Što je periodična funkcija? Svojstva periodičkih funkcija. Primjeri periodičnih funkcija i njihovih grafova

Za korištenje pregleda prezentacija kreirajte Google račun (račun) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Algebra i počeci analize, 10. razred ( razini profila) A.G. Mordkovich, P.E. Semenov Učiteljica Volkova S.E.

Definicija 1 Kaže se da funkcija y = f (x), x ∈ X ima period T ako za bilo koji x ∈ X vrijedi jednakost f (x - T) = f (x) = f (x + T). Ako je funkcija s periodom T definirana u točki x, tada je definirana i u točkama x + T, x - T. Svaka funkcija ima period, nula pri T \u003d 0 dobivamo f (x - 0) \u003d f (x) \u003d f (x + 0) .

Definicija 2. Funkcija koja ima period T različit od nule naziva se periodičkom. Ako funkcija y = f (x), x ∈ X, ima period T, tada je svaki višekratnik T (tj. broj oblika kT, k ∈ Z) također njezin period.

Dokaz Neka je 2T period funkcije. Tada je f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T). Slično se dokazuje da je f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T), itd. Dakle, f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)

Najmanji period među pozitivnim periodima periodičke funkcije naziva se glavni period te funkcije.

Značajke grafa periodične funkcije Ako je T glavni period funkcije y \u003d f (x), tada je dovoljno: izgraditi granu grafa na jednom od intervala duljine T, izvršiti paralelu prijenos ove grane duž x osi za ±T, ±2T, ±3T itd. Obično odaberite razmak s krajevima na točkama

Svojstva periodične funkcije 1. Ako je f(x) periodična funkcija s periodom T, tada je i funkcija g(x) = A f(kx + b), gdje je k > 0, također periodična s periodom T 1 = T/k. 2. Neka su funkcije f 1 (x) i f 2 (x) definirane na cijeloj realnoj osi i neka su periodične s periodima T 1 > 0 i T 2 >0. Tada je za T 1 /T 2 ∈ Q funkcija f(x) = f(x) + f 2 (x) periodična funkcija s periodom T jednakom najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva T 1 i T 2 .

Primjeri 1. Periodična funkcija y = f(x) definirana je za sve realne brojeve. Njegov period je 3 i f(0) =4 . Pronađite vrijednost izraza 2f(3) - f(-3). Riješenje. T = 3, f (3) = f (0 + 3) = 4, f (-3) = f (0–3) = 4, f (0) = 4. Zamjena dobivenih vrijednosti u izraz 2f (3) - f(-3) , dobivamo 8 - 4 =4 . Odgovor: 4.

Primjeri 2. Periodična funkcija y = f(x) definirana je za sve realne brojeve. Njegov period je 5, a f(-1) = 1. Nađite f(-12) ako je 2f(3) - 5f(9) = 9. Rješenje T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 – 3T) = f ( 3) = 7 Odgovor: 7.

Literatura A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebra i počeci analize (razina profila), 10. razred A.G. Mordkovich, P.V. Semyonov. Algebra i počeci analize (profilna razina), 10. razred. Alati za učitelja

O temi: metodološki razvoj, prezentacije i bilješke

Periodni zakon i periodni sustav D.I. Mendeljejev.

Opći sat na ovu temu provodi se u obliku igre, koristeći elemente tehnologije pedagoških radionica....

Izvannastavni događaj "Periodni zakon i periodni sustav kemijskih elemenata D.I. Mendelejeva"

Izvannastavna priredba otkriva povijest nastanka periodnog zakona i periodnog sustava D.I. Mendeljejev. Podaci su navedeni u pjesnički oblik, što doprinosi brzo pamćenje m...

Prijava na izvannastavni događaj "Periodni zakon i periodni sustav kemijskih elemenata D.I. Mendeljejeva"

Otkriću zakona prethodio je dug i intenzivan znanstveni rad DI. Mendeljejeva 15 godina, a još 25 godina je dano njegovom daljnjem produbljivanju ....

Svrha: generalizirati i sistematizirati znanje učenika o temi "Periodičnost funkcija"; formirati vještine primjene svojstava periodičke funkcije, pronalaženja najmanjeg pozitivnog perioda funkcije, crtanja periodičkih funkcija; promicati interes za studij matematike; njegovati promatranje, točnost.

Oprema: računalo, multimedijski projektor, kartice sa zadacima, dijapozitivi, satovi, ukrasni stolovi, elementi narodnih zanata

“Matematika je ono što ljudi koriste za kontrolu prirode i sebe”
A.N. Kolmogorov

Tijekom nastave

I. Organizacijska faza.

Provjera spremnosti učenika za nastavni sat. Predstavljanje teme i ciljeva lekcije.

II. Provjera domaće zadaće.

Provjeravamo domaće zadaće prema uzorcima, razgovaramo o najtežim točkama.

III. Generalizacija i sistematizacija znanja.

1. Usmeni frontalni rad.

Pitanja teorije.

1) Formirajte definiciju perioda funkcije
2) Koji je najmanji pozitivni period funkcija y=sin(x), y=cos(x)
3). Koji je najmanji pozitivni period funkcija y=tg(x), y=ctg(x)
4) Kružićem dokažite točnost relacija:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Kako nacrtati periodičku funkciju?

oralne vježbe.

1) Dokažite sljedeće relacije

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Dokažite da je kut od 540º jedna od perioda funkcije y= cos(2x)

3. Dokažite da je kut od 360º jedna od perioda funkcije y=tg(x)

4. Transformirajte ove izraze tako da kutovi uključeni u njih ne prelaze 90º u apsolutnoj vrijednosti.

a) tg375º
b) ctg530º
c) grijeh1268º
d) cos(-7363º)

5. Gdje ste se susreli s riječima PERIOD, PERIODIČNOST?

Odgovori učenika: Razdoblje u glazbi je konstrukcija u kojoj se iznosi više ili manje cjelovita glazbena misao. Geološko razdoblje je dio ere i podijeljeno je na epohe s periodom od 35 do 90 milijuna godina.

Vrijeme poluraspada radioaktivne tvari. Periodni razlomak. Periodika je tiskana publikacija koja izlazi na točno određene datume. Periodni sustav Mendeljejev.

