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बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत, ग्रेड 10 ( प्रोफ़ाइल स्तर) ए.जी. मोर्दकोविच, पी.ई. सेमेनोव शिक्षक वोल्कोवा एस.ई.
परिभाषा 1 एक फलन y = f (x), x X का आवर्त T कहा जाता है, यदि किसी x X के लिए समानता f (x - T) = f (x) = f (x + T) सत्य है। यदि किसी आवर्त T वाले फलन को x बिन्दु पर परिभाषित किया जाता है, तो उसे बिन्दु x+T, x-T पर भी परिभाषित किया जाता है। किसी भी फलन का एक आवर्त होता है, शून्य T \u003d 0 पर हमें f (x - 0) \u003d f (x) \u003d f (x + 0) मिलता है।
परिभाषा 2 एक फलन जिसमें शून्येतर आवर्त T होता है, आवर्त कहलाता है। यदि एक फलन y = f (x), x X, का आवर्त T है, तो T का कोई भी गुणज (अर्थात kT, k Z के रूप की एक संख्या) भी उसका आवर्त होता है।
प्रमाण मान लीजिए कि 2T फलन का आवर्त है। तब f(x) = f(x + T) = f((x + T) + T) = f(x + 2T), f(x) = f(x - T) = f((x - T) -टी) = एफ (एक्स - 2 टी)। इसी प्रकार, यह सिद्ध होता है कि f(x) = f(x + 3 T) = f(x - 3 T), f(x) = f(x + 4 T) = f(x - 4 T), आदि। तो f(x - kT) = f(x) = f(x + kT)
किसी आवर्त फलन के धनात्मक आवर्तों में से सबसे छोटा आवर्त इस फलन का मुख्य आवर्त कहलाता है।
आवधिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ की विशेषताएं यदि T फ़ंक्शन y \u003d f (x) की मुख्य अवधि है, तो यह पर्याप्त है: समानांतर प्रदर्शन करने के लिए लंबाई T के अंतराल में से एक पर ग्राफ़ की एक शाखा का निर्माण करने के लिए x अक्ष के साथ इस शाखा का ±T, ±2T, ±3T, आदि द्वारा स्थानांतरण। आमतौर पर बिंदुओं पर सिरों के साथ एक अंतर चुनें
गुण आवधिक कार्य 1. यदि f(x) अवधि T के साथ एक आवर्त फलन है, तो फलन g(x) = A f(kx + b), जहां k> 0, अवधि T 1 = T/k के साथ भी आवर्त है। 2. मान लें कि फलन f 1 (x) और f 2 (x) संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर परिभाषित हैं और आवर्त T 1 > 0 और T 2 > 0 के साथ आवर्त हैं। फिर, T 1 /T 2 Q के लिए, फलन f(x) = f(x) + f 2 (x) एक आवर्त फलन है जिसका आवर्त T संख्या T 1 और T 2 के न्यूनतम सामान्य गुणज के बराबर है।
उदाहरण 1. सभी वास्तविक संख्याओं के लिए आवर्त फलन y = f(x) परिभाषित है। इसका आवर्त 3 तथा f(0) =4 है। व्यंजक 2f(3) - f(-3) का मान ज्ञात कीजिए। समाधान। टी \u003d 3, f (3) \u003d f (0 + 3) \u003d 4, f (-3) \u003d f (0–3) \u003d 4, f (0) \u003d 4. प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करना व्यंजक 2f (3) - f(-3) में, हमें 8 - 4 =4 प्राप्त होता है। उत्तर - 4।
उदाहरण 2. आवर्त फलन y = f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। इसकी अवधि 5 है, और f(-1) = 1. f(-12) ज्ञात करें यदि 2f(3) - 5f(9) = 9. समाधान T = 5 F(-1) = 1 f(9) = f (-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5 2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7 F(-12) = f(3 - 3T) = f ( 3) = 7 उत्तर: 7.
सन्दर्भ ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी. शिमोनोव। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (प्रोफ़ाइल स्तर), ग्रेड 10 ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत (प्रोफाइल स्तर), ग्रेड 10। टूलकिटशिक्षक के लिए
विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स
आवधिक कानून और आवधिक प्रणाली डी.आई. मेंडेलीव।
इस विषय पर एक सामान्य पाठ एक खेल के रूप में आयोजित किया जाता है, जिसमें शैक्षणिक कार्यशालाओं की तकनीक के तत्वों का उपयोग किया जाता है।...
पाठ्येतर घटना "आवधिक कानून और डी.आई. मेंडेलीव के रासायनिक तत्वों की आवधिक प्रणाली"
एक पाठ्येतर घटना से आवधिक कानून के निर्माण के इतिहास और डी.आई. की आवधिक प्रणाली का पता चलता है। मेंडेलीव। जानकारी में निर्धारित है काव्यात्मक रूप, जो योगदान देता है जल्दी याद रखनाएम...
पाठ्येतर घटना के लिए आवेदन "आवर्त कानून और रासायनिक तत्वों की आवर्त सारणी डी.आई. मेंडेलीव द्वारा"
कानून की खोज एक लंबी और तीव्र से पहले की गई थी वैज्ञानिकों का कामडि 15 साल के लिए मेंडेलीव, और एक और 25 साल इसे और गहरा करने के लिए दिए गए थे ....
उद्देश्य: "कार्यों की अवधि" विषय पर छात्रों के ज्ञान को सामान्य और व्यवस्थित करना; एक आवर्त फलन के गुणों को लागू करने, किसी फलन की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि खोजने, आवधिक कार्यों की साजिश रचने में कौशल बनाने के लिए; गणित के अध्ययन में रुचि को बढ़ावा देना; अवलोकन, सटीकता की खेती करें।
उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, टास्क कार्ड, स्लाइड, घड़ियां, आभूषण टेबल, लोक शिल्प तत्व
"गणित वह है जो लोग प्रकृति और खुद को नियंत्रित करने के लिए उपयोग करते हैं"
एक। Kolmogorov
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक चरण।
पाठ के लिए छात्रों की तत्परता की जाँच करना। पाठ के विषय और उद्देश्यों की प्रस्तुति।
द्वितीय. गृहकार्य की जाँच करना।
हम नमूनों के अनुसार होमवर्क की जांच करते हैं, सबसे कठिन बिंदुओं पर चर्चा करते हैं।
III. ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण।
1. ओरल फ्रंटल वर्क।
सिद्धांत के प्रश्न।
1) फ़ंक्शन की अवधि की परिभाषा तैयार करें
2) फलनों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि क्या है y=sin(x), y=cos(x)
3))। कार्यों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि क्या है y=tg(x), y=ctg(x)
4) संबंधों की शुद्धता साबित करने के लिए सर्कल का प्रयोग करें:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
टीजी(एक्स+π एन)=टीजीएक्स, एन जेड
सीटीजी(एक्स+π एन)=सीटीजीएक्स, एन ∈ जेड
sin(x+2π n)=sinx, n Z
cos(x+2π n)=cosx, n Z
5) आवधिक कार्य कैसे प्लॉट करें?
मौखिक व्यायाम।
1) निम्नलिखित संबंधों को सिद्ध कीजिए:
एक) पाप(740º) = पाप(20º)
बी) cos(54º) = cos(-1026º)
सी) पाप (-1000º) = पाप (80º)
2. सिद्ध कीजिए कि 540º का कोण फलन y=cos(2x) के आवर्तों में से एक है।
3. सिद्ध कीजिए कि 360º का कोण फलन y=tg(x) के आवर्तों में से एक है।
4. इन व्यंजकों को रूपांतरित करें ताकि उनमें शामिल कोण निरपेक्ष मान में 90º से अधिक न हों।
एक) टीजी375º
बी) सीटीजी530º
सी) पाप1268º
डी) cos(-7363º)
5. आप PERIOD, PERIODICITY शब्दों से कहां मिले?
छात्रों के उत्तर: संगीत में एक अवधि एक निर्माण है जिसमें कमोबेश पूर्ण संगीत विचार कहा जाता है। भूवैज्ञानिक काल एक युग का हिस्सा है और 35 से 90 मिलियन वर्ष की अवधि के साथ युगों में विभाजित है।
एक रेडियोधर्मी पदार्थ का आधा जीवन। आवधिक अंश। पत्रिकाएं मुद्रित प्रकाशन हैं जो कड़ाई से परिभाषित तिथियों पर दिखाई देते हैं। आवधिक प्रणालीमेंडेलीव।
6. आंकड़े आवर्त फलनों के रेखांकन के कुछ हिस्सों को दिखाते हैं। समारोह की अवधि को परिभाषित करें। समारोह की अवधि निर्धारित करें।
उत्तर: टी = 2; टी = 2; टी = 4; टी = 8।
7. आप अपने जीवन में कहां दोहराए जाने वाले तत्वों के निर्माण से मिले हैं?
