Ca și în geometria euclidiană, punctul și linia sunt elementele principale ale teoriei planurilor, deci paralelogramul este unul dintre cifre cheie patrulatere convexe. Din el, ca firele dintr-o minge, curg conceptele de „dreptunghi”, „pătrat”, „romb” și alte cantități geometrice.
In contact cu
Definiția paralelogramului
patrulater convex, format din segmente, fiecare pereche fiind paralelă, este cunoscut în geometrie ca paralelogram.
Cum arată un paralelogram clasic este un patrulater ABCD. Laturile se numesc baze (AB, BC, CD și AD), perpendiculara trasată de la orice vârf pe latura opusă a acestui vârf se numește înălțime (BE și BF), liniile AC și BD sunt diagonalele.
Atenţie! Pătratul, rombul și dreptunghiul sunt cazuri speciale de paralelogram.
Laturi și unghiuri: caracteristici de raport
Proprietățile cheie, în general, predeterminat de denumirea în sine, ele sunt dovedite prin teoremă. Aceste caracteristici sunt după cum urmează:
- Laturile care sunt opuse sunt identice în perechi.
- Unghiurile care sunt opuse unul altuia sunt egale în perechi.
Demonstrație: se consideră ∆ABC și ∆ADC, care se obțin prin împărțirea patrulaterului ABCD la dreapta AC. ∠BCA=∠CAD și ∠BAC=∠ACD, deoarece AC le este comun (unghiuri verticale pentru BC||AD și respectiv AB||CD). Din aceasta rezultă: ∆ABC = ∆ADC (al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).
Segmentele AB și BC din ∆ABC corespund în perechi liniilor CD și AD din ∆ADC, ceea ce înseamnă că sunt identice: AB = CD, BC = AD. Astfel, ∠B corespunde lui ∠D și sunt egale. Deoarece ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, care sunt de asemenea identice în perechi, atunci ∠A = ∠C. Proprietatea a fost dovedită.
Caracteristicile diagonalelor figurii
Caracteristica principală aceste drepte paralelograme: punctul de intersecție le traversează.
Demonstrație: fie m. E punctul de intersecție al diagonalelor AC și BD ale figurii ABCD. Ele formează două triunghiuri proporționale - ∆ABE și ∆CDE.
AB=CD deoarece sunt opuse. Conform dreptelor și secantelor, ∠ABE = ∠CDE și ∠BAE = ∠DCE.
Conform celui de-al doilea semn de egalitate, ∆ABE = ∆CDE. Aceasta înseamnă că elementele ∆ABE și ∆CDE sunt: AE = CE, BE = DE și, în plus, sunt părți proporționale ale AC și BD. Proprietatea a fost dovedită.
Caracteristicile colțurilor adiacente
Pe laturile adiacente, suma unghiurilor este de 180° pentru că sunt de aceeași parte linii paralele si secante. Pentru patrulater ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Proprietăți bisectoare:
- , coborât într-o parte, sunt perpendiculare;
- vârfurile opuse au bisectoare paralele;
- triunghiul obţinut prin trasarea bisectoarei va fi isoscel.
Determinarea trăsăturilor caracteristice ale unui paralelogram prin teoremă
Caracteristicile acestei figuri decurg din teorema ei principală, care sună după cum urmează: patrulaterul este considerat paralelogramîn cazul în care diagonalele sale se intersectează, iar acest punct le împarte în segmente egale.
Demonstrație: Fie că liniile AC și BD ale patrulaterului ABCD se intersectează în t. E. Deoarece ∠AED = ∠BEC și AE+CE=AC BE+DE=BD, atunci ∆AED = ∆BEC (prin primul semn de egalitate a triunghiurilor). Adică ∠EAD = ∠ECB. Ele sunt, de asemenea, unghiurile de trecere interioare ale secantei AC pentru liniile AD și BC. Astfel, prin definiția paralelismului - AD || î.Hr. O proprietate similară a liniilor BC și CD este, de asemenea, derivată. Teorema a fost demonstrată.
