluzionăm că 12 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 și 12.

Răspuns: nok-ul numerelor 6 și 12 este 12:

LCM(6, 12) = 12

NOC rezultat va fi numitorul comun al celor două fracții 1/6 și 5/12.

2. Aduceți fracțiile la un numitor comun.

În exemplul nostru, doar prima fracție trebuie redusă la un numitor comun de 12, deoarece a doua fracție are deja un numitor de 12.

Împărțiți numitorul comun al lui 12 la numitorul primei fracții:

2 are un multiplicator suplimentar.

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții (1/6) cu un factor suplimentar de 2.

Luați în considerare fracția $\frac63$. Valoarea sa este 2, deoarece $\frac63 =6:3 = 2$. Ce se întâmplă dacă numărătorul și numitorul sunt înmulțiți cu 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. În mod evident, valoarea fracției nu s-a schimbat, deci $\frac(12)(6)$ este, de asemenea, egal cu 2 ca y. înmulțiți numărătorul și numitorul cu 3 și obțineți $\frac(18)(9)$ sau cu 27 și obțineți $\frac(162)(81)$ sau cu 101 și obțineți $\frac(606)(303)$. În fiecare dintre aceste cazuri, valoarea fracției pe care o obținem prin împărțirea numărătorului la numitor este 2. Aceasta înseamnă că nu s-a schimbat.

Același model se observă și în cazul altor fracții. Dacă numărătorul și numitorul fracției $\frac(120)(60)$ (egal cu 2) se împarte la 2 (rezultatul $\frac(60)(30)$), sau la 3 (rezultatul $\ frac(40)(20) $), sau cu 4 (rezultatul $\frac(30)(15)$) și așa mai departe, atunci în fiecare caz valoarea fracției rămâne neschimbată și egală cu 2.

Această regulă se aplică și fracțiilor care nu sunt egale. număr întreg.

Dacă numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(3)$ sunt înmulțite cu 2, obținem $\frac(2)(6)$, adică valoarea fracției nu s-a schimbat. Și de fapt, dacă împărțiți tortul în 3 părți și luați una dintre ele, sau o împărțiți în 6 părți și luați 2 părți, veți obține aceeași cantitate de plăcintă în ambele cazuri. Prin urmare, numerele $\frac(1)(3)$ și $\frac(2)(6)$ sunt identice. Să formulăm o regulă generală.

Numătorul și numitorul oricărei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr, iar valoarea fracției nu se modifică.

Această regulă este foarte utilă. De exemplu, permite în unele cazuri, dar nu întotdeauna, evitarea operațiunilor cu numere mari.

De exemplu, putem împărți numărătorul și numitorul fracției $\frac(126)(189)$ la 63 și obținem fracția $\frac(2)(3)$ care este mult mai ușor de calculat. Încă un exemplu. Putem împărți numărătorul și numitorul fracției $\frac(155)(31)$ la 31 și obținem fracția $\frac(5)(1)$ sau 5, deoarece 5:1=5.

În acest exemplu, ne-am întâlnit prima dată o fracție al cărei numitor este 1. Astfel de fracții joacă un rol important în calcule. Trebuie amintit că orice număr poate fi împărțit la 1 și valoarea acestuia nu se va schimba. Adică $\frac(273)(1)$ este egal cu 273; $\frac(509993)(1)$ este egal cu 509993 și așa mai departe. Prin urmare, nu trebuie să împărțim numerele la , deoarece fiecare număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor de 1.

Cu astfel de fracții, al căror numitor este egal cu 1, puteți efectua aceleași operații aritmetice ca și cu toate celelalte fracții: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Vă puteți întreba la ce folosește reprezentarea unui număr întreg ca fracție, care va avea o unitate sub bară, deoarece este mai convenabil să lucrați cu un număr întreg. Dar adevărul este că reprezentarea unui număr întreg ca fracție ne oferă posibilitatea de a efectua diverse acțiuni mai eficient atunci când avem de-a face atât cu numere întregi, cât și cu numere fracționale în același timp. De exemplu, să învețe se adună fracții cu numitori diferiți. Să presupunem că trebuie să adăugăm $\frac(1)(3)$ și $\frac(1)(5)$.

Știm că puteți adăuga doar fracții ai căror numitori sunt egali. Deci, trebuie să învățăm cum să aducem fracții într-o astfel de formă atunci când numitorii lor sunt egali. În acest caz, avem din nou nevoie de faptul că puteți înmulți numărătorul și numitorul unei fracții cu același număr fără a-i schimba valoarea.

În primul rând, înmulțim numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(3)$ cu 5. Obținem $\frac(5)(15)$, valoarea fracției nu s-a schimbat. Apoi înmulțim numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(5)$ cu 3. Obținem $\frac(3)(15)$, iar valoarea fracției nu s-a schimbat. Prin urmare, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Acum să încercăm să aplicăm acest sistem la adunarea numerelor care conțin atât părți întregi, cât și părți fracționale.

Trebuie să adăugăm $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Mai întâi, convertim toți termenii în fracții și obținem: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Acum trebuie să aducem toate fracțiile la un numitor comun, pentru aceasta înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 12, pe a doua cu 4 și pe a treia cu 3. Ca rezultat, obținem $\frac(36). )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, care este egal cu $\frac(55)(12)$. Dacă vrei să scapi de fracție improprie, poate fi transformat într-un număr format dintr-un număr întreg și o parte fracțională: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ sau $4\frac( 7)( 12)$.