छात्र उत्तर देते हैं: आभूषण के तत्व, लोक कला।
चतुर्थ। सामूहिक समस्या समाधान।
(स्लाइड पर समस्या का समाधान।)
आइए हम आवधिकता के लिए किसी फलन का अध्ययन करने के तरीकों में से एक पर विचार करें।
यह विधि यह साबित करने से जुड़ी कठिनाइयों को दूर करती है कि एक या दूसरी अवधि सबसे छोटी है, और साथ ही आवधिक कार्यों पर अंकगणितीय संचालन और एक जटिल कार्य की आवधिकता के बारे में प्रश्नों को छूने की आवश्यकता नहीं है। तर्क केवल एक आवर्त फलन की परिभाषा पर और निम्नलिखित तथ्य पर आधारित है: यदि T फलन का आवर्त है, तो nT(n? 0) इसका आवर्त है।
समस्या 1. फलन f(x)=1+3(x+q>5) की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि ज्ञात कीजिए।
हल: मान लेते हैं कि इस फलन का T-अवधि है। फिर f(x+T)=f(x) सभी x D(f) के लिए, अर्थात।
1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(एक्स+टी+0.25)=(एक्स+0.25)
मान लीजिए x=-0.25 हमें मिलता है
(टी) = 0<=>टी = एन, एन जेड
हमने प्राप्त किया है कि माने गए फलन के सभी आवर्त (यदि वे मौजूद हैं) पूर्णांकों में से हैं। इन संख्याओं में से सबसे छोटी धनात्मक संख्या चुनें। यह 1 . आइए देखें कि क्या यह वास्तव में एक अवधि है 1 .
f(x+1)=3(x+1+0.25)+1
चूंकि (T+1)=(T) किसी भी T के लिए, फिर f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), यानी। 1 - अवधि एफ। चूँकि 1 सभी पूर्णांकों में सबसे छोटा है सकारात्मक संख्या, फिर टी = 1।
कार्य 2. दिखाएँ कि फलन f(x)=cos 2 (x) आवर्त है और इसका मुख्य आवर्त ज्ञात कीजिए।
कार्य 3. फ़ंक्शन की मुख्य अवधि ज्ञात करें
f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
फ़ंक्शन की टी-अवधि मान लें, फिर किसी के लिए एक्सअनुपात
sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
अगर एक्स = 0 तो
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5
यदि x=-T, तो
sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)
5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)
| sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 - sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5 |
जोड़ने पर, हमें मिलता है:
10cos(0.75T)=10
2π एन, एन € Z
आइए सबसे छोटी सकारात्मक अवधि के लिए "संदिग्ध" सभी संख्याओं में से चुनें और जांचें कि क्या यह एफ के लिए अवधि है। यह नंबर
f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)
अत: फलन f का मुख्य आवर्त है।
कार्य 4. जाँच करें कि क्या फलन f(x)=sin(x) आवर्त है
माना T फलन f का आवर्त है। फिर किसी x . के लिए
पाप|एक्स+टी|=पाप|एक्स|
यदि x=0, तो sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.
मान लीजिए। कि कुछ n के लिए संख्या n एक आवर्त है
माना कार्य n>0। फिर पाप|π n+x|=sin|x|
इसका तात्पर्य यह है कि n एक ही समय में सम और विषम दोनों होना चाहिए, जो असंभव है। इसीलिए दिया गया कार्यआवधिक नहीं है।
कार्य 5. जांचें कि क्या कार्य आवधिक है
एफ (एक्स) = 
माना T आवर्त f है, तब
, इसलिए sinT=0, T=π n, n € Z। आइए मान लें कि कुछ n के लिए संख्या π n वास्तव में दिए गए फ़ंक्शन की अवधि है। तब संख्या 2π n भी एक आवर्त होगा
चूँकि अंश समान हैं, इसलिए उनके हर भी हैं, इसलिए
अतः फलन f आवर्त नहीं है।
समूह के काम।
समूह 1 के लिए कार्य।
समूह 2 के लिए कार्य।
जाँच करें कि क्या फलन f आवर्त है और इसका मुख्य आवर्त ज्ञात कीजिए (यदि यह मौजूद है)।
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
समूह 3 के लिए कार्य।
काम के अंत में, समूह अपने समाधान प्रस्तुत करते हैं।
VI. पाठ को सारांशित करना।
प्रतिबिंब।
शिक्षक छात्रों को चित्र के साथ कार्ड देता है और पहली ड्राइंग के हिस्से पर पेंट करने की पेशकश करता है, जिस हद तक, जैसा कि उन्हें लगता है, उन्होंने आवधिकता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने के तरीकों में महारत हासिल की है, और दूसरी ड्राइंग के हिस्से में , पाठ में कार्य में उनके योगदान के अनुसार।
सातवीं। गृहकार्य
एक)। जांचें कि क्या फ़ंक्शन f आवधिक है और इसकी मुख्य अवधि ज्ञात करें (यदि यह मौजूद है)
बी)। f(x)=x 2 -2x+4
सी)। f(x)=2tg(3x+5)
2))। फलन y=f(x) की अवधि T=2 और f(x)=x 2 +2x x € [-2; 0]। व्यंजक -2f(-3)-4f(3,5) का मान ज्ञात कीजिए
साहित्य/
- मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित और गहन अध्ययन के साथ विश्लेषण की शुरुआत।
- गणित। परीक्षा की तैयारी। ईडी। लिसेंको एफ.एफ., कुलबुखोवा एस.यू.
- शेरेमेतयेवा टी.जी. , तारासोवा ई.ए.बीजगणित और ग्रेड 10-11 के लिए प्रारंभिक विश्लेषण।
आवेदन संख्या 7
नगर शिक्षण संस्थान
औसत समावेशी स्कूल № 3
शिक्षक
कोरोट्कोव
आसिया एडिकोवनास
सोची
2008
विषय
परिचय ……………………………………………… 2-3
आवधिक कार्य और उनके गुण ……………। 4-6
कार्य ……………………………………………… 7-14
परिचय
ध्यान दें कि शैक्षिक और पद्धति संबंधी साहित्य में आवधिक समस्याओं का एक कठिन भाग्य है। यह एक अजीब परंपरा द्वारा समझाया गया है - आवधिक कार्यों की परिभाषा में एक या किसी अन्य लापरवाही की अनुमति देने के लिए जो विवादास्पद निर्णय लेते हैं और परीक्षा में घटनाओं को भड़काते हैं।
उदाहरण के लिए, पुस्तक में शब्दकोषगणितीय शब्द "- एम, 1965, निम्नलिखित परिभाषा दी गई है:" एक आवर्त फलन - एक फलन
y = f(x), जिसके लिए एक संख्या t > 0 है, जो सभी x और x + t के लिए डोमेन f(x + t) = f(x) से है।
आइए हम इस परिभाषा की गलतता को दर्शाने वाला एक प्रति-उदाहरण दें। इस परिभाषा के अनुसार, फलन आवर्त है जिसका आवर्त t = 2π . है
с(x) = Cos(√x) 2 - Cos(√4π - x) 2 परिभाषा के एक सीमित क्षेत्र के साथ, जो आवधिक कार्यों के बारे में आम तौर पर स्वीकृत दृष्टिकोण के विपरीत है।
स्कूल के लिए नवीनतम वैकल्पिक पाठ्यपुस्तकों में से कई में इसी तरह की समस्याएं उत्पन्न होती हैं।
ए एन कोलमोगोरोव की पाठ्यपुस्तक निम्नलिखित परिभाषा देती है: "फ़ंक्शन एफ की आवधिकता की बात करते हुए, ऐसा माना जाता है कि ऐसी संख्या टी 0 है कि परिभाषा डी (एफ) के डोमेन में प्रत्येक बिंदु एक्स के साथ अंक होते हैं जो प्राप्त होते हैं एक्स अक्ष के समानांतर अनुवाद द्वारा एक्स (दाएं और बाएं) दूरी टी द्वारा। फ़ंक्शन f को कहा जाता हैनियत कालीन अवधि टी 0 के साथ, यदि परिभाषा के किसी भी डोमेन के लिए x, x - T, x + T बिंदुओं पर इस फ़ंक्शन के मान बराबर हैं, यानी। एफ (एक्स + टी) \u003d एफ (एक्स) \u003d एफ (एक्स - टी) "। आगे पाठ्यपुस्तक में लिखा है: "चूंकि साइन और कोसाइन पूरी संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं और पाप (x + 2π) = पाप x,
Cos (x + 2π) \u003d Cos x किसी भी x के लिए, साइन और कोसाइन 2π की अवधि के साथ एक फ़ंक्शन की अवधि है।
किसी कारण से, यह उदाहरण जाँच नहीं करता है कि शर्त की परिभाषा में क्या आवश्यक है
पाप (x - 2π) \u003d पाप x। क्या बात है? मुद्दा यह है कि परिभाषा में यह स्थिति अतिश्योक्तिपूर्ण है। वास्तव में, यदि T > 0 फलन f(x) का आवर्त है, तो T भी इस फलन का आवर्त होगा।
मैं एम.आई. बश्माकोव द्वारा पाठ्यपुस्तक से एक और परिभाषा देना चाहता हूं "बीजगणित और 10-11 कोशिकाओं में विश्लेषण की शुरुआत।" "फ़ंक्शन y \u003d f (x) को आवधिक कहा जाता है यदि ऐसी संख्या T 0 है जो समानता है
f(x + T) = f(x) x के सभी मानों के लिए समान रूप से धारण करता है।
उपरोक्त परिभाषा फ़ंक्शन के दायरे के बारे में कुछ नहीं कहती है, हालांकि इसका अर्थ है परिभाषा के दायरे से x, कोई वास्तविक x नहीं। इस परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन y \u003d पाप (√x) आवधिक हो सकता है 2 , केवल x 0 के लिए परिभाषित है, जो सत्य नहीं है।
एकीकृत राज्य परीक्षा में आवधिकता के लिए कार्य होते हैं। एक वैज्ञानिक आवधिक पत्रिका में, यूएसई के खंड सी के प्रशिक्षण के रूप में, समस्या का समाधान दिया गया था: "कार्य है y (x) \u003d पाप 2 (2 + x) - 2 पाप 2 पाप x Cos (2 + x) आवधिक?
