सामान्य वैक्टर ऐसे वैक्टर नहीं हैं जो अच्छा कर रहे हैं, या जो अच्छा महसूस करते हैं। परिभाषा के अनुसार, एक विमान के लिए एक सामान्य वेक्टर (सामान्य) दिए गए विमान के लंबवत एक वेक्टर है।

दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए विमान में किसी भी वेक्टर के लिए एक सामान्य एक वेक्टर लंबवत है। निश्चित रूप से आप इस तरह की परिभाषा से परिचित हो गए हैं - हालांकि, वैक्टर के बजाय, यह सीधी रेखाओं के बारे में था। हालाँकि, इसके ठीक ऊपर दिखाया गया था कि C2 समस्या में कोई भी किसी भी सुविधाजनक वस्तु के साथ काम कर सकता है - यहाँ तक कि एक सीधी रेखा, यहाँ तक कि एक वेक्टर भी।

मैं आपको एक बार फिर याद दिला दूं कि अंतरिक्ष में किसी भी तल को समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहां A, B, C और D कुछ गुणांक हैं। समाधान की व्यापकता को कम किए बिना, हम डी = 1 मान सकते हैं यदि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है, या डी = 0 यदि ऐसा होता है। किसी भी स्थिति में, इस तल के अभिलंब सदिश के निर्देशांक n = (A; B; C) हैं।

तो, विमान को एक वेक्टर द्वारा भी सफलतापूर्वक बदला जा सकता है - वही सामान्य। अंतरिक्ष में किसी भी विमान को तीन बिंदुओं से परिभाषित किया जाता है। समतल का समीकरण कैसे ज्ञात करें (और इसलिए सामान्य), हम पहले ही लेख की शुरुआत में चर्चा कर चुके हैं। हालाँकि, यह प्रक्रिया कई लोगों के लिए समस्याएँ पैदा करती है, इसलिए मैं कुछ और उदाहरण दूंगा:

· एक कार्य . खंड A 1 BC 1 घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 में खींचा गया है। इस खंड के तल के लिए सामान्य वेक्टर खोजें, यदि मूल बिंदु A पर है, और x, y, और z अक्ष क्रमशः AB, AD और AA 1 के किनारों के साथ मेल खाते हैं।

समाधान. चूंकि विमान मूल बिंदु से नहीं गुजरता है, इसलिए इसका समीकरण इस तरह दिखता है: Ax + By + Cz + 1 = 0, यानी। गुणांक डी \u003d 1. चूंकि यह विमान बिंदु ए 1, बी और सी 1 से गुजरता है, इन बिंदुओं के निर्देशांक विमान के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

ए 0 + बी 0 + सी 1 + 1 = 0 सी + 1 = 0 ⇒ सी = - 1;

इसी तरह, अंक बी = (1; 0; 0) और सी 1 = (1; 1; 1) के लिए हम समीकरण प्राप्त करते हैं:
ए 1 + बी 0 + सी 0 + 1 = 0 ⇒ ए + 1 = 0 ⇒ ए = - 1;
ए 1 + बी 1 + सी 1 + 1 = 0 ए + बी + सी + 1 = 0;

लेकिन गुणांक A = - 1 और C = - 1 हमें पहले से ही ज्ञात हैं, इसलिए यह गुणांक B ज्ञात करना बाकी है:
बी = - 1 - ए - बी = - 1 + 1 + 1 = 1।

हमें समतल का समीकरण प्राप्त होता है: - A + B - C + 1 = 0, इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (- 1; 1; - 1) हैं।

उत्तर: n = (− 1; 1; - 1)

· एक कार्य . एक खंड एए 1 सी 1 सी क्यूब एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 में खींचा गया है। इस खंड के विमान के लिए सामान्य वेक्टर खोजें यदि मूल बिंदु ए पर है, और एक्स, वाई और जेड अक्ष के साथ मेल खाते हैं किनारों एबी, एडी और एए 1 क्रमशः।

समाधान. पर ये मामलाविमान मूल से गुजरता है, इसलिए गुणांक डी \u003d 0, और विमान का समीकरण इस तरह दिखता है: कुल्हाड़ी + बाय + सीजेड \u003d 0. चूंकि विमान बिंदु ए 1 और सी से गुजरता है, इन बिंदुओं के निर्देशांक समतल के समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदलें।

आइए हम x, y और z के बजाय बिंदु A 1 = (0; 0; 1) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें। हमारे पास है:
ए 0 + बी 0 + सी 1 = 0 ⇒ सी = 0;

इसी तरह, बिंदु C = (1; 1; 0) के लिए हमें समीकरण मिलता है:
ए 1 + बी 1 + सी 0 = 0 ⇒ ए + बी = 0 ए = - बी;

मान लीजिए B = 1. तब A = - B = - 1, और पूरे तल का समीकरण है: - A + B = 0। इसलिए, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक n = (-1; 1; 0) हैं।

उत्तर: n = (− 1; 1; 0)

सामान्यतया, उपरोक्त समस्याओं में समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करना और उसे हल करना आवश्यक है। तीन समीकरण और तीन चर होंगे, लेकिन दूसरे मामले में उनमें से एक मुक्त होगा, अर्थात। मनमाना मूल्य लें। इसलिए हमारे पास समाधान की व्यापकता और उत्तर की शुद्धता पर प्रतिकूल प्रभाव डाले बिना B = 1 लगाने का अधिकार है।

ठेठ वेक्टर विमान(या सामान्य विमान) दिए गए पर लंबवत वेक्टर कहा जाता है विमान. एक विमान को परिभाषित करने के तरीकों में से एक इसके सामान्य के निर्देशांक और एक बिंदु पर स्थित है विमान. यदि विमान समीकरण द्वारा दिया गया है Ax+By+Cz+D=0, फिर निर्देशांक (ए;बी;सी) के साथ वेक्टर इसके लिए विशिष्ट है। अन्य मामलों में, एक विशिष्ट वेक्टर की गणना करने में कुछ काम लगेगा।

अनुदेश

1. मान लीजिए कि विमान तीन बिंदुओं K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp) से संबंधित है। एक विशिष्ट वेक्टर खोजने के लिए, हम इसके लिए एक समीकरण तैयार करेंगे विमान. पर पड़े एक मनमाना बिंदु को नामित करें विमान, अक्षर L, इसके निर्देशांक (x; y; z) होने दें। अब तीन सदिश PK, PM और PL पर विचार करें, वे एक ही पर स्थित हैं विमान(कोप्लानार), इसलिए उनका मिश्रित उत्पाद शून्य है।

2. PK, PM और PL वैक्टर के निर्देशांक का पता लगाएं: PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)PL = (x-xp;y-yp) ; z-zp) इन सदिशों का मिश्रित गुणनफल चित्र में दर्शाए गए सारणिक के बराबर होगा। के लिए समीकरण खोजने के लिए इस निर्धारक की गणना की जानी चाहिए विमान. किसी विशिष्ट मामले के लिए मिश्रित उत्पाद की गणना के लिए, उदाहरण देखें।

3. उदाहरण मान लीजिए कि समतल को तीन बिंदुओं K(2;1;-2), M(0;0;-1) और P(1;8;1) द्वारा परिभाषित किया गया है। एक विशिष्ट वेक्टर खोजने की आवश्यकता है विमाननिर्देशांक (x;y;z) के साथ एक मनमाना बिंदु L लें। पीके, पीएम और पीएल वैक्टर की गणना करें: पीके = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)पीएम = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)PL = (x-1;y-8;z-1) सदिशों के मिश्रित गुणनफल के लिए सारणिक बनाएं (यह चित्र में है)।

4. अब पहली पंक्ति के साथ सारणिक का विस्तार करें, और उसके बाद आकार 2 के निर्धारकों के मूल्यों की गणना 2 से करें। इस प्रकार, समीकरण विमान-10x + 5y - 15z - 15 \u003d 0 या, जो समान है, -2x + y - 3z - 3 \u003d 0. यहां से सामान्य वेक्टर को निर्धारित करना आसान है विमान: एन = (-2;1;-3)।

