Acțiuni cu fracții. În acest articol, vom analiza exemple, totul este detaliat cu explicații. Vom lua în considerare fracțiile obișnuite. În viitor, vom analiza zecimale. Recomand să urmăriți întregul și să studiați secvențial.

1. Suma fracțiilor, diferența de fracții.

Regula: atunci când se adună fracții cu numitori egali, rezultatul este o fracție - al cărei numitor rămâne același, iar numărătorul ei va fi este egală cu suma numărători de fracții.

Regula: atunci când se calculează diferența de fracții cu aceiași numitori, obținem o fracție - numitorul rămâne același, iar numărătorul celei de-a doua se scade din numărătorul primei fracții.

Notarea formală a sumei și diferenței fracțiilor cu numitori egali:

Exemple (1):

Este clar că atunci când sunt date fracții obișnuite, atunci totul este simplu, dar dacă sunt amestecate? Nimic complicat...

Opțiunea 1- le puteți converti în altele obișnuite și apoi le puteți calcula.

Opțiunea 2- puteți „lucra” separat cu părțile întregi și fracționale.

Exemple (2):

Inca:

Și dacă diferența de doi fractii mixte iar numărătorul primei fracții va fi mai mic decât numărătorul celei de-a doua? De asemenea, se poate face în două moduri.

Exemple (3):

* Tradus în fracții obișnuite, calculat diferența, convertit fracția improprie rezultată într-una mixtă.

* Împărțit în părți întregi și fracționale, a obținut trei, apoi a prezentat 3 ca sumă a lui 2 și 1, cu unitatea prezentată ca 11/11, apoi a găsit diferența dintre 11/11 și 7/11 și a calculat rezultatul. Sensul transformărilor de mai sus este să luăm (selectăm) unitatea și să o prezentăm ca o fracție cu numitorul de care avem nevoie, apoi din această fracție putem scădea deja alta.

Alt exemplu:

Concluzie: există o abordare universală - pentru a calcula suma (diferența) fracțiilor mixte cu numitori egali, acestea pot fi întotdeauna convertite în unele improprii, apoi efectuați acțiunea necesară. După aceea, dacă în rezultat obținem o fracție necorespunzătoare, o traducem într-una mixtă.

Mai sus, ne-am uitat la exemple cu fracții care au numitori egali. Ce se întâmplă dacă numitorii diferă? În acest caz, fracțiile sunt reduse la același numitor și se efectuează acțiunea specificată. Pentru a schimba (transforma) o fracție, se folosește proprietatea principală a fracției.

Luați în considerare exemple simple:

În aceste exemple, vedem imediat cum una dintre fracții poate fi convertită pentru a obține numitori egali.

Dacă desemnăm modalități de reducere a fracțiilor la un numitor, atunci acesta va fi numit METODA 1.

Adică, imediat când „evaluați” fracția, trebuie să vă dați seama dacă o astfel de abordare va funcționa - verificăm dacă numitorul mai mare este divizibil cu cel mai mic. Și dacă este împărțit, atunci efectuăm transformarea - înmulțim numărătorul și numitorul astfel încât numitorii ambelor fracții să devină egali.

Acum uită-te la aceste exemple:

Această abordare nu se aplică lor. Există și alte moduri de a reduce fracțiile la un numitor comun, luați în considerare.

Metoda A DOUA.

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei:

*De fapt, aducem fracții la forma când numitorii devin egali. În continuare, folosim regula adunării timid cu numitori egali.

Exemplu:

*Această metodă poate fi numită universală și funcționează întotdeauna. Singurul negativ este că, după calcule, se poate dovedi o fracție care va trebui redusă în continuare.

Luați în considerare un exemplu:

Se poate observa că numărătorul și numitorul sunt divizibile cu 5:

Metoda A TREIA.

Aflați cel mai mic multiplu comun (MCM) al numitorilor. Acesta va fi numitorul comun. Ce este acest numar? Acesta este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre numere.

Uite, aici sunt două numere: 3 și 4, există multe numere care sunt divizibile cu ele - acestea sunt 12, 24, 36, ... Cel mai mic dintre ele este 12. Sau 6 și 15, 30, 60, 90 sunt divizibil de ei.... Cel puțin 30. Întrebare - cum se determină acest cel mai mic multiplu comun?

Există un algoritm clar, dar adesea acest lucru se poate face imediat, fără calcule. De exemplu, conform exemplelor de mai sus (3 și 4, 6 și 15), nu este nevoie de un algoritm, am luat numere mari (4 și 15), le-am dublat și am văzut că sunt divizibile cu al doilea număr, dar perechi de numere pot fi altele, cum ar fi 51 și 119.