6. Na slikama su prikazani dijelovi grafova periodičkih funkcija. Definirajte period funkcije. Odredite period funkcije.

Odgovor: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Gdje ste se u životu susreli s konstrukcijom ponavljajućih elemenata?

Učenici odgovaraju: Elementi ornamenata, narodna umjetnost.

IV. Kolektivno rješavanje problema.

(Rješavanje problema na slajdovima.)

Razmotrimo jedan od načina proučavanja funkcije za periodičnost.

Ova metoda zaobilazi poteškoće povezane s dokazivanjem da je jedno ili drugo razdoblje najmanje, a također nema potrebe doticati se pitanja o aritmetičkim operacijama na periodičkim funkcijama i o periodičnosti složene funkcije. Obrazloženje se temelji samo na definiciji periodične funkcije i na sljedećoj činjenici: ako je T period funkcije, tada je nT(n? 0) njezin period.

Zadatak 1. Naći najmanji pozitivni period funkcije f(x)=1+3(x+q>5)

Rješenje: Pretpostavimo da je T-perioda ove funkcije. Tada je f(x+T)=f(x) za sve x ∈ D(f), tj.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Neka x=-0,25 dobijemo

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Dobili smo da su sve periode razmatrane funkcije (ako postoje) među cijelim brojevima. Odaberi među tim brojevima najmanji pozitivan broj. to 1 . Provjerimo je li to zapravo mjesečnica 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Budući da je (T+1)=(T) za bilo koji T, tada je f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), tj. 1 - razdoblje f. Budući da je 1 najmanji od svih cijelih brojeva pozitivni brojevi, tada je T=1.

Zadatak 2. Pokažite da je funkcija f(x)=cos 2 (x) periodična i pronađite njenu glavnu periodu.

Zadatak 3. Odredite glavni period funkcije

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Pretpostavimo T-period funkcije, a zatim za bilo koji x omjer

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ako je x=0 tada

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ako je x=-T, onda

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Dodavanjem dobivamo:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Izaberimo od svih brojeva "sumnjivih" za period najmanji pozitivan i provjerimo je li to period za f. Ovaj broj

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Dakle, je glavni period funkcije f.

Zadatak 4. Provjerite je li funkcija f(x)=sin(x) periodična

Neka je T period funkcije f. Tada za bilo koji x

sin|x+T|=sin|x|

Ako je x=0, tada je sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Pretpostavimo. Da je za neko n broj π n period

razmatrana funkcija π n>0. Tada je sin|π n+x|=sin|x|

To implicira da n mora biti i paran i neparan u isto vrijeme, što je nemoguće. Zato dana funkcija nije periodičan.

Zadatak 5. Provjerite je li funkcija periodična

f(x)=

Neka je tada T period f

, dakle sinT=0, T=π n, n € Z. Pretpostavimo da je za neki n broj π n doista period zadane funkcije. Tada će i broj 2π n biti točka

Budući da su brojnici jednaki, jednaki su im i nazivnici, dakle

Dakle, funkcija f nije periodična.

Grupni rad.

Zadaci za grupu 1.

Zadaci za grupu 2.

Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njenu glavnu periodu (ako postoji).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Zadaci za grupu 3.

Na kraju rada grupe prezentiraju svoja rješenja.

VI. Sažimanje lekcije.

Odraz.

Nastavnik daje učenicima kartice s crtežima i nudi da preboje dio prvog crteža u skladu s mjerom u kojoj su, kako im se čini, ovladali metodama proučavanja funkcije za periodičnost, a dijelom drugog crteža. , sukladno njihovom doprinosu u radu na satu.

VII. Domaća zadaća

jedan). Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njenu glavnu periodu (ako postoji)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) ima period T=2 i f(x)=x 2 +2x za x € [-2; 0]. Pronađite vrijednost izraza -2f(-3)-4f(3,5)

Književnost/

Mordkovich A.G. Algebra i početak analize s produbljenim proučavanjem.
Matematika. Priprema za ispit. ur. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra i početna analiza za razrede 10-11.

Primjena br. 7

Općinska obrazovna ustanova

prosjek sveobuhvatna škola № 3

Učitelj, nastavnik, profesor

Korotkov

Asja Edikovna

Kurganinsk

2008. godine

SADRŽAJ

Uvod …………………………………………………… 2-3

Periodične funkcije i njihova svojstva ……………. 4-6

Zadaci …………………………………………………… 7-14

Uvod

Imajte na umu da problemi periodičnosti u obrazovnoj i metodičkoj literaturi imaju tešku sudbinu. To se objašnjava čudnom tradicijom - dopustiti jednu ili onu nemarnost u definiranju periodičnih funkcija koje dovode do kontroverznih odluka i izazivaju incidente na ispitima.

Na primjer, u knjizi Rječnik matematički pojmovi "- M, 1965. dana je sljedeća definicija:" periodična funkcija - funkcija

y = f(x), za koje postoji broj t > 0, koji za sve x i x + t iz domene vrijedi f(x + t) = f(x).

Navedimo protuprimjer koji pokazuje netočnost ove definicije. Prema ovoj definiciji funkcija je periodična s periodom t = 2π

s(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 s ograničenom domenom definiranja, što proturječi općeprihvaćenom stajalištu o periodičkim funkcijama.

Slični problemi javljaju se u mnogim najnovijim alternativnim školskim udžbenicima.

Udžbenik A. N. Kolmogorova daje sljedeću definiciju: “Govoreći o periodičnosti funkcije f, smatra se da postoji takav broj T ≠ 0 da domena definicije D (f) zajedno sa svakom točkom x sadrži točke koje su dobivene iz x paralelnom translacijom po osi Ox (desno i lijevo) za udaljenost T. Funkcija f se zovečasopis s periodom T ≠ 0, ako su za bilo koju domenu definicije vrijednosti ove funkcije u točkama x, x - T, x + T jednake, tj. f (x + T) \u003d f (x) \u003d f (x - T) ". Dalje u udžbeniku stoji: “Budući da su sinus i kosinus definirani na cijelom brojevnom pravcu i Sin (x + 2π) = Sin x,

Cos (x + 2π) \u003d Cos x za bilo koji x, sinus i kosinus period su funkcije s periodom 2π.

