Ministarstvo obrazovanja Saratov region

Državni autonomni profesionalac obrazovne ustanove Saratovska regija "Engels Politehnika"

PRIMENA DERIVATA U RAZLIČITIM OBLASTIMA NAUKE

Izvedeno: Sarkulova Nurgulya Sergeevna

učenik grupe KShI-216/15

(Dizajn, modeliranje i

šivaća tehnologija)

naučni savetnik:

Verbitskaya Elena Vyacheslavovna

nastavnik matematike GAPOU SO

"Engels politehnika"

2016

Uvod

Uloga matematike u raznim oblastima prirodnih nauka je veoma velika. Nije ni čudo što kažu„Matematika je kraljica nauka, njena fizika desna ruka, hemija je ostala.

Predmet istraživanja je derivat.

Vodeći cilj je pokazati značaj derivacije ne samo u matematici, već iu drugim naukama, njen značaj u savremenom životu.

Diferencijalni račun je opis svijeta oko nas, napravljen matematičkim jezikom. Izvod nam pomaže da uspješno riješimo ne samo matematički problemi, ali i praktični zadaci iz različitih oblasti nauke i tehnologije.

Derivat funkcije se koristi svuda gdje postoji neravnomjeran tok procesa: to je neravnomjerno mehaničko kretanje, i naizmjenična struja, i kemijske reakcije, i radioaktivnog raspada supstance itd.

Ključna i tematska pitanja ovog eseja:

1. Istorija nastanka izvedenice.

2. Zašto proučavati derivate funkcija?

3. Gdje se koriste derivati?

4. Primena derivata u fizici, hemiji, biologiji i drugim naukama.

5. Zaključci

Odlučio sam da napišem rad na temu "Primjena izvoda u različitim oblastima nauke", jer smatram da je ova tema vrlo zanimljiva, korisna i relevantna.

U svom radu govoriću o primeni diferencijacije u raznim oblastima nauke, kao što su hemija, fizika, biologija, geografija itd. Uostalom, sve nauke su neraskidivo povezane, što se vrlo jasno vidi na primeru teme Razmišljam.

Primena derivata u raznim oblastima nauke

To već znamo iz srednjoškolskog kursa algebre derivat je granica omjera prirasta funkcije i priraštaja njenog argumenta jer prirast argumenta teži nuli, ako takvo ograničenje postoji.

Radnja pronalaženja derivacije naziva se njeno diferenciranje, a funkcija koja ima izvod u tački x naziva se diferencijabilna u toj tački. Funkcija koja je diferencibilna u svakoj tački intervala naziva se diferencijabilna na tom intervalu.

Čast otkrivanja osnovnih zakona matematičke analize pripada engleski fizičar i matematičar Isaac Newton i njemački matematičar, fizičar, filozof Leibniz.

Newton je uveo koncept derivata, proučavajući zakone mehanike, otkrivajući tako njegovo mehaničko značenje.

Fizičko značenje izvoda: derivacija funkcijey= f(x) u tački x 0 je stopa promjene funkcijef(x) u tački x 0 .

Leibniz je došao do koncepta derivacije rješavajući problem povlačenja tangente na deriviranu pravu, objašnjavajući je tako geometrijskog smisla.

Geometrijsko značenje derivacije je da derivacija funkcioniše u tačkix 0 jednak nagibu tangente na graf funkcije nacrtan u tački sa apscisomx 0 .

Pojam derivat i moderna notacijay" , f„Uveo J. Lagrange 1797. godine.

ruski matematičar U 19. veku, Panfuti Lvovič Čebišev je rekao da su „od posebne važnosti one metode nauke koje nam omogućavaju da rešimo problem zajednički za sve praktične ljudske aktivnosti, na primer, kako da raspolažemo svojim sredstvima da bismo postigli najveću korist“.

Predstavnici različitih specijalnosti moraju se nositi s takvim zadacima u naše vrijeme:

Procesni inženjeri pokušavaju da organizuju proizvodnju na način da se proizvede što više proizvoda;

Dizajneri pokušavaju razviti uređaj za svemirski brod tako da je masa uređaja najmanja;

Ekonomisti pokušavaju da planiraju veze između fabrike i izvora sirovina na način da troškovi transporta budu minimalni.

