Discriminant este un termen ambiguu. Acest articol se va concentra pe discriminantul unui polinom, care vă permite să determinați dacă un anumit polinom are soluții reale. Formula pentru un polinom pătrat se găsește în cursul școlar de algebră și analiză. Cum să găsești discriminantul? Ce este necesar pentru a rezolva ecuația?

Se numește un polinom pătratic sau o ecuație de gradul doi i * w ^ 2 + j * w + k egal cu 0, unde „i” și „j” sunt primul și, respectiv, al doilea coeficient, „k” este o constantă, uneori numită „intercept” și „w” este o variabilă. Rădăcinile sale vor fi toate valorile variabilei la care se transformă într-o identitate. O astfel de egalitate poate fi rescrisă ca produsul lui i, (w - w1) și (w - w2) egal cu 0. În acest caz, este evident că dacă coeficientul „i” nu dispare, atunci funcția de pe partea stângă va deveni zero doar dacă x ia valoarea w1 sau w2. Aceste valori sunt rezultatul setării polinomului la zero.

Pentru a afla valoarea unei variabile la care polinomul pătrat dispare, se folosește o construcție auxiliară, construită pe coeficienții ei și numită discriminant. Această construcție se calculează conform formulei D este egal cu j * j - 4 * i * k. De ce este folosit?

1. Ea spune dacă există rezultate valide.
2. Ea ajută la calcularea lor.

Cum arată această valoare prezența rădăcinilor reale:

• Dacă este pozitiv, atunci puteți găsi două rădăcini în regiunea numerelor reale.
• Dacă discriminantul este zero, atunci ambele soluții sunt aceleași. Putem spune că există o singură soluție și este din domeniul numerelor reale.
• Dacă discriminantul este mai mic decât zero, atunci polinomul nu are rădăcini reale.

Opțiuni de calcul pentru fixarea materialului

Pentru suma (7 * w^2; 3 * w; 1) egală cu 0 calculăm D prin formula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 obținem -19. O valoare discriminantă sub zero indică faptul că nu există rezultate pe linia reală.

Dacă luăm în considerare 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 echivalent cu 0, atunci D se calculează ca (-3) pătrat minus produsul numerelor (4; 2; 1) și este egal cu 9 - 8, adică 1. O valoare pozitivă indică două rezultate pe linia reală.

Dacă luăm suma (w^2; 2 * w; 1) și echivalăm cu 0, D se calculează ca două pătrate minus produsul numerelor (4; 1; 1). Această expresie se va simplifica la 4 - 4 și se va transforma la zero. Se dovedește că rezultatele sunt aceleași. Dacă te uiți cu atenție la această formulă, va deveni clar că aceasta este " pătrat plin". Aceasta înseamnă că egalitatea poate fi rescrisă sub forma (w + 1) ^ 2 = 0. A devenit evident că rezultatul în această problemă este „-1”. Într-o situație în care D este egal cu 0, partea stângă a egalității poate fi întotdeauna restrânsă conform formulei „pătratul sumei”.

Folosirea discriminantului pentru a calcula rădăcini

Această construcție auxiliară nu arată doar numărul de soluții reale, dar ajută și la găsirea acestora. Formula generala calculul pentru ecuația de gradul doi este următorul:

w = (-j +/- d) / (2 * i), unde d este discriminantul puterii lui 1/2.

Să presupunem că discriminantul este sub zero, atunci d este imaginar și rezultatele sunt imaginare.

D este zero, atunci d egal cu D cu puterea lui 1/2 este, de asemenea, zero. Rezolvare: -j / (2 * i). Considerând din nou 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, găsim rezultate echivalente cu -2 / (2 * 1) = -1.

Să presupunem că D > 0, deci d este un număr real, iar răspunsul aici se împarte în două părți: w1 = (-j + d) / (2 * i) și w2 = (-j - d) / (2 * i) . Ambele rezultate vor fi valabile. Să ne uităm la 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Aici discriminantul și d sunt unități. Deci w1 este (3 + 1) împărțit la (2 * 2) sau 1, iar w2 este (3 - 1) împărțit la 2 * 2 sau 1/2.

Rezultatul echivalării unei expresii pătrate cu zero este calculat conform algoritmului:

1. Determinarea numărului de soluții valide.
2. Calcul d = D^(1/2).
3. Găsirea rezultatului după formula (-j +/- d) / (2 * i).
4. Înlocuirea rezultatului primit în egalitatea inițială pentru verificare.

Câteva cazuri speciale

În funcție de coeficienți, soluția poate fi oarecum simplificată. Evident, dacă coeficientul în fața variabilei la a doua putere este zero, atunci se obține o egalitate liniară. Când coeficientul din fața variabilei este zero față de prima putere, atunci sunt posibile două opțiuni:

1. polinomul se extinde în diferența de pătrate cu termen liber negativ;
2. pentru o constantă pozitivă, soluții reale nu pot fi găsite.

Dacă termenul liber este zero, atunci rădăcinile vor fi (0; -j)

Dar există și alte cazuri speciale care simplifică găsirea unei soluții.

Ecuație de gradul doi redusă

Datul este numit astfel de trinom pătrat, unde coeficientul din fața termenului conducător este unul. Pentru această situație este aplicabilă teorema Vieta, care spune că suma rădăcinilor este egală cu coeficientul variabilei la prima putere, înmulțit cu -1, iar produsul corespunde constantei „k”.

