Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.
Metode de predare: vizuală, parțial exploratorie.
Scopul lecției:
- Introduceți conceptul de tangentă la graficul unei funcții într-un punct, aflați ce sens geometric derivată, deduceți ecuația tangentei și învățați cum să o găsiți pentru anumite funcții.
- Dezvoltarea gândirii logice, a abilităților de cercetare, a gândirii funcționale, a vorbirii matematice.
- Dezvoltați abilitățile de comunicare la locul de muncă, promovați dezvoltarea activitate independentă elevi.
Echipament: computer, proiector multimedia, fișe.
Descarca:
Previzualizare:
Lecție pe tema „Tangentă. Ecuația tangentei”
Tip de lecție: învăţarea de materiale noi.
Metode de predare:vizuală, parțial exploratorie.
Scopul lecției:
- Introduceți conceptul de tangentă la graficul unei funcții într-un punct, aflați care este semnificația geometrică a derivatei, deduceți ecuația tangentei și învățați cum să o găsiți pentru anumite funcții.
- Dezvoltarea gândirii logice, a abilităților de cercetare, a gândirii funcționale, a vorbirii matematice.
- Dezvoltarea abilităților de comunicare în muncă, pentru a promova dezvoltarea activității independente a elevilor.
Echipament: computer, proiector multimedia, fișe.
Planul lecției
I moment organizatoric.
Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție. Mesajul temei și motto-ul lecției.
II Actualizarea materialului.
(Activați atenția, arătați lipsa de cunoștințe despre tangentă, formulați scopurile și obiectivele lecției.)
Să discutăm ce este o tangentă la un grafic al funcției? Sunteți de acord cu afirmația că „O tangentă este o dreaptă care are un punct comun cu o curbă dată”?
Există o discuție. Declarații ale copiilor (da și de ce, nu și de ce). În timpul discuției, ajungem la concluzia că această afirmație nu este adevărată.
Exemple.
1) Linia x = 1 are un punct comun M(1; 1) cu parabola y = x2, dar nu este tangentă la parabola. Linia y = 2x – 1 care trece prin același punct este tangentă la parabola dată.
2) În mod similar, linia x = π nu este tangentă la grafic y = cos x , deși are singurul punct comun K(π; 1) cu el. Pe de altă parte, dreapta y = - 1 care trece prin același punct este tangentă la grafic, deși are infinite puncte comune tip;(π+2 πk; 1), unde k este un număr întreg, în fiecare dintre ele atinge graficul.
|
|
Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru copii la lecție:aflați care este tangenta la graficul unei funcții într-un punct, cum să scrieți o ecuație pentru o tangentă?
De ce avem nevoie pentru asta?
Amintiți-vă forma generala ecuații ale unei drepte, condiții pentru drepte paralele, definirea unei derivate, reguli de diferențiere.
III Lucrări pregătitoare pentru studiul materialului nou.
Material de întrebări pe cartonașe: (sarcinile sunt finalizate pe tablă)
1 elev: completați tabelul de derivate functii elementare
2 elev: amintiți-vă regulile de diferențiere 
3 elev: scrieți ecuația unei drepte y = kx + 4 trecând prin punctul A(3; -2).
(y=-2x+4)
4 elev: alcătuiește o ecuație de drepte y=3x+b trecând prin punctul С(4; 2).
(y = 3x - 2).
Cu restul lucru frontal.
- Formulați definiția unei derivate.
- Care dintre următoarele drepte sunt paralele? y = 0,5x; y \u003d - 0,5x; y \u003d - 0,5x + 2. De ce?
Ghiciți numele omului de știință: 
Cheia răspunsurilor
Cine a fost acest om de știință, cu ce este legată munca lui, vom afla în lecția următoare.
Verificați răspunsurile elevilor pe carduri.
IV Studiul materialului nou.
Pentru a stabili ecuația unei drepte pe un plan, este suficient să cunoaștem unghiul acesteia
coeficientul și coordonatele unui punct.
- Să începem cu panta
Figura 3
Luați în considerare graficul funcției y = f(x) diferentiabil la punctul A(x 0 , f(x 0 )) .
Alegeți un punct pe el M (x 0 + Δх, f(x 0 + Δх)) si trage o secanta A.M .
Întrebare: care este panta secantei? (∆f/∆x=tgβ)
Vom aproxima punctul de-a lungul arcului M până la punctul A . În acest caz, drept A.M se va roti în jurul punctului A , apropiindu-se (pentru linii netede) de o poziție limitativă - o linie dreaptă LA . Cu alte cuvinte, AT , care are această proprietate, se numește tangentă la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul A (x 0, f (x 0)).
Panta secantei AM la AM → 0 tinde spre panta tangentei AT Δf/Δx → f "(x 0 ) . Valoarea derivatei într-un punct x 0 luați pentru panta tangentei. Ei spun astatangenta este poziția limită a secantei la ∆x → 0.
Existența unei derivate a unei funcții într-un punct x 0 este echivalentă cu existența unei tangente (neverticale) la (x 0, f(x 0 )), în timp ce panta tangentei este egală cu f "(x 0) . Aceasta este sensul geometric al derivatului.
Definiția tangentei: Tangenta la un grafic diferentiabil intr-un punct x 0 funcția f este o dreaptă care trece printr-un punct(x 0 , f(x 0 )) și având o pantă f "(x 0) .
Să desenăm funcțiile tangente la grafic y \u003d f (x) în punctele x 1, x 2, x 3 , și notați unghiurile pe care le formează cu axa x. (Acesta este unghiul măsurat în direcția pozitivă de la direcția pozitivă a axei la linia dreaptă.)
Figura 4
Vedem că unghiul α 1 este acut, unghiul α 3 este obtuz și unghiul α 2 zero, din moment ce linia dreaptă l este paralel cu axa Ox. Tangentă unghi ascutit pozitiv, prost - negativ. De aceea f "(x 1)> 0, f" (x 2) \u003d 0, f "(x 3)
- Acum derivăm ecuația tangenteila graficul funcției f în punctul A(x 0 , f(x 0 ) ).
