इस लेख में, हम सकारात्मक संख्याओं को ऋणात्मक संख्याओं से विभाजित करने पर विचार करेंगे और इसके विपरीत। हम विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के नियम का विस्तृत विश्लेषण देंगे और उदाहरण भी देंगे।

विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को विभाजित करने का नियम

पूर्णांकों के विभाजन पर लेख में प्राप्त विभिन्न चिह्नों वाले पूर्णांकों का नियम परिमेय और वास्तविक संख्याओं के लिए भी मान्य है। आइए हम इस नियम का अधिक सामान्य सूत्रीकरण करें।

विभिन्न चिन्हों से संख्याओं को विभाजित करने का नियम

एक सकारात्मक संख्या को एक ऋणात्मक और इसके विपरीत से विभाजित करते समय, आपको भाजक मापांक द्वारा लाभांश मापांक को विभाजित करने की आवश्यकता होती है, और परिणाम को ऋण चिह्न के साथ लिखना होता है।

शाब्दिक रूप में, यह इस तरह दिखता है:

ए - बी = - ए बी

ए बी = - ए ÷ बी।

भिन्न-भिन्न चिह्नों वाली संख्याओं को विभाजित करने पर हमेशा ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है। माना गया नियम, वास्तव में, विभिन्न संकेतों के साथ संख्याओं के विभाजन को सकारात्मक संख्याओं के विभाजन तक कम कर देता है, क्योंकि लाभांश और भाजक के मॉड्यूल सकारात्मक होते हैं।

इस नियम का एक अन्य समकक्ष गणितीय सूत्रीकरण है:

ए बी = ए बी - 1

संख्याओं को विभाजित करने के लिए और अलग-अलग चिन्हों को समझने के लिए, आपको संख्या ए को संख्या बी के पारस्परिक रूप से गुणा करना होगा, यानी बी -1। यह सूत्रीकरण परिमेय और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर लागू होता है, यह आपको भाग से गुणा तक जाने की अनुमति देता है।

आइए अब विचार करें कि ऊपर वर्णित सिद्धांत को व्यवहार में कैसे लागू किया जाए।

संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से कैसे विभाजित करें? उदाहरण

नीचे हम कुछ विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करते हैं।

उदाहरण 1. संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से कैसे विभाजित करें?

भाग - 35 को 7 से विभाजित करें।

सबसे पहले, आइए लाभांश और भाजक के मॉड्यूल लिखें:

35 = 35 , 7 = 7 .

अब मॉड्यूल को अलग करते हैं:

35 7 = 35 7 = 5 .

हम परिणाम के सामने एक ऋण चिह्न जोड़ते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

अब आइए नियम के एक भिन्न सूत्रीकरण का उपयोग करें और 7 के व्युत्क्रम की गणना करें।

अब गुणन करते हैं:

35 1 7 = - - 35 1 7 = - 35 7 = - 5।

उदाहरण 2. संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से कैसे विभाजित करें?

यदि हम भिन्नात्मक संख्याओं को परिमेय चिह्नों से विभाजित करते हैं, तो भाज्य और भाजक को साधारण भिन्नों के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

उदाहरण 3. संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से कैसे विभाजित करें?

मिश्रित संख्या - 3 3 22 को दशमलव भिन्न 0 , (23) से भाग दें।

लाभांश और भाजक के मॉड्यूल क्रमशः 3 3 22 और 0 , (23) हैं। 3 3 22 को एक उभयनिष्ठ भिन्न में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं:

3 3 22 = 3 22 + 3 22 = 69 22।

हम भाजक को एक उभयनिष्ठ भिन्न के रूप में भी निरूपित कर सकते हैं:

0 , (23) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 - 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .

अब हम साधारण भिन्नों को विभाजित करते हैं, कटौती करते हैं और परिणाम प्राप्त करते हैं:

69 22 23 99 = - 69 22 99 23 = - 3 2 9 1 = - 27 2 = - 13 1 2।

अंत में, उस मामले पर विचार करें जब लाभांश और भाजक अपरिमेय संख्याएँ हों और उन्हें मूल, लघुगणक, घात आदि के रूप में लिखा जाता हो।

ऐसी स्थिति में भागफल को संख्यात्मक व्यंजक के रूप में लिखा जाता है, जिसे यथासंभव सरल बनाया जाता है। यदि आवश्यक हो, तो इसके अनुमानित मूल्य की गणना आवश्यक सटीकता के साथ की जाती है।

उदाहरण 4. संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से कैसे विभाजित करें?