समाधान से पता चलता है कि उत्तर में y (x - ) \u003d y (x) - एक अतिरिक्त प्रविष्टि
"टी = " (आखिरकार, सबसे छोटी सकारात्मक अवधि खोजने का सवाल नहीं उठाया जाता है)। क्या वास्तव में इस समस्या को हल करने के लिए एक जटिल त्रिकोणमितीय गठन करना आवश्यक है? आखिरकार, यहां आप समस्या की स्थिति में कुंजी के रूप में, आवधिकता की अवधारणा पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं।
समाधान।
f1 (एक्स) \u003d पाप एक्स - अवधि टी \u003d 2π . के साथ एक आवधिक कार्य
f2 (x) = Cos x एक आवर्त फलन है जिसका आवर्त T = 2π है, तो 2π एक आवर्त है और फलनों के लिए f 3(x) = पाप(2+x) और f 4 (एक्स) = कॉस (2 + एक्स), (यह आवधिकता की परिभाषा से निम्नानुसार है)
f5 (x) = - 2 पाप 2 = Const, इसका आवर्त कोई भी संख्या है, जिसमें 2π भी शामिल है।
इसलिये एक सामान्य अवधि टी के साथ आवधिक कार्यों का योग और उत्पाद भी टी-आवधिक है, तो यह फ़ंक्शन आवधिक है।
मुझे आशा है कि इस काम में प्रस्तुत सामग्री एकल की तैयारी में मदद करेगी राज्य परीक्षाआवधिकता के लिए समस्याओं को हल करने में।
आवधिक कार्य और उनके गुण
परिभाषा: एक फलन f(t) को आवर्त कहा जाता है यदि इस फलन की परिभाषा के क्षेत्र से किसी t के लिए Dएफ एक संख्या 0 है जो इस प्रकार है:
1) संख्याएं (टी ± ) є डी एफ;
2) एफ (टी + ω) = एफ (टी)।
1. यदि संख्या = फलन f (t) का आवर्त है, तो संख्या kω, जहाँ k = ±1, ±2, ±3, … भी फलन f(t) के आवर्त हैं।
उदाहरण एफ (टी) = सिंट। संख्या T = 2π इस फलन का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त है। चलो टी 1 = 4π. आइए हम दिखाते हैं कि टी 1 इस समारोह की अवधि भी है।
एफ (टी + 4π) = एफ (टी + 2π + 2π) = पाप (टी + 2π) = पाप टी।
तो टी 1 फलन f (t) = sin t का आवर्त है।
2. यदि फलन f(t) - एक आवर्त फलन है, तो फलन f (at), जहां a R, और f (t + c), जहां c एक मनमाना स्थिरांक है, भी आवर्ती हैं।
फलन f(at) का आवर्त ज्ञात कीजिए।
f(аt) = f(аt + ) = f (а(t + /а)), यानी। एफ (एट) = एफ (ए (टी + ω / ए)।
इसलिए, फ़ंक्शन की अवधि f(аt) – 1 = /ए.
उदाहरण 1. फलन y = sin t/2 का आवर्त ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 2. फ़ंक्शन y \u003d sin (t + / 3) की अवधि ज्ञात करें।
मान लीजिए f(t) = sin t; वाई 0 \u003d पाप (टी 0 + / 3)।
तब फलन f(t) = sin t भी y का मान लेगा 0 टी = टी 0 + π/3 के लिए।
वे। फ़ंक्शन y द्वारा लिए गए सभी मान भी फ़ंक्शन f (t) द्वारा लिए जाते हैं। यदि t की व्याख्या समय के रूप में की जाती है, तो y . का प्रत्येक मान 0 फ़ंक्शन y \u003d पाप (t + / 3) को / 3 से बाईं ओर फ़ंक्शन f (t) "शिफ्ट" की तुलना में / 3 यूनिट समय से पहले लिया जाता है। जाहिर है, इससे समारोह की अवधि नहीं बदलेगी, यानी। टीवाई \u003d टी 1.
3. यदि F(x) कोई फलन है और f(t) एक आवर्त फलन है, तो f(t) फलन F(x) - D के प्रांत से संबंधित है।एफ , तो फलन F(f (t)) एक आवर्त फलन है।
चलो एफ (एफ (टी)) = ।
(टी + ω) = एफ (एफ (टी + ω)) = एफ (एफ (टी)) = φ (टी) किसी भी टी є डी के लिएएफ।
उदाहरण आवधिकता के लिए फलन की जाँच करें: F(x) =पाप एक्स।
इस समारोह का दायरा डीएफ वास्तविक संख्या R के समुच्चय के साथ मेल खाता है। f (x) = sin x।
इस फ़ंक्शन के मानों का सेट है [-1; एक]। इसलिये खंड [-1; 1] डी . के अंतर्गत आता हैएफ , तो फलन F(x) आवर्त है।
एफ (एक्स + 2π) = ℓ पाप (एक्स + 2π) = ℓ पाप एक्स = एफ (एक्स)।
2 इस फलन का आवर्त है।
4. यदि फलन f 1 (t) और f 2 (टी) आवधिक, क्रमशः, अवधियों के साथ 1 और 2 और 1 / 2 = r, जहाँ r एक परिमेय संख्या है, तब फलन
С 1 एफ 1 (टी) + С 2 एफ 2 (टी) और एफ 1 (टी) एफ 2 (टी) आवधिक हैं (~ 1 और सी 2 स्थिरांक हैं)।
नोट: 1) यदि r = 1 /ω 2 = पी/क्यू, क्योंकि r एक परिमेय संख्या है, तो
1 क्यू = ω 2 p = , जहाँ . संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज है 1 और 2 (एलसीएम)।
फ़ंक्शन C . पर विचार करें 1 एफ 1 (टी) + सी 2 एफ 2 (टी)।
वास्तव में, = एलसीएम (ω .) 1, 2 ) - इस समारोह की अवधि
С 1 एफ 1 (टी) + С 2 एफ 2 (टी) = С 1 एफ 1 (टी + ω 1 क्यू) + С 2 एफ 2 (टी + ω 2 पी) + С 1 एफ 1 (टी) + С 2 एफ 2 (टी) ।
2) फलन f का आवर्त है 1 (टी) एफ 2 (टी), क्योंकि
f 1 (t + ) f 2 (t + \u003d f 1 (t + 1 q) f 2 (t \u003d ω 2 p) \u003d f 1 (t) f 2 (t)।
परिभाषा: चलो f 1 (टी) और एफ (टी) क्रमशः अवधियों के साथ आवधिक कार्य हैं, 1 और 2 , तो दो अवधियों को तुलनीय कहा जाता है यदि 1 / 2 = r एक परिमेय संख्या है।
3) यदि आवर्त 1 और ω 2 आनुपातिक नहीं हैं, तो फलन f 1 (टी) + एफ 2 (टी) और
एफ 1 (टी) एफ 2 (टी) आवधिक नहीं हैं। यानी अगर f 1 (टी) और एफ 2 (टी) एक स्थिर, आवधिक, निरंतर से अलग हैं, उनकी अवधि अनुरूप नहीं है, फिर एफ 1 (टी) + एफ 2 (टी), एफ 1 (टी) एफ 2 (टी) आवधिक नहीं हैं।
4) मान लीजिए f(t) = , जहां एक मनमाना स्थिरांक है। यह फ़ंक्शन आवधिक है। इसका आवर्त कोई परिमेय संख्या है, जिसका अर्थ है कि इसका सबसे छोटा धनात्मक आवर्त नहीं है।
5) यह कथन के लिए भी सत्य है अधिककार्य।
उदाहरण 1. फलन की आवर्तता की जाँच कीजिए
एफ (एक्स) = पाप एक्स + कॉस एक्स।
समाधान। मान लीजिए f 1 (x) = sin x, तो 1 = 2πk, जहां k Z.
