B) Linia numerică

Luați în considerare linia numerică (Fig. 6):

Luați în considerare mulțimea numerelor raționale

Fiecare număr rațional este reprezentat de un punct de pe dreapta numerică. Deci, numerele sunt marcate în figură.

Să demonstrăm că.

Dovada. Să fie o fracție : . Avem dreptul să considerăm această fracție ireductibilă. Din moment ce , atunci - numărul este par: - impar. Înlocuind expresia în loc de ea, găsim: , de unde rezultă că este un număr par. Am obținut o contradicție, care dovedește afirmația.

Deci, nu toate punctele axei numerelor reprezintă numere raționale. Acele puncte care nu reprezintă numere raționale reprezintă numere numite iraţional.

Orice număr de forma , , este fie întreg, fie irațional.

Intervalele numerice

Segmentele numerice, intervalele, semiintervalele și razele se numesc intervale numerice.

Inegalitatea care definește un decalaj numeric	Notarea decalajului numeric	Numele intervalului de numere	Se citește astfel:
a ≤ x ≤ b	[A; b]	Segment numeric	Segmentează de la a la b
A< x < b	(A; b)	Interval	Interval de la a la b
a ≤ x< b	[A; b)	Jumătate de interval	Jumătate de interval de la A inainte de b, inclusiv A.
A< x ≤ b	(A; b]	Jumătate de interval	Jumătate de interval de la A inainte de b, inclusiv b.
x ≥ a	[A; +∞)	fascicul numeric	Număr fascicul de la A până la plus infinit
x > a	(A; +∞)	Raza de numere deschisă	Deschide fascicul de numere de la A până la plus infinit
x ≤ a	(-∞; A]	fascicul numeric	Raza numerică de la minus infinit la A
X< a	(-∞; A)	Raza de numere deschisă	Raza numerică deschisă de la minus infinit la A

Să reprezentăm pe linia de coordonate numerele Ași b, precum și numărul Xîntre ele.

Setul tuturor numerelor care îndeplinesc condiția a ≤ x ≤ b, se numește segment numeric sau doar o tăietură. Este marcat astfel: A; b]-Se citește astfel: un segment de la a la b.

Setul de numere care îndeplinesc condiția A< x < b , se numește interval. Este marcat astfel: A; b)

Se citește astfel: intervalul de la a la b.

Seturi de numere care îndeplinesc condițiile a ≤ x< b или A<x ≤ b, sunt numite semiintervale. Denumiri:

Setați a ≤ x< b обозначается так:[A; b), se citește astfel: o jumătate de interval din A inainte de b, inclusiv A.

Multe A<x ≤ b marcat astfel: A; b], se citește astfel: o jumătate de interval de la A inainte de b, inclusiv b.

Acum imaginați-vă Ray cu un punct A, la dreapta și la stânga cărora este un set de numere.

A, îndeplinind condiția x ≥ a, se numește fascicul numeric.

Este marcat astfel: A; +∞) - Se citește așa: un fascicul numeric din A până la plus infinit.

O mulțime de numere în dreapta punctului A corespunzătoare inegalităţii x > a, se numește fascicul de numere deschis.

Este marcat astfel: A; +∞) - Se citește astfel: un fascicul numeric deschis de la A până la plus infinit.

A, îndeplinind condiția x ≤ a, se numește linie numerică de la minus infinit laA .

Este etichetat astfel: -∞; A]-Se citește astfel: o rază numerică de la minus infinit până la A.

Set de numere în stânga punctului A corespunzătoare inegalităţii X< a , se numește fascicul numeric deschis de la minus infinit laA .

Este marcat astfel: -∞; A) - Se citește astfel: o rază numerică deschisă de la minus infinit la A.

Mulțimea numerelor reale este reprezentată de întreaga linie de coordonate. El este numit linie numerică. Este etichetat astfel: - ∞; + ∞ )

3) Ecuații liniare și inegalități cu o variabilă, soluțiile lor:

O ecuație care conține o variabilă se numește ecuație cu o variabilă sau o ecuație cu o necunoscută. De exemplu, o ecuație cu o variabilă este 3(2x+7)=4x-1.

Rădăcina sau soluția unei ecuații este valoarea unei variabile la care ecuația devine o egalitate numerică adevărată. De exemplu, numărul 1 este soluția ecuației 2x+5=8x-1. Ecuația x2+1=0 nu are soluție, deoarece partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare decât zero. Ecuația (x+3)(x-4)=0 are două rădăcini: x1= -3, x2=4.