संख्याओं 5 7 और - 2 3 को विभाजित करें।

संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने के नियम के अनुसार, हम समानता लिखते हैं:

5 7 - 2 3 = - 5 7 - 2 3 = - 5 7 ÷ 2 3 = - 5 7 2 3 ।

आइए हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाएं और अंतिम उत्तर प्राप्त करें:

5 7 2 3 = - 5 4 3 14 .

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कक्षा: 6

"ज्ञान तथ्यों का संग्रह है। बुद्धि उनका उपयोग करने की क्षमता है

पाठ का उद्देश्य: 1) सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को गुणा करने के लिए नियम की व्युत्पत्ति; इन नियमों को सरलतम मामलों में लागू करने के तरीके;
2) तुलना करने, पैटर्न की पहचान करने, सामान्यीकरण करने के लिए कौशल का विकास;
3) व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों और विधियों की खोज;
4) एक मिनी-प्रोजेक्ट बनाएं। समाचार पत्रिका।

उपकरण:थर्मामीटर मॉडल, आपसी सिम्युलेटर के लिए कार्ड, प्रोजेक्टर।

कक्षाओं के दौरान

अभिवादन। यह पता लगाने के लिए कि आज हम किस नए विषय पर विचार करेंगे, मानसिक गणना से हमें मदद मिलेगी। उदाहरणों की गणना करें, "संख्या-अक्षर" का उपयोग करके उत्तरों को अक्षरों से बदलें।

स्लाइड #1 थोड़ा सोचें

स्लाइड 2 यह कौन है?

7 वीं शताब्दी में रहने वाले भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने सकारात्मक संख्याओं को "संपत्ति" के रूप में, नकारात्मक संख्याओं को "ऋण" के रूप में दर्शाया।
उन्होंने सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियम इस प्रकार व्यक्त किए:
"दो संपत्तियों का योग संपत्ति है":

"दो ऋणों का योग ऋण है":

और "ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं का गुणन" विषय पर विचार करने के बाद हम नियम सीखेंगे
आपका काम सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को गुणा करना सीखना है, साथ ही नकारात्मक संख्याओं को कैसे गुणा करना है।
हम मिनी प्रोजेक्ट बनाएंगे।
छोटा प्रोजेक्ट।
समाचार पत्रिका
"सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं का गुणन"

समूह कार्य (4 समूह)।(कार्रवाई एक गणितीय सिम्युलेटर में रखी गई है)

कार्य 1 (1 समूह)
हवा का तापमान हर घंटे दो डिग्री गिर जाता है। अब थर्मामीटर शून्य डिग्री दिखाता है। तीन घंटे में यह कितना तापमान दिखाएगा? इसे एक निर्देशांक रेखा पर खींचिए। ऐसे ही उदाहरण दीजिए। निष्कर्ष निकालें और सामान्यीकरण करें।
समाधान: चूंकि अब तापमान शून्य डिग्री है और हर घंटे 2 डिग्री गिर जाता है, तो 3 घंटे में -6 के बराबर हो जाएगा,
(-2) 3=-(2 3)=-6

कार्य 1 (समूह 2)
हवा का तापमान हर घंटे दो डिग्री गिर जाता है। अब थर्मामीटर शून्य डिग्री दिखाता है। 3 घंटे पहले थर्मामीटर ने हवा का तापमान क्या दिखाया? इसे एक निर्देशांक रेखा पर खींचिए। निष्कर्ष निकालें।
समाधान: चूंकि तापमान हर घंटे दो डिग्री गिर जाता है, और अब यह शून्य डिग्री है, 3 घंटे पहले यह +6 था।
(-2) (-3)=2 3=6

कार्य 1 (समूह 3)
कारखाने में एक दिन में 200 पुरुषों के सूट का उत्पादन होता है। जब उन्होंने एक नई शैली के सूट का उत्पादन शुरू किया, तो प्रति सूट कपड़े की खपत -0.4 एम 2 से बदल गई थी। प्रति दिन सूट के लिए कपड़े की कीमत में कितना बदलाव आया?
समाधान: इसका मतलब है कि प्रति दिन सूट के लिए कपड़े की लागत - 80 से बदल गई है।
(-0.4) 200=-(0.4 200)=-80।