टी 1 = 2π सबसे छोटा धनात्मक आवर्त है।
च 2 (एक्स) \u003d कॉस एक्स, टी 2 \u003d 2π।
अनुपात टी 1 / टी 2 = 2π/2π = 1 एक परिमेय संख्या है, अर्थात्। कार्यों की अवधि f 1 (एक्स) और एफ 2 (x) अनुरूप हैं। तो यह कार्य आवधिक है। आइए इसकी अवधि ज्ञात करें। एक आवर्त फलन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है
sin (x + T) + Cos (x + T) = sin x + Cos x,
पाप (x + T) - पाप x \u003d Cos x - Cos (x + T),
2 कोस 2x + / 2 पाप टी / 2 \u003d 2 पाप 2x + टी / 2 पाप टी / 2,
पाप टी / 2 (कॉस टी + 2x / 2 - पाप टी + 2x / 2) \u003d 0,
2 पाप टी / 2 पाप (π / 4 - टी + 2x / 2) \u003d 0, इसलिए,
पाप टी/2 = 0, फिर टी = 2πk।
इसलिये (х ± 2πk) є डी एफ , जहां f(x) = sin x + Cos x,
f(х + t) = f(х), तो फलन f(х) सबसे कम धनात्मक अवधि 2π के साथ आवर्त है।
उदाहरण 2. क्या आवर्त फलन f (x) \u003d Cos 2x Sin x है, इसका आवर्त क्या है?
समाधान। चलो f 1 (x) \u003d Cos 2x, फिर T 1 \u003d 2π: 2 \u003d (2 देखें)
मान लीजिए f 2 (x) = sin x, तो T 2 = 2π. इसलिये π/2π = ½ एक परिमेय संख्या है, तो यह फलन आवर्त है। इसका आवर्त T = LCM
(π, 2π) = 2π।
तो, यह फलन 2π आवर्त के साथ आवर्त है।
5. मान लीजिए फलन f(t), जो समान रूप से एक स्थिरांक के बराबर नहीं है, सतत और आवर्त है, तो इसका सबसे छोटा धनात्मक आवर्त है 0 , इसके की किसी अन्य अवधि का रूप है:= kω 0 , जहाँ k Z.
नोट: 1) इस संपत्ति में दो शर्तें बहुत महत्वपूर्ण हैं:
f(t) निरंतर है, f(t) C, जहां C एक स्थिरांक है।
2) विलोम अभिकथनसच नहीं। यानी यदि सभी अवधियां अनुरूप हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि सबसे छोटी सकारात्मक अवधि है। वे। एक आवधिक कार्य में सबसे छोटी सकारात्मक अवधि नहीं हो सकती है।
उदाहरण 1. f(t) = C, आवर्त। इसका आवर्त कोई भी वास्तविक संख्या है, कोई छोटी अवधि नहीं है।
उदाहरण 2. डिरिचलेट फ़ंक्शन:
डी (एक्स) =
कोई भी परिमेय संख्या उसका आवर्त होता है, कोई सबसे छोटा धनात्मक आवर्त नहीं होता।
6. यदि f(t) एक सतत आवर्त फलन है और 0 इसका सबसे छोटा धनात्मक आवर्त है, तो फलन f(αt + β) का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त है 0 //α/. यह कथन आइटम 2 से अनुसरण करता है।
उदाहरण 1. फलन y \u003d sin (2x - 5) का आवर्त ज्ञात कीजिए।
समाधान। y \u003d पाप (2x - 5) \u003d पाप (2 (x - 5/2))।
फ़ंक्शन y का ग्राफ़ पाप x फ़ंक्शन के ग्राफ़ से प्राप्त किया जाता है, पहले दो बार "संपीड़ित" करके, फिर "स्थानांतरित" करके 2.5 से दाईं ओर। "शिफ्ट आवधिकता को प्रभावित नहीं करता है, टी = इस फ़ंक्शन की अवधि है।
आइटम 6 की संपत्ति का उपयोग करके इस फ़ंक्शन की अवधि प्राप्त करना आसान है:
टी \u003d 2π / 2 \u003d ।
7. यदि f (t) - एक आवर्ती फलन है, और इसका एक सतत व्युत्पन्न f "(t) है, तो f" (t) भी एक आवर्त फलन है, T \u003d
उदाहरण 1. f(t) = sin t, T = 2πk। इसका व्युत्पन्न f "(t) = Cos t
एफ "(टी) \u003d कॉस टी, टी \u003d 2πk, के जेड।
उदाहरण 2. f(t) = Cos t, T = 2πk। इसका व्युत्पन्न
एफ "(टी) \u003d - पाप टी, टी \u003d 2πk, के जेड।
उदाहरण 3. f(t) =tg t, इसका आवर्त Т = k है।
एफ "(टी) \u003d 1 / कॉस 2 t भी संपत्ति आइटम 7 द्वारा आवधिक है और इसकी अवधि T = k है। इसका सबसे छोटा धनात्मक आवर्त T = है।
कार्य
№ 1
क्या फलन f(t) = sin t + sin t आवर्त है?
समाधान। तुलना के लिए, हम इस समस्या को दो तरह से हल करते हैं।
सबसे पहले, एक आवधिक कार्य की परिभाषा के द्वारा। मान लें कि f(t) आवर्त है, तो किसी t D . के लिएच हमारे पास है:
पाप (टी + टी) + पाप (टी + टी) = पाप टी + पाप πt,
पाप (टी + टी) - पाप टी \u003d पाप t - पाप (टी + टी),
2 Cos 2t + T/2 Sin T/2 = -2 Cos 2 t + πt/2 Sin t/2.
इसलिये यह किसी भी टी डी . के लिए सच हैएफ , फिर, विशेष रूप से, t . के लिए 0 , जिस पर अंतिम समानता का बायां हिस्सा गायब हो जाता है।
तब हमारे पास है: 1) Cos 2t 0 + टी/2 पाप टी/2 = 0. टी के संबंध में हल करें।
sin /2 = 0 = 2 k पर, जहाँ k Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 पाप πТ/2 = 0. के सन्दर्भ में हल कीजिये।
पाप /2 = 0, फिर Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, जहां n Z.
इसलिये हमारे पास एक सर्वसमिका है, तो 2 k = 2n, π = 2n/2 k = n/k, जो नहीं हो सकता, क्योंकि एक अपरिमेय संख्या है, और n/k परिमेय संख्या है। अर्थात्, हमारी यह धारणा कि फलन f(t) आवर्त है, सही नहीं था।
दूसरे, यदि हम आवधिक कार्यों के उपरोक्त गुणों का उपयोग करते हैं तो समाधान बहुत आसान है:
मान लीजिए f 1 (t) = sin t, 1 = 2 ; एफ 2 (टी) = पाप t, Т 2 - 2π/π = 2. फिर, 1 /Т 2 = 2π/2 = एक अपरिमेय संख्या है, अर्थात्। अवधि टी 1, टी 2 अनुरूप नहीं हैं, इसलिए f(t) आवर्त नहीं है।
उत्तर: नहीं।
№ 2
दिखाएँ कि यदि α एक अपरिमेय संख्या है, तो फलन
F(t) = Cos t + Cos αt
आवधिक नहीं है।
समाधान। मान लीजिए f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt।
तब उनके आवर्त क्रमशः T . हैं 1 \u003d 2π, टी 2 = 2π//α/ - सबसे छोटी सकारात्मक अवधि। आइए खोजें, टी 1 / टी 2 = 2π/α//2π = /α/ एक अपरिमेय संख्या है। तो टी 1 और टी 2 अतुलनीय हैं, और कार्य
f(t) आवर्त नहीं है।
№ 3
फलन f(t) = sin 5t का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त ज्ञात कीजिए।
समाधान। संपत्ति आइटम 2 से हमारे पास है:
च (टी) आवधिक है; टी = 2π/5।
उत्तर: 2π/5.