प्रश्न का उत्तर देने से पहले, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि किस प्रकार का सामान्य देखना है। इस मामले में, मोटे तौर पर, समस्या में एक निश्चित सतह पर विचार किया जाता है।

अनुदेश

1. समस्या को हल करना शुरू करते समय, यह याद रखना चाहिए कि सतह पर सामान्य को स्पर्शरेखा विमान के सामान्य के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसके आधार पर समाधान पद्धति का चयन किया जाएगा।

2. 2 चरों z=f(x, y)=z(x, y) के एक फलन का ग्राफ अंतरिक्ष में एक सतह है। इस प्रकार, यह अक्सर सभी के द्वारा पूछा जाता है। सबसे पहले, आपको किसी बिंदु М0(x0, y0, z0) पर सतह पर स्पर्शरेखा विमान खोजने की आवश्यकता है, जहां z0=z(x0, y0)।

3. ऐसा करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि एक तर्क के एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का कोणीय घातांक है जहां y0=f(x0)। 2 तर्कों के फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न "अनावश्यक" तर्क को ठीक उसी तरह ठीक करके पाए जाते हैं जैसे सामान्य कार्यों के डेरिवेटिव। इसका अर्थ यह है कि बिंदु (x0,y0) पर फ़ंक्शन z=z(x, y) के x के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ यह है कि इसका कोणीय घातांक प्रतिच्छेदन द्वारा गठित तिरछी स्पर्शरेखा के बराबर है सतह और तल का y=y0 (चित्र 1 देखें)।

4. अंजीर में परिलक्षित डेटा। 1 हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि y=y0: m(x-x0)=(z) पर खंड में बिंदु М0(xo, y0, z0) युक्त सतह z=z(x, y) पर स्पर्शरेखा का समीकरण -z0), y =y0। विहित रूप में इसे लिखने की अनुमति है: (x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. मतलब मार्गदर्शन करना वेक्टरयह स्पर्शरेखा s1(1/m, 0, 1)।

5. अब, यदि y के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के लिए स्पर्शरेखा के कोणीय घातांक को n द्वारा निरूपित किया जाता है, तो यह पूरी तरह से दिखाई देता है कि, पिछले व्यंजक की तरह, यह (y-y0)/(1/n)= की ओर ले जाएगा। (z-z0), x=x0 और s2( 0, 1/n, 1)।

6. इसके अलावा, स्पर्शरेखा विमान के समीकरण की खोज के रूप में समाधान की गति को रुकने और वांछित सामान्य n पर जाने की अनुमति है। आप इसे इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं वेक्टरनया उत्पाद एन =। इसकी गणना करके, यह निर्धारित किया जाएगा कि में दिया गया बिंदुसतहें (x0, y0, z0)। एन = (-1 / एन, -1 / एम, 1 / एमएन)।

7. क्योंकि हर आनुपातिक वेक्टरभी रहेगा वेक्टरसामान्य के ओम, परिणाम को n=(-n, -m, 1) और अंत में n(dz/dx, dz/dx, -1) के रूप में प्रस्तुत करना अधिक सुविधाजनक है।

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टिप्पणी!
एक खुली सतह के दो पहलू होते हैं। इस मामले में, परिणाम "ऊपरी" पक्ष के लिए दिया जाता है, जहां सामान्य रूप तेज़ कोने 0Z अक्ष के साथ।

के लिये वैक्टरकाम के दो प्रतिनिधित्व हैं। उनमें से एक अदिश है काम, दूसरा वेक्टर है। इनमें से प्रत्येक अभ्यावेदन का अपना गणितीय और भौतिक अर्थ होता है और इसकी गणना पूरी तरह से अलग तरीके से की जाती है।

अनुदेश

1. त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो वैक्टर पर विचार करें। निर्देशांक के साथ वेक्टर a (xa; ya; za) और वेक्टर b निर्देशांक (xb; yb; zb) के साथ। अदिश काम वैक्टरए और बी को (ए, बी) द्वारा दर्शाया जाता है। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है: (a,b) = |a|*|b|*cosα, जहां α दो सदिशों के बीच का कोण है। इसे अदिश की गणना करने की अनुमति है कामनिर्देशांक में: (ए, बी) = xa*xb + ya*yb + za*zb। एक सदिश के अदिश वर्ग का भी निरूपण होता है, यह अदिश है कामस्वयं पर सदिश: (a,a) = |a|² या निर्देशांक में (a,a) = xa² + ya² + za²। काम वैक्टरएक संख्या है जो स्थान को दर्शाती है वैक्टरएक दूसरे के संबंध में। अक्सर इसका उपयोग वैक्टर के बीच के कोण की गणना करने के लिए किया जाता है।

2. वेक्टर काम वैक्टरसंकेत दिए है। क्रॉस उत्पाद के परिणामस्वरूप, एक वेक्टर प्राप्त होता है, जो दोनों कारक वैक्टर के लंबवत होता है, और इस वेक्टर की लंबाई कारक वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर होती है। इसके अलावा, तीन वैक्टर ए, बी और तथाकथित सही ट्रिपल बनाते हैं वैक्टर.वेक्टर लंबाई = |a|*|b|*sinα, जहां α सदिश a और b के बीच का कोण है।

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रैखिक बीजगणित और ज्यामिति में, प्रतिनिधित्व वेक्टरअलग ढंग से परिभाषित किया। बीजगणित में वेक्टरओम तत्व का नाम है वेक्टरपैर की जगह। उसी ज्यामिति में वेक्टरओम यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदुओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी है - एक निर्देशित खंड। के ऊपर वेक्टरहमने रैखिक संचालन को परिभाषित किया है - जोड़ वेक्टरअंडाकार और गुणन वेक्टरलेकिन कुछ संख्या के लिए।

अनुदेश

1. त्रिभुज नियम 2 . का योग वेक्टरओव ए और ओ नामित हैं वेक्टर, जिसकी प्रस्तावना शुरुआत के साथ मेल खाती है वेक्टरए ए, और अंत अंत में है वेक्टरए ओ, जबकि प्रस्तावना वेक्टरऔर ओ अंत से मेल खाता है वेक्टरएक। इस राशि का निर्माण चित्र में दिखाया गया है।

2. समांतर चतुर्भुज नियम। Let वेक्टर s a और o की एक सामान्य प्रस्तावना है। आइए इन्हें पूरा करें वेक्टरएक समांतर चतुर्भुज के लिए एस। फिर योग वेक्टर ovs a और o मूल से निकलने वाले समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के साथ मेल खाते हैं वेक्टरओव ए और ओ।

3. राशि अधिक वेक्टरउन पर त्रिभुज नियम को चरणबद्ध तरीके से लागू करके ov का पता लगाया जा सकता है। आंकड़ा चार का योग दिखाता है वेक्टरओव।

4. काम वेक्टरऔर एक संख्या के लिए? एक संख्या कहा जाता है? एक ऐसा है कि |?a| = |?| **|ए|. किसी संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होता है वेक्टरप्रारंभिक के समानांतर वेक्टर y या तो इसके साथ एक ही सीधी रेखा पर स्थित है। अगर? > 0, तो वेक्टरएस ए और ए यूनिडायरेक्शनल हैं अगर?<0, то वेक्टर s a और? a को अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित किया जाता है।

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एक सदिश, एक निर्देशित खंड के रूप में, न केवल निरपेक्ष मान (मापांक) पर निर्भर करता है, जो इसकी लंबाई के बराबर होता है। एक अन्य प्रमुख संयोजन वेक्टर की दिशा है। इसे निर्देशांक और वेक्टर और निर्देशांक अक्ष के बीच के कोण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। वैक्टर का योग और अंतर ज्ञात करते समय वेक्टर की गणना भी की जाती है।

