Sunt date 8 exemple de factorizare a polinoamelor. Acestea includ exemple cu rezolvarea ecuațiilor pătratice și biquadratice, exemple cu polinoame recurente și exemple cu găsirea rădăcinilor întregi ale polinoamelor de gradul al treilea și al patrulea.

Conţinut

Vezi si: Metode de factorizare a polinoamelor
Rădăcinile unei ecuații pătratice
Rezolvarea ecuațiilor cubice

1. Exemple cu soluția unei ecuații pătratice

Exemplul 1.1

X 4 + x 3 - 6 x 2.

Scoate x 2 pentru paranteze:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Rădăcinile ecuației:
, .

.

Exemplul 1.2

Factorizarea unui polinom de gradul trei:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.

Scoatem x din paranteze:
.
Rezolvăm ecuația pătratică x 2 + 6 x + 9 = 0:
Discriminantul său este .
Din moment ce discriminantul zero, atunci rădăcinile ecuației sunt multiple: ;
.

De aici obținem descompunerea polinomului în factori:
.

Exemplul 1.3

Factorizarea unui polinom de gradul cinci:
X 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Scoate x 3 pentru paranteze:
.
Rezolvăm ecuația pătratică x 2 - 2 x + 10 = 0.
Discriminantul său este .
Deoarece discriminantul este mai mic decât zero, rădăcinile ecuației sunt complexe: ;
, .

Factorizarea unui polinom are forma:
.

Dacă ne interesează factorizarea cu coeficienți reali, atunci:
.

Exemple de factorizare a polinoamelor folosind formule

Exemple cu polinoame biquadratice

Exemplul 2.1

Factorizați polinomul biquadratic:
X 4 + x 2 - 20.

Aplicați formulele:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Exemplul 2.2

Factorizarea unui polinom care se reduce la biquadratic:
X 8 + x 4 + 1.

Aplicați formulele:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Exemplul 2.3 cu polinom recursiv

Factorizarea polinomului recursiv:
.

Polinomul recursiv are un grad impar. Prin urmare, are rădăcina x = - 1 . Împărțim polinomul la x - (-1) = x + 1. Ca rezultat, obținem:
.
Facem o înlocuire:
, ;
;


;
.

Exemple de factorizare a polinoamelor cu rădăcini întregi

Exemplul 3.1

Factorizarea unui polinom:
.

Să presupunem că ecuația

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

Deci, am găsit trei rădăcini:
X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 3 .
Deoarece polinomul original este de gradul trei, nu are mai mult de trei rădăcini. Din moment ce am găsit trei rădăcini, ele sunt simple. Apoi
.

Exemplul 3.2

Factorizarea unui polinom:
.

Să presupunem că ecuația

are cel puțin o rădăcină întreagă. Atunci este divizorul numărului 2 (un membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
-2, -1, 1, 2 .
Înlocuiți aceste valori una câte una:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Deci, am găsit o singură rădăcină:
X 1 = -1 .
Împărțim polinomul la x - x 1 = x - (-1) = x + 1:


Apoi,
.

Acum trebuie să rezolvăm ecuația de gradul trei:
.
Dacă presupunem că această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al numărului 2 (un membru fără x). Adică, întreaga rădăcină poate fi unul dintre numerele:
1, 2, -1, -2 .
Înlocuiește x = -1 :
.

Deci am găsit o altă rădăcină x 2 = -1 . Ar fi posibil, ca și în cazul precedent, să împărțim polinomul la , dar vom grupa termenii:
.

Trinomul pătrat poate fi factorizat după cum urmează:

A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)

unde a este numărul, coeficientul înainte de cel mai mare coeficient,

x este o variabilă (adică o literă),

x 1 și x 2 - numere, rădăcini ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0 , care se găsesc prin discriminant.

Dacă ecuația pătratică are o singură rădăcină, atunci descompunerea arată astfel:

a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2

Exemple de factorizare a unui trinom pătrat:

1. − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1,   x 2 = 7

− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)

1. − x 2 + 4 x − 4 = 0; ⇒ x0 = 2

− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2

Dacă trinomul pătrat este incomplet (b = 0 sau c = 0), atunci poate fi factorizat în următoarele moduri:

• c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)

• b = 0 ⇒ se aplică formula de înmulțire redusă pentru diferența de pătrate.

Sarcini pentru soluție independentă

Numarul 1. Trinomul pătrat este factorizat: x 2 + 6 x - 27 = (x + 9) (x - a) . Gaseste un .

Soluţie:

Mai întâi trebuie să echivalezi trinomul pătrat cu zero pentru a găsi x 1 și x 2.

x 2 + 6 x − 27 = 0

a = 1, b = 6, c = − 27

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144

D > 0 înseamnă că vor exista două rădăcini diferite.

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9

Cunoscând rădăcinile, factorizăm trinomul pătrat:

x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)

nr 2. Ecuația x 2 + p x + q \u003d 0 are rădăcini - 5; 7. Găsiți q.

