Razmatrali smo nekoliko fizički potpuno različitih sustava i uvjerili se da se jednadžbe gibanja svedu na isti oblik

Razlike između fizičkih sustava pojavljuju se samo u drugačija definicija količinama i u raznim fizički smisao varijabla x: to može biti koordinata, kut, naboj, struja itd. Uočimo da u ovom slučaju, kao što proizlazi iz same strukture jednadžbe (1.18), veličina uvijek ima dimenziju inverznog vremena.

Jednadžba (1.18) opisuje tzv harmonijske vibracije.

Jednadžba harmonijske vibracije(1.18) je linearan diferencijalna jednadžba drugog reda (jer sadrži drugu derivaciju varijable x). Linearnost jednadžbe znači da

ako ikakva funkcija x(t) je rješenje ove jednadžbe, zatim funkcija Cx(t) također će biti njegovo rješenje ( C je proizvoljna konstanta);

ako funkcije x 1 (t) i x 2 (t) su rješenja ove jednadžbe, zatim njihov zbroj x 1 (t) + x 2 (t) također će biti rješenje iste jednadžbe.

Također je dokazan matematički teorem prema kojem jednadžba drugog reda ima dva neovisna rješenja. Sva ostala rješenja, prema svojstvima linearnosti, mogu se dobiti kao njihove linearne kombinacije. Lako je izravnim diferenciranjem provjeriti da nezavisne funkcije i zadovoljavaju jednadžbu (1.18). Dakle, opće rješenje ove jednadžbe je:

gdje C1,C2 su proizvoljne konstante. Ovo se rješenje može prikazati iu drugom obliku. Predstavljamo količinu

i definirajte kut kao:

Tada se opće rješenje (1.19) piše kao

Prema trigonometrijskim formulama, izraz u zagradi je

Napokon stižemo do opće rješenje jednadžbe harmonijskih oscilacija kao:

Nenegativna vrijednost A nazvao amplituda oscilacija, - početna faza titranja. Poziva se cijeli argument kosinusa - kombinacija faza oscilacije.

Izrazi (1.19) i (1.23) savršeno su ekvivalentni, pa zbog jednostavnosti možemo koristiti bilo koji od njih. Oba rješenja su periodične funkcije vremena. Doista, sinus i kosinus su periodični s periodom . Stoga se različita stanja sustava koji izvodi harmonijske oscilacije ponavljaju nakon određenog vremena t*, za koju faza oscilacije dobiva prirast koji je višekratnik :

Otuda slijedi da

Najmanje od ovih vremena

nazvao period oscilacije (Sl. 1.8), a - njegov kružni (ciklički) frekvencija.

Riža. 1.8.

Oni također koriste frekvencija oklijevanje

Prema tome, kružna frekvencija jednaka je broju oscilacija po sekundi.

Dakle, ako sustav na vrijeme t karakterizira vrijednost varijable x(t), tada će istu vrijednost varijabla imati nakon određenog vremena (sl. 1.9), tj.

Ista vrijednost će se, naravno, nakon nekog vremena ponoviti. 2T, ZT itd.

Riža. 1.9. Period oscilacije

Opće rješenje uključuje dvije proizvoljne konstante ( C 1 , C 2 ili A, a), čije vrijednosti treba odrediti s dva početni uvjeti. Obično (iako ne nužno) njihovu ulogu igraju početne vrijednosti varijable x(0) i njegova izvedenica.

Uzmimo primjer. Neka rješenje (1.19) jednadžbe harmonijskih oscilacija opisuje gibanje opružnog njihala. Vrijednosti proizvoljnih konstanti ovise o načinu na koji smo visak izveli iz ravnoteže. Na primjer, izvukli smo oprugu na daljinu i pustio loptu bez početne brzine. U ovom slučaju

Zamjena t = 0 u (1.19) nalazimo vrijednost konstante od 2

Rješenje dakle izgleda ovako:

Brzina tereta nalazi se diferenciranjem s obzirom na vrijeme

Zamjena ovdje t = 0, pronađite konstantu od 1:

Konačno

Uspoređujući s (1.23), nalazimo da je amplituda titranja, a njegova početna faza jednaka je nuli: .

