Întrucât zonele indicate sunt, respectiv, egale

S∆OAC=0,5∙OC∙OA păcat α= 0,5sinα, S sect. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α=0,5α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙BC= 0,5tga.

Prin urmare,

sinα< α < tg α.

Împărțim toți termenii inegalității la sin α > 0: .

Dar . Prin urmare, pe baza teoremei 4 asupra limitelor, concluzionăm că formula derivată se numește prima limită remarcabilă.

Astfel, prima limită remarcabilă servește la dezvăluirea incertitudinii. Rețineți că formula rezultată nu trebuie confundată cu limitele Exemple.

11.Limita și limitele aferente.

A DOUA LIMITĂ REMARCABILĂ

A doua limită remarcabilă servește la relevarea incertitudinii 1 ∞ și arată astfel

Să fim atenți la faptul că în formula pentru a doua limită remarcabilă, exponentul trebuie să conțină o expresie opusă celei care se adaugă unității din bază (deoarece în acest caz este posibil să se introducă o modificare de variabile și reduceți limita dorită la a doua limită remarcabilă)

Exemple.

1. Funcție f(x)=(X-1) 2 este infinit mic pentru X→1, deoarece (vezi Fig.).

2. Funcția f(x)=tg X este infinit de mic la X→0.

3. f(x)= log(1+ X) este infinit mic la X→0.

4. f(x) = 1/X este infinit de mic la X→∞.

Să stabilim următoarea relație importantă:

Teorema. Dacă funcţia y=f(x) reprezentabil la x→a ca sumă a unui număr constant bși infinit de mici α(x): f(x)=b+ α(x) apoi .

În schimb, dacă , atunci f(x)=b+α(x), Unde topor) este infinit de mic la x→a.

Dovada.

1. Să demonstrăm prima parte a aserției. Din egalitate f(x)=b+α(x) ar trebui să |f(x) – b|=| α|. Dar de atunci topor) este infinitezimal, atunci pentru ε arbitrar există δ, o vecinătate a punctului A, pentru toți X din care, valori topor) satisface relația |α(x)|< ε. Apoi |f(x) – b|< ε. Și asta înseamnă că .

2. Dacă , atunci pentru orice ε >0 pentru toți X din unele δ este o vecinătate a punctului A va fi |f(x) – b|< ε. Dar dacă denotăm f(x) – b= α, apoi |α(x)|< ε, ceea ce înseamnă că A- infinit de mici.

Să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcțiilor infinitezimale.

Teorema 1. Suma algebrică a doi, trei și, în general, orice număr finit de infinitezimale este o funcție infinitezimală.

Dovada. Să dăm o dovadă pentru doi termeni. Lăsa f(x)=α(x)+β(x), unde și . Trebuie să demonstrăm că pentru ε arbitrar arbitrar mic > 0 acolo δ> 0, astfel încât pt X satisfacerea inegalitatii |x- a|<δ , efectuat |f(x)|< ε.

Astfel, fixăm un număr arbitrar ε > 0. Deoarece, conform ipotezei teoremei, α(x) este o funcție infinitezimală, atunci există δ 1 > 0, care la |x – a|< δ 1 avem |α(x)|< ε / 2. La fel, din moment ce β(x) este infinitezimal, atunci există un astfel de δ 2 > 0, care la |x – a|< δ 2 avem | β(x)|< ε / 2.

Hai sa luam δ=min(δ1 , δ2 } .Apoi într-o vecinătate a punctului A rază δ fiecare dintre inegalităţi va fi satisfăcută |α(x)|< ε / 2 și | β(x)|< ε / 2. Prin urmare, în acest cartier va exista

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

acestea. |f(x)|< ε, care trebuia demonstrat.

Teorema 2. Produsul unei funcții infinitezimale topor) pentru o funcție limitată f(x) la x→a(sau când x→∞) este o funcție infinitezimală.

Dovada. Din moment ce funcţia f(x) este limitat, atunci există un număr M astfel încât pentru toate valorile X dintr-o vecinătate a punctului a|f(x)|≤M.În plus, din moment ce topor) este o funcție infinitezimală pentru x→a, apoi pentru ε arbitrar > 0 există o vecinătate a punctului A, în care inegalitatea |α(x)|< ε /M. Apoi, în cel mai mic dintre aceste cartiere avem | αf|< ε /M= ε. Și asta înseamnă că af- infinit de mici. Pentru ocazie x→∞ dovada se realizează în mod similar.

Din teorema demonstrată rezultă:

Consecința 1. Dacă și atunci

Consecința 2. Dacă și c= const, atunci .

Teorema 3. Raportul unei funcții infinitezimale α(x) pe funcție f(x), a cărei limită este diferită de zero, este o funcție infinitezimală.

Dovada. Lăsa . Apoi 1 /f(x) există o funcție limitată. Prin urmare, o fracție este un produs al unei funcții infinitezimale și al unei funcții mărginite, i.e. funcția este infinitezimală.

Exemple.

1. Este clar că pt x→+∞ funcţie y=x 2 + 1 este infinit. Dar apoi, conform teoremei formulate mai sus, funcția este infinitezimală la x→+∞, adică .

Teorema inversă poate fi de asemenea demonstrată.

