Înmulțirea fracțiilor algebrice. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice Înmulțirea fracțiilor algebrice cu diferiți numitori

Putem efectua înmulțirea și împărțirea fracțiilor aritmetice, de exemplu:

dacă literele a, b, c și d reprezintă numere întregi aritmetice.

Se pune întrebarea dacă aceste egalități nu rămân valabile dacă a, b, c și d denotă: 1) unele numere aritmeticeși 2) orice numere relative.

În primul rând, va trebui să luați în considerare fracțiile complexe, de exemplu:

Aceste exemple sunt deja suficiente pentru a verifica validitatea egalităților referitoare la înmulțirea și împărțirea fracțiilor, atunci când numerele a, b, c și d sunt orice aritmetică (întreg sau fracționar). Rețineți că există doar 2 egalități de bază, și anume:

Rămâne acum să ne gândim dacă aceste egalități rămân valabile dacă se presupune că unele dintre numerele a, b, c și d sunt negative: dacă, de exemplu, a un număr negativ, b, c și d sunt pozitive, atunci fracția este negativă și fracția este pozitivă; prin urmare, de exemplu, împărțirea la ar trebui să rezulte într-un număr negativ, dar vedem că, conform presupunerii noastre, expresia ar trebui să exprime și un număr negativ, adică egalitatea este justificată și în acest caz. Este, de asemenea, ușor de luat în considerare și alte ipoteze pentru semnele lui a, b, c și d. Rezultatul acestei considerații este credința în validitatea egalităților

și pentru cazul în care a, b, c și d exprimă orice numere relative, adică pentru înmulțire și împărțire fracții algebrice se aplică aceleași reguli ca și pentru aritmetică.

Acum putem efectua înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Cea mai mare dificultate aici este problema reducerii fracțiilor obținute după înmulțire sau împărțire. Dacă fracțiile algebrice sunt de un singur termen, atunci reducerea rezultatului obținut nu va prezenta dificultăți, iar dacă fracțiile sunt algebrice, atunci este necesar să se factorizeze mai întâi numărătorul și numitorul fiecăreia dintre aceste fracții.

În această lecție, vom lua în considerare regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice, precum și exemple de aplicare a acestor reguli. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice nu este diferită de înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite. Cu toate acestea, prezența variabilelor duce la modalități ceva mai complexe de simplificare a expresiilor rezultate. În ciuda faptului că înmulțirea și împărțirea fracțiilor este mai ușoară decât adunarea și scăderea lor, studiul acestui subiect trebuie abordat foarte responsabil, deoarece există multe „capcane” în el, cărora de obicei nu li se acordă atenție. Ca parte a lecției, nu vom studia doar regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor, dar vom analiza și nuanțele care pot apărea atunci când le aplicăm.

Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecţie:Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice

Regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice sunt absolut similare cu regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor obișnuite. Amintiți-le:

Adică, pentru a înmulți fracțiile, este necesar să le înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul produsului) și să le înmulțiți numitorii (acesta va fi numitorul produsului).

Împărțirea cu o fracție este înmulțirea cu o fracție inversată, adică pentru a împărți două fracții este necesar să se înmulțească prima dintre ele (dividend) cu a doua inversată (divizor).

În ciuda simplității acestor reguli, mulți oameni greșesc într-o serie de cazuri speciale atunci când rezolvă exemple pe această temă. Să aruncăm o privire mai atentă la aceste cazuri speciale:

În toate aceste reguli, am folosit următorul fapt: .

Să rezolvăm câteva exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor ordinare pentru a ne aminti cum să folosiți regulile indicate.

Exemplul 1

Notă: la reducerea fracțiilor, am folosit expansiunea unui număr în factori primi. Amintește-ți asta numere prime se numesc astfel numere întregi, care sunt divizibile numai prin ele însele. Restul numerelor sunt chemate constitutiv . Numărul nu este nici prim, nici compus. Exemple numere prime: .

Exemplul 2

Să luăm acum în considerare unul dintre cazurile speciale cu fracții obișnuite.

Exemplul 3

După cum puteți vedea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite, dacă regulile sunt aplicate corect, nu este dificilă.

Luați în considerare înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.

Exemplul 4

Exemplul 5

Rețineți că este posibil și chiar necesar să se reducă fracțiile după înmulțire după aceleași reguli pe care le-am considerat anterior în lecțiile despre reducerea fracțiilor algebrice. Luați în considerare câteva exemple simple pentru cazuri speciale.

Exemplul 6

Exemplul 7

Să ne uităm acum la câteva exemple dificile pentru înmulțirea și împărțirea fracțiilor.