Kada proučavaju bilo koju temu, studenti imaju pitanje: „Zašto nam je ovo potrebno?“ Ako odgovor zadovolji radoznalost, onda možemo govoriti o interesovanju učenika. Odgovor na temu "Izvod" može se dobiti ako se zna gdje se koriste derivati ​​funkcija.

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, možemo navesti neke discipline i njihove dijelove u kojima se koriste derivati.

Derivat u algebri:

1. Tangenta na graf funkcije

Tangenta na graf funkcijef, diferencibilan na x o , je prava koja prolazi kroz tačku (x o ; f(x o )) i ima nagibf′(x o ).

y= f(x o ) + f′(x o) (x - x o)

2. Traženje intervala rastućih i opadajućih funkcija

Funkcijay=f(x) povećava se tokom intervalaX , ako postoji inejednakost. Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Funkcijay=f(x) smanjuje se tokom intervalaX , ako postoji inejednakost. Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

3. Pronalaženje ekstremnih tačaka funkcije

Poenta pozvaomaksimalni poen funkcijey=f(x) ako za svex . Poziva se vrijednost funkcije u tački maksimumafunkcija maksimalno i označiti.

Poenta pozvaominimalna tačka funkcijey=f(x) ako za svex iz njegovog susjedstva nejednakost. Poziva se vrijednost funkcije u minimalnoj tačkifunkcija minimum i označiti.

U blizini tačke razumjeti interval, gdje je dovoljno mali pozitivan broj.

Pozivaju se minimalne i maksimalne tačkeekstremne tačke , i pozivaju se vrijednosti funkcije koje odgovaraju tačkama ekstremaekstremi funkcije .

4. Traženje intervala konveksnosti i konkavnosti funkcije

Funkcija Graf, nalazi se na ovom intervalukonveksan , ne leži više od bilo koje njegove tangente (slika 1).

Funkcija Graf, diferencibilan na intervalu, nalazi se na ovom intervalukonkavna , ako je graf ove funkcije unutar intervala ne leži niže od bilo koje njegove tangente (slika 2).

Tačka pregiba grafa funkcije naziva se tačka koja razdvaja intervale konveksnosti i konkavnosti.

5. Pronalaženje prevojnih tačaka funkcije

Derivat u fizici:

1. Brzina kao derivat putanje

2. Ubrzanje kao derivat brzinea =

3. Stopa propadanja radioaktivnih elemenata = - λN

I u fizici, derivat se koristi za izračunavanje:

Brzine materijalna tačka

Trenutna brzina kao fizičko značenje derivacije

Trenutna vrijednost AC napajanje

Trenutna vrijednost EMF-a elektromagnetne indukcije

Max Power

Derivat u hemiji:

I u hemiji, diferencijalni račun je našao široku primenu za konstruisanje matematički modeli hemijske reakcije i kasniji opis njihovih svojstava.

Derivat se u hemiji koristi za određivanje vrlo važne stvari - brzine hemijska reakcija, jedan od odlučujućih faktora koji se moraju uzeti u obzir u mnogim oblastima naučne i industrijske delatnosti. V(t) = p'(t)

Količina

in-va odjednom t 0

p = p(t 0 )

Funkcija

Vremenski interval

∆t = t– t 0

Povećanje argumenta

Promjena količine

∆p=p(t 0 + ∆t) – p(t 0 )

Povećanje funkcije

Prosječna brzina kemijske reakcije

∆p/∆t

Omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta

Derivati ​​u biologiji:

Populacija je skup jedinki date vrste, koji zauzimaju određeno područje teritorije unutar raspona vrste, slobodno se međusobno križaju i djelomično ili potpuno izolirani od drugih populacija, a također je i elementarna jedinica evolucije. .