Rezolvarea unei ecuații înseamnă găsirea tuturor rădăcinilor sau demonstrarea faptului că nu există rădăcini.

Ecuațiile sunt numite echivalente dacă toate rădăcinile primei ecuații sunt rădăcini ale celei de-a doua ecuații și invers, toate rădăcinile celei de-a doua ecuații sunt rădăcini ale primei ecuații sau dacă ambele ecuații nu au rădăcini. De exemplu, ecuațiile x-8=2 și x+10=20 sunt echivalente, deoarece rădăcina primei ecuații x=10 este și rădăcina celei de-a doua ecuații, iar ambele ecuații au aceeași rădăcină.

La rezolvarea ecuațiilor se folosesc următoarele proprietăți:

Dacă în ecuație transferăm termenul dintr-o parte în alta schimbându-i semnul, atunci vom obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, atunci se obține o ecuație care este echivalentă cu cea dată.

Ecuația ax=b, unde x este o variabilă și a și b sunt niște numere, se numește ecuație liniară cu o variabilă.

Dacă a¹0, atunci ecuația are o soluție unică.

Dacă a=0, b=0, atunci orice valoare a lui x satisface ecuația.

Dacă a=0, b¹0, atunci ecuația nu are soluții, deoarece 0x=b nu este executat pentru nicio valoare a variabilei.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația: -8(11-2x)+40=3(5x-4)

Să deschidem parantezele din ambele părți ale ecuației, să mutăm toți termenii cu x în partea stângă a ecuației, iar termenii care nu conțin x în partea dreaptă, obținem:

16x-15x=88-40-12

Exemplul 2. Rezolvați ecuații:

x3-2x2-98x+18=0;

Aceste ecuații nu sunt liniare, dar vom arăta cum pot fi rezolvate astfel de ecuații.

3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Produsul este egal cu zero, dacă unul dintre factori este egal cu zero, obținem x1=0; x2= .

Răspuns: 0; .

Factorizarea părții stângi a ecuației:

x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), adică. (x-2)(x-3)(x+3)=0. Aceasta arată că soluțiile acestei ecuații sunt numerele x1=2, x2=3, x3=-3.

c) Să reprezentăm 7x ca 3x+4x, atunci avem: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4) = 0, deci x1=-3, x2=-4.

Răspuns: -3; - patru.
Exemplul 3. Rezolvați ecuația: ½x+1ç+½x-1ç=3.

Amintiți-vă definiția modulului unui număr:

De exemplu: ½3½=3, ½0½=0, ½-4½= 4.

În această ecuație, sub semnul modulului sunt numerele x-1 și x + 1. Dacă x este mai mic decât -1, atunci x+1 este negativ, atunci ½x+1½=-x-1. Și dacă x>-1, atunci ½x+1½=x+1. Pentru x=-1 ½x+1½=0.

În acest fel,

În mod similar

a) Se consideră această ecuație½x+1½+½x-1½=3 pentru x£-1, este echivalentă cu ecuația -x-1-x+1=3, -2x=3, x= , acest număr aparține mulțimii x £ -1.

b) Fie -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.

c) Se consideră cazul x>1.

x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Acest număr aparține mulțimii x>1.

Răspuns: x1=-1,5; x2=1,5.
Exemplul 4. Rezolvați ecuația:½x+2½+3½x½=2½x-1½.

Să arătăm o scurtă înregistrare a soluției ecuației, extinzând semnul modulului „pe intervale”.

x £-2, -(x + 2) -3x \u003d -2 (x-1), - 4x \u003d 4, x \u003d -2О (-¥; -2]

–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]

0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]

x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=-4, x=-2W(1; +¥)

Răspuns: [-2; 0]
Exemplul 5. Rezolvați ecuația: (a-1) (a + 1) x \u003d (a-1) (a + 2), pentru toate valorile parametrului a.

Această ecuație are de fapt două variabile, dar consideră x ca fiind necunoscutul și a ca parametrul. Este necesar să se rezolve ecuația în raport cu variabila x pentru orice valoare a parametrului a.

Dacă a=1, atunci ecuația are forma 0×x=0, orice număr satisface această ecuație.

Dacă a \u003d -1, atunci ecuația are forma 0 × x \u003d -2, această ecuație nu satisface niciun număr.