Toate regulile care permit operatii cu fractii, pe care tocmai le-am studiat, sunt valabile și în cazul numerelor negative. Deci, -1: 3 poate fi scris ca $\frac(-1)(3)$, iar 1: (-3) ca $\frac(1)(-3)$.

Deoarece atât împărțirea unui număr negativ la un număr pozitiv, cât și împărțirea unui număr pozitiv la un număr negativ rezultă în numere negative, în ambele cazuri vom obține răspunsul sub forma unui număr negativ. Acesta este

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ sau $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Semnul minus atunci când este scris în acest fel se referă la întreaga fracție ca întreg, și nu separat la numărător sau numitor.

Pe de altă parte, (-1) : (-3) se poate scrie ca $\frac(-1)(-3)$, iar când împărțim un număr negativ la un număr negativ, obținem număr pozitiv, atunci $\frac(-1)(-3)$ poate fi scris ca $+\frac(1)(3)$.

Adunarea și scăderea fracțiilor negative se efectuează în același mod ca și adunarea și scăderea fracțiilor pozitive. De exemplu, ce este $1- 1\frac13$? Să reprezentăm ambele numere ca fracții și să obținem $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Să reducem fracțiile la un numitor comun și să obținem $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, adică $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ sau $-\frac(1)(3)$.

Acțiuni cu fracții.

Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Deci, ce sunt fracțiile, tipurile de fracții, transformările - ne-am amintit. Să abordăm întrebarea principală.

Ce poți face cu fracțiile? Da, totul este la fel ca în cazul numerelor obișnuite. Adunați, scădeți, înmulțiți, împărțiți.

Toate aceste acțiuni cu zecimal operațiile cu fracții nu sunt diferite de operațiile cu numere întregi. De fapt, pentru asta sunt bune, zecimală. Singurul lucru este că trebuie să puneți virgula corect.

numere mixte, după cum am spus, sunt de puțin folos pentru majoritatea acțiunilor. Ele mai trebuie convertite în fracții obișnuite.

Și aici sunt acțiunile cu fracții obișnuite va fi mai inteligent. Și mult mai important! Lasă-mă să-ți amintesc: toate acțiunile cu expresii fracționale cu litere, sinusuri, necunoscute și așa mai departe nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite! Operațiile cu fracții obișnuite stau la baza tuturor algebrei. Din acest motiv vom analiza aici toată această aritmetică în detaliu.

Adunarea și scăderea fracțiilor.

Toată lumea poate adăuga (scădea) fracții cu aceiași numitori (sper foarte mult!). Ei bine, permiteți-mi să vă reamintesc că sunt complet uituc: la adunarea (scăderea), numitorul nu se schimbă. Număratorii sunt adăugați (scădeți) pentru a da numărătorul rezultatului. Tip:

Pe scurt, în vedere generala:

Ce se întâmplă dacă numitorii sunt diferiți? Apoi, folosind proprietatea principală a fracției (aici ne-a fost util din nou!), Facem numitorii la fel! De exemplu:

Aici a trebuit să facem fracția 4/10 din fracția 2/5. Numai în scopul de a face numitorii la fel. Observ, pentru orice eventualitate, că 2/5 și 4/10 sunt aceeași fracție! Doar 2/5 este incomod pentru noi, iar 4/10 este chiar nimic.

Apropo, aceasta este esența rezolvării oricăror sarcini din matematică. Când suntem afară incomod expresiile fac la fel, dar mai convenabil de rezolvat.

Alt exemplu:

Situația este similară. Aici facem 48 din 16. Prin simpla inmultire pe 3. Toate acestea sunt clare. Dar aici întâlnim ceva de genul:

Cum sa fii?! E greu să faci un nouă din șapte! Dar suntem deștepți, știm regulile! Să ne transformăm fiecare fracție astfel încât numitorii să fie aceiași. Aceasta se numește „reducere la un numitor comun”:

Cum! De unde am știut despre 63? Foarte simplu! 63 este un număr care este divizibil egal cu 7 și 9 în același timp. Un astfel de număr poate fi întotdeauna obținut prin înmulțirea numitorilor. Dacă înmulțim un număr cu 7, de exemplu, atunci rezultatul va fi cu siguranță împărțit la 7!

Dacă trebuie să adunați (scădeți) mai multe fracții, nu este nevoie să o faceți în perechi, pas cu pas. Trebuie doar să găsiți numitorul care este comun tuturor fracțiilor și să aduceți fiecare fracție la același numitor. De exemplu:

Și care va fi numitorul comun? Puteți, desigur, să înmulțiți 2, 4, 8 și 16. Obținem 1024. Coșmar. Este mai ușor de estimat că numărul 16 este perfect divizibil cu 2, 4 și 8. Prin urmare, este ușor să obțineți din aceste numere 16. Acest număr va fi numitorul comun. Să transformăm 1/2 în 8/16, 3/4 în 12/16 și așa mai departe.

Apropo, dacă luăm 1024 ca numitor comun, totul va merge și el, până la urmă totul se va reduce. Numai că nu toată lumea va ajunge în acest scop, din cauza calculelor...

Rezolvați singur exemplul. Nu un logaritm... Ar trebui să fie 29/16.

