एक समारोह की अवधारणा। सीमित विशेषताएं।
फ़ंक्शन परिभाषा: यदि संख्या D के सेट से प्रत्येक संख्या x एक एकल संख्या y से जुड़ी है, तो वे कहते हैं कि फ़ंक्शन f सेट D पर दिया गया है और y \u003d f (x) लिखें, जहां x को एक स्वतंत्र कहा जाता है इस फ़ंक्शन का चर या तर्क, और सेट D इस फ़ंक्शन का डोमेन है।
सीमित और असीमित कार्य।समारोह कहा जाता है सीमितअगर ऐसी कोई सकारात्मक संख्या है एमक्या | एफ(एक्स) | एमसभी मूल्यों के लिए एक्स ।यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद नहीं है, तो फलन है असीमित.
उदाहरण।
कार्य सम, विषम, मोनोटोनिक हैं।
सम और विषम कार्य।अगर के लिए कोई xफ़ंक्शन परिभाषा के दायरे से होता है: एफ(- एक्स) = एफ (एक्स), तब फ़ंक्शन को कहा जाता है यहाँ तक की; अगर ये हो: एफ(- एक्स) = - एफ (एक्स), तब फ़ंक्शन को कहा जाता है अजीब. एक सम फलन का ग्राफ वाई अक्ष के बारे में सममित(चित्र 5), एक विषम फलन का आलेख सममित के बारे में मूल(चित्र 6)।
मोनोटोनिक फ़ंक्शन।यदि तर्क के किन्हीं दो मानों के लिए एक्स 1 और एक्स 2 शर्त एक्स 2 >एक्स 1 अनुसरण करता है एफ(एक्स 2 ) >एफ(एक्स 1), फिर फ़ंक्शन एफ(एक्स) बुलाया की बढ़ती; अगर किसी के लिए एक्स 1 और एक्स 2 शर्त एक्स 2 >एक्स 1 अनुसरण करता है एफ(एक्स 2 ) <एफ(एक्स 1 ), फिर फ़ंक्शन एफ(एक्स) कहा जाता है घट. एक फलन जो केवल बढ़ता या घटता है, कहलाता है नीरस.
3. संख्यात्मक अनुक्रम। परिभाषा और उदाहरण।
हम कहेंगे कि चर एक्सवहाँ है व्यवस्थित चर , यदि इसके परिवर्तन का क्षेत्र ज्ञात है, और इसके किन्हीं दो मूल्यों में से प्रत्येक के लिए यह कहना संभव है कि उनमें से कौन सा पिछला है और कौन सा अगला है। एक आदेशित चर का एक विशेष मामला एक चर है जिसका मान बनता है संख्या अनुक्रम x 1 ,x 2 ,…,x n ,…ऐसे मूल्यों के लिए मैं< j, i, j Î N , अर्थ एक्स मैंपूर्व माना जाता है, एक्स जे- बाद में, चाहे इनमें से कौन सा मान अधिक हो। इस प्रकार, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक चर है जिसके क्रमिक मानों को पुन: क्रमांकित किया जा सकता है। संख्यात्मक अनुक्रम द्वारा निरूपित किया जाएगा। एक अनुक्रम की व्यक्तिगत संख्याएँ कहलाती हैं तत्वों.
उदाहरण के लिए, संख्यात्मक अनुक्रम निम्नलिखित मात्राओं से बनता है:
3. , जहां ए, डीस्थिर संख्याएँ हैं।
सीमा संख्या क्रम.
संख्या एकबुलाया सीमादृश्यों एक्स = {एक्स एन) यदि मनमाने ढंग से पूर्वनिर्धारित मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या के लिए ऐसा मौजूद है प्राकृतिक संख्या एन, कि सभी के लिए एन>नहींअसमानता |x n - a|< ε.
यदि संख्या एकएक अनुक्रम सीमा है एक्स = {एक्स एन), तो वे कहते हैं कि एक्स एनआदत है एक, और लिखा ।
इस परिभाषा को ज्यामितीय शब्दों में तैयार करने के लिए, हम निम्नलिखित धारणा का परिचय देते हैं। बिंदु x 0 . का पड़ोसएक मनमाना अंतराल कहा जाता है ( ए, बी) इस बिंदु को अपने अंदर समाहित करता है। एक बिंदु का पड़ोस अक्सर माना जाता है X 0, जिसके लिए X 0बीच है, तो X 0बुलाया केंद्रपड़ोस, और मात्रा ( बी–एक)/2 – RADIUSअड़ोस-पड़ोस।
तो, आइए जानें कि एक संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का ज्यामितीय रूप से क्या अर्थ है। ऐसा करने के लिए, हम परिभाषा से अंतिम असमानता को फॉर्म में लिखते हैं। इस असमानता का अर्थ है कि अनुक्रम के सभी तत्व संख्याओं के साथ एन>नहींअंतराल में होना चाहिए (ए - ε; ए + ε)।
इसलिए, एक स्थिर संख्या एकसंख्यात्मक अनुक्रम की सीमा है ( एक्स एन) यदि किसी बिंदु पर केंद्रित किसी छोटे पड़ोस के लिए एकत्रिज्या ε (ε बिंदु के पड़ोस हैं एक) संख्या के साथ अनुक्रम का ऐसा तत्व है एनकि सभी बाद के तत्व संख्याओं के साथ एन>नहींइस मोहल्ले में होगा।
उदाहरण।
1. चलो चर एक्सक्रमिक रूप से मान लेता है
आइए हम सिद्ध करें कि इस संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा 1 के बराबर है। एक मनमाना धनात्मक संख्या लीजिए। हमें ऐसी प्राकृत संख्या ज्ञात करनी है एन, कि सभी के लिए एन>नहींअसमानता | एक्स एन - 1| < ε. Действительно, т.к.
तो संबंध को पूरा करने के लिए |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве एनकोई भी प्राकृतिक संख्या जो असमानता को संतुष्ट करती है, हमें वह मिलता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है। तो अगर हम लेते हैं, उदाहरण के लिए, तो, सेटिंग एन = 6, सबके लिए एन>6 हमारे पास होगा।
2. किसी संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि .
एक मनमाना > 0 लीजिए। तब , यदि या , अर्थात् पर विचार करें। . इसलिए, हम असमानता को संतुष्ट करने वाली कोई भी प्राकृतिक संख्या चुनते हैं।
उदाहरण।
3. विचार करें। पर एक्स → 1भिन्न का अंश 1 की ओर प्रवृत्त होता है और हर 0 की ओर प्रवृत्त होता है। लेकिन चूँकि, अर्थात्। के लिए एक अतिसूक्ष्म फलन है एक्स→ 1, तो
प्रमेय 4.मान लीजिए कि तीन कार्य दिए गए हैं एफ (एक्स), यू (एक्स)तथा वी (एक्स), असमानताओं को संतुष्ट करना (एक्स)≤एफ(एक्स)≤वी(एक्स). यदि कार्य आप (एक्स)तथा वी (एक्स)एक ही सीमा है एक्स → ए(या एक्स→∞), फिर फ़ंक्शन एफ (एक्स)एक ही सीमा तक जाता है, अर्थात्। यदि
प्रमेय 5.मैं मोटा एक्स → ए(या एक्स→∞) समारोह वाई = एफ (एक्स)गैर-ऋणात्मक मान लेता है y≥0और सीमा तक जाता है बी, तो यह सीमा ऋणात्मक नहीं हो सकती: बी≥0.