Dacă a¹1, a¹-1, atunci ecuația are o soluție unică.

Răspuns: dacă a=1, atunci x este orice număr;

dacă a=-1, atunci nu există soluții;

dacă a¹±1, atunci .

B) Inegalități liniare cu o variabilă.

Dacă variabilei x i se dă o valoare numerică, atunci obținem o inegalitate numerică care exprimă fie o afirmație adevărată, fie o afirmație falsă. Să fie dată, de exemplu, inegalitatea 5x-1>3x+2. Cu x=2 obținem 5 2-1> 3 2+2 - enunț adevărat (enunț numeric adevărat); pentru x=0 obținem 5·0-1>3·0+2 – o afirmație falsă. Orice valoare a unei variabile pentru care o inegalitate dată cu o variabilă se transformă într-o inegalitate numerică adevărată se numește soluție a inegalității. Rezolvarea unei inegalități cu o variabilă înseamnă găsirea mulțimii tuturor soluțiilor acesteia.

Se spune că două inegalități cu o variabilă x sunt echivalente dacă seturile de soluții ale acestor inegalități sunt aceleași.

Ideea principală a rezolvării inegalității este următoarea: înlocuim inegalitatea dată cu alta, mai simplă, dar echivalentă cu cea dată; inegalitatea rezultată este din nou înlocuită cu o inegalitate echivalentă mai simplă și așa mai departe.

Astfel de înlocuiri sunt efectuate pe baza următoarelor afirmații.

Teorema 1. Dacă orice termen al inegalității cu o variabilă este transferat dintr-o parte a inegalității în alta cu semnul opus, lăsând semnul inegalității neschimbat, atunci se va obține o inegalitate echivalentă cu cea dată.

Teorema 2. Dacă ambele părți ale unei inegalități cu o variabilă sunt înmulțite sau împărțite cu același număr pozitiv, lăsând neschimbat semnul inegalității, atunci se va obține o inegalitate echivalentă cu cea dată.

Teorema 3. Dacă ambele părți ale unei inegalități cu o variabilă se înmulțesc sau se împart la aceeași un număr negativ, în timp ce schimbăm semnul inegalității la opus, atunci obținem o inegalitate echivalentă cu cea dată.

O inegalitate de forma ax+b>0 (respectiv, ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.

Exemplul 1. Rezolvați inegalitatea: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).

Deschizând parantezele, obținem 2x-6 + 5-5x³6x-15,

Printre seturile de numere, adică seturi, ale căror obiecte sunt numere, disting așa-numitele lacune de număr. Valoarea lor este că este foarte ușor să ne imaginăm un set corespunzător unui interval numeric specificat și invers. Prin urmare, cu ajutorul lor este convenabil să scrieți setul de soluții ale inegalității.

În acest articol, vom analiza toate tipurile de intervale numerice. Aici le dăm numele, introducem notația, desenăm intervale numerice pe linia de coordonate și arătăm, de asemenea, care inegalități le corespund cele mai simple. În concluzie, vom prezenta vizual toate informațiile sub forma unui tabel cu intervale numerice.

Navigare în pagină.

Tipuri de intervale numerice

Fiecare interval numeric are patru lucruri indisolubil legate:

• numele intervalului de numere,
• inegalitatea corespunzătoare sau inegalitatea dublă,
• desemnare,
• iar imaginea sa geometrică sub forma unei imagini pe o linie de coordonate.

Orice interval numeric poate fi specificat în oricare dintre ultimele trei moduri din listă: fie printr-o inegalitate, fie printr-o desemnare, fie prin imaginea sa pe o linie de coordonate. Mai mult decât atât, conform acestei metode de atribuire, de exemplu, prin inegalitate, altele sunt ușor de restaurat (în cazul nostru, denumirea și imaginea geometrică).

Să trecem la detalii. Să descriem toate intervalele numerice de pe cele patru laturi indicate mai sus.

Să începem cu o descriere a intervalului numeric, numit fascicul de numere deschis. Rețineți că adjectivul „numeric” este adesea omis, lăsând numele deschis.

Acest interval numeric corespunde celor mai simple inegalități cu o variabilă de forma x a , unde a este un număr real. Adică, după semnificația inegalităților scrise, raza numărului deschis este alcătuită din tot ce sunt mai mici decât numărul a (în cazul inegalității x A).

