Definiție. Dacă fiecărui număr natural n i se atribuie un număr xn, atunci spunem că este dată o succesiune

x1, x2, …, xn = (xn)

Elementul comun al șirului este o funcție a lui n.

Astfel, o secvență poate fi privită ca o funcție.

Puteți specifica o secvență în diferite moduri - principalul lucru este că este specificată o metodă pentru obținerea oricărui membru al secvenței.

Exemplu. (xn) = ((-1)n) sau (xn) = -1; unu; -unu; unu; …

(xn) = (sinn/2) sau (xn) = 1; 0; unu; 0; …

Puteți defini următoarele operații pentru secvențe:

Înmulțirea unei secvențe cu un număr m: m(xn) = (mxn), adică. mx1, mx2,...

Adunarea (scăderea) secvențelor: (xn) (yn) = (xn yn).

Produsul secvențelor: (xn)(yn) = (xnyn).

Coeficient de secvențe: la (yn) 0.

Secvențe mărginite și nemărginite.

Definiție. O secvență (xn) se numește mărginită dacă există un număr M>0 astfel încât pentru orice n inegalitatea este adevărată:

acestea. toți membrii șirului aparțin intervalului (-M; M).

Definiție. Se spune că o secvență (xn) este mărginită de sus dacă pentru orice n există un număr M astfel încât xn M.

Definiție. Se spune că o secvență (xn) este mărginită de jos dacă pentru orice n există un număr M astfel încât xn M

Exemplu. (xn) = n - mărginit de jos (1, 2, 3, … ).

Definiție. Numărul a se numește limita șirului (xn) dacă pentru orice pozitiv >0 există un astfel de număr N încât pentru tot n > N este îndeplinită condiția: Se scrie: lim xn = a.

În acest caz, se spune că șirul (xn) converge către a pentru n.

Proprietate: Dacă renunțăm la orice număr de membri ai secvenței, atunci se obțin secvențe noi, iar dacă una dintre ele converge, atunci converge și cealaltă.

Exemplu. Demonstrați că limita șirului este lim .

Fie adevărat pentru n > N, adică. . Acest lucru este valabil pentru , deci dacă N este luat ca parte întreagă a , atunci afirmația de mai sus este adevărată.

Exemplu. Arătați că pentru n șirul este 3, are o limită de 2.

Total: (xn)= 2 + 1/n; 1/n = xn - 2

În mod evident, există un număr n astfel încât, i.e. lim (xn) = 2.

Teorema. O secvență nu poate avea mai mult de o limită.

Dovada. Să presupunem că șirul (xn) are două limite a și b care nu sunt egale între ele.

xn a; xnb; a b.

Atunci, prin definiție, există un număr >0 astfel încât

Dacă o funcție este definită pe mulțimea numerelor naturale N, atunci o astfel de funcție se numește șir infinit de numere. De obicei, o secvență numerică este notată ca (Xn), unde n aparține mulțimii numerelor naturale N.

Succesiunea numerică poate fi dată printr-o formulă. De exemplu, Xn=1/(2*n). Astfel, atribuim fiecarui numar natural n un element definit al sirului (Xn).

Dacă acum luăm succesiv n egal cu 1,2,3, …., obținem șirul (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Tipuri de secvențe

Secvența poate fi limitată sau nelimitată, crescătoare sau descrescătoare.

Secvența (Xn) apelează limitat dacă există două numere m și M astfel încât pentru orice n aparținând mulțimii numerelor naturale, egalitatea m<=Xn

Secvență (Xn), nu este limitat, se numește șir nemărginit.

crescând dacă pentru toate numerele întregi pozitive n este valabilă următoarea egalitate: X(n+1) > Xn. Cu alte cuvinte, fiecare membru al secvenței, începând de la al doilea, trebuie să fie mai mare decât membrul anterior.

Se numește șirul (Xn). in scadere, dacă pentru toate numerele întregi pozitive n este valabilă următoarea egalitate X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Exemplu de secvență

Să verificăm dacă secvențele 1/n și (n-1)/n sunt descrescătoare.

Dacă șirul este descrescător, atunci X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Deci succesiunea (n-1)/n este crescând.

3. Limita secvenței de numere

3.1. Conceptul unei secvențe numerice și o funcție a unui argument natural

Definiție 3.1. O secvență numerică (denumită în continuare pur și simplu o secvență) este un set ordonat numărabil de numere

{x1 x2 x3 ... }.

Acordați atenție la două puncte.