Calcularea ariei unei figuri
Zona acestei figuri găsit în mai multe feluri una dintre cele mai simple: înmulțirea înălțimii și a bazei la care este trasă.
Demonstrație: Desenați perpendicularele BE și CF de la vârfurile B și C. ∆ABE și ∆DCF sunt egale deoarece AB = CD și BE = CF. ABCD este egal cu dreptunghiul EBCF, deoarece acestea constau și din cifre proporționale: S ABE și S EBCD, precum și S DCF și S EBCD. De aici rezultă că zona acestuia figură geometrică este situat în același mod ca un dreptunghi:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Pentru determinare formula generala aria paralelogramului, notează înălțimea ca hb, și lateral b. Respectiv:
Alte modalități de a găsi zonă
Calcule de suprafață prin laturile paralelogramului și unghiului, pe care o formează, este a doua metodă cunoscută.
,
Spr-ma - zona;
a și b sunt laturile sale
α - unghiul dintre segmentele a și b.
Această metodă se bazează practic pe prima, dar în cazul în care este necunoscută. se întrerupe întotdeauna triunghi dreptunghic, ai căror parametri sunt identități trigonometrice, acesta este . Transformând raportul, obținem . În ecuația primei metode, înlocuim înălțimea cu acest produs și obținem o dovadă a validității acestei formule.
Prin diagonalele unui paralelogram și a unui unghi, pe care le creează atunci când se intersectează, puteți găsi și zona.
Dovada: AC și BD care se intersectează formează patru triunghiuri: ABE, BEC, CDE și AED. Suma lor este egală cu aria acestui patrulater.
Aria fiecăruia dintre aceste ∆ poate fi găsită din expresia , unde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Deoarece , atunci o singură valoare a sinusului este utilizată în calcule. Acesta este . Deoarece AE+CE=AC= d 1 și BE+DE=BD= d 2 , formula ariei se reduce la:
.
Aplicație în algebră vectorială
Caracteristicile părților constitutive ale acestui patrulater și-au găsit aplicație în algebra vectorială și anume: adunarea a doi vectori. Regula paralelogramului prevede că dacă se dau vectorișinusunt coliniare, atunci suma lor va fi egală cu diagonala acestei figuri, ale cărei baze corespund acestor vectori.
Dovada: de la un început ales arbitrar – adică. - construim vectori și . În continuare, construim un paralelogram OASV, unde segmentele OA și OB sunt laturi. Astfel, sistemul de operare se află pe vector sau sumă.
Formule pentru calcularea parametrilor unui paralelogram
Identitățile sunt date în următoarele condiții:
- a și b, α - laturile și unghiul dintre ele;
- d 1 și d 2 , γ - diagonalele și în punctul de intersecție a acestora;
- h a și h b - înălțimi coborâte pe laturile a și b;
| Parametru | Formulă |
| Găsirea părților | |
| de-a lungul diagonalelor și cosinusului unghiului dintre ele | 
|
| în diagonală și lateral | 
|
| prin înălțime și vârf opus | |
| Aflarea lungimii diagonalelor | |
| pe laturi si marimea varfului intre ele | |
| de-a lungul laturilor și una dintre diagonale | 
ConcluzieParalelogramul, ca una dintre figurile cheie ale geometriei, este folosit în viață, de exemplu, în construcții, atunci când se calculează suprafața site-ului sau alte măsurători. Prin urmare, cunoștințele despre caracteristicile distinctive și metodele de calculare a diferiților săi parametri pot fi utile în orice moment al vieții. |
La rezolvarea problemelor pe această temă, pe lângă proprietăți de bază paralelogramși formulele corespunzătoare, vă puteți aminti și aplica următoarele:
- Bisectoarea unghiului interior al unui paralelogram decupează un triunghi isoscel din acesta
- Bisectoarele unghiurilor interne adiacente uneia dintre laturile unui paralelogram sunt reciproc perpendiculare
- Bisectoare care provin din unghiuri interne opuse ale unui paralelogram, paralele între ele sau situate pe o singură linie dreaptă
- Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale
- Aria unui paralelogram este jumătate din produsul diagonalelor înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
Să luăm în considerare sarcinile în soluția cărora sunt utilizate aceste proprietăți.