Iz nekog razloga ovaj primjer ne provjerava što je potrebno u definiciji uvjeta

Sin (x - 2π) \u003d Sin x. Što je bilo? Stvar je u tome da je ovaj uvjet suvišan u definiciji. Doista, ako je T > 0 period funkcije f(x), tada će T također biti period te funkcije.

Želim dati još jednu definiciju iz udžbenika M. I. Bashmakova "Algebra i početak analize 10-11 ćelija." “Funkcija y \u003d f (x) naziva se periodičkom ako postoji takav broj T ≠ 0 da je jednakost

f(x + T) = f(x) vrijedi identično za sve vrijednosti x.

Gornja definicija ne govori ništa o opsegu funkcije, iako znači x iz opsega definicije, a ne bilo koji pravi x. Prema ovoj definiciji, funkcija y \u003d Sin (√x) može biti periodična 2 , definirano samo za x ≥ 0, što nije točno.

U jedinstvenom državnom ispitu postoje zadaci za periodičnost. U jednom znanstvenom periodičnom časopisu, kao trening za odjeljak C USE, dano je rješenje problema: "je li funkcija y (x) \u003d Sin 2 (2 + x) - 2 Sin 2 Sin x Cos (2 + x) periodični?

Rješenje pokazuje da je y (x - π) \u003d y (x) u odgovoru - dodatni unos

"T = π" (uostalom, ne postavlja se pitanje pronalaska najmanjeg pozitivnog perioda). Je li doista potrebno izvesti složenu trigonometrijsku formaciju da bi se riješio ovaj problem? Uostalom, ovdje se možete usredotočiti na koncept periodičnosti, kao ključ u uvjetu problema.

Riješenje.

f1 (x) \u003d Sin x - periodična funkcija s periodom T \u003d 2π

f2 (x) = Cos x je periodična funkcija s periodom T = 2π, tada je 2π period i za funkcije f 3(x) = Sin(2+x) i f 4 (x) = Cos (2 + x), (ovo slijedi iz definicije periodičnosti)

f5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, njegov period je bilo koji broj, uključujući 2π.

Jer zbroj i umnožak periodičnih funkcija sa zajedničkim periodom T također je T-periodičan, tada je ta funkcija periodična.

Nadam se da će materijal predstavljen u ovom radu pomoći u pripremi za singl državni ispit u rješavanju problema za periodičnost.

Periodične funkcije i njihova svojstva

Definicija: funkcija f(t) se naziva periodičkom ako je za bilo koji t iz domene definicije te funkcije D f postoji broj ω ≠ 0 takav da je:

1) brojevi (t ± ω) ê D f ;

2) f(t + ω) = f(t).

1. Ako je broj ω = period funkcije f (t), tada je broj kω, gdje je k = ±1, ±2, ±3, … također period funkcije f(t).

PRIMJER f(t) = Sint. Broj T = 2π je najmanji pozitivni period ove funkcije. Neka T 1 = 4π. Pokažimo da je T 1 je i razdoblje ove funkcije.

F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.

Dakle T 1 je period funkcije f (t) = Sin t.

2. Ako je funkcija f(t) - ω periodična funkcija, tada su periodične i funkcije f (at), gdje je a ê R, i f (t + c), gdje je c proizvoljna konstanta.

Nađite period funkcije f(at).

f(at) = f(at + ω) = f (a(t + ω/a)), tj. f (at) = f (a(t + ω/a).

Dakle, period funkcije f(at) – ω 1 = ω/a.

PRIMJER 1. Odredite period funkcije y = Sin t/2.

Primjer 2. Pronađite period funkcije y \u003d Sin (t + π / 3).

Neka je f(t) = Sin t; y 0 \u003d Sin (t 0 + π / 3).

Tada će i funkcija f(t) = Sin t poprimiti vrijednost y 0 za t = t 0 + π/3.

Oni. sve vrijednosti koje poprima funkcija y poprima i funkcija f(t). Ako se t tumači kao vrijeme, tada svaka vrijednost y 0 funkcija y \u003d Sin (t + π / 3) uzima se π / 3 jedinice vremena ranije nego što se funkcija f (t) "pomakne" ulijevo za π / 3. Očito, razdoblje funkcije neće se promijeniti od ovoga, tj. T y \u003d T 1.

3. Ako je F(x) neka funkcija, a f(t) je periodična funkcija i takva da f(t) pripada domeni funkcije F(x) – D F , tada je funkcija F(f (t)) periodična funkcija.

Neka je F(f (t)) = φ.

Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) za bilo koje t ê D f.

PRIMJER Istražite funkciju za periodičnost: F(x) = ℓ grijeh x .

Opseg ove funkcije D f poklapa se sa skupom realnih brojeva R. f (x) = Sin x.

Skup vrijednosti ove funkcije je [-1; jedan]. Jer segment [-1; 1] pripada D f , tada je funkcija F(x) periodična.

F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).

2 π je period ove funkcije.

4. Ako su funkcije f 1 (t) i f 2 (t) periodički, odnosno s periodima ω 1 i ω 2 i ω 1 / ω 2 = r, gdje je r racionalan broj, zatim funkcije

S 1 f 1 (t) + S 2 f 2 (t) i f 1 (t) f 2 (t) su periodični (~ 1 i C 2 su konstante).

Napomena: 1) Ako je r = ω 1 /ω 2 = p/q, jer r je onda racionalan broj

ω 1 q = ω 2 p = ω, gdje je ω najmanji zajednički višekratnik brojeva ω 1 i ω 2 (LCM).

Razmotrimo funkciju C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).

Doista, ω = LCM (ω 1, ω 2 ) - period ove funkcije

S 1 f 1 (t) + S 2 f 2 (t) = S 1 f 1 (t+ ω 1 q) + S 2 f 2 (t+ ω 2 p) + S 1 f 1 (t) + S 2 f 2 (t) .

2) ω je period funkcije f 1 (t) f 2 (t), jer

f 1 (t + ω) f 2 (t + ω \u003d f 1 (t + ω 1 q) f 2 (t = ω 2 p) \u003d f 1 (t) f 2 (t).