Algoritm. Pentru a determina cel mai mic multiplu comun al mai multor numere, trebuie:

- descompuneți fiecare dintre numere în factori SIMPLI

- scrieți descompunerea CEI MAI MARI dintre ele

- înmulțiți-l cu factorii LIPSĂ ai altor numere

Luați în considerare exemple:

50 și 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

în descompunere Mai mult lipsește unul cinci

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 și 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

în extinderea unui număr mai mare lipsesc doi și trei

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Cel mai mic multiplu comun al două numere prime este egal cu produsul lor

Întrebare! Și de ce este util să găsiți cel mai mic multiplu comun, deoarece puteți utiliza a doua metodă și pur și simplu reduceți fracția rezultată? Da, poți, dar nu este întotdeauna convenabil. Vedeți care va fi numitorul pentru numerele 48 și 72 dacă le înmulțiți pur și simplu 48∙72 = 3456. Fiți de acord că este mai plăcut să lucrați cu numere mai mici.

Luați în considerare exemple:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

în extinderea unui număr mai mare lipsește un triplu

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

Și acum aplicăm prima metodă:

* Uitați-vă la diferența dintre calcule, în primul caz există un minim, iar în al doilea trebuie să lucrați separat pe o bucată de hârtie și chiar și fracțiunea pe care o obțineți trebuie redusă. Găsirea LCM simplifică considerabil munca.

Mai multe exemple:

* În al doilea exemplu, este clar că cel mai mic număr, care este împărțit la 40 și 60 este egal cu 120.

TOTAL! ALGORITM GENERAL DE CALCUL!

- aducem fracții la cele obișnuite, dacă există o parte întreagă.

- aducem fractiile la un numitor comun (mai intai ne uitam sa vedem daca un numitor este divizibil cu altul, daca este divizibil, apoi inmultim numaratorul si numitorul acestei alte fractii; daca nu este divizibil, actionam folosind alte metode indicate mai sus).

- primind fracții cu numitori egali, efectuăm acțiuni (adunare, scădere).

- daca este necesar, reducem rezultatul.

- dacă este necesar, selectați întreaga parte.

2. Produsul fracțiilor.

Regula este simplă. La înmulțirea fracțiilor, numărătorii și numitorii lor se înmulțesc:

Exemple:

O sarcină. La bază au fost aduse 13 tone de legume. Cartofii reprezintă ¾ din toate legumele importate. Câte kilograme de cartofi au fost aduse la bază?

Să terminăm cu treaba.

* Mai devreme v-am promis să oferiți o explicație formală a proprietății principale a fracției prin produs, vă rugăm:

3. Împărțirea fracțiilor.

Împărțirea fracțiilor se reduce la înmulțirea lor. Este important să ne amintim că fracția care este un divizor (cea care este împărțită cu) este răsturnată și acțiunea se schimbă în înmulțire:

Această acțiune poate fi scrisă ca o așa-numită fracție cu patru etaje, deoarece diviziunea în sine „:” poate fi scrisă și ca o fracție:

Exemple:

Asta e tot! Multă baftă!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

Fracțiune- un număr care constă dintr-un număr întreg de fracții de unu și este reprezentat ca: a/b

Numărătorul fracțiilor (a)- numărul de deasupra liniei fracției și care arată numărul de acțiuni în care a fost împărțită unitatea.

Numitorul fracției (b)- numărul de sub linia fracției și care arată câte acțiuni a fost împărțită unitatea.

2. Aducerea fracțiilor la un numitor comun

3. Operații aritmetice pe fracții obișnuite

3.1. Plus fracții obișnuite

3.2. Scăderea fracțiilor ordinare

3.3. Înmulțirea fracțiilor ordinare

3.4. Împărțirea fracțiilor ordinare

4. Numerele reciproce

5. zecimale

6. Operații aritmetice pe fracții zecimale

6.1. Adăugarea de zecimale

6.2. Scăderea zecimalelor

6.3. Înmulțirea zecimală

6.4. Împărțire zecimală

#unu. Proprietatea de bază a unei fracții

Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, zero, atunci obțineți o fracție egală cu cea dată.

3/7=3*3/7*3=9/21 adică 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - așa arată proprietatea principală a unei fracții.

Cu alte cuvinte, obținem o fracție egală cu cea dată prin înmulțirea sau împărțirea numărătorului și numitorului fracției originale cu același număr natural.

În cazul în care un ad=bc, apoi două fracții a/b =c /d sunt considerate egale.

De exemplu, fracțiile 3/5 și 9/15 vor fi egale, deoarece 3*15=5*9, adică 45=45

Reducerea fracțiilor este procesul de înlocuire a unei fracții, în care noua fracție este egală cu cea inițială, dar cu un numărător și un numitor mai mici.

Se obișnuiește să se reducă fracțiile pe baza proprietății principale a unei fracții.

De exemplu, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (numătorul și numitorul sunt divizibile cu 3, cu 5 și cu 15).

fracție ireductibilă este o fracțiune a formei 3/4 ​ ​ , unde numărătorul și numitorul sunt reciproc numere prime. Scopul principal al reducerii fracțiilor este de a face fracția ireductibilă.