P \u003d x‘ (t)

Derivat u geografiji:

1. Neka značenja u seizmografiji

2. Karakteristike elektromagnetno polje zemljište

3. Radioaktivnost nuklearnih geofizičkih indikatora

4. Mnogo značenja u ekonomskoj geografiji

5. Izvesti formulu za izračunavanje broja stanovnika na teritoriji u vrijeme t.

y'= do y

Ideja sociološkog modela Thomasa Malthusa je da je rast populacije proporcionalan populaciji u datom trenutku od t do N(t). Malthusov model je dobro funkcionirao za opisivanje stanovništva SAD-a od 1790. do 1860. godine. Ovaj model više ne važi u većini zemalja.

Derivat u elektrotehnici:

U našim domovima, u transportu, u fabrikama: električna struja radi svuda. Pod električnom strujom podrazumijeva se usmjereno kretanje slobodnih električno nabijenih čestica.

Kvantitativna karakteristika električna struja je trenutna snaga.

U električnom kolu električni naboj mijenja se tokom vremena prema zakonu q=q (t). Struja I je derivat naboja q u odnosu na vrijeme.

U elektrotehnici se uglavnom koristi AC rad.

Električna struja koja se mijenja s vremenom naziva se naizmjenična struja. AC krug može sadržavati razni elementi: grijači, zavojnice, kondenzatori.

Proizvodnja naizmjenične električne struje temelji se na zakonu elektromagnetne indukcije, čija formulacija sadrži derivat magnetskog fluksa.

Derivati ​​u ekonomiji:

Ekonomija je osnova života, au njoj važno mjesto zauzima diferencijalni račun, aparat za ekonomsku analizu. Osnovni zadatak ekonomske analize je proučavanje odnosa ekonomskih veličina u obliku funkcija.

Derivat u ekonomiji rješava važna pitanja:

1. U kom pravcu će se promeniti prihod države povećanjem poreza ili uvođenjem carina?

2. Hoće li se prihodi kompanije povećati ili smanjiti s povećanjem cijene njenih proizvoda?

Za rješavanje ovih pitanja potrebno je konstruirati funkcije veze ulaznih varijabli koje se potom proučavaju metodama diferencijalnog računa.

Također, korištenjem ekstremuma funkcije (derivacije) u privredi, možete pronaći najveću produktivnost rada, maksimalan profit, maksimalan učinak i minimalne troškove.

ZAKLJUČAK: derivat se uspješno koristi u rješavanju različitih primijenjenih problema u nauci, tehnologiji i životu

Kao što se iz navedenog može vidjeti, upotreba derivacije funkcije je vrlo raznolika, i to ne samo u proučavanju matematike, već iu drugim disciplinama. Stoga možemo zaključiti da će proučavanje teme: "Izvod funkcije" imati svoju primjenu u drugim temama i predmetima.

Uvjerili smo se u značaj izučavanja teme „Derivat“, njegovu ulogu u proučavanju procesa nauke i tehnologije, mogućnost projektovanja prema stvarni događaji matematičke modele, te rješavaju važne probleme.

“Muzika može podići ili umiriti dušu,
Slikanje je oku ugodno,
Poezija - za buđenje osećanja,
Filozofija - zadovoljiti potrebe uma,
Inženjering je da poboljša materijalnu stranu života ljudi,
ALImatematika može postići sve ove ciljeve.”

Tako je rekao američki matematičarMaurice Kline.

Bibliografija:

1. Bogomolov N.V., Samojlenko I.I. Matematika. - M.: Jurajt, 2015.

2. V. P. Grigoriev i Yu. A. Dubinski, Elementi više matematike. - M.: Akademija, 2014.

3. Bavrin I.I. Osnove više matematike. - M.: postdiplomske škole, 2013.

4. Bogomolov N.V. Praktična nastava iz matematike. - M.: Viša škola, 2013.

5. Bogomolov N.V. Zbirka zadataka iz matematike. - M.: Drfa, 2013.

6. Rybnikov K.A. Istorija matematike, Moscow University Press, M, 1960.

7. Vinogradov Yu.N., Gomola A.I., Potapov V.I., Sokolova E.V. – M.:Izdavački centar "Akademija", 2010

8 . Bašmakov M.I. Matematika: algebra i počeci matematičke analize, geometrija. - M.: Izdavački centar "Akademija", 2016