कार्य 1 (समूह 4)
हवा का तापमान हर घंटे दो डिग्री गिर जाता है। अब थर्मामीटर शून्य डिग्री दिखाता है। 4 घंटे पहले थर्मामीटर ने हवा का तापमान क्या दिखाया?
समाधान: चूंकि तापमान हर घंटे दो डिग्री गिर जाता है, और अब यह शून्य डिग्री है, तो 4 घंटे पहले यह +8 के बराबर था, यानी
(-2) (-4)=2 4=8

निष्कर्ष (छात्र न्यूजलेटर के लेआउट में जानकारी दर्ज करते हैं)।

स्लाइड #4 इसके बारे में सोचें।

अध्ययन की प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग।
बोर्ड पर और क्षेत्र में (न्यूज़लेटर लेआउट का उपयोग करके) टेबल के साथ काम करें।

हम नियम दोहराते हैं (छात्रों द्वारा प्रश्न पूछे जाते हैं)।
पाठ्यपुस्तक के साथ काम करना:

• 1 छात्र: संख्या 1105 (एफ, एच, आई) 2 छात्र: संख्या 1105 (के, एल, एम)
• नंबर 1107 (हम समूहों में काम करते हैं) 1 समूह: ए), डी);

दूसरा समूह: बी), ई);
समूह 3: सी), डी)।
शारीरिक शिक्षा (2 मि.)
हम सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के समीकरण के लिए नियम दोहराते हैं।

स्लाइड नंबर 5 टास्क 2

टास्क 2 (सभी समूहों के लिए समान)।

क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण लागू करें, कई संख्याओं को गुणा करें और निष्कर्ष निकालें:

यदि ऋणात्मक गुणनखंडों की संख्या सम है, तो गुणनफल संख्या _?_ है

यदि ऋणात्मक गुणनखंडों की संख्या विषम है, तो गुणनफल संख्या _?_ है

न्यूज़लेटर लेआउट में अधिक जानकारी जोड़ें।

स्लाइड नंबर 6 संकेतों का नियम।

उत्पाद का संकेत निर्धारित करें:
1) "+" "-" "-" "+" "-" "-"
2) "-" "-" "-" "+" "+"
·«+»·«-»·«-»
3) "-" "+" "-" "-" "+" "+"
·«-»·«+»·«-»·«-»·«+»

तो, आइए पूरे बुलेटिन को देखें और कार्ड पर कार्यों को हल करने के लिए उन्हें लागू करने के नियमों को दोहराएं।
ट्रेनर (4 विकल्प)।

अपने आप को जांचो।
कार्डों के उत्तर।

	1 विकल्प	विकल्प 2	3 विकल्प	4 विकल्प
1)	18	20	24	18
2)	-20	-18	-18	-24
3)	-24	16	24	18
4)	15	-15	1	-2
5)	-4	0	-5	0
6)	0	2	2	-5
7)	-1	-3	-1,5	-3
8)	-0,8	-3,5	-4,8	3,6

अब चलो निपटते हैं गुणन और भाग.

मान लीजिए हमें +3 को -4 से गुणा करना है। यह कैसे करना है?

आइए ऐसे ही एक मामले पर विचार करें। तीन लोग कर्ज में डूब गए, और प्रत्येक पर 4 डॉलर का कर्ज है। कुल कर्ज क्या है? इसे खोजने के लिए, आपको तीनों ऋणों को जोड़ना होगा: $4 + $4 + $4 = $12। हमने तय किया है कि तीन संख्याओं 4 के योग को 3 × 4 के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि इस मामले में हम कर्ज के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए 4 के सामने "-" चिन्ह है। हम जानते हैं कि कुल कर्ज $12 है, इसलिए अब हमारी समस्या 3x(-4)=-12 है।

हमें वही परिणाम मिलेगा, अगर समस्या की स्थिति के अनुसार, चार लोगों में से प्रत्येक पर 3 डॉलर का कर्ज है। दूसरे शब्दों में, (+4)x(-3)=-12. और चूँकि गुणनखंडों का क्रम मायने नहीं रखता, हमें (-4)x(+3)=-12 और (+4)x(-3)=-12 प्राप्त होता है।

आइए परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें। एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या को गुणा करने पर, परिणाम हमेशा एक ऋणात्मक संख्या होगी। उत्तर का संख्यात्मक मान वही होगा जो धनात्मक संख्याओं के मामले में होता है। उत्पाद (+4)x(+3)=+12. "-" चिन्ह की उपस्थिति केवल चिन्ह को प्रभावित करती है, लेकिन संख्यात्मक मान को प्रभावित नहीं करती है।

आप दो ऋणात्मक संख्याओं को कैसे गुणा करते हैं?