2. Reducerea fracțiilor la un numitor comun

Pentru a aduce două fracții la un numitor comun:

1) extindeți numitorul fiecărei fracții în factori primi;

2) înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu cele lipsă

factori din expansiunea celui de-al doilea numitor;

3) înmulțiți numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu factorii lipsă din prima expansiune.

Exemple: Reduceți fracțiile la un numitor comun.

Să descompunăm numitorii în factori primi: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Am înmulțit numărătorul și numitorul fracției cu factorul care lipsește 5 din a doua expansiune.

numărătorul și numitorul fracției prin factorii 3 și 2 lipsă din prima expansiune.

= , 90 este numitorul comun al fracțiilor .

3. Operații aritmetice pe fracții ordinare

3.1. Adunarea fracțiilor obișnuite

a) Cu aceiași numitori, numărătorul primei fracții se adaugă numărătorului celei de-a doua fracții, lăsând numitorul același. După cum se vede în exemplu:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Cu numitori diferiți, fracțiile se reduc mai întâi la un numitor comun, apoi se adună numărătorii conform regulii a):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Scăderea fracțiilor ordinare

a) Cu aceiași numitori, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții, lăsând numitorul același:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți, atunci mai întâi fracțiile se reduc la un numitor comun, apoi se repetă pașii ca la paragraful a).

3.3. Înmulțirea fracțiilor ordinare

Înmulțirea fracțiilor respectă următoarea regulă:

a/b*c/d=a*c/b*d,

adică înmulțiți separat numărătorii și numitorii.

De exemplu:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Împărțirea fracțiilor ordinare

Fracțiile sunt împărțite în felul următor:

a/b:c/d=a*d/b*c,

adică fracția a / b se înmulțește cu reciproca celei date, adică se înmulțește cu d / c.

Exemplu: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Numerele reciproce

În cazul în care un a*b=1, atunci numărul b este număr invers pentru numărul a.

Exemplu: pentru numărul 9, inversul este 1/9 ​ ​ , din 9*1/9 = 1 , pentru numărul 5 - reciproca lui 1/5 ​ ​ , deoarece 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Decimale

Zecimal este o fracție proprie al cărei numitor este 10, 1000, 10000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

De exemplu: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

La fel, cele incorecte se scriu cu numitor 10^n sau numere mixte.

De exemplu: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Sub forma unei fracții zecimale, este reprezentată orice fracție obișnuită cu un numitor care este un divizor al unei anumite puteri a numărului 10.

un numitor, care este un divizor al unei anumite puteri a numărului 10.

Exemplu: 5 este un divizor al lui 100, deci o fracție 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Operații aritmetice pe fracții zecimale

6.1. Adăugarea de zecimale

Pentru a adăuga două fracții zecimale, trebuie să le aranjați astfel încât aceleași cifre și o virgulă sub virgulă să apară una sub alta, apoi adăugați fracțiile ca numere obișnuite.

6.2. Scăderea zecimalelor

Funcționează în același mod ca și adăugarea.

6.3. Înmulțirea zecimală

Când înmulțiți numere zecimale, este suficient să înmulțiți numere date, nefiind atent la virgule (ca numere naturale), iar in raspunsul primit virgula din dreapta desparte tot atatea cifre cate cifre sunt dupa virgula in ambii factori in total.

Să facem înmulțirea lui 2,7 cu 1,3. Avem 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Separăm două cifre cu o virgulă în dreapta (primul și al doilea număr au o cifră după virgulă; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). Drept urmare, obținem 2,7\cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Dacă rezultatul este mai puțin de cifre decât este necesar să se separe cu o virgulă, atunci zerourile lipsă sunt scrise în față, de exemplu:

Pentru a înmulți cu 10, 100, 1000, într-o fracție zecimală, mutați virgula 1, 2, 3 cifre la dreapta (dacă este necesar, un anumit număr de zerouri sunt atribuite la dreapta).

De exemplu: 1,47 \cdot 10.000 = 14.700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Împărțire zecimală

Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se face în același mod ca și împărțirea unui număr natural la un număr natural. O virgulă în privat este plasată după ce s-a încheiat împărțirea părții întregi.

Dacă partea întreagă a dividendului este mai mică decât divizorul, atunci răspunsul este zero numere întregi, de exemplu:

Luați în considerare împărțirea unei zecimale la o zecimală. Să presupunem că trebuie să împărțim 2,576 la 1,12. În primul rând, înmulțim dividendul și divizorul fracției cu 100, adică mutam virgula la dreapta în dividend și divizor cu atâtea caractere câte sunt în divizor după virgulă (în acest exemplu , Două). Apoi trebuie să împărțiți fracția 257,6 la numărul natural 112, adică problema se reduce la cazul deja luat în considerare:

Se întâmplă ca fracția zecimală finală să nu se obțină întotdeauna la împărțirea unui număr la altul. Rezultatul este o zecimală infinită. În astfel de cazuri, mergeți la fracții obișnuite.