Sarcina 1.
Bisectoarea unghiului C a paralelogramului ABCD intersectează latura AD în punctul M și extensia laturii AB dincolo de punctul A în punctul E. Aflați perimetrul paralelogramului dacă AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Soluţie.
1. Triunghi CMD isoscel. (Proprietatea 1). Prin urmare, CD = MD = 3 cm.
2. Triunghiul EAM este isoscel.
Prin urmare, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimetrul ABCD = 20 cm.
Răspuns. 20 cm
Sarcina 2.
Diagonalele sunt desenate într-un patrulater convex ABCD. Se știe că ariile triunghiurilor ABD, ACD, BCD sunt egale. Demonstrați că patrulaterul dat este un paralelogram.
Soluţie.
1. Fie BE înălțimea triunghiului ABD, CF înălțimea triunghiului ACD. Deoarece, conform stării problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună AD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. BE = CF.
2. BE, CF sunt perpendiculare pe AD. Punctele B și C sunt situate pe aceeași parte a dreptei AD. BE = CF. Prin urmare, linia BC || ANUNȚ. (*)
3. Fie AL altitudinea triunghiului ACD, BK altitudinea triunghiului BCD. Deoarece, conform stării problemei, ariile triunghiurilor sunt egale și au o bază comună CD, atunci înălțimile acestor triunghiuri sunt egale. AL = BK.
4. AL și BK sunt perpendiculare pe CD. Punctele B și A sunt situate pe aceeași parte a dreptei CD. AL = BK. Prin urmare, linia AB || CD (**)
5. Condițiile (*), (**) implică faptul că ABCD este un paralelogram.
Răspuns. Dovedit. ABCD este un paralelogram.
Sarcina 3.
Pe laturile BC și CD ale paralelogramului ABCD sunt marcate punctele M și respectiv H astfel încât segmentele BM și HD să se intersecteze în punctul O;<ВМD = 95 о,
Soluţie.
1. În triunghiul DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Într-un triunghi dreptunghic DHC Apoi<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Dar CD = AB. Atunci AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Răspuns: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Sarcina 4. Una dintre diagonalele unui paralelogram de lungime 4√6 face un unghi de 60° cu baza, iar a doua diagonală face un unghi de 45° cu aceeași bază. Găsiți a doua diagonală. Soluţie.
1. AO = 2√6. 2. Aplicați teorema sinusului triunghiului AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Raspuns: 12.
Sarcina 5. Pentru un paralelogram cu laturile 5√2 și 7√2, unghiul mai mic dintre diagonale este egal cu unghiul mai mic al paralelogramului. Aflați suma lungimilor diagonalelor. Soluţie.
Fie d 1, d 2 diagonalele paralelogramului, iar unghiul dintre diagonale și unghiul mai mic al paralelogramului să fie φ. 1. Să numărăm două diferite S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Obținem egalitatea 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f sau 2 5√2 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Folosind raportul dintre laturile și diagonalele paralelogramului scriem egalitatea (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Să facem un sistem: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Înmulțiți a doua ecuație a sistemului cu 2 și adăugați-o la prima. Se obține (d 1 + d 2) 2 = 576. Prin urmare, Id 1 + d 2 I = 24. Deoarece d 1, d 2 sunt lungimile diagonalelor paralelogramului, atunci d 1 + d 2 = 24. Raspuns: 24.
Sarcina 6. Laturile paralelogramului sunt 4 și 6. Unghiul ascuțit dintre diagonale este de 45 o. Aflați aria paralelogramului. Soluţie.
