); showPlots(;0 noAxes0 );

Orez. 1.10: Cuboid

1.3 Proprietățile secțiunilor paralele dintr-o piramidă

1.3.1 Teoreme asupra secțiunilor dintr-o piramidă

Dacă piramida (1.11) este străbătută de un plan paralel cu baza, atunci:

1) marginile laterale și înălțimea sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

2) in sectiune se obtine un poligon (abcde), asemanator bazei;

3) zonele secțiunii și ale bazei sunt legate ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

1) Dreptele ab și AB pot fi considerate drepte de intersecție a două plane paralele (bază și secante) de către al treilea plan ASB; deci abkAB. Din același motiv, bckBC, cdkCD.... și amkAM; astfel

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) Din asemănarea triunghiurilor ASB și aSb, apoi BSC și bSc, etc. derivăm:

AB ab = BS bS ; BS bS = BC bc ;

AB ab = BC bc :

BC bc = CS cS ; CS cS = CD cd ;

BC bc = CD cd

Vom demonstra, de asemenea, proporționalitatea laturilor rămase ale poligoanelor ABCDE și abcde Deoarece, în plus, aceste poligoane au unghiurile corespunzătoare (formate din laturi paralele și egal direcționate), ele sunt similare. Zonele poligoanelor similare sunt legate ca pătrate ale laturilor similare; de aceea

AB ab = AS as = M msS ;






set2D(1; 9; 1; 14);

;0 liniuță0 );

			Orez. 1.11: Piramida
p5 = punctePlot(
p5 = punctePlot(

[ 0A 0; 0 B 0; 0C0; 0 D 0; 0 E 0; 0 la 0; 0 b 0; 0 c 0; 0d0; 0M0; 0m0; 0 S 0];

); showPlots(;0 noAxes0 );

1.3.2 Corolar

Pentru o piramidă trunchiată obișnuită, baza superioară este un poligon regulat similar cu baza inferioară, iar fețele laterale sunt trapeze egale și echilaterale (1.11).

Înălțimea oricăruia dintre aceste trapeze se numește apotema unei piramide trunchiate obișnuite.

1.3.3 Teorema secțiunii paralele într-o piramidă

Dacă două piramide cu înălțimi egale sunt disecate la aceeași distanță de vârf de avioane, baze paralele, atunci ariile sectiunilor sunt proportionale cu ariile bazelor.

Fie (1.12) B și B1 ariile bazelor a două piramide, H înălțimea fiecăreia dintre ele, b și b1 ariile secțiunilor pe plane paralele cu bazele și la aceeași distanță h de vârfuri.

Conform teoremei anterioare, vom avea:

H2 B1

set2D(2; 36; 2; 23);

23 );

p10 = tableplot(			;0 săgeată0 );

p11 = tableplot(			;0 săgeată0 );

p12 = tableplot(			;0 săgeată0 );

p13 = tableplot(			;0 săgeată0 );

p14 = tableplot(				;0 liniuță0 );

Întrebare:

Piramida este străbătută de un plan paralel cu baza. Suprafața de bază este de 1690 dm2, iar aria secțiunii transversale este de 10 dm2. În ce raport, numărând de sus, planul secțiunii împarte înălțimea piramidei?

Raspunsuri:

plan paralel taie o piramida asemanatoare cu aceasta (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