सबूत. प्रमाण विरोधाभास द्वारा किया जाएगा। चलो दिखावा करते हैं कि बी<0 , फिर |y - b|≥|b|और, इसलिए, अंतर का मापांक शून्य पर नहीं जाता है एक्स → ए. परन्तु फिर आपहद तक नहीं जाता बीपर एक्स → ए, जो प्रमेय की स्थिति के विपरीत है।
प्रमेय 6.यदि दो कार्य एफ (एक्स)तथा जी (एक्स)तर्क के सभी मूल्यों के लिए एक्सअसमानता को संतुष्ट करें एफ (एक्स) ≥ जी (एक्स)और सीमाएँ हैं, तो हमारे पास असमानता है बासी.
सबूत।प्रमेय के अनुसार एफ (एक्स)-जी (एक्स) 0, इसलिए, प्रमेय 5 , या .
6. अनिश्चितताओं का प्रकटीकरण (0/0), -∞
मैं।अनिश्चितता।
अंश को कारकों में विघटित करते समय, हमने एक बहुपद को एक बहुपद से एक "कोण" से विभाजित करने के लिए नियम का उपयोग किया। संख्या के बाद से एक्स=1 बहुपद का मूल है एक्स 3 – 6x2 + 11एक्स- 6, तब विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है
7. अनुक्रम सीमा . प्राकृतिक लघुगणक की अवधारणा।
दूसरी उल्लेखनीय सीमा
उदाहरण:
आधार लघुगणक इ (इ- एक अनुवांशिक संख्या जो लगभग 2.718281828 ...) के बराबर होती है, कहलाती है प्राकृतिक. किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्सनिरूपित ln एक्स. प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग गणना में उपयोग किया जाता है।
लॉगरिदम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है
आधार, जिसे प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक को प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है
किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा।
किसी फ़ंक्शन की निरंतरता की अवधारणा सीधे किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा से संबंधित है।
एक संख्या ए को एक बिंदु ए पर एक फ़ंक्शन एफ की सीमा कहा जाता है, जो एक सेट ई के लिए सीमित है, यदि बिंदु ए के किसी भी पड़ोस वी (ए) के लिए, बिंदु के एक छिद्रित पड़ोस मौजूद है जैसे कि इसकी छवि मानचित्रण के तहत f बिंदु A के दिए गए पड़ोस V(A) का एक उपसमुच्चय है।
बिंदु a पर फलन f की सीमा, जो समुच्चय E की सीमा है, निम्न प्रकार से निरूपित की जाती है: या, यदि समुच्चय E के उल्लेख को छोड़ना संभव है।
चूंकि प्रत्येक पड़ोस को अपने नियमित (सममित) पड़ोस से जोड़ा जा सकता है, इसलिए सीमा की परिभाषा -δ भाषा में गणितीय विश्लेषण में प्रथागत रूप में तैयार की जा सकती है:
बिंदु a पर बिंदु f पर फलन की सीमा, जो समुच्चय E की सीमा है, सीधे अनुक्रम की सीमा से संबंधित है।
हम सेट ई के बिंदुओं के सभी संभावित अनुक्रमों पर विचार करेंगे जिनमें बिंदु ए उनकी सीमा है, और अनुक्रम के बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों के संबंधित अनुक्रम हैं। यदि बिंदु a पर फलन फलन f की सीमा मौजूद है, तो यह सीमा प्रत्येक अनुक्रम की सीमा होगी।
विलोम भी सत्य है: यदि सभी अनुक्रम समान मान में अभिसरण करते हैं, तो फ़ंक्शन में दिए गए मान के बराबर एक सीमा होती है।
पहली उल्लेखनीय सीमा
फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं किया जाता है जब एक्स=0, क्योंकि भिन्न का अंश और हर गायब हो जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।
हालाँकि, कोई भी इस फ़ंक्शन की सीमा का पता लगा सकता है एक्स→0.
हम लिखित सूत्र का प्रमाण प्रस्तुत करते हैं। त्रिज्या 1 के एक वृत्त पर विचार करें और मान लें कि रेडियन में व्यक्त कोण α 0 . के भीतर है< α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α >0.) चित्र से देखा जा सकता है कि
एसओएसी .
चूंकि संकेतित क्षेत्र क्रमशः बराबर हैं
एसओएसी=0,5∙ओसी∙ओएपाप α= 0.5sinα, एस संप्रदाय। ओएसी = 0,5∙ओसी 2 α=0.5α, एस ओबीसी=0,5∙ओसी∙ईसा पूर्व = 0.5tga.
फलस्वरूप,
पाप< α < tg α.
हम असमानता के सभी पदों को sin α > 0: से विभाजित करते हैं।
परंतु । इसलिए, सीमा पर प्रमेय 4 के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि व्युत्पन्न सूत्र को पहली उल्लेखनीय सीमा कहा जाता है।
इस प्रकार, पहली उल्लेखनीय सीमा अनिश्चितता को प्रकट करने का कार्य करती है। ध्यान दें कि परिणामी सूत्र सीमाओं के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए उदाहरण।
11.सीमा और संबंधित सीमाएं।
दूसरी उल्लेखनीय सीमा
दूसरी उल्लेखनीय सीमा अनिश्चितता को प्रकट करने का कार्य करती है 1 और ऐसा दिखता है
आइए हम इस तथ्य पर ध्यान दें कि दूसरी उल्लेखनीय सीमा के सूत्र में, घातांक में एक ऐसा व्यंजक होना चाहिए जो आधार में इकाई में जोड़े जाने वाले व्यंजक के विपरीत हो (चूंकि इस मामले में एक परिवर्तन का परिचय देना संभव है चर और वांछित सीमा को दूसरी उल्लेखनीय सीमा तक कम करें)
उदाहरण।
1. समारोह एफ (एक्स)=(एक्स-1) 2 के लिए असीम रूप से छोटा है एक्स→1, क्योंकि (अंजीर देखें।)
2. समारोह एफ (एक्स)= टीजी एक्सअसीम रूप से छोटा है एक्स→0.
3. एफ (एक्स)= लॉग(1+ एक्स) असीम रूप से छोटा है एक्स→0.
4. एफ (एक्स) = 1/एक्सअसीम रूप से छोटा है एक्स→∞.
आइए निम्नलिखित महत्वपूर्ण संबंध स्थापित करें:
प्रमेय।यदि समारोह वाई = एफ (एक्स)पर प्रतिनिधित्व योग्य एक्स → एएक स्थिर संख्या के योग के रूप में बीऔर असीम रूप से छोटा α(x): f(x)=b+ α(x)फिर ।
इसके विपरीत, यदि, तो f(x)=b+α(x), कहाँ पे ए (एक्स)असीम रूप से छोटा है एक्स → ए।
सबूत.
