puncte care nu se află pe aceeași linie? a) se intersectează; b) nu se poate spune nimic; c) nu se intersectează; d) potrivire; e) au trei puncte comune.
2. Care dintre următoarele afirmații este corectă? a) Dacă două puncte ale unui cerc se află într-un plan, atunci întregul cerc se află în acest plan; b) o dreaptă situată în planul unui triunghi intersectează două dintre laturile sale; c) oricare două planuri au un singur punct comun; d) un plan trece prin două puncte și, în plus, doar unul; e) o dreaptă se află în planul unui triunghi dat dacă intersectează două drepte care conțin laturile triunghiului.
3. Două planuri diferite pot avea doar două puncte comune? a) Niciodată; b) pot, dar în condiții suplimentare; c) au întotdeauna; d) nu se poate răspunde la întrebare; d) alt răspuns.
4. Punctele K, L, M se află pe o singură dreaptă, punctul N nu se află pe ea. Un avion este trasat prin fiecare trei puncte. În câte avioane diferite a rezultat? a) 1; b) 2; la 3; d) 4; e) infinit de multe.
5. Alegeți afirmația corectă. a) Un avion trece prin oricare trei puncte și, în plus, doar unul; b) dacă două puncte ale unei drepte se află într-un plan, atunci toate punctele dreptei se află în acest plan; c) dacă două plane au un punct comun, atunci nu se intersectează; d) printr-o linie și un punct situat pe ea trece un plan și, în plus, doar unul; e) Un plan nu poate fi trasat prin două drepte care se intersectează.
6. Numiți linia comună a planurilor PBM și MAB. a) PM b) AB; c) PB; d) BM; d) nu poate fi determinat.
7. Dreptele a și b se intersectează în punctul M. Linia c care nu trece prin punctul M intersectează liniile a și b. Ce se poate spune despre poziția reciprocă a dreptelor a, b și c? a) Toate liniile se află în planuri diferite; b) dreptele a și b se află în același plan; c) toate liniile se află în același plan; d) nu se poate spune nimic e) linia c coincide cu una dintre drepte: fie cu a, fie cu b.
8. Dreptele a și b se intersectează în punctul O. A € a, B € b, Y € AB. Alegeți afirmația corectă. a) Punctele O și Y nu se află în același plan; b) dreptele OY și a sunt paralele; c) dreptele a, b și punctul Y se află în același plan; d) punctele O și Y coincid; e) punctele Y și A coincid.
Opțiunea 2.1. Ce se poate spune despre poziția relativă a două plane care au trei puncte comune care nu se află pe o singură dreaptă?
a) se intersectează; b) nu se poate spune nimic; c) nu se intersectează; d) potrivire; e) au trei puncte comune.
2. Care dintre următoarele afirmații este corectă?
a) Dacă două puncte ale unui cerc se află într-un plan, atunci întregul cerc se află în acest plan; b) o dreaptă situată în planul unui triunghi intersectează două dintre laturile sale; c) oricare două planuri au un singur punct comun; d) un plan trece prin două puncte și, în plus, doar unul; e) o dreaptă se află în planul unui triunghi dat dacă intersectează două drepte care conțin laturile triunghiului.
3. Două planuri diferite pot avea doar două puncte comune?
a) Niciodată; b) pot, dar în condiții suplimentare; c) au întotdeauna; d) nu se poate răspunde la întrebare; d) alt răspuns.
4. Punctele K, L, M se află pe o singură dreaptă, punctul N nu se află pe ea. Un avion este trasat prin fiecare trei puncte. În câte avioane diferite a rezultat?
a) 1; b) 2; la 3; d) 4; e) infinit de multe.
5. Alegeți afirmația corectă.
a) Un avion trece prin oricare trei puncte și, în plus, doar unul; b) dacă două puncte ale unei drepte se află într-un plan, atunci toate punctele dreptei se află în acest plan; c) dacă două plane au un punct comun, atunci nu se intersectează; d) printr-o linie și un punct situat pe ea trece un plan și, în plus, doar unul; e) Un plan nu poate fi trasat prin două drepte care se intersectează.
6. Numiți linia comună a planurilor PBM și MAB.
a) PM b) AB; c) PB; d) BM; d) nu poate fi determinat.
7. Cu care dintre planurile enumerate se intersectează dreapta RM (Fig. 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1
8. Două plane se intersectează în linie dreaptă c. Punctul M se află doar într-unul dintre planuri. Ce se poate spune despre poziția relativă a punctului M și a dreptei c?
a) Nu se poate trage nicio concluzie; b) dreapta c trece prin punctul M; c) punctul M se află pe dreapta c; d) dreapta c nu trece prin punctul M; d) alt răspuns.