Teorema 2. Dacă funcţia f(x)- infinit mic la x→a(sau x→∞)și nu dispare, atunci y= 1/f(x) este o funcție infinită.

Demonstrați singur teorema.

Exemple.

3. , deoarece funcțiile și sunt infinitezimale pentru x→+∞, atunci ca suma funcțiilor infinitezimale este o funcție infinitezimală. O funcție este suma unui număr constant și a unei funcții infinit de mici. Prin urmare, prin teorema 1, pentru funcții infinitezimale obținem egalitatea dorită.

Astfel, cele mai simple proprietăți ale funcțiilor infinit de mici și infinit de mari pot fi scrise folosind următoarele relații condiționate: A≠ 0

13. Funcții infinit de mici de același ordin, echivalent infinit de mici.

Funcții infinit de mici și se numesc infinitezimale de același ordin de micime dacă , notează . Și, în sfârșit, dacă nu există, atunci funcțiile infinitezimale și sunt incomparabile.

EXEMPLU 2. Compararea funcţiilor infinitezimale

Funcții infinitezimale echivalente.

Dacă , atunci funcțiile infinitezimale și sunt numite echivalent, notează ~ .

Funcții echivalente local:

Când dacă

Câteva echivalențe(la ):

Limite unilaterale.

Până acum, am luat în considerare definiția limitei unei funcții când x→aîn mod arbitrar, adică limita funcției nu depindea de modul în care X către A, la stânga sau la dreapta A. Cu toate acestea, este destul de comun să găsiți funcții care nu au nicio limită în această condiție, dar au o limită dacă x→a, rămânând pe o parte a A, stânga sau dreapta (vezi fig.). Prin urmare, este introdus conceptul de limite unilaterale.

În cazul în care un f(x) tinde spre limită b la X străduindu-se pentru un număr A asa de X ia doar valori mai mici decât A, apoi scrieți și sunați blimita funcției f(x) în punctul a din stânga.

Deci numărul b se numește limita funcției y=f(x) la x→aîn stânga, dacă există un număr pozitiv ε, există un număr δ (mai mic decât A

În mod similar, dacă x→ași capătă valori mari A, apoi scrieți și sunați b limita funcției într-un punct A pe dreapta. Acestea. număr b numit limita funcției y=f(x) la x→a din dreapta, dacă există un număr pozitiv ε, există un astfel de număr δ (mai mare decât A) că inegalitatea este valabilă pentru toți .

Rețineți că dacă limitele sunt stânga și dreapta într-un punct A pentru functie f(x) nu se potrivesc, atunci funcția nu are limită (bilaterală) la punctul respectiv A.

Exemple.

1. Luați în considerare funcția y=f(x), definit pe segment după cum urmează

Să găsim limitele funcției f(x) la x→ 3. Evident, a

Cu alte cuvinte, pentru orice număr arbitrar mic de epsiloni, există o astfel de deltă, în funcție de epsiloni, încât din faptul că pentru orice x care satisface inegalitatea rezultă că diferența dintre valorile funcției în aceste puncte va fi arbitrar mic.

Criteriul pentru continuitatea unei funcții într-un punct:

Funcţie va fi continuu la punctul A dacă și numai dacă este continuă în punctul A atât la dreapta cât și la stânga, adică pentru ca două limite unilaterale să existe în punctul A, ele sunt egale între ele și egale cu valoarea funcția la punctul A.

Definiția 2: Funcția este continuă pe un set dacă este continuu în toate punctele acestui set.

Derivată a unei funcții într-un punct

Fie dat să fie definit într-o vecinătate de . Considera

Dacă această limită există, atunci se numește derivata functiei f in punctul .

Derivată de funcție- limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, când argumentul este incrementat.

Operația de calcul sau găsire a derivatei într-un punct se numește diferenţiere .

Reguli de diferențiere.

derivat funcții f(x) la punct x=x 0 este raportul dintre incrementul funcției în acest punct și incrementul argumentului, deoarece acesta din urmă tinde spre zero.Găsirea derivatei se numește diferenţiere. Derivata unei functii se calculeaza dupa regula generala de diferentiere: Notam f(x) = u, g(x) = v- functii diferentiabile la un punct X. Reguli de bază de diferențiere 1) (derivata sumei este egală cu suma derivatelor) 2) (deci, în special, rezultă că derivata produsului unei funcții și unei constante este egală cu produsul derivatei acestei funcții printr-o constantă) 3) Derivată a unui coeficient: dacă g  0 4) Derivată a unei funcții complexe: 5) Dacă funcția este setată parametric: , atunci

Exemple.

1. y = X A - functie de putere cu un indice arbitrar.

Funcție implicită

Dacă funcția este dată de ecuația y=ƒ(x) rezolvată în raport cu y, atunci funcția este dată explicit (funcție explicită).

Sub atribuire implicită funcțiile înțeleg alocarea unei funcții sub forma unei ecuații F(x;y)=0, nepermisă în raport cu y.

Orice funcție dată explicit y=ƒ(x) poate fi scrisă implicit dat de ecuaţieƒ(x)-y=0, dar nu invers.

Nu este întotdeauna ușor, și uneori imposibil, să rezolvi o ecuație pentru y (de exemplu, y+2x+cozy-1=0 sau 2y-x+y=0).