आपको चाहिये होगा

• - एक वेक्टर की परिभाषा;
• - वैक्टर के गुण;
• - कैलकुलेटर;
• - ब्रैडिस टेबल या पीसी।

अनुदेश

1. एक वेक्टर की गणना करें, इसके निर्देशांक जानना संभव है। ऐसा करने के लिए, वेक्टर की शुरुआत और अंत के निर्देशांक निर्धारित करें। उन्हें (x1;y1) और (x2;y2) के बराबर होने दें। एक वेक्टर की गणना करने के लिए, इसके निर्देशांक खोजें। ऐसा करने के लिए, वेक्टर के अंत के निर्देशांक से इसकी शुरुआत के निर्देशांक घटाएं। वे बराबर होंगे (x2-x1;y2-y1)। x = x2- x1 लें; y= y2-y1, तो सदिश के निर्देशांक (x;y) के बराबर होंगे।

2. वेक्टर की लंबाई निर्धारित करें। इसे रूलर से मापकर आसानी से किया जा सकता है। लेकिन अगर आप वेक्टर के निर्देशांक जानते हैं, तो लंबाई की गणना करें। ऐसा करने के लिए, वेक्टर निर्देशांक के वर्गों का योग ज्ञात करें और परिणामी संख्या से वर्गमूल निकालें। तब सदिश की लंबाई d=?(x?+y?) के बराबर होगी।

3. बाद में, वेक्टर की दिशा की खोज करें। ऐसा करने के लिए, कोण निर्धारित करें? इसके और x-अक्ष के बीच। इस कोण की स्पर्शरेखा सदिश के y-निर्देशांक और x-निर्देशांक (tg ?= y/x) के अनुपात के बराबर है। कोण खोजने के लिए, कैलकुलेटर, ब्रैडिस टेबल या पीसी में आर्कटैंगेंट फ़ंक्शन का उपयोग करें। सदिश की लंबाई और अक्ष के सापेक्ष उसकी दिशा जानने के बाद, किसी भी सदिश के अंतरिक्ष में स्थान का पता लगाना संभव है।

4. उदाहरण: वेक्टर की शुरुआत के निर्देशांक (-3;5) हैं, और अंत के निर्देशांक (1;7) हैं। सदिश निर्देशांक ज्ञात कीजिए (1-(-3);7-5)=(4;2)। तब इसकी लंबाई d=?(4?+2?)=?20?4.47 रैखिक इकाई होगी। सदिश और OX अक्ष के बीच के कोण की स्पर्श रेखा tg ?=2/4=0.5 होगी। इस कोण की चाप स्पर्शरेखा 26.6 पर गोल होती है।

5. एक सदिश खोजें, जो 2 सदिशों का योग हो, जिनके निर्देशांक ज्ञात हों। ऐसा करने के लिए, जोड़ने वाले वैक्टर के संबंधित निर्देशांक जोड़ें। यदि जोड़े गए सदिशों के निर्देशांक क्रमशः (x1;y1) और (x2;y2) हैं, तो उनका योग निर्देशांक वाले सदिश के बराबर होगा ((x1+x2;y1+y2))। यदि आपको 2 वैक्टर का अंतर खोजने की आवश्यकता है, तो वेक्टर के निर्देशांक को पहले से गुणा करके योग ज्ञात करें, जिसे -1 से घटाया जाता है।

6. वैक्टर d1 और d2 की लंबाई और उनके बीच के कोण को देखते हुए, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके उनका योग ज्ञात करें। ऐसा करने के लिए, वैक्टर की लंबाई के वर्गों का योग पाएं, और परिणामी संख्या से इन लंबाई के उत्पाद को दो बार घटाएं, उनके बीच के कोण के कोसाइन से गुणा करें। परिणामी संख्या का वर्गमूल लें। यह वेक्टर की लंबाई होगी, जो 2 दिए गए वैक्टर (d=?(d1?+d2?-d1?d2?Cos(?)) का योग है।

खोज कार्य वेक्टर नॉर्मल्सएक समतल पर एक सीधी रेखा और अंतरिक्ष में एक समतल बहुत आदिम है। वास्तव में, यह एक सीधी रेखा या समतल के सामान्य समीकरणों की रिकॉर्डिंग के साथ समाप्त होता है। इस तथ्य से कि प्रत्येक के तल पर वक्र अंतरिक्ष में सतह का केवल एक विशेष मामला है, तो यह सतह के मानदंड हैं जिन पर चर्चा की जाएगी।

अनुदेश

1. पहली विधि यह विधि सबसे आदिम है, लेकिन इसे समझने के लिए एक अदिश क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने की क्षमता की आवश्यकता होती है। हालांकि, इस मामले में एक अनुभवहीन पाठक भी इस मुद्दे के परिणामी सूत्रों को लागू करने में सक्षम होगा।

2. यह सर्वविदित है कि अदिश क्षेत्र f को f=f(x, y, z) के रूप में परिभाषित किया गया है, और इस मामले में कोई भी सतह स्तरीय सतह f(x, y, z)=C (C=const) है। इसके अलावा, परत की सतह का सामान्य किसी दिए गए बिंदु पर अदिश क्षेत्र के ढाल के साथ मेल खाता है।

3. एक अदिश क्षेत्र का ढाल (3 चरों का कार्य) सदिश है g=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df/dz)। क्योंकि लंबाई नॉर्मल्सकोई फर्क नहीं पड़ता, यह केवल परिणाम रिकॉर्ड करने के लिए रहता है। सतह सामान्य f(x, y, z)-C=0 बिंदु पर M0(x0, y0, z0) n=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df / डीजेड)।

4. विधि 2 मान लीजिए कि पृष्ठ समीकरण F(x, y, z)=0 द्वारा दिया गया है। भविष्य में पहली विधि के साथ समानताएं खींचने की अनुमति देने के लिए, यह माना जाना चाहिए कि निरंतर का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, और एफ को एफ (एक्स, वाई, जेड)-सी = 0 (सी) के रूप में दिया गया है। = स्थिरांक)। यदि हम इस सतह के एक खंड को एक मनमाना विमान द्वारा खींचते हैं, तो परिणामी स्थानिक वक्र को कुछ वेक्टर फ़ंक्शन r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t) का होडोग्राफ माना जा सकता है। फिर व्युत्पन्न वेक्टर r'(t)= ix'(t)+jy'(t)+kz'(t) सतह के किसी बिंदु M0(x0, y0, z0) पर स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित है (चित्र 1 देखें)।

5. भ्रम से बचने के लिए, स्पर्शरेखा रेखा के वर्तमान निर्देशांक को इटैलिक (x, y, z) में इंगित किया जाना चाहिए। एक स्पर्शरेखा रेखा का विहित समीकरण, यह देखते हुए कि r'(t0) एक दिशा सदिश है, को इस प्रकार लिखा जाता है (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0) )/dt )= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt)।

6. वेक्टर फ़ंक्शन के निर्देशांक को सतह समीकरण f(x, y, z)-C=0 में प्रतिस्थापित करना और t के संबंध में अंतर करना जो आपको मिलता है (df/dx)(dx/dt)+(df/dy) (dy/ dt)+(df /dz)(dz/dt)=0. समानता कुछ का अदिश उत्पाद है वेक्टर n(df/dx, df/dy, df/dz) और r'(x'(t), y'(t), z'(t))। क्योंकि यह शून्य है, तो n(df/dx, df/dy, df/dz) वांछित वेक्टर है नॉर्मल्स. ऐसा लगता है कि दोनों विधियों के परिणाम समान हैं।

7. उदाहरण (सैद्धांतिक मूल्य है)। वेक्टर का पता लगाएं नॉर्मल्स 2 चर z=z(x, y) के एक फ़ंक्शन के एक विशिष्ट समीकरण द्वारा दी गई सतह पर। समाधान। इस समीकरण को z-z(x, y)=F(x, y, z)=0 के रूप में फिर से लिखिए। किसी भी पूर्वसर्गिक विधि का अनुसरण करते हुए, यह पता चलता है कि n(-dz/dx, -dz/dy, 1) वांछित सदिश है नॉर्मल्स .