9. Dreptele a și b se intersectează în punctul M. Linia c care nu trece prin punctul M intersectează liniile a și b. Ce se poate spune despre poziția reciprocă a dreptelor a, b și c?
a) Toate liniile se află în planuri diferite; b) dreptele a și b se află în același plan; c) toate liniile se află în același plan; d) nu se poate spune nimic e) linia c coincide cu una dintre drepte: fie cu a, fie cu b.
10. Dreptele a și b se intersectează în punctul O. A € a, B € b, Y € AB. Alegeți afirmația corectă.
a) Punctele O și Y nu se află în același plan; b) dreptele OY și a sunt paralele; c) dreptele a, b și punctul Y se află în același plan; d) punctele O și Y coincid; e) punctele Y și A coincid.
razele AB și AC sunt perpendiculare pe marginea sa? 2. Este adevărat că unghiul liniar BAC unghi diedru dacă razele AB și AC se află pe fețele unghiului diedric? 3. Este adevărat că unghiul BAC este unghiul liniar al unui unghi diedru dacă razele AB și AC sunt perpendiculare pe muchia acestuia, iar punctele E și C se află pe fețele unghiului? 4. Unghiul liniar al unui unghi diedru este de 80 de grade. Există o linie pe una dintre fețele unghiului care este perpendiculară pe cealaltă față? 5. Unghiul ABC - un unghi liniar al unui unghi diedru cu o muchie alfa. Linia alfa este perpendiculară pe planul ABC? Este adevărat că toate dreptele perpendiculare pe un plan dat și care intersectează o dreaptă se află în același plan?
Axiomele stereometriei.
A1. Prin oricare trei puncte care nu se află pe o dreaptă dată, trece un avion și, mai mult, doar unul;
Sl.1. Printr-o linie și un punct care nu se află pe ea trece un plan și, în plus, doar unul;
Sl.2. Prin două linii care se intersectează trece un plan și, mai mult, doar unul;
Sl.3. Un plan trece prin două drepte paralele și, în plus, doar una.
A2. Dacă două puncte ale unei linii se află într-un plan, atunci toate punctele dreptei se află în acest plan;
A3. Dacă două plane au un punct comun, atunci ele au o dreaptă comună pe care se află toate punctele comune ale acestor plane.
Principalele figuri ale stereometriei- puncte (A, B, C...), Drept (a, b, c...), avion ( …) , poliedre și corpuri de revoluție.
Sub plan de tăiere figură volumetrică vom înțelege planul, pe ambele părți ale căruia există puncte ale acestei figuri.
Pe măsura distanțeiîntre un punct, o dreaptă și un plan vom lua lungimea perpendicularei lor comune.
2. Dispunerea reciprocă a liniilor în spațiu.
În spațiu, două linii drepte pot fie paralel, se intersectează sau se intersectează.
| 1A | Def. Paralel liniile drepte în spațiu sunt drepte care se află în același plan și nu se intersectează. In conformitate cu 3. Un plan trece prin două drepte paralele și, în plus, doar una. | |
| 1B | T 1 (despre tranzitivitate). Două linii paralele cu o treime sunt paralele între ele. | |
| 2A | Conform cuvântului 2. După două intersectându-se linii drepte trec printr-un plan și, în plus, doar unul | |
| 3A | Def. Cele două linii sunt numite încrucișarea dacă nu se află în același plan. | |
| T 2 (Un semn al liniilor care se intersectează). Dacă una dintre cele două linii se află într-un anumit plan, iar cealaltă linie intersectează acest plan într-un punct care nu aparține primei linii, atunci astfel de linii sunt înclinate. | ||
| 3B | Def. Unghiul dintre liniile oblice este unghiul dintre liniile care se intersectează paralele cu acestea. | |
| 3B | Def. O perpendiculară comună a două drepte care se intersectează este un segment care are capete pe aceste drepte și este perpendicular pe ele (distanța dintre liniile oblice). |
- Dispunerea reciprocă a liniilor și planurilor în spațiu.