Periodični izvori:

Novine i časopisi: "Matematika", " Javni čas»

Korišćenje Internet resursa, digitalne biblioteke:

www:egetutor.ru

matematika-na5.norod.ru

FGOU SPO

Novosibirsk poljoprivredni fakultet

apstraktno

u disciplini "matematika"

"Primjena derivata u nauci i tehnologiji"

S. Razdolnoe 2008

Uvod

1. Teorijski dio

1.1 Problemi koji vode do koncepta derivata

1.2 Definicija derivata

1.3 Opšte pravilo za pronalaženje izvoda

1.4 Geometrijsko značenje izvoda

1.5 Mehaničko značenje izvedenice

1.6 Izvod drugog reda i njegovo mehaničko značenje

1.7 Definicija i geometrijsko značenje diferencijala

2. Istraživanje funkcija uz pomoć izvoda

Zaključak

Književnost

Uvod

U prvom poglavlju mog eseja govorit ćemo o pojmu derivacije, pravilima za njegovu primjenu, o geometrijskim i fizičkog čula derivat. U drugom poglavlju mog eseja govorit ćemo o upotrebi derivata u nauci i tehnologiji i rješavanju problema u ovoj oblasti.

1. Teorijski dio

1.1 Problemi koji vode do koncepta derivata

Prilikom proučavanja određenih procesa i pojava često se javlja problem određivanja brzine ovih procesa. Njegovo rješenje dovodi do koncepta derivacije, što je osnovni koncept diferencijalnog računa.

Metoda diferencijalnog računa nastala je u 17. i 18. veku. Imena dva velika matematičara, I. Newtona i G.V. Leibniz.

Newton je došao do otkrića diferencijalnog računa pri rješavanju problema o brzini materijalne tačke u datom trenutku (trenutna brzina).

kao što je poznato, ravnomerno kretanje je kretanje u kojem tijelo prelazi jednaku dužinu puta u jednakim vremenskim intervalima. Razdaljina koju tijelo pređe u jedinici vremena naziva se brzina ravnomerno kretanje.

Međutim, najčešće se u praksi susrećemo s neravnomjernim kretanjem. Automobil koji se vozi putem usporava na prelazima i ubrzava na onim dionicama gdje je put slobodan; avion usporava pri slijetanju itd. Stoga se najčešće moramo suočiti s činjenicom da tijelo u jednakim vremenskim intervalima prolazi segmente puta različite dužine. Takav pokret se zove neujednačen. Njegova brzina se ne može okarakterisati jednim brojem.

Često se za karakterizaciju neravnomjernog kretanja koristi koncept prosječna brzina kretanje za vrijeme ∆t٫ koje je određeno relacijom gdje je ∆s putanja koju tijelo pređe za vrijeme ∆t.

Dakle, sa tijelom u slobodnom padu, prosječna brzina njegovog kretanja u prve dvije sekunde je

U praksi, takva karakteristika kretanja kao što je prosječna brzina govori vrlo malo o kretanju. Zaista, na 4,9 m/s, a za 2. - 14,7 m/s, dok je prosječna brzina za prve dvije sekunde 9,8 m/s. Prosječna brzina tokom prve dvije sekunde ne daje nikakvu predstavu o tome kako je došlo do pokreta: kada se tijelo kretalo brže, a kada sporije. Ako postavimo prosječne brzine kretanja za svaku sekundu posebno, tada ćemo znati, na primjer, da se u 2. sekundi tijelo kretalo mnogo brže nego u 1.. Međutim, u većini slučajeva mnogo brže nego što mi nismo zadovoljni. Uostalom, lako je shvatiti da se i tijelo tokom ove 2. sekunde kreće na različite načine: na početku je sporije, na kraju brže. I kako se kreće negdje u sredini ove 2. sekunde? Drugim riječima, kako odrediti trenutnu brzinu?