Deci, cu adunarea (scăderea) fracțiilor este clar, sper? Desigur, este mai ușor să lucrezi într-o versiune scurtată, cu multiplicatori suplimentari. Dar această plăcere este disponibilă celor care au lucrat sincer în clasele inferioare... Și nu au uitat nimic.

Și acum vom face aceleași acțiuni, dar nu cu fracții, ci cu expresii fracționale. Noi greble vor fi găsite aici, da...

Deci, trebuie să adăugăm două expresii fracționale:

Trebuie să facem numitorii la fel. Și numai cu ajutorul multiplicare! Deci proprietatea principală a fracției spune. Prin urmare, nu pot adăuga unul la x în prima fracție din numitor. (Dar asta ar fi frumos!). Dar dacă înmulțiți numitorii, vedeți, totul va crește împreună! Așa că notăm, linia fracției, lăsăm un spațiu gol deasupra, apoi îl adunăm și scriem produsul numitorilor de mai jos, pentru a nu uita:

Și, desigur, nu înmulțim nimic pe partea dreaptă, nu deschidem paranteze! Și acum, privind numitorul comun al părții drepte, ne gândim: pentru a obține numitorul x (x + 1) în prima fracție, trebuie să înmulțim numărătorul și numitorul acestei fracții cu (x + 1) . Și în a doua fracție - x. Primești asta:

Notă! Parantezele sunt aici! Aceasta este grebla pe care mulți o calcă. Nu paranteze, desigur, ci absența lor. Parantezele apar pentru că ne înmulțim întregul numărător și întregul numitor! Și nu piesele lor individuale...

În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, totul este ca în fracții numerice, apoi deschidem parantezele în numărătorul din dreapta, adică. inmulti totul si da like. Nu trebuie să deschideți parantezele din numitori, nu trebuie să înmulțiți ceva! In general, in numitori (oricare) produsul este intotdeauna mai placut! Primim:

Aici avem răspunsul. Procesul pare lung și dificil, dar depinde de practică. Rezolvă exemple, obișnuiește-te, totul va deveni simplu. Cei care au stăpânit fracțiile în timpul alocat, fac toate aceste operații cu o singură mână, pe aparat!

Și încă o notă. Mulți se ocupă de fracții, dar se așteaptă cu exemple întreg numere. Tip: 2 + 1/2 + 3/4= ? Unde să fixați un deuce? Nu este nevoie să fixați nicăieri, trebuie să faceți o fracțiune dintr-un doi. Nu este ușor, este foarte simplu! 2=2/1. Ca aceasta. Orice număr întreg poate fi scris ca fracție. Numătorul este numărul în sine, numitorul este unul. 7 este 7/1, 3 este 3/1 și așa mai departe. La fel este și cu literele. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 etc. Și apoi lucrăm cu aceste fracții conform tuturor regulilor.

Ei bine, la adunarea - scăderea fracțiilor, cunoștințele au fost reîmprospătate. Transformări ale fracțiilor de la un tip la altul - repetate. De asemenea, puteți verifica. Ne aliniem putin?)

Calculati:

Răspunsuri (în dezordine):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Înmulțirea / împărțirea fracțiilor - în lecția următoare. Există, de asemenea, sarcini pentru toate acțiunile cu fracții.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

§ 87. Adunarea fracţiilor.

Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere (termeni) date sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile de unități de termeni.

Vom analiza pe rând trei cazuri:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Adunarea numerelor mixte.

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori.

Luați în considerare un exemplu: 1 / 5 + 2 / 5 .

Luați segmentul AB (Fig. 17), luați-l ca unitate și împărțiți-l în 5 părți egale, apoi partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB și partea aceluiași segment CD va fi egal cu 2/5 AB.

Din desen se vede că dacă luăm segmentul AD, atunci acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este tocmai suma segmentelor AC și CD. Deci, putem scrie:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei s-a obținut prin adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.

De aici obținem următoarea regulă: Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați același numitor.

Luați în considerare un exemplu:

2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Să adunăm fracții: 3/4 + 3/8 Mai întâi trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:

Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu ar fi putut fi scrisă; am scris-o aici pentru o mai mare claritate.

Astfel, pentru a adăuga fracții cu diferiți numitori, trebuie mai întâi să le aduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să semnați numitorul comun.

Luați în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari peste fracțiile corespunzătoare):

3. Adunarea numerelor mixte.

Să adunăm numerele: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Să aducem mai întâi părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și să le rescriem din nou:

Acum adăugați părțile întregi și fracționale în succesiune:

§ 88. Scăderea fracțiilor.

Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune prin care, dată fiind suma a doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri pe rând:

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Scăderea numerelor mixte.

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori.

Luați în considerare un exemplu:

13 / 15 - 4 / 15

Să luăm segmentul AB (Fig. 18), să-l luăm ca unitate și să-l împărțim în 15 părți egale; atunci partea AC a acestui segment va fi 1/15 din AB, iar partea AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 AB. Să lăsăm deoparte un alt segment ED, egal cu 4/15 AB.

Trebuie să scădem 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că segmentul ED trebuie scăzut din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:

Exemplul pe care l-am făcut arată că numărătorul diferenței a fost obținut prin scăderea numărătorilor, iar numitorul a rămas același.

Prin urmare, pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, trebuie să scădeți numărătorul scăderii de la numărătorul minuendului și să lăsați același numitor.

2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplu. 3/4 - 5/8

Mai întâi, să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:

Linkul intermediar 6 / 8 - 5 / 8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis în viitor.

Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le aduceți la cel mai mic numitor comun, apoi să scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și să semnați numitorul comun sub diferența lor.

Luați în considerare un exemplu:

3. Scăderea numerelor mixte.

Exemplu. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Să aducem părțile fracționale ale minuendului și ale subtraendului la cel mai mic numitor comun:

Am scăzut un întreg dintr-un întreg și o fracțiune dintr-o fracție. Dar există cazuri când partea fracționară a subtraendului este mai mare decât partea fracționară a minuendului. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din partea întreagă a redusului, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să adăugați la partea fracțională a redusului. Și apoi scăderea va fi efectuată în același mod ca în exemplul anterior:

§ 89. Înmulțirea fracțiilor.

Când studiem înmulțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
2. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
5. Înmulțirea numerelor mixte.
6. Conceptul de interes.
7. Găsirea procentelor unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.

Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. Înmulțirea unei fracții (multiplicand) cu un întreg (multiplicator) înseamnă alcătuirea sumei de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Deci, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci acest lucru se poate face astfel:

Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,

Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un întreg este echivalentă cu creșterea acestei fracții de câte ori există unități în întreg. Și întrucât creșterea fracției se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia

sau prin scăderea numitorului acestuia , atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu întregul, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, trebuie să înmulțiți numărătorul cu acest număr întreg și să lăsați același numitor sau, dacă este posibil, să împărțiți numitorul la acest număr, lăsând numărătorul neschimbat.

La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

2. Găsirea unei fracții dintr-un număr dat. Există multe probleme în care trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un anumit număr. Diferența dintre aceste sarcini și altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și trebuie să găsiți o parte din acest număr, care este indicată și aici printr-o anumită fracție. Pentru a facilita înțelegerea, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme și apoi vom introduce metoda de rezolvare a acestora.

Sarcina 1. Am avut 60 de ruble; 1/3 din acești bani i-am cheltuit pe achiziția de cărți. Cât au costat cărțile?

Sarcina 2. Trenul trebuie să parcurgă distanța dintre orașele A și B, egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din acea distanta. Cati kilometri este asta?

Sarcina 3.În sat sunt 400 de case, 3/4 din cărămidă, restul sunt din lemn. Câte case de cărămidă sunt?

Iată câteva dintre numeroasele probleme cu care trebuie să ne confruntăm pentru a găsi o fracțiune dintr-un număr dat. Ele sunt de obicei numite probleme pentru găsirea unei fracțiuni dintr-un număr dat.

Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit 1/3 pe cărți; Deci, pentru a afla costul cărților, trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:

Rezolvarea problemei 2. Semnificația problemei este că trebuie să găsiți 2 / 3 din 300 km. Calculați prima 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:

300: 3 = 100 (adică 1/3 din 300).

Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:

100 x 2 = 200 (adică 2/3 din 300).

Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă, care sunt 3/4 din 400. Să găsim mai întâi 1/4 din 400,

400: 4 = 100 (adică 1/4 din 400).

Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:

100 x 3 = 300 (adică 3/4 din 400).

Pe baza soluționării acestor probleme, putem deriva următoarea regulă:

Pentru a găsi valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.

3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.

Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea unor termeni identici (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). În acest paragraf (paragraful 1) s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg înseamnă găsirea sumei termenilor identici egală cu această fracție.

În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei termenilor identici.

Acum trecem la înmulțirea unui număr întreg cu o fracție. Aici ne vom întâlni, de exemplu, cu o astfel de înmulțire: 9 2 / 3. Este destul de evident că definiția anterioară a înmulțirii nu se aplică în acest caz. Acest lucru este evident din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale.

Din această cauză, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce trebuie înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum ar trebui înțeleasă această acțiune.

Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clar din următoarea definiție: a înmulți un întreg (multiplicator) cu o fracție (multiplicator) înseamnă a găsi această fracție a multiplicatorului.

Și anume, înmulțirea a 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. În paragraful anterior au fost rezolvate astfel de probleme; deci este ușor să ne dăm seama că ajungem cu 6.

Dar acum apare o întrebare interesantă și importantă: de ce acțiuni atât de aparent diferite precum găsirea sumei numerelor egale și găsirea fracției dintr-un număr sunt numite același cuvânt „înmulțire” în aritmetică?

Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea numărului cu termeni de mai multe ori) și acțiunea nouă (găsirea fracției dintr-un număr) dau un răspuns la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerațiile că întrebările sau sarcinile omogene sunt rezolvate printr-o singură acțiune.

Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă se rezolvă prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).

Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca număr fracționar: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 3/4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).

De asemenea, puteți schimba numerele din el de mai multe ori fără a schimba sensul problemei, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.

Deoarece aceste probleme au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite în rezolvarea lor același cuvânt - înmulțire.

Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție?

Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:

Conform definiției, trebuie să găsim 3 / 4 din 50. Mai întâi găsim 1 / 4 din 50 și apoi 3 / 4.

1/4 din 50 este 50/4;

3/4 din 50 este .

Prin urmare.

Luați în considerare un alt exemplu: 12 5 / 8 = ?

1/8 din 12 este 12/8,

5/8 din numărul 12 este .

Prin urmare,

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul fracției date ca numitor.

Scriem această regulă folosind litere:

Pentru a face această regulă perfect clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula pentru înmulțirea unui număr cu un coeficient, care a fost stabilită în § 38

Trebuie reținut că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) tăieturi, de exemplu:

4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are aceeași semnificație ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să găsiți fracția în multiplicatorul din prima fracție (multiplicatorul).

Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.

Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?

Să luăm un exemplu: de 3/4 ori 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Găsiți primul 1/7 din 3/4 și apoi 5/7

1/7 din 3/4 ar fi exprimat astfel:

5 / 7 numerele 3 / 4 vor fi exprimate astfel:

În acest fel,

Un alt exemplu: de 5/8 ori 4/9.

1/9 din 5/8 este ,

4/9 numerele 5/8 sunt .

În acest fel,

Din aceste exemple se poate deduce următoarea regulă:

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul și al doilea produs numitorul produsului.

Această regulă poate fi scrisă în general după cum urmează:

La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Luați în considerare exemple:

5. Înmulțirea numerelor mixte. pentru că numere mixte poate fi înlocuit cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că în acele cazuri în care multiplicatorul, sau multiplicatorul sau ambii factori sunt exprimați ca numere mixte, atunci aceștia sunt înlocuiți cu fracții improprii. Înmulțiți, de exemplu, numere mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Transformăm fiecare dintre ele într-o fracție improprie și apoi vom înmulți fracțiile rezultate după regula înmulțirii unei fracții cu o fracție:

Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să înmulțiți conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție.

Notă. Dacă unul dintre factori este un număr întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:

6. Conceptul de interes. La rezolvarea problemelor și la efectuarea diferitelor calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie reținut că multe cantități admit nu oricare, ci subdiviziuni naturale pentru ele. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi un ban, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi sunt 3 copeici. Puteți lua 1/10 din rublă, va fi „10 copeici, sau un ban. Puteți lua un sfert din rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu Nu luați, de exemplu, 2/7 ruble, deoarece rubla nu este împărțită în șapte.

Unitatea de măsură pentru greutate, adică kilogramul, permite, în primul rând, subdiviziuni zecimale, de exemplu, 1/10 kg sau 100 g. Și astfel de fracții de kilogram ca 1/6, 1/11, 1/ 13 sunt mai puțin frecvente.

În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit subdiviziuni zecimale.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de împărțire bine justificată este diviziunea „sutimelor”. Să luăm în considerare câteva exemple legate de cele mai diverse domenii ale practicii umane.

1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.

Exemplu. Prețul anterior al cărții este de 10 ruble. Ea a scăzut cu 1 rublă. 20 cop.

2. Băncile de economii plătesc în cursul anului deponenților 2/100 din suma care este investită în economii.

Exemplu. 500 de ruble sunt puse în casierie, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.

EXEMPLU La școală au studiat doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit școala.

Sutimea unui număr se numește procent..

Cuvântul „procent” este împrumutat de la latin iar rădăcina sa „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „pentru o sută”. Sensul acestei expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda erau banii pe care debitorul îi plătea împrumutătorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (se spune centimetru).

De exemplu, în loc să spunem că fabrica a produs 1/100 din toate produsele produse de ea în cursul lunii trecute, vom spune acest lucru: uzina a produs un procent din rebuturi în ultima lună. În loc să spunem: fabrica a produs cu 4/100 de produse mai multe decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.

Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:

1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma investită în economii.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din numărul tuturor elevilor din școală.

Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți semnul% în locul cuvântului „procent”.

Totuși, trebuie reținut că semnul % nu este de obicei scris în calcule, el poate fi scris în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un număr întreg cu această pictogramă.

Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma specificată cu o fracție cu numitorul 100:

Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu pictograma indicată în loc de o fracție cu numitorul 100:

7. Găsirea procentelor unui număr dat.

Sarcina 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m lemn de foc, cu lemn de foc de mesteacan 30%. Cât lemn de mesteacăn era acolo?

Semnificația acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn era doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată ca o fracțiune de 30 / 100. Deci, ne confruntăm cu sarcina de a găsi o fracțiune dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30 / 100 (sarcinile pentru găsirea fracției dintr-un număr se rezolvă prin înmulțirea unui număr cu o fracție.).

Deci 30% din 200 este egal cu 60.

Fracția 30 / 100 întâlnită în această problemă poate fi redusă cu 10. Ar fi posibil să se efectueze această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar schimba.

Sarcina 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au fost 21%, copiii de 12 ani au fost 61% și, în final, cei de 13 ani au fost 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?

În această problemă, trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și, în final, de 13 ani.

Deci, aici va fi necesar să găsiți o fracție dintr-un număr de trei ori. Hai să o facem:

1) Câți copii aveau 11 ani?

2) Câți copii aveau 12 ani?

3) Câți copii aveau 13 ani?

După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:

63 + 183 + 54 = 300

De asemenea, ar trebui să acordați atenție faptului că suma procentelor date în starea problemei este 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Acest lucru sugerează că numărul total copiii care se aflau în tabără au fost luați ca 100%.

3 a da cha 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Dintre aceștia, a cheltuit 65% pe mâncare, 6% pe un apartament și încălzire, 4% pe gaz, electricitate și radio, 10% pe nevoi culturale și 15% a economisit. Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoile indicate în sarcină?

Pentru a rezolva această problemă, trebuie să găsiți de 5 ori o fracțiune din numărul 1200. Să o facem.