Exemplul 8

Exemplul 9

Exemplul 10

Exemplul 11

Exemplul 12

Exemplul 13

Până acum, am luat în considerare fracțiile în care atât numărătorul, cât și numitorul sunt monomii. Cu toate acestea, în unele cazuri este necesară înmulțirea sau împărțirea fracțiilor ai căror numărători și numitori sunt polinoame. În acest caz, regulile rămân aceleași, iar pentru reducere este necesar să se folosească formulele de înmulțire prescurtată și paranteze.

Exemplul 14

Exemplul 15

Exemplul 16

Exemplul 17

Exemplul 18

În această lecție, vom lua în considerare regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice, precum și exemple de aplicare a acestor reguli. Înmulțirea și scăderea fracțiilor algebrice nu este diferită de înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite. Cu toate acestea, prezența variabilelor duce la modalități ceva mai complexe de simplificare a expresiilor rezultate. În ciuda faptului că înmulțirea și împărțirea fracțiilor este mai ușoară decât adunarea și scăderea lor, studiul acestui subiect trebuie abordat foarte responsabil, deoarece există multe „capcane” în el, cărora de obicei nu li se acordă atenție. Ca parte a lecției, nu vom studia doar regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor, ci vom analiza și nuanțele care pot apărea atunci când le aplicăm.

Subiect:Fracții algebrice. Operații aritmetice pe fracții algebrice

Lecţie:Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice

1. Reguli de înmulțire și împărțire a fracțiilor ordinare și algebrice

Regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice sunt exact aceleași cu regulile de înmulțire și împărțire a fracțiilor obișnuite. Amintiți-le:

Adică, pentru a înmulți fracțiile, este necesar să le înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul produsului) și să le înmulțiți numitorii (acesta va fi numitorul produsului).

2. Cazuri particulare de aplicare a regulilor de înmulțire și împărțire a fracțiilor

În toate aceste reguli, am folosit următorul fapt: .

3. Exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor ordinare

Să rezolvăm câteva exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor ordinare pentru a ne aminti cum să folosiți regulile indicate.

Exemplul 1

Notă: la reducerea fracțiilor, am folosit descompunerea unui număr în factori primi. Amintește-ți asta numere prime sunt numere naturale care sunt divizibile numai prin ele însele. Restul numerelor sunt chemate constitutiv. Numărul nu este nici prim, nici compus. Exemple de numere prime: .

Exemplul 2

Să luăm acum în considerare unul dintre cazurile speciale cu fracții obișnuite.

Exemplul 3

După cum puteți vedea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor obișnuite, dacă regulile sunt aplicate corect, nu este dificilă.

4. Exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice (cazuri simple)

Luați în considerare înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice.

Exemplul 4

Exemplul 5

Rețineți că este posibil și chiar necesar să se reducă fracțiile după înmulțire după aceleași reguli pe care le-am considerat anterior în lecțiile despre reducerea fracțiilor algebrice. Să luăm în considerare câteva exemple simple pentru cazuri speciale.

Exemplul 6

Exemplul 7

Să luăm acum în considerare câteva exemple mai complexe de înmulțire și împărțire a fracțiilor.

Exemplul 8

Exemplul 9

Exemplul 10

Exemplul 11

Exemplul 12

Exemplul 13

5. Exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice (cazuri dificile)

Exemplul 14

Tema: Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice

Educația este ceea ce rămâne atunci când totul a fost deja uitat.

Laue

Obiective:

Educational:

reparați ZUN pe subiect

efectuează controlul curent primar al cunoștințelor

lucrați la goluri

În curs de dezvoltare:

contribuie la dezvoltarea competenței comunicative, de ex. capacitatea de a lucra eficient cu ceilalți.

promovează dezvoltarea competenței de cooperare, adică capacitatea de a lucra în perechi.

contribuie la dezvoltarea competenței de rezolvare a problemelor, de ex. capacitatea de a înțelege inevitabilitatea dificultăților în cursul oricărei activități.

Educational:

pentru a insufla capacitatea de a evalua în mod adecvat munca depusă de un prieten;

atunci când se lucrează în perechi, pentru a cultiva calitățile de asistență reciprocă, sprijin.

Metodic:

crearea condițiilor pentru manifestarea individualității, activitate cognitivă elevi;

arătați metodologia lecției cu proiectarea rezultatelor activități de învățareși metodele de cercetare a acestora pe baza abordării bazate pe competențe.

Echipament: tabla, creta colorata. Tabelul „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice”; carduri pentru munca individuala, carduri de memorie. Minute gratuite.

