Ce înseamnă factorizarea? Cum să o facă? Ce se poate învăța din descompunerea unui număr în factori primi? Răspunsurile la aceste întrebări sunt ilustrate cu exemple specifice.

Definitii:

Un număr prim este un număr care are exact doi divizori diferiți.

Un număr compus este un număr care are mai mult de doi divizori.

descompune numar natural la factori înseamnă a-l reprezenta ca un produs al numerelor naturale.

A factoriza un număr natural în factori primi înseamnă a-l reprezenta ca un produs al numerelor prime.

Note:

• În expansiunea unui număr prim, unul dintre factori este egal cu unul, iar celălalt este egal cu acest număr însuși.
• Nu are sens să vorbim despre descompunerea unității în factori.
• Un număr compus poate fi descompus în factori, fiecare fiind diferit de 1.

	Să factorizăm numărul 150. De exemplu, 150 este de 15 ori 10. 15 este un număr compus. Poate fi descompus în factori primi de 5 și 3. 10 este un număr compus. Poate fi descompus în factori primi de 5 și 2. După ce am scris expansiunile lor în factori primi în loc de 15 și 10, am obținut o descompunere a numărului 150.
	Numărul 150 poate fi factorizat în alt mod. De exemplu, 150 este produsul numerelor 5 și 30. 5 este un număr prim. 30 este un număr compus. Poate fi reprezentat ca produsul dintre 10 și 3. 10 este un număr compus. Poate fi descompus în factori primi de 5 și 2. Am obținut descompunerea numărului 150 în factori primi într-un mod diferit.
	Rețineți că prima și a doua extindere sunt aceleași. Ele diferă doar în ordinea multiplicatorilor. Se obișnuiește să scrieți factorii în ordine crescătoare.
Orice număr compus poate fi descompus în factori primi într-un mod unic până la ordinea factorilor.

Când se descompune numere mari pentru factorii primi utilizați notația pe coloană:

	Cel mai mic număr prim cu care 216 este divizibil este 2. Împărțim 216 la 2. Obținem 108.
	Numărul rezultat 108 este divizibil cu 2. Să facem împărțirea. Prin urmare, obținem 54.
	Conform testului de divizibilitate cu 2, numărul 54 este divizibil cu 2. După împărțire, obținem 27.
	Numărul 27 se termină cu un număr impar 7. Aceasta Nu este divizibil cu 2. Următorul număr prim este 3. Împărțim 27 la 3. Obținem 9. Cel mai mic prim Numărul cu care 9 este divizibil cu 3 este 3. Trei este el însuși număr prim, este divizibil prin el însuși și cu unul. Să împărțim 3 la noi înșine. Drept urmare, am primit 1.

• Un număr este divizibil numai cu acele numere prime care fac parte din descompunerea lui.
• Un număr este divizibil numai cu acele numere compuse, a căror descompunere în factori primi este complet cuprinsă în el.

Luați în considerare exemple:

	4900 este divizibil cu numerele prime 2, 5 și 7 (sunt incluse în extinderea numărului 4900), dar nu este divizibil, de exemplu, cu 13.
	11 550 75. Acest lucru se întâmplă deoarece extinderea numărului 75 este complet conținută în extinderea numărului 11550. Rezultatul împărțirii va fi produsul factorilor 2, 7 și 11. 11550 nu este divizibil cu 4, deoarece există un 2 în plus în expansiunea lui 4.

Aflați câtul de împărțire a numărului a la numărul b, dacă aceste numere sunt descompuse în factori primi după cum urmează a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Descompunerea numărului b este complet cuprinsă în descompunerea numărului a.
	Rezultatul împărțirii lui a la b este produsul celor trei numere rămase în expansiunea lui a. Deci răspunsul este: 30.

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica clasa a VI-a. - Gimnaziul. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. În spatele paginilor unui manual de matematică. - M.: Iluminismul, 1989.
4. Rurukin A.N., Ceaikovski I.V. Sarcini pentru cursul de matematică clasa 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ceaikovski K.G. Matematică 5-6. Un manual pentru elevii clasei a VI-a ai școlii de corespondență MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematică: Manual interlocutor pentru clasele 5-6 liceu. - M .: Educație, Biblioteca Profesorului de Matematică, 1989.

1. Portalul de internet Matematika-na.ru ().
2. Portalul de internet Math-portal.ru ().

Teme pentru acasă

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematică 6. - M.: Mnemozina, 2012. Nr. 127, Nr. 129, Nr. 141.
2. Alte sarcini: nr. 133, nr. 144.