Întrebări similare

Test pe tema: „Ortografia adverbelor” Verificăm ortografia sufixelor adverbelor, separate și ortografie continuă nu cu adverbe, îmbinate, separate, separarea cu silabe adverbe Opțiunea 1. 1. Deschideți parantezele. Marcați „al treilea în plus”: a) așezat (în continuare) nemișcat; a văzut (nu) sper; a cântat (nu) tare; b) deloc (deloc) târziu; deloc (deloc) frumos; foarte (nu) decent; c) (nu) prietenos; (nu) într-un mod adecvat; (necorespunzător; d) (nu) ridicol; (nu) derutant; (nu) aproape, dar departe; e) extrem de (nu) coercitiv; foarte (ne)atractiv; deloc (deloc) amenințător; 2. „Nu” se scrie împreună în toate cuvintele seriei: a) (nu) adevărat; (nu)veve; (neplăcut; deloc (deloc) interesant; b) (nu) mira; (nedreptate; deloc (nu) departe; (nu) vesel; c) (nu) sincer; (nu) frumos; (nu) indignat; (nesolicitant; d) (ignoranță); (ne)fiind sosit; (nu) prostii; (la un moment greșit; 3. Selectează un rând cu adverbe negative: a) deloc; nimeni; nicăieri; cu nimeni; b) nicăieri nimeni; nu; nicăieri; c) deloc; deloc; nicăieri; nu e nevoie; 4. Găsiți „al treilea în plus”: a) n ... aproape speriat; n ... cum nu am găsit; n ... de câte ori; b) n ... unde să meargă; n ... de ce să întrebi; n ... oricât de invidios; c) n ... oricât de supărat ar fi; n ... când nu este supărat; n ... unde să te aștepți; 5. „Нн” este scris în toate cuvintele seriei: a) beshe ... despre tors; a vorbit speriat... oh; a lucrat cu disperare...oh; b) s-a cutremurat brusc ... oh; a remizat calificat... oh; nu timp de lucru... oh; c) a vorbit entuziasmat... despre; plecat pe neașteptate... oh; puta răspunse... oh; 6. Definiţi propoziţia cu un adverb: a) Întâlnirea este entuziasmată... de mesaj. b) Societatea era entuziasmată... oh. c) Vorbea entuziasmată... oh. În adverb se scrie _____________________________________ 7. Introduceți literele lipsă. Marcați „al patrulea în plus”: a) fierbinte ...; proaspăt…; Sclipitor ...; bun…; b) mai mult...; melodios...; vâscos ..; sinistru...; c) bagaj ... m; deja ... m; purta ... e; cuțit ... m; d) eructat ... nok; skvorch ... nok; cireș ... nka; ariciul ... nok; 8. Notați literele care denotă adverbe care se scriu cu sufixe - a și - o: a o a) de departe ...; b) reînnoiesc ...; c) surd ...; d) drept...; e) alb ...; e) cererea ...; g) de la o vârstă fragedă ...; h) uscat ...; i) fii...; Notați un adverb care nu are sufixe - a și - o: ______________________________ Opțiunea 2. 1. Deschideți parantezele. Marcați „al treilea extra”: a) deloc (deloc) interesant; complet (ne)interesant; departe (nu) distractiv; b) (nu) prietenos; (nu) în felul nostru; (gresit; c) (nu) armonios; (neprietenos; (nu) bun, dar rău; d) citit (nu) expresiv; privit (nu) nedumerit; locuit (nu) departe; e) foarte (nu) frumos; niciodată nu e prea târziu; extrem de (nu) chibzuit; 2. „Nu” se scrie împreună în toate cuvintele seriei: a) (nu) puțin; (nu) ridicol; (în) inteligibil; (nu) ascunderea; b) (nu) neglijent; (nesinceritate; (nu e frumos; (nu) chibzuit; c) departe (nu) distractiv; (nu) voia; (nu departe; (necaz; d) (nu) la timp; (agitare; (a nu) spune; (nu) a avea încredere; 3. Evidențiați un rând cu adverbe negative: a) nimic; nicăieri; nicăieri; mult; b) deloc; nu e nevoie; în nici un caz; nicăieri; c) nimic; nimeni; nimeni; nimeni; 4. Găsiți „al treilea extra”: a) nu a fost ... unde; n… de ce să întrebi; n ... pe vremea când era cocher; b) nu a durut n ... putin; n ... cât de mult nu s-a întristat; n…unde să stați; c) n ... unde nu voi merge; n ... când nu întreb; am fost n ... când; 5. „H” este scris în toate cuvintele seriei: a) nu bate vânt pe stradă ... o; răspunzând gând... despre; nezhda a venit ... oh-negada ... oh; b) a vorbit cu înțelepciune... despre; a intrat în vânt... oh; puta a spus... oh; c) s-a învârtit furios ... oh; cânta pătrunzător... oh; a lucrat cu entuziasm... oh; 6. Definiți propoziția cu un adverb: a) Decizia lui va fi luată în considerare... oh, profesional. B) El acționează întotdeauna cu deliberare... oh. C) Totul a fost atent gândit... oh. 7. Introduceți literele lipsă. Marcați „al patrulea în plus”: a) vorbiți în general...; Fierbinte…; proaspăt…; epuizant...; b) prieten ... la; curea ... la; cocoș ... la; vish ... nka; c) mai mult...; protestând...; chemând...; sinistru...; d) doctor ... m; rapid ... m; imprimare…t; salvează ... t; 8. Scrieți în căsuțe litere care denotă adverbe care se scriu cu sufixe - a și - o: a o a) întâi ...; b) de la o vârstă fragedă ...; c) aprinde...; d) stânga...; e) curat...; e) înroșit ...; g) stânga...; h) întuneric ...; i) de mult timp ...; Notează un adverb care nu are sufixe - a și - o: ______________________________

Cum poți construi o piramidă? La suprafață R construiți un poligon, de exemplu, pentagonul ABCDE. Din avion R luăm punctul S. Legând punctul S cu segmente de toate punctele poligonului, obținem piramida SABCDE (fig.).