Prin urmare, w1 + w2 este egal cu -j și w1 * w2 este egal cu k dacă primul coeficient este unul. Pentru a verifica corectitudinea unei astfel de reprezentări, putem exprima w2 = -j - w1 din prima formulă și o înlocuim în a doua egalitate w1 * (-j - w1) = k. Rezultatul este egalitatea inițială w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Este important de remarcat că i * w ^ 2 + j * w + k = 0 poate fi redus prin împărțirea la „i”. Rezultatul va fi: w^2 + j1 * w + k1 = 0 unde j1 este egal cu j/i și k1 este egal cu k/i.

Să ne uităm la 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 deja rezolvate cu rezultatele w1 = 1 și w2 = 1/2. Este necesar să-l împărțim în jumătate, ca urmare, w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Să verificăm dacă condițiile teoremei sunt adevărate pentru rezultatele găsite: 1 + 1/2 = 3/2 și 1 * 1/2 = 1 /2.

Chiar și al doilea factor

Dacă factorul variabilei la prima putere (j) este divizibil cu 2, atunci va fi posibil să simplificați formula și să căutați o soluție printr-un sfert din discriminantul D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. rezultă w = (-j +/- d/2) / i, unde d/2 = D/4 la puterea de 1/2.

Dacă i = 1 și coeficientul j este par, atunci soluția este produsul dintre -1 și jumătate din coeficientul din variabila w, plus/minus rădăcina pătratului acestei jumătăți, minus constanta „k”. Formula: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Discriminant de ordin superior

Discriminantul de gradul doi considerat mai sus este cazul special cel mai frecvent utilizat. În cazul general, discriminantul unui polinom este pătratele înmulțite ale diferențelor rădăcinilor acestui polinom. Prin urmare, discriminantul zero indică prezența a cel puțin două soluții multiple.

Luați în considerare i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Să presupunem că discriminantul este mai mare decât zero. Aceasta înseamnă că există trei rădăcini în regiunea numerelor reale. La zero, există mai multe soluții. Daca D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Videoclipul nostru vă va spune în detaliu despre calculul discriminantului.

Nu ai primit răspuns la întrebarea ta? Propuneți autorilor un subiect.

Să lucrăm cu ecuații pătratice. Acestea sunt ecuații foarte populare! În chiar vedere generala ecuația pătratică arată astfel:

De exemplu:

Aici A =1; b = 3; c = -4

Aici A =2; b = -0,5; c = 2,2

Aici A =-3; b = 6; c = -18

Ei bine, ai înțeles ideea...

Cum se rezolvă ecuații pătratice? Dacă aveți o ecuație pătratică în această formă, atunci totul este simplu. Ne amintim cuvântul magic discriminant . Un elev de liceu rar nu a auzit acest cuvânt! Expresia „decide prin discriminant” este liniștitoare și liniștitoare. Pentru că nu este nevoie să așteptați trucuri de la discriminant! Este simplu și fără probleme de utilizat. Deci, formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice arată astfel:

Expresia de sub semnul rădăcinii este aceeași discriminant. După cum puteți vedea, pentru a găsi x, folosim doar a, b și c. Acestea. coeficienții din ecuația pătratică. Doar înlocuiți cu atenție valorile a, b și cîn această formulă și luați în considerare. Substitui cu semnele tale! De exemplu, pentru prima ecuație A =1; b = 3; c= -4. Aici scriem:

Exemplu aproape rezolvat:

Asta e tot.

Ce cazuri sunt posibile când se utilizează această formulă? Sunt doar trei cazuri.

1. Discriminantul este pozitiv. Aceasta înseamnă că puteți extrage rădăcina din ea. Dacă rădăcina este extrasă bine sau prost este o altă întrebare. Este important ce se extrage in principiu. Atunci ecuația ta pătratică are două rădăcini. Două soluții diferite.

2. Discriminantul este zero. Atunci ai o soluție. Strict vorbind, aceasta nu este o singură rădăcină, dar două identice. Dar acest lucru joacă un rol în inegalități, unde vom studia problema mai detaliat.

3. Discriminantul este negativ. Un număr negativ nu ia rădăcina pătrată. Ei bine, bine. Asta înseamnă că nu există soluții.

Totul este foarte simplu. Și ce crezi, nu poți greși? Ei bine, da, cum...
Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele valorilor a, b și c. Sau, mai degrabă, nu cu semnele lor (unde trebuie confundat?), Ci cu înlocuirea valorilor negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici, o înregistrare detaliată a formulei cu numere specifice salvează. Dacă există probleme cu calculele, atunci, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici a = -6; b = -5; c=-1

Să presupunem că știi că rar primești răspunsuri prima dată.

Ei bine, nu fi leneș. Va dura 30 de secunde pentru a scrie o linie suplimentară și numărul de erori va scădea brusc. Așa că scriem în detaliu, cu toate parantezele și semnele:

Pare incredibil de dificil să pictezi atât de atent. Dar doar pare. Incearca-l. Ei bine, sau alege. Care este mai bine, rapid sau corect? În plus, te voi face fericit. După un timp, nu va mai fi nevoie să pictezi totul atât de atent. Pur și simplu se va dovedi corect. Mai ales dacă aplicați tehnici practice, care sunt descrise mai jos. Acest exemplu rău cu o grămadă de minusuri va fi rezolvat ușor și fără erori!