Soluţie:

1 cale:(trebuie să știți cum este factorizat trinomul pătrat)

Dacă x 1 și x 2 sunt rădăcinile unui trinom pătrat a x 2 + b x + c, atunci poate fi factorizat astfel: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .

Întrucât într-un trinom pătrat dat coeficientul principal (factorul în fața lui x 2) este egal cu unu, descompunerea va fi după cum urmează:

x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x - 35 = x 2 - 2 x - 35

x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35

2 moduri: (trebuie să cunoașteți teorema Vieta)

Teorema lui Vieta:

Suma rădăcinilor trinomului pătrat redus x 2 + p x + q este egală cu al doilea coeficient p cu semnul opus, iar produsul este egal cu termenul liber q.

( x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q

q = x 1 ⋅ x 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35.

În primul rând, să evidențiem câteva nume utilizate în mod obișnuit. Să luăm în considerare polinoamele, care includ o singură literă, de exemplu, litera x. Atunci cel mai simplu este un polinom în care există doi termeni, iar unul dintre ei conține litera x la primul grad, iar celălalt nu are deloc litera x, de exemplu, 3x - 5 sau 15 - 7x sau 8z + 7 (aici în loc de litera x se ia litera z), etc. Se numesc astfel de polinoame binoame liniare .

3x² - 5x + 7 sau x² + 2x - 1
sau 5y² + 7y + 8 sau z² - 5z - 2 etc.

Astfel de polinoame se numesc trinoame pătrate.

Apoi, putem compune un cvadruplu cubic, de exemplu:

x³ + 2x² - x + 1 sau 3x³ - 5x² - 2x - 3 etc.,

polinom de gradul al patrulea, de exemplu:

x 4 - 2x³ - 3x² + 4x - 5 etc.

Este posibil să desemnăm coeficienții la x, la x², la x³ etc. și prin litere, de exemplu, prin literele a, b, c etc. Atunci obținem:

1) forma generala binom liniar în x ax + b,

2) forma generală a unui trinom pătrat (în raport cu x): ax² + bx + c,

3) forma generală a trinomului cubic (în raport cu x): ax³ + bx² + cx + d etc.

Înlocuind literele a, b, c, d ... în aceste formule cu numere diferite, obținem tot felul de binoame liniare, trinoame pătrate etc. De exemplu, în formula ax² + bx + c, care exprimă forma generală a unui trinom pătrat, înlocuim litera a cu numărul + 3, litera b cu numărul -2 și litera c cu numărul -1, obținem trinomul pătrat 3x² - 2x - 1. Într-un caz particular, De asemenea, este posibil să obțineți un binom, înlocuind una dintre litere cu zero, de exemplu, dacă a = +1, b = 0 și c \u003d -3, atunci obținem binomul pătrat x² - 3.

Se poate învăța să factorizeze unele trinoame pătrate destul de repede în factori liniari. Cu toate acestea, ne limităm să luăm în considerare doar astfel de trinoame pătrate care îndeplinesc următoarele condiții:

1) coeficientul la cel mai mare termen (la x²) este +1,

2) se pot găsi două numere întregi (cu semne sau două numere întregi relative) astfel încât suma lor să fie egală cu coeficientul lui x la prima putere și produsul lor să fie egal cu termenul liber din x (unde nu există litera x la toate).

Exemple. 1. x² + 5x + 6; este ușor în minte să găsești două numere (cu semne) astfel încât suma lor să fie egală cu +5 (coeficient la x) și astfel încât produsul lor = +6 (un termen liber de x), - aceste numere sunt: ​​+ 2 și +3 [în sine de fapt, +2 + 3 = +5 și (+2) ∙ (+3) = +6]. Folosind aceste două numere, înlocuim termenul +5x cu doi termeni și anume: +2x + 3x (desigur, +2x + 3x = +5x); atunci termenul nostru tehnic va fi transformat artificial în cvadruplu x² + 2x + 3x + 6. Să-i aplicăm acum tehnica de grupare, plasând primii doi termeni într-un grup și ultimii doi într-un altul:

x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).

În primul grup, am pus paranteze pe x, iar în al doilea +3, am obținut doi termeni care aveau un factor comun (x + 2), care a fost, de asemenea, între paranteze, iar trinomul nostru x² + 5x + 6 descompus în 2 factori liniari: x + 2 și x + 3.

2. x² - x - 12. Aici trebuie să găsiți două numere (relative), astfel încât suma lor să fie -1 și astfel încât produsul lor să fie -12. Astfel de numere sunt: ​​-4 și +3.

Verificați: -4 + 3 = -1; (-4) (+3) = -12. Folosind aceste numere, înlocuim termenul -x cu doi termeni: -x \u003d -4x + 3x, - obținem:

x² - x - 12 \u003d x² - 4x + 3x - 12 \u003d x (x - 4) + 3 (x - 4) \u003d (x - 4) (x + 3).