Dacă funcția implicită este dată de ecuația F(x; y)=0, atunci pentru a găsi derivata lui y față de x nu este nevoie să rezolvăm ecuația față de y: este suficient să diferențiem această ecuație față de x, considerând y în funcție de x,și apoi rezolvați ecuația rezultată în raport cu y”.

Derivata unei functii implicite este exprimata in termenii argumentului x si functiei y.

Exemplu:

Aflați derivata funcției y dată de ecuația x 3 +y 3 -3xy=0.

Rezolvare: Funcția y este implicit definită. Diferențierea față de x egalitatea x 3 +y 3 -3xy=0. Din raportul rezultat

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

rezultă că y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, adică y "= (y-x 2) / (y 2 -x).

Derivate de ordin superior

Este clar că derivatul

funcții y=f(x) exista si o functie de la X:

y"=f" (x)

Dacă funcţia f"(x) este diferentiabila, atunci derivata sa este notata prin simbol y""=f""(x) x de două ori.
Derivata derivatei a doua, i.e. funcții y""=f""(x), se numește derivata a treia a funcției y=f(x) sau derivată a funcției f(x) de ordinul treiși este simbolizat

În general n-i derivat sau derivat n-funcția de ordine y=f(x) notate prin simboluri

F-la Leibniz:

Să presupunem că funcțiile și sunt diferențiabile împreună cu derivatele lor până la ordinul al n-lea inclusiv. Aplicând regula de diferențiere a produsului a două funcții, obținem

Să comparăm aceste expresii cu puterile binomului:

Regula corespondenței este izbitoare: pentru a obține o formulă pentru derivata ordinului 1, 2 sau 3 din produsul funcțiilor și , trebuie să înlocuiți gradele și în expresia pentru (unde n= 1,2,3) derivate ale ordinelor corespunzătoare. În plus, puterile zero ale și ar trebui înlocuite cu derivate ordinul zero, adică prin ele funcțiile și:

Generalizarea acestei reguli la cazul unei derivate de ordin arbitrar n, primim formula Leibniz,

unde sunt coeficienții binomi:

teorema lui Rolle.

Această teoremă face posibilă găsirea punctelor critice și apoi, cu ajutorul unor condiții suficiente, investigarea f-th pentru extrema.

Fie 1) a f-a f(x) definită și continuă pe un interval închis; 2) există o derivată finită, cel puţin în intervalul deschis (a;b); 3) la capete intervalul f-i ia valori egale f(a) = f(b). Atunci între punctele a și b există un astfel de punct c încât derivata în acest punct va fi = 0.

Conform teoremei asupra proprietății f-ilor care sunt continue pe un segment, f-a f(x) ia pe acest segment valorile sale maxime și minime.

f (x 1) \u003d M - max, f (x 2) \u003d m - min; x 1 ;x 2 О

1) Fie M = m, i.e. m £ f(x) £ M

Þ f-a f(x) va lua intervalul de la a la b valori constante, iar Þ derivata sa va fi egală cu zero. f'(x)=0

2) Fie M>m

pentru că prin condițiile teoremei, f(a) = f(b) z este cel mai mic sau cel mai mare a-a valoare va lua nu la capetele segmentului, ci Þ va lua M sau m într-un punct interior al acestui segment. Apoi prin teorema lui Fermat f'(c)=0.

teorema lui Lagrange.

Formula cu incrementare finită sau Teorema valorii medii Lagrange afirmă că dacă funcţia f continuu pe segmentul [ A;b] și diferențiabilă în intervalul ( A;b), atunci există un punct astfel încât

teorema lui Cauchy.

Dacă funcțiile f(x) și g(x) sunt continue pe interval și diferențiabile pe intervalul (a, b) și g¢(x) ¹ 0 pe intervalul (a, b), atunci există cel puțin un punctul e, a< e < b, такая, что

Acestea. raportul incrementelor de funcții pe un segment dat este egal cu raportul derivatelor la punctul e. Exemple de rezolvare a problemelor curs de prelegeri Calculul volumului corporal prin piețe celebre a lui secțiuni paralele Calcul integral

Exemple de lucru de curs Inginerie Electrică

Pentru a demonstra această teoremă, la prima vedere, este foarte convenabil să folosiți teorema lui Lagrange. Scrieți formula diferențelor finite pentru fiecare funcție și apoi împărțiți-le unul la altul. Cu toate acestea, acest punct de vedere este eronat, deoarece punctul e pentru fiecare dintre funcții este în general diferit. Desigur, în unele cazuri speciale acest punct de interval poate fi același pentru ambele funcții, dar aceasta este o coincidență foarte rară, nu o regulă și, prin urmare, nu poate fi folosită pentru a demonstra teorema.

Dovada. Luați în considerare funcția de ajutor

Când x→x 0, valoarea lui c tinde de asemenea spre x 0; să trecem în egalitatea anterioară la limita:

pentru că , apoi .

De aceea

(limita raportului a două infinitezimale este egală cu limita raportului derivatelor lor, dacă aceasta din urmă există)

Regula lui L'Hopital, la ∞ / ∞.

Rețineți că toate definițiile implică o mulțime numerică X, care face parte din domeniul funcției: X cu D(f). În practică, cel mai adesea există cazuri când X - intervalul numeric(segment, interval, rază etc.).

Definiția 1.