De exemplu, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Numătorul și cel cu care este împărțit este numitorul.

Pentru a scrie o fracție, scrieți mai întâi numărătorul acesteia, apoi trasați o linie orizontală sub acest număr și scrieți numitorul sub linie. Linia orizontală care separă numărătorul și numitorul se numește bară fracțională. Uneori este descris ca un „/” sau „∕” oblic. În acest caz, numărătorul este scris în stânga liniei, iar numitorul în dreapta. Deci, de exemplu, fracția „două treimi” va fi scrisă ca 2/3. Pentru claritate, numărătorul este de obicei scris în partea de sus a liniei, iar numitorul în partea de jos, adică în loc de 2/3, puteți găsi: ⅔.

Pentru a calcula produsul fracțiilor, înmulțiți mai întâi numărătorul lui unu fractii la alt numărător. Scrieți rezultatul la numărătorul noului fractii. Apoi înmulțiți și numitorii. Specificați valoarea finală în noua fractii. De exemplu, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Pentru a împărți o fracție la alta, mai întâi înmulțiți numărătorul primei cu numitorul celei de-a doua. Faceți același lucru cu a doua fracție (divizor). Sau, înainte de a efectua toți pașii, mai întâi „întoarceți” divizorul, dacă vă este mai convenabil: numitorul ar trebui să fie în locul numărătorului. Apoi înmulțiți numitorul dividendului cu noul numitor al divizorului și înmulțiți numărătorii. De exemplu, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Surse:

• Sarcini de bază pentru fracții

Numerele fracționale vă permit să exprimați valoarea exactă a unei cantități în moduri diferite. Cu fracțiile, puteți efectua aceleași operații matematice ca și cu numerele întregi: scădere, adunare, înmulțire și împărțire. Să înveți cum să decizi fractii, este necesar să ne amintim unele dintre caracteristicile lor. Ele depind de tip fractii, prezența unei părți întregi, un numitor comun. Unele operații aritmetice după execuție necesită reducerea părții fracționale a rezultatului.

Vei avea nevoie

• - calculator

Instruire

Privește cu atenție numerele. Dacă există zecimale și neregulate printre fracții, uneori este mai convenabil să efectuați mai întâi acțiuni cu zecimale și apoi să le convertiți în forma greșită. Poti sa traduci fractiiîn această formă inițial, scriind valoarea după virgulă la numărător și punând 10 la numitor. Dacă este necesar, reduceți fracția împărțind numerele de mai sus și de dedesubt la un divizor. Fracțiile în care se evidențiază întreaga parte duc la forma greșită înmulțind-o cu numitorul și adunând numărătorul la rezultat. Această valoare va deveni noul numărător fractii. Pentru a extrage întreaga parte din incorect inițial fractii, împărțiți numărătorul la numitor. Scrieți întregul rezultat din fractii. Iar restul diviziunii devine noul numărător, numitorul fractiiîn timp ce nu se schimbă. Pentru fracții cu întreaga parte este posibil să se efectueze acțiuni separat, mai întâi pentru întregul și apoi pentru părțile fracționale. De exemplu, suma 1 2/3 și 2 ¾ poate fi calculată:
- Conversia fracțiilor la forma greșită:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Însumarea separată a părților întregi și fracționale ale termenilor:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Rescrieți-le prin separatorul „:” și continuați împărțirea obișnuită.

Pentru a obține rezultatul final, reduceți fracția rezultată împărțind numărătorul și numitorul la un număr întreg, cel mai mare posibil în acest caz. În acest caz, trebuie să existe numere întregi deasupra și sub linie.

Notă

Nu faceți aritmetică cu fracții care au numitori diferiți. Alegeți un număr astfel încât, atunci când numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt înmulțiți cu acesta, ca rezultat, numitorii ambelor fracții să fie egali.

Sfat util

La înregistrare numere fracționare dividendul este scris deasupra liniei. Această cantitate este denumită numărătorul unei fracții. Sub linie se scrie divizorul sau numitorul fracției. De exemplu, un kilogram și jumătate de orez sub formă de fracție se va scrie astfel: 1 ½ kg de orez. Dacă numitorul unei fracții este 10, se numește fracție zecimală. În acest caz, numărătorul (dividendul) se scrie în dreapta întregii părți, despărțit prin virgulă: 1,5 kg de orez. Pentru comoditatea calculelor, o astfel de fracție poate fi întotdeauna scrisă într-o formă greșită: 1 2/10 kg de cartofi. Pentru a simplifica, puteți reduce valorile numărătorului și numitorului împărțindu-le la un singur număr întreg. În acest exemplu, este posibilă împărțirea la 2. Rezultatul este 1 1/5 kg de cartofi. Asigurați-vă că numerele cu care veți face aritmetica sunt în aceeași formă.