Definicija: Neka je f 1 (t) i f (t) su periodičke funkcije s periodima ω 1 i ω 2 , tada se za dva razdoblja kaže da su usporediva akoω 1 / ω 2 = r je racionalan broj.

3) Ako su periode ω 1 i ω 2 nisu sumjerljive, tada su funkcije f 1 (t) + f 2 (t) i

f 1 (t) f 2 (t) nisu periodični. Odnosno, ako f 1 (t) i f 2 (t) razlikuju se od konstante, periodičke, kontinuirane, periodi im nisu razmjerni, zatim f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) nisu periodični.

4) Neka je f(t) = S, gdje je S proizvoljna konstanta. Ova funkcija je periodična. Njegov period je bilo koji racionalni broj, što znači da nema najmanji pozitivni period.

5) Izjava vrijedi i za više funkcije.

Primjer 1. Istražite periodičnost funkcije

F(x) = Sin x + Cos x.

Riješenje. Neka je f 1 (x) = Sin x, tada je ω 1 = 2πk, gdje je k ê Z.

T 1 = 2π je najmanji pozitivni period.

f 2 (x) \u003d Cos x, T 2 \u003d 2π.

Omjer T 1 /T 2 = 2π/2π = 1 je racionalan broj, tj. razdoblja funkcija f 1 (x) i f 2 (x) su razmjerni. Dakle, ova funkcija je periodična. Pronađimo njegovu periodu. Po definiciji periodične funkcije imamo

Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,

Sin (x + T) - Sin x \u003d Cos x - Cos (x + T),

2 Cos 2x + π / 2 Sin T / 2 \u003d 2 Sin 2x + T / 2 Sin T / 2,

Sin T / 2 (Cos T + 2x / 2 - Sin T + 2x / 2) \u003d 0,

√2 Sin T / 2 Sin (π / 4 - T + 2x / 2) \u003d 0, dakle,

Sin T/2 = 0, tada je T = 2πk.

Jer (h ± 2πk) ê D f , gdje je f(x) = Sin x + Cos x,

f(h + t) = f(h), tada je funkcija f(h) periodična s najmanjim pozitivnim periodom 2π.

Primjer 2. Je li periodična funkcija f (x) \u003d Cos 2x Sin x, koliki je njezin period?

Riješenje. Neka je f 1 (x) \u003d Cos 2x, tada je T 1 \u003d 2π: 2 \u003d π (vidi 2)

Neka je f 2 (x) = Sin x, tada je T 2 = 2π. Jer π/2π = ½ je racionalan broj, tada je ova funkcija periodična. Njegov period T = LCM

(π, 2π) = 2π.

Dakle, ova je funkcija periodična s periodom 2π.

5. Neka je funkcija f(t), koja nije identički jednaka konstanti, kontinuirana i periodična, tada ima najmanji pozitivni period ω 0 , bilo koji drugi period njegovog ω ima oblik: ω= kω 0 , gdje je k ê Z.

Napomena: 1) Dva su uvjeta vrlo važna u ovom svojstvu:

f(t) je kontinuirana, f(t) ≠ C, gdje je C konstanta.

2) Obratna tvrdnja nije istina. To jest, ako su sva razdoblja sumjerljiva, onda iz ovoga ne slijedi da postoji najmanji pozitivni period. Oni. periodična funkcija ne mora imati najmanji pozitivni period.

PRIMJER 1. f(t) = C, periodički. Njegov period je bilo koji realni broj, ne postoji najmanji period.

Primjer 2. Dirichletova funkcija:

D(x) =

Svaki racionalni broj je njegov period, ne postoji najmanji pozitivan period.

6. Ako je f(t) kontinuirana periodička funkcija i ω 0 njezin najmanji pozitivni period, tada funkcija f(αt + β) ima najmanji pozitivni period ω 0 /‌‌/α/. Ova konstatacija proizlazi iz točke 2.

Primjer 1. Pronađite period funkcije y \u003d Sin (2x - 5).

Riješenje. y \u003d Sin (2x - 5) \u003d Sin (2 (x - 5/2)).

Graf funkcije y dobiva se iz grafa funkcije Sin x, prvo dva puta “sažimanjem”, zatim “pomakom” udesno za 2,5. “Pomak ne utječe na periodičnost, T = π je period ove funkcije.

Lako je dobiti period ove funkcije koristeći svojstvo stavke 6:

T \u003d 2π / 2 \u003d π.

7. Ako je f (t) - ω periodična funkcija i ima kontinuiranu derivaciju f "(t), tada je f" (t) također periodična funkcija, T \u003d ω

PRIMJER 1. f(t) = Sin t, T = 2πk. Njegova derivacija f "(t) = Cos t

F "(t) \u003d Cos t, T \u003d 2πk, k ê Z.

PRIMJER 2. f(t) = Cos t, T = 2πk. Njegova izvedenica

F "(t) \u003d - Sin t, T \u003d 2πk, k ê Z.

Primjer 3. f(t) =tg t, period mu je T = πk.

F "(t) \u003d 1 / Cos 2 t je također periodičan prema stavci svojstva 7 i ima period T = πk. Njegov najmanji pozitivni period je T = π.

ZADACI.

№ 1

Je li funkcija f(t) = Sin t + Sin πt periodična?

Riješenje. Usporedbe radi, ovaj problem rješavamo na dva načina.

Prvo, definicijom periodične funkcije. Pretpostavimo da je f(t) periodičan, tada za bilo koje t ê D f imamo:

Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,

Sin (t + T) - Sin t \u003d Sin πt - Sin π (t + T),

2 Cos 2t + T/2 Sin T/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.

Jer ovo vrijedi za bilo koje t ê D f , zatim, napose, za t 0 , pri čemu lijeva strana posljednje jednakosti nestaje.

Tada imamo: 1) Cos 2t 0 + T/2 Sin T/2 = 0. Riješite s obzirom na T.

Sin T/2 = 0 pri T = 2 πk, gdje je k ê Z.

2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. Riješite s obzirom na T.

Sin πT/2 = 0, tada je T = 2πn/ π = 2n, n≠0, gdje je n ê Z.