कोई वेक्टरकई के योग में विघटित किया जा सकता है वेक्टरवाह, ऐसे बहुत सारे विकल्प हैं। कार्य विघटित करें वेक्टरज्यामितीय रूप और सूत्रों के रूप में दिया जा सकता है, समस्या का समाधान इस पर निर्भर करेगा।

आपको चाहिये होगा

• प्रारंभिक वेक्टर है;
• वे वैक्टर हैं जिनमें इसे विघटित किया जाना है।

अनुदेश

1. यदि आपको विभाजित करने की आवश्यकता है वेक्टरड्राइंग पर, शर्तों के लिए दिशा चुनें। गणना की सुविधा के लिए, में विस्तार वेक्टरए, समन्वय अक्षों के समानांतर, लेकिन आप निश्चित रूप से किसी भी आरामदायक दिशा को पसंद कर सकते हैं।

2. शर्तों में से एक ड्रा करें वेक्टरओव; उसी समय, यह उसी बिंदु से आना चाहिए जो प्रारंभिक बिंदु से आता है (आप स्वयं लंबाई चुनते हैं)। प्रारंभिक और परिणामी के सिरों को मिलाएं वेक्टरएक और वेक्टरओह कृपया ध्यान दें: दो प्राप्त वेक्टरऔर अंत में उन्हें आपको उसी बिंदु पर लाना होगा जिस पर प्रारंभिक बिंदु (यदि आप तीरों के साथ आगे बढ़ते हैं)।

3. स्थानांतरण प्राप्त वेक्टरऔर उस स्थान पर जहां दिशा और लंबाई को बचाते हुए उनका उपयोग करना आरामदायक होगा। जहां से स्वतंत्र वेक्टरऔर होगा, योग में वे प्रारंभिक के बराबर होंगे। कृपया ध्यान दें कि यदि आप प्राप्त वेक्टरऔर इसलिए कि वे प्रारंभिक बिंदु के समान बिंदु से आते हैं, और अपने सिरों को एक बिंदीदार रेखा से जोड़ते हैं, आपको एक समांतर चतुर्भुज मिलता है, और प्रारंभिक वेक्टरविकर्णों में से एक के साथ मेल खाता है।

4. यदि आपको विभाजित करने की आवश्यकता है वेक्टर(x1,x2,x3) नींव के अनुसार, यानी दिए गए के अनुसार वेक्टर am (p1, p2, p3), (q1, q2, q3), (r1, r2, r3), इस प्रकार आगे बढ़ें। निर्देशांक मानों को सूत्र x=?p+?q+?r में रखें।

5. परिणामस्वरूप, आपको 3 समीकरणों p1?+q1?+r1?=x1, p2?+q2?+r2?=x2, p3?+q3?+r3?=x3 की एक प्रणाली मिलेगी। जोड़ या मैट्रिक्स की विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करें, संकेतक खोजें?,?,?। यदि समस्या एक समतल में दी गई है, तो समाधान अधिक सरल होगा, क्योंकि 3 चर और समीकरणों के बजाय आपको केवल दो मिलेंगे (वे p1?+q1?=x1, p2?+q2?=x2) जैसे दिखेंगे। परिणाम को x=?p+?q+?r के रूप में लिखें।

6. यदि आप अनंत समाधानों के साथ समाप्त होते हैं, तो संक्षेप में बताएं कि वेक्टर s p, q, r एक ही तल में स्थित हैं वेक्टरओम x और इसे किसी दिए गए तरीके से विघटित करना स्पष्ट रूप से असंभव है।

7. यदि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, तो समस्या का परिणाम साहसपूर्वक लिखें: वेक्टर p, q, r एक ही तल में स्थित हैं, और वेक्टर x - दूसरे में, फलस्वरूप इसे किसी दिए गए तरीके से विघटित नहीं किया जा सकता है।

यह संभव है कि एक विशेष प्रतिनिधित्व मौजूद हो विमान पिरामिडलेकिन लेखक इससे अपरिचित है। इस तथ्य से कि पिरामिड स्थानिक पॉलीहेड्रा को संदर्भित करता है, विमानकेवल किनारों का निर्माण कर सकते हैं पिरामिड. ये वे हैं जिन पर विचार किया जाएगा।

अनुदेश

1. सबसे आदिम कार्य पिरामिडशीर्ष बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा इसका प्रतिनिधित्व है। इसे अन्य अभ्यावेदन का उपयोग करने की अनुमति है, जो आसानी से एक दूसरे में और प्रस्तावित एक में अनुवादित होते हैं। सादगी के लिए, त्रिकोणीय पिरामिड पर विचार करें। फिर, स्थानिक मामले में, "आधार" का प्रतिनिधित्व बेहद मनमाना हो जाता है। नतीजतन, इसे साइड चेहरों से अलग नहीं किया जाना चाहिए। एक मनमाना पिरामिड के साथ, इसके पार्श्व फलक अभी भी त्रिभुज हैं, और समीकरण लिखने के लिए विमानआधार अभी भी 3 अंक के लिए पर्याप्त है।

2. त्रिभुज का कोई भी फलक पिरामिडपूरी तरह से संबंधित त्रिभुज के शीर्षों के तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसे М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) होने दें। समीकरण खोजने के लिए विमानइस चेहरे वाले, सामान्य समीकरण का उपयोग करें विमान A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 के रूप में। यहाँ (x0,y0,z0) एक मनमाना बिंदु है विमान, जिसके लिए इस समय दिए गए 3 में से किसी एक का उपयोग करें, मान लीजिए M1(x1,y1,z1)। घातांक ए, बी, सी सामान्य वेक्टर के निर्देशांक बनाते हैं विमानएन = (ए, बी, सी)। अभिलंब ज्ञात करने के लिए, सदिश उत्पाद [M1,M2] के बराबर सदिश के निर्देशांकों का उपयोग करने की अनुमति है (चित्र 1 देखें)। इन्हें क्रमशः A, B C के बराबर लें। यह निर्देशांक रूप में वैक्टर (n, M1M) के अदिश गुणनफल को खोजने के लिए रहता है और इसे शून्य के बराबर करता है। यहाँ M(x, y, z) एक मनमाना (वर्तमान) बिंदु है विमान .

3. समीकरण के निर्माण के लिए परिणामी एल्गोरिथ्म विमानइसके तीन बिंदुओं पर उपयोग के लिए और अधिक आरामदायक बनाना संभव है। ध्यान दें कि खोजी गई कार्यप्रणाली क्रॉस उत्पाद की गणना मानती है, और उसके बाद डॉट उत्पाद। यह वैक्टर के मिश्रित उत्पाद से ज्यादा कुछ नहीं है। एक सुपरकॉम्पैक्ट रूप में, यह निर्धारक के बराबर होता है, जिसकी रेखाएं वैक्टर के निर्देशांक से मिलकर बनती हैं М1М=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), M1М3=(x3- x1, y3-y1, z3-z1)। इसे शून्य के बराबर करें और समीकरण प्राप्त करें विमानएक निर्धारक के रूप में (चित्र 2 देखें)। इसके प्रकटीकरण के बाद, आप सामान्य समीकरण पर आ जाएंगे विमान .

