Միջին և ավագ դպրոցի կուրսում սովորողները ուսումնասիրում էին «Կտորակներ» թեման։ Այնուամենայնիվ, այս հայեցակարգը շատ ավելի լայն է, քան տրված է ուսումնական գործընթացում: Այսօր կոտորակ հասկացությունը բավականին հաճախ է հանդիպում, և ոչ բոլորը կարող են հաշվարկել որևէ արտահայտություն, օրինակ՝ կոտորակների բազմապատկում։

Ի՞նչ է կոտորակը:

Պատմականորեն այնպես է պատահել, որ կոտորակային թվերը հայտնվել են չափման անհրաժեշտության պատճառով: Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, հաճախ կան հատվածի երկարությունը, ուղղանկյուն ուղղանկյունի ծավալը որոշելու օրինակներ:

Սկզբում ուսանողներին ներկայացվում է նման հայեցակարգ՝ որպես բաժնետոմս: Օրինակ, եթե ձմերուկը բաժանեք 8 մասի, ապա յուրաքանչյուրին կստանա ձմերուկի մեկ ութերորդ մասը։ Ութի այս մի մասը կոչվում է բաժնետոմս։

Ցանկացած արժեքի ½-ին հավասար բաժնետոմս կոչվում է կես; ⅓ - երրորդ; ¼ - քառորդ. 5/8, 4/5, 2/4 նման գրառումները կոչվում են սովորական կոտորակներ. Սովորական կոտորակը բաժանվում է համարիչի և հայտարարի։ Նրանց միջև կա կոտորակային գիծ կամ կոտորակային գիծ: Կոտորակի շերտը կարող է գծվել ինչպես հորիզոնական, այնպես էլ թեք գծի տեսքով: Այս դեպքում դա նշանակում է բաժանման նշան:

Հայտարարը ներկայացնում է, թե քանի հավասար բաժնետոմսի է բաժանված արժեքը, օբյեկտը. իսկ համարիչն այն է, թե քանի հավասար բաժին է վերցվում: Համարիչը գրված է կոտորակային տողի վերևում, հայտարարը` դրա տակ:

Առավել հարմար է սովորական կոտորակները ցույց տալ կոորդինատային ճառագայթի վրա։ Եթե ​​մեկ հատվածը բաժանում եք 4 հավասար մասերի, ապա յուրաքանչյուր մասը նշանակեք լատինատառ, ապա արդյունքում կարող եք հիանալի տեսողական օգնություն ստանալ: Այսպիսով, A կետը ցույց է տալիս մասնաբաժինը, որը հավասար է ամբողջ միավորի հատվածի 1/4-ին, իսկ B կետը նշում է այս հատվածի 2/8-ը:

Կոտորակների տարատեսակներ

Կոտորակները սովորական, տասնորդական և խառը թվեր են։ Բացի այդ, կոտորակները կարելի է բաժանել պատշաճ և ոչ պատշաճ: Այս դասակարգումն ավելի հարմար է սովորական ֆրակցիաների համար։

Տակ պատշաճ կոտորակհասկանալ մի թիվը, որի համարիչը փոքր է հայտարարից. Համապատասխանաբար, ոչ պատշաճ կոտորակ է համարվում այն ​​թիվը, որի համարիչը մեծ է հայտարարից: Երկրորդ տեսակը սովորաբար գրվում է խառը թվով։ Նման արտահայտությունը բաղկացած է ամբողջ թվային մասից և կոտորակային մասից: Օրինակ՝ 1½։ 1 - ամբողջ թիվ, ½ - կոտորակային: Այնուամենայնիվ, եթե դուք պետք է որոշ մանիպուլյացիաներ կատարեք արտահայտությամբ (կոտորակների բաժանում կամ բազմապատկում, կրճատում կամ փոխակերպում), խառը թիվը վերածվում է ոչ պատշաճ կոտորակի:

Ճիշտ կոտորակային արտահայտությունը միշտ մեկից փոքր է, իսկ սխալը միշտ մեծ է կամ հավասար է 1-ի:

Ինչ վերաբերում է այս արտահայտությանը, նրանք հասկանում են ռեկորդ, որտեղ ներկայացված է ցանկացած թիվ, որի կոտորակային արտահայտության հայտարարը կարող է արտահայտվել մի քանի զրո ունեցող մեկի միջոցով։ Եթե ​​կոտորակը ճիշտ է, ապա ամբողջ մասը մտնում է տասնորդական նշումհավասար կլինի զրոյի։