În spațiu, o linie dreaptă și un plan pot fi paralel, se intersectează sau drept poate sta în întregime într-un avion.
| 1A | Def. Drept numit plan paralel, dacă este paralelă cu orice dreaptă situată în acest plan. | |
| 1B | T 3 (Un semn de paralelism al unei drepte și al unui plan). O linie care nu se află într-un plan este paralelă cu un plan dacă este paralelă cu o linie situată în acel plan. | |
| 2A | Def. Apelat direct perpendicular pe plan , dacă este perpendiculară pe orice drepte care se intersectează situate în acest plan. | |
| 2B | T 4 (un semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan) Dacă o dreaptă care se intersectează cu un plan este perpendiculară pe oricare două drepte care se intersectează situate în acest plan, atunci este, de asemenea, perpendiculară pe orice a treia dreaptă situată în acest plan. | |
| 2B | T 5 (aproximativ două drepte paralele perpendiculare pe a treia). Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe acel plan. | |
| 2G | Def. Unghiul dintre o linie și un plan este unghiul dintre o dreaptă dată și proiecția acesteia pe plan. | |
| 2D | Def. Se numește orice altă dreaptă, diferită de perpendiculară și care intersectează planul oblic la acest plan (fig. vezi mai jos). Def. Proiecție oblică pe un plan numit segmentul care leagă baza perpendicularei și oblicului. T 6 (despre lungimea perpendicularului și oblicului). 1) Perpendiculara trasată pe plan este mai scurtă decât cea înclinată pe acest plan; 2) Oblic egal corespund proiecțiilor egale; 3) Dintre cele două înclinate, cea a cărei proiecție este mai mare este mai mare. | |
| 2E | T 7 (aproximativ trei perpendiculare). O linie dreaptă trasată pe un plan prin baza unei proiecții înclinate perpendiculară pe aceasta este, de asemenea, perpendiculară pe cea mai înclinată. T 8 (verso). O linie dreaptă trasată pe un plan prin baza unui plan înclinat și perpendiculară pe aceasta este, de asemenea, perpendiculară pe proiecția planului înclinat pe acest plan. | |
| 3A | Conform axiomei 2. Dacă două puncte ale unei drepte se află într-un plan, atunci toate punctele unei drepte se află în acest plan |
- Dispunerea reciprocă a avioanelor în spațiu.
În spațiu, avioanele pot fi paralel sau cruce.
| 1A | Def. Două avion numit paralel dacă nu se intersectează. | |
| T 9 (semnul planelor paralele). Dacă două drepte care se intersectează dintr-un plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte ale altui plan, atunci aceste plane sunt paralele. | ||
| 1B | T 10 Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan, atunci intersecțiile directe sunt paralele (proprietatea planelor paralele 1). | |
| 1B | T 11 Segmentele de drepte paralele închise între planuri paralele sunt egale (proprietatea planurilor paralele 2). | |
| 2A | Prin axioma 3. Dacă două planuri au un punct comun, atunci ele au o linie comună pe care se află toate punctele comune ale acestor planuri ( planurile se intersectează în linie dreaptă). | |
| 2B | T 12 (un semn de perpendicularitate a planurilor). Dacă un plan trece printr-o dreaptă perpendiculară pe alt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare. | |
| 2B | Def. unghi diedru se numește o figură formată din două semiplane care emană dintr-o dreaptă. Un plan perpendicular pe o muchie a unui unghi diedru își intersectează fețele de-a lungul a două raze. Unghiul format de aceste raze se numește unghiul liniar al unui unghi diedru. Pe măsura unghiului diedric se ia măsura unghiului liniar corespunzător. |
I5 Oricare ar fi cele trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă, există cel mult un plan care trece prin aceste puncte.
I6 Dacă două puncte A și B ale unei drepte se află în planul a, atunci fiecare punct al dreptei a se află în planul a. (În acest caz vom spune că linia a se află în planul a sau că planul a trece prin dreapta a.
I7 Dacă două plane a și b au un punct comun A, atunci ele au cel puțin un alt punct comun B.
I8 Sunt cel puţin patru puncte care nu se află în acelaşi plan.
Deja din aceste 8 axiome se pot deduce câteva teoreme de geometrie elementară, care sunt clar evidente și, prin urmare, nu sunt dovedite la cursul de geometrie școlară și chiar uneori, din motive logice, sunt incluse în axiomele unui anumit curs școlar.
De exemplu:
1. Două linii au cel mult un punct comun.
2. Dacă două plane au un punct comun, atunci ele au o linie comună pe care se află toate punctele comune ale acestor două planuri
Dovada: (pentru prezentare):
Prin I 7 $ B, care aparține și lui a și b, deoarece A, B "a, apoi conform I 6 AB "b. Deci linia AB este comună la două plane.