दुर्भाग्य से, इस विषय पर जीवन से एक उपयुक्त उदाहरण के साथ आना बहुत मुश्किल है। ऋण में $3 या $4 की कल्पना करना आसान है, लेकिन -4 या -3 लोगों के कर्ज में डूबने की कल्पना करना पूरी तरह से असंभव है।

शायद हम दूसरे रास्ते से जाएंगे। गुणन में, किसी एक कारक का चिन्ह बदलने से उत्पाद का चिन्ह बदल जाता है। यदि हम दोनों कारकों के संकेत बदलते हैं, तो हमें संकेतों को दो बार बदलना होगा उत्पाद चिह्न, पहले सकारात्मक से नकारात्मक तक, और फिर इसके विपरीत, नकारात्मक से सकारात्मक की ओर, यानी उत्पाद का अपना मूल चिन्ह होगा।

इसलिए, यह काफी तार्किक है, हालांकि थोड़ा अजीब है, कि (-3)x(-4)=+12।

साइन पोजीशनगुणा करने पर यह इस तरह बदलता है:

• धनात्मक संख्या x धनात्मक संख्या = धनात्मक संख्या;
• ऋणात्मक संख्या x धनात्मक संख्या = ऋणात्मक संख्या;
• धनात्मक संख्या x ऋणात्मक संख्या = ऋणात्मक संख्या;
• ऋणात्मक संख्या x ऋणात्मक संख्या = धनात्मक संख्या।

दूसरे शब्दों में, दो संख्याओं को एक ही चिन्ह से गुणा करने पर हमें एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है. दो संख्याओं को अलग-अलग चिह्नों से गुणा करने पर, हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है.

गुणन के विपरीत क्रिया के लिए भी यही नियम सत्य है - के लिए।

आप इसे चलाकर आसानी से सत्यापित कर सकते हैं उलटा गुणन संचालन. यदि ऊपर दिए गए प्रत्येक उदाहरण में, आप भागफल को भाजक से गुणा करते हैं, तो आपको लाभांश मिलता है, और सुनिश्चित करें कि इसका एक ही चिन्ह है, जैसे (-3)x(-4)=(+12)।

चूंकि सर्दी आ रही है, इसलिए यह सोचने का समय है कि अपने लोहे के घोड़े को किस रूप में बदलना है, ताकि बर्फ पर फिसलें नहीं और सर्दियों की सड़कों पर आत्मविश्वास महसूस करें। उदाहरण के लिए, आप वेबसाइट पर योकोहामा टायर ले सकते हैं: mvo.ru या कुछ अन्य, मुख्य बात यह है कि यह उच्च गुणवत्ता का होगा, आप वेबसाइट Mvo.ru पर अधिक जानकारी और कीमतें पा सकते हैं।

इस लेख का फोकस है ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन. पहले ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक से भाग देने का नियम दिया जाता है, उसके औचित्य दिए जाते हैं, और फिर ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण हलों के विस्तृत विवरण के साथ दिए जाते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियम

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियम देने से पहले, आइए हम विभाजन क्रिया का अर्थ याद करें। इसके सार में विभाजन एक ज्ञात उत्पाद और एक ज्ञात अन्य कारक द्वारा अज्ञात कारक खोजने का प्रतिनिधित्व करता है। अर्थात्, संख्या c एक का भागफल है जिसे b से विभाजित किया जाता है जब c b=a , और इसके विपरीत, यदि c b=a , तो a:b=c ।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियमनिम्नलिखित: एक ऋणात्मक संख्या को दूसरी से विभाजित करने का भागफल हर के मापांक द्वारा अंश को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है।

आइए अक्षरों का उपयोग करते हुए आवाज वाले नियम को लिखें। यदि a और b ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो समानता ए:बी=|ए|:|बी| .