Neka se kretanje tijela opiše zakonom za vrijeme jednako ∆t. U trenutku t0 tijelo je prešlo putanju, trenutno - put. Dakle, za vrijeme ∆t tijelo je prešlo put i prosječna brzina tijela u tom vremenskom periodu će biti.

Što je vremenski interval ∆t kraći, to je preciznije moguće utvrditi kojom se brzinom tijelo kreće u trenutku t0, jer tijelo koje se kreće ne može bitno promijeniti svoju brzinu u kratkom vremenskom periodu. Stoga se prosječna brzina kako ∆t teži nuli približava stvarnoj brzini kretanja i, u granici, daje brzinu kretanja u datom trenutku t0 (trenutačna brzina).

Na ovaj način ,

Definicija 1. Instant Speed pravolinijskog kretanja tijela u datom trenutku t0 naziva se granica prosječne brzine u vremenu od t0 do t0+ ∆t, kada vremenski interval ∆t teži nuli.

Dakle, da bi se pronašla brzina pravolinijskog neravnomjernog kretanja u datom trenutku, potrebno je pronaći granicu odnosa prirasta putanje ∆ prema vremenskom prirastu ∆t pod uvjetom, tj. Leibniz je došao do otkrića diferencijalnog računa dok je rješavao problem konstruiranja tangente na bilo koju krivu koju daje njegova jednadžba.

Rješenje za ovaj problem ima veliki značaj. Uostalom, brzina pokretne točke usmjerena je duž tangente na njenu putanju, stoga se određivanje brzine projektila na njegovoj putanji, brzine bilo koje planete u njenoj orbiti, svodi na određivanje smjera tangente na krivulja.

Definicija tangente kao prave linije koja ima samo jednu zajedničku tačku sa krivom, koja vrijedi za kružnicu, nije prikladna za mnoge druge krive.

Sljedeća definicija tangente na krivulju ne samo da odgovara intuitivnoj ideji o njoj, već vam također omogućava da zapravo pronađete njen smjer, tj. izračunati nagib tangente.

Definicija 2. Tangenta do krivulje u tački M naziva se prava linija MT, koja je granični položaj sekante MM1, kada se tačka M1, krećući se duž krive, neograničeno približava tački M.

1.2 Definicija derivata

Imajte na umu da se prilikom određivanja tangente na krivulju i trenutne brzine neujednačenog kretanja izvode u suštini iste matematičke operacije:

1. Zadana vrijednost argumenta se povećava i izračunava se nova vrijednost funkcije koja odgovara novoj vrijednosti argumenta.

2. Odredite prirast funkcije koji odgovara prirastu odabranog argumenta.

3. Povećanje funkcije je podijeljeno s inkrementom argumenta.

4. Izračunajte granicu ovog omjera, pod uvjetom da inkrement argumenta teži nuli.

Rješenja mnogih problema dovode do graničnih prijelaza ovog tipa. Postaje neophodno napraviti generalizaciju i dati ime ovom odlomku do krajnjih granica.

Brzina promjene funkcije ovisno o promjeni argumenta očito se može okarakterizirati omjerom. Ovaj odnos se zove prosječna brzina funkcija se mijenja u intervalu od do. Sada trebamo razmotriti granicu razlomka.Granica ovog omjera kako inkrement argumenta teži nuli (ako ova granica postoji) je neka nova funkcija od. Ova funkcija je označena simbolima y', tzv derivat ovu funkciju, budući da je dobijena (proizvedena) iz funkcije Sama funkcija se poziva primitivno funkcija u odnosu na njen izvod

Definicija 3. derivat funkcije u datoj tački imenuju granicu omjera prirasta funkcije ∆y i odgovarajućeg prirasta argumenta ∆x, pod uvjetom da je ∆x→0, tj.

1.3 Opšte pravilo za pronalaženje izvoda

Operacija pronalaženja derivacije neke funkcije se zove diferencijaciju funkcije, a grana matematike koja proučava svojstva ove operacije je diferencijalni račun.