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सामान्य क्या है? सरल शब्दों में, एक सामान्य एक लंबवत है। अर्थात् किसी रेखा का अभिलंब सदिश दी गई रेखा पर लंबवत होता है। यह स्पष्ट है कि किसी भी सीधी रेखा में उनकी अनंत संख्या होती है (साथ ही निर्देशन वैक्टर), और सीधी रेखा के सभी सामान्य वैक्टर समरेखीय होंगे (कोडरेक्शनल या नहीं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)।

दिशा वैक्टर की तुलना में उनसे निपटना और भी आसान होगा:

यदि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक सामान्य समीकरण द्वारा एक सीधी रेखा दी जाती है, तो वेक्टर इस सीधी रेखा का सामान्य वेक्टर होता है।

यदि दिशा वेक्टर के निर्देशांक को समीकरण से सावधानीपूर्वक "बाहर निकाला" जाना है, तो सामान्य वेक्टर के निर्देशांक बस "हटाए गए" हैं।

सामान्य वेक्टर हमेशा रेखा के दिशा वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल होता है। आइए सुनिश्चित करें कि स्केलर उत्पाद का उपयोग करके ये वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं:

मैं दिशा वेक्टर के समान समीकरणों के साथ उदाहरण दूंगा:

क्या एक बिंदु और एक सामान्य सदिश को जानकर एक सीधी रेखा का समीकरण लिखना संभव है? यदि सामान्य वेक्टर ज्ञात है, तो सबसे सीधी रेखा की दिशा भी विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है - यह 90 डिग्री के कोण के साथ एक "कठोर संरचना" है।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दिए गए एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

यदि रेखा से संबंधित कोई बिंदु और इस रेखा के सामान्य सदिश ज्ञात हो, तो इस रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दिए गए एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें। सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए।

समाधान: सूत्र का प्रयोग करें:

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त होता है, आइए देखें:

1) समीकरण से सामान्य वेक्टर के निर्देशांक "निकालें": - हाँ, वास्तव में, मूल वेक्टर स्थिति से प्राप्त होता है (या वेक्टर मूल वेक्टर के समरेख होना चाहिए)।

2) जांचें कि क्या बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है:

सच्ची समानता।

जब हम आश्वस्त हो जाते हैं कि समीकरण सही है, तो हम कार्य के दूसरे, आसान भाग को पूरा करेंगे। हम सीधी रेखा के दिशा वेक्टर को बाहर निकालते हैं:

उत्तर:

ड्राइंग में, स्थिति इस प्रकार है:

प्रशिक्षण के प्रयोजनों के लिए, एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक समान कार्य:

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दिए गए एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें। सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए।

पाठ का अंतिम खंड कम सामान्य, लेकिन एक समतल में एक सीधी रेखा के महत्वपूर्ण प्रकार के समीकरणों के लिए समर्पित होगा

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।
पैरामीट्रिक रूप में एक सीधी रेखा का समीकरण

खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है, जहाँ अशून्य स्थिरांक होते हैं। इस रूप में कुछ प्रकार के समीकरणों का प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष आनुपातिकता (चूंकि मुक्त शब्द शून्य है और दाईं ओर एक प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं है)।

यह, लाक्षणिक रूप से, एक "तकनीकी" प्रकार का समीकरण है। सामान्य कार्य एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में प्रस्तुत करना है। यह सुविधाजनक क्यों है? खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण आपको समन्वय अक्षों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जल्दी से खोजने की अनुमति देता है, जो उच्च गणित की कुछ समस्याओं में बहुत महत्वपूर्ण हो सकता है।

अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं। हम "y" को रीसेट करते हैं, और समीकरण रूप लेता है। वांछित बिंदु स्वतः प्राप्त हो जाता है: .

अक्ष के साथ ही वह बिंदु है जहां रेखा y-अक्ष को काटती है।

जिन क्रियाओं को मैंने अभी विस्तार से समझाया है वे मौखिक रूप से की जाती हैं।

सीधी रेखा दी। खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें और निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें।

हल: आइए समीकरण को रूप में लाते हैं। सबसे पहले, हम मुक्त शब्द को दाईं ओर ले जाते हैं:

दाईं ओर एक इकाई प्राप्त करने के लिए, हम समीकरण के प्रत्येक पद को -11 से विभाजित करते हैं:

हम भिन्नों को तीन मंजिला बनाते हैं:

निर्देशांक अक्षों के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु सामने आए:

उत्तर:

यह एक शासक को जोड़ने और एक सीधी रेखा खींचने के लिए बनी हुई है।

यह देखना आसान है कि यह सीधी रेखा लाल और हरे खंडों द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है, इसलिए नाम - "खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण"।

बेशक, समीकरण से अंक खोजना इतना मुश्किल नहीं है, लेकिन समस्या अभी भी उपयोगी है। दूसरे क्रम के रेखा समीकरण को विहित रूप में लाने के लिए, और कुछ अन्य समस्याओं में समन्वय अक्षों के साथ विमान के चौराहे के बिंदुओं को खोजने के लिए विचार किए गए एल्गोरिदम की आवश्यकता होगी। इसलिए, एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ सीधी रेखाएँ:

खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें और निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन के बिंदु निर्धारित करें।

समाधान और उत्तर अंत में। यह मत भूलो कि तुम चाहो तो सब कुछ खींच सकते हो।

एक सीधी रेखा के लिए पैरामीट्रिक समीकरण कैसे लिखें?

एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के लिए अधिक प्रासंगिक हैं, लेकिन उनके बिना हमारा सार अनाथ हो जाएगा।

यदि इस रेखा से संबंधित कुछ बिंदु और इस रेखा के दिशा सदिश ज्ञात हैं, तो इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण सिस्टम द्वारा दिए गए हैं:

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों की रचना करें

समाधान शुरू होने से पहले ही समाप्त हो गया:

पैरामीटर "ते" "माइनस इनफिनिटी" से "प्लस इनफिनिटी" तक कोई भी मान ले सकता है, और प्रत्येक पैरामीटर मान विमान के एक विशिष्ट बिंदु से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, यदि , तो हमें एक बिंदु मिलता है .

उलटा समस्या: कैसे जांचें कि कोई शर्त बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है या नहीं?

आइए हम बिंदु के निर्देशांक को प्राप्त पैरामीट्रिक समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:

दोनों समीकरणों से यह निम्नानुसार है कि, प्रणाली सुसंगत है और इसका एक अनूठा समाधान है।

आइए अधिक सार्थक कार्यों पर विचार करें:

एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखें

हल: शर्त के अनुसार सीधी रेखा सामान्य रूप में दी गई है। एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों की रचना करने के लिए, आपको इसके निर्देशन सदिश और इस सीधी रेखा से संबंधित कुछ बिंदुओं को जानना होगा।

आइए दिशा वेक्टर खोजें:

अब आपको रेखा से संबंधित कुछ बिंदु खोजने की जरूरत है (कोई भी करेगा), इस उद्देश्य के लिए ढलान के साथ समीकरण के रूप में सामान्य समीकरण को फिर से लिखना सुविधाजनक है:

यह भीख माँगता है, ज़ाहिर है, बिंदु

हम सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण बनाते हैं:

और अंत में, एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक छोटा सा रचनात्मक कार्य।

एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों की रचना करें यदि उससे संबंधित बिंदु और सामान्य वेक्टर ज्ञात हों

कार्य एक से अधिक तरीकों से किया जा सकता है। समाधान के संस्करणों में से एक और अंत में उत्तर।

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: हल: ढाल ज्ञात कीजिए:

हम एक बिंदु और एक ढलान द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 4: हल: हम सूत्र के अनुसार एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करेंगे:

उत्तर:

उदाहरण 6: समाधान: सूत्र का प्रयोग करें:

उत्तर: (y-अक्ष)

उदाहरण 8: समाधान: आइए दो बिंदुओं पर एक सीधी रेखा का समीकरण बनाते हैं:

दोनों पक्षों को -4 से गुणा करें:

और 5 से विभाजित करें:

उत्तर:

उदाहरण 10: समाधान: सूत्र का प्रयोग करें:

हम -2 से कम करते हैं:

दिशा वेक्टर प्रत्यक्ष:
उत्तर:

उदाहरण 12:
एक) समाधान: आइए समीकरण को रूपांतरित करें:

इस तरह:

उत्तर:

बी) समाधान: आइए समीकरण को रूपांतरित करें:

इस तरह:

उत्तर:

उदाहरण 15: समाधान: सबसे पहले, हम एक बिंदु को देखते हुए एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण लिखते हैं और सामान्य वेक्टर :

12 से गुणा करें:

हम 2 और से गुणा करते हैं ताकि दूसरा ब्रैकेट खोलने के बाद भिन्न से छुटकारा पाएं:

दिशा वेक्टर प्रत्यक्ष:
हम बिंदु द्वारा सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों की रचना करते हैं और दिशा वेक्टर :
उत्तर:

एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएं।
रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था। रेखाओं के बीच का कोण

हम इन अनंत-अनंत रेखाओं पर विचार करना जारी रखते हैं।

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी कैसे ज्ञात करें?
दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?
दो रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?