3. Printr-o dreaptă și un punct care nu se află pe ea, precum și prin două drepte care se intersectează, trece unul și un singur plan.
4. Există trei puncte pe fiecare plan care nu se află pe o singură linie dreaptă.
COMETARIU: Cu aceste axiome, puteți demonstra câteva teoreme, iar cele mai multe dintre ele sunt atât de simple. În special, nu se poate demonstra din aceste axiome că mulțimea elemente geometrice la nesfârşit.
GRUPA II Axiomele ordinii.
Dacă trei puncte sunt date pe o linie dreaptă, atunci unul dintre ele poate fi situat față de celelalte două în relația „a se afla între”, care satisface următoarele axiome:
II1 Dacă B se află între A și C, atunci A, B, C sunt puncte distincte ale aceleiași drepte, iar B se află între C și A.
II2 Oricare ar fi două puncte A și B, există cel puțin un punct C pe dreapta AB astfel încât B se află între A și C.
II3 Dintre oricare trei puncte ale unei linii, există cel mult un punct situat între alte două.
Potrivit lui Hilbert, o pereche de puncte A și B este înțeleasă peste un segment AB(BA).Punctele A și B sunt numite capete ale segmentului, iar orice punct situat între punctele A și B este numit punct interior al segmentului. AB(BA).
COMETARIU: Dar din II 1-II 3 nu rezultă încă că fiecare segment are puncte interioare, ci din II 2, z că segmentul are puncte exterioare.
II4 (axioma lui Pasch) Fie A, B, C trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și fie A o dreaptă în planul ABC care nu trece prin niciunul dintre punctele A, B, C. Atunci, dacă linia a trece prin punctul segmentului AB, atunci trece și prin punctul segmentului AC sau BC.
Sl.1: Oricare ar fi punctele A și C, există cel puțin un punct D pe linia AC care se află între A și C.
Doc-in: I 3 Þ$ adică nu se află pe linia AC
Sl.2. Dacă C se află pe segmentul AD și B între A și C, atunci B se află între A și D, iar C se află între B și D.Acum putem demonstra două afirmații
DC3 Afirmația II 4 este valabilă și dacă punctele A, B și C se află pe aceeași dreaptă.
Și cel mai interesant.
Sl.4 . Între oricare două puncte ale unei linii există un număr infinit de alte puncte pe ea (autosuficiente).
Cu toate acestea, nu se poate stabili că setul de puncte al dreptei este nenumărabil. .
Axiomele grupelor I și II ne permit să introducem concepte atât de importante ca semiplan, rază, semispațiu și unghi. Să demonstrăm mai întâi teorema.
Th1. Linia a situată în planul a împarte mulțimea de puncte ale acestui plan care nu se află pe dreapta a în două submulțimi nevide, astfel încât dacă punctele A și B aparțin aceleiași submulțimi, atunci segmentul AB nu are comun puncte cu dreapta a; dacă aceste puncte aparțin unor submulțimi diferite, atunci segmentul AB are un punct comun cu dreapta a.
Ideea: se introduce o relatie si anume t. A si B Ï A sunt în raport cu Δ dacă segmentul AB nu are puncte comune cu dreapta A sau aceste puncte coincid. Apoi au fost luate în considerare seturile de clase de echivalență în raport cu Δ. Este dovedit că sunt doar două dintre ele folosind argumente simple.
ODA1 Fiecare dintre submulțimile de puncte definite de teorema anterioară se numește semiplan cu granița a.
În mod similar, putem introduce conceptele de rază și jumătate de spațiu.
Ray- h, iar linia dreaptă este .
ODA2 Un unghi este o pereche de raze h și k care emană din același punct O și nu se află pe aceeași linie dreaptă. deci O se numește vârful unghiului, iar razele h și k se numesc laturile unghiului. Notat în mod obișnuit: Ðhk.
Punctul M se numește punct intern al unghiului hk dacă punctul M și raza k se află în același semiplan cu granița și punctul M și raza k se află în același semiplan cu granița. Mulțimea tuturor punctelor interioare se numește interiorul unghiului.
zona exterioară unghi - un set infinit, deoarece toate punctele segmentului cu capete pe diferite laturi ale unghiului sunt interne. Din motive metodologice, următoarea proprietate este adesea inclusă în axiome.
Proprietate: Dacă o rază emană din vârful unui unghi și trece prin cel puțin un punct interior al acelui unghi, atunci ea intersectează orice segment cu capete pe diferite laturi ale unghiului. (De sine.)