O funcție y \u003d f (x) se numește crescătoare pe o mulțime X cu D (f) dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 ale mulțimii X astfel încât x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definiția 2.

O funcție y \u003d f (x) se numește descrescătoare pe o mulțime X cu D (f) dacă pentru orice monotonitate a două puncte x 1 și x 2 ale mulțimii X, astfel încât x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

În practică, este mai convenabil să se utilizeze următoarele formulări: funcția crește dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mari a funcției; funcția este în scădere dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii mai mici a funcției.

În clasele a VII-a și a VIII-a am folosit următoarea interpretare geometrică a conceptelor de funcții crescătoare sau descrescătoare: deplasându-ne de-a lungul graficului unei funcții crescătoare de la stânga la dreapta, urcăm oarecum pe deal (Fig. 55); deplasându-se de-a lungul graficului unei funcții descrescătoare de la stânga la dreapta, de parcă am coborî un deal (Fig. 56).
De obicei termenii „funcție crescătoare”, „funcție descrescătoare” sunt uniți prin denumirea comună funcție monotonă, iar studiul unei funcții de creștere sau descreștere se numește studiul unei funcții pentru monotonitate.

Mai remarcăm o împrejurare: dacă o funcție este în creștere (sau în scădere) în domeniul său natural de definire, atunci se spune de obicei că funcția este în creștere (sau în scădere) - fără a specifica mulțimea numerică X.

Exemplul 1

Examinați funcția pentru monotonitate:

A) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Soluţie:

a) Luați valori arbitrare ale argumentului x 1 și x 2 și fie x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Ultima inegalitate înseamnă că f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Deci de la x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), ceea ce înseamnă că funcția dată este descrescătoare (pe întreaga linie numerică).

Definiția 3.

Funcția y - f(x) se numește mărginită de jos pe mulțimea X cu D (f) dacă toate valorile funcției de pe mulțimea X sunt mai mari decât un anumit număr (cu alte cuvinte, dacă există un numărul m astfel încât pentru orice valoare x є X inegalitatea f( x) >m).

Definiția 4.

Funcția y \u003d f (x) se numește mărginită de sus pe mulțimea X cu D (f) dacă toate valorile funcției sunt mai mici decât un anumit număr (cu alte cuvinte, dacă există un număr M astfel încât pentru orice valoare x є X inegalitatea f (x)< М).

Dacă mulțimea X nu este specificată, atunci se presupune că funcția este mărginită de jos sau de sus în întregul domeniu de definiție.

Dacă o funcție este mărginită atât de jos, cât și de sus, atunci se numește mărginită.

Mărginirea unei funcții este ușor de citit din graficul său: dacă funcția este mărginită de jos, atunci graficul său este situat în întregime deasupra unei linii orizontale y \u003d m (Fig. 57); dacă funcția este mărginită de sus, atunci graficul său este situat în întregime sub o linie orizontală y \u003d M (Fig. 58).

Exemplul 2 Investigați o funcție pentru delimitare
Soluţie. Pe de o parte, inegalitatea este destul de evidentă (prin definiție rădăcină pătrată Aceasta înseamnă că funcția este mărginită de jos. Pe de altă parte, avem și prin urmare
Aceasta înseamnă că funcția este mărginită de sus. Acum priviți graficul funcției date (Fig. 52 din paragraful anterior). Mărginirea funcției atât de sus, cât și de jos se citește destul de ușor din grafic.

Definiția 5.

Numărul m se numește cea mai mică valoare a funcției y \u003d f (x) pe mulțimea X C D (f), dacă:

1) în X există un astfel de punct x 0 încât f(x 0) = m;

2) pentru tot x din X este îndeplinită inegalitatea m>f(х 0).

Definiția 6.

Numărul M se numește cea mai mare valoare a funcției y \u003d f (x) din mulțimea X C D (f), dacă:
1) în X există un astfel de punct x 0 încât f(x 0) = M;
2) pentru tot x din X, inegalitatea
Am notat cea mai mică valoare a funcției atât în ​​clasele a VII-a, cât și a VIII-a cu simbolul y, iar cea mai mare valoare cu simbolul y.

Dacă mulțimea X nu este specificată, atunci se presupune că vorbim despre găsirea celui mai mic sau cea mai mare valoare funcţionează în întregul domeniu al definiţiei.

Următoarele afirmații utile sunt destul de evidente:

1) Dacă o funcție are Y, atunci este mărginită de jos.
2) Dacă o funcție are Y, atunci este mărginită de sus.
3) Dacă funcția nu este mărginită mai jos, atunci Y nu există.
4) Dacă funcția nu este mărginită de sus, atunci Y nu există.

Exemplul 3

Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții
Soluţie.

Este destul de evident, mai ales dacă recurgeți la graficul funcției (Fig. 52), că \u003d 0 (funcția atinge această valoare în punctele x \u003d -3 și x \u003d 3), a \u003d 3 (la funcția atinge această valoare în punctul x \u003d 0.
În clasa a VII-a și a VIII-a, am menționat încă două proprietăți ale funcțiilor. Prima a fost numită proprietatea de convexitate a unei funcții. Se consideră că o funcție este convexă în jos pe intervalul X dacă, conectând oricare două puncte ale graficului său (cu abscisele din X) cu un segment de dreaptă, aflăm că partea corespunzătoare a graficului se află sub segmentul desenat ( Fig. 59). continuitate O funcție este convexă în sus pe intervalul X dacă, conectând oricare două puncte ale graficului său (cu abscisele din X) printr-un segment de linie dreaptă, aflăm că partea corespunzătoare a graficului se află deasupra segmentului desenat (Fig. 60). ).