Տասնորդական թիվը գրելու համար նախ պետք է գրել ամբողջական մասը, այն բաժանել կոտորակայինից ստորակետով, ապա գրել կոտորակային արտահայտությունը։ Պետք է հիշել, որ ստորակետից հետո համարիչը պետք է պարունակի այնքան թվային նիշ, որքան զրոներ կան հայտարարում:

Օրինակ. Ներկայացրե՛ք 7 21 / 1000 կոտորակը տասնորդական նշումով:

Անպատշաճ կոտորակը խառը թվի փոխարկելու ալգորիթմ և հակառակը

Խնդրի պատասխանում սխալ կոտորակ գրելը սխալ է, ուստի այն պետք է վերածվի խառը թվի.

• բաժանել համարիչը գոյություն ունեցող հայտարարի վրա.
• կոնկրետ օրինակում թերի քանորդը ամբողջ թիվ է.
• իսկ մնացորդը կոտորակային մասի համարիչն է, իսկ հայտարարը մնում է անփոփոխ։

Օրինակ. Անպատշաճ կոտորակը դարձրեք խառը թվի՝ 47 / 5:

Լուծում. 47: 5. Անավարտ գործակիցը 9 է, մնացորդը = 2: Այսպիսով, 47 / 5 = 9 2 / 5:

Երբեմն անհրաժեշտ է խառը թիվը ներկայացնել որպես ոչ պատշաճ կոտորակ: Այնուհետև անհրաժեշտ է օգտագործել հետևյալ ալգորիթմը.

• ամբողջ թիվը բազմապատկվում է կոտորակային արտահայտության հայտարարով.
• արդյունքում ստացված արտադրանքը ավելացվում է համարիչին.
• արդյունքը գրվում է համարիչով, հայտարարը մնում է անփոփոխ։

Օրինակ. Թիվն արտահայտե՛ք խառը կոտորակի տեսքով՝ 9 8 / 10:

Լուծում. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 համարիչն է:

Պատասխանել: 98 / 10.

Սովորական կոտորակների բազմապատկում

Դուք կարող եք կատարել տարբեր հանրահաշվական գործողություններ սովորական կոտորակների վրա: Երկու թվեր բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը՝ հայտարարով։ Ընդ որում, կոտորակների բազմապատկումը տարբեր հայտարարներչի տարբերվում նույն հայտարարներով կոտորակային թվերի արտադրյալից.

Պատահում է, որ արդյունքը գտնելուց հետո պետք է կրճատել ֆրակցիան։ AT առանց ձախողմանստացված արտահայտությունը պետք է հնարավորինս պարզեցվի: Իհարկե, չի կարելի ասել, որ պատասխանում ոչ պատշաճ կոտորակը սխալ է, բայց այն նաև դժվար է ճիշտ պատասխան անվանել։

Օրինակ. Գտե՛ք երկու սովորական կոտորակների արտադրյալը՝ ½ և 20/18:

Ինչպես երևում է օրինակից, արտադրյալը գտնելուց հետո ստացվում է կրճատվող կոտորակային նշում։ Ե՛վ համարիչը, և՛ հայտարարը այս դեպքում բաժանվում են 4-ի, և ստացվում է 5/9 պատասխանը:

Տասնորդական կոտորակների բազմապատկում

Տասնորդական կոտորակների արտադրյալն իր սկզբունքով բավականին տարբերվում է սովորական կոտորակների արտադրյալից։ Այսպիսով, կոտորակների բազմապատկումը հետևյալն է.

• երկու տասնորդական կոտորակ պետք է գրվեն միմյանց տակ, որպեսզի ամենաաջ թվանշանները լինեն մեկը մյուսի տակ.
• պետք է բազմապատկել գրված թվերը՝ չնայած ստորակետներին, այսինքն՝ որպես բնական թվեր.
• հաշվել թվերից յուրաքանչյուրի ստորակետից հետո թվանշանների քանակը.
• Բազմապատկելուց հետո ստացված արդյունքի մեջ անհրաժեշտ է աջ կողմում հաշվել այնքան թվային նիշ, որքան պարունակվում է գումարում երկու գործակիցների մեջ տասնորդական կետից հետո և դնել բաժանարար նշան.
• եթե արտադրյալում ավելի քիչ թվանշաններ կան, ապա դրանց դիմաց պետք է այնքան զրո գրել, որ ծածկվի այս թիվը, դնել ստորակետ և նշանակել մի ամբողջ մաս, որը հավասար է զրոյի։

Օրինակ. Հաշվի՛ր երկու տասնորդականների արտադրյալը՝ 2,25 և 3,6։

Լուծում.