Izvodimo sada visak iz ravnoteže na drugi način. Udarimo teret, tako da dobije početnu brzinu, ali se praktički ne pomiče tijekom udara. Zatim imamo druge početne uvjete:

naše rješenje izgleda

Brzina tereta će se mijenjati prema zakonu:

Stavimo to ovdje:

Najjednostavniji tip vibracija su harmonijske vibracije- fluktuacije kod kojih se pomak oscilirajuće točke iz ravnotežnog položaja mijenja tijekom vremena prema sinusnom ili kosinusnom zakonu.

Dakle, s ravnomjernom rotacijom lopte po obodu, njezina projekcija (sjena u paralelnim zrakama svjetlosti) izvodi harmonično oscilatorno gibanje na okomitom ekranu (slika 1).

Pomak iz ravnotežnog položaja tijekom harmonijskih vibracija opisuje se jednadžbom (naziva se kinematički zakon harmonijskog gibanja) oblika:

gdje x - pomak - vrijednost koja karakterizira položaj oscilirajuće točke u trenutku t u odnosu na ravnotežni položaj i mjerena udaljenošću od ravnotežnog položaja do položaja točke u određenom trenutku; A - amplituda oscilacija - najveći pomak tijela iz ravnotežnog položaja; T - oscillation period - vrijeme jednog potpunog titraja; oni. najmanji razmak vrijeme nakon kojeg se ponavljaju vrijednosti fizičkih veličina koje karakteriziraju oscilaciju; - početna faza;

Faza titranja u trenutku t. Faza oscilacije je argument periodična funkcija, koji za zadanu amplitudu titranja određuje stanje oscilatorni sustav(pomak, brzina, ubrzanje) tijela u bilo kojem trenutku.

Ako je u početnom trenutku oscilirajuća točka maksimalno pomaknuta iz ravnotežnog položaja, tada se , a pomak točke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

Ako je oscilirajuća točka na u položaju stabilne ravnoteže, tada se pomak točke iz ravnotežnog položaja mijenja prema zakonu

Vrijednost V, recipročna vrijednost perioda i jednaka broju potpunih oscilacija izvedenih u 1 s, naziva se frekvencija oscilacija:

Ako za vrijeme t tijelo napravi N potpunih oscilacija, tada

vrijednost , koji pokazuje koliko oscilacija tijelo napravi u s, zove se ciklička (kružna) frekvencija.

Kinematički zakon harmonijskog gibanja može se napisati kao:

Grafički se ovisnost pomaka oscilirajuće točke o vremenu prikazuje kosinusom (ili sinusoidom).

Slika 2, a prikazuje vremensku ovisnost pomaka oscilirajuće točke od ravnotežnog položaja za slučaj .

Otkrijmo kako se brzina oscilirajuće točke mijenja s vremenom. Da bismo to učinili, nalazimo vremensku derivaciju ovog izraza:

gdje je amplituda projekcije brzine na x-osu.

Ova formula pokazuje da se tijekom harmonijskih oscilacija projekcija brzine tijela na os x također mijenja prema harmonijskom zakonu s istom frekvencijom, s različitom amplitudom, te je ispred faze miješanja za (slika 2, b) .

Da bismo saznali ovisnost o ubrzanju, nalazimo vremenski izvod projekcije brzine:

gdje je amplituda projekcije ubrzanja na x-osu.

Za harmonijske oscilacije, projekcija ubrzanja vodi fazni pomak za k (slika 2, c).

§ 6. MEHANIČKE OSCILACIJEOsnovne formule

Jednadžba harmonijske vibracije

gdje X - pomak oscilirajuće točke iz ravnotežnog položaja; t- vrijeme; ALI,ω, φ- odnosno amplituda, kutna frekvencija, početna faza oscilacija; - faza oscilacija u trenutku t.

Kutna frekvencija osciliranja

gdje su ν i T frekvencija i period oscilacija.

Brzina točke koja stvara harmonijske oscilacije,

Harmonijska akceleracija

Amplituda ALI rezultirajuća oscilacija dobivena zbrajanjem dvije oscilacije s istim frekvencijama koje se pojavljuju duž jedne ravne crte određena je formulom

gdje a 1 i ALI 2 - amplitude komponenti osciliranja; φ 1 i φ 2 - njihove početne faze.