1. Există infinit de multe numere în succesiune. Dacă există un număr finit de numere, aceasta nu este o secvență!

2. Toate numerele sunt ordonate, adică aranjate într-o anumită ordine.

În cele ce urmează, vom folosi adesea abrevierea pentru secvența ( xn}.

Anumite operații pot fi efectuate pe secvențe. Să luăm în considerare unele dintre ele.

1. Înmulțirea unei secvențe cu un număr.

Urmare c×{ xn) este o succesiune cu elemente ( c× xn), acesta este

c×{ x1 x2 x3 ... }={c× x1, s× x2, s× x3, ... }.

2. Adunarea și scăderea secvențelor.

{xn}±{ yn}={xn± yn},

sau, mai detaliat,

{x1, x2, x3,...}±{ y1, y2, y3,... }={x1± y1, x2± y2, x3± y3, ... }.

3. Înmulțirea secvențelor.

{xn}×{ yn}={xn× yn}.

4. Împărțirea secvențelor.

{xn}/{yn}={xn/yn}.

Desigur, se presupune că în acest caz toate yn¹ 0.

Definiție 3.2. Urmărire ( xn) se numește mărginit de sus dacă https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height = "25 src=">. O secvență (xn) se numește mărginită dacă este mărginită atât deasupra cât și dedesubt.

3.2. Limită de secvență. Secvență infinit de mare

Definiție 3.3. Număr A se numește limita șirului ( xn) la n tinzând spre infinit, dacă

https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33"> dacă .

Ei spun că dacă .

Definiție 3.4. Urmărire ( xn) se numește infinit de mare dacă (adică dacă ).

3.3. O succesiune infinitezimală.

Definiție 3.5. Secvența (xn) se numește infinitezimal dacă , adică dacă .

Secvențele infinitezimale au următoarele proprietăți.

1. Suma și diferența de secvențe infinitezimale este, de asemenea, o secvență infinitezimală.

2. O succesiune infinitezimală este mărginită.

3. Produsul unei secvențe infinitezimale și a unei secvențe mărginite este o secvență infinitezimală.

4. Dacă ( xn) este o succesiune infinit de mare, plecând apoi de la unele N, secvența (1/ xn), și este o secvență infinitezimală. În schimb, dacă ( xn) este o succesiune infinitezimală și tot xn sunt diferite de zero, atunci (1/ xn) este o succesiune infinit de mare.

3.4. secvențe convergente.

Definiție 3.6. Dacă există o limită de sfârșit https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">.

5. Dacă , apoi .

3.5. Trecerea la limită în inegalități.

Teorema 3.1. Dacă, pornind de la unii N, toate xn ³ b, apoi .

Consecinţă. Dacă, pornind de la unii N, toate xn ³ yn, apoi .

cometariu. Rețineți că dacă, pornind de la unele N, toate xn > b, atunci , adică la trecerea la limită, inegalitatea strictă poate deveni nestrictă.

Teorema 3.2.(„Teorema a doi polițiști”) Dacă, plecând de la unii N, sunt valabile următoarele proprietăți

1..gif" width="163" height="33 src=">,

atunci există.

3.6. Limita unei secvențe monotone.

Definiție 3.7. Urmărire ( xn) se numește monoton crescător dacă pentru oricare n xn+1 ³ xn.

Urmărire ( xn) se numește strict monoton crescător dacă pentru oricare n xn+1> xn.

xn­.

Definiție 3.8. Urmărire ( xn) se numește monoton descrescătoare dacă pentru oricare n xn+1 £ xn.

Urmărire ( xn) se numește strict monoton descrescătoare dacă pentru oricare n xn+1< xn.

Ambele cazuri sunt combinate cu simbolul xn¯.

Teoremă privind existența unei limite a unei secvențe monotone.

1. Dacă secvența ( xn) este monoton crescător (descrescător) și mărginit de sus (de jos), atunci are o limită finită egală cu sup( xn) (inf( xn}).

2 Dacă secvența ( xn) monoton crește (descrește), dar nu se limitează de sus (de jos), atunci are o limită egală cu +¥ (-¥).

Pe baza acestei teoreme, se demonstrează că există o așa-numită limită remarcabilă

https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Se numește subsecvență de secvență ( xn}.

Teorema 3.3. Dacă secvența ( xn) converge iar limita sa este A, atunci oricare dintre subsecvențele sale converge și ele și are aceeași limită.

În cazul în care un ( xn) este o succesiune infinit de mare, atunci oricare dintre subsecvențele sale este, de asemenea, infinit de mare.

Lema Bolzano-Weierstrass.