Acest articol este o privire generală asupra operațiunilor cu fracții. Aici formulăm și justificăm regulile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la puterea fracțiilor de forma generală A/B , unde A și B sunt niște numere, expresii numerice sau expresii cu variabile. Ca de obicei, vom furniza materialul cu exemple explicative cu descrieri detaliate solutii.

Navigare în pagină.

Reguli pentru efectuarea operațiilor cu fracții numerice de formă generală

Să fim de acord că fracțiile numerice generale sunt fracții în care numărătorul și/sau numitorul pot fi reprezentate nu numai numere naturale, dar și alte numere sau expresii numerice. Pentru claritate, iată câteva exemple de astfel de fracții: .

Știm regulile după care . După aceleași reguli, puteți efectua operații cu fracții de formă generală:

Rațiunea regulilor

Pentru a justifica validitatea regulilor de efectuare a acțiunilor cu fracții numerice generale, se poate porni de la următoarele puncte:

• o bară fracțională este în esență un semn de divizare,
• împărțirea cu un număr diferit de zero poate fi considerată ca înmulțire cu reciproca divizorului (acest lucru explică imediat regula împărțirea fracțiilor),
• proprietățile acțiunilor cu numere reale,
• și înțelegerea sa generalizată,

Ele vă permit să efectuați următoarele transformări care justifică regulile de adunare, scădere a fracțiilor cu aceiași și diferiți numitori, precum și regula de înmulțire a fracțiilor:

Exemple

Să dăm exemple de efectuare a unei acțiuni cu fracții de formă generală conform regulilor învățate în paragraful anterior. Să spunem imediat că, de obicei, după efectuarea operațiilor cu fracții, fracția rezultată necesită simplificare, iar procesul de simplificare a unei fracții este adesea mai dificil decât efectuarea acțiunilor anterioare. Nu ne vom opri asupra simplificării fracțiilor (transformările corespunzătoare sunt discutate în articolul Transformarea fracțiilor), pentru a nu fi distras de la subiectul care ne interesează.

Să începem cu exemple de adunare și scădere a fracțiilor cu aceiași numitori. Să începem prin adunarea fracțiilor și . Evident, numitorii sunt egali. Conform regulii corespunzătoare, notăm o fracție al cărei numărător este egal cu suma numărătorilor fracțiilor originale și lăsăm numitorul același, avem . Adunarea este făcută, rămâne să simplificați fracția rezultată: . Asa de, .

Decizia a fost posibilă într-un mod diferit: mai întâi, faceți tranziția la fracțiile obișnuite și apoi efectuați adunarea. Cu această abordare, avem .

Acum scade din fracție fracțiune . Numitorii fracțiilor sunt egali, prin urmare, acționăm conform regulii de scădere a fracțiilor cu aceiași numitori:

Să trecem la exemple de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori diferiți. Aici principala dificultate constă în aducerea fracțiilor la un numitor comun. Pentru fracțiunile unei forme generale, acesta este un subiect destul de extins, îl vom analiza în detaliu într-un articol separat. reducerea fracțiilor la un numitor comun. Acum să ne limităm la un cuplu recomandari generale, întrucât în ​​momentul de față ne interesează mai mult tehnica efectuării acțiunilor cu fracții.

În general, procesul este similar cu reducerea la un numitor comun al fracțiilor obișnuite. Adică numitorii sunt prezentați ca produse, apoi se iau toți factorii de la numitorul primei fracții și li se adaugă factorii lipsă de la numitorul celei de-a doua fracții.

Când numitorii fracțiilor adăugate sau scăzute nu au factori comuni, atunci este logic să luăm produsul lor ca numitor comun. Să luăm un exemplu.

Să presupunem că trebuie să adunăm fracții și 1/2. Aici, ca numitor comun, este logic să luăm produsul numitorilor fracțiilor originale, adică . În acest caz, factorul suplimentar pentru prima fracție va fi 2 . După înmulțirea numărătorului și numitorului cu acesta, fracția va lua forma . Iar pentru a doua fracție, factorul suplimentar este expresia. Cu ajutorul ei, fracția 1/2 se reduce la forma. Rămâne să adunăm fracțiile rezultate cu aceiași numitori. Iată un rezumat al întregii soluții:

În cazul fracțiilor de formă generală, nu mai vorbim de cel mai mic numitor comun, la care se reduc de obicei fracțiile obișnuite. Deși în această chestiune este încă de dorit să se străduiască un oarecare minimalism. Prin aceasta dorim să spunem că nu este necesar să luăm imediat produsul numitorilor fracțiilor originale ca numitor comun. De exemplu, nu este deloc necesar să luăm numitorul comun al fracțiilor și al produsului . Aici, ca numitor comun, putem lua .