Početna faza φ rezultirajuće oscilacije može se pronaći iz formule

Frekvencija otkucaja koja nastaje zbrajanjem dviju oscilacija koje se javljaju duž iste ravne linije s različitim, ali bliskim vrijednostima, frekvencijama ν 1 i ν 2,

Jednadžba putanje točke koja sudjeluje u dva međusobno okomita osciliranja s amplitudama A 1 i A 2 i početnim fazama φ 1 i φ 2,

Ako su početne faze φ 1 i φ 2 komponenti titranja iste, tada jednadžba putanje ima oblik

tj. točka se giba pravocrtno.

U slučaju da je fazna razlika , jednadžba poprima oblik

tj. točka se giba po elipsi.

Diferencijalna jednadžba harmonijskih vibracija materijalne točke

, ili , gdje je m masa točke; k- koeficijent kvazielastične sile ( k=tω 2).

Ukupna energija materijalne točke koja stvara harmonijske oscilacije,

Period titranja tijela obješenog na oprugu (opružno njihalo),

gdje m- tjelesna masa; k- krutost opruge. Formula vrijedi za elastične oscilacije u granicama u kojima je ispunjen Hookeov zakon (uz malu masu opruge u usporedbi s masom tijela).

Period titranja matematičkog njihala

gdje l- duljina njihala; g- ubrzanje gravitacije. Period titranja fizičkog njihala

gdje J- moment tromosti tijela koje oscilira oko osi

fluktuacije; a- udaljenost središta mase njihala od osi titranja;

Smanjena duljina fizičkog njihala.

Gornje formule su točne za slučaj beskonačno malih amplituda. Za konačne amplitude ove formule daju samo približne rezultate. Na amplitudama ne većim od pogreške u vrijednosti perioda ne prelazi 1%.

Period torzijskih vibracija tijela obješenog na elastičnu nit,

gdje J- moment tromosti tijela oko osi koja se podudara s elastičnom niti; k- krutost elastične niti, jednaka omjeru elastičnog momenta koji nastaje pri uvijanju niti i kuta za koji je nit uvijena.

Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija , ili ,

gdje r- koeficijent otpora; δ - koeficijent prigušenja: ;ω 0 - vlastita kutna frekvencija vibracija *

Jednadžba prigušenog titranja

gdje Na)- amplituda prigušenih oscilacija u trenutku t;ω je njihova kutna frekvencija.

Kutna frekvencija prigušenih oscilacija

O Ovisnost amplitude prigušenih oscilacija o vremenu

ja

gdje ALI 0 - amplituda oscilacija u trenutku t=0.

Dekrement logaritamske oscilacije

gdje Na) i A(t+T)- amplitude dviju uzastopnih oscilacija vremenski odvojenih jedna od druge periodom.

Diferencijalna jednadžba prisilnih vibracija

gdje je vanjska periodička sila koja djeluje na oscilirajuću materijalnu točku i uzrokuje prisilne oscilacije; F 0 - njegova vrijednost amplitude;

Amplituda prisilnih vibracija

Rezonantna frekvencija i rezonantna amplituda i

Primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Točka oscilira prema zakonu x(t)=, gdje A=2 vidi Odredite početnu fazu φ ako

x(0)=cm i x , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Riješenje. Koristimo jednadžbu gibanja i izražavamo pomak u trenutku t=0 kroz početnu fazu:

Odavde nalazimo početnu fazu:

* U prethodno navedenim formulama za harmonijske oscilacije ista je vrijednost jednostavno označena s ω (bez indeksa 0).