Jer imamo identitet, tada je 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, što ne može biti, jer π je iracionalan broj, a n/ k je racionalan. To jest, naša pretpostavka da je funkcija f(t) periodična nije bila točna.

Drugo, rješenje je mnogo jednostavnije ako koristimo gornja svojstva periodičnih funkcija:

Neka je f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. Tada je T 1 /T 2 = 2π/2 = π je iracionalan broj, tj. razdoblja T 1, T 2 nisu sumjerljive, pa f(t) nije periodičan.

Odgovor: ne.

№ 2

Pokažite da ako je α iracionalan broj, tada funkcija

F(t) = Cos t + Cos αt

nije periodičan.

Riješenje. Neka je f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.

Tada su njihove periode redom T 1 \u003d 2π, T 2 = 2π//α/ - najmanji pozitivni periodi. Nađimo, T 1 /T 2 = 2π/α//2π = /α/ je iracionalan broj. Dakle T 1 i T 2 su nesamjerljive, a funkcija

f(t) nije periodičan.

№ 3

Odredite najmanji pozitivni period funkcije f(t) = Sin 5t.

Riješenje. Po stavci imovine 2 imamo:

f(t) je periodičan; T = 2π/5.

Odgovor: 2π/5.

№ 4

Je li F(x) = arccos x + arcsin x periodična funkcija?

Riješenje. Razmotrimo ovu funkciju

F(x) \u003d arccos x + arcsin x \u003d π - arcsin x + arcsin x \u003d π,

oni. F(x) je periodična funkcija (vidi stavku svojstva 5, primjer 1.).

Odgovor: da.

№ 5

Periodična je funkcija

F (x) \u003d Sin 2x + Cos 4x + 5?

riješenje. Neka je f 1 (x) = Sin 2x, tada je T 1 = π;

F 2 (x) \u003d Cos 4x, zatim T 2 \u003d 2π / 4 \u003d π / 2;

F 3 (x) \u003d 5, T 3 - bilo koji realni broj, posebno T 3 možemo pretpostaviti jednakim T 1 ili T 2 . Tada je period te funkcije T = LCM (π, π/2) = π. To jest, f(x) je periodičan s periodom T = π.

Odgovor: da.

№ 6

Je li funkcija f(x) = x - E(x) periodična, gdje je E(x) funkcija koja argumentu x pridružuje najmanji cijeli broj koji ne prelazi zadani.

Riješenje. Često se funkcija f (x) označava s (x) - razlomačkim dijelom broja x, tj.

F(x) \u003d (x) \u003d x - E (x).

Neka je f(h) periodička funkcija, tj. postoji broj T >0 takav da je x - E(x) = x + T - E(x + T). Napišimo ovu jednadžbu

(x) + E(x) - E(x) = (x + T) + E(x + T) - E(x + T),

(x) + (x + T) - vrijedi za bilo koji x iz domene D f, uz uvjet da je T ≠ 0 i T ê Z. Najmanji pozitivan od njih je T = 1, tj. T = 1 tako da

X + T - E (x + T) \u003d x - E (x),

Štoviše, (h ± Tk) ê D f , gdje je k ê Z.

Odgovor: Ova funkcija je periodična.

№ 7

Je li funkcija f(x) = Sin x periodična? 2 .

Riješenje. Recimo f(x) = Sin x 2 periodična funkcija. Tada po definiciji periodične funkcije postoji broj T ≠ 0 takav da je: Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 za bilo koji x ê D f.

Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2 \u003d 0,

2 Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0, tada

Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 = 0 ili Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 = 0.

Razmotrimo prvu jednadžbu:

Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d 0,

X 2 + (x + T) 2 / 2 \u003d π (1 + 2 k) / 2 (k ê Z),

T \u003d √ π (1 + 2 k) - x 2 - x. (jedan)

Razmotrimo drugu jednadžbu:

Sin x 2 - (x + T) 2 / 2 \u003d 0,

X + T \u003d √- 2πk + x 2,

T \u003d √x 2 - 2πk - x. (2)

Iz izraza (1) i (2) se vidi da pronađene vrijednosti T ovise o x, tj. ne postoji T>0 takav da

Sin x 2 \u003d Sin (x + T) 2

Za bilo koji x iz domene ove funkcije. f(x) nije periodičan.

Odgovor: ne

№ 8

Istražite periodičnost funkcije f(x) = Cos 2 x.

Riješenje. Predstavimo f(x) formulom kosinusa dvostrukog kuta

F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.

Neka je f 1 (x) = ½, tada je T 1 - može biti bilo koji realan broj; f 2 (x) \u003d ½ Cos 2x je periodična funkcija, jer produkt dviju periodičkih funkcija koje imaju opće razdoblje T 2 = pi. Zatim najmanji pozitivni period ove funkcije

T \u003d LCM (T 1, T 2) \u003d π.

Dakle, funkcija f(x) = Cos 2 x – π – je periodičan.

Odgovor: π je periodičan.

№ 9

Može li domena periodične funkcije biti:

A) polupravac [a, ∞),

B) rezati?

Riješenje. Ne, jer

A) po definiciji periodične funkcije, ako je h ê D f, tada x ± ω također

Mora pripadati opsegu funkcije. Neka je onda x = a

X 1 \u003d (a - ω) ê [a, ∞);

B) neka je x = 1, tada je x 1 \u003d (1 + T) ê.

№ 10

Može li periodična funkcija biti:

A) strogo monotono;

B) čak;

B) čak ni?

Riješenje. a) Neka je f(x) periodička funkcija, tj. postoji T≠0 takav da za bilo koji x iz domene funkcija D f što

(x ± T) ê D f i f (x ± T) \u003d f (x).

Popravi bilo koji x 0 º D f , jer f(x) je periodičan, tada je (x 0 + T) ê D f i f (x 0) \u003d f (x 0 + T).

Pretpostavimo da je f(x) strogo monoton i na cijeloj domeni definicije D f , na primjer, povećava. Tada po definiciji rastuće funkcije za bilo koji x 1 i x 2 iz domene D f iz nejednakosti x 1 2 slijedi da je f(x 1 ) 2 ). Konkretno, iz uvjeta x 0 0 + T, slijedi da

F(x 0 ) 0 +T), što je u suprotnosti s uvjetom.

