Aflați numărătorul și numitorul. O fracție este formată din două numere: numărul de deasupra liniei se numește numărător, iar numărul de sub linie se numește numitor. Numitorul denotă total părți în care este împărțit un întreg, iar numărătorul este numărul considerat al acestor părți.

• De exemplu, în fracția ½, numărătorul este 1 și numitorul este 2.

Determinați numitorul. Dacă două sau mai multe fracții au un numitor comun, astfel de fracții au același număr sub linie, adică, în acest caz, un întreg este împărțit în același număr de părți. Adunarea fracțiilor cu un numitor comun este foarte ușoară, deoarece numitorul fracției totale va fi același cu cel al fracțiilor care se adună. De exemplu:

• Fracțiile 3/5 și 2/5 au un numitor comun 5.
• Fracțiile 3/8, 5/8, 17/8 au un numitor comun 8.

Determinați numărătorii. Pentru a adăuga fracții cu un numitor comun, adăugați numărătorii lor și scrieți rezultatul deasupra numitorului fracțiilor adăugate.

• Fracțiile 3/5 și 2/5 au numărătorii 3 și 2.
• Fracțiile 3/8, 5/8, 17/8 au numărătorii 3, 5, 17.

Adunați numărătorii.În problema 3/5 + 2/5 adăugați numărătorii 3 + 2 = 5. În problema 3/8 + 5/8 + 17/8 adăugați numărătorii 3 + 5 + 17 = 25.

Notați totalul. Amintiți-vă că atunci când adăugați fracții cu un numitor comun, acesta rămâne neschimbat - se adaugă doar numărătorii.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Convertiți fracția dacă este necesar. Uneori, o fracție poate fi scrisă ca un număr întreg, mai degrabă decât ca o fracție comună sau zecimală. De exemplu, fracția 5/5 se transformă ușor în 1, deoarece orice fracție al cărei numărător este egal cu numitorul este 1. Imaginează-ți o plăcintă tăiată în trei părți. Dacă mănânci toate cele trei părți, atunci vei mânca întreaga (una) plăcintă.

• Orice fracție comună poate fi convertită într-o zecimală; Pentru a face acest lucru, împărțiți numărătorul la numitor. De exemplu, fracția 5/8 poate fi scrisă astfel: 5 ÷ 8 = 0,625.

Simplificați fracția dacă este posibil. O fracție simplificată este o fracție al cărei numărător și numitor nu au un divizor comun.

• De exemplu, luați în considerare fracția 3/6. Aici atât numărătorul cât și numitorul au divizor comun, egal cu 3, adică numărătorul și numitorul sunt complet divizibile cu 3. Prin urmare, fracția 3/6 se poate scrie astfel: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Dacă este necesar, convertiți fracția improprie într-o fracție mixtă (număr mixt). Pentru o fracție improprie, numărătorul este mai mare decât numitorul, de exemplu, 25/8 (pentru o fracție proprie, numărătorul este mai mic decât numitorul). O fracție improprie poate fi convertită într-o fracție mixtă, care constă dintr-o parte întreagă (adică un număr întreg) și o parte fracțională (adică o fracție proprie). Pentru a converti o fracție improprie, cum ar fi 25/8, într-un număr mixt, urmați acești pași:

• Împărțiți numărătorul fracției improprie la numitorul ei; notează coeficientul incomplet (întregul răspuns). În exemplul nostru: 25 ÷ 8 = 3 plus ceva rest. LA acest cazîntregul răspuns este întreaga parte număr mixt.
• Găsiți restul. În exemplul nostru: 8 x 3 = 24; scădeți rezultatul din numărătorul inițial: 25 - 24 \u003d 1, adică restul este 1. În acest caz, restul este numărătorul părții fracționale a numărului mixt.
• Scrieți o fracție mixtă. Numitorul nu se schimbă (adică este egal cu numitorul fracției improprie), deci 25/8 = 3 1/8.

Conținutul lecției

Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori

Adunarea fracțiilor este de două tipuri:

1. Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiti

Să începem cu adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adăugăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2 Adăugați fracții și .

Răspunsul s-a dovedit că nu Fracțiunea corespunzătoare. Dacă vine sfârșitul sarcinii, atunci se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea. În cazul nostru, partea întreagă este alocată cu ușurință - doi împărțiți la doi este egal cu unul:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:

Exemplul 3. Adăugați fracții și .