1. आइए अभिकथन के पहले भाग को सिद्ध करें। समानता से f(x)=b+α(x)चाहिए |एफ(एक्स) - बी|=| α|. लेकिन जबसे ए (एक्स)अनंत है, तो मनमाना के लिए है, बिंदु का एक पड़ोस एक,सभी के लिए एक्सजिसमें से, मान ए (एक्स)रिश्ते को संतुष्ट करें |α(x)|< . फिर |एफ(एक्स) - बी|< . और इसका मतलब यह है।
2. यदि , तो किसी . के लिए >0 सभी के लिए एक्सकुछ से δ बिंदु का एक पड़ोस है एकहोगा |एफ(एक्स) - बी|< . लेकिन अगर हम निरूपित करें एफ (एक्स) - बी = α, फिर |α(x)|< , जिसका अर्थ है कि एक- असीम रूप से छोटा।
आइए हम अपरिमित फलनों के मुख्य गुणों पर विचार करें।
प्रमेय 1.दो, तीन का बीजगणितीय योग, और सामान्य तौर पर किसी भी परिमित संख्या में इनफिनिटिमल्स एक इनफिनिटिमल फ़ंक्शन है।
सबूत. आइए हम दो पदों के लिए एक प्रमाण दें। होने देना f(x)=α(x)+β(x), और कहां । हमें यह साबित करने की आवश्यकता है कि मनमाने ढंग से छोटे . के लिए > 0 वहाँ δ> 0, ऐसा है कि के लिए एक्सअसमानता को संतुष्ट करना |x- ए|<δ , प्रदर्शन किया |एफ(एक्स)|< ε.
इस प्रकार, हम एक मनमाना संख्या . निर्धारित करते हैं > 0. चूंकि, प्रमेय की परिकल्पना के अनुसार, α(x)एक अतिसूक्ष्म फलन है, तो वहाँ मौजूद है δ 1 > 0, जो पर |एक्स - ए|< δ 1 हमारे पास है |α(x)|< ε / 2. इसी तरह, चूंकि β(x)अतिसूक्ष्म है, तो ऐसा 2 . है > 0, जो पर |एक्स - ए|< 2 हमारे पास है | β(x)|< ε / 2.
चलो ले लो = मिनट ( 1 , 2 } .फिर बिंदु के पड़ोस में एक RADIUS δ प्रत्येक असमानता को संतुष्ट किया जाएगा |α(x)|< ε / 2 और | β(x)|< ε / 2. इसलिए, इस पड़ोस में होगा
|एफ(एक्स)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,
वे। |एफ(एक्स)|< , जिसे सिद्ध किया जाना था।
प्रमेय 2।एक अतिसूक्ष्म फलन का गुणनफल ए (एक्स)सीमित कार्य के लिए एफ (एक्स)पर एक्स → ए(या जब एक्स→∞) एक अतिसूक्ष्म फलन है।
सबूत. समारोह के बाद से एफ (एक्स)सीमित है, तो एक संख्या है एमऐसा है कि सभी मूल्यों के लिए एक्सबिंदु के किसी पड़ोस से a|f(x)|≤M.इसके अलावा, चूंकि ए (एक्स)के लिए एक अतिसूक्ष्म फलन है एक्स → ए, फिर मनमाने ढंग से . के लिए > 0 बिंदु का एक पड़ोस है एक, जिसमें असमानता |α(x)|< ε /एम. फिर इन मोहल्लों में से छोटे में हमारे पास है | αf|< ε /एम= . और इसका मतलब है कि ए एफ- असीम रूप से छोटा। मामले के लिए एक्स→∞प्रमाण उसी तरह से किया जाता है।
सिद्ध प्रमेय से यह निम्नानुसार है:
परिणाम 1.अगर और तब
परिणाम 2.अगर व सी =कॉन्स्ट, फिर।
प्रमेय 3.एक अतिसूक्ष्म फलन का अनुपात α(x)प्रति समारोह एफ (एक्स), जिसकी सीमा शून्येतर है, एक अतिसूक्ष्म फलन है।
सबूत. होने देना । फिर 1 / एफ (एक्स)एक सीमित कार्य है। इसलिए, भिन्न एक अतिसूक्ष्म फलन और एक परिबद्ध फलन का गुणनफल होता है, अर्थात्। कार्य अनंत है।
उदाहरण।
1. यह स्पष्ट है कि एक्स→+∞समारोह वाई = एक्स 2 + 1 अनंत है। लेकिन फिर, ऊपर दिए गए प्रमेय के अनुसार, फलन अपरिमित होता है एक्स→+∞, अर्थात। .
विलोम प्रमेय को भी सिद्ध किया जा सकता है।
प्रमेय 2।यदि समारोह एफ (एक्स)- असीम रूप से छोटा at एक्स → ए(या एक्स → ∞)और गायब नहीं होता है, तो वाई = 1/ एफ (एक्स)एक अनंत कार्य है।
प्रमेय को स्वयं सिद्ध कीजिए।
उदाहरण।
3. , फलन के बाद से और के लिए अपरिमित हैं एक्स→+∞, तो जैसा कि अपरिमित फलनों का योग एक अतिसूक्ष्म फलन है। एक फलन एक अचर संख्या और एक अपरिमित रूप से छोटे फलन का योग होता है। इसलिए, प्रमेय 1 के अनुसार, हम अनंत कार्यों के लिए वांछित समानता प्राप्त करते हैं।
इस प्रकार, असीम रूप से छोटे और असीम रूप से बड़े कार्यों के सबसे सरल गुणों को निम्नलिखित सशर्त संबंधों का उपयोग करके लिखा जा सकता है: ए≠ 0
13. समान क्रम के अपरिमित रूप से छोटे फलन, तुल्य अपरिमित रूप से छोटे।
असीम रूप से छोटे कार्य और लघुता के समान क्रम के इनफिनिटिमल कहलाते हैं यदि, निरूपित करें। और, अंत में, यदि मौजूद नहीं है, तो असीम कार्य और अतुलनीय हैं।
उदाहरण 2. अतिसूक्ष्म फलनों की तुलना
समतुल्य अन्तर्निहित कार्य।
यदि , तो अतिसूक्ष्म फलन और कहलाते हैं बराबर, निरूपित करें ~।
स्थानीय रूप से समकक्ष कार्य:
कभि अगर
कुछ तुल्यता(पर ):
एकतरफा सीमाएं।
अब तक हमने किसी फलन की सीमा की परिभाषा पर विचार किया है, जब एक्स → एमनमाने ढंग से, अर्थात् फलन की सीमा इस बात पर निर्भर नहीं करती कि कैसे एक्सकी ओर एक, के बाएँ या दाएँ एक. हालांकि, ऐसे कार्यों को ढूंढना काफी आम है जिनकी इस स्थिति के तहत कोई सीमा नहीं है, लेकिन उनकी एक सीमा है यदि एक्स → ए, के एक तरफ रहना एक, बाएँ या दाएँ (अंजीर देखें।) इसलिए, एकतरफा सीमा की अवधारणा पेश की जाती है।
यदि एक एफ (एक्स)सीमा तक जाता है बीपर एक्सकुछ संख्या के लिए प्रयास कर रहा है एकइसलिए एक्सकेवल से कम मान लेता है एक, फिर लिखें और कॉल करें फ़ंक्शन f(x) की सीमा बाईं ओर बिंदु a पर है।
तो संख्या बीफलन की सीमा कहलाती है वाई = एफ (एक्स)पर एक्स → एबाईं ओर, यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो एक संख्या δ (से छोटी .) है एक
इसी प्रकार, यदि एक्स → एऔर बड़े मूल्य लेता है एक, फिर लिखें और कॉल करें बीएक बिंदु पर कार्य सीमा एकदायी ओर। वे। संख्या बीबुलाया समारोह की सीमा y=f(x) पर x→a दाईं ओर, यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो ऐसी संख्या है (से अधिक एक) कि असमानता सभी के लिए है।
ध्यान दें कि यदि सीमाएँ एक बिंदु पर बाएँ और दाएँ हैं एकसमारोह के लिए एफ (एक्स)मेल नहीं खाते, तो फ़ंक्शन की बिंदु पर कोई (दो तरफा) सीमा नहीं होती है एक.