Asa de, cum se rezolvă ecuații pătratice prin discriminantul de care ne-am amintit. Sau învățat, ceea ce este și bine. Poți să identifici corect a, b și c. Știi cum cu grijaînlocuiți-le în formula rădăcină și cu grija numărați rezultatul. Ai inteles asta cuvânt cheie Aici - cu grija?

Cu toate acestea, ecuațiile pătratice arată adesea ușor diferit. De exemplu, așa:

aceasta ecuații pătratice incomplete . Ele pot fi rezolvate și prin discriminant. Trebuie doar să vă dați seama corect ce este egal aici a, b și c.

Realizat? În primul exemplu a = 1; b = -4; A c? Nu există deloc! Ei bine, da, așa este. În matematică, asta înseamnă că c = 0 ! Asta e tot. Înlocuiți zero în formulă în loc de c,și totul se va rezolva pentru noi. La fel și cu al doilea exemplu. Numai zero nu avem aici Cu, A b !

Dar ecuațiile pătratice incomplete pot fi rezolvate mult mai ușor. Fără nicio discriminare. Luați în considerare prima ecuație incompletă. Ce se poate face pe partea stângă? Puteți scoate X-ul din paranteze! Hai să-l scoatem.

Și ce-i cu asta? Și faptul că produsul este egal cu zero dacă și numai dacă oricare dintre factori este egal cu zero! Nu crezi? Ei bine, atunci veniți cu două numere diferite de zero care, atunci când sunt înmulțite, vor da zero!
Nu funcționează? Ceva...
Prin urmare, putem scrie cu încredere: x = 0, sau x = 4

Tot. Acestea vor fi rădăcinile ecuației noastre. Ambele se potrivesc. Când înlocuim oricare dintre ele în ecuația originală, obținem identitatea corectă 0 = 0. După cum puteți vedea, soluția este mult mai simplă decât prin discriminant.

A doua ecuație poate fi de asemenea ușor rezolvată. Ne deplasăm cu 9 în partea dreaptă. Primim:

Rămâne să extragem rădăcina din 9 și atât. Obține:

de asemenea două rădăcini . x = +3 și x = -3.

Așa se rezolvă toate ecuațiile pătratice incomplete. Fie scotând X din paranteze, fie pur și simplu transferând numărul la dreapta, urmat de extragerea rădăcinii.
Este extrem de greu de confundat aceste metode. Pur și simplu pentru că în primul caz va trebui să extragi rădăcina din X, ceea ce este cumva de neînțeles, iar în al doilea caz nu este nimic de scos din paranteze...

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori. Chiar acelea care se datorează neatenției... Pentru care apoi este dureros și jignitor...

Prima recepție. Nu fi leneș înainte de a rezolva o ecuație pătratică pentru a o aduce la o formă standard. Ce inseamna asta?
Să presupunem că, după orice transformări, obțineți următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcinilor! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c. Construiți corect exemplul. Mai întâi, x pătrat, apoi fără pătrat, apoi un membru liber. Ca aceasta:

Și din nou, nu te grăbi! Minusul dinaintea x pătratului te poate supăra foarte mult. A uita este ușor... Scăpați de minus. Cum? Da, așa cum a fost predat în subiectul anterior! Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Și acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și completați exemplul. Decide pe cont propriu. Ar trebui să ajungeți cu rădăcinile 2 și -1.

A doua recepție. Verifică-ți rădăcinile! Conform teoremei lui Vieta. Nu-ți face griji, îți voi explica totul! Control ultimul lucru ecuația. Acestea. cea prin care am notat formula rădăcinilor. Dacă (ca în acest exemplu) coeficientul a = 1, verificați ușor rădăcinile. Este suficient să le înmulțim. Ar trebui să obțineți un termen gratuit, de ex. în cazul nostru -2. Atenție, nu 2, ci -2! membru gratuit cu semnul tău . Dacă nu a funcționat, înseamnă că s-au încurcat deja undeva. Căutați o eroare. Dacă a funcționat, trebuie să îndoiți rădăcinile. Ultima si ultima verificare. Ar trebui să fie un raport b Cu opus semn. În cazul nostru -1+2 = +1. Un coeficient b, care este înainte de x, este egal cu -1. Deci, totul este în regulă!
Este păcat că este atât de simplu doar pentru exemplele în care x pătrat este pur, cu un coeficient a = 1. Dar măcar verificați astfel de ecuații! Vor fi mai puține greșeli.

Recepția a treia. Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Înmulțiți ecuația cu numitorul comun așa cum este descris în secțiunea anterioară. Când lucrați cu fracții, erori, din anumite motive, urcați...

Apropo, am promis un exemplu rău, cu o grămadă de minusuri de simplificat. Vă rog! Aici era.

Pentru a nu ne confunda în minusuri, înmulțim ecuația cu -1. Primim:

Asta e tot! A decide este distractiv!

Deci, să recapitulăm subiectul.

Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm înmulțind întreaga ecuație cu -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu factorul corespunzător.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul pentru acesta este egal cu unu, soluția poate fi ușor verificată prin teorema lui Vieta. Fă-o!

Ecuații fracționale. ODZ.

Continuăm să stăpânim ecuațiile. Știm deja cum să lucrăm cu ecuații liniare și pătratice. Ultima vedere rămâne ecuații fracționale. Sau sunt numite și mult mai solide - ecuații raționale fracționale. Asta e lafel.