Mulțimea numerelor care satisfac inegalitatea x a , ca (a, +∞) .

Rămâne să se arate imaginea geometrică a fasciculului deschis, va deveni clar din aceasta că intervalul numeric considerat a primit un astfel de nume nu întâmplător. Să ne întoarcem la. Se știe că între punctele sale și numerele reale există o corespondență unu-la-unu, care permite dreptei de coordonate să fie numită dreptă numerică. Și când vorbim despre compararea numerelor am observat că numărul mai mare este situat pe linia de coordonate din dreapta celui mai mic, iar cel mai mic este la stânga celui mai mare. Pe baza acestor considerații, inegalitatea x a - puncte situate în dreapta punctului a . Numărul a în sine nu satisface aceste inegalități, pentru a sublinia acest lucru în desen, este reprezentat ca un punct cu un centru gol. Deasupra punctelor, care corespund numerelor care satisfac inegalitatea, descriu umbrirea oblică:

Din desenele de mai sus, se poate observa că aceste intervale numerice corespund unor părți ale dreptei numerice, care sunt razeleîncepând cu punctul a, dar excluzând punctul a însuși. Cu alte cuvinte, sunt raze fără început. De aici și numele - fascicul de numere deschis.

Să dăm câteva exemple concrete de raze numerice deschise. Astfel, inegalitatea strictă x>−3 definește o rază de număr deschis. Este definit și prin notația (−3, ∞) . Și pe linia de coordonate, acest interval numeric este un set de puncte situate la dreapta punctului cu coordonata -3, fără a include acest punct în sine. Un alt exemplu: inegalitatea x<2,3 , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой


Trecem la intervalele numerice de următoarea formă - raze numerice. Geometric, ele diferă de grinzile deschise prin faptul că începutul fasciculului nu este aruncat. Cu alte cuvinte, imaginea geometrică a intervalelor numerice de acest tip este o rază cu drepturi depline.

În ceea ce privește specificarea razelor numerice folosind inegalități, acestea corespund inegalităților nestrictive x≤a sau x≥a . Ele sunt notate cu (−∞, a] și . Și imaginea geometrică a unui segment numeric este un segment împreună cu capetele sale:


De exemplu, un segment numeric, care este dat de o dublă inegalitate, poate fi notat ca , pe linia de coordonate îi corespunde un segment cu capete în puncte având coordonatele rădăcină de doi și rădăcină de trei.

Rămâne de spus doar despre intervalele numerice numite semiintervale. Ele reprezintă, ca să spunem așa, o opțiune intermediară între un interval și un segment, deoarece includ unul dintre punctele de limită. Semiintervalele sunt date de inegalități duble a

Tabelul intervalelor numerice

Deci, în paragraful anterior, am definit și descris următoarele intervale numerice:

• fascicul de număr deschis;
• fascicul numeric;
• interval;
• jumătate de interval.

Pentru comoditate, rezumăm toate datele pe intervale numerice într-un tabel. Să punem în el numele intervalului numeric, inegalitatea corespunzătoare acestuia, notația și imaginea pe linia de coordonate. Obținem următoarele tabelul intervalului:

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. Clasa a 9-a La ora 14.00 Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.

Printre seturile de numere există seturi în care obiectele sunt intervale numerice. Când specificați un set, este mai ușor de determinat după interval. Prin urmare, notăm seturile de soluții folosind intervale numerice.

Acest articol oferă răspunsuri la întrebări despre goluri numerice, nume, notații, imagini cu goluri pe linia de coordonate, corespondența inegalităților. În concluzie, va fi luat în considerare tabelul de lacune.

Definiția 1

Fiecare interval numeric este caracterizat prin:

• Nume;
• prezența inegalității ordinare sau duble;
• desemnare;
• imagine geometrică pe linia de coordonate.

Intervalul numeric este setat folosind oricare 3 metode din lista de mai sus. Adică, atunci când se utilizează inegalitatea, notația, imaginile pe linia de coordonate. Această metodă este cea mai aplicabilă.

Să facem o descriere a intervalelor numerice cu laturile indicate mai sus:

Definiția 2

• Raza de numere deschisă. Numele se datorează faptului că este omis, lăsându-l deschis.

Acest interval are inegalitățile corespunzătoare x< a или x >a , unde a este un număr real. Adică, pe o astfel de rază există toate numerele reale care sunt mai mici decât a - (x< a) или больше a - (x >A) .