Խառը կոտորակների բազմապատկում

Երկու խառը կոտորակների արտադրյալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել կոտորակների բազմապատկման կանոնը.

• փոխարկել խառը թվերը ոչ պատշաճ կոտորակների;
• գտնել համարիչների արտադրյալը;
• գտնել հայտարարների արտադրյալը;
• գրեք արդյունքը;
• հնարավորինս պարզեցնել արտահայտությունը.

Օրինակ. Գտե՛ք 4½ և 6 2/5-ի արտադրյալը:

Թիվը կոտորակով բազմապատկելը (կոտորակները թվով)

Բացի երկու կոտորակների, խառը թվերի արտադրյալը գտնելուց, կան առաջադրանքներ, որտեղ պետք է բազմապատկել կոտորակի վրա:

Այսպիսով, գտնել աշխատանքը տասնորդական կոտորակև բնական թիվ, անհրաժեշտ է.

• Գրեք թիվը կոտորակի տակ այնպես, որ ամենաաջ թվանշանները մեկը մյուսից վեր լինեն.
• գտնել աշխատանքը, չնայած ստորակետին;
• Ստացված արդյունքի մեջ ստորակետի միջոցով անջատեք ամբողջ մասը կոտորակայինից՝ աջ հաշվելով այն նիշերի թիվը, որը գտնվում է կոտորակի տասնորդական կետից հետո:

Սովորական կոտորակը թվով բազմապատկելու համար պետք է գտնել համարիչի և բնական գործոնի արտադրյալը: Եթե ​​պատասխանը կրճատվող կոտորակ է, ապա այն պետք է փոխարկվի:

Օրինակ. Հաշվե՛ք 5/8-ի և 12-ի արտադրյալը:

Լուծում. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Պատասխանել: 7 1 / 2.

Ինչպես տեսնում եք նախորդ օրինակից, անհրաժեշտ էր կրճատել ստացված արդյունքը և սխալ կոտորակային արտահայտությունը վերածել խառը թվի։

Նաև կոտորակների բազմապատկումը վերաբերում է նաև խառը և բնական գործակից թվի արտադրյալը գտնելուն։ Այս երկու թվերը բազմապատկելու համար պետք է խառը գործակիցի ամբողջ մասը բազմապատկել թվով, համարիչը բազմապատկել նույն արժեքով և հայտարարը թողնել անփոփոխ։ Անհրաժեշտության դեպքում անհրաժեշտ է հնարավորինս պարզեցնել արդյունքը։

Օրինակ. Գտե՛ք 9 5/6 և 9 թվերի արտադրյալը:

Լուծում. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2:

Պատասխանել: 88 1 / 2.

Բազմապատկում 10, 100, 1000 կամ 0,1 գործակիցներով; 0,01; 0,001

Նախորդ պարբերությունից բխում է հետևյալ կանոնը. Տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, 1000-ով, 10000-ով և այլն բազմապատկելու համար հարկավոր է ստորակետը աջ տեղափոխել այնքան թվանշաններով, որքան զրոները մեկից հետո բազմապատկիչում:

Օրինակ 1. Գտե՛ք 0,065 և 1000-ի արտադրյալը։

Լուծում. 0,065 x 1000 = 0065 = 65:

Պատասխանել: 65.

Օրինակ 2. Գտե՛ք 3,9 և 1000 թվերի արտադրյալը։

Լուծում. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900:

Պատասխանել: 3900.

Եթե ​​պետք է բազմապատկել բնական թիվև 0.1; 0,01; 0,001; 0,0001 և այլն, ստացված արտադրյալի մեջ պետք է ստորակետը ձախ տեղափոխել այնքան թվանշաններով, որքան մեկից առաջ զրոներ կան: Անհրաժեշտության դեպքում բնական թվի դիմաց գրվում են բավարար թվով զրոներ։

Օրինակ 1. Գտե՛ք 56-ի և 0,01-ի արտադրյալը:

Լուծում. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56:

Պատասխանել: 0,56.