Ako funkcija ima izvod na x=a, onda se kaže da je diferencibilan na ovom mjestu. Ako funkcija ima izvod u svakoj tački u datom intervalu, onda se kaže da postoji diferencibilan Na ovom interval .

Definicija derivacije ne samo da u potpunosti karakterizira koncept brzine promjene funkcije kada se argument promijeni, već također pruža način da se stvarno izračuna derivacija date funkcije. Da biste to učinili, morate izvršiti sljedeće četiri radnje (četiri koraka) naznačene u definiciji samog derivata:

1. Pronađite novu vrijednost funkcije predstavljanjem u ovu funkciju umjesto x, nova vrijednost argumenta: .

2. Prirast funkcije se određuje oduzimanjem date vrijednosti funkcije od njene nove vrijednosti: .

3. Sastavite omjer inkrementa funkcije prema inkrementu argumenta: .

4. Idite do granice na i pronađite izvod: .

Općenito govoreći, derivat je “nova” funkcija izvedena iz date funkcije prema određenom pravilu.

1.4 Geometrijsko značenje izvoda

Geometrijska interpretacija derivacije, prvo data u krajem XVII in. Leibniz je kako slijedi: vrijednost derivacije funkcije u tački x jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u istoj tački x, one.

Jednačina tangente, kao i svaka prava linija koja prolazi dati poen u ovom pravcu, ima oblik – trenutne koordinate. Ali tangentna jednačina će se također napisati na sljedeći način: . Normalna jednačina će biti zapisana u obliku

1.5 Mehaničko značenje izvedenice

Mehaničko tumačenje derivacije prvi je dao I. Newton. Sastoji se u sljedećem: brzina kretanja materijalne tačke u datom trenutku jednaka je derivaciji putanje u odnosu na vrijeme, tj. Dakle, ako je zakon kretanja materijalne tačke dat jednadžbom, tada da biste pronašli trenutnu brzinu tačke u nekom određenom trenutku vremena, morate pronaći derivaciju i u nju zamijeniti odgovarajuću vrijednost t.

1.6 Izvod drugog reda i njegovo mehaničko značenje

Dobijamo (jednačina iz onoga što je urađeno u udžbeniku Lisichkin V.T. Soloveychik I.L. "Matematika", str. 240):

Na ovaj način, ubrzanje pravolinijskog kretanja tijela u datom trenutku jednako je drugom izvodu putanje u odnosu na vrijeme, izračunatoj za dati trenutak. Ovo je mehaničko značenje druge izvedenice.

1.7 Definicija i geometrijsko značenje diferencijala

Definicija 4. Glavni dio prirasta funkcije, linearan u odnosu na prirast funkcije, linearan u odnosu na prirast nezavisne varijable, naziva se diferencijal funkcije i označava se sa d, tj. .

Funkcijski diferencijal geometrijski predstavljen prirastom ordinate tangente povučene u tački M ( x ; y ) za date vrijednosti x i ∆x.

proračun diferencijal – .

Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima – , približna vrijednost prirasta funkcije poklapa se s njenim diferencijalom.

Teorema 1. Ako je diferencijabilna funkcija raste (opada) u datom intervalu, onda derivacija ove funkcije nije negativna (nije pozitivna) u ovom intervalu.

Teorema 2. Ako je derivirana funkcija je pozitivna (negativna) u nekom intervalu, onda je funkcija u ovom intervalu monotono rastuća (monotono opadajuća).

Formulirajmo sada pravilo za pronalaženje intervala monotonosti funkcije

1. Izračunajte derivaciju ove funkcije.

2. Pronađite tačke u kojima je nula ili ne postoji. Ove tačke se nazivaju kritičan za funkciju

3. Sa pronađenim tačkama, domen funkcije se deli na intervale, na svakom od kojih derivacija zadržava svoj predznak. Ovi intervali su intervali monotonosti.

4. Ispitajte znak na svakom od pronađenih intervala. Ako na razmatranom intervalu, onda se na ovom intervalu povećava; ako, onda se smanjuje na takvom intervalu.

U zavisnosti od uslova zadatka, pravilo za pronalaženje intervala monotonosti može se pojednostaviti.