A doua proprietate - continuitatea functiei pe intervalul X - inseamna ca graficul functiei pe intervalul X este continuu, i.e. nu are intepaturi si sarituri.

Cometariu.

De fapt, în matematică, totul este, după cum se spune, „exact opusul”: graficul unei funcții este reprezentat ca o linie continuă (fără înțepături și sărituri) numai atunci când se dovedește continuitatea funcției. Dar definiția formală a continuității unei funcții, care este destul de complexă și subtilă, depășește încă puterile noastre. Același lucru se poate spune despre convexitatea unei funcții. Discutând aceste două proprietăți ale funcțiilor, vom continua să ne bazăm pe reprezentări vizual-intuitive.

Acum să ne revizuim cunoștințele. Amintindu-ne de funcțiile pe care le-am studiat în clasele a VII-a și a VIII-a, vom clarifica modul în care arată graficele acestora și vom enumera proprietățile funcției, respectând o anumită ordine, de exemplu: domeniul de definiție; monoton; prescripţie; , ; continuitate; intervalul de valori; convex.

Ulterior, vor apărea noi proprietăți ale funcțiilor, iar lista de proprietăți se va modifica în consecință.

1. Funcția constantă y \u003d C

Graficul funcției y \u003d C este prezentat în fig. 61 - linie dreaptă, paralelă cu axa x. Aceasta este o funcție atât de neinteresantă încât nu are sens să-i enumerați proprietățile.

Graficul funcției y \u003d kx + m este o linie dreaptă (Fig. 62, 63).

Proprietățile funcției y \u003d kx + m:

1)
2) crește dacă k > 0 (Fig. 62), scade dacă k< 0 (рис. 63);

4) nu există nici cel mai mare nici cele mai mici valori;
5) funcția este continuă;
6)
7) nu are sens să vorbim despre convexitate.

Graficul funcției y \u003d kx 2 este o parabolă cu un vârf la origine și cu ramuri îndreptate în sus dacă k\u003e O (Fig. 64) și în jos dacă k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Proprietățile funcției y - kx 2:

Pentru cazul k > 0 (Fig. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = nu există;
5) continuu;
6) Е(f) = funcţia scade, iar pe intervalul , scade pe rază;
7) convex în sus.

Graficul funcției y \u003d f (x) este construit punct cu punct; cu cât luăm mai multe puncte din forma (x; f (x)), cu atât avem o idee mai exactă a graficului. Dacă luăm multe dintre aceste puncte, atunci ideea graficului va fi mai completă. În acest caz, intuiția ne spune că graficul trebuie trasat ca o linie continuă (în acest caz, ca o parabolă). Și apoi, citind graficul, tragem concluzii despre continuitatea funcției, despre convexitatea acesteia în jos sau în sus, despre intervalul funcției. Trebuie să înțelegeți că dintre cele șapte proprietăți enumerate, numai proprietățile 1), 2), 3), 4) sunt „legale” în sensul că le putem fundamenta prin referire la definiții precise. Avem doar reprezentări vizual-intuitive despre proprietățile rămase. Apropo, nu e nimic rău în asta. Din istoria dezvoltării matematicii, se știe că omenirea a folosit adesea și multă vreme diverse proprietăți ale anumitor obiecte, necunoscând definițiile exacte. Apoi, când astfel de definiții au putut fi formulate, totul a căzut la loc.

Graficul funcției este o hiperbolă, axele de coordonate servesc ca asimptote ale hiperbolei (Fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) dacă k > 0, atunci funcţia scade pe raza deschisă (-oo, 0) şi pe raza deschisă (0, +oo) (Fig. 66); dacă să< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nu este limitat nici de jos, nici de sus;
4) nu există nici cele mai mici, nici cele mai mari valori;
5) funcţia este continuă pe raza deschisă (-oo, 0) şi pe raza deschisă (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) dacă k > 0, atunci funcția este convexă în sus la x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, adică pe grinda deschisă (0, +oo) (Fig. 66). Dacă să< 0, то функция выпукла вверх при х >o și convex în jos la x< О (рис. 67).
Graficul funcției este o ramură a parabolei (Fig. 68). Proprietățile funcției:
1) D(f) = , crește pe rază. Pe acest segment $16-x^2≤16$ sau $\sqrt(16-x^2)≤4$, dar aceasta înseamnă limite de sus.
Răspuns: funcția noastră este limitată de două linii $y=0$ și $y=4$.

Valoarea cea mai mare și cea mai mică

Cea mai mică valoare a funcției y= f(x) din mulțimea Х⊂D(f) este un număr m, astfel încât:

b) Pentru orice xϵX, $f(x)≥f(x0)$ este valabil.

Cea mai mare valoare a funcției y=f(x) pe mulțimea Х⊂D(f) este un număr m, astfel încât:
a) Există un x0 astfel încât $f(x0)=m$.
b) Pentru orice xϵX, $f(x)≤f(x0)$ este satisfăcut.