1) Câți bani se cheltuiesc pe mâncare? Sarcina spune că această cheltuială reprezintă 65% din toate câștigurile, adică 65/100 din numărul 1.200. Să facem calculul:

2) Câți bani s-au plătit pentru un apartament cu încălzire? Argumentând ca și precedentul, ajungem la următorul calcul:

3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?

4) Câți bani se cheltuiesc pentru nevoi culturale?

5) Câți bani a economisit muncitorul?

Pentru verificare, este util să adăugați numerele găsite în aceste 5 întrebări. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea procentelor indicate în declarația problemei.

Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste sarcini erau despre lucruri diferite (livrarea lemnelor de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat deoarece în toate sarcinile a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.

§ 90. Împărțirea fracțiilor.

Când studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
2. Împărțirea unei fracții cu un număr întreg
3. Împărțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Împărțirea unei fracții cu o fracție.
5. Împărțirea numerelor mixte.
6. Aflarea unui număr având în vedere fracția sa.
7. Găsirea unui număr după procentajul său.

Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.

După cum sa indicat în secțiunea numere întregi, împărțirea este acțiunea constând în faptul că, dat fiind produsul a doi factori (dividend) și unul dintre acești factori (divizor), se găsește un alt factor.

Împărțirea unui număr întreg cu un număr întreg am considerat-o în departamentul numerelor întregi. Am întâlnit acolo două cazuri de împărțire: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15), și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 în rest). Putem spune, așadar, că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul dintre divizor și întreg. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera ca posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).

De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă a găsi un număr al cărui produs înmulțit cu 12 ar fi 7. Acest număr este fracția 7/12 deoarece 7/12 12 = 7. Un alt exemplu: 14: 25 = 14/25 deoarece 14/25 25 = 14.

Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să faceți o fracție, al cărei numărător este egal cu dividendul, iar numitorul este divizorul.

2. Împărțirea unei fracții cu un număr întreg.

Împărțiți fracția 6 / 7 la 3. Conform definiției împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6 / 7) și unul dintre factorii (3); se cere să se găsească un astfel de al doilea factor, care din înmulțirea cu 3 ar da acest lucru 6/7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai mic decât acest produs. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția 6/7 de 3 ori.

Știm deja că reducerea unei fracții se poate face fie prin scăderea numărătorului, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, puteți scrie:

LA acest caz numărătorul 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie redus de 3 ori.

Să luăm un alt exemplu: 5 / 8 împărțit la 2. Aici, numărătorul 5 nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că numitorul va trebui înmulțit cu acest număr:

Pe baza acestui fapt, putem enunța regula: Pentru a împărți o fracție cu un întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acel număr întreg(dacă este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.

3. Împărțirea unui număr întreg cu o fracție.

Să fie necesar să se împartă 5 la 1 / 2, adică să se găsească un număr care, după înmulțirea cu 1 / 2, va da produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1 / 2 este o fracție proprie, iar la înmulțirea unui număr cu o fracție proprie, produsul trebuie să fie mai mic decât multiplicandul. Pentru a fi mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1 / 2 = X , deci x 1 / 2 \u003d 5.

Trebuie să găsim un astfel de număr X , care, înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui anumit număr cu 1/2 înseamnă găsirea a 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 din numărul necunoscut X este 5 și numărul întreg X de două ori mai mult, adică 5 2 \u003d 10.

Deci 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Sa verificam:

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să fie necesar să se împartă 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).

Fig.19

Desenați un segment AB, egal cu 6 din unele unități, și împărțiți fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3 / 3) din întregul segment AB este de 6 ori mai mare, adică. e. 18/3. Conectam cu ajutorul unor paranteze mici 18 segmente obtinute din 2; Vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în b unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,

Cum să obțineți acest rezultat fără un desen folosind doar calcule? Vom argumenta după cum urmează: este necesar să împărțim 6 la 2 / 3, adică este necesar să răspundem la întrebarea, de câte ori 2 / 3 este conținut în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori este 1 / 3 cuprinse în 6? Într-o unitate întreagă - 3 treimi și în 6 unități - de 6 ori mai mult, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr, trebuie să înmulțim 6 cu 3. Prin urmare, 1/3 este conținut în b unități de 18 ori, iar 2/3 este conținut în b unități nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9 Prin urmare, la împărțirea 6 la 2/3 am făcut următoarele:

De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, făcând din acest produs numărător, să îl împărțiți la numărătorul fracției date.

Scriem regula folosind litere:

Pentru a face această regulă perfect clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost stabilită în § 38. Rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

4. Împărțirea unei fracții cu o fracție.

Să fie necesar să se împartă 3/4 la 3/8. Ce va desemna numărul care va fi obținut în urma împărțirii? Va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).

Luați segmentul AB, luați-l ca unitate, împărțiți-l în 4 părți egale și marcați 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente inițiale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că segmentul egal cu 3/8 este cuprins în segmentul egal cu 3/4 exact de 2 ori; Deci rezultatul împărțirii poate fi scris astfel:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să fie necesar să se împartă 15/16 la 3/32:

Putem raționa astfel: trebuie să găsim un număr care, după ce a fost înmulțit cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 număr necunoscut X alcătuiesc 15/16

1/32 număr necunoscut X este ,

32 / 32 de numere X inventa .

Prin urmare,

Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul și al doilea numitorul.

Să scriem regula folosind litere:

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

5. Împărțirea numerelor mixte.