Totul începe cu o progresie geometrică. La prima prelegere despre serii (vezi secțiunea 18.1. Definiții de bază) am demonstrat că această funcție este suma seriei , iar seria converge către o funcție la
. Asa de,

.

Să scriem mai multe varietăți din această serie. Înlocuirea X pe - X , primim

la înlocuire X pe
primim

etc.; regiunea de convergență a tuturor acestor serii este aceeași:
.

2.
.

Toate derivatele acestei funcții la un punct X =0 sunt egale
, așa că serialul arată ca

.

Zona de convergență a acestei serii este întreaga axă numerică (exemplul 6 al secțiunii 18.2.4.3. Raza de convergență, intervalul de convergență și regiunea de convergență a unei serii de puteri), de aceea
la
. În consecință, termenul rămas al formulei Taylor
. Deci seria converge spre
în orice moment X .

3.
.

Această serie converge absolut pentru

, iar suma sa este într-adevăr egală cu
. Termenul rămas al formulei Taylor are forma
, Unde
sau
- funcție limitată, A
(acesta este termenul comun al expansiunii anterioare).

4.
.

Această expansiune se poate obține, ca și cele precedente, prin calculul succesiv al derivatelor, dar vom proceda altfel. Să diferențiem seria anterioară termen cu termen:

Convergența către o funcție pe întreaga axă decurge din teorema privind diferențierea termen cu termen a unei serii de puteri.

5. Demonstrați singuri că pe axa numerelor întregi , .

6.
.

Seria pentru această funcție este numită serie binomială. Aici vom calcula derivatele.

…Seria Maclaurin are forma

Căutăm un interval de convergență: prin urmare, intervalul de convergență este
. Nu vom investiga termenul rămas și comportamentul seriei la capetele intervalului de convergență; se dovedește că atunci când
seria converge absolut în ambele puncte
, la
seria converge condiționat într-un punct
și diverge la punct
, la
diverge în ambele puncte.

7.
.

Aici vom folosi faptul că
. Din moment ce, atunci, după integrarea termen cu termen,

Regiunea de convergență a acestei serii este semiintervalul
, convergența către funcția în puncte interioare rezultă din teorema privind integrarea termen cu termen a unei serii de puteri, în punctul X =1 - din continuitatea atât a funcției, cât și a sumei seriei de puteri în toate punctele, în mod arbitrar apropiat de X =1 în stânga. Rețineți că luarea X =1, vom găsi suma seriei .

8. Integrând seria termen cu termen, obținem o expansiune pentru funcție
. Efectuați singur toate calculele, scrieți zona de convergență.

9. Să scriem extinderea funcției
conform formulei seriei binomiale cu
: . Numitor
reprezentat ca , factorial dublu
înseamnă produsul tuturor numerelor naturale cu aceeași paritate ca , fara sa depaseasca . Expansiunea converge către o funcție pt
. În termeni, integrându-l de la 0 la X , primim . Rezultă că această serie converge către funcția pe întreg intervalul
; la X =1 obținem o altă reprezentare frumoasă a numărului :
.

18.2.6.2. Rezolvarea problemelor de extindere a funcțiilor într-o serie. Majoritatea problemelor în care este necesară extinderea unei funcții elementare într-o serie de puteri
, se rezolvă folosind expansiuni standard. Din fericire, orice funcție elementară de bază are o proprietate care vă permite să faceți acest lucru. Să luăm în considerare câteva exemple.

1. Descompuneți funcția
treptat
.

Soluţie. . Seria converge la
.

2. Extindeți funcția
treptat
.

Soluţie.
. Zona de convergență:
.

3. Extindeți funcția
treptat
.

Soluţie. . Seria converge la
.

4. Descompuneți funcția
treptat
.

Soluţie. . Seria converge la
.

5. Descompuneți funcția
treptat
.

Soluţie. . Zona de convergență
.

6. Extindeți funcția
treptat
.

Soluţie. Expansiunea într-o serie de fracții raționale simple de al doilea tip se obține prin diferențierea termen cu termen a expansiunilor corespunzătoare ale fracțiilor de primul tip. În acest exemplu. În plus, prin diferențierea termen cu termen, se pot obține expansiuni ale funcțiilor
,
etc.

7. Descompuneți funcția
treptat
.

Soluţie. Dacă o fracție rațională nu este simplă, ea este mai întâi reprezentată ca o sumă fracții simple:
, și apoi procedați ca în exemplul 5: , unde
.

Desigur, o astfel de abordare este inaplicabilă, de exemplu, la descompunerea funcției treptat X . Aici, dacă trebuie să obțineți primii termeni ai seriei Taylor, cel mai simplu mod este să găsiți valorile la punctul X =0 numărul necesar de prime derivate.