Ne întoarcem la exemple de înmulțire a fracțiilor unei forme generale. Înmulțiți fracțiile și . Regula pentru efectuarea acestei acțiuni ne spune să notăm o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul este produsul numitorilor. Avem . Aici, ca în multe alte cazuri când înmulțiți fracții, puteți reduce fracția: .

Regula împărțirii fracțiilor vă permite să treceți de la împărțire la înmulțire printr-o reciprocă. Aici trebuie să rețineți că pentru a obține o fracție reciprocă a uneia date, trebuie să schimbați numărătorul și numitorul acestei fracții. Iată un exemplu de tranziție de la împărțirea fracțiilor generale la înmulțire: . Rămâne să efectuați înmulțirea și să simplificați fracția rezultată (dacă este necesar, vedeți transformarea expresiilor iraționale):

Încheind informațiile din acest paragraf, reamintim că orice număr sau expresie numerică poate fi reprezentată ca o fracție cu numitor 1, prin urmare, adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea unui număr și a unei fracții pot fi considerate ca efectuând acțiunea corespunzătoare cu fracții, dintre care una are o unitate la numitor . De exemplu, înlocuirea în expresie rădăcină a trei fracții, vom trece de la înmulțirea unei fracții cu un număr la înmulțirea a două fracții: .

Efectuarea de operații cu fracții care conțin variabile

Regulile din prima parte a acestui articol se aplică și pentru efectuarea operațiilor cu fracții care conțin variabile. Să o justificăm pe prima dintre ele - regula adunării și scăderii fracțiilor cu aceiași numitori, restul sunt dovedite exact în același mod.

Să demonstrăm că pentru orice expresii A , C și D (D este identic diferit de zero) avem egalitatea pe gama sa de valori acceptabile ale variabilelor.

Să luăm un set de variabile din ODZ. Lasa pentru aceste valori variabile de expresie A , C și D iau valorile a 0 , c 0 și d 0 . Apoi, înlocuirea valorilor variabilelor din setul selectat în expresie o transformă în suma (diferența) fracțiilor numerice cu aceiași numitori ai formei, care, conform regulii de adunare (scădere) a fracțiilor numerice cu aceiași numitori, este egal cu . Dar înlocuirea valorilor variabilelor din setul selectat în expresie o transformă în aceeași fracție. Aceasta înseamnă că pentru setul selectat de valori variabile din ODZ, valorile expresiilor și sunt egale. Este clar că valorile expresiilor indicate vor fi egale pentru orice alt set de valori ale variabilelor din ODZ, ceea ce înseamnă că expresiile și sunt identic egale, adică egalitatea care se dovedește este adevărată. .

Exemple de adunare și scădere de fracții cu variabile

Când numitorii fracțiilor care se adună sau se scad sunt aceiași, atunci totul este destul de simplu - numărătorii se adună sau se scad, iar numitorul rămâne același. Este clar că fracția obținută după aceasta este simplificată dacă este necesar și posibil.

Rețineți că uneori numitorii fracțiilor diferă doar la prima vedere, dar de fapt sunt expresii identice, cum ar fi, de exemplu, și , sau și . Și uneori este suficient să simplificați fracțiile inițiale, astfel încât numitorii lor identici „să apară”.

Exemplu.

, b) , în) .

Soluţie.

a) Trebuie să scădem fracții cu aceiași numitori. Conform regulii corespunzătoare, lăsăm numitorul același și scădem numărătorii, avem . Acțiune făcută. Dar puteți deschide totuși parantezele în numărător și aduceți termeni similari: .

b) Evident, numitorii fracțiilor adăugate sunt aceiași. Prin urmare, adunăm numărătorii și lăsăm numitorul același: . Adăugare finalizată. Dar este ușor de observat că fracția rezultată poate fi redusă. Într-adevăr, numărătorul fracției rezultate poate fi redus cu pătratul sumei ca (lgx + 2) 2 (vezi formulele de înmulțire prescurtate), astfel încât au loc următoarele transformări: .

c) Fracții în sumă au numitori diferiți. Dar, transformând una dintre fracții, puteți trece la adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori. Vă prezentăm două soluții.

Prima cale. Numitorul primei fracții poate fi factorizat utilizând formula diferenței de pătrate și apoi reduceți această fracție: . În acest fel, . Nu strică să scapi de iraționalitate în numitorul unei fracții: .

A doua cale. Înmulțirea numărătorului și numitorului celei de-a doua fracții (această expresie nu dispare pentru nicio valoare a variabilei x din DPV pentru expresia originală) vă permite să atingeți două obiective simultan: scăpați de iraționalitate și treceți la adunare. fracții cu aceiași numitori. Avem

Răspuns:

A) , b) , în) .