1. Din orice șir mărginit, se poate extrage o subsecvență care converge către o limită finită.

2. Din orice succesiune nemărginită poate fi extrasă o subsecvență infinit de mare.

Pe baza acestei leme, se demonstrează unul dintre principalele rezultate ale teoriei limitelor - Criteriul de convergenţă Bolzano-Cauchy.

Pentru succesiunea ( xn) a existat o limită finită, este necesar și suficient ca

O secvență care satisface această proprietate se numește o secvență fundamentală sau o secvență care converge în sine.

Introducere…………………………………………………………………………………………… 3

1.Partea teoretică………………………………………………………………….4

Concepte și termeni de bază…………………………………………………………...4

1.1 Tipuri de secvențe…………………………………………………………………………6

1.1.1.Secvențe de numere limitate și nelimitate…..6

1.1.2.Monotonitatea secvenţelor………………………………………………6

1.1.3.Secvențe infinitezimale și infinitezimale…….7

1.1.4.Proprietăți ale șirurilor infinitezimale…………8

1.1.5 Secvențe convergente și divergente și proprietățile lor...…9

1.2 Limita secvenței…………………………………………………….11

1.2.1.Teoreme despre limitele secvențelor…………………………………………………………………………15

1.3.Progresia aritmetică…………………………………………………………17

1.3.1. Proprietăţile unei progresii aritmetice………………………………………………..17

1.4 Progresia geometrică……………………………………………………..19

1.4.1. Proprietățile unei progresii geometrice……………………………………….19

1.5. Numerele Fibonacci………………………………………………………………………..21

1.5.1 Legătura numerelor Fibonacci cu alte domenii de cunoaștere………….22

1.5.2. Utilizarea unei serii de numere Fibonacci pentru a descrie natura animată și neînsuflețită…………………………………………………………………………………………….23

2. Cercetare proprie…………………………………………………….28

Concluzie………………………………………………………………………………….30

Lista literaturii utilizate………………………………………………………….31

Introducere.

Secvențele de numere sunt un subiect foarte interesant și informativ. Acest subiect se găsește în teme complexitate crescută oferite elevilor de către autori materiale didactice, în sarcini olimpiade matematice, examen de admitere spre Superior Unități de învățământ iar la examen. Sunt interesat să cunosc legătura dintre secvențele matematice și alte domenii ale cunoașterii.

Ţintă muncă de cercetare: Extindeți cunoștințele despre succesiunea de numere.

1. Luați în considerare șirul;

2. Luați în considerare proprietățile sale;

3. Luați în considerare sarcina analitică a secvenței;

4. Demonstrează rolul său în dezvoltarea altor domenii de cunoaștere.

5. Demonstrați utilizarea unei serii de numere Fibonacci pentru a descrie natura animată și neînsuflețită.

1. Partea teoretică.

Concepte și termeni de bază.

Definiție. O secvență numerică este o funcție de forma y = f(x), x О N, unde N este mulțimea numerelor naturale (sau o funcție a unui argument natural), notat cu y = f(n) sau y1, y2 ,…, yn,…. Valorile y1, y2, y3, ... se numesc primul, al doilea, al treilea, ... membru al secvenței.

Numărul a se numește limita secvenței x \u003d (x n) dacă pentru un arbitrar predeterminat arbitrar mic număr pozitivε numar natural N astfel încât pentru toate n>N inegalitatea |x n - a|< ε.

Dacă numărul a este limita șirului x \u003d (x n), atunci ei spun că x n tinde spre a și scrie

.

O secvență (yn) se numește crescătoare dacă fiecare dintre membrii săi (cu excepția primului) este mai mare decât precedentul:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

O secvență (yn) se numește descrescătoare dacă fiecare dintre membrii săi (cu excepția primului) este mai mic decât cel precedent:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Secvențele crescătoare și descrescătoare sunt unite printr-un termen comun - secvențe monotone.

O secvență se numește periodică dacă există un număr natural T astfel încât, pornind de la un n, să fie valabilă egalitatea yn = yn+T. Numărul T se numește lungimea perioadei.

O progresie aritmetică este o succesiune (an) în care fiecare membru, începând cu al doilea, este egală cu suma termenul anterior și același număr d se numește progresie aritmetică, iar numărul d se numește diferența unei progresii aritmetice.

În acest fel, progresie aritmetică este o succesiune numerică (an) dată recursiv de relații

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

O progresie geometrică este o succesiune în care toți membrii sunt nenuli și fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, se obține de la membrul anterior prin înmulțirea cu același număr q.