To znači da periodična funkcija ne može biti strogo monotona.

b) Da, periodična funkcija može biti parna. Uzmimo nekoliko primjera.

F (x) \u003d Cos x, Cos x \u003d Cos (-x), T \u003d 2π, f (x) je parna periodična funkcija.

0 ako je x racionalan broj;

D(x) =

1 ako je x iracionalan broj.

D(x) = D(-x), domena funkcije D(x) je simetrična.

Direchletova funkcija D(x) je parna periodična funkcija.

f(x) = (x),

f (-x) \u003d -x - E (-x) \u003d (-x) ≠ (x).

Ova funkcija nije parna.

c) Periodična funkcija može biti neparna.

f (x) \u003d Sin x, f (-x) \u003d Sin (-x) \u003d - Sin \u003d - f (x)

f(x) je neparna periodička funkcija.

f (x) - Sin x Cos x, f (-x) \u003d Sin (-x) Cos (-x) \u003d - Sin x Cos x \u003d - f (x),

f(x) je neparan i periodičan.

f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),

f(x) nije neparan.

f(h) = tg x je neparna periodička funkcija.

Odgovor: ne; Da; Da.

№ 11

Koliko nula može imati periodična funkcija na:

jedan) ; 2) na cijeloj realnoj osi, ako je period funkcije jednak T?

Rješenje: 1. a) Na segmentu [a, b] periodična funkcija ne smije imati nule, npr. f(x) = C, C≠0; f (x) \u003d Cos x + 2.

b) Na intervalu [a, b] periodična funkcija može imati beskonačan broj nula, npr. Direchletova funkcija

0 ako je x racionalan broj,

D(x) =

1 ako je x iracionalan broj.

c) Na segmentu [a, b] periodična funkcija može imati konačan broj nula. Pronađimo ovaj broj.

Neka je T period funkcije. Označiti

X 0 = (min x ê(a,b), tako da je f(h) = 0).

Zatim broj nula na segmentu [a, b]: N = 1 + E (u x 0 /T).

Primjer 1. x ê [-2, 7π / 2], f (x) \u003d Cos 2 h je periodička funkcija s periodom T = π; x 0 = -π/2; zatim broj nula funkcije f(x) na zadanom intervalu

N \u003d 1 + E (7π / 2 - (-π / 2) / 2) \u003d 1 + E (8π / 2π) \u003d 5.

Primjer 2. f (x) \u003d x - E (x), x ê [-2; 8.5]. f(h) – periodična funkcija, T + 1,

x 0 = -2. Zatim broj nula funkcije f(x) na zadanom segmentu

N \u003d 1 + E (8,5 - (-2) / 1) = 1 + E (10,5 / 1) \u003d 1 + 10 \u003d 11.

Primjer 3. f (x) \u003d Cos x, x ê [-3π; π], T 0 \u003d 2π, x 0 \u003d - 5π / 2.

Zatim broj nula ove funkcije na danom segmentu

N \u003d 1 + E (π - (-5π / 2) / 2π) = 1 + E (7π / 2π) \u003d 1 + 3 \u003d 4.

2. a) Beskonačan broj nula, jer x 0 ê D f i f(h 0 ) = 0, tada za sve brojeve

X 0 + Tk, gdje je k ê Z, f (x 0 ± Tk) = f (x 0 ) =0, a točke oblika x 0 ± Tk je beskonačan skup;

b) nemaju nule; ako je f(h) periodičan i za bilo koji

h ê D f funkcija f(x) >0 ili f(x)

F(x) \u003d Sin x +3,6; f(x) = C, C ≠ 0;

F(x) \u003d Sin x - 8 + Cos x;

F(x) = Sin x Cos x + 5.

№ 12

Može li zbroj neperiodičnih funkcija biti periodičan?

Riješenje. Da možda. Na primjer:

f1 (h) = h je neperiodičan, f 2 (x) \u003d E (x) - neperiodično

F (x) \u003d f 1 (x) - f 2 (x) \u003d x - E (x) - periodično.

f1 (x) \u003d x - neperiodično, f (x) \u003d Sin x + x - neperiodično

F (x) \u003d f 2 (x) - f 1 (x) = Sin x - periodički.

Odgovor: da.

№ 13

Funkcije f(x) i φ(x) su periodične s periodima T 1 i T 2 odnosno. Je li njihov umnožak uvijek periodična funkcija?

Riješenje. Ne, samo ako T 1 i T 2 - usporedivo. Na primjer,

F(x) \u003d Sin x Sin πx, T 1 \u003d 2π, T 2 \u003d 2; zatim T 1 /T 2 = 2π/2 = π je iracionalan broj, pa f(h) nije periodičan.

f (x) \u003d (x) Cos x \u003d (x - E (x)) Cos x. Neka f 1 (x) \u003d x - E (x), T 1 \u003d 1;

f 2 (x) \u003d Cos (x), T 2 \u003d 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, pa f(x) nije periodičan.

Odgovor: Ne.

Zadaci za samostalno rješavanje

Koje su funkcije periodične, nađite period?

1. f (x) \u003d Sin 2x, 10. f (x) \u003d Sin x / 2 + tg x,

2. f (x) \u003d Cos x / 2, 11. f (x) \u003d Sin 3x + Cos 4x,

3. f (x) \u003d tg 3x, 12. f (x) \u003d Sin 2 x+1,

4. f(x) = Cos (1 - 2x), 13. f(x) = tg x + ctg√2x,

5. f (x) \u003d Sin x Cos x, 14. f (x) \u003d Sin πx + Cos x,

6. f (x) \u003d ctg x / 3, 15. f (x) \u003d x 2 - E (x 2),

7. f (x) \u003d Sin (3x - π / 4), 16. f (x) \u003d (x - E (x)) 2 ,

8. f (x) \u003d Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f (x) \u003d 2 x - E (x),

9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1 ako je n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…

№ 14

Neka je f(x) - T periodička funkcija. Koje su funkcije periodične (naći T)?