Zamijenite date vrijednosti u ovaj izraz x(0) i ALI:φ= = . Vrijednost argumenta zadovoljavaju dvije vrijednosti kuta:

Da bismo odlučili koja od ovih vrijednosti kuta φ također zadovoljava uvjet , prvo nalazimo:

Zamjenjujući u ovaj izraz vrijednost t=0 i naizmjenično vrijednosti početnih faza i, nalazimo

T ok kao i uvijek A>0 i ω>0, tada samo prva vrijednost početne faze zadovoljava uvjet. Dakle, željena početna faza

Na temelju pronađene vrijednosti φ konstruirat ćemo vektorski dijagram (sl. 6.1). Primjer 2 Materijalna točka s masom t\u003d 5 g izvodi harmonijske oscilacije s frekvencijom ν =0,5 Hz. Amplituda oscilacija A=3 cm.Odrediti: 1) brzinu υ točke u trenutku kada je pomak x== 1,5 cm; 2) najveća sila F max koja djeluje na točku; 3) Sl. 6.1 ukupna energija E oscilirajuća točka.

a formulu za brzinu dobivamo uzimajući prvu vremensku derivaciju pomaka:

Da bi se brzina izrazila preko pomaka, vrijeme se mora isključiti iz formula (1) i (2). Da bismo to učinili, kvadriramo obje jednadžbe, prvu podijelimo s ALI 2 , drugi na A 2 ω 2 i dodati:

, ili

Rješavanje posljednje jednadžbe za υ , pronaći

Izvršivši izračune prema ovoj formuli, dobivamo

Znak plus odgovara slučaju kada se smjer brzine podudara s pozitivnim smjerom osi X, predznak minus - kada se smjer brzine poklapa s negativnim smjerom osi X.

Pomak pri harmonijskom titranju, osim jednadžbom (1), može se odrediti i jednadžbom

Ponavljajući isto rješenje s ovom jednadžbom, dobivamo isti odgovor.

2. Silu koja djeluje na točku, nalazimo prema drugom Newtonovom zakonu:

gdje a - ubrzanje točke, koje dobivamo uzimajući vremensku derivaciju brzine:

Zamjenom izraza ubrzanja u formulu (3) dobivamo

Odatle najveća vrijednost sile

Zamjenom u ovu jednadžbu vrijednosti π, ν, t i A, pronaći

3. Ukupna energija oscilirajuće točke je zbroj kinetičke i potencijalne energije izračunate za bilo koji trenutak vremena.

Ukupnu energiju najlakše je izračunati u trenutku kada kinetička energija dostigne najveću vrijednost. U ovom trenutku potencijalna energija je nula. Dakle, ukupna energija E točka osciliranja jednaka je maksimalnoj kinetičkoj energiji

Maksimalnu brzinu određujemo iz formule (2), postavljajući: . Zamjenom izraza brzine u formulu (4), nalazimo

Zamjenom vrijednosti količina u ovu formulu i izvođenjem izračuna dobivamo

ili mcJ.

Primjer 3 Na krajevima tanke šipke l= 1 m i težina m 3 =400 g male loptice pojačane masama m 1=200 g i m 2 =300g. Šipka oscilira oko horizontalne osi, okomito na

dikularnog štapa i prolazi kroz njegovu sredinu (točka O na sl. 6.2). Definirajte razdoblje T vibracije koje stvara štap.

Riješenje. Period titranja fizičkog njihala, koji je štap s kuglicama, određen je relacijom

gdje J- t - njegova težina; l IZ - udaljenost od središta mase njihala do osi.

Moment tromosti ovog njihala jednak je zbroju momenti tromosti kuglica J 1 i J 2 i šipka J 3:

Uzimajući lopte kao materijalne točke, izražavamo momente njihove tromosti:

Budući da os prolazi kroz sredinu štapa, tada je njegov moment tromosti oko te osi J 3 = =. Zamjena dobivenih izraza J 1 , J 2 i J 3 u formulu (2), nalazimo ukupni moment tromosti fizičkog njihala:

Izvodeći izračune pomoću ove formule, nalazimo

Riža. 6.2 Masa njihala sastoji se od mase kuglica i mase štapa:

Udaljenost l IZ nalazimo središte mase njihala iz osi titranja, na temelju sljedećih razmatranja. Ako os x usmjerite duž šipke i poravnajte ishodište s točkom o, zatim željenu udaljenost l jednaka je koordinati središta mase njihala, tj.