3. x² - 7x + 6; aici numerele necesare sunt: ​​-6 și -1. [Verificați: -6 + (-1) = -7; (–6) (–1) = +6].

x² - 7x + 6 = x² - 6x - x + 6 = x (x - 6) - (x - 6) = (x - 6) (x - 1).

Aici membrii celui de-al doilea grup -x + 6 trebuiau încadrați între paranteze, cu semnul minus în fața lor.

4. x² + 8x - 48. Aici trebuie să găsiți două numere, astfel încât suma lor să fie +8 și produsul lor să fie -48. Deoarece produsul trebuie să aibă semnul minus, atunci numerele dorite trebuie să fie cu semne diferite, deoarece suma numerelor noastre are semnul +, atunci valoarea absolută a unui număr pozitiv trebuie să fie mai mare. desfășurarea număr aritmetic 48 prin doi factori (și acest lucru se poate face în moduri diferite), obținem: : 48 = 4 ∙ 12. Atunci numerele noastre sunt: ​​+12 și -4. Ceea ce urmează este simplu:

x² + 8x - 48 = x² + 12x - 4x - 48 = x (x + 12) - 4 (x + 12) = (x + 12) (x - 4).

5. x² + 7x - 12. Aici trebuie să găsiți 2 numere, astfel încât suma lor să fie +7 și produsul = -12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Aparent, 3 și 4 ar fi numere potrivite, dar trebuie luate cu semne diferite, astfel încât produsul lor să fie egal cu -12, iar atunci suma lor să nu fie în niciun caz poate fi +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. De asemenea, alte factorizări nu dau numerele necesare; prin urmare, ajungem la concluzia că nu suntem încă capabili să factorizăm aceste trinoame pătrate în factori liniari, întrucât metoda noastră nu îi este aplicabilă (nu îndeplinește a doua dintre condițiile care au fost stabilite la început).

El are un pătrat și este format din trei termeni (). Deci, se dovedește - un trinom pătrat.

Exemple nu trinoame pătrate:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - cuaternar cub
\(2x+1\) - binom liniar

Rădăcina trinomului pătrat:

Exemplu:
Trinomul \(x^2-2x+1\) are rădăcina \(1\), deoarece \(1^2-2 1+1=0\)
Trinomul \(x^2+2x-3\) are rădăcini \(1\) și \(-3\), deoarece \(1^2+2-3=0\) și \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)

De exemplu: dacă trebuie să găsiți rădăcinile trinomului pătrat \(x^2-2x+1\), îl echivalăm cu zero și rezolvăm ecuația \(x^2-2x+1=0\).

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)

Gata. Rădăcina este \(1\).

Descompunerea unui trinom pătrat în:

Trinomul pătrat \(ax^2+bx+c\) poate fi extins ca \(a(x-x_1)(x-x_2)\) dacă ecuațiile \(ax^2+bx+c=0\) sunt mai mare decât zero \ (x_1\) și \(x_2\) sunt rădăcinile aceleiași ecuații).

De exemplu, considerăm trinomul \(3x^2+13x-10\).
Ecuația pătratică \(3x^2+13x-10=0\) are un discriminant egal cu 289 (mai mare decât zero), iar rădăcinile sunt egale cu \(-5\) și \(\frac(2)(3). )\). Deci \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Este ușor să verificăm corectitudinea acestei afirmații - dacă avem , atunci obținem trinomul original.

Trinomul pătrat \(ax^2+bx+c\) poate fi reprezentat ca \(a(x-x_1)^2\) dacă discriminantul ecuației \(ax^2+bx+c=0\) este egal cu zero.

De exemplu, considerăm trinomul \(x^2+6x+9\).
Ecuația pătratică \(x^2+6x+9=0\) are un discriminant egal cu \(0\), iar singura rădăcină este egală cu \(-3\). Deci, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (aici coeficientul \(a=1\), deci nu este nevoie să scrieți înainte de paranteză). Vă rugăm să rețineți că aceeași transformare se poate face prin .

Trinomul pătrat \(ax^2+bx+c\) nu se factorizează dacă discriminantul ecuației \(ax^2+bx+c=0\) este mai mic decât zero.

De exemplu, trinoamele \(x^2+x+4\) și \(-5x^2+2x-1\) au un discriminant mai mic decât zero. Prin urmare, este imposibil să le descompuneți în factori.

Exemplu . Factorizați \(2x^2-11x+12\).
Soluţie :
Aflați rădăcinile ecuației pătratice \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)

Deci \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Răspuns : \(2(x-1,5)(x-4)\)

Răspunsul primit poate fi scris într-un mod diferit: \((2x-3)(x-4)\).

Exemplu . (Misiunea de la OGE) Trinomul pătrat este factorizat \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Gaseste un\).
Soluţie:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Răspuns : \(-1,6\)