Mulțimea numerelor care vor satisface o inegalitate de forma x< a обозначается виде промежутка (− ∞ , a) , а для x >a , ca (a , + ∞) .

Semnificația geometrică a unui fascicul deschis ia în considerare prezența unui gol numeric. Există o corespondență între punctele dreptei de coordonate și numerele acesteia, datorită căreia linia se numește linie de coordonate. Dacă este necesar să comparați numere, atunci pe linia de coordonate, numărul mai mare este în dreapta. Atunci o inegalitate de forma x< a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x >a - punctele care sunt în dreapta. Numărul în sine nu este potrivit pentru rezolvare, prin urmare, în desen este indicat printr-un punct perforat. Decalajul necesar este evidențiat prin hașurare. Luați în considerare figura de mai jos.

Din figura de mai sus, se poate observa că golurile numerice corespund unei părți a unei linii drepte, adică razelor care încep de la a. Cu alte cuvinte, ele sunt numite raze fără început. Prin urmare, a fost numită raza numărului deschis.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1

Pentru o inegalitate strictă dată x > − 3, este dată o rază deschisă. Această intrare poate fi reprezentată ca coordonate (− 3 , ∞) . Adică, toate acestea sunt puncte situate la dreapta decât - 3.

Exemplul 2

Dacă avem o inegalitate de forma x< 2 , 3 , то запись (− ∞ , 2 , 3) является аналогичной при задании открытого числового луча.

Definiția 3

• fascicul numeric. Sensul geometric este că începutul nu este aruncat, cu alte cuvinte, raza își lasă în urmă utilitatea.

Atribuirea sa se face cu ajutorul inegalităților nestrictive de forma x ≤ a sau x ≥ a . Pentru acest tip, se acceptă notația specială a formei (− ∞ , a ] și [ a , + ∞), iar prezența unei paranteze pătrate înseamnă că punctul este inclus în soluție sau în mulțime. Luați în considerare figura de mai jos.

Pentru un exemplu ilustrativ, să setăm o rază numerică.

Exemplul 3

O inegalitate de forma x ≥ 5 corespunde notației [ 5 , + ∞) , atunci obținem o rază de această formă:

Definiția 4

• Interval. Setarea folosind intervale se scrie folosind inegalități duble a< x < b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде (a , b) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Luați în considerare figura de mai jos.

Exemplul 4

Exemplu de interval - 1< x < 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала (− 1 , 3 , 5) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

Definiția 5

• Linie numerică. Acest interval diferă prin faptul că include puncte de limită, apoi are forma a ≤ x ≤ b . O astfel de inegalitate nestrictă spune că atunci când scrieți ca segment numeric, sunt folosite paranteze pătrate [ a , b ], ceea ce înseamnă că punctele sunt incluse în set și sunt reprezentate ca fiind completate.

Exemplul 5

Având în vedere segmentul, obținem că specificarea acestuia este posibilă folosind inegalitatea dublă 2 ≤ x ≤ 3 , care este reprezentată ca 2 , 3 . Pe linia de coordonate punct dat vor fi incluse în soluție și umbrite.

Definiția 6 Exemplul 6

Dacă există un semi-interval (1 , 3 ] , atunci desemnarea acestuia poate fi sub forma unei inegalități duble 1< x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Definiția 7

Golurile pot fi prezentate ca:

• fascicul de număr deschis;
• fascicul numeric;
• interval;
• segment numeric;
• jumătate de interval.

Pentru a simplifica procesul de calcul, este necesar să folosiți un tabel special, unde există denumiri pentru toate tipurile de intervale numerice ale unei linii drepte.

Nume	inegalitate	Desemnare	Imagine
Raza de numere deschisă	X< a	- ∞ , a
	x > a	a , +∞
fascicul numeric	x ≤ a	(-∞, a]
	x ≥ a	[ a , +∞)
Interval	A< x < b	a, b
Segment numeric	a ≤ x ≤ b	a, b
Jumătate de interval

Răspuns - Mulțimea (-∞;+∞) se numește dreptă numerică, iar orice număr este numit punct al acestei drepte. Fie a un punct arbitrar pe dreapta reală și δ

Număr pozitiv. Intervalul (a-δ; a+δ) se numește vecinătatea δ a punctului a.