Din nou, adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți pizza:

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.

După cum puteți vedea, adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori nu este dificilă. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți

Acum vom învăța cum să adunăm fracții cu diferiți numitori. Când se adună fracții, numitorii acelor fracții trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.

De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.

Dar fracțiile nu pot fi adăugate deodată, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi vom lua în considerare doar una dintre ele, deoarece restul metodelor pot părea complicate pentru un începător.

Esența acestei metode constă în faptul că numitorii (LCM) ai ambelor fracții sunt căutați mai întâi. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - NOC este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține al doilea factor suplimentar.

Apoi numărătorii și numitorii fracțiilor sunt înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.

Exemplul 1. Adăugați fracții și

În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6

LCM (2 și 3) = 6

Acum revenim la fracții și . În primul rând, împărțim LCM la numitorul primei fracții și obținem primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.

Numărul rezultat 2 este primul factor suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, facem o mică linie oblică deasupra fracției și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.

Numărul rezultat 3 este al doilea factor suplimentar. O scriem în a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică deasupra celei de-a doua fracții și scriem factorul suplimentar găsit deasupra ei:

Acum suntem gata să adăugăm. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:

Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:

Așa se termină exemplul. Pentru a adăuga se pare.

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:

Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând fracțiile și la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).

Primul desen prezintă o fracție (patru piese din șase), iar cea de-a doua imagine arată o fracție (trei piese din șase). Punând aceste piese împreună obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este incorectă, așa că am evidențiat partea întreagă din ea. Rezultatul a fost (o pizza intreaga si alta a sasea pizza).

Rețineți că am pictat acest exemplu prea detaliat. LA institutii de invatamant nu se obișnuiește să se scrie într-o manieră atât de detaliată. Trebuie să puteți găsi rapid LCM a ambelor numitori și factori suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți de numărătorii și numitorii dvs. În timp ce suntem la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:

Dar există și cealaltă față a monedei. Dacă nu se fac note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci întrebări de acest fel „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.

Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:

1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție;
3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
4. Adaugă fracții care au aceiași numitori;
5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii .

Să folosim instrucțiunile de mai sus.

Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor

Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4

Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție

Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem peste prima fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Primim al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Am obținut al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem peste a treia fracție:

Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari

Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii noștri suplimentari:

Pasul 4. Adaugă fracții care au aceiași numitori

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Rămâne să adunăm aceste fracții. Aduna:

Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe următoarea linie. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, se trece pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul unei noi linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.

Pasul 5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga parte din el

Răspunsul nostru este o fracție improprie. Trebuie să evidențiem întreaga parte a acesteia. Subliniem:

Am un răspuns

Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori

Există două tipuri de scădere de fracții:

1. Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

Mai întâi, să învățăm cum să scădem fracții cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același.

De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, este necesar să scădem numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei.

Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:

Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții, trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:

1. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
2. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte din el.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți

De exemplu, o fracție poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au aceiași numitori. Dar o fracție nu poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).

Numitorul comun se găsește după același principiu pe care l-am folosit atunci când adunăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie peste prima fracție. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care se scrie peste a doua fracție.

Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.

Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii:

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

În primul rând, găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12

LCM (3 și 4) = 12

Acum revenim la fracții și

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Scriem cele patru peste prima fracție:

Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un triplu peste a doua fracție:

Acum suntem gata de scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:

Am un răspuns

Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza.

Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Fiind la școală, ar trebui să rezolvăm acest exemplu într-un mod mai scurt. O astfel de soluție ar arăta astfel:

Reducerea fracțiilor și la un numitor comun poate fi, de asemenea, reprezentată folosind o imagine. Aducând aceste fracții la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în aceleași fracții (reduse la același numitor):

Primul desen arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracțiune (trei piese din douăsprezece). Prin tăierea a trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii

Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le aduceți la același numitor (comun).

Aflați LCM al numitorilor acestor fracții.

Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții.

Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțind 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem peste prima fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem peste a doua fracție:

Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem peste a treia fracție:

Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:

Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.

Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune corectă și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o facem mai ușor. Ce se poate face? Puteți reduce această fracție.

Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (mcd) numerele 20 și 30.

Deci, găsim GCD-ul numerelor 20 și 30:

Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la GCD găsit, adică la 10

Am un răspuns

Înmulțirea unei fracții cu un număr

Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acest număr și să lăsați numitorul același.