Punctul S este numit vârf, iar poligonul ABCDE - bază această piramidă. Astfel, o piramidă cu vârful S și baza ABCDE este uniunea tuturor segmentelor în care M ∈ ABCDE.

Se numesc triunghiuri SAB, SBC, SCD, SDE, SEA fetele laterale piramide, laturile comune ale fețelor laterale SA, SB, SC, SD, SE - coaste laterale.

Piramidele se numesc triunghiular, patruunghiular, n-gonalîn funcţie de numărul de laturi ale bazei. Pe fig. sunt date imagini cu piramide triunghiulare, patrulatere și hexagonale.

Se numește planul care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei diagonală, iar secțiunea transversală rezultată - diagonală. Pe fig. 186 una dintre secțiunile diagonale piramida hexagonala umbrite.

Segmentul de perpendiculară trasat prin vârful piramidei până la planul bazei acesteia se numește înălțimea piramidei (capetele acestui segment sunt vârful piramidei și baza perpendicularei).

Piramida se numește corect dacă baza piramidei este un poligon regulat și vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.

Toate fețele laterale piramida corecta sunt triunghiuri isoscele congruente. Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt congruente.

Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotematic piramide. Toate apotemele unei piramide regulate sunt congruente.

Dacă desemnăm latura bazei ca A, și apotemă prin h, atunci aria unei fețe laterale a piramidei este 1/2 Ah.

Se numește suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei suprafata laterala piramide și este notat cu latura S.

Deoarece suprafața laterală a unei piramide regulate este formată din n fețe congruente, deci

partea S = 1 / 2 ahn=P h / 2 ,

unde P este perimetrul bazei piramidei. Prin urmare,

partea S =P h / 2

adică aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema.

Suprafața totală a piramidei este calculată prin formula

S = S ocn. + partea S. .

Volumul piramidei este egal cu o treime din produsul ariei bazei sale S ocn. la inaltimea H:

V = 1 / 3 S ocn. N.

Derivarea acestei formule și a altor câteva formule va fi prezentată într-un capitol ulterior.

Acum să construim o piramidă într-un mod diferit. Să fie dat un unghi poliedric, de exemplu, unul cu cinci laturi, cu un vârf S (fig.).

Desenați un avion R astfel încât să intersecteze toate muchiile unui unghi poliedric dat în diferite puncte A, B, C, D, E (Fig.). Atunci piramida SABCDE poate fi considerată ca intersecția unui unghi poliedric și a unui semispațiu cu o limită. R, care conține vârful S.

Evident, numărul tuturor fețelor piramidei poate fi arbitrar, dar nu mai puțin de patru. Când un plan intersectează un unghi triedric, se obține o piramidă triunghiulară, care are patru fețe. Orice piramidă triunghiulară este uneori numită tetraedru, care înseamnă patrulater.

trunchi de piramidă se poate obţine dacă piramida este străbătută de un plan paralel cu planul bazei.

Pe fig. se dă imaginea unei trunchiuri de piramidă patruunghiulară.

Piramidele trunchiate se mai numesc triunghiular, patruunghiular, n-gonalîn funcţie de numărul de laturi ale bazei. Din construcția unei trunchi de piramidă rezultă că aceasta are două baze: una superioară și una inferioară. Bazele unei piramide trunchiate sunt două poligoane ale căror laturi sunt paralele pe perechi. Fețele laterale ale unei piramide trunchiate sunt trapeze.

Înălţime O piramidă trunchiată este un segment de perpendiculară trasat din orice punct al bazei superioare până în planul celei inferioare.

Piramida trunchiată corectă numită parte a unei piramide regulate, închisă între bază și un plan de secțiune paralel cu bază. Înălțimea feței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite (trapez) se numește apotematic.

Se poate dovedi că marginile laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt congruente, toate fețele laterale sunt congruente și toate apotemele sunt congruente.