Când împărțiți numere mixte, acestea trebuie mai întâi convertite în fracții improprii, apoi împărțiți fracțiile rezultate după regulile de împărțire numere fracționare. Luați în considerare un exemplu:

Convertiți numere mixte în fracții improprii:

Acum să împărțim:

Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți conform regulii de împărțire a fracțiilor.

6. Aflarea unui număr având în vedere fracția sa.

Printre diverse sarcini pe fracții, uneori există acelea în care este dată valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și este necesar să se găsească acest număr. Acest tip de problemă va fi invers cu problema găsirii unei fracțiuni dintr-un număr dat; acolo a fost dat un număr și a fost necesar să se găsească o fracție din acest număr, aici este dată o fracțiune dintr-un număr și este necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.

Sarcina 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele casei construite. Câte ferestre sunt în casa asta?

Soluţie. Problema spune că 50 de ferestre vitrate alcătuiesc 1/3 din toate ferestrele casei, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.

Casa avea 150 de ferestre.

Sarcina 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, ceea ce reprezintă 3/8 din stocul total de făină din magazin. Care a fost rezerva inițială de făină a magazinului?

Soluţie. Din starea problemei se vede că cele 1.500 kg de făină vândute constituie 3/8 din stocul total; aceasta înseamnă că 1/8 din acest stoc va fi de 3 ori mai puțin, adică, pentru a-l calcula, trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:

1.500: 3 = 500 (adică 1/8 din stoc).

Evident, întregul stoc va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

Aprovizionarea inițială de făină în magazin a fost de 4.000 kg.

Din luarea în considerare a acestei probleme se poate deduce următoarea regulă.

Pentru a găsi un număr cu o valoare dată a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.

Am rezolvat două probleme la găsirea unui număr dat fiind fracția sa. Astfel de probleme, așa cum se vede mai ales din ultima, se rezolvă prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțirea (când se găsește întregul număr).

Totuși, după ce am studiat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate într-o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.

De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-o singură acțiune ca aceasta:

În viitor, vom rezolva problema găsirii unui număr după fracția sa într-o singură acțiune - împărțire.

7. Găsirea unui număr după procentajul său.

În aceste sarcini, va trebui să găsiți un număr, cunoscând câteva procente din acest număr.

Sarcina 1. La începutul acestui an, am primit 60 de ruble de la banca de economii. venit din suma pe care am pus-o în economii acum un an. Cati bani am pus in banca de economii? (Casele oferă deponenților 2% din venit pe an.)

Sensul problemei este că o anumită sumă de bani a fost pusă de mine într-o casă de economii și a stat acolo timp de un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am pus. Câți bani am depus?

Prin urmare, cunoscând partea acestor bani, exprimată în două moduri (în ruble și în fracții), trebuie să găsim întreaga sumă, încă necunoscută. Aceasta este o problemă obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele sarcini sunt rezolvate pe divizie:

Deci, 3.000 de ruble au fost puse în banca de economii.

Sarcina 2.În două săptămâni, pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64%, având pregătite 512 tone de pește. Care era planul lor?

Din starea problemei, se știe că pescarii au finalizat o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Câte tone de pește trebuie recoltate conform planului, nu știm. Rezolvarea problemei va consta în găsirea acestui număr.

Astfel de sarcini sunt rezolvate prin împărțirea:

Deci, conform planului, trebuie să pregătiți 800 de tone de pește.

Sarcina 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit cel de-al 276-lea kilometru, unul dintre pasageri l-a întrebat pe conductorul care trecea cât de mult din călătorie au parcurs deja. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am acoperit deja 30% din întreaga călătorie”. Care este distanța de la Riga la Moscova?

Din starea problemei se poate observa că 30% din călătoria de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică, pentru această parte, găsim întregul:

§ 91. Numerele reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.

Luați fracția 2/3 și rearanjați numărătorul în locul numitorului, obținem 3/2. Avem o fracțiune, reciproca acesteia.

Pentru a obține o fracție reciprocă a uneia date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel, putem obține o fracție care este reciproca oricărei fracții. De exemplu:

3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5

Două fracții care au proprietatea că numărătorul primei este numitorul celei de-a doua și numitorul primei este numărătorul celei de-a doua sunt numite reciproc invers.

Acum să ne gândim la ce fracție va fi reciproca lui 1/2. Evident, va fi 2 / 1, sau doar 2. Căutând reciproca acesteia, avem un număr întreg. Și acest caz nu este izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu numărător de 1 (un), reciprocele vor fi numere întregi, de exemplu:

1 / 3, invers 3; 1/5, invers 5

Deoarece la găsirea reciprocelor ne-am întâlnit și cu numere întregi, în viitor nu vom vorbi despre reciproce, ci despre reciproce.

Să ne dăm seama cum să scriem reciproca unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru se rezolvă simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține reciproca unui număr întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor de 1. Deci, reciproca lui 7 va fi 1 / 7, deoarece 7 \u003d 7 / 1; pentru numărul 10 inversul este 1 / 10 deoarece 10 = 10 / 1

Această idee poate fi exprimată în alt mod: reciproca unui număr dat se obține prin împărțirea unuia la numărul dat. Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. Într-adevăr, dacă doriți să scrieți un număr care este reciproca fracției 5 / 9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5 / 9, adică.

Acum să subliniem unul proprietate numere reciproc reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproc reciproce este egal cu unu. Intr-adevar:

Folosind această proprietate, putem găsi reciproce în felul următor. Să găsim reciproca lui 8.