φ(x) = f(x + λ) je periodičan, jer "pomak" duž osi Ox ne utječe na ω; njegov period ω = T.
φ(h) = a f(h + λ) + v je periodična funkcija s periodom ω = T.
φ(x) = f(kx) je periodična funkcija s periodom ω = T/k.
φ(x) \u003d f (ax + b) - periodična funkcija s periodom ω \u003d T / a.
φ(x) = f(√x) nije periodičan, jer njegova domena definicije Dφ = (x/x ≥ 0), dok domena definicije periodičke funkcije ne može biti poluos.
φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) - 1) je periodična funkcija, jer

φ (x + T) \u003d f (x + T) + 1 / f (x + T) - 1 \u003d φ (x), ω \u003d T.

φ (x) \u003d a f 2 (x) + in f (x) + c.

Neka je φ 1 (x) = a f 2 (x) - periodički, ω 1 = t/2;

φ 2 (h) = u f(h) – periodički, ω 2=T/T=T;

φ 3 (h) = s – periodika, ω 3 - bilo koji broj;

tada je ω = LCM(T/2; T) = T, φ(h) je periodičan.

Inače, jer domena ove funkcije je cijeli brojevni pravac, zatim skup vrijednosti funkcije f - E f ê D ϕ , dakle funkcija

φ(h) je periodičan i ω = T.

φ(h) = √φ(h), f(h) ≥ 0.

φ(h) je periodičan s periodom ω = T, jer za bilo koji x, funkcija f(x) poprima vrijednosti f(x) ≥ 0, tj. njegov skup vrijednosti E f ê D φ , gdje je

Dφ je domena definicije funkcije φ(z) = √z.

№ 15

Je li funkcija f(x) = x 2 periodična?

Riješenje. Uzmimo x ≥ 0, tada za f(x) postoji inverzna funkcija √x, što znači da na tom intervalu f(x) - monotona funkcija, onda ne može biti periodičan (vidi br. 10).

№ 16

Zadan je polinom P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ... a n x.

Je li P(x) periodična funkcija?

Riješenje. 1. Ako je identitet jednak konstanti, tada je P(x) periodična funkcija, tj. ako a i = 0, gdje je i ≥ 1.

2. Neka je P(x) ≠ c, gdje je c neka konstanta. Neka je P(x) periodička funkcija i neka P(x) ima realne korijene, tada budući da P(x) je periodična funkcija, onda ih mora biti beskonačno mnogo. A prema osnovnom teoremu algebre, njihov broj k je takav da je k ≤ n. Dakle, P(x) nije periodična funkcija.

3. Neka je P(x) polinom koji je identički različit od nule i nema realne korijene. Recimo da je P(x) periodična funkcija. Uvodimo polinom q(x) = a 0 , q(h) je periodična funkcija. Razmotrimo razliku P(x) - q(x) = a 1 x 2 + ... + a n x n.

Jer postoji periodična funkcija na lijevoj strani jednakosti, tada je funkcija na desnoj strani također periodična, štoviše, ima barem jedan pravi korijen, x \u003d 0. Ako je funkcija periodična, tada mora postojati beskonačan broj nula. Imamo kontradikciju.

P(x) nije periodična funkcija.

№ 17

Funkcija f(t) – T je periodična. Je li funkcija f do (t), gdje

k ê Z, periodična funkcija, kako su njihove periode povezane?

Riješenje. Dokaz će se provesti metodom matematičke funkcije. Neka

f 1 = f(t), zatim f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),

F 3 \u003d f 3 (t) \u003d f (t) f 2 je periodična funkcija prema svojstvu točke 4.

………………………………………………………………………….

Neka je f k-1 = f k-1 (t) je periodička funkcija i njezin period T k-1 razmjerna s periodom T. Oba dijela posljednje jednakosti pomnožimo s f(t), dobivamo f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),

F do = f do (t) je periodična funkcija prema stavci svojstva 4. ω ≤ T.

№ 18

Neka je f(x) proizvoljna funkcija definirana na .Je li funkcija f((x)) periodična?

A n e t: da, jer skup vrijednosti funkcije (x) pripada domeni definiranja funkcije f(x), tada je po stavci svojstva 3 f((x)) periodična funkcija, njezin period ω = T = 1.

№ 19

F(x) je proizvoljna funkcija definirana na [-1; 1], je li funkcija f(sinx) periodična?

Odgovor: da, njegov period je ω = T = 2π (dokaz je sličan #18).

Oprema: računalo, multimedijski projektor, kartice sa zadacima, dijapozitivi, satovi, ukrasni stolovi, elementi narodnih zanata

“Matematika je ono što ljudi koriste za kontrolu prirode i sebe”
A.N. Kolmogorov

Tijekom nastave

I. Organizacijska faza.

Provjera spremnosti učenika za nastavni sat. Predstavljanje teme i ciljeva lekcije.

II. Provjera domaće zadaće.

Provjeravamo domaće zadaće prema uzorcima, razgovaramo o najtežim točkama.

III. Generalizacija i sistematizacija znanja.

1. Usmeni frontalni rad.

Pitanja teorije.

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z

sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z

5) Kako nacrtati periodičku funkciju?

oralne vježbe.

1) Dokažite sljedeće relacije

a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º )

2. Dokažite da je kut od 540º jedna od perioda funkcije y= cos(2x)

3. Dokažite da je kut od 360º jedna od perioda funkcije y=tg(x)

4. Transformirajte ove izraze tako da kutovi uključeni u njih ne prelaze 90º u apsolutnoj vrijednosti.

a) tg375º
b) ctg530º
c) grijeh1268º
d) cos(-7363º)

5. Gdje ste se susreli s riječima PERIOD, PERIODIČNOST?

Vrijeme poluraspada radioaktivne tvari. Periodni razlomak. Periodika je tiskana publikacija koja izlazi na točno određene datume. Mendeljejev periodni sustav.

6. Na slikama su prikazani dijelovi grafova periodičkih funkcija. Definirajte period funkcije. Odredite period funkcije.

Odgovor: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. Gdje ste se u životu susreli s konstrukcijom ponavljajućih elemenata?

Učenici odgovaraju: Elementi ornamenata, narodna umjetnost.

IV. Kolektivno rješavanje problema.

(Rješavanje problema na slajdovima.)

Razmotrimo jedan od načina proučavanja funkcije za periodičnost.