Definicija 5. Tačka se naziva maksimalna (minimalna) tačka funkcije ako nejednakost vrijedi za bilo koje x iz neke okoline tačke.

Ako je maksimalna (minimalna) tačka funkcije, onda to kažemo (minimum) u tački. Maksimalne i minimalne funkcije objedinjuju naslov ekstrem funkcije, a maksimalna i minimalna točka se pozivaju ekstremne tačke (ekstremne tačke).

Teorema 3.(neophodan znak ekstremuma). Ako a a derivacija postoji u ovoj tački, onda je jednaka nuli: .

Teorema 4.(dovoljan znak ekstremuma). Ako je derivat kada x prolazi a onda menja znak a je tačka ekstrema funkcije .

Glavne tačke proučavanja derivata:

1. Pronađite izvod.

2. Pronađite sve kritične točke iz domene funkcije.

3. Postavite predznake derivacije funkcije pri prolasku kroz kritične tačke i ispišite tačke ekstrema.

4. Izračunajte vrijednosti funkcije u svakoj ekstremnoj tački.

2. Istraživanje funkcija s derivatom

Zadatak #1 . Volumen dnevnika. Trupci ispravnog oblika bez grešaka u drvetu s relativno malom razlikom u promjerima debljih i tankih krajeva nazivaju se industrijskom oblovinom. Prilikom određivanja zapremine industrijskog okruglog drveta obično se koristi pojednostavljena formula, gdje je dužina trupca, površina njegovog prosječnog presjeka. Saznajte da li se stvarni volumen završava ili podcjenjuje; procijeniti relativnu grešku.

Rješenje. Oblik okruglog poslovnog drveta blizak je krnjem konusu. Neka je polumjer većeg, manjeg kraja trupca. Tada se njegov gotovo tačan volumen (zapremina krnjeg konusa) može, kao što je poznato, naći po formuli. Neka je vrijednost volumena izračunata po pojednostavljenoj formuli. Onda;

One. . To znači da pojednostavljena formula daje potcjenjivanje volumena. Hajde da to stavimo sada. Onda. Ovo pokazuje da relativna greška ne zavisi od dužine dnevnika, već je određena omjerom. Od kada se povećava na intervalu . Dakle, što znači da relativna greška ne prelazi 3,7%. U praksi nauke o šumama takva se greška smatra sasvim prihvatljivom. Sa većom preciznošću, praktički je nemoguće izmjeriti niti prečnike krajeva (jer se oni donekle razlikuju od krugova), niti dužinu trupca, jer oni ne mjere visinu, već generatrisu stošca (dužina trupac je desetine puta veći od prečnika, a to ne dovodi do velikih grešaka). Dakle, na prvi pogled netačno, ali više jednostavna formula jer se volumen krnjeg konusa u stvarnoj situaciji ispostavlja sasvim legitimnim. Višestruko provedeno uz pomoć posebnih metoda provjere pokazalo je da s masovnim obračunom industrijske šume relativna greška pri korištenju razmatrane formule ne prelazi 4%.

Zadatak #2 . Prilikom određivanja volumena jama, rovova kanta i drugih kontejnera koji imaju oblik krnjeg stošca, ponekad se u poljoprivrednoj praksi koristi pojednostavljena formula, gdje je visina, površine osnova konusa. Utvrdite da li je stvarna zapremina precijenjena ili potcijenjena, procijenite relativnu grešku pod uslovom prirodnim za praksu: (- osnovni radijusi, .

Rješenje. Označavajući kroz pravu vrijednost zapremine krnjeg konusa, i kroz vrijednost izračunatu po pojednostavljenoj formuli, dobijamo: , tj. . To znači da pojednostavljena formula daje precjenu volumena. Ponavljajući dalje rješenje prethodnog problema, nalazimo da relativna greška neće biti veća od 6,7%. Vjerovatno je takva preciznost prihvatljiva kada se racioniraju radovi na iskopu - na kraju krajeva, jame neće biti idealni konusi, a odgovarajući parametri u stvarnim uvjetima mjere se vrlo grubo.