№ 4
क्या F(x) = arccos x + arcsin x एक आवर्त फलन है?
समाधान। इस समारोह पर विचार करें
एफ(एक्स) \u003d आर्ककोस एक्स + आर्क्सिन एक्स \u003d π - आर्कसिन एक्स + आर्क्सिन एक्स \u003d π,
वे। F(x) एक आवर्ती फलन है (देखें संपत्ति मद 5, उदाहरण 1)।
उत्तर: हाँ।
№ 5
एक आवधिक कार्य है
एफ (एक्स) \u003d पाप 2x + कोस 4x + 5?
समाधान। मान लीजिए f 1 (x) = sin 2x, तो T 1 = ;
एफ 2 (एक्स) \u003d कॉस 4x, फिर टी 2 \u003d 2π / 4 \u003d / 2;
एफ 3 (एक्स) \u003d 5, टी 3 - कोई भी वास्तविक संख्या, विशेष रूप से T 3 हम T . के बराबर मान सकते हैं 1 या टी 2 . तब इस फलन की अवधि T = LCM (π, π/2) = है। अर्थात् f(x) आवर्त है जिसका आवर्त = है।
उत्तर: हाँ।
№ 6
क्या फलन f(x) = x - E(x) आवर्त है, जहां E(x) एक ऐसा फलन है जो तर्क x को दिए गए पूर्णांक से अनधिक सबसे छोटे पूर्णांक से जोड़ता है।
समाधान। अक्सर फ़ंक्शन f (x) को (x) द्वारा दर्शाया जाता है - संख्या x का भिन्नात्मक भाग, अर्थात।
एफ(एक्स) \u003d (एक्स) \u003d एक्स - ई (एक्स)।
मान लीजिए f(х) एक आवर्त फलन है, अर्थात्। एक संख्या T >0 मौजूद है जैसे कि x - E(x) = x + T - E(x + T)। आइए इस समीकरण को लिखें
(एक्स) + ई (एक्स) - ई (एक्स) = (एक्स + टी) + ई (एक्स + टी) - ई (एक्स + टी),
(एक्स) + (एक्स + टी) - डोमेन डी से किसी भी एक्स के लिए सच हैएफ, बशर्ते कि टी 0 और टी є जेड। उनमें से सबसे छोटा सकारात्मक टी = 1 है, यानी। टी = 1 ऐसा है कि
एक्स + टी - ई (एक्स + टी) \u003d एक्स - ई (एक्स),
इसके अलावा, (х ± k) डीएफ, जहां के जेड।
उत्तर: यह फलन आवर्त है।
№ 7
क्या फलन f(x) = sin x आवर्त है? 2 .
समाधान। मान लीजिए f(x) = sin x 2 आवधिक समारोह। फिर, एक आवर्त फलन की परिभाषा के अनुसार, एक संख्या T 0 इस प्रकार है कि: sin x 2 \u003d पाप (x + T) 2 किसी भी x D f के लिए।
पाप x 2 \u003d पाप (x + T) 2 \u003d 0,
2 कोस x 2 + (x + T) 2/2 पाप x 2 - (x + T) 2/2 \u003d 0, फिर
Cos x 2 + (x + T) 2/2 = 0 या sin x 2 - (x + T) 2/2 = 0.
पहले समीकरण पर विचार करें:
कॉस एक्स 2 + (एक्स + टी) 2/2 \u003d 0,
एक्स 2 + (एक्स + टी) 2/2 \u003d (1 + 2 के) / 2 (के जेड),
टी \u003d (1 + 2 के) - एक्स 2 - एक्स। (एक)
दूसरे समीकरण पर विचार करें:
पाप एक्स 2 - (एक्स + टी) 2 / 2 \u003d 0,
एक्स + टी \u003d - 2πk + x 2,
टी \u003d x 2 - 2πk - x। (2)
यह व्यंजकों (1) और (2) से देखा जा सकता है कि T का पाया गया मान x पर निर्भर करता है, अर्थात्। कोई T>0 ऐसा नहीं है कि
पाप x 2 \u003d पाप (x + T) 2
इस फ़ंक्शन के डोमेन से किसी भी x के लिए। f(x) आवर्त नहीं है।
उत्तर: नहीं
№ 8
फलन की आवर्तता की जाँच करें f(x) = Cos 2 एक्स।
समाधान। आइए f(x) को दोहरे कोण कोज्या सूत्र द्वारा निरूपित करें
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x।
मान लीजिए f 1 (x) = ½, फिर T 1 - यह कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है; एफ 2 (x) \u003d ½ Cos 2x एक आवर्त फलन है, क्योंकि दो आवधिक कार्यों का उत्पाद जिसमें सामान्य अवधिटी 2 = पीआई। तब इस फलन का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त
टी \u003d एलसीएम (टी 1, टी 2) \u003d ।
अतः फलन f(x) = Cos 2 x - - आवर्त है।
उत्तर: आवर्त है।
№ 9
क्या किसी आवर्त फलन का प्रांत हो सकता है:
ए) अर्ध-रेखा [ए, ),
बी) कट?
समाधान। नहीं क्योंकि
ए) एक आवधिक कार्य की परिभाषा के अनुसार, यदि डीएफ, फिर एक्स ± ω भी
समारोह के दायरे से संबंधित होना चाहिए। मान लीजिए x = a, तब
एक्स 1 \u003d (ए - ω) [ए, );
बी) माना x = 1, फिर x 1 \u003d (1 + टी) ।
№ 10
क्या एक आवधिक कार्य हो सकता है:
ए) सख्ती से नीरस;
बी) सम;
बी) भी नहीं?
समाधान। a) मान लीजिए f(x) एक आवर्त फलन है, अर्थात्। वहाँ T≠0 इस तरह मौजूद है कि किसी भी x के लिए फ़ंक्शन के डोमेन से Dच क्या है
(एक्स ± टी) डी एफ और एफ (एक्स ± टी) \u003d एफ (एक्स)।
कोई x . ठीक करें 0 डी एफ , इसलिये f(x) आवर्त है, तो (x 0 + टी) डी एफ और एफ (एक्स 0) \u003d एफ (एक्स 0 + टी)।
मान लें कि f(x) पूरी तरह से एकरस है और परिभाषा के पूरे डोमेन पर Dएफ , उदाहरण के लिए, बढ़ता है। फिर किसी भी x . के बढ़ते फलन की परिभाषा के अनुसार 1 और एक्स 2 डोमेन डी . सेएफ असमानता x . से 1 2 यह इस प्रकार है कि f(x 1 ) 2 ) विशेष रूप से, शर्त x . से 0 0 + टी, यह इस प्रकार है
एफ (एक्स 0) 0 + टी), जो शर्त के विपरीत है।
इसका मतलब है कि एक आवधिक कार्य सख्ती से मोनोटोनिक नहीं हो सकता है।
b) हाँ, एक आवर्त फलन सम हो सकता है। आइए कुछ उदाहरण लेते हैं।
F (x) \u003d Cos x, Cos x \u003d Cos (-x), T \u003d 2π, f (x) एक सम आवर्ती फलन है।
0 यदि x एक परिमेय संख्या है;
डी (एक्स) =
1 यदि x एक अपरिमेय संख्या है।
D(x) = D(-x), फलन D(x) का प्रांत सममित है।
डायरेक्लेट फ़ंक्शन D(x) एक सम आवर्ती फलन है।
एफ (एक्स) = (एक्स),
f (-x) \u003d -x - E (-x) \u003d (-x) (x)।
यह फ़ंक्शन भी नहीं है।
c) एक आवर्त फलन विषम हो सकता है।
f (x) \u003d पाप x, f (-x) \u003d पाप (-x) \u003d - पाप \u003d - f (x)
f(x) एक विषम आवर्त फलन है।
f (x) - पाप x Cos x, f (-x) \u003d पाप (-x) Cos (-x) \u003d - पाप x Cos x \u003d - f (x),
f(x) विषम और आवर्त है।
f(x) = sin x, f(-x) = sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) विषम नहीं है।
f(х) = tg x एक विषम आवर्त फलन है।
उत्तर: नहीं; हाँ; हाँ।
№ 11
एक आवर्त फलन पर कितने शून्य हो सकते हैं:
एक) ; 2) संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर, यदि फलन का आवर्त T के बराबर है?