Vedere generală a ecuației dreptei y = kx + b .
- Să găsim coeficientul unghiular k \u003d f "(x 0), obținem y \u003d f "(x0) ∙ x + b, f (x) \u003d f "(x 0 )∙x + b
- Să găsim b. b \u003d f (x 0) - f "(x 0) ∙ x 0.
- Înlocuiți valorile obținute k și b în ecuația unei linii drepte: y \u003d f "(x 0) ∙x + f (x 0) - f "(x 0) ∙x 0 sau y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)
- Generalizarea materialului de curs.
- formulați un algoritm pentru găsirea ecuației tangentei la un punct?
1. Valoarea funcției la punctul de contact
2. Derivată comună a unei funcții
3. Valoarea derivatei la punctul de contact
4. Înlocuiți valorile găsite în ecuație generală tangentă.
V Consolidarea materialului studiat.
1. Lucrare orală:
1) B ce puncte ale graficului sunt tangente la acesta
a) orizontală;
b) formează un unghi ascuțit cu axa x;
c) formează un unghi obtuz cu axa x?
2) Pentru ce valori ale argumentului este derivata funcției date de grafic
a) egal cu 0;
b) mai mult de 0;
c) mai mic de 0?
|
|
3) Figura prezintă graficul funcției f(x) și o tangentă la acesta într-un punct cu o abscisă x0 . Aflați valoarea derivatei unei funcții f „(x) în punctul x 0 .
Figura 7
2. Lucrări scrise.
Nr. 253 (a, b), Nr. 254 (a, b). (lucru de teren, cu comentarii)
3. Rezolvarea problemelor de referință.
Să luăm în considerare patru tipuri de sarcini. Copiii citesc starea problemei, oferă un algoritm de soluție, unul dintre elevi îl întocmește pe tablă, restul îl notează într-un caiet.
1. Dacă este dat un punct de atingere
Scrieți o ecuație pentru o tangentă la un grafic al funcției f(x) = x 3 - 3x - 1 în punctul M cu abscisă -2.
Soluţie:
- Să calculăm valoarea funcției: f(-2) =(-2) 3 - 3(-2) - 1 = -3;
- găsiți derivata funcției: f "(x) \u003d 3x 2 - 3;
- calculați valoarea derivatei: f "(-2) \u003d - 9 .;
- să substituim aceste valori în ecuația tangentei: y = 9(x + 2) - 3 = 9x + 15.
Răspuns: y = 9x + 15.
2. După ordonata punctului de contact.
Scrieți o ecuație pentru o tangentă într-un punct dintr-un grafic cu ordonata y 0 = 1.
Soluţie:
Răspuns: y \u003d -x + 2.
3. Direcția prestabilită.
Scrieți ecuații tangente la grafic y \u003d x 3 - 2x + 7 , paralel cu linia y = x .
Soluţie.
Tangenta dorită este paralelă cu dreapta y=x . Deci au aceeași pantă k \u003d 1, y "(x) \u003d 3x2 - 2. Abscisa x 0 punctele de contact satisface ecuația 3x 2 - 2 \u003d 1, de unde x 0 = ±1.
Acum putem scrie ecuațiile tangente: y = x + 5 și y = x + 9 .
Răspuns: y = x + 5 , y = x + 9 .
4. Condiții pentru atingerea graficului și a dreptei.
O sarcină. La ce b drept y = 0,5x + b este tangentă la graficul funcției f(x) = ?
Soluţie.
Reamintim că panta unei tangente este valoarea derivatei în punctul tangentei. Panta acestei drepte este k = 0,5. De aici obținem ecuația pentru determinarea abscisei x a punctului de atingere: f "(x) \u003d = 0,5. Evident, singura sa rădăcină este x = 1. Valoarea acestei funcții în acest punct este y(1) = 1. Deci, coordonatele punctului de atingere sunt (1; 1). Acum rămâne să alegeți o astfel de valoare a parametrului b, la care linia trece prin acest punct, adică coordonatele punctului satisfac ecuația dreptei: 1 = 0,5 1 + b, de unde b = 0,5.
5. Muncă independentă caracter educativ.
Lucrați în perechi. 
Verificare: rezultatele soluției se trec într-un tabel pe tablă (un răspuns din fiecare pereche), discutarea răspunsurilor.
6. Aflarea unghiului de intersecție a graficului unei funcții și a unei drepte.
Unghiul de intersecție a graficului funcției y = f(x) și linia directă l numit unghiul la care tangenta la graficul functiei intersecteaza dreapta in acelasi punct.
Nr. 259 (a, b), Nr. 260 (a) - dezasamblați la bord.
7. Munca independenta de natura controlanta.(lucrare diferențiată, profesorul verifică pentru următoarea lecție)
1 opțiune.
Opțiunea 2.
- În ce puncte este tangenta la graficul funcției f(x) = 3x 2 - 12x + 7 paralel cu axa x?
- Echivalează tangenta cu graficul funcției f(x)= x 2 - 4 în punctul cu abscisa x 0 = - 2. Desenați modelul.
- Aflați dacă linia este y \u003d 12x - 10 tangentă la graficul funcției y = 4x3.
3 optiune.
VI Rezumând lecția.
1. Răspunsuri la întrebări
- ce se numește tangentă la graficul unei funcții într-un punct?
Care este semnificația geometrică a derivatei?
- formulați un algoritm pentru găsirea ecuației tangentei la un punct?
2. Amintiți-vă de scopurile și obiectivele lecției, am atins acest scop?
3. Care au fost dificultățile din lecție, ce momente ale lecției ți-au plăcut cel mai mult?
4. Notarea pentru lecție.
VII Comentariu la teme: p. 19 (1, 2), Nr. 253 (c), Nr. 255 (d), Nr. 256 (d), Nr. 257 (d), Nr. 259 (d). Pregătește un raport despre Leibniz.