Ultimul exemplu ne-a adus la problema aducerii fracțiilor la un numitor comun. Acolo am ajuns aproape accidental la aceiași numitori, simplificând una dintre fracțiile adăugate. Dar, în cele mai multe cazuri, atunci când se adună și se scad fracții cu numitori diferiți, trebuie să aducem intenționat fracțiile la un numitor comun. Pentru a face acest lucru, numitorii fracțiilor sunt de obicei prezentați ca produse, toți factorii sunt luați de la numitorul primei fracții și li se adaugă factorii lipsă de la numitorul celei de-a doua fracții.

Exemplu.

Efectuați acțiuni cu fracții: a) , b), c) .

Soluţie.

a) Nu este nevoie să faceți nimic cu numitorii fracțiilor. Ca numitor comun, luăm produsul . În acest caz, factorul suplimentar pentru prima fracție este expresia, iar pentru a doua fracție - numărul 3. Acești factori suplimentari aduc fracțiile la un numitor comun, ceea ce ne permite în continuare să realizăm acțiunea de care avem nevoie

b) În acest exemplu, numitorii sunt deja prezentați ca produse și nu sunt necesare transformări suplimentare. Evident, factorii din numitori diferă doar în exponenți, prin urmare, ca numitor comun, luăm produsul factorilor cu cei mai mari exponenți, adică . Atunci factorul suplimentar pentru prima fracție va fi x 4 , iar pentru a doua - ln(x+1) . Acum suntem gata să scădem fracții:

c) Și în acest caz, pentru început, vom lucra cu numitorii fracțiilor. Formulele diferenței de pătrate și pătratul sumei vă permit să treceți de la suma inițială la expresia . Acum este clar că aceste fracții pot fi reduse la un numitor comun . Cu această abordare, soluția va arăta astfel:

Răspuns:

A)

b)

în)

Exemple de înmulțire a fracțiilor cu variabile

Înmulțirea fracțiilor dă o fracție al cărei numărător este produsul numărătorilor fracțiilor originale, iar numitorul este produsul numitorilor. Aici, după cum puteți vedea, totul este familiar și simplu și nu putem decât să adăugăm că fracția obținută în urma acestei acțiuni este adesea redusă. În aceste cazuri, se reduce, cu excepția cazului în care, desigur, este necesar și justificat.

În matematică tipuri diferite numerele au fost studiate încă de la începuturile sale. Există un număr mare de seturi și subseturi de numere. Printre acestea se numără numere întregi, raționale, iraționale, naturale, pare, impare, complexe și fracționale. Astăzi vom analiza informații despre ultima mulțime - numere fracționale.

Definiţia fractions

Fracțiile sunt numere formate dintr-o parte întreagă și fracții dintr-o unitate. La fel ca numerele întregi, există un număr infinit de numere fracționale între două numere întregi. În matematică se fac operații cu fracții, ca și cu numerele întregi și naturale. Este destul de simplu și poate fi învățat în câteva lecții.

Articolul prezintă două tipuri

Fracții comune

Fracțiile obișnuite sunt partea întreagă a și două numere scrise prin bara fracțională b/c. Fracțiile comune pot fi extrem de utile dacă partea fracțională nu poate fi reprezentată în formă zecimală rațională. În plus, este mai convenabil să efectuați operații aritmetice printr-o linie fracțională. Partea de sus este numită numărător, partea de jos este numitorul.

Acțiuni cu fracții obișnuite: exemple

Proprietatea de bază a unei fracții. Laînmulțind numărătorul și numitorul cu același număr care nu este zero, rezultă un număr egal cu cel dat. Această proprietate a unei fracții ajută la aducerea unui numitor pentru adunare (acest lucru va fi discutat mai jos) sau la reducerea unei fracții, făcându-l mai convenabil pentru numărare. a/b = a*c/b*c. De exemplu, 36/24 = 6/4 sau 9/13 = 18/26

Reducere la un numitor comun. Pentru a aduce numitorul unei fracții, trebuie să reprezentați numitorul sub formă de factori, apoi să înmulțiți cu numerele lipsă. De exemplu, 7/15 și 12/30; 7/5*3 și 12/5*3*2. Vedem că numitorii diferă cu doi, așa că înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 2. Obținem: 14/30 și 12/30.

Fracții compuse- fracții ordinare cu o parte întreagă evidențiată. (A b/c) Pentru a reprezenta o fracție compusă ca fracție comună, înmulțiți numărul din fața fracției cu numitorul și apoi adăugați-l la numărător: (A*c + b)/c.

Operații aritmetice cu fracții

Nu va fi de prisos să luăm în considerare binecunoscutele operații aritmetice doar atunci când lucrați cu numere fracționale.