दो सीधी रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

सामान्य रूप में समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें:

मामला जब हॉल कोरस में गाता है। दो पंक्तियाँ कर सकते हैं:

1) मैच;

2) समानांतर हो: ;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें: .

कृपया चौराहे के गणितीय चिन्ह को याद रखें, यह बहुत बार होगा। प्रवेश का अर्थ है कि रेखा बिंदु पर रेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है।

दो पंक्तियों की आपेक्षिक स्थिति का निर्धारण कैसे करें?

आइए पहले मामले से शुरू करते हैं:

दो रेखाएँ मेल खाती हैं यदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात, "लैम्ब्डा" की इतनी संख्या है कि समानताएं हैं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संगत गुणांकों से तीन समीकरणों की रचना करें: . प्रत्येक समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि ये रेखाएँ संपाती होती हैं।

वास्तव में, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (संकेत बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक 2 से कम करने पर आपको समान समीकरण प्राप्त होता है: .

दूसरा मामला जब रेखाएं समानांतर होती हैं:

दो रेखाएँ समांतर होती हैं यदि और केवल यदि चरों पर उनके गुणांक समानुपाती हों: , लेकिन ।

एक उदाहरण के रूप में, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चर के लिए संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करते हैं:

हालांकि, यह स्पष्ट है कि .

और तीसरा मामला, जब रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि चर पर उनके गुणांक आनुपातिक नहीं हैं, अर्थात, "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई मान नहीं है कि समानताएँ पूरी हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली की रचना करेंगे:

यह पहले समीकरण का अनुसरण करता है कि , और दूसरे समीकरण से: , जिसका अर्थ है कि सिस्टम असंगत है (कोई समाधान नहीं हैं)। इस प्रकार, चरों पर गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, केवल विचार की गई समाधान योजना का उपयोग किया जा सकता है। वैसे, यह संरेखता के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिथ्म के समान है। लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेज है:

रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए:

समाधान सीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अध्ययन पर आधारित है:

क) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिश पाते हैं: .

, इसलिए सदिश संरेखी नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बी) लाइनों के दिशा वैक्टर खोजें:

रेखाओं में एक ही दिशा सदिश होती है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या समान हैं। यहां निर्धारक आवश्यक नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, जबकि .

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस तरह,

ग) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन वैक्टरों के निर्देशांक से बने निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए, दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता गुणांक "लैम्ब्डा" सीधे कोलिनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से पाया जा सकता है। हालाँकि, यह स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी संभव है: .

आइए अब पता करें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त शर्तें शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (कोई भी संख्या आमतौर पर इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

किसी दिए गए के समानांतर एक रेखा कैसे खींचे?

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

हल: अज्ञात सीधी रेखा को अक्षर से निरूपित करें। इसके बारे में शर्त क्या कहती है? रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएं समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि रेखा "सी" का निर्देशन वेक्टर भी रेखा "डी" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उदाहरण की ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक सत्यापन में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जाँचते हैं कि रेखाओं में एक ही दिशा सदिश है (यदि रेखा का समीकरण ठीक से सरल नहीं है, तो सदिश संरेख होगा)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक सत्यापन मौखिक रूप से करना आसान होता है। दो समीकरणों को देखें और आप में से बहुत से लोग जल्दी से यह पता लगा लेंगे कि रेखाएं बिना किसी आरेखण के समानांतर कैसे होती हैं।

स्वयं को सुलझाने के उदाहरण आज रचनात्मक होंगे।

रेखा के समांतर किसी बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए समीकरण लिखिए यदि

सबसे छोटा रास्ता अंत में है।

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो इसके निर्देशांक रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान होते हैं

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता कैसे लगाएं? सिस्टम को हल करें।

दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के ज्यामितीय अर्थ के लिए बहुत कुछ - ये एक विमान पर दो प्रतिच्छेद (सबसे अधिक बार) सीधी रेखाएं हैं।

रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं

हल: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और एनालिटिकल।

ग्राफिकल तरीका केवल दी गई रेखाओं को खींचना है और ड्राइंग से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है:। जाँच करने के लिए, आपको इसके निर्देशांकों को एक सीधी रेखा के प्रत्येक समीकरण में स्थानापन्न करना चाहिए, वे वहाँ और वहाँ दोनों जगह फिट होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का समाधान हैं। वास्तव में, हमने दो अज्ञात, दो समीकरणों वाले रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए एक आलेखीय विधि पर विचार किया है।

चित्रमय विधि, निश्चित रूप से, खराब नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य नुकसान हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के छात्र इस तरह से निर्णय लेते हैं, बात यह है कि एक सही और सटीक चित्र बनाने में समय लगेगा। इसके अलावा, कुछ पंक्तियों का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें राज्य में कहीं हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक विधि द्वारा प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों के पदवार जोड़ की विधि का उपयोग किया गया था।

सत्यापन तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को पूरा करना चाहिए।

यदि वे प्रतिच्छेद करती हैं तो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। समस्या को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
2) एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
3) रेखाओं की आपेक्षिक स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात कीजिए।

कार्यों के एल्गोरिथ्म का विकास कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

पूर्ण समाधान और अंत में उत्तर:

लम्बवत रेखायें। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।
रेखाओं के बीच का कोण

किसी दी गई रेखा के लंबवत रेखा कैसे खींचना है?

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। एक बिंदु से गुजरने वाली लंब रेखा के लिए एक समीकरण लिखिए।

हल : यह धारणा से ज्ञात होता है कि . सीधी रेखा का दिशा सदिश ज्ञात करना अच्छा होगा। चूंकि रेखाएं लंबवत हैं, इसलिए चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटा" देते हैं: , जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

हम एक बिंदु और एक निर्देशन वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय स्केच को प्रकट करें:

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) समीकरणों से दिशा सदिश निकालें और सदिशों के अदिश गुणन का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं: .

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

सत्यापन, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

यदि समीकरण ज्ञात हो, तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और बिंदु।

यह स्वयं का उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए समाधान बिंदु को बिंदु से व्यवस्थित करना सुविधाजनक होता है।

बिंदु से रेखा की दूरी

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "p" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "m" से सीधी रेखा "d" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान: आपको बस इतना करना है कि संख्याओं को सूत्र में सावधानीपूर्वक प्लग करें और गणना करें:

उत्तर:

आइए ड्राइंग निष्पादित करें:

बिंदु से रेखा तक की दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई के बराबर होती है। यदि आप चेकर पेपर पर 1 इकाई के पैमाने पर चित्र बनाते हैं। \u003d 1 सेमी (2 सेल), फिर दूरी को एक साधारण शासक से मापा जा सकता है।

उसी ड्राइंग के अनुसार दूसरे कार्य पर विचार करें:

एक सीधी रेखा के सममित बिंदु का निर्माण कैसे करें?