Zamjena vrijednosti količina m 1 , m 2 , m, l i izvodeći izračune, nalazimo

Izvršivši izračune prema formuli (1), dobivamo period oscilacije fizičkog njihala:

Primjer 4 Fizičko njihalo je štap s duljinom l= 1 m i težina 3 t 1 S pričvršćen za jedan od njegovih krajeva obručem s promjerom i masom t 1 . Vodoravna os Oz

visak prolazi kroz sredinu štapa okomito na njega (slika 6.3). Definirajte razdoblje T oscilacije takvog njihala.

Riješenje. Period titranja fizičkog njihala određuje se formulom

(1)

gdje J- moment tromosti njihala oko osi titranja; t - njegova težina; l C - udaljenost od središta mase njihala do osi titranja.

Moment tromosti njihala jednak je zbroju momenata tromosti štapa J 1 i obruč J 2:

(2).

Moment tromosti štapa u odnosu na os koja je okomita na štap i prolazi kroz njegovo središte mase određena je formulom . U ovom slučaju t= 3t 1 i

Moment tromosti obruča nalazimo koristeći Steinerov teorem ,gdje J- moment tromosti oko proizvoljne osi; J 0 - moment tromosti oko osi koja prolazi kroz središte mase paralelno sa zadanom osi; a - udaljenost između navedenih osi. Primjenjujući ovu formulu na obruč, dobivamo

Zamjena izraza J 1 i J 2 u formulu (2), nalazimo moment tromosti njihala oko osi rotacije:

Udaljenost l IZ od osi njihala do njegova središta mase je

Zamjenjujući u formulu (1) izraze J, l c i masu njihala , nalazimo period njegovog titranja:

Nakon izračuna po ovoj formuli dobivamo T\u003d 2,17 s.

Primjer 5 Dodaju se dva titranja istog smjera, izražena jednadžbama ; x 2 = =, gdje ALI 1 = 1 cm, A 2 \u003d 2 cm, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Odrediti početne faze φ 1 i φ 2 komponenata titranja

bani. 2. Odredite amplitudu ALI a početna faza φ rezultirajućeg titranja. Napiši jednadžbu za nastalo titranje.

Riješenje. 1. Jednadžba harmonijskog titranja ima oblik

Pretvorimo jednadžbe dane u uvjetu problema u isti oblik:

Usporedbom izraza (2) s jednakošću (1) nalazimo početne faze prve i druge oscilacije:

Drago mi je i radostan.

2. Za određivanje amplitude ALI rezultirajuće fluktuacije, prikladno je koristiti vektorski dijagram prikazan u riža. 6.4. Prema teoremu kosinusa dobivamo

gdje je fazna razlika komponenti titranja.Pošto , tada, zamjenom pronađenih vrijednosti φ 2 i φ 1 dobivamo rad.

Zamijenite vrijednosti ALI 1 , ALI 2 i u formulu (3) i izvršite izračune:

A= 2,65 cm.

Tangens početne faze φ rezultirajuće oscilacije može se odrediti izravno sa Sl. 6.4: , odakle je početna faza

Harmonijske vibracije su vibracije kod kojih fizička količina mijenja se tijekom vremena prema harmonijskom (sinusoidnom, kosinusnom) zakonu. Harmonijska jednadžba titranja može se napisati na sljedeći način:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
ili
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - odstupanje od ravnotežnog položaja u trenutku t
A - amplituda oscilacija, dimenzija A je ista kao dimenzija X
ω - ciklička frekvencija, rad/s (radijani u sekundi)
φ - početna faza, rad
t - vrijeme, s
T - period oscilacije, s
f - frekvencija osciliranja, Hz (Hertz)
π - konstanta približno jednaka 3,14, 2π=6,28

Period titranja, frekvencija u hercima i ciklička frekvencija povezani su odnosima.
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Da biste zapamtili ove odnose, morate razumjeti sljedeće.
Svaki od parametara ω, f, T jednoznačno određuje ostale. Za opis oscilacija dovoljno je koristiti jedan od ovih parametara.

Period T je vrijeme jedne oscilacije, pogodno ga je koristiti za crtanje grafova oscilacija.
Ciklička frekvencija ω - koristi se za pisanje jednadžbi oscilacija, omogućuje vam izvođenje matematičkih izračuna.
Frekvencija f - broj oscilacija u jedinici vremena, koristi se posvuda. U hercima mjerimo frekvenciju na koju su radioprijamnici podešeni, kao i domet mobilnih telefona. Frekvencija titranja žica mjeri se u hercima pri ugađanju glazbenih instrumenata.