उदाहरण।
1. फ़ंक्शन पर विचार करें वाई = एफ (एक्स), खंड पर निम्नानुसार परिभाषित किया गया है
आइए फ़ंक्शन की सीमाएं पाएं एफ (एक्स)पर एक्स→ 3. जाहिर है, ए
दूसरे शब्दों में, किसी भी मनमाने ढंग से कम संख्या में एप्सिलॉन के लिए, एप्सिलॉन के आधार पर एक ऐसा डेल्टा होता है, कि इस तथ्य से कि किसी भी x असमानता को संतुष्ट करने के लिए यह इस प्रकार है कि इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों में अंतर होगा मनमाने ढंग से छोटा हो।
एक बिंदु पर एक समारोह की निरंतरता के लिए मानदंड:
समारोहहोगा निरंतरबिंदु A पर यदि और केवल यदि यह दाईं ओर और बाईं ओर बिंदु A पर निरंतर है, अर्थात बिंदु A पर दो एकतरफा सीमाएं मौजूद हैं, तो वे एक दूसरे के बराबर और के मान के बराबर हैं बिंदु A पर कार्य करता है।
परिभाषा 2: समारोह निरंतर हैएक समुच्चय पर यदि वह इस समुच्चय के सभी बिन्दुओं पर सतत है।
एक बिंदु पर एक समारोह का व्युत्पन्न
के पड़ोस में परिभाषित होने दें। विचार करना
यदि यह सीमा मौजूद है, तो इसे कहा जाता है बिंदु पर फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न।
फ़ंक्शन व्युत्पन्न- तर्क वृद्धि के लिए फ़ंक्शन वृद्धि के अनुपात की सीमा, जब तर्क वृद्धि हुई है।
किसी बिंदु पर अवकलज की गणना या पता लगाने की क्रिया कहलाती है भेदभाव .
विभेदन नियम।
यौगिककार्यों एफ (एक्स)बिंदु पर एक्स = एक्स 0इस बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात तर्क की वृद्धि के लिए है, क्योंकि बाद वाला शून्य हो जाता है। व्युत्पन्न ढूँढना कहा जाता है भेदभाव. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना सामान्य विभेदन नियम के अनुसार की जाती है: आइए हम निरूपित करें एफ (एक्स) = यू, जी (एक्स) = वी- एक बिंदु पर अलग-अलग कार्य एक्स. भेदभाव के बुनियादी नियम 1) (योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्न के योग के बराबर है) 2) (इसलिए, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि किसी फ़ंक्शन के उत्पाद का व्युत्पन्न और स्थिरांक इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है स्थिरांक से) 3) भागफल का व्युत्पन्न: यदि g 0 4) एक जटिल फलन का व्युत्पन्न: 5) यदि फ़ंक्शन पैरामीट्रिक रूप से सेट किया गया है: , तो
उदाहरण।
1. आप = एक्सएक - ऊर्जा समीकरणएक मनमाना सूचकांक के साथ।
निहित कार्य
यदि फ़ंक्शन y के संबंध में हल किए गए समीकरण y=ƒ(x) द्वारा दिया गया है, तो फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से (स्पष्ट कार्य) दिया जाता है।
नीचे निहित असाइनमेंटफ़ंक्शन एक फ़ंक्शन के असाइनमेंट को समीकरण F(x;y)=0 के रूप में समझते हैं, y के संबंध में इसकी अनुमति नहीं है।
कोई भी स्पष्ट रूप से दिया गया कार्य y=ƒ(x) को समीकरण ƒ(x)-y=0 द्वारा निहित रूप से लिखा जा सकता है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।
वाई के लिए एक समीकरण को हल करना हमेशा आसान और कभी-कभी असंभव नहीं होता है (उदाहरण के लिए, y+2x+cozy-1=0 या 2y-x+y=0)।
यदि निहित कार्य समीकरण F(x; y)=0 द्वारा दिया गया है, तो x के संबंध में y का अवकलज ज्ञात करने के लिए y के संबंध में समीकरण को हल करने की कोई आवश्यकता नहीं है: y को x का एक फलन मानते हुए, यह x के संबंध में इस समीकरण में अंतर करने के लिए पर्याप्त है,और फिर y" के संबंध में परिणामी समीकरण को हल करें।
एक निहित फ़ंक्शन का व्युत्पन्न तर्क x और फ़ंक्शन y के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है।
उदाहरण:
समीकरण x 3 +y 3 -3xy=0 द्वारा दिए गए फलन y का अवकलज ज्ञात कीजिए।
हल: फलन y परोक्ष रूप से परिभाषित है। x के संबंध में अंतर x समानता x 3 +y 3 -3xy=0. परिणामी अनुपात से
3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0
यह इस प्रकार है कि y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, अर्थात y "= (y-x 2) / (y 2 -x)।
उच्च आदेशों के डेरिवेटिव
यह स्पष्ट है कि व्युत्पन्न
कार्यों वाई = एफ (एक्स)से एक समारोह भी है एक्स:
वाई" = एफ" (एक्स)
यदि समारोह च"(एक्स)अवकलनीय है, तो इसका व्युत्पन्न प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है वाई""=एफ""(एक्स) एक्सदो बार।
दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न, अर्थात। कार्यों वाई""= एफ""(एक्स), कहा जाता है फलन का तीसरा अवकलज y=f(x)या तीसरे क्रम के फलन f(x) का अवकलजऔर प्रतीक है
सामान्यतया एन-मैं व्युत्पन्न या व्युत्पन्न एन-वें क्रम समारोह वाई = एफ (एक्स)प्रतीकों द्वारा निरूपित
एफ-ला लाइबनिज:
आइए मान लें कि nवें क्रम तक के व्युत्पन्नों सहित फलन और अवकलनीय हैं। दो फलनों के गुणनफल के विभेदीकरण के नियम को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं
आइए इन व्यंजकों की द्विपद की घातों से तुलना करें:
पत्राचार नियम हड़ताली है: कार्यों के उत्पाद से 1, 2 या 3 आदेशों के व्युत्पन्न के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए, आपको डिग्री को बदलने की जरूरत है और अभिव्यक्ति में (जहां एन= 1,2,3) संबंधित आदेशों के डेरिवेटिव। इसके अलावा, और की शून्य शक्तियों को डेरिवेटिव द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए शून्य आदेश, उनके द्वारा अर्थ कार्य और :
एक मनमाना आदेश व्युत्पन्न के मामले में इस नियम को सामान्य बनाना एन, हम पाते हैं लाइबनिज़ सूत्र,
द्विपद गुणांक कहाँ हैं:
रोले का प्रमेय।
यह प्रमेय महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजना संभव बनाता है और फिर, पर्याप्त परिस्थितियों की सहायता से, एक्स्ट्रेमा के लिए f-th की जांच करना संभव बनाता है।
मान लीजिए 1) f-th f(x) को परिभाषित किया गया है और कुछ पर निरंतर है बंद अंतराल; 2) एक परिमित व्युत्पन्न है, कम से कम खुले अंतराल में (a;b); 3) सिरों पर अंतराल एफ-आई f(a) = f(b) के बराबर मान लेता है। फिर बिंदु a और b के बीच एक ऐसा बिंदु c है कि इस बिंदु पर अवकलज = 0 होगा।