Օրինակ 2. Գտե՛ք 4-ի և 0,001-ի արտադրյալը:

Լուծում. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004:

Պատասխանել: 0,004.

Այսպիսով, տարբեր կոտորակների արտադրյալը գտնելը չպետք է դժվարություններ առաջացնի, բացառությամբ թերևս արդյունքի հաշվարկի. Այս դեպքում դուք պարզապես չեք կարող անել առանց հաշվիչի:

) իսկ հայտարարը հայտարարով (ստացվում է արտադրյալի հայտարարը)։

Կոտորակի բազմապատկման բանաձևը.

Օրինակ:

Նախքան համարիչների և հայտարարների բազմապատկումը անցնելը, անհրաժեշտ է ստուգել կոտորակի կրճատման հնարավորությունը։ Եթե ​​ձեզ հաջողվի կրճատել կոտորակը, ապա ձեզ համար ավելի հեշտ կլինի շարունակել հաշվարկներ կատարել։

Սովորական կոտորակի բաժանումը կոտորակի վրա.

Բնական թիվ պարունակող կոտորակների բաժանում.

Դա այնքան էլ սարսափելի չէ, որքան թվում է: Ինչպես գումարման դեպքում, մենք ամբողջ թիվը վերածում ենք կոտորակի, որի միավորը հայտարարում է: Օրինակ:

Խառը կոտորակների բազմապատկում.

Կոտորակների բազմապատկման կանոններ (խառը).

• փոխարկել խառը ֆրակցիաները ոչ պատշաճի;
• բազմապատկել կոտորակների համարիչները և հայտարարները.
• մենք կրճատում ենք կոտորակը;
• եթե ստանում ենք ոչ պատշաճ կոտորակ, ապա անպատշաճ կոտորակը վերածում ենք խառը կոտորակի:

Նշում!Խառը կոտորակը մեկ այլ խառը կոտորակով բազմապատկելու համար նախ պետք է դրանք հասցնել ոչ պատշաճ կոտորակների ձևի, այնուհետև բազմապատկել սովորական կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն:

Կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու երկրորդ եղանակը.

Ավելի հարմար է սովորական կոտորակը թվով բազմապատկելու երկրորդ մեթոդը։

Նշում!Կոտորակը բնական թվով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է կոտորակի հայտարարը բաժանել այս թվի վրա, իսկ համարիչը թողնել անփոփոխ։

Վերոնշյալ օրինակից պարզ է դառնում, որ այս տարբերակն ավելի հարմար է օգտագործել, երբ կոտորակի հայտարարը առանց մնացորդի բաժանվում է բնական թվի։

Բազմաստիճան կոտորակներ.

Ավագ դպրոցում հաճախ հանդիպում են եռահարկ (կամ ավելի) կոտորակներ: Օրինակ:

Նման կոտորակը իր սովորական ձևին բերելու համար օգտագործվում է բաժանումը 2 կետով.

Նշում!Կոտորակներ բաժանելիս շատ կարևոր է բաժանման կարգը։ Զգույշ եղեք, այստեղ հեշտ է շփոթվել։

Նշում, օրինակ:

Մեկը որևէ կոտորակի վրա բաժանելիս արդյունքը կլինի նույն կոտորակը, միայն շրջված.

Կոտորակները բազմապատկելու և բաժանելու գործնական խորհուրդներ.

1. Կոտորակային արտահայտությունների հետ աշխատելիս ամենակարևորը ճշգրտությունն ու ուշադիր լինելն է: Կատարեք բոլոր հաշվարկները ուշադիր և ճշգրիտ, կենտրոնացված և հստակ: Ավելի լավ է սևագրի մեջ մի քանի հավելյալ տող գրել, քան գլխումդ հաշվարկների մեջ շփոթվել։

2. Տարբեր տեսակի կոտորակներով առաջադրանքներում՝ անցնել սովորական կոտորակների տեսակին:

3. Մենք կրճատում ենք բոլոր կոտորակները այնքան ժամանակ, քանի դեռ հնարավոր չէ կրճատել:

4. Բազմաստիճան կոտորակային արտահայտությունները բերում ենք սովորականների՝ օգտագործելով բաժանումը 2 կետով:

5. Մենք մեր մտքում միավորը բաժանում ենք կոտորակի՝ պարզապես կոտորակը շուռ տալով։

Սովորական կոտորակային թվերը առաջին անգամ հանդիպում են 5-րդ դասարանի դպրոցականներին և ուղեկցում նրանց ողջ կյանքում, քանի որ առօրյա կյանքում հաճախ անհրաժեշտ է լինում որևէ առարկա դիտարկել կամ օգտագործել ոչ ամբողջությամբ, այլ առանձին կտորներով: Այս թեմայի ուսումնասիրության սկիզբը՝ կիսվել։ Բաժնետոմսերը հավասար մասեր ենորի մեջ բաժանված է օբյեկտը. Ի վերջո, միշտ չէ, որ հնարավոր է, օրինակ, ապրանքի երկարությունը կամ գինը որպես ամբողջ թիվ արտահայտել, պետք է հաշվի առնել ցանկացած չափման մասեր կամ մասնաբաժիններ: Ձևավորվել է «ջախջախել» բայից՝ մասերի բաժանել և ունենալով արաբական արմատներ, VIII դարում «կոտորակ» բառն ինքնին հայտնվել է ռուսերենում։

Կոտորակային արտահայտությունները վաղուց համարվում էին մաթեմատիկայի ամենադժվար բաժինը: 17-րդ դարում, երբ հայտնվեցին մաթեմատիկայի առաջին դասագրքերը, դրանք կոչվում էին «կոտրված թվեր», ինչը շատ դժվար էր դրսևորել մարդկանց ըմբռնման մեջ։

Պարզ կոտորակային մնացորդների ժամանակակից ձևը, որոնց մասերը բաժանված են ճշգրիտ հորիզոնական գծով, առաջին անգամ առաջ է քաշվել Ֆիբոնաչիի կողմից՝ Լեոնարդո Պիզայից: Նրա գրությունները թվագրված են 1202 թ. Բայց այս հոդվածի նպատակն է պարզապես և պարզ բացատրել ընթերցողին, թե ինչպես է տեղի ունենում տարբեր հայտարարներով խառը կոտորակների բազմապատկումը։

Տարբեր հայտարարներով կոտորակների բազմապատկում

Սկզբում անհրաժեշտ է որոշել կոտորակների տարատեսակներ:

• ճիշտ;
• սխալ;
• խառը.

Հաջորդը, դուք պետք է հիշեք, թե ինչպես են նույն հայտարարներով կոտորակային թվերը բազմապատկվում: Այս գործընթացի կանոնը հեշտ է ինքնուրույն ձևակերպել. միևնույն հայտարարներով պարզ կոտորակները բազմապատկելու արդյունքը կոտորակային արտահայտություն է, որի համարիչը համարիչների արտադրյալն է, իսկ հայտարարը այդ կոտորակների հայտարարների արտադրյալն է։ . Այսինքն, ըստ էության, նոր հայտարարը սկզբնական շրջանում եղածներից մեկի քառակուսին է։

Բազմապատկելիս պարզ կոտորակներ տարբեր հայտարարներովերկու կամ ավելի գործոնների դեպքում կանոնը չի փոխվում.

ա/բ * գ/դ = a*c / բ*դ.

Միակ տարբերությունն այն է, որ կոտորակային տողի տակ ձևավորված թիվը կլինի տարբեր թվերի արտադրյալ և, բնականաբար, այն չի կարելի անվանել մեկ թվային արտահայտության քառակուսի։

Արժե հաշվի առնել տարբեր հայտարարներով կոտորակների բազմապատկումը՝ օգտագործելով օրինակներ.

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Օրինակները օգտագործում են կոտորակային արտահայտությունները նվազեցնելու ուղիներ: Դուք կարող եք կրճատել միայն համարիչի թվերը հայտարարի թվերով, կոտորակային գծից վերեւ կամ ներքեւ գտնվող հարակից գործոնները չեն կարող կրճատվել:

Պարզի հետ մեկտեղ կոտորակային թվեր, կա խառը կոտորակներ հասկացությունը։ Խառը թիվը բաղկացած է ամբողջ թվից և կոտորակային մասից, այսինքն՝ այն այս թվերի գումարն է.