Literatură
1. Algebra și începutul analizei: un manual pentru clasa a 10-a institutii de invatamant. Compilatoare:. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin. - M.: Educație, 2008.
2. Materiale didactice despre algebră și principii de analiză pentru clasa a 10-a / B.M. Ivlev, S.M. Saakyan, S.I. Schwarzburd. - M.: Educație, 2008.
3. Disc multimedia al companiei „1C”. 1C: Tutor. Matematică (partea 1) + UTILIZAȚI opțiuni. 2006.
4. bancă deschisă teme la matematică/ http://mathege.ru/
Lecțiile 70-71. Ecuația tangentei la graficul funcției
09.07.2015 5132 0Ţintă: obțineți ecuația tangentei la graficul funcției.
I. Comunicarea temei și a obiectivelor lecțiilor
II. Repetarea și consolidarea materialului acoperit
1. Răspunsuri la întrebări despre teme (analiza problemelor nerezolvate).
2. Controlul asimilării materialului (test).
Opțiunea 1
1. Găsiți derivata funcției y \u003d 3x4 - 2 cos x .
Răspuns: 
în punctul x = π.
Răspuns:
3. Rezolvați ecuația y '(x) = 0 dacă 
Răspuns:
Opțiunea 2
1. Găsiți derivata funcției y \u003d 5xb + 3 sin x .
Răspuns: 
2. Calculați valoarea derivatei funcțieiîn punctul x = π.
Răspuns:
3. Rezolvați ecuația y '(x) = 0 dacă 
Răspuns:
III. Învățarea de materiale noi
În cele din urmă, să trecem la etapa finală a studiului derivatului și să luăm în considerare utilizarea derivatului în lecțiile rămase. În această lecție, vom discuta tangenta la graficul unei funcții.
Conceptul de tangentă a fost deja luat în considerare mai devreme. S-a arătat că graficul unei funcții derivabilă în punctul a f (x) aproape de a nu diferă practic de graficul tangentei, ceea ce înseamnă că este aproape de secanta care trece prin punctele (a; f (a)) și (a + Δx; f (a + Δx)). Oricare dintre aceste secante trece prin punctul M(a; f (A)). Pentru a scrie ecuația unei tangente, trebuie să specificați panta acesteia. Panta secantei Δ f /Δx la Δх → 0 tinde spre un număr f „(a), care este panta tangentei. Prin urmare, ei spun că tangenta este poziția limită a secantei la Δх→ 0.
Acum obținem ecuația tangentei la graficul funcției f (X). Întrucât tangenta este o dreaptă și panta ei f „(a), atunci îi putem scrie ecuația y \u003d f „(a) x + b . Să găsim coeficientul b din condiția ca tangenta să treacă prin punctul M(a; f (A)). Înlocuiți coordonatele acestui punct în ecuația tangentei și obțineți: f (a) \u003d f "(a) a + b, de unde b \u003d f (a) - f „(a) a. Acum înlocuim valoarea găsită b în ecuația tangentei și obținem: sau Aceasta este ecuația tangentei. Să discutăm despre aplicarea ecuației tangentei.
Exemplul 1
În ce unghi se află sinusoida
intersectează axa x la origine?
Unghiul la care graficul acestei funcții intersectează axa x, egal cu unghiul panta a tangentei trasate la graficul funcției f(x ) în acest moment. Să găsim derivata:Ținând cont de semnificația geometrică a derivatei, avem:și a = 60°.
Exemplul 2
Să scriem ecuația graficului tangent al funcției f (x) = -x2 + 4x în punct a = 1.
f „(x) și funcția în sine f (x) la punctul a = 1 și obțineți: f "(a) = f "(1) = -2 1 + 4 = 2 și f (a) = f (1) = -12 + 4 1 = 3. Înlocuiți aceste valori în ecuația tangentei. Avem: y \u003d 2 (x - 1) + 3 sau y \u003d 2x + 1.
Pentru claritate, figura prezintă un grafic al funcției f(x ) și tangentă la această funcție. Atingerea are loc la un moment dat M(1; 3).
Pe baza exemplelor 1 și 2, putem formula un algoritm pentru obținerea ecuației tangentei la graficul funcției y = f(x):
1) desemnează abscisa punctului de contact cu litera a;
2) se calculează f(a);
3) găsiți f „(x) și calculați f „(a);
4) înlocuiți numerele găsite a, f (a), f "(a) în formula y \u003d f '(a) (x - a) + f (a).
Rețineți că inițial punctul a poate fi necunoscut și trebuie găsit din condițiile problemei. Apoi, în algoritmul din paragrafele 2 și 3, cuvântul „calcula” trebuie înlocuit cu cuvântul „scrie” (care este ilustrat de exemplul 3).
În exemplul 2, abscisa a punctului tangent a fost specificată direct. În multe cazuri, punctul de contact este determinat de diferite condiții suplimentare.
Exemplul 3
Să scriem ecuațiile tangentelor trase din punct A (0; 4) la graficul funcției f(x) \u003d - x 2 + 2x.
Este ușor de verificat că punctul A nu se află pe parabolă. În același timp, punctele de contact ale parabolei și ale tangentelor sunt necunoscute, prin urmare, pentru a găsi aceste puncte, se va folosi o condiție suplimentară - trecerea tangentelor prin punctul A.
Să presupunem că contactul are loc la punctul a. Să găsim derivata funcției:Calculați valorile derivatei f"(x ) și funcția în sine f (x) la punctul de contact a și obținem: f '(a) \u003d -2a + 2 și f (a ) = -a2 + 2a. Înlocuiți aceste valori în ecuația tangentei. Avem: sau 
Aceasta este ecuația tangentei.