Ecuații fracționale.

După cum sugerează și numele, aceste ecuații conțin în mod necesar fracții. Dar nu doar fracții, ci fracții care au necunoscut la numitor. Cel puțin într-una. De exemplu:

Permiteți-mi să vă reamintesc, dacă numai în numitori numere, acestea sunt ecuații liniare.

Cum să decizi ecuații fracționale? În primul rând, scapă de fracții! După aceea, ecuația, cel mai adesea, se transformă într-una liniară sau pătratică. Și atunci știm ce să facem... În unele cazuri, se poate transforma într-o identitate, gen 5=5 sau o expresie incorectă, precum 7=2. Dar asta se întâmplă rar. Mai jos o voi aminti.

Dar cum să scapi de fracții!? Foarte simplu. Aplicând toate aceleași transformări identice.

Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu aceeași expresie. Pentru ca toți numitorii să scadă! Totul va deveni imediat mai ușor. explic cu un exemplu. Să presupunem că trebuie să rezolvăm ecuația:

Cum au fost predate în școala elementară? Transferăm totul într-o singură direcție, îl reducem la un numitor comun etc. Uită cât de urât vis! Acesta este ceea ce trebuie să faceți când adăugați sau scădeți expresii fracționale. Sau lucrează cu inegalități. Și în ecuații, înmulțim imediat ambele părți printr-o expresie care ne va oferi posibilitatea de a reduce toți numitorii (adică, în esență, cu un numitor comun). Și care este această expresie?

În partea stângă, pentru a reduce numitorul, trebuie să înmulțiți cu x+2. Și în dreapta este necesară înmulțirea cu 2. Deci, ecuația trebuie înmulțită cu 2(x+2). Înmulțim:

Aceasta este înmulțirea obișnuită a fracțiilor, dar voi scrie în detaliu:

Vă rugăm să rețineți că încă nu deschid paranteza. (x + 2)! Deci, în întregime, o scriu:

Pe partea stângă, este redus în întregime (x+2), iar în dreapta 2. După cum este necesar! După reducere obținem liniar ecuația:

Oricine poate rezolva această ecuație! x = 2.

Să rezolvăm un alt exemplu, puțin mai complicat:

Dacă ne amintim că 3 = 3/1, și 2x = 2x/ 1 se poate scrie:

Și din nou scăpăm de ceea ce nu ne place cu adevărat - din fracții.

Vedem că pentru a reduce numitorul cu x, este necesar să înmulțim fracția cu (x - 2). Și unitățile nu sunt o piedică pentru noi. Ei bine, hai să ne înmulțim. Toate partea stângă și toate partea dreapta:

Din nou paranteze (x - 2) Nu dezvălui. Lucrez cu paranteza ca un întreg, de parcă ar fi un număr! Acest lucru trebuie făcut întotdeauna, altfel nimic nu va fi redus.

Cu un sentiment de profundă satisfacție, tăiem (x - 2)și obținem ecuația fără fracții, într-o riglă!

Și acum deschidem parantezele:

Dăm altele similare, transferăm totul în partea stângă și obținem:

Ecuație pătratică clasică. Dar minusul din față nu este bun. Puteți scăpa oricând de el înmulțind sau împărțind cu -1. Dar dacă te uiți cu atenție la exemplu, vei observa că cel mai bine este să împărțiți această ecuație la -2! Dintr-o lovitură, minusul va dispărea, iar coeficienții vor deveni mai frumoși! Împărțim la -2. În partea stângă - termen cu termen, iar în dreapta - împărțiți zero la -2, zero și obțineți:

Rezolvăm prin discriminant și verificăm conform teoremei Vieta. Primim x=1 și x=3. Două rădăcini.

După cum puteți vedea, în primul caz, ecuația după transformare a devenit liniară, iar aici este pătratică. Se întâmplă ca, după ce scăpați de fracții, toate x-urile sunt reduse. A mai rămas ceva, cum ar fi 5=5. Înseamnă că x poate fi orice. Orice ar fi, tot va fi redus. Și obțineți adevărul pur, 5=5. Dar, după ce scăpați de fracții, se poate dovedi a fi complet neadevărat, cum ar fi 2=7. Și asta înseamnă că fara solutii! Cu orice x, se dovedește a fi fals.

Realizat calea principală solutii ecuații fracționale? Este simplu și logic. Schimbăm expresia originală, astfel încât tot ceea ce nu ne place să dispară. Sau interveniți. În acest caz, este vorba de fracții. Vom face la fel cu toți exemple complexe cu logaritmi, sinusuri și alte orori. Noi mereu vom scăpa de toate acestea.

Cu toate acestea, trebuie să schimbăm expresia originală în direcția de care avem nevoie conform regulilor, da... A cărui desfășurare este pregătirea pentru examenul la matematică. Aici învățăm.

Acum vom învăța cum să ocolim unul dintre principalele ambuscade la examen! Dar mai întâi, să vedem dacă cădeți sau nu?

Să luăm un exemplu simplu:

Problema este deja familiară, înmulțim ambele părți cu (x - 2), primim:

Amintiți-vă, cu paranteze (x - 2) lucrând cu unul întreaga expresie!