Valoarea cea mai mare și cea mai mică este de obicei notă cu y max. și numele y. .

Conceptele de mărginire și cea mai mare cu cea mai mică valoare a unei funcții sunt strâns legate. Următoarele afirmații sunt adevărate:
a) Dacă există o valoare cea mai mică pentru o funcție, atunci aceasta este mărginită de jos.
b) Dacă există o valoare maximă pentru o funcție, atunci aceasta este mărginită de sus.
c) Dacă funcția nu este mărginită de sus, atunci nu există o valoare maximă.
d) Dacă funcția nu este mărginită mai jos, atunci cea mai mică valoare nu există.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rezolvare: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Pentru $x=4$ $f(4)=5$, pentru toate celelalte valori, funcția ia valori mai mici sau nu există, adică aceasta este cea mai mare valoare a funcției.
Prin definiție: $9-4x^2+16x≥0$. Să găsim rădăcinile trinom pătrat$(2x+1)(2x-9)≥0$. La $x=-0,5$ și $x=4,5$ funcția dispare, în toate celelalte puncte este mai mare decât zero. Atunci, prin definiție, cea mai mică valoare a funcției este zero.
Răspuns: y max. =5 și y min. =0.

Băieți, am studiat și conceptele de convexitate a unei funcții. Când rezolvăm unele probleme, este posibil să avem nevoie de această proprietate. Această proprietate este, de asemenea, ușor de determinat folosind grafice.

Funcția este convexă în jos dacă oricare două puncte ale graficului funcției originale sunt conectate, iar graficul funcției este sub linia care leagă punctele.

Funcția este convexă în sus dacă oricare două puncte ale graficului funcției originale sunt conectate, iar graficul funcției este deasupra liniei care leagă punctele.

O funcție este continuă dacă graficul funcției noastre nu are discontinuități, cum ar fi graficul funcției de mai sus.

Dacă doriți să găsiți proprietățile unei funcții, atunci succesiunea de căutare a proprietăților este următoarea:
a) Domeniul de definire.
b) Monotonia.
c) limitare.
d) Cea mai mare și cea mai mică valoare.
e) Continuitate.
f) Gama de valori.

Aflați proprietățile funcției $y=-2x+5$.
Soluţie.
a) Domeniul definiției D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonia. Să verificăm orice valori x1 și x2 și să fie x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Pentru că x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) limitare. Evident, funcția nu este limitată.
d) Cea mai mare și cea mai mică valoare. Deoarece funcția nu este mărginită, nu există o valoare maximă sau minimă.
e) Continuitate. Graficul funcției noastre nu are goluri, atunci funcția este continuă.
f) Gama de valori. E(y)=(-∞;+∞).

Sarcini privind proprietățile unei funcții pentru soluție independentă

Teorema limitei funcţie monotonă. Demonstrarea teoremei este dată prin două metode. Sunt date și definițiile funcțiilor strict crescătoare, nedescrescătoare, strict descrescătoare și necrescătoare. Definiția unei funcții monotone.

Definiții

Definiții ale funcțiilor crescătoare și descrescătoare
Fie funcția f (X) este definită pe un set de numere reale X .
Funcția este numită strict în creștere (strict în scădere), dacă pentru toate x′, x′′ ∈ X astfel încât x′< x′′ выполняется неравенство:
f (X')< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Funcția este numită nedescrescător (necrescător), dacă pentru toate x′, x′′ ∈ X astfel încât x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Aceasta implică faptul că o funcție strict crescătoare este, de asemenea, nedescrescătoare. O funcție strict descrescătoare nu este, de asemenea, în creștere.

Definiția unei funcții monotone
Funcția este numită monoton dacă nu este în scădere sau în creştere.

Pentru a studia monotonitatea unei funcții pe o mulțime X, trebuie să găsiți diferența valorilor sale în două puncte arbitrare aparținând acestei mulțimi. Dacă , atunci funcția este strict crescătoare; dacă , atunci funcția nu scade; dacă , atunci scade strict; dacă , atunci nu crește.

Dacă pe o anumită mulțime funcția este pozitivă: , atunci pentru a determina monotonitatea, se poate investiga câtul de împărțire a valorilor sale în două puncte arbitrare ale acestei mulțimi. Dacă , atunci funcția este strict crescătoare; dacă , atunci funcția nu scade; dacă , atunci scade strict; dacă , atunci nu crește.

Teorema
Fie funcția f (X) nu scade pe interval (a,b), Unde .
Dacă este mărginită de sus de numărul M : , atunci există o limită stângă finită în punctul b : . Dacă f (X) nemărginit deasupra, atunci .
Dacă f (X) este mărginită de jos de numărul m : , atunci există o limită dreaptă finită în punctul a : . Dacă f (X) nemărginit mai jos, atunci .

Dacă punctele a și b sunt la infinit, atunci în expresii semnele limită înseamnă că .
Această teoremă poate fi formulată mai compact.

Fie funcția f (X) nu scade pe interval (a,b), Unde . Atunci există limite unilaterale în punctele a și b:
;
.

O teoremă similară pentru o funcție care nu crește.

Fie ca funcția să nu crească pe intervalul , unde . Apoi există limite unilaterale:
;
.

Consecinţă
Fie funcția monotonă pe intervalul . Apoi, în orice punct din acest interval, există limite finite unilaterale ale funcției:
și .