एक खंड पर निरंतर f-ths की संपत्ति पर प्रमेय के अनुसार, f-th f(x) इस खंड पर इसके अधिकतम और न्यूनतम मान लेता है।
f (x 1) \u003d M - अधिकतम, f (x 2) \u003d m - मिनट; एक्स 1 ;एक्स 2
1) मान लीजिए M = m, अर्थात्। एम £ एफ (एक्स) £ एम
f-th f(x) अंतराल पर a से b स्थिरांक मान लेगा, और Þ इसका अवकलज शून्य के बराबर होगा। च '(एक्स) = 0
2) मान लीजिए M>m
इसलिये प्रमेय की शर्तों के अनुसार, f(a) = f(b) z इसका सबसे छोटा या सबसे बड़ा है एफ-वें मूल्यखंड के सिरों पर नहीं ले जाएगा, लेकिन Þ इस खंड के आंतरिक बिंदु पर एम या एम ले जाएगा। फिर फर्मेट की प्रमेय f'(c)=0 द्वारा।
लैग्रेंज का प्रमेय।
परिमित वेतन वृद्धि फॉर्मूलाया लैग्रेंज माध्य मान प्रमेयबताता है कि यदि फ़ंक्शन एफखंड पर निरंतर [ एक;बी] और अंतराल में अवकलनीय ( एक;बी), तो एक बिंदु ऐसा है कि
कॉची का प्रमेय।
यदि फलन f(x) और g(x) अंतराल पर निरंतर हैं और अंतराल (a, b) और g¢(x) ¹ 0 पर अंतराल (a, b) पर अवकलनीय हैं, तो कम से कम एक है बिंदु ई, ए< e < b, такая, что
वे। किसी दिए गए खंड पर कार्यों की वृद्धि का अनुपात बिंदु ई पर डेरिवेटिव के अनुपात के बराबर है। व्याख्यान के समस्या समाधान पाठ्यक्रम के उदाहरण द्वारा शरीर की मात्रा की गणना प्रसिद्ध वर्गउसके समानांतर खंडसमाकलन गणित
कोर्स वर्क के उदाहरणविद्युत अभियन्त्रण
इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, पहली नज़र में, लैग्रेंज के प्रमेय का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक है। प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए परिमित अंतर सूत्र लिखें, और फिर उन्हें एक दूसरे से विभाजित करें। हालाँकि, यह दृष्टिकोण गलत है, क्योंकि प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए बिंदु ई आम तौर पर अलग होता है। बेशक, कुछ विशेष मामलों में यह अंतराल बिंदु दोनों कार्यों के लिए समान हो सकता है, लेकिन यह एक बहुत ही दुर्लभ संयोग है, एक नियम नहीं है, और इसलिए प्रमेय को साबित करने के लिए इस्तेमाल नहीं किया जा सकता है।
सबूत। सहायक समारोह पर विचार करें
जब x→x 0, c का मान भी x 0 हो जाता है; आइए पिछली समानता में सीमा तक जाएं:
इसलिये , फिर ।
इसीलिए
(दो अतिसूक्ष्म जीवों के अनुपात की सीमा उनके व्युत्पन्नों के अनुपात की सीमा के बराबर होती है, यदि बाद वाले मौजूद हों)
ल'होपिटल का नियम, / पर।
एक मोनोटोन फ़ंक्शन की सीमा पर प्रमेय। प्रमेय का प्रमाण दो विधियों का उपयोग करके दिया जाता है। सख्ती से बढ़ते, गैर-घटते, सख्ती से घटते और गैर-बढ़ते कार्यों की परिभाषाएं भी दी गई हैं। एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन की परिभाषा।
परिभाषाएं
बढ़ते और घटते कार्यों की परिभाषाएँ
चलो समारोह f (एक्स)वास्तविक संख्या X के कुछ सेट पर परिभाषित किया गया है।
समारोह कहा जाता है सख्ती से बढ़ रहा है (सख्ती से घट रहा है), यदि सभी x′, x′′ के लिए एक्सऐसा कि x′< x′′
выполняется неравенство:
एफ (एक्स')< f(x′′)
( एफ (x′) > f(x′′) )
.
समारोह कहा जाता है गैर-घटता (गैर-बढ़ती), यदि सभी x′, x′′ के लिए एक्सऐसा कि x′< x′′
выполняется неравенство:
एफ (एक्स′) एफ (एक्स′′)( एफ (एक्स′) एफ (एक्स′′) )
.
इसका तात्पर्य यह है कि सख्ती से बढ़ता हुआ कार्य भी कम नहीं होता है। एक सख्ती से घटने वाला कार्य भी गैर-बढ़ रहा है।
एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन की परिभाषा
समारोह कहा जाता है नीरसअगर यह गैर-घटता या गैर-बढ़ती है।
किसी समुच्चय X पर किसी फलन की एकरसता का अध्ययन करने के लिए, आपको इस समुच्चय से संबंधित दो मनमाना बिंदुओं पर इसके मानों का अंतर ज्ञात करना होगा। यदि , तो फ़ंक्शन सख्ती से बढ़ रहा है; यदि , तो फ़ंक्शन कम नहीं होता है; अगर , तो सख्ती से घट जाती है; है, तो नहीं बढ़ता।
यदि किसी सेट पर फ़ंक्शन सकारात्मक है: , तो एकरसता निर्धारित करने के लिए, कोई इस सेट के दो मनमाने बिंदुओं पर इसके मूल्यों को विभाजित करने के भागफल की जांच कर सकता है। यदि , तो फ़ंक्शन सख्ती से बढ़ रहा है; यदि , तो फ़ंक्शन कम नहीं होता है; अगर , तो सख्ती से घट जाती है; है, तो नहीं बढ़ता।
प्रमेय
चलो समारोह f (एक्स)अंतराल पर कम नहीं होता है (ए, बी), कहाँ पे ।
यदि यह ऊपर से M: संख्या से घिरा है, तो बिंदु b: पर एक सीमित बाईं सीमा है। अगर f (एक्स)ऊपर से बंधा नहीं है, तो .
अगर f (एक्स)नीचे से संख्या m: से घिरा है, तो बिंदु a: पर एक परिमित दाहिनी सीमा है। अगर f (एक्स)नीचे नहीं, तो .
यदि बिंदु a और b अनंत पर हैं, तो व्यंजकों में सीमा चिन्ह का अर्थ है कि ।
इस प्रमेय को अधिक सघन रूप से तैयार किया जा सकता है।
चलो समारोह f (एक्स)अंतराल पर कम नहीं होता है (ए, बी), कहाँ पे । फिर बिंदु a और b पर एकतरफा सीमाएँ हैं:
;
.
गैर-बढ़ते फ़ंक्शन के लिए एक समान प्रमेय।
फ़ंक्शन को अंतराल पर न बढ़ने दें, जहां। फिर एकतरफा सीमाएँ हैं:
;
.
परिणाम
फ़ंक्शन को अंतराल पर मोनोटोनिक होने दें। फिर इस अंतराल से किसी भी बिंदु पर, फलन की एकतरफा परिमित सीमाएँ होती हैं:
तथा ।
प्रमेय का प्रमाण
समारोह कम नहीं होता है
बी - अंतिम संख्या
ऊपर से सीमित कार्य
1.1.1. मान लें कि फलन ऊपर से M : for की संख्या से घिरा है।
.
;
.
चूँकि फलन कम नहीं होता है, तो के लिए . फिर
पर ।
आइए अंतिम असमानता को बदलें:
;
;
.
क्योंकि तब । फिर
पर ।
पर ।
"एक परिमित बिंदु पर एक समारोह की एकतरफा सीमाओं की परिभाषा")।
समारोह ऊपर से सीमित नहीं है
1. मान लीजिए कि अंतराल पर फलन घटता नहीं है।
1.1. मान लीजिए कि संख्या b परिमित है: ।
1.1.2 फ़ंक्शन को ऊपर से असीमित होने दें।
आइए हम साबित करें कि इस मामले में एक सीमा है।
.