Acest calculator online este conceput pentru a factoriza o funcție.

De exemplu, factorizați: x 2 /3-3x+12 . Să-l scriem ca x^2/3-3*x+12 . De asemenea, puteți utiliza acest serviciu, unde toate calculele sunt salvate în format Word.

De exemplu, descompuneți în termeni. Să-l scriem ca (1-x^2)/(x^3+x) . Pentru a vedea progresul soluției, faceți clic pe Afișare pași . Dacă trebuie să obțineți rezultatul în format Word, utilizați acest serviciu.

Notă: numărul „pi” (π) se scrie ca pi ; rădăcină pătrată ca sqrt , de exemplu sqrt(3) , tangenta lui tg se scrie ca tan . Consultați secțiunea Alternative pentru un răspuns.

1. Dacă se dă o expresie simplă, de exemplu, 8*d+12*c*d , atunci factorizarea expresiei înseamnă factorizarea expresiei. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți factori comuni. Scriem această expresie ca: 4*d*(2+3*c) .
2. Exprimați produsul ca două binoame: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Aici trebuie deja să găsim mai mulți factori comuni: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Scoatem (x+7z) și obținem: (x+7z)(x + 3y) .

vezi și Împărțirea polinoamelor printr-un colț (sunt afișați toți pașii împărțirii printr-o coloană)

Utile în învăţarea regulilor de factorizare sunt formule de înmulțire prescurtate, cu care va fi clar cum să deschideți paranteze cu un pătrat:

1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Metode de factoring

După ce a învăţat câteva trucuri factorizarea soluțiile pot fi clasificate după cum urmează:

1. Folosind formule de înmulțire prescurtate.
2. Căutați un factor comun.

Fiecare număr natural, altul decât unul, are doi sau mai mulți divizori. De exemplu, numărul 7 este divizibil doar cu 1 și 7 fără rest, adică are doi divizori. Și numărul 8 are divizori 1, 2, 4, 8, adică până la 4 divizori deodată.

Care este diferența dintre numerele prime și cele compuse

Numerele care au mai mult de doi factori se numesc numere compuse. Numerele care au doar doi divizori, unul și numărul însuși, se numesc numere prime.

Numărul 1 are o singură împărțire, și anume numărul însuși. Unitatea nu se aplică numerelor prime sau compuse.

• De exemplu, numărul 7 este prim, iar numărul 8 este compus.

Primele 10 numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Numărul 2 este singurul număr prim par, toate celelalte numere prime sunt impare.

Numărul 78 este compus, deoarece pe lângă 1 și însuși, este și divizibil cu 2. Când este împărțit la 2, obținem 39. Adică 78 = 2 * 39. În astfel de cazuri, se spune că numărul a fost factorizat cu 2 și 39.

Orice număr compus poate fi descompus în doi factori, fiecare dintre care este mai mare decât 1. Cu un număr prim, un astfel de truc nu va funcționa. Așa merge.

Descompunerea unui număr în factori primi

După cum sa menționat mai sus, orice număr compus poate fi descompus în doi factori. Luați, de exemplu, numărul 210. Acest număr poate fi descompus în doi factori 21 și 10. Dar numerele 21 și 10 sunt și ele compuse, să le descompunem în doi factori. Obținem 10 = 2*5, 21=3*7. Și, ca urmare, numărul 210 s-a descompus deja în 4 factori: 2,3,5,7. Aceste numere sunt deja prime și nu pot fi descompuse. Adică am descompus numărul 210 în factori primi.

Când se descompun numerele compuse în factori primi, acestea sunt de obicei scrise în ordine crescătoare.

De reținut că orice număr compus poate fi descompus în factori primi și, mai mult, într-un mod unic, până la o permutare.

• De obicei, la descompunerea unui număr în factori primi, se folosesc semnele de divizibilitate.

Să descompunăm numărul 378 în factori primi

Vom scrie numere, separându-le cu o bară verticală. Numărul 378 este divizibil cu 2, deoarece se termină cu 8. Când împărțim, obținem numărul 189. Suma cifrelor numărului 189 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că însuși numărul 189 este divizibil cu 3. ca rezultat, obținem 63.

Numărul 63 este, de asemenea, divizibil cu 3, pe baza divizibilității. Obținem 21, numărul 21 poate fi împărțit din nou la 3, obținem 7. Cel șapte este divizibil numai prin el însuși, obținem unul. Aceasta completează împărțirea. În dreapta după linie, avem factori primi în care se descompune numărul 378.

378|2
189|3
63|3
21|3