हल: 1. a) खंड [a, b] पर, एक आवर्त फलन में शून्य नहीं हो सकता है, उदाहरण के लिए, f(x) = C, C≠0; एफ (एक्स) \u003d कॉस एक्स + 2।
बी) खंड [ए, बी] पर, एक आवधिक फ़ंक्शन में अनंत संख्या में शून्य हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, डायरेचलेट फ़ंक्शन
0 यदि x एक परिमेय संख्या है,
डी (एक्स) =
1 यदि x एक अपरिमेय संख्या है।
c) खंड [a, b] पर, एक आवर्त फलन में सीमित संख्या में शून्य हो सकते हैं। आइए जानते हैं यह नंबर।
माना T फलन का आवर्त है। निरूपित
एक्स 0 = (न्यूनतम x (a,b), जैसे कि f(х) = 0)।
फिर खंड [ए, बी] पर शून्य की संख्या: एन = 1 + ई (x . में) 0 / टी)।
उदाहरण 1. x [-2, 7π / 2], f (x) \u003d Cos 2 х एक आवर्त फलन है जिसकी अवधि Т = है; एक्स 0 = -π/2; तो दिए गए अंतराल पर फलन f(x) के शून्यों की संख्या
एन \u003d 1 + ई (7π / 2 - (-π / 2) / 2) \u003d 1 + ई (8π / 2π) \u003d 5.
उदाहरण 2. एफ (एक्स) \u003d एक्स - ई (एक्स), एक्स [-2; 8.5]। f(х) - आवर्त फलन, + 1,
एक्स 0 = -2। तब दिए गए खंड पर फलन f(x) के शून्यों की संख्या
एन \u003d 1 + ई (8.5 - (-2) / 1) \u003d 1 + ई (10.5 / 1) \u003d 1 + 10 \u003d 11.
उदाहरण 3. f (x) \u003d Cos x, x [-3π; ], टी 0 \u003d 2π, x 0 \u003d - 5π / 2।
तब दिए गए खंड पर इस फ़ंक्शन के शून्यों की संख्या
एन \u003d 1 + ई (π - (-5π / 2) / 2π) \u003d 1 + ई (7π / 2π) \u003d 1 + 3 \u003d 4.
2. क) अनंत शून्यों की संख्या, क्योंकि एक्स 0 डी एफ और एफ(х 0 ) = 0, तो सभी संख्याओं के लिए
एक्स 0 + टीके, जहां के जेड, एफ (एक्स 0 ± टीके) = एफ (एक्स 0 ) =0, और x . के रूप के बिंदु 0 ± T एक अनंत समुच्चय है;
बी) शून्य नहीं है; यदि f(х) आवर्त है और किसी के लिए
डी फलन f(x) >0 या f(x)
एफ(एक्स) \u003d पाप एक्स +3.6; एफ (एक्स) = सी, सी ≠ 0;
एफ(एक्स) \u003d पाप एक्स - 8 + कॉस एक्स;
एफ (एक्स) = पाप एक्स कॉस एक्स + 5।
№ 12
क्या गैर-आवधिक कार्यों का योग आवर्त हो सकता है?
समाधान। हाँ शायद। उदाहरण के लिए:
- f1 (х) = х गैर-आवधिक है, f 2 (एक्स) \u003d ई (एक्स) - गैर-आवधिक
एफ (एक्स) \u003d एफ 1 (एक्स) - एफ 2 (एक्स) \u003d एक्स - ई (एक्स) - आवधिक।
- f1 (x) \u003d x - गैर-आवधिक, f (x) \u003d पाप x + x - गैर-आवधिक
एफ (एक्स) \u003d एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स) = पाप एक्स - आवधिक।
उत्तर: हाँ।
№ 13
फलन f(x) और φ(x) आवर्त T . के साथ आवर्त हैं 1 और टी 2 क्रमश। क्या उनका उत्पाद हमेशा एक आवधिक कार्य करता है?
समाधान। नहीं, केवल अगर T 1 और टी 2 - तुलनीय। उदाहरण के लिए,
एफ(एक्स) \u003d पाप एक्स पाप πx, टी 1 \u003d 2π, टी 2 \u003d 2; फिर टी 1 / टी 2 = 2π/2 = एक अपरिमेय संख्या है, इसलिए f(х) आवर्त नहीं है।
एफ (एक्स) \u003d (एक्स) कॉस एक्स \u003d (एक्स - ई (एक्स)) कॉस एक्स। चलो f 1 (एक्स) \u003d एक्स - ई (एक्स), टी 1 \u003d 1;
च 2 (एक्स) \u003d कॉस (एक्स), टी 2 \u003d 2π। टी 2 / टी 1 = 2π/1 = 2π, इसलिए f(x) आवर्त नहीं है।
उत्तर: नहीं।
स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य
कौन-से फलन आवर्ती हैं, आवर्त ज्ञात कीजिए?
1. f (x) \u003d पाप 2x, 10. f (x) \u003d पाप x / 2 + tg x,
2. f (x) \u003d Cos x / 2, 11. f (x) \u003d पाप 3x + Cos 4x,
3. एफ (एक्स) \u003d टीजी 3x, 12. एफ (एक्स) \u003d पाप 2 एक्स+1,
4. f(x) = Cos (1 - 2x), 13. f(x) = tg x + ctg√2x,
5. f (x) \u003d पाप x Cos x, 14. f (x) \u003d पाप x + Cos x,
6. एफ (एक्स) \u003d सीटीजी एक्स / 3, 15. एफ (एक्स) \u003d एक्स 2 - ई (एक्स 2),
7. f (x) \u003d पाप (3x - / 4), 16. f (x) \u003d (x - E (x)) 2 ,
8. f (x) \u003d पाप 4 x + Cos 4 x, 17. f (x) \u003d 2 x - E (x),
9. f(x) = पाप 2 x, 18. f(x) = x - n + 1 यदि n x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
मान लीजिए f(x) - T एक आवर्त फलन है। कौन-से फलन आवर्ती हैं (T ज्ञात कीजिए) ?
- (x) = f(x + ) आवर्त है, क्योंकि ऑक्स अक्ष के साथ "शिफ्ट" ω को प्रभावित नहीं करता है; इसकी अवधि ω = टी।
- (х) = а f(х + λ) + в एक आवर्त फलन है जिसकी अवधि = है।
- φ(x) = f(kx) एक आवर्त फलन है जिसकी अवधि ω = T/k है।
- φ(x) \u003d f (कुल्हाड़ी + बी) - एक अवधि के साथ एक आवधिक कार्य ω \u003d टी / ए।
- φ(x) = f(√x) आवर्त नहीं है, क्योंकि इसकी परिभाषा का डोमेन Dφ = (x/x 0), जबकि किसी आवर्त फलन की परिभाषा का क्षेत्र अर्ध-अक्ष नहीं हो सकता।
- (x) = (f(x) + 1/(f(x) - 1) एक आवर्त फलन है, क्योंकि
(एक्स + टी) \u003d एफ (एक्स + टी) + 1 / एफ (एक्स + टी) - 1 \u003d (एक्स), ω \u003d टी।
- (एक्स) \u003d ए एफ 2 (एक्स) + एफ (एक्स) + सी में।
मान लीजिए 1 (x) = a f 2 (एक्स) - आवधिक, 1 = टी/2;
2 (х) = f(х) में - आवधिक, 2=टी/टी=टी;
3 (х) = с - आवधिक, 3 - कोई भी संख्या;
तब ω = LCM(Т/2; Т) = , φ(х) आवर्त है।
अन्यथा, क्योंकि इस फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन संपूर्ण संख्या रेखा है, फिर फ़ंक्शन के मानों का सेट f - Eएफ डी , तो समारोह
(х) आवर्त है और = .
- (х) = (х), f(х) 0.
(х) = आवर्त के साथ आवर्त है, क्योंकि किसी भी x के लिए, फ़ंक्शन f(x) f(x) 0 मान लेता है, अर्थात। इसके मूल्यों का सेट Eएफ є डी φ , जहां
दो फलन (z) = z की परिभाषा का क्षेत्र है।
№ 15
क्या फलन f(x) = x . है 2 आवधिक?