O mulțime X este mărginită de sus (de jos) dacă există un număr c astfel încât pentru orice x ∈ X inegalitatea x≤с (x≥c) este satisfăcută. Numărul c în acest caz se numește limita superioară (inferioară) a mulțimii X. O mulțime mărginită atât deasupra cât și dedesubt se numește mărginită. Cea mai mică (mai mare) dintre fețele superioare (inferioare) ale unui set se numește limita superioară (inferioară) exactă a acestui set.

Un interval numeric este o mulțime conexă de numere reale, adică astfel încât dacă 2 numere aparțin acestei mulțimi, atunci toate numerele cuprinse între ele aparțin și ele acestei mulțimi. Există mai multe, într-un sens, diferite tipuri de intervale numerice nevide: linie, rază deschisă, rază închisă, segment de linie, semi-interval, interval

Linia numerică

Mulțimea tuturor numerelor reale se mai numește și linie numerică. Ei scriu.

În practică, nu este necesar să se facă distincția între conceptul de coordonată sau dreptă numerică în sens geometric și conceptul de dreaptă numerică introdus de această definiție. Prin urmare acestea concepte diferite notată cu același termen.

fascicul deschis

Mulțimea de numere astfel încât sau este numită rază de numere deschise. Scrie sau respectiv: .

fascicul închis

Mulțimea numerelor astfel încât sau este numită rază numerică închisă. Scrie sau respectiv:

Ansamblul de numere care se numește segment numeric.

Cometariu. Definiţia nu prevede că . Se presupune că cazul este posibil. Apoi intervalul numeric se transformă într-un punct.

Interval

Un set de numere, cum ar fi, se numește interval numeric.

Cometariu. Coincidența denumirilor unui fascicul deschis, a unei linii drepte și a unui interval nu este întâmplătoare. O rază deschisă poate fi înțeleasă ca un interval, unul dintre capete ale cărui capete este îndepărtat la infinit și o linie numerică - ca un interval, ambele capete sunt îndepărtate la infinit.

Jumătate de interval

Setul de numere astfel încât sau se numește semiinterval numeric.

Scrie sau, respectiv,

3.Funcție.Graficul funcției. Modalități de a seta o funcție.

Răspuns - Dacă sunt date două variabile x și y, atunci ei spun că variabila y este o funcție a variabilei x, dacă este dată o astfel de relație între aceste variabile care să permită fiecărei valori să determine în mod unic valoarea lui y.

Notația F = y(x) înseamnă că luăm în considerare o funcție care permite oricărei valori a variabilei independente x (dintre cele pe care argumentul x le poate lua deloc) să găsească valoarea corespunzătoare a variabilei dependente y.

Modalități de a seta o funcție.

O funcție poate fi definită printr-o formulă, de exemplu:

y \u003d 3x2 - 2.

Funcția poate fi dată printr-un grafic. Folosind graficul, puteți determina care valoare a funcției corespunde valorii specificate a argumentului. De obicei, aceasta este o valoare aproximativă a funcției.

4. Principalele caracteristici ale funcției: monotonitate, paritate, periodicitate.

Răspuns - Definiția periodicității. O funcție f se numește periodică dacă există un astfel de număr
, că f(x+
)=f(x), pentru tot x D(f). Desigur, există un număr infinit de astfel de numere. Cel mai mic număr pozitiv ^ T se numește perioada funcției. Exemple. A. y \u003d cos x, T \u003d 2 . B. y \u003d tg x, T \u003d . S. y = (x), T = 1. D. y = , această funcție nu este periodică. Definiția parității. O funcție f este apelată chiar dacă pentru tot x din D(f) proprietatea f(-x) = f(x) este îndeplinită. Dacă f (-x) = -f (x), atunci funcția se numește impară. Dacă niciuna dintre aceste relații nu este satisfăcută, atunci funcția se numește funcție de formă generală. Exemple. A. y \u003d cos (x) - par; B. y \u003d tg (x) - impar; S. y \u003d (x); y=sin(x+1) – funcții generale. Definiția monotoniei. O funcție f: X -> R se numește crescător (descrescător) dacă pentru oricare
condiția este îndeplinită:
Definiție. Se spune că o funcție X -> R este monotonă pe X dacă crește sau descrește pe X. Dacă f este monoton pe unele submulțimi ale lui X, atunci se numește monoton pe bucăți. Exemplu. y \u003d cos x este o funcție monotonă pe bucăți.