Astfel, o progresie geometrică este o succesiune numerică (bn) dată recursiv de relații

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Tipuri de secvențe.

1.1.1 Secvențe mărginite și nemărginite.

Se spune că o secvență (bn) este mărginită de sus dacă există un număr M astfel încât pentru orice număr n inegalitatea bn≤ M este satisfăcută;

Se spune că o secvență (bn) este mărginită de jos dacă există un număr M astfel încât pentru orice număr n inegalitatea bn≥ M este satisfăcută;

De exemplu:

1.1.2 Monotonitatea secvenţelor.

O secvență (bn) se numește necrescătoare (nedescrescătoare) dacă pentru orice număr n inegalitatea bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) este adevărată;

O secvență (bn) se numește descrescător (crescător) dacă pentru orice număr n inegalitatea bn > bn+1 (bn

Secvențele descrescătoare și crescătoare sunt numite strict monotone, necrescând - monotone în sens larg.

Secvențele mărginite atât deasupra cât și dedesubt se numesc mărginite.

Secvența tuturor acestor tipuri se numește monotonă.

1.1.3 Secvențe infinit de mari și mici.

O secvență infinitezimală este o funcție numerică sau o secvență care tinde spre zero.

O secvență an se numește infinitezimal dacă

O funcție se numește infinitezimală într-o vecinătate a punctului x0 dacă ℓimx→x0 f(x)=0.

O funcție se numește infinitezimală la infinit dacă ℓimx→.+∞ f(x)=0 sau ℓimx→-∞ f(x)=0

De asemenea infinitezimală este o funcție care este diferența dintre o funcție și limita ei, adică dacă ℓimx→.+∞ f(x)=а, atunci f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

O secvență infinit de mare este o funcție numerică sau o secvență care tinde spre infinit.

O secvență an se numește infinit mare dacă

ℓimn→0 an=∞.

O funcție se numește infinită în vecinătatea unui punct x0 dacă ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Se spune că o funcție este infinit de mare la infinit dacă

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ sau ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Proprietăţi ale secvenţelor infinitezimale.

Suma a două secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.

Diferența a două secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.

Suma algebrică a oricărui număr finit de secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.

Produsul unei secvențe mărginite și o secvență infinitezimală este o secvență infinitezimală.

Produsul oricărui număr finit de secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală.

Orice succesiune infinitezimală este mărginită.

Dacă succesiunea staționară este infinit de mică, atunci toate elementele sale, începând de la unele, sunt egale cu zero.

Dacă întreaga secvență infinitezimală constă din aceleași elemente, atunci aceste elemente sunt zerouri.

Dacă (xn) este o secvență infinit de mare care nu conține termeni zero, atunci există o secvență (1/xn) care este infinitezimală. Dacă, totuși, (xn) conține zero elemente, atunci secvența (1/xn) poate fi încă definită pornind de la un număr n și va fi totuși infinitezimală.

Dacă (an) este o secvență infinitezimală care nu conține termeni zero, atunci există o secvență (1/an) care este infinit de mare. Dacă, totuși, (an) conține zero elemente, atunci secvența (1/an) poate fi încă definită pornind de la un număr n și va fi totuși infinit de mare.

1.1.5 Secvențe convergente și divergente și proprietățile lor.

O secvență convergentă este o secvență de elemente ale mulțimii X care are o limită în această mulțime.

O secvență divergentă este o secvență care nu este convergentă.

Fiecare succesiune infinitezimală este convergentă. Limita sa este zero.

Eliminarea oricărui număr finit de elemente dintr-o secvență infinită nu afectează nici convergența, nici limita acelei secvențe.

Orice șir convergent este mărginit. Cu toate acestea, nu toate șirurile mărginite converg.

Dacă șirul (xn) converge, dar nu este infinit mic, atunci, pornind de la un număr, se definește șirul (1/xn), care este mărginit.

Suma secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.

Diferența de secvențe convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.

Produsul secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.

Coeficientul a două secvențe convergente este definit pornind de la un element, cu excepția cazului în care a doua secvență este infinitezimală. Dacă este definit câtul a două secvențe convergente, atunci este o secvență convergentă.

Dacă o secvență convergentă este mărginită mai jos, atunci niciuna dintre limitele sale inferioare nu depășește limita.

Dacă o secvență convergentă este mărginită de sus, atunci limita sa nu depășește niciuna dintre limitele sale superioare.

Dacă pentru orice număr termenii unei secvențe convergente nu depășesc termenii unei alte secvențe convergente, atunci limita primei secvențe nu depășește nici limita celei de-a doua.