Dacă în corect trunchiat n- piramida cărbunelui prin Ași b n denotă lungimile laturilor bazelor superioare și inferioare și prin h- lungimea apotemului, apoi aria feței laterale de pe plajă a piramidei este

1 / 2 (A + b n) h

Suma ariilor tuturor fețelor laterale ale piramidei se numește aria suprafeței sale laterale și se notează latura S. . Evident, pentru un trunchiat obișnuit n- piramida carbunelui

partea S = n 1 / 2 (A + b n) h.

pentru că pa= P și nb n\u003d P 1 - perimetrele bazelor piramidei trunchiate, apoi

partea S \u003d 1 / 2 (P + P 1) h,

adică aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre suma perimetrelor bazelor sale și apotema.

Secțiune paralelă cu baza piramidei

Teorema. Dacă piramida este străbătută de un plan paralel cu baza, atunci:

1) nervurile laterale și înălțimea vor fi împărțite în părți proporționale;

2) în secțiune obțineți un poligon asemănător cu baza;

3) ariile secțiunii și ale bazei sunt legate ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

Este suficient să demonstrați teorema pentru o piramidă triunghiulară.

Deoarece planele paralele sunt intersectate de al treilea plan de-a lungul unor linii paralele, atunci (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (Fig.).

Liniile paralele taie laturile unghiului în părți proporționale și, prin urmare

Prin urmare, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 și

∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 şi

În acest fel,

Unghiurile corespondente ale triunghiurilor ABC și A 1 B 1 C 1 sunt congruente, ca și unghiurile cu laturile paralele și egal direcționate. De aceea

∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1

Arii triunghiurilor similare sunt legate ca pătratele laturilor corespunzătoare:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

Prin urmare,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Teorema. Dacă două piramide cu înălțimi egale sunt disecate la aceeași distanță de vârf prin planuri paralele cu bazele, atunci ariile secțiunilor sunt proporționale cu ariile bazelor.

Fie (Fig. 84) B și B 1 ariile bazelor a două piramide, H este înălțimea fiecăreia dintre ele, bși b 1 - zone de secțiune transversală prin planuri paralele cu bazele și îndepărtate de vârfuri la aceeași distanță h.

Conform teoremei anterioare, vom avea:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: și \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
Unde
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: sau \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Consecinţă. Dacă B \u003d B 1, atunci și b = b 1, adică dacă două piramide cu înălțimi egale au baze egale, atunci secțiunile echidistante de vârf sunt și ele egale.

Alte materiale

CAPITOLUL TREI

POLIDEDRICE

1. PARALEPIPIP ŞI PIRAMIDĂ

Proprietățile secțiunilor paralele dintr-o piramidă

74. Teorema. Dacă piramida (dev. 83) traversat de un plan paralel cu baza, atunci:

1) marginile laterale și înălțimea sunt împărțite de acest plan în părți proporționale;

2) secțiunea transversală este un poligon (abcde ), asemănător pământului;

3) zonele secțiunii și ale bazei sunt legate ca pătratele distanțelor lor față de vârf.

1) Direct abși AB pot fi considerate drepte de intersecție a două plane paralele (bază și secante) de către al treilea plan ASB; de aceea ab||AB (§ 16). Pentru același motiv bc||BC, CD||CD, ... și la||AM; astfel

S A / A A=S b / b B=S c / c C=...=S m / m M

2) Din asemănarea triunghiurilor ASB și A S b, apoi BSC și b S c etc. ieșire:

AB / ab= BS / bs; BS / bs= BC / bc ,

AB / ab= BC / bc

î.Hr / bc= CS / cs; CS / cs= CD / CD de unde î.Hr / bc= CD / CD .

Vom demonstra și proporționalitatea laturilor rămase ale poligoanelor ABCDE și abcde. Deoarece, în plus, aceste poligoane au unghiuri corespunzătoare egale (formate din laturi paralele și egal direcționate), ele sunt similare.

3) Arii de asemănări ale poligoanelor sunt legate ca pătrate de laturi similare; de aceea

75. Consecință. Cea corectă trunchi de piramidă baza superioară este un poligon regulat similar cu baza inferioară, iar fețele laterale sunt trapeze egale și isoscele(dev. 83).

Înălțimea oricăruia dintre aceste trapeze se numește apotematic piramida trunchiată obișnuită.

76. Teorema. Dacă două piramide cu înălțimi egale sunt disecate la aceeași distanță de vârf prin planuri paralele cu bazele, atunci ariile secțiunilor sunt proporționale cu ariile bazelor.

Conform teoremei anterioare, vom avea:

77. Consecință. Dacă B \u003d B 1, atunci și b = b 1, adică dacă două piramide cu înălțimi egale au baze egale, atunci secțiunile echidistante de vârf sunt și ele egale.