Zadatak 1. Naći najmanji pozitivni period funkcije f(x)=1+3(x+q>5)

Rješenje: Pretpostavimo da je T-perioda ove funkcije. Tada je f(x+T)=f(x) za sve x ∈ D(f), tj.

1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)

Neka x=-0,25 dobijemo

(T)=0<=>T=n, n ∈ Z

Dobili smo da su sve periode razmatrane funkcije (ako postoje) među cijelim brojevima. Odaberi među tim brojevima najmanji pozitivan broj. to 1 . Provjerimo je li to zapravo mjesečnica 1 .

f(x+1)=3(x+1+0,25)+1

Budući da je (T+1)=(T) za bilo koji T, tada je f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), tj. 1 - razdoblje f. Budući da je 1 najmanji od svih pozitivnih cijelih brojeva, tada je T=1.

Zadatak 2. Pokažite da je funkcija f(x)=cos 2 (x) periodična i pronađite njenu glavnu periodu.

Zadatak 3. Odredite glavni period funkcije

f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Pretpostavimo T-period funkcije, a zatim za bilo koji x omjer

sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)

Ako je x=0 tada

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Ako je x=-T, onda

sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)

5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T)

sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

– sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5

Dodavanjem dobivamo:

10cos(0,75T)=10

2π n, n € Z

Izaberimo od svih brojeva "sumnjivih" za period najmanji pozitivan i provjerimo je li to period za f. Ovaj broj

f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)

Dakle, je glavni period funkcije f.

Zadatak 4. Provjerite je li funkcija f(x)=sin(x) periodična

Neka je T period funkcije f. Tada za bilo koji x

sin|x+T|=sin|x|

Ako je x=0, tada je sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.

Pretpostavimo. Da je za neko n broj π n period

razmatrana funkcija π n>0. Tada je sin|π n+x|=sin|x|

To implicira da n mora biti i paran i neparan u isto vrijeme, što je nemoguće. Dakle, ova funkcija nije periodična.

Zadatak 5. Provjerite je li funkcija periodična

f(x)=

Neka je tada T period f

, dakle sinT=0, T=π n, n € Z. Pretpostavimo da je za neki n broj π n doista period zadane funkcije. Tada će i broj 2π n biti točka

Budući da su brojnici jednaki, jednaki su im i nazivnici, dakle

Dakle, funkcija f nije periodična.

Grupni rad.

Zadaci za grupu 1.

Zadaci za grupu 2.

Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njenu glavnu periodu (ako postoji).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

Zadaci za grupu 3.

Na kraju rada grupe prezentiraju svoja rješenja.

VI. Sažimanje lekcije.

Odraz.

VII. Domaća zadaća

jedan). Provjerite je li funkcija f periodična i pronađite njenu glavnu periodu (ako postoji)

b). f(x)=x 2 -2x+4

c). f(x)=2tg(3x+5)

2). Funkcija y=f(x) ima period T=2 i f(x)=x 2 +2x za x € [-2; 0]. Pronađite vrijednost izraza -2f(-3)-4f(3,5)

Književnost/

Mordkovich A.G. Algebra i početak analize s produbljenim proučavanjem.
Matematika. Priprema za ispit. ur. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
Sheremetyeva T.G. , Tarasova E.A. Algebra i početna analiza za razrede 10-11.

HARMONIČKA ANALIZA

Uvod.

Suvremeni razvoj tehnologija postavlja visoke zahtjeve za matematičko obrazovanje inženjera. Kao rezultat formuliranja i proučavanja niza specifičnih problema u mehanici i fizici, nastala je teorija trigonometrijskih nizova. Fourierovi redovi imaju najvažniju ulogu u svim područjima tehnike koja se temelji na teoriji oscilacija i teoriji spektralne analize. Na primjer, u sustavima prijenosa podataka za opisivanje signala praktičnu upotrebu spektralne reprezentacije uvijek dovode do potrebe za eksperimentalnom implementacijom Fourierove ekspanzije. Uloga trigonometrijskih nizova u elektrotehnici posebno je velika u proučavanju periodičnih nesinusoidnih struja: amplitudni spektar funkcije nalazi se korištenjem Fourierovog reda u složenom obliku. Fourierov integral se koristi za predstavljanje neperiodičnih procesa.

Trigonometrijski nizovi imaju važne primjene u brojnim granama matematike i pružaju osobito prikladne metode za rješavanje teških problema u matematičkoj fizici, kao što su vibracija žice i širenje topline u štapu.

Periodične funkcije.

Mnogi problemi znanosti i tehnologije povezani su s periodičkim funkcijama koje odražavaju cikličke procese.

Definicija 1. Periodične pojave nazivaju se pojave koje se ponavljaju u istom nizu i u istom obliku u određenim intervalima argumenta.

Primjer. U spektralnoj analizi – spektri.

Definicija 2. Funkcija na = f(x) naziva se periodička s periodom T, ako f(x + T) = f(x) za sve x i x + T iz djelokruga funkcije.

Na slici period prikazane funkcije T = 2.

Definicija 3. Najmanji pozitivni period funkcije naziva se glavni period.

Tamo gdje imamo posla s periodičkim pojavama, trigonometrijske funkcije se gotovo uvijek susreću.

Razdoblje funkcije je jednako , period funkcija jednako je .

Razdoblje trigonometrijske funkcije s argumentom ( Oh) nalazi se po formuli:

Primjer. Pronađite glavni period funkcija 1) .

Riješenje. 1) . 2) .

Lema. Ako a f(x) ima točku T, zatim integral ove funkcije, uzet unutar granica koje se razlikuju po T, ne ovisi o izboru donje granice integracije, tj. = .

Glavno razdoblje teškog periodična funkcija na = f(x) (koji se sastoji od zbroja periodičkih funkcija) najmanji je zajednički višekratnik perioda sastavnih funkcija.

Odnosno, ako f(x) = f 1 (x) + f 2 (x), T 1 - razdoblje funkcije f 1 (x), T 2 - razdoblje funkcije f 2 (x), tada najmanji pozitivni period T mora zadovoljiti uvjet:

T = nt 1 + kT 2, gdje(*) –

Naslovi slajdova:

O temi: metodološki razvoj, prezentacije i bilješke

Pročitajte također