1. Din triunghiul AOB, folosind teorema cosinusului, scriem relația dintre latura paralelogramului și diagonale. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. În mod similar, scriem relația pentru triunghiul AOD. Luam in calcul asta<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Obținem ecuația d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Avem un sistem Scăzând prima din a doua ecuație, obținem 2d 1 d 2 √2 = 80 sau d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Notă:În această problemă și în cea anterioară, nu este nevoie să rezolvăm complet sistemul, prevăzând că în această problemă avem nevoie de produsul diagonalelor pentru a calcula aria. Raspuns: 10. Sarcina 7. Aria paralelogramului este 96, iar laturile sale sunt 8 și 15. Aflați pătratul diagonalei mai mici. Soluţie.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Să facem o înlocuire în formulă. Obținem 96 = 8 15 sin VAD. Prin urmare sin VAD = 4/5. 2. Găsiți ca RĂU. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 RĂU = 1. cos 2 RĂU = 9/25. În funcție de starea problemei, găsim lungimea diagonalei mai mici. Diagonala BD va fi mai mică dacă unghiul BAD este acut. Atunci cos RĂU = 3 / 5. 3. Din triunghiul ABD, folosind teorema cosinusului, găsim pătratul diagonalei BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos RĂU. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. Raspuns: 145.
Aveti vreo intrebare? Nu știi cum să rezolvi o problemă de geometrie? site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă. Paralelogram - o figură geometrică, des întâlnită în sarcinile cursului de geometrie (secțiunea planimetrie). Caracteristicile cheie ale acestui patrulater sunt egalitatea unghiurilor opuse și prezența a două perechi de laturi opuse paralele. Cazurile speciale ale unui paralelogram sunt un romb, un dreptunghi, un pătrat. Calculul ariei acestui tip de poligon se poate face în mai multe moduri. Să luăm în considerare fiecare dintre ele. Pentru a calcula aria unui paralelogram, puteți utiliza valorile laturii sale, precum și lungimea înălțimii coborâte pe acesta. În acest caz, datele obținute vor fi de încredere atât pentru cazul unei laturi cunoscute - baza figurii, cât și dacă aveți la dispoziție latura figurii. În acest caz, valoarea dorită va fi obținută prin formula: S = a * h(a) = b * h(b), Exemplu: valoarea bazei paralelogramului este de 7 cm, lungimea perpendicularei coborâte pe acesta de la vârful opus este de 3 cm. Rezolvare: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21. Luați în considerare cazul când cunoașteți mărimea celor două laturi ale figurii, precum și măsura gradului unghiului pe care ele îl formează una cu cealaltă. Datele furnizate pot fi folosite și pentru a găsi aria paralelogramului. În acest caz, expresia formulei va arăta astfel: S = a * c * sinα = a * c * sinβ, Exemplu: baza unui paralelogram este de 10 cm, latura lui este cu 4 cm mai mică. Unghiul obtuz al figurii este de 135°. Soluție: determinați valoarea celei de-a doua laturi: 10 - 4 \u003d 6 cm. S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2. Prezența valorilor cunoscute ale diagonalelor unui poligon dat, precum și unghiul pe care acestea îl formează ca urmare a intersecției lor, vă permite să determinați aria figurii. S = (d1*d2)/2*sinγ, S este aria de determinat, Înainte de a învăța cum să găsim aria unui paralelogram, trebuie să ne amintim ce este un paralelogram și ce se numește înălțimea acestuia. Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi (se află pe linii paralele). Perpendiculara trasată dintr-un punct arbitrar de pe partea opusă dreptei care conține această latură se numește înălțimea paralelogramului. Pătratul, dreptunghiul și rombul sunt cazuri speciale de paralelogram. Aria unui paralelogram este notată cu (S). S=a*h, unde a este baza, h este înălțimea care este trasă la bază. S=a*b*sinα, unde a și b sunt bazele, iar α este unghiul dintre bazele a și b. S \u003d p * r, unde p este semiperimetrul, r este raza cercului care este înscris în paralelogram. Aria paralelogramului format din vectorii a și b este egală cu modulul produsului vectorilor dați, și anume: Luați în considerare exemplul nr. 1: este dat un paralelogram, a cărui latură este de 7 cm și înălțimea de 3 cm. Cum să găsiți aria unui paralelogram, avem nevoie de o formulă pentru rezolvare. Deci S= 7x3. S=21. Raspuns: 21 cm 2. Luați în considerare exemplul nr. 2: bazele au 6 și 7 cm, iar unghiul dintre baze este de 60 de grade. Cum să găsiți aria unui paralelogram? Formula folosită pentru a rezolva: Astfel, mai întâi găsim sinusul unghiului. Sinus 60 \u003d 0,5, respectiv S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Răspuns: 21 cm 2. Sper că aceste exemple vă vor ajuta în rezolvarea problemelor. Și amintiți-vă, principalul lucru este cunoașterea formulelor și atenția Paralelogram este un patrulater ale cărui laturi sunt paralele pe perechi. În această figură, laturile și unghiurile opuse sunt egale între ele. Diagonalele unui paralelogram se intersectează într-un punct și îl bisectează. Formulele de zonă de paralelogram vă permit să găsiți valoarea prin laturi, înălțime și diagonale. Paralelogramul poate fi reprezentat și în cazuri speciale. Sunt considerate dreptunghi, pătrat și romb. Acest caz este considerat un clasic și nu necesită investigații suplimentare. Este mai bine să luați în considerare formula pentru calcularea ariei prin două laturi și unghiul dintre ele. Aceeași metodă este utilizată în calcul. Dacă sunt date laturile și unghiul dintre ele, atunci aria se calculează după cum urmează: Să presupunem că ni se dă un paralelogram cu laturile a = 4 cm, b = 6 cm.Unghiul dintre ele este α = 30°. Să găsim zona: Luați în considerare un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram prin diagonale. Să fie dat un paralelogram cu diagonalele D = 7 cm, d = 5 cm.Unghiul dintre ele este α = 30°. Înlocuiți datele din formula: Cunoscând formula pentru aria unui paralelogram în termeni de diagonală, puteți rezolva multe probleme interesante. Să ne uităm la una dintre ele.
(
(Deoarece într-un triunghi dreptunghic, catetul care se află opus unui unghi de 30 o este egal cu jumătate din ipotenuză).
căile din zona sa.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!
Aflați aria unui paralelogram dacă se cunosc latura și înălțimea
Aflați aria unui paralelogram dacă sunt cunoscute 2 laturi și unghiul dintre ele
Aflați aria unui paralelogram dacă diagonalele și unghiul dintre ele sunt cunoscute
S = (d1*d2)/2*sinφ,
d1, d2 sunt diagonale cunoscute (sau calculate),
γ, φ sunt unghiurile dintre diagonalele d1 și d2.Formule pentru a afla aria unui paralelogram
În primul rând, să luăm în considerare un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram în funcție de înălțime și latura la care este coborât.
Aria unui paralelogram în termeni de diagonale
Formula pentru aria unui paralelogram în termeni de diagonale vă permite să găsiți rapid valoarea.
Pentru calcule, aveți nevoie de valoarea unghiului situat între diagonale.
Un exemplu de calcul al ariei unui paralelogram printr-o diagonală ne-a dat un rezultat excelent - 8,75.
O sarcină: Dat un paralelogram cu o suprafață de 92 mp. vezi Punctul F este situat în mijlocul laturii sale BC. Să găsim aria ADFB trapezului, care se va afla în paralelogramul nostru. Pentru început, să desenăm tot ce am primit conform condițiilor.
Să ajungem la soluție: 
Conform condițiilor noastre, ah \u003d 92 și, în consecință, aria trapezului va fi egală cu 