Demonstrarea teoremei

Funcția nu scade

b - numărul final

Funcție limitată de sus

1.1.1. Fie ca funcția să fie mărginită de sus de numărul M : pentru .

.
;
.

Deoarece funcția nu scade, atunci pentru . Apoi
la .
Să transformăm ultima inegalitate:
;
;
.
Pentru că atunci . Apoi
la .

la .
„Definițiile limitelor unilaterale ale unei funcții la un punct finit”).

Funcția nu este limitată de sus

1. Lăsați funcția să nu scadă pe intervalul .
1.1. Fie numărul b finit: .
1.1.2. Fie funcția nemărginită de sus.
Să demonstrăm că în acest caz există o limită.

.

la .

Să notăm. Atunci pentru orice există , astfel încât
la .
Aceasta înseamnă că limita din stânga la punctul b este (vezi „Definițiile limitelor infinite unilaterale ale unei funcții la punctul final”).

b timpuriu plus infinit

Funcție limitată de sus

1. Lăsați funcția să nu scadă pe intervalul .
1.2.1. Fie ca funcția să fie mărginită de sus de numărul M : pentru .
Să demonstrăm că în acest caz există o limită.

Deoarece funcția este mărginită de sus, există o limită superioară finită
.
Conform definiției celei mai mici limite superioare, sunt îndeplinite următoarele condiții:
;
pentru orice pozitiv există un argument pentru care
.

Deoarece funcția nu scade, atunci pentru . Apoi la . Sau
la .

Deci am descoperit că pentru orice există un număr , astfel încât
la .
„Definițiile limitelor unilaterale la infinit”).

Funcția nu este limitată de sus

1. Lăsați funcția să nu scadă pe intervalul .
1.2. Fie numărul b plus infinit: .
1.2.2. Fie funcția nemărginită de sus.
Să demonstrăm că în acest caz există o limită.

Deoarece funcția nu este mărginită de sus, atunci pentru orice număr M există un argument , pentru care
.

Deoarece funcția nu scade, atunci pentru . Apoi la .

Deci, pentru orice există un număr, astfel încât
la .
Aceasta înseamnă că limita la este (vezi „Definițiile limitelor infinite unilaterale la infinit”).

Funcția nu crește

Acum luați în considerare cazul în care funcția nu crește. Puteți, ca mai sus, să luați în considerare fiecare opțiune separat. Dar le vom acoperi imediat. Pentru aceasta folosim . Să demonstrăm că în acest caz există o limită.

Luați în considerare limita inferioară finită a setului de valori ale funcției:
.
Aici B poate fi fie un număr finit, fie un punct la infinit. Conform definiției infimului exact, sunt îndeplinite următoarele condiții:
;
pentru orice vecinătate a punctului B există un argument pentru care
.
După condiția teoremei, . De aceea .

Deoarece funcția nu crește, atunci pentru . De atunci
la .
Sau
la .
Mai mult, observăm că inegalitatea definește vecinătatea punctată din stânga a punctului b .

Deci, am descoperit că pentru orice vecinătate a punctului , există o astfel de vecinătate din stânga perforată a punctului b încât
la .
Aceasta înseamnă că limita din stânga la punctul b este:

(vezi definiția universală a limitei unei funcții după Cauchy).

Limita la punctul a

Acum să arătăm că există o limită în punctul a și să găsim valoarea acesteia.

Să luăm în considerare o funcție. După condiția teoremei, funcția este monotonă pentru . Să înlocuim variabila x cu - x (sau să facem înlocuirea și apoi să înlocuim variabila t cu x ). Atunci funcția este monotonă pentru . Înmulțirea inegalităților cu -1 iar schimbându-le ordinea, ajungem la concluzia că funcția este monotonă pentru .

În mod similar, este ușor să arăți că dacă nu scade, atunci nu crește. Apoi, conform celor dovedite mai sus, există o limită
.
Dacă nu crește, atunci nu scade. În acest caz, există o limită
.

Acum rămâne să arătăm că dacă există o limită a funcției la , atunci există o limită a funcției la , iar aceste limite sunt egale:
.

Să introducem notația:
(1) .
Să exprimăm f în termeni de g:
.
Luați un număr pozitiv arbitrar. Să existe o vecinătate epsilon a punctului A . Vecinătatea Epsilon este definită atât pentru valorile finite, cât și pentru cele infinite ale lui A (vezi „Vecinătatea unui punct”). Deoarece există o limită (1), atunci, conform definiției unei limite, pentru oricare există astfel încât
la .

Fie a un număr finit. Să exprimăm vecinătatea punctată din stânga a punctului -a folosind inegalitățile:
la .
Să înlocuim x cu -x și să luăm în considerare faptul că:
la .
Ultimele două inegalități definesc o vecinătate dreaptă perforată a punctului a . Apoi
la .

Fie a un număr infinit, . Repetăm ​​discuția.
la ;
la ;
la ;
la .

Așadar, am descoperit că pentru orice există așa ceva
la .
Înseamnă că
.

Teorema a fost demonstrată.