GRUPA III. Axiome de congruență (egalitate)
Pe multimea segmentelor si unghiurilor se introduce o relatie de congruenta sau egalitate (notata cu „=”), care satisface axiomele:
III 1 Dacă se dă un segment AB și o rază care emană din punctul A / , atunci $ t.B / aparținând acestei raze, astfel încât AB=A / B / .
III 2 Dacă A / B / =AB și A // B // =AB, atunci A / B / =A // B // .
III 3 Fie А-В-С, А / -В / -С / , АВ=А / В / și ВС=В / С / , apoi AC=А / С /
ODA3 Dacă O / este un punct, h / este o rază care emană din acest punct, iar l / este un semiplan cu graniță, atunci triplul obiectelor O / ,h / și l / se numește steag (O / ,h / ,l /).
III 4 Să se dea Ðhk și un steag (O / ,h / ,l /). Atunci în semiplanul l / există o rază unică k / care emană din punctul O / astfel încât Ðhk = Ðh / k / .
III 5 Fie A, B și C trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. Dacă în același timp AB=A / B / , AC=A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, atunci RABC = ÐA / B / C / .
1. Punctul B / B III 1 este singurul de pe acest fascicul (auto.)
2. Relația de congruență a segmentelor este o relație de echivalență pe mulțimea segmentelor.
3. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la baze sunt egale. (Conform III 5).
4. Semne de egalitate a triunghiurilor.
5. O relație de congruență unghiulară este o relație de echivalență pe o mulțime de unghiuri. (Raport)
6. Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât fiecare unghi al triunghiului care nu este adiacent acestuia.
7. În fiecare triunghi, un unghi mai mare se află opus laturii mai mari.
8. Orice segment are unul și un singur punct de mijloc
9. Orice unghi are una și o singură bisectoare
Puteți introduce următoarele concepte:
ODA4 Un unghi egal cu unghiul său adiacent se numește unghi drept..
Poate defini unghiuri verticale, perpendiculare și oblice etc.
Este posibil să se dovedească unicitatea lui ^. Puteți introduce conceptele > și< для отрезков и углов:
ODA5 Dacă sunt date segmentele AB și A / B / și $ t.C, astfel încât A / -C-B / și A / C \u003d AB, atunci A / B / > AB.
ODA6 Dacă sunt date două unghiuri Ðhk și Ðh / k / și dacă o rază l poate fi trasă prin interiorul lui Ðhk și vârful său astfel încât Ðh / k / = Ðhl, atunci Ðhk > Ðh / k / .
Și cel mai interesant lucru este că cu ajutorul axiomelor grupelor I-III este posibil să se introducă conceptul de mișcare (suprapunere).
Se face asa:
Să fie date două mulţimi de puncte p şi p /. Să presupunem că între punctele acestor mulţimi se stabileşte o corespondenţă unu-la-unu. Fiecare pereche de puncte M și N ale mulțimii p determină segmentul MN. Fie М / și N / puncte ale mulțimii p / corespunzătoare punctelor МN. Vom fi de acord să numim segmentul M / N / corespunzător segmentului MN.
ODA7 Dacă $ corespondența dintre p și p / este astfel încât segmentele corespunzătoare se dovedesc întotdeauna a fi reciproc congruente, atunci seturi p și p / se numesc congruente . Se mai spune că se obține fiecare dintre mulțimile p și p/ circulaţie de la altul sau că unul dintre aceste seturi poate fi suprapus altuia. Punctele corespunzătoare ale mulțimii p și p / se numesc suprapuse.
Aplicația 1: Punctele situate pe o linie, atunci când se deplasează, trec în puncte situate și pe o linie.
Utv2 Unghiul dintre două segmente care leagă orice punct al mulțimii cu alte două puncte este congruent cu unghiul dintre segmentele corespunzătoare ale mulțimii congruente.
Puteți introduce conceptul de rotație, deplasare, alcătuire a mișcărilor etc.
GRUPA IV. Axiome de continuitate și.
IV 1 (Axioma lui Arhimede). Fie AB și CD niște segmente. Atunci pe dreapta AB există o mulțime finită de puncte А 1 , А 2 , …, А n astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-An
IV2 (Axioma lui Cantor) Fie dată o succesiune infinită de segmente А1В1, А2В2,... pe o dreaptă arbitrară a, din care fiecare ulterioară se află în interiorul celui precedent și, în plus, pentru orice segment CD există numar natural n astfel încât AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