Izraz (ωt+φ) naziva se faza titranja, a vrijednost φ početna faza, jer je jednaka fazi titranja u trenutku t=0.

Funkcije sinusa i kosinusa opisuju omjere stranica unutar pravokutni trokut. Stoga mnogi ne razumiju kako su te funkcije povezane s harmoničnim oscilacijama. Ovaj odnos je prikazan jednoliko rotirajućim vektorom. Projekcija jednoliko rotirajućeg vektora čini harmonijske oscilacije.
Na slici ispod prikazan je primjer tri harmonijske oscilacije. Jednake frekvencije, ali različite faze i amplitude.

Odabir početne faze omogućuje, pri opisivanju harmonijskih oscilacija, prijelaz sa sinusne funkcije na kosinusnu funkciju:

Generalizirano harmonijsko titranje u diferencijalnom obliku:

Da bi se slobodne vibracije odvijale prema harmonijskom zakonu, potrebno je da sila koja teži vraćanju tijela u ravnotežni položaj bude proporcionalna pomaku tijela iz ravnotežnog položaja i usmjerena u smjeru suprotnom od pomaka. :

gdje je masa tijela koje osciluje.

Fizikalni sustav u kojem mogu postojati harmonijske oscilacije naziva se harmonijski oscilator, a jednadžba harmonijskih oscilacija je jednadžba harmonijskog oscilatora.

1.2. Dodavanje vibracija

Nije neuobičajeno da sustav istovremeno sudjeluje u dva ili više neovisnih oscilacija. U tim slučajevima nastaje složeno oscilatorno gibanje koje nastaje međusobnim superponiranjem (dodavanjem) vibracija. Očito, slučajevi zbrajanja oscilacija mogu biti vrlo različiti. Oni ne ovise samo o broju dodanih oscilacija, već io parametrima oscilacija, o njihovim frekvencijama, fazama, amplitudama, smjerovima. Nije moguće pregledati svu moguću raznolikost slučajeva zbrajanja oscilacija, stoga ćemo se ograničiti na razmatranje samo pojedinačnih primjera.

Zbrajanje harmonijskih oscilacija usmjerenih duž jedne ravne linije

Razmotrimo zbrajanje jednako usmjerenih oscilacija istog perioda, ali koje se razlikuju u početnoj fazi i amplitudi. Jednadžbe zbrojenih oscilacija dane su u sljedećem obliku:

gdje su i pomaci; i su amplitude; a početne su faze dodanih oscilacija.

sl.2.

Amplitudu rezultirajućeg titranja zgodno je odrediti pomoću vektorskog dijagrama (sl. 2), na kojem su vektori amplituda i zbrojenih oscilacija ucrtani pod kutovima i na os, a vektor amplitude ukupnog titranja dobiva se pomoću pravilo paralelograma.

Ako sustav vektora (paralelogram) jednoliko rotiramo i projiciramo vektore na os , tada će njihove projekcije činiti harmonijske oscilacije u skladu s zadane jednadžbe. Međusobni raspored vektora , a pritom ostaje nepromijenjen pa će i oscilatorno gibanje projekcije rezultirajućeg vektora biti harmonično.

To implicira zaključak da je ukupno kretanje harmonijska oscilacija koja ima zadanu cikličku frekvenciju. Definiramo modul amplitude ALI rezultirajuća fluktuacija. U kut (iz jednakosti nasuprotnih kutova paralelograma).

Posljedično,

odavde: .

Prema kosinusnom teoremu,

Početna faza rezultirajuće oscilacije određena je iz:

Odnosi za fazu i amplitudu omogućuju pronalaženje amplitude i početne faze rezultirajućeg gibanja i sastavljanje njegove jednadžbe: .

otkucaji

Razmotrimo slučaj kada se frekvencije dviju dodanih oscilacija malo razlikuju jedna od druge, a amplitude neka su iste i početne faze, tj.