Aici nu l-am mai scris pe cel de la numitori, e nedemn... Si nu am tras paranteze la numitori, decat x - 2 nu există nimic, nu poți desena. Scurtăm:

Deschidem parantezele, mutam totul spre stânga, dăm altele similare:

Rezolvăm, verificăm, obținem două rădăcini. x = 2și x = 3. Excelent.

Să presupunem că sarcina spune să scrieți rădăcina sau suma lor, dacă există mai multe rădăcini. Ce vom scrie?

Dacă decizi că răspunsul este 5, tu au fost pândiți în ambuscadă. Și sarcina nu va fi luată în considerare pentru tine. Au lucrat degeaba... Răspunsul corect este 3.

Ce s-a întâmplat?! Și încerci să verifici. Înlocuiți valorile necunoscutului în iniţială exemplu. Și dacă la x = 3 totul crește împreună minunat, obținem 9 = 9, apoi cu x = 2 imparti la zero! Ceea ce absolut nu se poate face. Mijloace x = 2 nu este o soluție și nu este luată în considerare în răspuns. Aceasta este așa-numita rădăcină străină sau suplimentară. Pur și simplu o aruncăm. Există o singură rădăcină finală. x = 3.

Cum așa?! Aud exclamații revoltate. Am fost învățați că o ecuație poate fi înmulțită cu o expresie! aceasta transformarea identităţii!

Da, identic. Sub o condiție mică - expresia prin care înmulțim (împărțim) - diferit de zero. DAR x - 2 la x = 2 este egal cu zero! Deci totul este corect.

Și acum ce pot face?! Nu înmulți prin expresie? Verifică de fiecare dată? Din nou neclar!

Calm! Nu vă panicați!

În această situație dificilă, trei litere magice ne vor salva. Știu la ce te gândeai. Corect! aceasta ODZ . Zona de Valori Valabile.

Important! La rădăcinile multiplicității chiar, funcția nu își schimbă semnul.

Notă! Orice inegalitate neliniară a unui curs de algebră școlară trebuie rezolvată folosind metoda intervalului.

Iti ofer un detaliat algoritm de rezolvare a inegalităților prin metoda intervalului, în urma căruia poți evita erorile când rezolvarea inegalităților neliniare.

Soluţie ecuații pătratice cu discriminatori negativi

După cum știm,

i 2 = - 1.

In orice caz,

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Astfel, există cel puțin două valori pentru rădăcina pătrată a lui - 1, și anume i și - i . Dar poate că există și alte numere complexe ale căror pătrate sunt - 1?

Pentru a clarifica această întrebare, să presupunem că pătratul unui număr complex a + bi egal cu - 1. Apoi

(a + bi ) 2 = - 1,

A 2 + 2abi - b 2 = - 1

Două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și coeficienții părților imaginare sunt egale. De aceea

{	și 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Conform celei de-a doua ecuații a sistemului (1), cel puțin unul dintre numere A și b ar trebui să fie egal cu zero. În cazul în care un b = 0, atunci rezultă prima ecuație A 2 = - 1. Număr A reale și, prin urmare A 2 > 0. Număr nenegativ A 2 nu poate fi egal număr negativ- 1. Prin urmare, egalitate b = 0 este imposibil în acest caz. Rămâne de recunoscut că A = 0, dar apoi din prima ecuație a sistemului obținem: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Prin urmare, singurele numere complexe ale căror pătrate sunt -1 sunt numerele i și - i , Aceasta este scrisă condiționat astfel:

√-1 = ± i .

Prin raționament similar, elevii pot verifica că există exact două numere ale căror pătrate sunt egale cu un număr negativ - A . Aceste numere sunt √ ai și -√ ai . În mod convențional, este scris astfel:

√- A = ± √ ai .

Sub √ A aici se înțelege rădăcina aritmetică, adică pozitivă. De exemplu, √4 = 2, √9 =.3; de aceea

√-4 = + 2i , √-9= ± 3 i

Dacă mai devreme, când luăm în considerare ecuațiile pătratice cu discriminanți negativi, spuneam că astfel de ecuații nu au rădăcini, acum nu se mai poate spune așa. Ecuațiile cuadratice cu discriminanți negativi au rădăcini complexe. Aceste rădăcini sunt obținute prin formule cunoscute nouă. Fie, de exemplu, având în vedere ecuația X 2 + 2X + 5 = 0; apoi

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Deci această ecuație are două rădăcini: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Aceste rădăcini se conjugă reciproc. Este interesant de observat că suma lor este egală cu - 2, iar produsul este 5, deci teorema lui Vieta este îndeplinită.

Conceptul de număr complex

Un număr complex este o expresie de forma a + ib, unde a și b sunt numere reale, i este un număr special, care se numește unitate imaginară. Pentru astfel de expresii, conceptele de egalitate și operațiile de adunare și înmulțire sunt introduse după cum urmează:

1. Două numere complexe a + ib și c + id se spune că sunt egale dacă și numai dacă
   a = b și c = d .
2. Suma a două numere complexe a + ib și c + id este un număr complex
   a + c + i (b + d).
3. Produsul a două numere complexe a + ib și c + id este un număr complex
   ac - bd + i (ad + bc).

Numerele complexe sunt adesea notate cu o singură literă, cum ar fi z = a + ib. Numărul real a se numește partea reală a numărului complex z, partea reală se notează a = Re z . Numărul real b se numește partea imaginară a numărului complex z, partea imaginară se notează b = Im z . Astfel de nume sunt alese în legătură cu următoarele proprietăți speciale ale numerelor complexe.