În timpul orelor

Organizarea timpului

Planul lecției este scris pe tablă:

Antrenament oral.

Munca individuala.

Rezolvarea problemelor.

Lucru pereche.

Rezumatul lecției.

Teme pentru acasă.

Profesor: Pe vremuri în Rusia se credea că, dacă o persoană era versată în matematică, atunci asta însemna cel mai înalt gradînvăţare. Iar capacitatea de a vedea și auzi corect este primul pas către înțelepciune. Vreau ca toți elevii din clasa ta de astăzi să arate cât de înțelepți sunt și cât de versați sunt oamenii în algebra de clasa a VII-a.

Deci, tema lecției este „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice” În ultima lecție, ați început să studiați Acest subiect, și am discutat de ce îl studiem. Să ne amintim unde va fi util în câteva lecții.

Elevi: Pentru acțiune comună cu fracții algebrice, pentru rezolvarea ecuațiilor și, prin urmare, a problemelor.

Profesor: Chiar și pe vremuri în Rusia spuneau că înmulțirea este un chin, iar împărțirea este necaz. Oricine putea înmulți și împărți rapid și precis era considerat un mare matematician.

Ce obiective îți vei stabili?

Elevi: Continuați să studiați subiectul, învățați să înmulțiți și să împărțiți rapid și precis.

Profesor: Pentru a ne atinge obiectivele, noi (deschidem planul scris pe tablă, îl pronunțăm)

1. Încălzirea orală: (în acest timp 3 - 4 persoane rezolvă simulatorul de reducere a fracțiilor în perechi) factorizează prin completarea golurilor

1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...

reduce fracția

Fracții, fracții, fracții bate tăiați-le nu cruță.

găsiți greșeala făcută la înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice

Profesor: Unde este eroarea? De ce se face eroarea? Ce regulă nu știa elevul? Ce știai? Cum se face corect?

2. Lucru în caiet, № din manual 488 (1) Analiză, rezolvare, verificare.

Profesor: Și acum vei avea ocazia să-ți arăți cunoștințele atunci când dai testul, iar pentru a te inspira să lucrezi, voi citi rima „Pentru ca profesorul să scrie” 5 „în jurnal, reușește să înmulțiți numărătorul cu numărător într-o clipă și pentru ca profesorul să fie mulțumit de tine, înmulți primul numitor cu al doilea "

Autoverificare, verificare reciprocă. După criteriile (afișate pe tablă) B-1 (321), B-2 (132) conform codurilor corecte, evaluare în perechi. rezultatul initial. Estimări.

Lucrați greșelile în perechi „elev-profesor”

Dacă nu există greșeli în perechi, aceștia fac sarcina într-un minut liber.

Simplificați expresia și găsiți-i valoarea când

5. Rezumatul lecției

În încheierea lecției, aș dori să vă întreb ce tipuri de muncă v-au cauzat dificultăți? De ce crezi? Ce ai invatat nou? Care dintre voi este mulțumit de munca dvs. la clasă? Crezi că obiectivele stabilite la începutul lecției au fost atinse?

Profesor: Aș dori să închei lecția cu cuvintele inginerului-fizician francez Laue: „Educația este ceea ce rămâne când tot ce s-a învățat a fost deja uitat”

Sper că nu veți uita acest material, pentru ca acest lucru să nu se întâmple, trebuie să completați d/z Nr. 486,487,488 chiar.

Lecție video „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Ridicarea unei fracții algebrice la o putere "- ajutor a conduce o lecție de matematică pe o anumită temă. Cu ajutorul unei lecții video, este mai ușor pentru un profesor să-și formeze capacitatea elevilor de a efectua înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Ajutorul vizual conține o descriere detaliată, de înțeles, a exemplelor în care sunt efectuate operațiile de înmulțire și împărțire. Materialul poate fi demonstrat în timpul explicației profesorului sau poate deveni o parte separată a lecției.

Pentru a forma capacitatea de rezolvare a sarcinilor de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice, în timpul descrierii soluției sunt date comentarii importante, momentele care necesită memorare și înțelegere profundă sunt evidențiate folosind culoare, caractere aldine și pointeri. Cu ajutorul unei lecții video, profesorul poate crește eficiența lecției. Acest ajutor vizual vă va ajuta să vă atingeți rapid și eficient obiectivele de învățare.