Notăm condiția trecerii tangentei prin punctul A, înlocuind coordonatele acestui punct. Obtinem: 4sau 4 = a2, de unde a = ±2. Astfel, atingerea are loc în două puncte B(-2; -8) și C(2; 0). Prin urmare, vor exista două astfel de tangente. Să le găsim ecuațiile. Să substituim valorile a = ±2 în ecuația tangentei. Primim: la a = 2 
sau yx \u003d -2x + 4; la a = -2 sau y2 = 6x + 4. Deci, ecuațiile tangentelor sunt y1 = -2x + 4 și y2 = 6x + 4.
Exemplul 4
Să găsim unghiul dintre tangente folosind condițiile problemei anterioare.
Tangentele desenate y1 = -2x + 4 și y2 = 6x + 4 formează unghiuri a1 și a2 cu direcția pozitivă a axei absciselor (și tg a 1 = -2 și tg a 2 = 6) iar între ele unghiul φ = a 1 - a2. Găsim, folosind formula binecunoscută,
de unde φ = arctan 8/11.
Exemplul 5
Să scriem ecuația tangentei la graficul funcțieilinie paralelă y \u003d -x + 2.
Două drepte sunt paralele între ele dacă au aceeași pantă. Panta dreptei y \u003d -x + 2 este -1, panta tangentei dorite este f '(a ), unde a - abscisa punctului de contact. Prin urmare, pentru a determina a, avem o condiție suplimentară f '(a) \u003d -1.
Folosind formula pentru derivata funcțiilor private, găsim derivata:
Aflați valoarea derivatei în punct a și obțineți: 
Obținem ecuația
sau (a - 2)2 = 4, sau a - 2 = ±2, de unde a = 4 și a = 0. Astfel, există două tangente care satisfac condiția problemei. Să substituim valorile a = 4 și a = 0 în ecuația tangentei y = f '(a)(x - a) + f (A). Pentru a = 4 avem:
și tangenta y1 \u003d - (x - 4) + 3 sau y1 \u003d -x + 7. Cu un \u003d 0 obținem:
și tangente y2 \u003d - (x - 0) - 1 sau y2 \u003d -x - 1. Deci, ecuațiile tangentelor y1 \u003d -x + 7 și y2 \u003d -x - 1.
Rețineți că dacă f "(a ) nu există, atunci tangenta sau nu există (ca în funcție f (x) = |x| în punctul (0; 0) - fig. a sau vertical (cum ar fi funcțiaîn punctul (0; 0) - fig. b.
Deci existența unei derivate a unei funcții f (x) în punctul a este echivalent cu existența unei tangente neverticale în punctul (a; f (a)) grafică. În acest caz, panta tangentei este egală cu f „(a). Acesta este sensul geometric al derivatului.
Conceptul de derivată permite efectuarea unor calcule aproximative. S-a remarcat în mod repetat că la Δх→ 0 valori ale funcției f(x ) și tangenta ei y(x) practic coincid. Prin urmare, la Δx→ 0 comportament al funcției f (x) într-o vecinătate a punctului x0 poate fi descris aproximativ prin formula(de fapt ecuația tangentei). Această formulă este utilizată cu succes pentru calcule aproximative.
Exemplul 6
Calculați valoarea funcțieiîn punctul x = 2,03.
Găsiți derivata acestei funcții: f „(x) \u003d 12x2 - 4x + 3. Vom presupune că x \u003d a + Δx, unde a \u003d 2 și Δx \u003d 0,03. Calculăm valorile funcției și derivata ei la punctul a și obțineți:și Acum să definim valoarea funcției în punct dat x = 2,03. Avem:
Desigur, formula de mai sus este convenabilă de utilizat dacă valorile f (a) și f „(a ) este ușor de calculat.
Exemplul 7
Calcula
Luați în considerare funcțiaSă găsim derivata:
Vom presupune că x = a + Δx, unde a = 8 și Δx = 0,03. Să calculăm valorile funcției și ale derivatei sale în punctul a și obținem:Acum să determinăm valoarea funcției la un punct dat x = 8,03. Avem:
Exemplul 8
Să generalizăm rezultatul obținut. Luați în considerare funcția de putere f (x) = x n și vom presupune că x = a + Δx și Δx→ 0. Aflați f „(x) = n x n -1 și calculați valorile funcției și derivatei acesteia la punctul a, obținem: f (a) \u003d an și f ’(a) \u003d nan -1 . Acum avem formula f (x) = a n + nan -1 Δx. Să-l folosim pentru a calcula numărul 0,98-20. Vom presupune că a = 1, Δх = -0,02 și n = -20. Atunci obținem:
Desigur, formula de mai sus poate fi utilizată pentru orice alte funcții, în special pentru cele trigonometrice.
Exemplul 9
Să calculăm tg 48°.
Luați în considerare funcția f(x) = tg x și găsiți derivata:
Vom presupune că x = a + Δ x, unde a = 45° = π/4 și 
(Încă o dată, rețineți că în trigonometrie, unghiurile sunt de obicei măsurate în radiani). Să găsim valorile funcției și derivata ei în punctul a și obținem:Acum să calculăm(ținând cont că π = 3,14).
IV. întrebări de testare
1. Ecuația tangentei la graficul funcției.
2. Algoritm pentru derivarea ecuației tangentei.
3. Sensul geometric al derivatului.
4. Aplicarea ecuației tangentei pentru calcule aproximative.
V. Sarcina din lecții
§ 29, nr.1 (a); 2 (b); 5 (a, b); 6 (c, d); 9(a); 10 (b); 12 (d); 14(a); 17; 21(a); 22 (a, c); 24 (a, b); 25(a); 26.
VI. Teme pentru acasă
§ 29, nr.1 (b); 2 (c); 5 (c, d); 6 (a, b); 9 (b); 10(a); 12(b); 14 (b); optsprezece; 21(c); 22 (b, d); 24 (c, d); 25 (b); 27.
VII. Sarcini creative
1. În ce puncte x sunt tangente la graficele funcțiilor paralel?