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Ինչպե՞ս է աշխատում բազմապատկումը:

Քննության համար տրվում են մի քանի օրինակներ։

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Օրինակում օգտագործվում է թվի բազմապատկումը սովորական կոտորակային մաս, այս գործողության կանոնը կարող եք գրել բանաձևով.

ա* բ/գ = a*b /գ.

Փաստորեն, նման արտադրյալը նույնական կոտորակային մնացորդների գումարն է, և անդամների թիվը ցույց է տալիս այս բնական թիվը։ Հատուկ դեպք.

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Կա մեկ այլ տարբերակ՝ թվի բազմապատկումը կոտորակային մնացորդով լուծելու համար։ Պարզապես պետք է բաժանել հայտարարը այս թվի վրա.

դ* ե/զ = ե/զ. դ.

Օգտակար է օգտագործել այս տեխնիկան, երբ հայտարարը բաժանվում է բնական թվի առանց մնացորդի կամ, ինչպես ասում են, ամբողջությամբ։

Խառը թվերը փոխարկեք ոչ պատշաճ կոտորակների և ստացեք արտադրյալը նախկինում նկարագրված ձևով.

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Այս օրինակը ներառում է խառը կոտորակը որպես ոչ պատշաճ կոտորակ ներկայացնելու միջոց, այն կարող է ներկայացվել նաև որպես ընդհանուր բանաձեւ:

ա բգ = a*b+գ/գ, որտեղ նոր կոտորակի հայտարարը ձևավորվում է՝ ամբողջ մասը բազմապատկելով հայտարարի հետ և այն ավելացնելով սկզբնական կոտորակային մնացորդի համարիչին, իսկ հայտարարը մնում է նույնը։

Այս գործընթացը նույնպես աշխատում է հակառակ ուղղությամբ: Ամբողջական մասը և կոտորակային մնացորդը մեկուսացնելու համար անհրաժեշտ է ոչ պատշաճ կոտորակի համարիչը նրա հայտարարի վրա բաժանել «անկյունով»:

Անպատշաճ կոտորակների բազմապատկումարտադրվում է սովորական եղանակով. Երբ մուտքն անցնում է մեկ կոտորակային գծի տակ, անհրաժեշտության դեպքում, դուք պետք է կրճատեք կոտորակները, որպեսզի այս մեթոդով թվերը կրճատվեն, և արդյունքը ավելի հեշտ է հաշվարկել:

Ինտերնետում շատ օգնականներ կան նույնիսկ բարդ խնդիրներ լուծելու համար: մաթեմատիկական խնդիրներտարբեր ծրագրերում։ Բավական թվով նման ծառայություններ առաջարկում են իրենց օգնությունը հայտարարների մեջ տարբեր թվերով կոտորակների բազմապատկումը՝ այսպես կոչված, կոտորակների հաշվարկման առցանց հաշվիչներ: Նրանք ի վիճակի են ոչ միայն բազմապատկել, այլև կատարել մնացած բոլոր պարզ թվաբանական գործողություններ սովորական կոտորակներով և խառը թվեր. Դրա հետ աշխատելը դժվար չէ, կայքի էջում լրացվում են համապատասխան դաշտերը, ընտրվում է մաթեմատիկական գործողության նշանը և սեղմվում «հաշվարկել»։ Ծրագիրը ինքնաբերաբար հաշվում է:

Կոտորակային թվերով թվաբանական գործողությունների թեման արդիական է միջին և ավագ դպրոցականների կրթության ողջ ընթացքում։ Ավագ դպրոցում նրանք այլեւս չեն դիտարկում ամենապարզ տեսակները, բայց ամբողջ թվով կոտորակային արտահայտություններ, սակայն վերափոխման և հաշվարկների կանոնների իմացությունը, որը ստացվել է ավելի վաղ, կիրառվում է իր սկզբնական տեսքով։ Լավ սովորած հիմնական գիտելիքները լիարժեք վստահություն են տալիս ամենաբարդ խնդիրների հաջող լուծմանը:

Եզրափակելով՝ իմաստ ունի մեջբերել Լև Տոլստոյի խոսքերը, ով գրել է. «Մարդը կոտորակ է. Մարդու ուժի մեջ չէ մեծացնել իր համարիչը՝ իր արժանիքները, բայց յուրաքանչյուրը կարող է նվազեցնել իր հայտարարը՝ իր կարծիքը իր մասին, և դրանով իսկ ավելի մոտենալ իր կատարելությանը։