Exemplul 1. Înmulțiți fracția cu numărul 1.

Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1

Intrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza 1 dată, primești pizza

Din legile înmulțirii, știm că dacă multiplicandul și multiplicatorul sunt interschimbați, atunci produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui întreg și a unei fracții funcționează:

Această intrare poate fi înțeleasă ca ocupând jumătate din unitate. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul fracției cu 4

Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei pizza de 4 ori, primești două pizza întregi.

Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul pe alocuri, obținem expresia. De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:

Înmulțirea fracțiilor

Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul este o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea.

Exemplul 1 Găsiți valoarea expresiei.

Am un răspuns. Este de dorit să se reducă această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:

Expresia poate fi înțeleasă ca luând o pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:

Și ia două din aceste trei bucăți:

Vom lua pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza împărțită în trei părți:

O felie din această pizza și cele două felii pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:

Cu alte cuvinte, vorbim de aceeași dimensiune a pizza. Prin urmare, valoarea expresiei este

Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii

Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:

Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție corectă, dar va fi bine dacă se reduce. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.

Deci, să găsim GCD-ul numerelor 105 și 450:

Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la GCD pe care l-am găsit acum, adică la 15

Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție

Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Din aceasta, cei cinci nu își vor schimba sensul, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știți, este egal cu cinci:

Numerele inversate

Acum ne vom familiariza cu subiect interesantîn matematică. Se numește „numere inverse”.

Definiție. Inversa la numărA este numărul care, atunci când este înmulțit cuA oferă o unitate.

Să înlocuim în această definiție în loc de o variabilă A numărul 5 și încercați să citiți definiția:

Inversa la număr 5 este numărul care, atunci când este înmulțit cu 5 oferă o unitate.

Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că poți. Să reprezentăm cinci ca o fracție:

Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar inversată:

Care va fi rezultatul acestui lucru? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:

Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul, deoarece atunci când 5 este înmulțit cu unu, se obține unul.

Reciproca poate fi găsită și pentru orice alt număr întreg.

Puteți găsi, de asemenea, reciproca pentru orice altă fracție. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l întoarceți.

Împărțirea unei fracții cu un număr

Să presupunem că avem jumătate de pizza:

Să o împărțim în mod egal între doi. Câte pizza va primi fiecare?

Se poate observa că după împărțirea jumătate din pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare alcătuind câte o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.

Împărțirea fracțiilor se face folosind reciproce. Reciprocele vă permit să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea.

Pentru a împărți o fracție la un număr, trebuie să înmulțiți această fracție cu reciproca divizorului.

Folosind această regulă, vom nota împărțirea jumătății noastre de pizza în două părți.

Deci, trebuie să împărțiți fracția la numărul 2. Aici dividendul este o fracție, iar divizorul este 2.

Pentru a împărți o fracție la numărul 2, trebuie să înmulțiți această fracție cu inversul divizorului 2. Reciprocul divizorului 2 este o fracție. Deci trebuie să înmulțiți cu

Pentru a adăuga un număr întreg la o fracție, este suficient să efectuați o serie de acțiuni, sau mai degrabă, calcule.

De exemplu, aveți 7 - un număr întreg, trebuie să îl adăugați la fracția 1/2.

Acționăm după cum urmează:

• Înmulțim 7 cu numitorul (2), rezultă 14,
• la 14 adăugăm partea superioară (1), rezultă 15,
• și înlocuiți numitorul.
• rezultatul este 15/2.

În acest mod simplu, puteți adăuga numere întregi la numere fracționale.

Și pentru a selecta un număr întreg dintr-o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor, iar restul va fi o fracție.

Operația de adăugare la corect fracție comună numărul întreg nu este complicat și uneori constă pur și simplu în formarea unei fracții mixte, în care partea întreagă este plasată la stânga părții fracționale, de exemplu, o astfel de fracție va fi amestecată:

Totuși, mai des, când adăugați un număr întreg la o fracție, obțineți o fracție improprie, în care numărătorul este mai mare decât numitorul. Această operație se efectuează după cum urmează: un număr întreg este reprezentat ca o fracție improprie cu același numitor ca și fracția care se adaugă și apoi se adună pur și simplu numărătorii ambelor fracții. De exemplu, va arăta astfel:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

Cred că este foarte simplu.