Răspuns: x \u003d -1, x \u003d 3.
2. Pentru ce x sunt tangentele la graficele funcțiilor y \u003d 3 cos 5 x - 7 și y = 5 cos 3 x + 4 sunt paralele?
Răspuns: 
3. În ce unghiuri se intersectează curbele y = x2 şi
Răspuns: π/2 și arctg 3/5.
4. În ce unghi curbele se intersectează cu y = cos x și y = sin x?
Răspuns:
5. O tangentă este trasă la parabola y \u003d 4 - x2 în punctul cu abscisa x \u003d 1. Găsiți punctul de intersecție al acestei tangente cu axa y.
Răspuns: (0; 5).
6. La parabola y \u003d 4x - x2 în punctul cu abscisa x \u003d 3, este trasă o tangentă. Aflați punctul de intersecție al acestei tangente cu axa x.
Răspuns: (9/2; 0).
7. Găsiți unghiul dintre două tangente desenate din punctul (0; -2) la parabola y \u003d x2.
Răspuns: 
8. Pe graficul funcției y \u003d 3x2 + 3x + 2, sunt desenate tangente cu coeficienți de pantă k 1 = 0 și k 2 = 15. Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctele de contact.
Răspuns: y \u003d 12x - 4.
9. Aflați ecuațiile dreptelor care ating simultan parabolele y = x2 + x - 2 și y = -x2 + 7x - 11.
Răspuns: y \u003d 7x - 11 și y \u003d x - 2.
10. Scrieți ecuația tangentei comune la parabolele y \u003d -3x2 + 4x + 4 și y \u003d -3x2 + 16x - 20.
Răspuns: y = -2x + 7.
11. Tangenta la graficul funcției y \u003d x2 - 4x - 3 este desenată în punctul x \u003d 0. Găsiți aria triunghiului format din tangenta și axele de coordonate.
Răspuns: 9/8.
12. Aflați aria triunghiului delimitată de axele de coordonate și tangenta la graficul funcției
în punctul x = 2.
Raspunsul 1.
VIII. Rezumând lecțiile
Secțiuni: Matematica
Goluri.
- Generalizează și sistematizează regulile de diferențiere;
- Repetați algoritmul pentru construirea unei tangente la graficul funcției, schema de studiere a funcției;
- Rezolvarea problemelor pentru utilizarea celor mai mari și cea mai mică valoare funcții.
Echipamente. Poster „Derivată. Reguli pentru calcularea instrumentelor derivate. Aplicații ale derivatului”.
În timpul orelor
Conform fișelor, elevii repetă materialul teoretic.
1. Definiți derivata unei funcții într-un punct. Ce se numește diferențiere? Care functie se numeste diferentiabila intr-un punct?
(Derivata funcției f în punctul x este numărul către care tinde raportul
O funcție care are o derivată într-un punct x 0 se numește derivabilă în acel punct. Găsirea derivatei lui f se numește diferențiere.)
2. Formulați regulile de găsire a derivatei.
(1. Derivată a sumei (u + v)"=u"+v";
2. Despre factorul constant (Cu)"=Cu";
3. Derivat al produsului (uv)"=u"v+uv";
4. Derivată a unei fracții (u / v) "= (u" v-uv ") / v 2;
5. Derivat functie de putere(xn)"=nxn+1.)
3. Care sunt derivatele următoarelor funcții:
4. Cum se află derivata unei funcții complexe?
(Trebuie să o reprezentăm în mod consecvent sub formă de funcții elementare și să luăm derivata după reguli cunoscute).
5. Care sunt derivatele următoarelor funcții:
6. Care este semnificația geometrică a derivatei?
(Existența unei derivate într-un punct este echivalentă cu existența unei tangente neverticale în punctul (x 0, f (x 0)) din graficul funcției, iar panta acestei tangente este f "( x 0)).
7. Care este ecuația tangentei la graficul funcției în punctul (x 0, f (x 0))?
(Ecuația tangentei are forma y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x-x 0))
8. Formulați un algoritm pentru construirea unui grafic al unei funcții folosind o derivată.
(1. Găsiți OOF.
2. Investigați pentru paritate.
3. Investigați periodicitatea.
4. Găsiți punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate.
5. Aflați derivata funcției și punctele sale critice.
6. Găsiți intervalele de monotonitate și extremele funcției.
7. Construiți un tabel pe baza rezultatelor studiului.
8. Reprezentați grafic funcția.)
9. Formulați teoreme cu ajutorul cărora este la modă să se traseze graficul unei funcții.
(1. Semn de creștere (scădere).
2. Un semn necesar al unui extremum.
3. Semn de maxim (minim).)
10. Ce formule există pentru calculele aproximative ale funcțiilor?
Munca individuala.
Nivelul A (trei opțiuni), nivelul B (o opțiune).
Nivelul A
Opțiunea 1.
1. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției
f (x) \u003d (x -1) 2 (x -3) 3 linii paralele y \u003d 5-24x.
2. Scrieți numărul 18 ca sumă a trei termeni pozitivi, astfel încât un termen să fie de două ori pe celălalt, iar produsul tuturor celor trei termeni să fie cel mai mare.
4. Aflați intervalele de creștere și scădere ale funcției f(x)=(x-1) e x+1.
Opțiunea 2.
1. La ce unghi la abscisă este tangenta la graficul funcției f (x) \u003d 0.x 2 + x-1.5 în punctul cu abscisa x 0 \u003d - 2? Scrieți ecuația acestei tangente și completați desenul pentru această problemă.
2. Ca în B. 1.
3. Aflați derivata funcției:
Nivelul B
1. Găsiți derivata funcției:
a) f (x) \u003d e -5x;
b) f(x) = log 3 (2x 2 -3x+1).
2. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul cu abscisa x 0 dacă f (x) \u003d e -x, x 0 \u003d 1.