समानता a:b=a b −1 से शुरू करके सिद्ध करना आसान है वास्तविक संख्याओं के गुणन के गुणऔर पारस्परिक संख्याओं की परिभाषा। दरअसल, इस आधार पर, कोई फॉर्म की समानता की एक श्रृंखला लिख ​​सकता है (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, जो लेख की शुरुआत में उल्लिखित विभाजन की भावना के आधार पर साबित करता है कि a · b - 1 a को b से विभाजित करने का भागफल है।

और यह नियम आपको ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने से गुणा करने की अनुमति देता है।

उदाहरणों को हल करते समय ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के लिए विचार किए गए नियमों के आवेदन पर विचार करना बाकी है।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

आइए विश्लेषण करें ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन के उदाहरण. आइए सरल मामलों से शुरू करते हैं, जिन पर हम विभाजन नियम के आवेदन पर काम करेंगे।

उदाहरण।

ऋणात्मक संख्या −18 को ऋणात्मक संख्या −3 से विभाजित करें, फिर भागफल (−5):(−2) की गणना करें।

समाधान।

ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन के नियम के अनुसार −18 को −3 से भाग देने वाला भागफल इन संख्याओं के मापांक को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है। चूँकि |−18|=18 और |−3|=3 , तो (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , यह केवल प्राकृत संख्याओं का विभाजन करने के लिए रहता है, हमारे पास 18:3=6 है।

हम समस्या के दूसरे भाग को उसी तरह हल करते हैं। चूँकि |−5|=5 और |−2|=2 , तो (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . यह भागफल एक साधारण भिन्न 5/2 से मेल खाता है, जिसे मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है।

नकारात्मक संख्याओं को विभाजित करने के लिए एक अलग नियम का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किए जाते हैं। वास्तव में, संख्या −3 संख्या का व्युत्क्रम है, तो , अब हम ऋणात्मक संख्याओं का गुणन करते हैं: . वैसे ही, ।

उत्तर:

(−18):(−3)=6 और .

भिन्नात्मक परिमेय संख्याओं को विभाजित करते समय, साधारण भिन्नों के साथ काम करना सबसे सुविधाजनक होता है। लेकिन, यदि सुविधाजनक हो, तो आप दशमलव भिन्नों को विभाजित और अंतिम कर सकते हैं।

उदाहरण।

संख्या -0.004 को -0.25 से भाग दें।

समाधान।

लाभांश और भाजक के मॉड्यूल क्रमशः 0.004 और 0.25 हैं, फिर, ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियम के अनुसार, हमारे पास है (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• या एक कॉलम द्वारा दशमलव अंशों का विभाजन करना,
• या दशमलव से साधारण भिन्नों में जाएँ, और फिर संगत साधारण भिन्नों को विभाजित करें।

आइए दोनों दृष्टिकोणों पर एक नज़र डालें।

एक कॉलम में 0.004 को 0.25 से विभाजित करने के लिए, पहले अल्पविराम 2 अंकों को दाईं ओर ले जाएं, जबकि 0.4 को 25 से विभाजित करें। अब हम एक कॉलम द्वारा विभाजन करते हैं:

तो 0.004:0.25=0.016।

और अब आइए दिखाते हैं कि यदि हम दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न में बदलने का निर्णय लेते हैं तो समाधान कैसा दिखेगा। इसलिये और फिर , और निष्पादित करें

इस पाठ में हम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने के नियमों की समीक्षा करेंगे। हम यह भी सीखेंगे कि विभिन्न चिह्नों से संख्याओं का गुणा कैसे किया जाता है और गुणन के लिए चिह्नों के नियम कैसे सीखे जाते हैं। सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के गुणन के उदाहरणों पर विचार करें।

ऋणात्मक संख्याओं के मामले में शून्य से गुणा करने का गुण सत्य रहता है। किसी भी संख्या से शून्य का गुणा शून्य होता है।

ग्रन्थसूची

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेस्नोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम .: निमोसिन, 2012।
2. मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.वी., याकिर एम.एस. गणित छठी कक्षा। - व्यायामशाला। 2006.
3. डेपमैन I.Ya।, विलेनकिन N.Ya। गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। - एम .: ज्ञानोदय, 1989।
4. रुरुकिन ए.एन., त्चिकोवस्की आई.वी. गणित ग्रेड 5-6 के पाठ्यक्रम के लिए कार्य। - एम .: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., त्चिकोवस्की के.जी. गणित 5-6. एमईपीएचआई पत्राचार स्कूल के छठी कक्षा के छात्रों के लिए एक मैनुअल। - एम .: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
6. शेवरिन एल.एन., गेइन ए.जी., कोर्याकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: हाई स्कूल के 5-6 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक-वार्ताकार। - एम।: शिक्षा, गणित शिक्षक पुस्तकालय, 1989।

गृहकार्य

1. इंटरनेट पोर्टल Mnemonica.ru ()।
2. इंटरनेट पोर्टल Youtube.com ()।
3. इंटरनेट पोर्टल School-assistant.ru ()।
4. इंटरनेट पोर्टल Bymath.net ()।