De exemplu, avem o fracție 1/4 (aceasta este la fel cu 0,25, adică un sfert dintr-un număr întreg).

Și la acest trimestru puteți adăuga orice număr întreg, de exemplu 3. Se pare trei şi un sfert:

3.25. Sau într-o fracție se exprimă astfel: 3 1/4

Aici, urmând exemplul acestui exemplu, puteți adăuga orice fracții cu orice numere întregi.

Trebuie să ridicați un număr întreg la o fracție cu numitorul 10 (6/10). Apoi, aduceți fracția existentă la un numitor comun 10 (35=610). Ei bine, efectuați operația ca și în cazul fracțiilor obișnuite 610+610=1210 total 12.

Puteți face acest lucru în două moduri.

unu). O fracție poate fi convertită într-un număr întreg și adăugată. De exemplu, 1/2 este 0,5; 1/4 este egal cu 0,25; 2/5 este 0,4 și așa mai departe.

Luăm întregul 5, la care trebuie să adăugăm fracția 4/5. Să convertim fracția: 4/5 este 4 împărțit la 5 și obținem 0,8. Adăugați 0,8 la 5 și obțineți 5,8 sau 5 4/5.

2). A doua cale: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

Adunarea fracțiilor este o operație matematică simplă, de exemplu, trebuie să adăugați întregul 3 și fracția 1/7. Pentru a adăuga aceste două numere trebuie să aveți același numitor, așa că trebuie să înmulțiți de trei ori șapte și să împărțiți la acel număr, apoi obțineți 21/7+1/7, numitorul unu, adăugați 21 și 1, obțineți răspunsul 22/ 7 .

Doar luați și adăugați un număr întreg la această fracție. Să spunem 6+1/2=6 1/2. Ei bine, dacă aceasta este o fracție zecimală, atunci de exemplu, 6 + 1,2 = 7,2.

Pentru a adăuga o fracție și un întreg, trebuie să adăugați un număr fracționar la un întreg și să le scrieți ca număr complex, de exemplu, când adăugați o fracție obișnuită la un întreg, obținem: 1/2 +3 \u003d 3 1/2; la adăugarea unei fracții zecimale: 0,5 +3 \u003d 3,5.

O fracție în sine nu este un număr întreg, deoarece nu ajunge la ea în cantitate și, prin urmare, nu este nevoie să convertiți un număr întreg în această fracție. Prin urmare, întregul rămâne un întreg și demonstrează pe deplin denumirea completă, iar fracția este adăugată la acesta și demonstrează cât de mult îi lipsește acest număr întreg înainte ca următorul punct complet să fie adăugat.

exemplu academic.

10 + 7/3 = 10 numere întregi și 7/3.

Dacă, desigur, există numere întregi, atunci acestea sunt însumate cu numere întregi.

12 + 5 7/9 = 17 și 7/9.

Ce este un număr întreg și ce este o fracție.

În cazul în care un ambii termeni sunt pozitivi, această fracție ar trebui să fie atribuită unui număr întreg. Primești un număr mixt. Mai mult, pot exista 2 cazuri.

Cazul 1

• Fracția este corectă, adică numărătorul este mai mic decât numitorul. Apoi numărul mixt obținut după atribuire va fi răspunsul.

4/9 + 10 = 10 4/9 (zece virgulă patru zecimi).



Cazul 2

• Fracția este incorectă, adică numărătorul este mai mare decât numitorul. Atunci este necesară o mică transformare. O fracție necorespunzătoare ar trebui transformată într-un număr mixt, cu alte cuvinte, evidențiați întreaga parte. Se face astfel:



După aceea, trebuie să adăugați partea întreagă a fracției necorespunzătoare la numărul întreg și să adăugați partea sa fracțională la cantitatea rezultată. În același mod, un întreg este adăugat unui număr mixt.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 întregi trei sferturi).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 întregi o secundă).

Dacă unul dintre termeni sau ambii negativ, apoi se realizează adunarea conform regulilor de adunare a numerelor cu semne diferite sau identice. Un număr întreg este reprezentat ca raport dintre acest număr și 1, iar apoi atât numărătorul, cât și numitorul sunt înmulțiți cu un număr egal cu numitorul fracției la care se adaugă numărul întreg.

3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (minus 1 patru cincimi întregi).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (minus 8 punct o treime).

Cometariu.