Adunare si scadere. Adunarea și scăderea fracțiilor este la fel de ușor ca numerele întregi, cu excepția unei dificultăți - prezența unei linii fracționale. Când se adună fracții cu același numitor, este necesar să se adună doar numărătorii ambelor fracții, numitorii rămânând neschimbați. De exemplu: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Dacă numitorii a două fracții sunt numere diferite, mai întâi trebuie să le aduceți la unul comun (așa cum am discutat mai sus). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Scăderea are loc exact după același principiu: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9.

Înmulțirea și împărțirea. Acțiuni cu fracțiile prin înmulțire apar după următorul principiu: numărătorii și numitorii se înmulțesc separat. LA vedere generala formula de înmulțire arată astfel: a/b *c/d = a*c/b*d. În plus, pe măsură ce înmulțiți, puteți reduce fracția eliminând aceiași factori de la numărător și numitor. Într-o altă limbă, numărătorul și numitorul sunt divizibile cu același număr: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Pentru a împărți o fracție obișnuită la alta, trebuie să schimbați numărătorul și numitorul divizorului și să efectuați înmulțirea a două fracții, conform principiului discutat mai devreme: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

zecimale

Decimalele sunt versiunea mai populară și mai frecvent utilizată a numerelor fracționale. Ele sunt mai ușor de notat într-un rând sau de prezentat pe un computer. Structura fracției zecimale este următoarea: mai întâi se scrie numărul întreg, iar apoi, după virgulă, se scrie partea fracțională. În miezul ei zecimale- acestea sunt fracții obișnuite compuse, totuși, partea lor fracțională este reprezentată de un număr împărțit la un multiplu de 10. De aici provine numele lor. Operațiile cu fracții zecimale sunt similare cu operațiile cu numere întregi, deoarece sunt scrise și în sistemul numeric zecimal. De asemenea, spre deosebire de fracțiile obișnuite, zecimalele pot fi iraționale. Aceasta înseamnă că pot fi infinite. Sunt scrise ca 7,(3). Se citește următoarea intrare: șapte întregi, trei zecimi în perioada.

Operații de bază cu numere zecimale

Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale. Efectuarea acțiunilor cu fracții nu este mai dificilă decât cu numere naturale întregi. Regulile sunt exact aceleași cu cele folosite la adunarea sau scăderea numerelor naturale. De asemenea, pot fi considerate o coloană în același mod, dar dacă este necesar, înlocuiți locurile lipsă cu zerouri. De exemplu: 5,5697 - 1,12. Pentru a efectua o scădere pe coloană, trebuie să egalizați numărul de numere după virgulă zecimală: (5,5697 - 1,1200). Deci, valoarea numerică nu se va modifica și poate fi numărată într-o coloană.

Operațiile cu fracții zecimale nu pot fi efectuate dacă una dintre ele are o formă irațională. Pentru a face acest lucru, trebuie să convertiți ambele numere în fracții obișnuite și apoi să utilizați tehnicile descrise mai devreme.

Înmulțirea și împărțirea.Înmulțirea zecimalelor este similară cu înmulțirea numerelor naturale. Ele pot fi, de asemenea, înmulțite cu o coloană, pur și simplu ignorând virgula și apoi separate printr-o virgulă în valoarea finală, același număr de cifre ca și suma după virgulă a fost în două fracții zecimale. De exemplu, 1,5 * 2,23 = 3,345. Totul este foarte simplu și nu ar trebui să provoace dificultăți dacă ați stăpânit deja înmulțirea numerelor naturale.

Împărțirea coincide și cu împărțirea numerelor naturale, dar cu o ușoară digresiune. A se împărți în numar decimal coloană, trebuie să renunțați la virgula din divizor și să înmulțiți dividendul cu numărul de cifre după punctul zecimal din divizor. Apoi faceți împărțirea ca în cazul numerelor naturale. Cu o împărțire incompletă, puteți adăuga zerouri la dividendul din dreapta, adăugând și un zero după virgulă zecimală.

Exemple de acțiuni cu fracții zecimale. Decimalele sunt un instrument foarte util pentru numărarea aritmetică. Ele combină comoditatea numerelor naturale, întregi și precizia fracțiilor comune. În plus, este destul de simplu să convertiți o fracție în alta. Operațiile cu fracții nu sunt diferite de operațiile cu numere naturale.

1. Adunare: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Scădere: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Înmulțire: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Diviziune: 3,6: 0,6 = 6

În plus, zecimale sunt potrivite pentru reprezentarea procentelor. Deci, 100% = 1; 60% = 0,6; și invers: 0,659 = 65,9%.

Asta este tot ce trebuie să știi despre fracții. Articolul a luat în considerare două tipuri de fracții - ordinare și zecimale. Ambele sunt destul de ușor de calculat, iar dacă aveți o stăpânire completă a numerelor naturale și a operațiilor cu ele, puteți începe în siguranță să învățați numerele fracționale.