Tutorialul video începe prin introducerea subiectului. După aceea, se indică faptul că operațiile de înmulțire și împărțire cu fracții algebrice se realizează similar cu operațiile cu fracții obișnuite. Ecranul arată regulile de înmulțire, împărțire și exponențiere a fracțiilor. Înmulțirea fracțiilor este demonstrată folosind parametri literali. Se observă că la înmulțirea fracțiilor se înmulțesc numărătorii, precum și numitorii. Așa se obține fracția rezultată a/b c/d=ac/bd. Împărțirea fracțiilor este demonstrată folosind expresia a/b:c/d ca exemplu. Se indică faptul că pentru a efectua operația de împărțire este necesar să scrieți produsul dintre numărătorul dividendului și numitorul divizorului în numărător. Numitorul coeficientului este produsul dintre numitorul dividendului și numărătorul divizorului. Astfel, operația de împărțire se transformă în operația de înmulțire a fracției de dividend și a fracției reciproce a divizorului. Creșterea la puterea unei fracții este echivalentă cu o fracție în care numărătorul și numitorul sunt ridicate la puterea desemnată.

Următorul este un exemplu de soluție. În exemplul 1, trebuie să efectuați acțiunile (5x-5y) / (x-y) (x 2 -y 2) / 10x. Pentru a rezolva acest exemplu, numărătorul celei de-a doua fracții inclusă în produs este descompus în factori. Folosind formulele de înmulțire abreviată, se face o transformare x 2 -y 2 \u003d (x + y) (x-y). Apoi se înmulțesc numărătorii fracțiilor și numitorii. După efectuarea operațiilor, este clar că există factori în numărător și numitor care pot fi redusi folosind proprietatea principală a fracției. Ca rezultat al transformărilor, se obține o fracție (x + y) 2 / 2x. Se are în vedere și executarea acțiunilor 7a 3 b 5 /(3a-3b)·(6b 2 -12ab+6a 2)/49a 4 b 5 . Toți numărătorii și numitorii sunt luați în considerare pentru posibilitatea de factorizare, alocare a factorilor comuni. Apoi se înmulțesc numărătorii și numitorii. După înmulțire, se fac reduceri. Rezultatul transformării este fracția 2(a-b)/7a.

Se consideră un exemplu în care este necesară efectuarea acțiunilor (x 3 -1) / 8y: (x 2 + x + 1) / 16y 2. Pentru a rezolva expresia, se propune convertirea numărătorului primei fracții folosind formula de înmulțire abreviată x 3 -1 \u003d (x-1) (x 2 + x + 1). Conform regulii împărțirii fracțiilor, prima fracție se înmulțește cu reciproca celei de-a doua. După înmulțirea numărătorilor și numitorilor, se obține o fracție care conține aceiași factori în numărător și numitor. Ele se micșorează. Rezultatul este o fracție (x-1) 2y. Soluția exemplului (a4-b4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2) este de asemenea descrisă aici. Similar cu exemplul anterior, formula de înmulțire abreviată este utilizată pentru a converti numărătorul. Numitorul fracției este, de asemenea, convertit. Apoi prima fracție se înmulțește cu reciproca celei de-a doua fracții. După înmulțire se efectuează transformări, reduceri ale numărătorului și numitorului prin factori comuni. Rezultatul este o fracție - (a + b) (a 2 + b 2) / (b-3). Se atrage atenția elevilor asupra modului în care semnele numărătorului și numitorului se schimbă în timpul înmulțirii.

În al treilea exemplu, trebuie să efectuați operații cu fracții ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 . În rezolvarea acestui exemplu, se aplică regula ridicării unei fracții la o putere. Atât prima cât și a doua fracție sunt ridicate la o putere. Ele sunt convertite prin ridicarea numărătorului și numitorului la o putere. În plus, pentru a converti numitorii fracțiilor, se folosește formula de înmulțire prescurtată, evidențiind factorul comun. Pentru a împărți prima fracție la a doua, trebuie să înmulțiți prima fracție cu reciproca celei de-a doua. Numătorul și numitorul formează expresii care pot fi reduse. După conversie, se obține o fracție (x-2) / 27x 3 (x + 2).

Lecție video „Înmulțirea și împărțirea fracțiilor algebrice. Ridicarea unei fracții algebrice la o putere ”este folosită pentru a crește eficiența unei lecții tradiționale de matematică. Materialul poate fi util unui profesor care oferă învățământ la distanță. O descriere clară detaliată a soluției exemplelor va ajuta studenții care stăpânesc în mod independent subiectul sau necesită cursuri suplimentare.

1. Reguli de înmulțire și împărțire a fracțiilor ordinare și algebrice

2. Cazuri particulare de aplicare a regulilor de înmulțire și împărțire a fracțiilor

3. Exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor ordinare

4. Exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice (cazuri simple)

5. Exemple de înmulțire și împărțire a fracțiilor algebrice (cazuri dificile)

Citeste si