3. Aflați intervalele de creștere și scădere ale funcției f(x)=x·e 2х.
Rezumatul lecției.
Lucrarea este verificată, se acordă o notă pentru teorie și practică.
Teme pentru acasă dat individual:
a) repetă derivatele funcţiilor trigonometrice;
b) metoda intervalului;
c) sensul mecanic al derivatului.
2. A: nr. 138, nr. 142, B: nr. 137 (a, b), nr. 140 (a).
3. Luați derivata funcțiilor:
a) f(x)=x 4 -3x 2 -7;
b) f(x)=4x 3 -6x;
c) f(x)=-2sin(2x-4);
d) f(x)=cos(2x-4).
4. Denumiți schema de cercetare a funcției.
Clasă: 10
Prezentare pentru lecție
Inapoi inainte
Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat acest lucru vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.
Metode de predare: vizual, parțial de căutare.
Scopul lecției.
- Introduceți conceptul de tangentă la graficul unei funcții într-un punct, aflați care este semnificația geometrică a derivatei, deduceți ecuația tangentei și învățați cum să o găsiți pentru anumite funcții.
- Dezvolta gandire logica, discurs matematic.
- Cultivați voința și perseverența pentru a obține rezultatele finale.
Dotare: tabla interactiva, calculator.
Planul lecției
I. Moment organizatoric
Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție. Mesaj despre tema lecției și obiective.
II. Actualizare de cunoștințe.
(Amintiți-vă cu elevii definiția geometrică a unei tangente la un grafic al unei funcții. Dați exemple care să arate că această afirmație nu este completă.)
Vă amintiți ce este o tangentă?
„O tangentă este o dreaptă care are un punct comun cu o curbă dată.” (Diapozitivul #2)
Discuție asupra corectitudinii acestei definiții. (După discuție, elevii ajung la concluzia că această definiție este incorectă.) Pentru a ilustra concluzia lor, dăm următorul exemplu.
Luați în considerare un exemplu. (Diapozitivul #3)
Să fie date o parabolă și două drepte 
, care are un punct comun M (1; 1) cu această parabolă. Există o discuție de ce prima linie nu este tangentă la această parabolă (Fig. 1), dar a doua este (Fig. 2).
În această lecție, trebuie să aflăm care este tangenta la graficul unei funcții într-un punct, cum să scriem o ecuație pentru o tangentă?
Luați în considerare principalele sarcini pentru compilarea ecuației tangente.
Pentru a face acest lucru, amintiți-vă forma generală a ecuației unei linii drepte, condițiile pentru liniile paralele, definiția unei derivate și regulile de diferențiere. (Diapozitivul numărul 4)
III. Lucrări pregătitoare pentru studiul materialului nou.
- Formulați definiția unei derivate. (Diapozitivul numărul 5)
- Completați tabelul cu funcții elementare arbitrare. (Diapozitivul numărul 6)
- Amintiți-vă regulile de diferențiere. (Diapozitivul numărul 7)
- Care dintre următoarele drepte sunt paralele și de ce? (Asigurați-vă vizual) (Diapozitivul numărul 8)
IV Studiul materialului nou.
Pentru a stabili ecuația unei drepte pe un plan, este suficient să cunoaștem panta și coordonatele unui punct.
Să fie dat graficul funcției. Pe el este selectat un punct, în acest punct este trasată o tangentă la graficul funcției (presupunem că există). Aflați panta tangentei.
Să incrementăm argumentul și să considerăm pe grafic (Fig. 3) punctul P cu abscisa . Panta MP secantei, i.e. tangenta unghiului dintre secanta si axa x, se calculeaza prin formula .
Dacă acum tindem spre zero, atunci punctul P va începe să se apropie de punctul M de-a lungul curbei.Am caracterizat tangenta ca poziție limită a secantei în această aproximare. Deci, este firesc să presupunem că panta tangentei va fi calculată prin formula .
Prin urmare, .
Dacă la graficul funcţiei y = f (x) în punctul x = a puteți desena o tangentă, neparalelă cu axa la, apoi exprimă panta tangentei. (Diapozitivul numărul 10)
Sau într-un alt fel. Derivată la un punct x = a egală cu panta tangentei la graficul funcției y = f(x)în acest moment.
Acesta este sensul geometric al derivatului. (Diapozitivul numărul 11)
Mai mult, dacă:
Să aflăm forma generală a ecuației tangentei.
Fie linia dreaptă dată de ecuația . Noi stim aia . Pentru a calcula m, folosim faptul că dreapta trece prin punctul . Să o punem în ecuație. Primim, adică . Înlocuiți valorile găsite kși mîn ecuația unei linii drepte:
este ecuația tangentei la graficul funcției. (Diapozitivul numărul 12)Luați în considerare exemple:
Să facem ecuația unei tangente:
(Diapozitivul numărul 14)
Rezolvând aceste exemple, am folosit un algoritm foarte simplu, care este următorul: (Diapozitivul nr. 15)
Luați în considerare sarcinile tipice și soluția acestora.
№1 Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul.
(Diapozitivul numărul 16)
Soluţie. Să folosim algoritmul, având în vedere că în acest exemplu .
2) 
3) ; 
4) Înlocuiți numerele găsite ,, în formulă.
№2 Desenați o tangentă la graficul funcției astfel încât să fie paralelă cu dreapta. (Diapozitivul numărul 17)
Soluţie. Să rafinăm formularea problemei. Cerința de a „desena o tangentă” înseamnă de obicei „a face o ecuație pentru o tangentă”. Să folosim algoritmul de desenare tangentă, având în vedere că în acest exemplu .
Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu linia dreaptă. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă panta lor este egală. Deci panta tangentei trebuie să fie egală cu panta dreptei date: .Nu. Prin urmare: 
; ., adică
V. Rezolvarea problemelor.
1. Rezolvarea problemelor la desenele finite (Diapozitivul nr. 18 și Diapositiva nr. 19)
2. Rezolvarea problemelor din manual: Nr. 29.3 (a, c), Nr. 29.12 (b, d), Nr. 29.18, Nr. 29.23 (a) (Diapozitivul Nr. 20)
VI. Rezumând.
1. Răspundeți la întrebări:
- Ce se numește tangentă la graficul unei funcții într-un punct?
- Care este semnificația geometrică a derivatei?
- Formulați un algoritm pentru găsirea ecuației tangentei?
2. Care au fost dificultățile din lecție, ce momente ale lecției ți-au plăcut cel mai mult?
3. Marcare.
VII. Comentarii la teme pentru acasă
Nr. 29.3 (b, d), Nr. 29.12 (a, c), Nr. 29.19, Nr. 29.23 (b) (Diapozitivul Nr. 22)
Literatură. (Diapozitivul 23)
- Algebra și începutul analizei matematice: Proc. Pentru 10-11 celule. pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de bază) / Editat de A.G. Mordkovici. – M.: Mnemosyne, 2009.
- Algebra și începutul analizei matematice: Cartea cu probleme, Pentru 10-11 celule. pentru studenții instituțiilor de învățământ (nivel de bază) / Editat de A.G. Mordkovici. – M.: Mnemosyne, 2009.
- Algebra și începuturile analizei. Independentă şi hârtii de test pentru clasele 10-11. / Ershova A.P., Goloborodko V.V. – M.: ILEKSA, 2010.
- USE 2010. Matematică. Sarcina B8. Caiet de lucru/ Sub conducerea lui A.L. Semenov și I.V. Yashchenko - M .: Editura MTsNMO, 2010.
Profesor: Gorbunova S.V.
Tema lecției: Ecuația tangentei la graficul funcției.
Obiectivele lecției
Clarificați conceptul de „tangentă”.
Deduceți ecuația tangentei.
Scrieți un algoritm pentru „întocmirea ecuației tangentei la graficul funcției
Începeți să exersați abilitățile și abilitățile în elaborarea unei ecuații tangente în diverse situații matematice.
Pentru a forma capacitatea de a analiza, generaliza, arăta, utiliza elementele de cercetare, dezvolta vorbirea matematică.
Echipament: calculator, prezentare, proiector, tablă interactivă, carduri de memento, carduri de reflecție.
Structura lecției:
EL. U.
Mesaj cu subiectul lecției
Repetarea materialului studiat
Formularea problemei.
Explicarea noului material.
Crearea unui algoritm pentru „întocmirea ecuației unei tangente”.
Referință istorică.
Consolidare. Dezvoltarea deprinderilor și abilităților în întocmirea ecuației tangente.
Teme pentru acasă.
Lucru independent cu autotestare
Rezumând lecția.
Reflecţie
1. O.N.U.
2. Postarea subiectului lecției
Tema lecției de astăzi este „Ecuația tangentei la graficul unei funcții”. Deschideți caietele, notați data și tema lecției. (diapozitivul 1)
Lăsați cuvintele pe care le vedeți pe ecran să devină motto-ul lecției de astăzi. (diapozitivul 2)
Nu există idei rele
Gândește creativ
asuma riscuri
Nu critica
2. Repetarea materialului studiat (diapozitivul 3).
Scop: testarea cunoștințelor regulilor de bază de diferențiere.
Aflați derivata unei funcții:
Cine are mai multe greșeli? Cine are unul?
3. Actualizare
Scop: Pentru a activa atenția, a arăta lipsa de cunoștințe despre tangentă, a formula scopurile și obiectivele lecției. (Diapozitivul 4)
Să discutăm ce este o tangentă la un grafic al funcției?
Sunteți de acord cu afirmația că „O tangentă este o dreaptă care are un punct comun cu o curbă dată”?
Există o discuție. Declarații ale copiilor (da și de ce, nu și de ce). În timpul discuției, ajungem la concluzia că această afirmație nu este adevărată.
Să ne uităm la exemple specifice:
Exemple.(diapozitivul 5)
1) Linia x = 1 are un punct comun M(1; 1) cu parabola y = x 2, dar nu este tangentă la parabola.
Linia y = 2x – 1 care trece prin același punct este tangentă la parabola dată.
Linia x = π nu este tangentă la grafic y = cos x, deși are singurul punct comun K(π; 1) cu el. Pe de altă parte, linia y = - 1 care trece prin același punct este tangentă la grafic, deși are infinit de puncte comune de forma (π+2 πk; 1), unde k este un număr întreg, în fiecare dintre care se referă la grafic.
^ 4. Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru copii la lecție: (diapozitivul 6)
Încercați să formulați singur scopul lecției.
Aflați care este tangenta la graficul funcției într-un punct, deduceți ecuația tangentei. Aplicați formula la rezolvarea problemelor
^
5. Învățarea de material nou
Vedeți cum diferă poziția dreptei x=1 de poziția y=2x-1? (diapozitivul 7)
Concluzionați ce este o tangentă?
Tangenta este poziția limită a secantei.
Deoarece tangenta este o linie dreaptă și trebuie să scriem ecuația pentru tangente, ce crezi că trebuie să ne amintim?
Amintiți-vă forma generală a ecuației dreptei (y \u003d kx + b)
Care este alt nume pentru numărul k? (panta sau tangenta unghiului dintre această linie și direcția pozitivă a axei Ox) k \u003d tg α
Care este semnificația geometrică a derivatei?
Tangenta unghiului de înclinare dintre tangentă și direcția pozitivă a axei x
Adică pot scrie tg α = yˈ(x). (diapozitivul 8)
Să ilustrăm asta cu un desen. (diapozitivul 9)
Fie dată o funcție y = f (x) și un punct M aparținând graficului acestei funcții. Să definim coordonatele sale astfel: x=a, y=f(a), adică. M (a, f (a)) și să existe o derivată f "(a), adică într-un punct dat, derivata este definită. Desenați o tangentă prin punctul M. Ecuația tangentei este ecuația unei drepte , deci arată astfel: y \u003d kx + b. Prin urmare, sarcina este să găsiți k și b. Atenție la tablă, din ceea ce este scris acolo, este posibil să găsiți k? (da, k = f " (A).)