पर ।
आइए निरूपित करें। तब किसी के लिए मौजूद है, ताकि
पर ।
इसका अर्थ है कि बिंदु b पर बाईं ओर की सीमा है (देखें "अंत बिंदु पर एक फ़ंक्शन की एकतरफा अनंत सीमाओं की परिभाषा")।
बी अर्ली प्लस इनफिनिटी
ऊपर से सीमित कार्य
1. मान लीजिए कि अंतराल पर फलन घटता नहीं है।
1.2.1. मान लें कि फलन ऊपर से M : for की संख्या से घिरा है।
आइए हम साबित करें कि इस मामले में एक सीमा है।
चूंकि फ़ंक्शन ऊपर से घिरा हुआ है, इसलिए एक परिमित ऊपरी सीमा है
.
न्यूनतम ऊपरी सीमा की परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
;
किसी भी सकारात्मक के लिए एक तर्क है जिसके लिए
.
चूँकि फलन कम नहीं होता है, तो के लिए . तो फिर । या
पर ।
तो हमने पाया है कि किसी के लिए एक संख्या मौजूद होती है, ताकि
पर ।
"अनंत पर एकतरफा सीमा की परिभाषाएं")।
समारोह ऊपर से सीमित नहीं है
1. मान लीजिए कि अंतराल पर फलन घटता नहीं है।
1.2. मान लीजिए कि संख्या b जमा अनंत है: ।
1.2.2. फ़ंक्शन को ऊपर से असीमित होने दें।
आइए हम साबित करें कि इस मामले में एक सीमा है।
चूँकि फलन ऊपर से परिबद्ध नहीं है, तो किसी भी संख्या M के लिए एक तर्क है, जिसके लिए
.
चूँकि फलन कम नहीं होता है, तो के लिए . तो फिर ।
तो, किसी के लिए एक संख्या है, ताकि
पर ।
इसका मतलब है कि पर सीमा है (देखें "अनंत पर एकतरफा अनंत सीमाओं की परिभाषाएं")।
समारोह में वृद्धि नहीं होती है
अब उस मामले पर विचार करें जब फलन नहीं बढ़ रहा है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, आप प्रत्येक विकल्प पर अलग से विचार कर सकते हैं। लेकिन हम उन्हें तुरंत कवर करेंगे। इसके लिए हम उपयोग करते हैं। आइए हम साबित करें कि इस मामले में एक सीमा है।
फ़ंक्शन मानों के सेट की सीमित निचली सीमा पर विचार करें:
.
यहाँ B या तो एक परिमित संख्या या अनंत पर एक बिंदु हो सकता है। सटीक न्यूनतम की परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
;
बिंदु B के किसी भी पड़ोस के लिए एक तर्क है जिसके लिए
.
प्रमेय की शर्त के अनुसार, . इसीलिए ।
चूँकि फलन में वृद्धि नहीं होती है, तब के लिए . तब से
पर ।
या
पर ।
इसके अलावा, हम ध्यान दें कि असमानता बिंदु b के बाएं पंचर पड़ोस को परिभाषित करती है।
तो, हमने पाया है कि बिंदु के किसी भी पड़ोस के लिए, बिंदु बी के लिए एक ऐसा पंचर बाएं पड़ोस है कि
पर ।
इसका अर्थ है कि बिंदु b पर बाईं ओर की सीमा है:
(कॉची के अनुसार किसी फलन की सीमा की सार्वभौमिक परिभाषा देखें)।
बिंदु a . पर सीमा
अब आइए दिखाते हैं कि बिंदु a पर एक सीमा होती है और उसका मान ज्ञात करते हैं।
आइए एक समारोह पर विचार करें। प्रमेय की शर्त के अनुसार, फलन के लिए मोनोटोनिक है। आइए वेरिएबल x को - x से बदलें (या प्रतिस्थापन करें और फिर वेरिएबल t को x से बदलें)। तब फ़ंक्शन के लिए मोनोटोन है। असमानताओं को से गुणा करना -1 और उनके क्रम को बदलते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि फलन के लिए मोनोटोनिक है।
इसी तरह, यह दिखाना आसान है कि अगर यह कम नहीं होता है, तो यह नहीं बढ़ता है। फिर ऊपर जो सिद्ध हुआ उसके अनुसार एक सीमा होती है
.
अगर यह नहीं बढ़ता है, तो यह कम नहीं होता है। इस मामले में, एक सीमा है
.
अब यह दिखाना बाकी है कि यदि पर फ़ंक्शन की सीमा है, तो फ़ंक्शन की सीमा पर है, और ये सीमाएं बराबर हैं:
.
आइए संकेतन का परिचय दें:
(1)
.
आइए f को g के रूप में व्यक्त करें:
.
एक मनमाना सकारात्मक संख्या लें। मान लीजिए कि बिंदु A का एक एप्सिलॉन पड़ोस है। एप्सिलॉन पड़ोस को ए के परिमित और अनंत दोनों मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है (देखें "एक बिंदु का पड़ोस")। चूँकि एक सीमा (1) है, तो, एक सीमा की परिभाषा के अनुसार, किसी के लिए भी ऐसा मौजूद है कि
पर ।
मान लीजिए a एक परिमित संख्या है। आइए असमानताओं का उपयोग करके बिंदु-ए के बाएं छिद्रित पड़ोस को व्यक्त करें:
पर ।
आइए x को -x से बदलें और ध्यान रखें कि:
पर ।
अंतिम दो असमानताएँ बिंदु a के एक छिद्रित दाहिने पड़ोस को परिभाषित करती हैं। फिर
पर ।
मान लीजिए कि एक अनंत संख्या है, . हम चर्चा दोहराते हैं।
पर ;
पर ;
पर ;
पर ।
तो, हमने पाया है कि किसी के लिए भी ऐसा मौजूद है कि
पर ।
इसका मतलब है कि
.
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
हम फंक्शन y=f(x) BOUNDED UP (BOTTOM) को डोमेन D(f) से सेट A पर कॉल करेंगे, यदि ऐसी कोई संख्या है एम , कि इसमें से किसी भी x के लिए शर्त सेट करें
तार्किक प्रतीकों का उपयोग करते हुए, परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
एफ (एक्स) – सेट पर ऊपर से बंधे
(एफ (एक्स) – सेट पर नीचे से बंधे
निरपेक्ष मूल्य में बंधे या बस बंधे हुए कार्यों को भी ध्यान में रखा जाता है।
हम परिभाषा के क्षेत्र से सेट ए पर बाउंडेड फ़ंक्शन को कॉल करेंगे यदि कोई सकारात्मक संख्या एम मौजूद है जैसे कि
तार्किक प्रतीकों की भाषा में
एफ (एक्स) – सेट पर सीमित
एक फ़ंक्शन जो बाध्य नहीं है उसे अनबाउंड कहा जाता है। हम जानते हैं कि निषेध के माध्यम से दी गई परिभाषाओं में बहुत कम सामग्री होती है। इस अभिकथन को एक परिभाषा के रूप में तैयार करने के लिए, हम क्वांटिफायर ऑपरेशंस (3.6) और (3.7) के गुणों का उपयोग करते हैं। तब तार्किक प्रतीकों की भाषा में फ़ंक्शन की बाध्यता का खंडन देगा:
एफ (एक्स) – सेट पर सीमित
प्राप्त परिणाम हमें निम्नलिखित परिभाषा तैयार करने की अनुमति देता है।
सेट ए पर एक फ़ंक्शन को असीमित कहा जाता है, जो फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित होता है, यदि इस सेट पर किसी सकारात्मक संख्या एम के लिए तर्क x का ऐसा मान है , कि मान अभी भी M के मान से अधिक होगा, अर्थात .