Rețineți că operațiile aritmetice pe numere complexe de forma z = a + i · 0 sunt efectuate exact în același mod ca pe numerele reale. Într-adevăr,

Prin urmare, numerele complexe de forma a + i · 0 sunt identificate în mod natural cu numere reale. Din acest motiv, numerele complexe de acest fel sunt numite pur și simplu reale. Deci, mulțimea numerelor reale este conținută în mulțimea numerelor complexe. Mulțimea numerelor complexe se notează cu . Noi am stabilit asta și anume

Spre deosebire de numerele reale, numerele de forma 0 + ib sunt numite pur imaginare. Adesea scrieți doar bi , de exemplu, 0 + i 3 = 3 i . Un număr pur imaginar i1 = 1 i = i are o proprietate surprinzătoare:
În acest fel,

№ 4 .1. În matematică, o funcție numerică este o funcție ale cărei domenii și valori sunt subseturi de mulțimi de numere - în general, mulțimea de numere reale sau mulțimea de numere complexe.

Graficul funcției

Fragment de grafic al funcției

Modalități de a seta o funcție

[Editați | ×] Metoda analitica

De obicei, o funcție este definită folosind o formulă care include variabile, operații și functii elementare. Poate o atribuire pe bucăți, adică diferită pentru diferite valori ale argumentului.

[Editați | ×] Mod tabular

O funcție poate fi definită prin listarea tuturor argumentelor posibile și a valorilor acestora. După aceea, dacă este necesar, funcția poate fi extinsă pentru argumente care nu sunt în tabel, prin interpolare sau extrapolare. Exemplele sunt un ghid de program, un program de tren sau un tabel de valori pentru o funcție booleană:

[Editați | ×] Mod grafic

Oscilograma stabilește grafic valoarea unei anumite funcții.

O funcție poate fi specificată grafic prin afișarea unui set de puncte din graficul său pe un plan. Aceasta ar putea fi o schiță aproximativă a modului în care ar trebui să arate funcția sau citiri luate de la un instrument, cum ar fi un osciloscop. Această specificație poate suferi de o lipsă de precizie, dar în unele cazuri nu pot fi aplicate deloc alte metode de specificare. În plus, această metodă de setare este una dintre cele mai reprezentative, ușor de înțeles și de înaltă calitate analize euristice ale funcției.

[Editați | ×] Mod recursiv

O funcție poate fi definită recursiv, adică prin ea însăși. În acest caz, unele valori ale funcției sunt determinate prin celelalte valori ale acesteia.

• factorial;
• numerele Fibonacci;
• Funcția Ackerman.

[Editați | ×] mod verbal

O funcție poate fi descrisă în cuvinte în limbaj natural într-un mod clar, de exemplu, prin descrierea valorilor sale de intrare și de ieșire sau a algoritmului prin care funcția atribuie corespondențe între aceste valori. Împreună cu grafic, uneori, acesta este singurul mod de a descrie o funcție, deși limbajele naturale nu sunt la fel de deterministe ca cele formale.

• o funcție care returnează o cifră în notația lui pi după numărul său;
• o funcție care returnează numărul de atomi din univers la un moment dat în timp;
• o funcție care ia o persoană ca argument și returnează numărul de oameni care se vor naște pe lume după nașterea sa

LA societate modernă capacitatea de a opera cu ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltările științifice și tehnice. Acest lucru poate fi evidențiat prin proiectarea navelor maritime și fluviale, aeronavelor și rachetelor. Cu ajutorul unor astfel de calcule, se determină traiectoriile de mișcare ale diferitelor corpuri, inclusiv obiecte spațiale. Exemplele cu soluția ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Pot fi necesare în excursii în camping, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factori componente

Gradul unei ecuații este determinat de valoarea maximă a gradului variabilei pe care o conține expresia dată. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci aceste expresii, indiferent de cum arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea sunt egale pe partea dreaptă cu 0. În cazul în care un astfel de polinom nu are niciunul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemplele cu rezolvarea unor astfel de probleme, în care valoarea variabilelor nu este greu de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia pare că are doi termeni în partea dreaptă a expresiei, mai precis ax 2 și bx, este cel mai ușor să găsiți x prin parantezele variabilei. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). În plus, devine evident că fie x=0, fie problema se reduce la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub acțiunea gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct, luat drept origine. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul scurs din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme în cazuri mai complexe. Luați în considerare exemple cu soluția ecuațiilor pătratice de acest tip.

X2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătrat este complet. În primul rând, transformăm expresia și o descompunem în factori. Există două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Când factorii din partea dreaptă în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x + 1), (x-3) și (x + 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -unu; 3.

Extragerea rădăcinii pătrate

Un alt caz ecuație incompletă de ordinul al doilea este o expresie exprimată în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă este construit din componentele ax 2 si c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat în partea dreaptă, iar după aceea, rădăcina pătrată este extrasă de ambele părți ale egalității. Trebuie remarcat faptul că în acest caz există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții sunt egalitățile care nu conțin deloc termenul c, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței de teren

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în acele vremuri îndepărtate s-a datorat în mare măsură necesității de a determina suprafețele și perimetrele terenurilor cu cea mai mare acuratețe.