Vom numi funcția y=f(x) BOUNDED UP (BOTTOM) pe mulțimea A din domeniul D(f), dacă există un astfel de număr M , că pentru orice x din acest set condiția

Folosind simboluri logice, definiția poate fi scrisă astfel:

f(x) – delimitat de sus pe platou

(f(x) – delimitat de jos pe platou

Sunt de asemenea introduse în considerare funcțiile mărginite în valoare absolută sau pur și simplu mărginite.

Vom numi o funcție MARȚĂTĂ pe mulțimea A din domeniul definiției dacă există un număr pozitiv M astfel încât

În limbajul simbolurilor logice

f(x) – limitat pe platou

O funcție care nu este mărginită se numește nemărginită. Știm că definițiile date prin negație au puțin conținut. Pentru a formula această aserțiune ca definiție, folosim proprietățile operațiilor de cuantificare (3.6) și (3.7). Apoi, negarea mărginirii funcției în limbajul simbolurilor logice va da:

f(x) – limitat pe platou

Rezultatul obţinut ne permite să formulăm următoarea definiţie.

O funcție se numește NELIMITAT pe mulțimea A, care aparține domeniului funcției, dacă pe această mulțime pentru orice număr pozitiv M există o astfel de valoare a argumentului x , că valoarea va depăși în continuare valoarea lui M, adică .

Ca exemplu, luați în considerare funcția

Este definită pe toată axa reală. Dacă luăm segmentul [–2;1] (mulțimea A), atunci pe el va fi mărginit atât de sus, cât și de jos.

Într-adevăr, pentru a arăta că este mărginit de sus, trebuie să luăm în considerare predicatul

și arătați că există (există) M astfel încât pentru tot x luat pe intervalul [–2;1], acesta va fi adevărat

Nu este greu să găsești un astfel de M. Putem presupune M = 7, cuantificatorul de existență implică găsirea a cel puțin o valoare a lui M. Prezența unui astfel de M confirmă faptul că funcția de pe segmentul [–2;1] este mărginită de sus.

Pentru a demonstra mărginirea sa de jos, trebuie să luăm în considerare predicatul

Valoarea lui M, care asigură adevărul acestui predicat, este, de exemplu, M = -100.

Se poate dovedi că și funcția va fi mărginită modulo: pentru tot x din segmentul [–2;1], valorile funcției coincid cu valorile lui , prin urmare, ca M, putem lua , de exemplu, valoarea anterioară a lui M = 7.

Să arătăm că aceeași funcție, dar pe intervalul , va fi nemărginită, adică

Pentru a arăta că un astfel de x există, luați în considerare afirmația

Căutând valorile necesare ale lui x printre valorile pozitive ale argumentului, obținem

Aceasta înseamnă că, indiferent de ce Mwe luăm pozitiv, valorile lui x care asigură îndeplinirea inegalității

sunt obținute din raport.

Considerând o funcție pe întreaga axă reală, se poate arăta că este nemărginită în valoare absolută.

Într-adevăr, din inegalitate

Adică, indiferent cât de mare este M pozitiv, sau va asigura îndeplinirea inegalității .

FUNCȚIE EXTREMĂ.

Funcția are la punct Cu local maxim (minim) dacă există o astfel de vecinătate a acestui punct care pt X¹ Cu acest cartier satisface inegalitatea

mai ales că punctul extremum poate fi doar un punct intern al golului, iar f(x) trebuie definit în el. Cazurile posibile de absență a unui extremum sunt prezentate în Fig. 8.8.

Dacă o funcție crește (descrește) la un anumit interval și scade (crește) la un anumit interval, atunci punctul Cu este punctul maxim (minim) local.

Absența unui maxim al funcției f(x) într-un punct Cu poate fi formulat astfel:

_______________________

f(x) are un maxim la c

Aceasta înseamnă că dacă punctul c nu este un punct maxim local, atunci indiferent de vecinătatea care include punctul c ca unul interior, există cel puțin o valoare a lui x diferită de c, pentru care . Astfel, dacă nu există un maxim în punctul c, atunci poate să nu existe deloc un extremum în acest punct sau poate fi un punct minim (Fig. 8.9).

Conceptul de extremum oferă o evaluare comparativă a valorii unei funcții în orice punct în raport cu cele din apropiere. O comparație similară a valorilor funcției poate fi făcută pentru toate punctele unui interval.

Cea mai MARE (MINIMĂ) valoare a unei funcții dintr-o mulțime este valoarea acesteia la un punct din această mulțime astfel încât – pentru . Cea mai mare valoare a funcției este atinsă în punctul interior al segmentului și cea mai mică – la capătul său stâng.

Pentru a determina cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții dată pe un segment, este necesar să se aleagă cel mai mare (cel mai mic) număr dintre toate valorile maximelor (minimelor) acesteia, precum și valorile luate la capetele intervalului. Va fi cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției. Această regulă va fi specificată ulterior.

Problema găsirii celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un interval deschis nu este întotdeauna ușor de rezolvat. De exemplu, funcția

în intervalul (Fig. 8.11) nu le are.

Să ne asigurăm, de exemplu, că această funcție nu are cea mai mare valoare. Într-adevăr, având în vedere monotonitatea funcției, se poate argumenta că, indiferent cât de aproape am seta valorile lui x la stânga unității, vor exista și alte x în care valorile funcției vor fi mai mari decât valorile sale la punctele fixe date, dar tot mai puțin decât unitatea.