एक उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन पर विचार करें
इसे संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर परिभाषित किया गया है। यदि हम खंड [-2;1] (सेट ए) लेते हैं, तो यह ऊपर और नीचे दोनों से घिरा होगा।
वास्तव में, यह दिखाने के लिए कि यह ऊपर से घिरा हुआ है, हमें विधेय पर विचार करना चाहिए
और दिखाएँ कि वहाँ (मौजूद है) M ऐसा है कि खंड [-2;1] पर लिए गए सभी x के लिए, यह सत्य होगा
ऐसे एम को खोजना मुश्किल नहीं है। हम मान सकते हैं कि एम = 7, अस्तित्व क्वांटिफायर एम के कम से कम एक मूल्य को खोजने का तात्पर्य है। ऐसे एम की उपस्थिति इस तथ्य की पुष्टि करती है कि खंड [-2; 1] पर कार्य ऊपर से घिरा हुआ है।
नीचे से इसकी सीमा को सिद्ध करने के लिए, हमें विधेय पर विचार करने की आवश्यकता है
M का मान, जो इस विधेय की सच्चाई को सुनिश्चित करता है, उदाहरण के लिए, M = -100 है।
यह साबित किया जा सकता है कि फ़ंक्शन मॉड्यूलो से भी घिरा होगा: खंड [-2; 1] से सभी एक्स के लिए, फ़ंक्शन के मान के मानों के साथ मेल खाते हैं, इसलिए, एम के रूप में, हम ले सकते हैं , उदाहरण के लिए, M = 7 का पिछला मान।
आइए हम दिखाते हैं कि एक ही कार्य, लेकिन अंतराल पर, असीम होगा, अर्थात,
यह दिखाने के लिए कि ऐसा x मौजूद है, कथन पर विचार करें
तर्क के सकारात्मक मूल्यों के बीच x के आवश्यक मानों की खोज करने पर, हम प्राप्त करते हैं
इसका मतलब यह है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि सकारात्मक क्या है, x के मान जो असमानता की पूर्ति सुनिश्चित करते हैं
अनुपात से प्राप्त होते हैं।
संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर एक फ़ंक्शन को ध्यान में रखते हुए, कोई यह दिखा सकता है कि यह निरपेक्ष मान में असीम है।
दरअसल, असमानता से
यानी सकारात्मक एम कितना भी बड़ा क्यों न हो, या असमानता की पूर्ति सुनिश्चित करेगा।
चरम समारोह।
समारोह बिंदु पर है साथ स्थानीय अधिकतम (न्यूनतम) यदि इस बिंदु का ऐसा पड़ोस है जिसके लिए एक्स¹ साथ यह पड़ोस असमानता को संतुष्ट करता है
विशेष रूप से चरम बिंदु केवल अंतराल का आंतरिक बिंदु हो सकता है, और इसमें f (x) को परिभाषित किया जाना चाहिए। एक चरम की अनुपस्थिति के संभावित मामलों को अंजीर में दिखाया गया है। 8.8.
यदि कोई फलन किसी अंतराल पर बढ़ता (घटता) है और किसी अंतराल पर घटता (बढ़ता) है, तो बिंदु साथ स्थानीय अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु है।
एक बिंदु पर अधिकतम फलन f(x) की अनुपस्थिति साथ इस तरह तैयार किया जा सकता है:
_______________________
f(x) का अधिकतम c . है
इसका मतलब यह है कि यदि बिंदु c एक स्थानीय अधिकतम बिंदु नहीं है, तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह कौन सा पड़ोस है जिसमें बिंदु c को एक आंतरिक के रूप में शामिल किया गया है, x का कम से कम एक मान c के बराबर नहीं है, जिसके लिए । इस प्रकार, यदि बिंदु c पर कोई अधिकतम नहीं है, तो इस बिंदु पर कोई चरम नहीं हो सकता है, या यह न्यूनतम बिंदु हो सकता है (चित्र 8.9)।
एक चरम सीमा की अवधारणा किसी भी बिंदु पर आस-पास के लोगों के संबंध में किसी फ़ंक्शन के मूल्य का तुलनात्मक मूल्यांकन देती है। कुछ अंतराल के सभी बिंदुओं के लिए फ़ंक्शन मानों की समान तुलना की जा सकती है।
किसी सेट पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (न्यूनतम) मान इस सेट से एक बिंदु पर उसका मान होता है जैसे - के लिए। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान सेगमेंट के आंतरिक बिंदु पर पहुंच जाता है, और सबसे छोटा – इसके बाएं छोर पर।
किसी सेगमेंट पर दिए गए फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान निर्धारित करने के लिए, इसके मैक्सिमा (न्यूनतम) के सभी मानों के साथ-साथ लिए गए मानों के बीच सबसे बड़ी (सबसे छोटी) संख्या चुनना आवश्यक है। अंतराल के अंत। यह फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान होगा। यह नियम बाद में निर्दिष्ट किया जाएगा।
खुले अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या हमेशा आसानी से हल नहीं होती है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन
अंतराल में (चित्र 8.11) उनके पास नहीं है।
आइए सुनिश्चित करें, उदाहरण के लिए, कि इस फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान नहीं है। वास्तव में, फ़ंक्शन की एकरसता को देखते हुए, यह तर्क दिया जा सकता है कि हम x के मानों को एकता के बाईं ओर कितना भी करीब सेट कर लें, कोई अन्य x होगा जिसमें फ़ंक्शन के मान इससे अधिक होंगे इसके मान दिए गए निश्चित बिंदुओं पर हैं, लेकिन फिर भी एकता से कम हैं।
विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "एक फ़ंक्शन के गुण। कार्य में वृद्धि और कमी"
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ग्रेड 7-9 . के लिए इलेक्ट्रॉनिक पाठ्यपुस्तक "समझने योग्य ज्यामिति"
दोस्तों, हम संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन जारी रखते हैं। आज हम ऐसे विषय पर ध्यान केंद्रित करेंगे जैसे कि फ़ंक्शन गुण। कार्यों में कई गुण होते हैं। याद रखें कि हमने हाल ही में किन गुणों का अध्ययन किया है। यह सही है, दायरा और दायरा, वे प्रमुख गुणों में से एक हैं। उनके बारे में कभी न भूलें और याद रखें कि एक फ़ंक्शन में हमेशा ये गुण होते हैं।
इस भाग में, हम फलनों के कुछ गुणों को परिभाषित करेंगे। जिस क्रम में हम उन्हें निर्धारित करेंगे, मैं समस्याओं को हल करते समय पालन करने की सलाह देता हूं।
फ़ंक्शन आरोही और घटाना
पहली संपत्ति जिसे हम परिभाषित करेंगे वह फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी है।
एक फ़ंक्शन को सेट X⊂D(f) पर बढ़ाना कहा जाता है यदि किसी x1 और x2 के लिए जैसे कि x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.एक फ़ंक्शन को सेट X⊂D(f) पर घटते हुए कहा जाता है यदि किसी x1 और x2 के लिए जैसे कि x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>एफ (एक्स 2)। अर्थात्, तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।
किसी फ़ंक्शन के "वृद्धि" और "कमी" की अवधारणाओं को समझना बहुत आसान है यदि आप फ़ंक्शन के ग्राफ़ को बारीकी से देखते हैं। बढ़ते फलन के लिए: हम क्रमशः पहाड़ी पर जाते हैं, घटते फलन के लिए, हम क्रमशः नीचे जाते हैं। सामान्य फ़ॉर्मबढ़ते और घटते कार्यों को नीचे दिए गए ग्राफ़ में प्रस्तुत किया गया है।
किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी को आम तौर पर एकरसता कहा जाता है।यानी हमारा काम घटते और बढ़ते कार्यों के अंतराल को खोजना है। सामान्य स्थिति में, इसे निम्नानुसार तैयार किया जाता है: एकरसता के अंतराल खोजें या एकरसता के लिए एक फ़ंक्शन की जांच करें।
फ़ंक्शन $y=3x+2$ की एकरसता की जांच करें।
हल: किसी भी x1 और x2 के लिए फलन की जाँच करें और x1 . को मान लें< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
क्योंकि, x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
कार्य सीमा
एक फ़ंक्शन $y=f(x)$ को एक सेट X⊂D(f) पर नीचे से घिरा हुआ कहा जाता है यदि कोई संख्या मौजूद है जैसे कि किसी भी xϵX के लिए असमानता f(x)< a.