După ce am cunoscut numere negative, atunci când studiază acțiunile cu ei, elevii din clasa a 6-a ar trebui să înțeleagă că adăugarea unui număr întreg pozitiv la o fracție negativă este același lucru cu scăderea din numar natural fracțiune. Această acțiune, după cum știți, se realizează astfel:



De fapt, pentru a adăuga o fracție și un întreg, trebuie pur și simplu să reduceți numărul întreg existent la unul fracționar, iar acest lucru este la fel de ușor ca decojirea perelor. Trebuie doar să luați numitorul fracției (disponibil în exemplu) și să îl faceți numitorul unui număr întreg înmulțindu-l cu acest numitor și împărțind, iată un exemplu:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

copilul tău a adus teme pentru acasă de la scoala si nu stii cum sa o rezolvi? Atunci acest mini tutorial este pentru tine!

Cum se adaugă zecimale

Este mai convenabil să adăugați fracții zecimale într-o coloană. Pentru a adăuga zecimale, trebuie să urmați o regulă simplă:

• Cifra trebuie să fie sub cifră, virgulă sub virgulă.

După cum puteți vedea în exemplu, unitățile întregi sunt una sub cealaltă, zecimile și sutimile sunt una sub cealaltă. Acum adăugăm numerele, ignorând virgula. Ce să faci cu virgulă? Virgula este transferată în locul în care a stat în descărcarea numerelor întregi.

Adunarea fracțiilor cu numitori egali

Pentru a efectua adunarea cu un numitor comun, trebuie să păstrați numitorul neschimbat, să găsiți suma numărătorilor și să obțineți o fracție, care va fi suma totală.

Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți prin găsirea unui multiplu comun

Primul lucru la care trebuie să acordați atenție sunt numitorii. Numitorii sunt diferiți, nu sunt divizibili unul de altul, nu-i așa? numere prime. Mai întâi trebuie să aduceți la un numitor comun, există mai multe moduri de a face acest lucru:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, pentru a rezolva acest exemplu, trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun (LCM) care va fi divizibil cu 2 numitori. Pentru a desemna cel mai mic multiplu al lui a și b - LCM (a; b). În acest exemplu LCM (3;4)=12. Verificare: 12:3=4; 12:4=3.
• Înmulțim factorii și efectuăm adunarea numerelor rezultate, obținem 13/12 - o fracție improprie.

• Pentru a converti o fracție improprie într-una proprie, împărțim numărătorul la numitor, obținem numărul întreg 1, restul 1 este numărătorul și 12 este numitorul.

Adunarea fracțiilor folosind înmulțirea încrucișată

Pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, există o altă modalitate conform formulei „cruce cu cruce”. Aceasta este o modalitate garantată de a egaliza numitorii, pentru aceasta trebuie să înmulțiți numărătorii cu numitorul unei fracții și invers. Dacă ești doar pe stadiul inițialînvățarea fracțiilor, atunci această metodă este cea mai ușoară și cea mai precisă, cum să obțineți rezultatul corect atunci când adăugați fracții cu diferiți numitori.

Regulile de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți sunt foarte simple.

Luați în considerare regulile de adunare a fracțiilor cu diferiți numitori în pași:

1. Aflați LCM (cel mai mic multiplu comun) al numitorilor. LCM rezultat va fi numitorul comun al fracțiilor;

2. Aduceți fracțiile la un numitor comun;

3. Adaugă fracțiile reduse la un numitor comun.

Pe exemplu simplu Aflați cum să adăugați fracții cu numitori diferiți.

Exemplu

Un exemplu de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți.

Adăugați fracții cu numitori diferiți:

1	+	5
6		12

Să decidem pas cu pas.

1. Aflați LCM (cel mai mic multiplu comun) al numitorilor.

Numărul 12 este divizibil cu 6.

De aici concluzionăm că 12 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 și 12.

Răspuns: nok-ul numerelor 6 și 12 este 12:

LCM(6, 12) = 12

NOC rezultat va fi numitorul comun al celor două fracții 1/6 și 5/12.

2. Aduceți fracțiile la un numitor comun.

În exemplul nostru, doar prima fracție trebuie redusă la un numitor comun de 12, deoarece a doua fracție are deja un numitor de 12.

Împărțiți numitorul comun al lui 12 la numitorul primei fracții:

2 are un multiplicator suplimentar.

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții (1/6) cu un factor suplimentar de 2.