समाधान। x 0 पर विचार करें, फिर f(x) के लिए एक प्रतिलोम फलन √x है, जिसका अर्थ है कि इस अंतराल पर f(x) - मोनोटोनिक फ़ंक्शन, तो यह आवधिक नहीं हो सकता (देखें संख्या 10)।
№ 16
दिया गया एक बहुपद P(x) = a 0 + ए 1 एक्स + ए 2 एक्स + ... ए एन एक्स।
क्या P(x) एक आवर्त फलन है?
समाधान। 1. यदि सर्वसमिका स्थिर है, तो P(x) एक आवर्त फलन है, अर्थात्। यदि एकमैं = 0, जहां मैं 1.
2. मान लीजिए P(x) c, जहाँ c कुछ अचर है। मान लीजिए P(x) एक आवर्त फलन है, और मान लीजिए P(x) के वास्तविक मूल हैं, तब से P(x) एक आवर्त फलन है, तो उनकी अनंत संख्या अवश्य होनी चाहिए। और बीजगणित के मूल प्रमेय के अनुसार उनकी संख्या k ऐसी है कि k n। अतः P(x) आवर्त फलन नहीं है।
3. मान लीजिए कि P(x) एक बहुपद है जो समरूप रूप से अशून्य है और जिसका कोई वास्तविक मूल नहीं है। मान लीजिए कि P(x) एक आवर्त फलन है। हम बहुपद q(x) = a . का परिचय देते हैं 0 , q(х) एक आवर्त फलन है। अंतर पर विचार करें P(x) - q(x) = a 1 एक्स 2 + ... + ए एन एक्स एन।
इसलिये समानता के बाईं ओर एक आवधिक कार्य है, तो दाईं ओर का कार्य भी आवधिक है, इसके अलावा, इसमें कम से कम एक वास्तविक जड़ है, x \u003d 0। यदि फ़ंक्शन आवधिक है, तो अनंत संख्या में शून्य होना चाहिए। हमें एक विरोधाभास मिला।
P(x) आवर्त फलन नहीं है।
№ 17
फलन f(t) – T आवर्त है। क्या फलन fसे (टी), जहां
k Z, एक आवर्त फलन, उनके आवर्त कैसे संबंधित हैं?
समाधान। प्रमाण गणितीय कार्य की विधि द्वारा किया जाएगा। होने देना
एफ 1 = एफ (टी), फिर एफ 2 = एफ 2 (टी) = एफ (टी) एफ (टी),
एफ 3 \u003d एफ 3 (टी) \u003d एफ (टी) एफ 2 आइटम 4 की संपत्ति के अनुसार एक आवधिक कार्य है।
………………………………………………………………………….
चलो f k-1 = f k-1 (टी) एक आवधिक कार्य है और इसकी अवधिके-1 अवधि T के अनुरूप। हम अंतिम समानता के दोनों भागों को f(t) से गुणा करते हैं, हमें f . प्राप्त होता हैके-1 एफ (टी) = एफ (टी) एफ के -1 (टी),
एफ से = एफ से (टी) संपत्ति आइटम 4 द्वारा एक आवधिक कार्य है। .
№ 18
मान लीजिए f(x) पर परिभाषित एक मनमाना फलन है। क्या फलन f((x)) आवर्त है?
ए एन ई टी: हाँ, क्योंकि फ़ंक्शन (x) के मानों का सेट फ़ंक्शन f(x) की परिभाषा के डोमेन से संबंधित है, फिर गुण आइटम द्वारा 3 f((x)) एक आवर्त फलन है, इसकी अवधि = T = 1 है।
№ 19
F(x) [-1] पर परिभाषित एक मनमाना फलन है; 1], फलन f(sinx) आवर्त है?
उत्तर: हाँ, इसका आवर्त ω = T = 2π है (सबूत #18 के समान है)।
उद्देश्य: "कार्यों की अवधि" विषय पर छात्रों के ज्ञान को सामान्य और व्यवस्थित करना; एक आवर्त फलन के गुणों को लागू करने, किसी फलन की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि खोजने, आवधिक कार्यों की साजिश रचने में कौशल बनाने के लिए; गणित के अध्ययन में रुचि को बढ़ावा देना; अवलोकन, सटीकता की खेती करें।
उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, टास्क कार्ड, स्लाइड, घड़ियां, आभूषण टेबल, लोक शिल्प तत्व
"गणित वह है जो लोग प्रकृति और खुद को नियंत्रित करने के लिए उपयोग करते हैं"
एक। Kolmogorov
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक चरण।
पाठ के लिए छात्रों की तत्परता की जाँच करना। पाठ के विषय और उद्देश्यों की प्रस्तुति।
द्वितीय. गृहकार्य की जाँच करना।
हम नमूनों के अनुसार होमवर्क की जांच करते हैं, सबसे कठिन बिंदुओं पर चर्चा करते हैं।
III. ज्ञान का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण।
1. ओरल फ्रंटल वर्क।
सिद्धांत के प्रश्न।
1) फ़ंक्शन की अवधि की परिभाषा तैयार करें
2) फलनों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि क्या है y=sin(x), y=cos(x)
3))। कार्यों की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि क्या है y=tg(x), y=ctg(x)
4) संबंधों की शुद्धता साबित करने के लिए सर्कल का प्रयोग करें:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
टीजी(एक्स+π एन)=टीजीएक्स, एन जेड
सीटीजी(एक्स+π एन)=सीटीजीएक्स, एन ∈ जेड
sin(x+2π n)=sinx, n Z
cos(x+2π n)=cosx, n Z
5) आवधिक कार्य कैसे प्लॉट करें?
मौखिक व्यायाम।
1) निम्नलिखित संबंधों को सिद्ध कीजिए:
एक) पाप(740º) = पाप(20º)
बी) cos(54º) = cos(-1026º)
सी) पाप (-1000º) = पाप (80º)
2. सिद्ध कीजिए कि 540º का कोण फलन y=cos(2x) के आवर्तों में से एक है।
3. सिद्ध कीजिए कि 360º का कोण फलन y=tg(x) के आवर्तों में से एक है।
4. इन व्यंजकों को रूपांतरित करें ताकि उनमें शामिल कोण निरपेक्ष मान में 90º से अधिक न हों।
एक) टीजी375º
बी) सीटीजी530º
सी) पाप1268º
डी) cos(-7363º)
5. आप PERIOD, PERIODICITY शब्दों से कहां मिले?
छात्रों के उत्तर: संगीत में एक अवधि एक निर्माण है जिसमें कमोबेश पूर्ण संगीत विचार कहा जाता है। भूवैज्ञानिक काल एक युग का हिस्सा है और 35 से 90 मिलियन वर्ष की अवधि के साथ युगों में विभाजित है।
एक रेडियोधर्मी पदार्थ का आधा जीवन। आवधिक अंश। पत्रिकाएं मुद्रित प्रकाशन हैं जो कड़ाई से परिभाषित तिथियों पर दिखाई देते हैं। मेंडेलीव की आवधिक प्रणाली।
6. आंकड़े आवर्त फलनों के रेखांकन के कुछ हिस्सों को दिखाते हैं। समारोह की अवधि को परिभाषित करें। समारोह की अवधि निर्धारित करें।
उत्तर: टी = 2; टी = 2; टी = 4; टी = 8।
7. आप अपने जीवन में कहां दोहराए जाने वाले तत्वों के निर्माण से मिले हैं?
छात्र उत्तर देते हैं: आभूषण के तत्व, लोक कला।
चतुर्थ। सामूहिक समस्या समाधान।
(स्लाइड पर समस्या का समाधान।)
आइए हम आवधिकता के लिए किसी फलन का अध्ययन करने के तरीकों में से एक पर विचार करें।
यह विधि यह साबित करने से जुड़ी कठिनाइयों को दूर करती है कि एक या दूसरी अवधि सबसे छोटी है, और साथ ही आवधिक कार्यों पर अंकगणितीय संचालन और एक जटिल कार्य की आवधिकता के बारे में प्रश्नों को छूने की आवश्यकता नहीं है। तर्क केवल एक आवर्त फलन की परिभाषा पर और निम्नलिखित तथ्य पर आधारित है: यदि T फलन का आवर्त है, तो nT(n? 0) इसका आवर्त है।
समस्या 1. फलन f(x)=1+3(x+q>5) की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि ज्ञात कीजिए।
हल: मान लेते हैं कि इस फलन का T-अवधि है। फिर f(x+T)=f(x) सभी x D(f) के लिए, अर्थात।
1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(एक्स+टी+0.25)=(एक्स+0.25)
मान लीजिए x=-0.25 हमें मिलता है
(टी) = 0<=>टी = एन, एन जेड
हमने प्राप्त किया है कि माने गए फलन के सभी आवर्त (यदि वे मौजूद हैं) पूर्णांकों में से हैं। इन संख्याओं में से सबसे छोटी धनात्मक संख्या चुनें। यह 1 . आइए देखें कि क्या यह वास्तव में एक अवधि है 1 .
f(x+1)=3(x+1+0.25)+1
चूंकि (T+1)=(T) किसी भी T के लिए, फिर f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), यानी। 1 - अवधि एफ। चूँकि 1 सभी धनात्मक पूर्णांकों में सबसे छोटा है, तो T=1.