एक फ़ंक्शन $y=f(x)$ को एक सेट X⊂D(f) पर ऊपर से घिरा हुआ कहा जाता है यदि कोई संख्या मौजूद है जैसे कि किसी भी xϵX के लिए असमानता f(x)< a.
यदि अंतराल एक्स इंगित नहीं किया गया है, तो यह माना जाता है कि फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे डोमेन पर सीमित है। ऊपर और नीचे दोनों ओर से बंधे हुए फ़ंक्शन को बाउंडेड कहा जाता है।
ग्राफ़ से फ़ंक्शन की सीमा को पढ़ना आसान है। एक सीधी रेखा खींचना संभव है
$y=a$, और यदि फ़ंक्शन इस रेखा से अधिक है, तो यह नीचे से घिरा हुआ है। यदि नीचे है, तो क्रमशः ऊपर। नीचे एक निचले बाउंड फ़ंक्शन का एक ग्राफ है। अनुसूची सीमित कार्यदोस्तों, खुद को खींचने की कोशिश करो।
फ़ंक्शन $y=\sqrt(16-x^2)$ की सीमा की जांच करें।
हल: किसी संख्या का वर्गमूल दोनों में से किसी एक से बड़ा होता है शून्य. जाहिर है, हमारा फंक्शन भी शून्य से बड़ा या उसके बराबर होता है, यानी यह नीचे से घिरा होता है।
हम केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से वर्गमूल निकाल सकते हैं, फिर $16-x^2≥0$।
हमारी असमानता का समाधान अंतराल [-4;4] होगा। इस खंड पर $16-x^2≤16$ या $\sqrt(16-x^2)≤4$, लेकिन इसका मतलब ऊपर से सीमा है।
उत्तर: हमारा कार्य दो पंक्तियों $y=0$ और $y=4$ द्वारा सीमित है।
उच्चतम और निम्नतम मूल्य
समुच्चय D(f) पर फलन y= f(x) का सबसे छोटा मान कुछ संख्या m है, जैसे:
बी) किसी भी xϵX के लिए, $f(x)≥f(x0)$ धारण करता है।
सेट D(f) पर फ़ंक्शन y=f(x) का सबसे बड़ा मान कुछ संख्या m है, जैसे कि:
a) कुछ x0 ऐसे हैं कि $f(x0)=m$।
बी) किसी भी xϵX के लिए, $f(x)≤f(x0)$ संतुष्ट है।
सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान आमतौर पर y मैक्स द्वारा दर्शाया जाता है। और वाई नाम। .
किसी फ़ंक्शन के सबसे छोटे मान के साथ बाउंडनेस और सबसे बड़े की अवधारणाएं निकटता से संबंधित हैं। निम्नलिखित कथन सत्य हैं:
ए) यदि किसी फ़ंक्शन के लिए सबसे छोटा मान है, तो यह नीचे से घिरा हुआ है।
बी) यदि मौजूद है उच्चतम मूल्यसमारोह, तो यह ऊपर से घिरा हुआ है।
c) यदि फ़ंक्शन ऊपर से बाउंड नहीं है, तो कोई अधिकतम मान नहीं है।
d) यदि फलन नीचे बाउंड नहीं है, तो सबसे छोटा मान मौजूद नहीं है।
$y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें।
हल: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$।
$x=4$ $f(4)=5$ के लिए, अन्य सभी मानों के लिए, फ़ंक्शन छोटे मान लेता है या मौजूद नहीं है, अर्थात यह फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है।
परिभाषा के अनुसार: $9-4x^2+16x≥0$। आइए जड़ों को खोजें वर्ग त्रिपद$(2x+1)(2x-9)≥0$। $x=-0.5$ और $x=4.5$ पर फ़ंक्शन गायब हो जाता है, अन्य सभी बिंदुओं पर यह शून्य से अधिक होता है। फिर, परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान शून्य है।
उत्तर: वाई मैक्स। = 5 और y मिनट। = 0।
दोस्तों, हमने फलन की उत्तलता की अवधारणाओं का भी अध्ययन किया है। कुछ समस्याओं को हल करते समय, हमें इस संपत्ति की आवश्यकता हो सकती है। यह गुण ग्राफ़ का उपयोग करके भी आसानी से निर्धारित किया जाता है।
यदि मूल फ़ंक्शन के ग्राफ़ के कोई दो बिंदु जुड़े हुए हैं, तो फ़ंक्शन उत्तल नीचे है, और फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के नीचे है।
यदि मूल फ़ंक्शन के ग्राफ़ के कोई दो बिंदु जुड़े हुए हैं, और फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के ऊपर है, तो फ़ंक्शन उत्तल ऊपर की ओर होता है।
एक फ़ंक्शन निरंतर होता है यदि हमारे फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कोई असंतुलन नहीं है, जैसे कि ऊपर दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़।
यदि आप किसी फ़ंक्शन के गुणों को खोजना चाहते हैं, तो गुणों की खोज का क्रम इस प्रकार है:
क) परिभाषा का क्षेत्र।
बी) एकरसता।
ग) सीमा।
d) सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान।
ई) निरंतरता।
च) मूल्यों की सीमा।
फ़ंक्शन के गुण खोजें $y=-2x+5$।
समाधान।
ए) परिभाषा का डोमेन डी (वाई) = (-∞; + ∞)।
बी) एकरसता। आइए किसी भी मान x1 और x2 की जाँच करें और x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$।
$f(x2)=-2x2+2$।
क्योंकि x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
ग) सीमा। जाहिर है, समारोह सीमित नहीं है।
d) सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान। चूंकि फ़ंक्शन बाध्य नहीं है, इसलिए कोई अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।
ई) निरंतरता। हमारे फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कोई अंतराल नहीं है, तो फ़ंक्शन निरंतर है।
च) मूल्यों की सीमा। ई (वाई) = (-∞; + ∞)।
स्वतंत्र समाधान के लिए फ़ंक्शन के गुणों पर कार्य
फ़ंक्शन गुण खोजें:क) $y=2x+7$,
बी) $y=3x^2$,
सी) $y=\frac(4)(x)$।