Cum să găsesc b acum? Linia dorită trece prin punctul M (a; f (a)), înlocuim aceste coordonate în ecuația dreptei: f (a) \u003d ka + b, prin urmare b \u003d f (a) - ka, deoarece k \u003d tg α \u003d yˈ(x), atunci b = f(a) – f "(a)a
Înlocuiți valoarea lui b și k în ecuația y = kx + b.
y \u003d f "(a) x + f (a) - f "(a) a, luând factorul comun din paranteză, obținem:
y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).
Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul x = a.
Pentru a rezolva cu încredere problemele pe o tangentă, trebuie să înțelegeți clar semnificația fiecărui element din această ecuație. Să ne oprim din nou la asta: (diapozitivul 10)
(a, f (a)) - punct de contact
f "(a) \u003d tg α \u003d k unghi sau pantă
(x, y) - orice punct al tangentei
6. Întocmirea unui algoritm (diapozitivul 11).
Propun să creăm un algoritm pentru elevii înșiși:
Notăm abscisa punctului de contact cu litera a.
Să calculăm f(a).
Găsiți f "(x) și calculați f "(a).
Să substituim valorile găsite ale numărului a, f (a), f "(a) în ecuația tangentei.
y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).
Context istoric (diapozitivul 12).
| 1 | 4/3 | 9 | -4 | -1 | -3 | 5 |
Răspuns: FLUX (diapozitivul 13).
Care este povestea de origine a acestui nume? (diapozitivul 14.15)
Conceptul de derivată a apărut în legătură cu necesitatea de a rezolva o serie de probleme din fizică, mecanică și matematică. Onoarea de a descoperi legile de bază ale analizei matematice aparține omului de știință englez Newton și matematicianului german Leibniz. Leibniz a luat în considerare problema trasării unei tangente la o curbă arbitrară. 
Celebrul fizician Isaac Newton, care s-a născut în satul englez Woolstrop, a adus o contribuție semnificativă la matematică. Rezolvând probleme la desenarea tangentelor la curbe, calculând ariile figurilor curbilinii, el a creat o metodă generală pentru rezolvarea unor astfel de probleme - metoda fluxului (derivate) și numit derivatul în sine fluent .
El a calculat derivata și integrala funcției de putere. Despre calculul diferențial și integral scrie în lucrarea sa „Metoda fluxurilor” (1665 - 1666), care a servit drept unul dintre începuturile analizei matematice, calculului diferențial și integral, pe care omul de știință le-a dezvoltat independent de Leibniz. 
Mulți oameni de știință în ani diferiti erau interesați de tangentă. Ocazional, conceptul de tangente a fost întâlnit în lucrările matematicianului italian N. Tartaglia (c. 1500 - 1557) - aici a apărut tangenta în cursul studierii problemei unghiului de înclinare a pistolului, care asigură cea mai mare dare a zborului proiectilului. I. Keppler a considerat tangenta în cursul rezolvării problemei celui mai mare volum al unui paralelipiped înscris într-o bilă de rază dată.
În secolul al XVII-lea, pe baza teoriei mișcării lui G. Galileo, a fost dezvoltat activ conceptul cinematic al derivatului. Diverse opțiuni de prezentare se găsesc la R. Descartes, matematicianul francez Roberval, savantul englez D. Gregory, în lucrările lui I. Barrow.
8. Consolidare (diapozitivul 16-18).
1) Compuneți ecuația tangentei la graficul funcției f (x) \u003d x² - 3x + 5 în punctul cu abscisa
Soluţie:
Să facem ecuația unei tangente (după algoritm). Sună un student puternic.
a = -1;
f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
f "(x) \u003d 2x - 3,
f "(a) \u003d f "(-1) \u003d -2 - 3 \u003d -5;
y \u003d 9 - 5 (x + 1),
Răspuns: y = 4 - 5x. 
USE sarcini 2011 B-8
1. Funcția y \u003d f (x) este definită pe intervalul (-3; 4). Figura arată graficul său și tangenta la acest grafic în punctul cu abscisa a \u003d 1. Calculați valoarea derivatei f "(x) în punctul a \u003d 1.
Soluție: pentru a o rezolva, este necesar să ne amintim că, dacă sunt cunoscute coordonatele oricăror două puncte A și B situate pe o dreaptă dată, atunci panta acesteia poate fi calculată cu formula: k \u003d, unde (x 1; y 1), (x 2; y 2) sunt coordonatele punctelor A, respectiv B. Graficul arată că această tangentă trece prin puncte cu coordonatele (1; -2) și (3; -1), ceea ce înseamnă k=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5. 
2. Funcția y \u003d f (x) este definită pe intervalul (-3; 4). Figura prezintă graficul său și tangenta la acest grafic în punctul cu abscisa a = -2. Calculați valoarea derivatei f "(x) în punctul a \u003d -2.
Rezolvare: graficul trece prin punctele (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2
8. Tema pentru acasă (diapozitivul 19).
Pregătirea pentru examenul B-8 nr. 3 - 10
^ 9. Munca independentă
Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y \u003d f (x) în punctul cu abscisa a.
varianta 1 varianta 2
f(x) = x²+ x+1, a=1 f(x)= x-3x², a=2
răspunsuri: prima variantă: y=3x; Opțiunea 2: y \u003d -11x + 12
10. Rezumând.
Ce se numește tangentă la graficul unei funcții într-un punct?
Care este semnificația geometrică a derivatei?
Formulați un algoritm pentru găsirea ecuației tangentei la un punct?
Alegeți o emoticon care se potrivește cu starea și dispoziția dvs. după lecție. Mulțumesc pentru lecție.