कार्य 2. दिखाएँ कि फलन f(x)=cos 2 (x) आवर्त है और इसका मुख्य आवर्त ज्ञात कीजिए।
कार्य 3. फ़ंक्शन की मुख्य अवधि ज्ञात करें
f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
फ़ंक्शन की टी-अवधि मान लें, फिर किसी के लिए एक्सअनुपात
sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
अगर एक्स = 0 तो
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5
यदि x=-T, तो
sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)
5= - sin(1.5T)+5cos(0.75T)
| sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 - sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5 |
जोड़ने पर, हमें मिलता है:
10cos(0.75T)=10
2π एन, एन € Z
आइए सबसे छोटी सकारात्मक अवधि के लिए "संदिग्ध" सभी संख्याओं में से चुनें और जांचें कि क्या यह एफ के लिए अवधि है। यह नंबर
f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)
अत: फलन f का मुख्य आवर्त है।
कार्य 4. जाँच करें कि क्या फलन f(x)=sin(x) आवर्त है
माना T फलन f का आवर्त है। फिर किसी x . के लिए
पाप|एक्स+टी|=पाप|एक्स|
यदि x=0, तो sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.
मान लीजिए। कि कुछ n के लिए संख्या n एक आवर्त है
माना कार्य n>0। फिर पाप|π n+x|=sin|x|
इसका तात्पर्य यह है कि n एक ही समय में सम और विषम दोनों होना चाहिए, जो असंभव है। इसलिए, यह फ़ंक्शन आवधिक नहीं है।
कार्य 5. जांचें कि क्या कार्य आवधिक है
एफ (एक्स) = 
माना T आवर्त f है, तब
, इसलिए sinT=0, T=π n, n € Z। आइए मान लें कि कुछ n के लिए संख्या π n वास्तव में दिए गए फ़ंक्शन की अवधि है। तब संख्या 2π n भी एक आवर्त होगा
चूँकि अंश समान हैं, इसलिए उनके हर भी हैं, इसलिए
अतः फलन f आवर्त नहीं है।
समूह के काम।
समूह 1 के लिए कार्य।
समूह 2 के लिए कार्य।
जाँच करें कि क्या फलन f आवर्त है और इसका मुख्य आवर्त ज्ञात कीजिए (यदि यह मौजूद है)।
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
समूह 3 के लिए कार्य।
काम के अंत में, समूह अपने समाधान प्रस्तुत करते हैं।
VI. पाठ को सारांशित करना।
प्रतिबिंब।
शिक्षक छात्रों को चित्र के साथ कार्ड देता है और पहली ड्राइंग के हिस्से पर पेंट करने की पेशकश करता है, जिस हद तक, जैसा कि उन्हें लगता है, उन्होंने आवधिकता के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करने के तरीकों में महारत हासिल की है, और दूसरी ड्राइंग के हिस्से में , पाठ में कार्य में उनके योगदान के अनुसार।
सातवीं। गृहकार्य
एक)। जांचें कि क्या फ़ंक्शन f आवधिक है और इसकी मुख्य अवधि ज्ञात करें (यदि यह मौजूद है)
बी)। f(x)=x 2 -2x+4
सी)। f(x)=2tg(3x+5)
2))। फलन y=f(x) की अवधि T=2 और f(x)=x 2 +2x x € [-2; 0]। व्यंजक -2f(-3)-4f(3,5) का मान ज्ञात कीजिए
साहित्य/
- मोर्दकोविच ए.जी.बीजगणित और गहन अध्ययन के साथ विश्लेषण की शुरुआत।
- गणित। परीक्षा की तैयारी। ईडी। लिसेंको एफ.एफ., कुलबुखोवा एस.यू.
- शेरेमेतयेवा टी.जी. , तारासोवा ई.ए.बीजगणित और ग्रेड 10-11 के लिए प्रारंभिक विश्लेषण।
हार्मोनिक विश्लेषण
परिचय.
आधुनिक विकासप्रौद्योगिकी इंजीनियरों के गणितीय प्रशिक्षण पर उच्च मांग करती है। यांत्रिकी और भौतिकी में कई विशिष्ट समस्याओं के निर्माण और अध्ययन के परिणामस्वरूप, त्रिकोणमितीय श्रृंखला का सिद्धांत उत्पन्न हुआ। फूरियर श्रृंखला दोलन के सिद्धांत और वर्णक्रमीय विश्लेषण के सिद्धांत पर आधारित प्रौद्योगिकी के सभी क्षेत्रों में सबसे महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। उदाहरण के लिए, डेटा ट्रांसमिशन सिस्टम में संकेतों का वर्णन करने के लिए प्रायोगिक उपयोगवर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व हमेशा फूरियर विस्तार के प्रयोगात्मक कार्यान्वयन की आवश्यकता की ओर जाता है। इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में त्रिकोणमितीय श्रृंखला की भूमिका आवधिक गैर-साइनसॉइडल धाराओं के अध्ययन में विशेष रूप से महान है: फ़ंक्शन का आयाम स्पेक्ट्रम फूरियर श्रृंखला का जटिल रूप में उपयोग करके पाया जाता है। फूरियर इंटीग्रल का उपयोग गैर-आवधिक प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।
त्रिकोणमितीय श्रृंखला में गणित की कई शाखाओं में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं और गणितीय भौतिकी में कठिन समस्याओं को हल करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक तरीके प्रदान करते हैं, जैसे कि एक स्ट्रिंग का कंपन और एक रॉड में गर्मी का प्रसार।
आवधिक कार्य।
विज्ञान और प्रौद्योगिकी की कई समस्याएं आवधिक कार्यों से जुड़ी हैं जो चक्रीय प्रक्रियाओं को दर्शाती हैं।
परिभाषा 1.आवधिक घटना को घटना कहा जाता है जो एक ही क्रम में और एक ही रूप में तर्क के निश्चित अंतराल पर दोहराता है।
उदाहरण। वर्णक्रमीय विश्लेषण में - स्पेक्ट्रा।
परिभाषा 2.समारोह पर = एफ(एक्स) को आवर्त के साथ आवर्त कहा जाता है टी, यदि एफ(एक्स + टी) = एफ(एक्स) सभी के लिए एक्सतथा एक्स + टीसमारोह के दायरे से।
चित्र में, चित्रित कार्य की अवधि टी = 2.
परिभाषा 3.किसी फलन के सबसे छोटे धनात्मक आवर्त को मुख्य आवर्त कहते हैं।
जहां किसी को आवधिक घटनाओं से निपटना होता है, त्रिकोणमितीय कार्य लगभग हमेशा सामने आते हैं।
कार्य अवधि 
बराबर है , कार्यों की अवधि 
के बराबर है ।
अवधि त्रिकोणमितीय फलनतर्क के साथ ( ओह) सूत्र द्वारा पाया जाता है:
.
उदाहरण।कार्यों की मुख्य अवधि खोजें 1) 
.
समाधान. 1) . 2) .
लेम्मा।यदि एक एफ(एक्स) एक अवधि है टी, फिर इस फ़ंक्शन का अभिन्न, भिन्न सीमा के भीतर लिया गया टी, निम्न एकीकरण सीमा के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात, =।
मुश्किल की मुख्य अवधिआवधिक कार्य पर = एफ(एक्स) (आवधिक कार्यों के योग से मिलकर) घटक कार्यों की अवधियों का सबसे कम सामान्य गुणक है।
यानी अगर एफ(एक्स) = एफ 1 (एक्स) + एफ 2 (एक्स), टी 1 - कार्य अवधि एफ 1 (एक्स), टी 2 - कार्य अवधि एफ 2 (एक्स), फिर सबसे छोटी सकारात्मक अवधि टीशर्त को पूरा करना चाहिए:
टी = एनटीई 1 + के.टी. 2, जहां(*) –