De asemenea, ar trebui să luăm în considerare exemple cu soluția ecuațiilor pătratice compilate pe baza unor probleme de acest fel.

Deci, să presupunem că există o bucată de pământ dreptunghiulară, a cărei lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului, dacă se știe că suprafața acestuia este de 612 m 2.

Trecând la treabă, la început vom face ecuația necesară. Notăm cu x lățimea secțiunii, apoi lungimea acesteia va fi (x + 16). Din ceea ce s-a scris rezultă că aria este determinată de expresia x (x + 16), care, conform condiției problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) \u003d 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este doar atât, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă a acesteia conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite alte metode.

Discriminant

În primul rând, vom face transformările necesare, apoi aspectul acestei expresii va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie în forma corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c= -612.

Acesta poate fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice prin discriminant. Aici calculele necesare produs după schema: D = b 2 - 4ac. Această valoare auxiliară nu numai că face posibilă găsirea valorilor dorite în ecuația de ordinul doi, ci determină numărul Opțiuni. În cazul D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este: 256 - 4(-612) = 2704. Aceasta indică faptul că problema noastră are un răspuns. Dacă știți, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua opțiune în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunea terenului nu poate fi măsurată în valori negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea terenului) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18+16=34, iar perimetrul 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Mai jos vor fi date exemple și o soluție detaliată a câtorva dintre ele.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Să transferăm totul în partea stângă a egalității, să facem o transformare, adică să obținem forma ecuației, care se numește de obicei cea standard, și să o echivalăm cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D = 49 - 48 = 1. Deci ecuația noastră va avea două rădăcini. Le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea 1.

2) Acum vom rezolva ghicitori de alt fel.

Să aflăm dacă aici există rădăcini x 2 - 4x + 5 = 1? Pentru a obține un răspuns exhaustiv, aducem polinomul la forma familiară corespunzătoare și calculăm discriminantul. În acest exemplu, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece esența problemei nu este deloc în aceasta. În acest caz, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice prin formulele de mai sus și prin discriminant, când rădăcina pătrată este extrasă din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Este numit după un bărbat care a trăit în Franța din secolul al XVI-lea și a avut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a legăturilor sale la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că suma rădăcinilor ecuației este egală cu -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Folosind teorema Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După ce am făcut o verificare, ne vom asigura că aceste valori ale variabilelor se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul și ecuația unei parabole

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date anterior. Acum să ne uităm la câteva puzzle-uri matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de dependență, desenată sub forma unui grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele se ridică la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite prin formula tocmai dată x 0 = -b / 2a. Și, înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei aparținând axei y.

Intersecția ramurilor parabolei cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple cu soluția ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să le luăm în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă y 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul unei parabole, puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și invers. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și puteți rezolva ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor de trasat.

Din istorie

Cu ajutorul ecuațiilor care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri, nu numai că se făceau calcule matematice și se determina aria formelor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru descoperiri grandioase în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. S-a întâmplat cu patru secole înainte de apariția erei noastre. Desigur, calculele lor erau fundamental diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități ale celor cunoscute oricărui student al timpului nostru.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India, Baudhayama, a preluat soluția ecuațiilor pătratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de apariția erei lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

Sarcinile pentru o ecuație pătratică sunt studiate atât în ​​programa școlară, cât și în universități. Ele sunt înțelese ca ecuații de forma a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, unde X- variabilă, a,b,c – constante; A<>0 . Problema este de a găsi rădăcinile ecuației.

Sensul geometric al ecuației pătratice

Graficul unei funcții care este reprezentată printr-o ecuație pătratică este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Rezultă că există trei cazuri posibile:
1) parabola nu are puncte de intersecție cu axa x. Aceasta înseamnă că este în planul superior cu ramurile în sus sau cel inferior cu ramurile în jos. În astfel de cazuri, ecuația pătratică nu are rădăcini reale (are două rădăcini complexe).

2) parabola are un punct de intersecție cu axa Ox. Un astfel de punct se numește vârful parabolei, iar ecuația pătratică din el își capătă valoarea minimă sau maximă. În acest caz, ecuația pătratică are o rădăcină reală (sau două rădăcini identice).

3) Ultimul caz este mai interesant în practică - există două puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că există două rădăcini reale ale ecuației.

Pe baza analizei coeficienților la puterile variabilelor se pot trage concluzii interesante despre plasarea parabolei.

1) Dacă coeficientul a este mai mare decât zero, atunci parabola este îndreptată în sus, dacă este negativă, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

2) Dacă coeficientul b este mai mare decât zero, atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng, dacă ia o valoare negativă, atunci în dreapta.

Derivarea unei formule pentru rezolvarea unei ecuații pătratice

Să transferăm constanta din ecuația pătratică

pentru semnul egal, obținem expresia

Înmulțiți ambele părți cu 4a

Pentru a obține un pătrat complet în stânga, adăugați b ^ 2 în ambele părți și efectuați transformarea

De aici găsim

Formula discriminantului și rădăcinilor ecuației pătratice

Discriminantul este valoarea expresiei radicalului.Dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale, calculate prin formula Când discriminantul este zero, ecuația pătratică are o soluție (două rădăcini care coincid), care sunt ușor de obținut din formula de mai sus pentru D=0. Când discriminantul este negativ, nu există rădăcini reale. Cu toate acestea, pentru a studia soluțiile ecuației pătratice în plan complex, iar valoarea lor este calculată prin formula

teorema lui Vieta

Luați în considerare două rădăcini ale unei ecuații pătratice și construiți o ecuație pătratică pe baza lor.Din notație, teorema Vieta însăși decurge cu ușurință: dacă avem o ecuație pătratică de forma atunci suma rădăcinilor sale este egală cu coeficientul p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber q. Formula pentru cele de mai sus va arăta ca Dacă constanta a din ecuația clasică este diferită de zero, atunci trebuie să împărțiți întreaga ecuație cu ea și apoi să aplicați teorema Vieta.