कार्य बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है, जो रेखा के संबंध में बिंदु के सममित है . मैं अपने दम पर कार्रवाई करने का प्रस्ताव करता हूं, हालांकि, मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक रेखा का पता लगाएं जो एक रेखा के लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटे कोण के रूप में लिया जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है कि यह अधिक नहीं हो सकता है। आकृति में, लाल चाप द्वारा इंगित कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और इसका "हरा" पड़ोसी या विपरीत रूप से उन्मुख "रास्पबेरी" कोने को ऐसा माना जाता है।

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो 4 कोणों में से कोई भी उनके बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है।

कोण कैसे भिन्न होते हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, कोने को "स्क्रॉलिंग" करने की दिशा मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, ऋणात्मक कोण को ऋणात्मक चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए, यदि ।

मैंने ऐसा क्यों कहा? ऐसा लगता है कि आप कोण की सामान्य अवधारणा के साथ प्राप्त कर सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोणों का पता लगाते हैं, उनमें एक नकारात्मक परिणाम आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए। माइनस साइन वाला कोण कोई बदतर नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, एक तीर के साथ इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) को इंगित करना अनिवार्य है।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान को दो चरणों में आसानी से औपचारिक रूप दिया जाता है:

1) सीधी रेखाओं के निर्देशन सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कीजिए:
इसलिए रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) हम सूत्र द्वारा रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करते हैं:

व्युत्क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके, कोण को स्वयं खोजना आसान है। इस मामले में, हम चाप स्पर्शरेखा की विषमता का उपयोग करते हैं:

उत्तर:

उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना किए गए सटीक मान के साथ-साथ अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) का संकेत देते हैं।

खैर, माइनस, सो माइनस, कोई बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास निकला, क्योंकि समस्या की स्थिति में पहली संख्या एक सीधी रेखा होती है और कोण का "घुमा" ठीक उसी से शुरू होता है।

एक तीसरा उपाय भी है। विचार लाइनों के दिशा वैक्टर के बीच कोण की गणना करना है:

यहां हम एक ओरिएंटेड एंगल की बात नहीं कर रहे हैं, बल्कि "सिर्फ एक एंगल" की बात कर रहे हैं, यानी परिणाम निश्चित रूप से सकारात्मक होगा। पकड़ यह है कि आप एक अधिक कोण प्राप्त कर सकते हैं (वह नहीं जिसकी आपको आवश्यकता है)। इस मामले में, आपको आरक्षण करना होगा कि रेखाओं के बीच का कोण एक छोटा कोण है, और परिणामी चाप कोसाइन को "pi" रेडियन (180 डिग्री) से घटाएं।

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यह स्वयं का उदाहरण है। इसे दो तरह से हल करने का प्रयास करें।

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 3: हल: सरल रेखा का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

हम बिंदु और दिशा वेक्टर का उपयोग करके वांछित सीधी रेखा के समीकरण की रचना करेंगे

नोट: यहां सिस्टम के पहले समीकरण को 5 से गुणा किया जाता है, फिर दूसरे को पहले समीकरण से पद से घटाया जाता है।
उत्तर:

समतल समीकरण। एक विमान के लिए समीकरण कैसे लिखें?
विमानों की पारस्परिक व्यवस्था। कार्य

स्थानिक ज्यामिति "सपाट" ज्यामिति की तुलना में अधिक जटिल नहीं है, और अंतरिक्ष में हमारी उड़ानें इस लेख से शुरू होती हैं। विषय को समझने के लिए की अच्छी समझ होनी चाहिए वैक्टर, इसके अलावा, विमान की ज्यामिति से परिचित होना वांछनीय है - इसमें कई समानताएं, कई उपमाएं होंगी, इसलिए जानकारी को बेहतर तरीके से पचाया जाएगा। मेरे पाठों की एक श्रृंखला में, 2D दुनिया एक लेख के साथ खुलती है समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण. लेकिन अब बैटमैन ने फ्लैट स्क्रीन टीवी को छोड़ दिया है और बैकोनूर कॉस्मोड्रोम से लॉन्च कर रहा है।

आइए चित्र और प्रतीकों से शुरू करें। योजनाबद्ध रूप से, विमान को एक समांतर चतुर्भुज के रूप में खींचा जा सकता है, जो अंतरिक्ष का आभास देता है:

विमान अनंत है, लेकिन हमारे पास इसके केवल एक टुकड़े को चित्रित करने का अवसर है। व्यवहार में, समांतर चतुर्भुज के अलावा, एक अंडाकार या एक बादल भी खींचा जाता है। तकनीकी कारणों से, मेरे लिए विमान को इस तरह और इस स्थिति में चित्रित करना अधिक सुविधाजनक है। वास्तविक विमानों, जिन पर हम व्यावहारिक उदाहरणों में विचार करेंगे, को किसी भी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है - मानसिक रूप से ड्राइंग को अपने हाथों में लें और इसे अंतरिक्ष में मोड़ें, विमान को कोई भी ढलान, कोई भी कोण दें।

नोटेशन: यह छोटे ग्रीक अक्षरों में विमानों को नामित करने के लिए प्रथागत है, जाहिरा तौर पर ताकि उन्हें भ्रमित न किया जा सके सीधे विमान परया साथ सीधे अंतरिक्ष में. मुझे पत्र का उपयोग करने की आदत है। ड्राइंग में, यह "सिग्मा" अक्षर है, और छेद बिल्कुल नहीं। हालांकि, एक छेददार विमान, यह निश्चित रूप से बहुत मज़ेदार है।

कुछ मामलों में, विमानों को नामित करने के लिए सबस्क्रिप्ट के साथ समान ग्रीक अक्षरों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, उदाहरण के लिए, .

यह स्पष्ट है कि विमान विशिष्ट रूप से तीन अलग-अलग बिंदुओं से निर्धारित होता है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। इसलिए, विमानों के तीन-अक्षर के पदनाम काफी लोकप्रिय हैं - उनसे संबंधित बिंदुओं के अनुसार, उदाहरण के लिए, आदि। अक्सर अक्षर कोष्ठक में संलग्न होते हैं: ताकि विमान को किसी अन्य ज्यामितीय आकृति के साथ भ्रमित न करें।

अनुभवी पाठकों के लिए, मैं दूंगा शॉर्टकट मेनू:

• एक बिंदु और दो सदिशों का उपयोग करके समतल के लिए समीकरण कैसे लिखें?
• एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर का उपयोग करके एक विमान के लिए समीकरण कैसे लिखें?

और हम लंबी प्रतीक्षा में नहीं थकेंगे:

विमान का सामान्य समीकरण

विमान के सामान्य समीकरण का रूप होता है, जहां गुणांक एक साथ गैर-शून्य होते हैं।

कई सैद्धांतिक गणना और व्यावहारिक समस्याएं सामान्य ऑर्थोनॉर्मल आधार और अंतरिक्ष के एफाइन आधार दोनों के लिए मान्य हैं (यदि तेल तेल है, तो पाठ पर लौटें वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार) सरलता के लिए, हम मानेंगे कि सभी घटनाएँ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार और एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में घटित होती हैं।

और अब थोड़ी स्थानिक कल्पना को प्रशिक्षित करते हैं। यह ठीक है अगर आप इसे खराब करते हैं, तो अब हम इसे थोड़ा विकसित करेंगे। यहां तक ​​कि नसों पर खेलने के लिए भी अभ्यास की आवश्यकता होती है।

सबसे सामान्य स्थिति में, जब संख्याएँ शून्य के बराबर नहीं होती हैं, तो समतल तीनों निर्देशांक अक्षों को प्रतिच्छेद करता है। उदाहरण के लिए, इस तरह:

मैं एक बार फिर दोहराता हूं कि विमान सभी दिशाओं में अनिश्चित काल तक चलता है, और हमारे पास इसका केवल एक हिस्सा चित्रित करने का अवसर है।

विमानों के सरलतम समीकरणों पर विचार करें:

इस समीकरण को कैसे समझें? इसके बारे में सोचें: "Z" हमेशा, "X" और "Y" के किसी भी मान के लिए शून्य के बराबर होता है। यह "देशी" समन्वय विमान का समीकरण है। दरअसल, औपचारिक रूप से समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: , जहां से यह स्पष्ट रूप से दिखाई देता है कि हमें परवाह नहीं है, "x" और "y" क्या मान लेते हैं, यह महत्वपूर्ण है कि "z" शून्य के बराबर हो।