Să o notăm cu litera X , apoi 8 X = 1, prin urmare X = 1 / 8 . Să găsim un alt număr, inversul lui 7/12, notăm-l printr-o literă X , apoi 7/12 X = 1, prin urmare X = 1:7 / 12 sau X = 12 / 7 .

Am introdus aici conceptul de numere reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.

Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:

Acordați o atenție deosebită expresiei și comparați-o cu cea dată: .

Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm întrebarea de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri, rezultatul este același. Deci putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu reciproca divizorului.

Exemplele pe care le oferim mai jos confirmă pe deplin această concluzie.

Numătorul și cel cu care este împărțit este numitorul.

Pentru a scrie o fracție, scrieți mai întâi numărătorul acesteia, apoi trasați o linie orizontală sub acest număr și scrieți numitorul sub linie. Linia orizontală care separă numărătorul și numitorul se numește bară fracțională. Uneori este descris ca un „/” sau „∕” oblic. În acest caz, numărătorul este scris în stânga liniei, iar numitorul în dreapta. Deci, de exemplu, fracția „două treimi” va fi scrisă ca 2/3. Pentru claritate, numărătorul este de obicei scris în partea de sus a liniei, iar numitorul în partea de jos, adică în loc de 2/3, puteți găsi: ⅔.

Pentru a calcula produsul fracțiilor, înmulțiți mai întâi numărătorul lui unu fractii la alt numărător. Scrieți rezultatul la numărătorul noului fractii. Apoi înmulțiți și numitorii. Specificați valoarea finală în noua fractii. De exemplu, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Pentru a împărți o fracție la alta, mai întâi înmulțiți numărătorul primei cu numitorul celei de-a doua. Faceți același lucru cu a doua fracție (divizor). Sau, înainte de a efectua toți pașii, mai întâi „întoarceți” divizorul, dacă vă este mai convenabil: numitorul ar trebui să fie în locul numărătorului. Apoi înmulțiți numitorul dividendului cu noul numitor al divizorului și înmulțiți numărătorii. De exemplu, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Surse:

• Sarcini de bază pentru fracții

Numerele fracționale vă permit să exprimați valoarea exactă a unei cantități în moduri diferite. Cu fracțiile, puteți efectua aceleași operații matematice ca și cu numerele întregi: scădere, adunare, înmulțire și împărțire. Să înveți cum să decizi fractii, este necesar să ne amintim unele dintre caracteristicile lor. Ele depind de tip fractii, prezența unei părți întregi, un numitor comun. Unele operații aritmetice după execuție necesită reducerea părții fracționale a rezultatului.

Vei avea nevoie

• - calculator

Instruire

Privește cu atenție numerele. Dacă există zecimale și neregulate printre fracții, uneori este mai convenabil să efectuați mai întâi acțiuni cu zecimale și apoi să le convertiți în forma greșită. Poti sa traduci fractiiîn această formă inițial, scriind valoarea după virgulă la numărător și punând 10 la numitor. Dacă este necesar, reduceți fracția împărțind numerele de mai sus și de dedesubt la un divizor. Fracțiile în care se evidențiază întreaga parte duc la forma greșită înmulțind-o cu numitorul și adunând numărătorul la rezultat. Această valoare va deveni noul numărător fractii. Pentru a extrage întreaga parte din incorect inițial fractii, împărțiți numărătorul la numitor. Scrieți întregul rezultat din fractii. Iar restul diviziunii devine noul numărător, numitorul fractiiîn timp ce nu se schimbă. Pentru fracțiile cu o parte întreagă, este posibil să se efectueze acțiuni separat, mai întâi pentru întregul și apoi pentru părțile fracționale. De exemplu, suma 1 2/3 și 2 ¾ poate fi calculată:
- Conversia fracțiilor la forma greșită:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Însumarea separată a părților întregi și fracționale ale termenilor:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Rescrieți-le prin separatorul „:” și continuați împărțirea obișnuită.

Pentru a obține rezultatul final, reduceți fracția rezultată împărțind numărătorul și numitorul la un număr întreg, cel mai mare posibil în acest caz. În acest caz, trebuie să existe numere întregi deasupra și sub linie.

Notă

Nu faceți aritmetică cu fracții care au numitori diferiți. Alegeți un număr astfel încât, atunci când numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt înmulțiți cu acesta, ca rezultat, numitorii ambelor fracții să fie egali.

Sfat util

Când scrieți numere fracționale, dividendul este scris deasupra liniei. Această cantitate este denumită numărătorul unei fracții. Sub linie se scrie divizorul sau numitorul fracției. De exemplu, un kilogram și jumătate de orez sub formă de fracție se va scrie astfel: 1 ½ kg de orez. Dacă numitorul unei fracții este 10, se numește fracție zecimală. În acest caz, numărătorul (dividendul) se scrie în dreapta întregii părți, despărțit prin virgulă: 1,5 kg de orez. Pentru comoditatea calculelor, o astfel de fracție poate fi întotdeauna scrisă într-o formă greșită: 1 2/10 kg de cartofi. Pentru a simplifica, puteți reduce valorile numărătorului și numitorului împărțindu-le la un singur număr întreg. În acest exemplu, este posibilă împărțirea la 2. Rezultatul este 1 1/5 kg de cartofi. Asigurați-vă că numerele cu care veți face aritmetica sunt în aceeași formă.