Schema ecuației pătratice pe factori

Să fie stabilită sarcina: să descompunem ecuația pătratică în factori. Pentru a o realiza, mai întâi rezolvăm ecuația (găsește rădăcinile). În continuare, înlocuim rădăcinile găsite în formula de extindere a ecuației pătratice, această problemă va fi rezolvată.

Sarcini pentru o ecuație pătratică

Sarcina 1. Aflați rădăcinile unei ecuații pătratice

x^2-26x+120=0 .

Rezolvare: Notați coeficienții și înlocuiți în formula discriminantă

Rădăcina acestei valori este 14, este ușor să o găsiți cu un calculator sau să o amintiți cu o utilizare frecventă, totuși, pentru comoditate, la sfârșitul articolului vă voi oferi o listă de pătrate de numere care pot fi adesea găsite în astfel de sarcini.
Valoarea găsită este înlocuită în formula rădăcină

și primim

Sarcina 2. rezolva ecuatia

2x2+x-3=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă, scriem coeficienții și găsim discriminantul


Folosind formule binecunoscute, găsim rădăcinile ecuației pătratice

Sarcina 3. rezolva ecuatia

9x2 -12x+4=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă. Determinați discriminantul

Avem cazul când rădăcinile coincid. Găsim valorile rădăcinilor prin formula

Sarcina 4. rezolva ecuatia

x^2+x-6=0 .

Soluție: În cazurile în care există coeficienți mici pentru x, este indicat să se aplice teorema Vieta. Prin condiția sa, obținem două ecuații

Din a doua condiție, obținem că produsul trebuie să fie egal cu -6. Aceasta înseamnă că una dintre rădăcini este negativă. Avem următoarea pereche posibilă de soluții(-3;2), (3;-2) . Ținând cont de prima condiție, respingem a doua pereche de soluții.
Rădăcinile ecuației sunt

Sarcina 5. Aflați lungimile laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul acestuia este de 18 cm și aria este de 77 cm 2.

Rezolvare: Jumătate din perimetrul unui dreptunghi este egal cu suma laturilor adiacente. Să notăm x - partea mai mare, apoi 18-x este latura sa mai mică. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul acestor lungimi:
x(18x)=77;
sau
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Aflați discriminantul ecuației

Calculăm rădăcinile ecuației

În cazul în care un x=11, apoi 18x=7 , viceversa este de asemenea adevărată (dacă x=7, atunci 21-x=9).

Problema 6. Factorizați ecuația pătratică 10x 2 -11x+3=0.

Rezolvare: Calculați rădăcinile ecuației, pentru aceasta găsim discriminantul

Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcinilor și calculăm

Aplicam formula de extindere a ecuatiei patratice in termeni de radacini

Extindem parantezele, obținem identitatea.

Ecuație pătratică cu parametru

Exemplul 1. Pentru ce valori ale parametrului A , ecuația (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 are o rădăcină?

Rezolvare: Prin înlocuirea directă a valorii a=3, vedem că nu are soluție. În plus, vom folosi faptul că, cu un discriminant zero, ecuația are o rădăcină a multiplicității 2. Să scriem discriminantul

simplificați-l și echivalați cu zero

Am obținut o ecuație pătratică față de parametrul a, a cărei soluție este ușor de obținut folosind teorema Vieta. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul lor este 12. Prin simpla enumerare, stabilim ca numerele 3.4 vor fi radacinile ecuatiei. Deoarece am respins deja soluția a = 3 la începutul calculelor, singura corectă va fi - a=4. Astfel, pentru a = 4, ecuația are o rădăcină.

Exemplul 2. Pentru ce valori ale parametrului A , ecuația a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 are mai multe rădăcini?

Soluție: Luați în considerare mai întâi punctele singulare, acestea vor fi valorile a=0 și a=-3. Când a=0, ecuația va fi simplificată la forma 6x-9=0; x=3/2 și va fi o rădăcină. Pentru a= -3 obținem identitatea 0=0 .
Calculați discriminantul

și găsiți valorile lui a pentru care este pozitiv

Din prima condiție obținem a>3. Pentru al doilea, găsim discriminantul și rădăcinile ecuației


Să definim intervalele în care funcția ia valori pozitive. Inlocuind punctul a=0 obtinem 3>0 . Deci, în afara intervalului (-3; 1/3) funcția este negativă. Nu uitați punctul a=0 care ar trebui exclus, deoarece ecuația originală are o rădăcină în ea.
Ca rezultat, obținem două intervale care satisfac condiția problemei

Vor exista multe sarcini similare în practică, încercați să vă ocupați singur de sarcini și nu uitați să țineți cont de condițiile care se exclud reciproc. Studiați bine formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice, ele sunt destul de des necesare în calcule în diverse probleme și științe.