इसी तरह:
निर्देशांक तल का समीकरण है;
निर्देशांक तल का समीकरण है।

आइए समस्या को थोड़ा जटिल करें, एक विमान पर विचार करें (यहां और आगे पैराग्राफ में हम मानते हैं कि संख्यात्मक गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं)। आइए समीकरण को इस रूप में फिर से लिखें: . इसे कैसे समझें? "X" हमेशा होता है, क्योंकि "y" और "z" का कोई भी मान एक निश्चित संख्या के बराबर होता है। यह तल निर्देशांक तल के समांतर है। उदाहरण के लिए, एक तल समतल के समानांतर है और एक बिंदु से होकर गुजरता है।

इसी तरह:
- समतल का समीकरण, जो निर्देशांक तल के समानांतर है;
- एक समतल का समीकरण जो निर्देशांक तल के समानांतर है।

सदस्यों को जोड़ें: . समीकरण को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है: यानी "Z" कुछ भी हो सकता है। इसका क्या मतलब है? "X" और "Y" एक अनुपात से जुड़े हुए हैं जो समतल में एक निश्चित सीधी रेखा खींचता है (आप पहचानेंगे समतल में एक सीधी रेखा का समीकरण?) चूंकि Z कुछ भी हो सकता है, यह रेखा किसी भी ऊंचाई पर "प्रतिकृति" है। इस प्रकार, समीकरण निर्देशांक अक्ष के समानांतर एक समतल को परिभाषित करता है

इसी तरह:
- समतल का समीकरण, जो समन्वय अक्ष के समानांतर है;
- समतल का समीकरण, जो निर्देशांक अक्ष के समानांतर है।

यदि मुक्त पद शून्य हैं, तो तल सीधे संबंधित अक्षों से होकर गुजरेंगे। उदाहरण के लिए, क्लासिक "प्रत्यक्ष आनुपातिकता":। समतल में एक सीधी रेखा खींचें और मानसिक रूप से इसे ऊपर और नीचे गुणा करें (चूंकि "z" कोई है)। निष्कर्ष: समीकरण द्वारा दिया गया तल निर्देशांक अक्ष से होकर गुजरता है।

हम समीक्षा समाप्त करते हैं: विमान का समीकरण मूल से होकर गुजरता है। खैर, यहाँ यह बिल्कुल स्पष्ट है कि बिंदु दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है।

और, अंत में, चित्र में दिखाया गया मामला: - विमान सभी समन्वय अक्षों के साथ मित्र है, जबकि यह हमेशा एक त्रिभुज को "काट" देता है जो आठ अष्टक में से किसी में स्थित हो सकता है।

अंतरिक्ष में रैखिक असमानताएं

जानकारी को समझने के लिए अच्छी तरह से अध्ययन करना आवश्यक है समतल में रैखिक असमानताएँक्योंकि बहुत सी चीजें समान होंगी। पैराग्राफ कुछ उदाहरणों के साथ एक संक्षिप्त अवलोकन का होगा, क्योंकि सामग्री व्यवहार में काफी दुर्लभ है।

यदि समीकरण एक समतल को परिभाषित करता है, तो असमानताएँ
पूछना आधा स्थान. यदि असमानता सख्त नहीं है (सूची में अंतिम दो), तो असमानता का समाधान, अर्ध-अंतरिक्ष के अलावा, विमान ही शामिल है।

उदाहरण 5

समतल का इकाई सामान्य सदिश ज्ञात कीजिए .

समाधान: एक इकाई सदिश एक सदिश है जिसकी लंबाई एक है। आइए इस वेक्टर को द्वारा निरूपित करें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि वेक्टर संरेख हैं:

सबसे पहले, हम सामान्य वेक्टर को समतल के समीकरण से हटाते हैं: ।

यूनिट वेक्टर कैसे खोजें? यूनिट वेक्टर को खोजने के लिए, आपको चाहिए हर एकवेक्टर निर्देशांक वेक्टर लंबाई से विभाजित है.

आइए सामान्य वेक्टर को फॉर्म में फिर से लिखें और इसकी लंबाई पाएं:

उपरोक्त के अनुसार:

उत्तर:

चेक: , जिसे चेक करना जरूरी था।

जिन पाठकों ने पाठ के अंतिम पैराग्राफ का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया है, उन्होंने शायद ध्यान दिया है कि यूनिट वेक्टर के निर्देशांक बिल्कुल वेक्टर की दिशा कोसाइन होते हैं:

आइए असंतुष्ट समस्या से हटें: जब आपको एक मनमाना गैर-शून्य वेक्टर दिया जाता है, और शर्त से इसकी दिशा कोसाइन खोजने की आवश्यकता होती है (पाठ के अंतिम कार्यों को देखें वैक्टर का डॉट उत्पाद), तो आप, वास्तव में, दिए गए एक के समान एक इकाई सदिश संरेख भी ज्ञात करते हैं। वास्तव में, एक बोतल में दो कार्य।

गणितीय विश्लेषण की कुछ समस्याओं में एक इकाई सामान्य सदिश खोजने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

हमने सामान्य वेक्टर की मछली पकड़ने का पता लगाया, अब हम विपरीत प्रश्न का उत्तर देंगे:

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर का उपयोग करके एक विमान के लिए समीकरण कैसे लिखें?

एक सामान्य वेक्टर और एक बिंदु के इस कठोर निर्माण को डार्ट्स लक्ष्य द्वारा अच्छी तरह से जाना जाता है। कृपया अपना हाथ आगे बढ़ाएं और मानसिक रूप से अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनें, उदाहरण के लिए, एक साइडबोर्ड में एक छोटी बिल्ली। जाहिर है, इस बिंदु के माध्यम से, आप अपने हाथ पर लंबवत एक विमान खींच सकते हैं।

सदिश के लंबवत बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

सामान्य वेक्टर

दो मानदंडों के साथ समतल सतह

विभेदक ज्यामिति में, सामान्य- यह एक सीधी रेखा है, किसी वक्र के लिए एक स्पर्श रेखा के लिए ऑर्थोगोनल (लंबवत) या किसी सतह पर एक स्पर्शरेखा विमान है। वो भी बात करते हैं सामान्य दिशा.

सामान्य वेक्टरकिसी दिए गए बिंदु पर सतह के लिए दिए गए बिंदु पर लागू इकाई वेक्टर है और सामान्य की दिशा के समानांतर है। एक चिकनी सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए, आप दो सामान्य वैक्टर निर्दिष्ट कर सकते हैं जो दिशा में भिन्न होते हैं। यदि एक सतह पर सामान्य वैक्टर के निरंतर क्षेत्र को परिभाषित किया जा सकता है, तो इस क्षेत्र को परिभाषित करने के लिए कहा जाता है अभिविन्याससतह (अर्थात, पक्षों में से एक का चयन करता है)। यदि ऐसा नहीं किया जा सकता है, तो सतह को कहा जाता है गैर orientable.

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "सामान्य वेक्टर" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

सामान्य वेक्टर- सामान्य की वैक्टोरियस स्थिति के रूप में टी sritis fizika atitikmenys: angl। सामान्य वेक्टर वोक। नॉर्मलेंवेक्टर, एम रस। सामान्य वेक्टर, एम प्रांक। वेक्टर डे ला नॉर्मले, एम; वेक्टर सामान्य, मी ... फ़िज़िकोस टर्मिन, odynas

इस लेख या खंड में संशोधन की आवश्यकता है। कृपया लेख लिखने के नियमों के अनुसार लेख में सुधार करें। Darboux वेक्टर रोटेशन के तात्कालिक अक्ष का निर्देशन वेक्टर है जिसके चारों ओर वक्र L का साथ वाला त्रिभुज ... ... विकिपीडिया पर घूमता है

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