Analitički zbrajamo ove jednadžbe:

Preobrazimo se

Riža. 3.

Budući da se sporo mijenja, vrijednost se ne može nazvati amplitudom u punom smislu riječi (amplituda je konstantna vrijednost). Konvencionalno se ova vrijednost može nazvati promjenjivom amplitudom. Grafikon takvih fluktuacija prikazan je na sl.3. Dodane oscilacije imaju iste amplitude, ali različite periode, dok se periode i malo razlikuju međusobno. Pri zbrajanju takvih oscilacija opažaju se otkucaji. Broj otkucaja u sekundi određen je razlikom u frekvencijama dodanih oscilacija, tj.

Otkucaji se mogu promatrati kada se ozvuče dvije vilice za ugađanje, ako su frekvencije i vibracije blizu jedna drugoj.

Zbrajanje međusobno okomitih vibracija

Neka materijalna točka istovremeno sudjeluje u dva harmonijska titranja koja se javljaju s istim periodima u dva međusobno okomita smjera. Ovi se smjerovi mogu povezati pravokutni sustav koordinate, postavljajući ishodište u ravnotežni položaj točke. Označimo pomak točke C duž osi i , odnosno kroz i . (slika 4).

Razmotrimo nekoliko posebnih slučajeva.

1). Početne faze oscilacija su iste

Odaberimo trenutak početka odbrojavanja na način da početne faze oba titraja budu jednake nuli. Tada se pomaci duž osi i mogu izraziti jednadžbama:

Dijeleći te jednakosti član po član, dobivamo jednadžbe za trajektoriju točke C:
ili .

Posljedično, kao rezultat zbrajanja dviju međusobno okomitih oscilacija, točka C oscilira duž pravca koji prolazi kroz ishodište (slika 4).

Riža. četiri.

2). Početna razlika faza je :

Jednadžbe oscilacija u ovom slučaju imaju oblik:

Jednadžba putanje točke:

Prema tome, točka C oscilira duž pravca koji prolazi kroz ishodište, ali leži u drugim kvadrantima nego u prvom slučaju. Amplituda ALI rezultirajuće fluktuacije u oba razmatrana slučaja jednake su:

3). Početna razlika faza je .

Jednadžbe oscilacija imaju oblik:

Podijelite prvu jednadžbu s, a drugu s:

Kvadriramo obje jednakosti i zbrajamo ih. Dobivamo sljedeću jednadžbu za trajektoriju rezultirajućeg kretanja oscilirajuće točke:

Oscilirajuća točka C giba se po elipsi s poluosima i . Uz jednake amplitude, putanja ukupnog gibanja bit će kružnica. U općem slučaju, za , ali višekratnik, tj. , pri zbrajanju međusobno okomitih oscilacija, oscilirajuća točka se pomiče duž krivulja koje se nazivaju Lissajousove figure.

Lissajousove figure

Figure Lissajousa- zatvorene putanje povučene točkom koja istodobno vrši dva harmonijska osciliranja u dva međusobno okomita smjera.

Prvi je proučavao francuski znanstvenik Jules Antoine Lissajous. Oblik slika ovisi o odnosu između perioda (frekvencija), faza i amplituda obiju oscilacija(slika 5).

sl.5.

U najjednostavnijem slučaju jednakosti obiju perioda, figure su elipse, koje se s faznom razlikom ili degeneriraju u segmente, a s faznom razlikom i jednakošću amplituda prelaze u krug. Ako se periode obaju titraja točno ne podudaraju, tada se fazna razlika cijelo vrijeme mijenja, zbog čega se elipsa cijelo vrijeme deformira. Kada značajno različita razdoblja Lissajousove figure se ne promatraju. Međutim, ako su periode povezane kao cijeli brojevi, tada se nakon vremenskog intervala jednakog najmanjem umnošku obje periode točka gibanja ponovno vraća u isti položaj - dobivaju se Lissajousove figure složenijeg oblika.
Lissajousove figure se uklapaju u pravokutnik čije se središte poklapa s ishodištem koordinata, a stranice su paralelne s koordinatnim osima i nalaze se s obje strane od njih na udaljenostima jednakim amplitudama oscilacija (slika 6).