Zadatak #3 . U posebnoj literaturi, za određivanje kuta β rotacije vretena glodalice pri glodanju spojnica sa zupcima, izvedena je formula gdje. Budući da je ova formula složena, preporučuje se odbaciti njen nazivnik i koristiti pojednostavljenu formulu. Za koji (- cijeli broj) se ova formula može koristiti ako je dozvoljena greška u pri određivanju ugla?

Rješenje. Točna formula nakon jednostavnog identične transformacije može se sjetiti. Stoga, kada se koristi približna formula, dopuštena je apsolutna greška, gdje. Proučavamo funkciju na intervalu . U ovom slučaju, 0,06, tj. ugao pripada prvoj četvrtini. Imamo: . Imajte na umu da je na intervalu koji se razmatra, a time i funkcija opada na ovom intervalu. Od dalje, za sve razmatrane. Znači,. Pošto je radijan, dovoljno je riješiti nejednačinu. Rješavajući ovu nejednakost odabirom, nalazimo da, . S obzirom da je funkcija opadajuća, to slijedi

Zaključak

Upotreba izvedenice je prilično široka i može se u potpunosti pokriti u ovoj vrsti rada, ali sam pokušao da pokrijem glavne tačke. Danas, u vezi sa naučni i tehnološki napredak, posebno sa brzom evolucijom računarskih sistema, diferencijalni račun postaje sve relevantniji u rješavanju jednostavnih i super-složenih problema.

Književnost

1. V.A. Petrov "Matematička analiza u proizvodnim zadacima"

2. Soloveichik I.L., Lisichkin V.T. "Matematika"

Chaikin Semyon, Maysak Kirill, Zalogina Anastasia, Shakhzadova Anna

Ova izrada sadrži prezentaciju na temu "Primjena derivata u hemiji i biologiji". Tokom projektne aktivnosti postavljena je hipoteza da derivat nalazi svoju primenu u ovim oblastima nauke. Tokom istraživački rad otkriveno je kakva je uloga derivata u naukama kao što su hemija i biologija, gde i u rešavanju kojih problema nalazi svoju primenu. Kao rezultat obavljenog posla, zaključeno je da je hipoteza zaista potvrđena.

Skinuti:

Pregled:

https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

hipoteza:

Pregled:

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Upotreba derivata u hemiji i biologiji Rad su izveli učenici 11B razreda MBOU srednje škole br. 6: Chaikin Semyon, Maysak Kirill, Zalogina Anastasia, Shakhzadova Anna Stavropol, 2014.

hipoteza:

I u hemiji, diferencijalni račun je našao široku primjenu za konstruiranje matematičkih modela kemijskih reakcija i naknadnog opisa njihovih svojstava. Hemija je nauka o supstancama, hemijskim transformacijama supstanci. Hemija proučava obrasce različitih reakcija Brzina hemijske reakcije je promjena koncentracije reaktanata u jedinici vremena. Primjena derivata u hemiji i biologiji Određivanje brzine kemijske reakcije

Zašto nam je potreban derivat u reakcijama? Budući da se brzina reakcije v kontinuirano mijenja tokom procesa, obično se izražava kao derivat koncentracije reaktanata s obzirom na vrijeme.

Formula derivata u hemiji Ako je C (t) zakon promjene količine tvari koja je ušla u kemijsku reakciju, tada je brzina v (t) kemijske reakcije u trenutku t jednaka derivatu:

Određivanje brzine reakcije Granica omjera inkrementalne funkcije i inkrementalnog argumenta kako Δt teži nuli je brzina kemijske reakcije u datom trenutku

Zadatak iz kemije: Neka količina tvari koja je ušla u kemijsku reakciju bude data ovisnošću: C (t) \u003d t 2 / 2 + 3 t -3 (mol) Nađite brzinu kemijske reakcije nakon 3 sekunde . Rješenje: v (t) = C '(t) ; v (t) = t + 3; v (3) = 3+3 = 6. Odgovor: 6 mol/s.

Biološko značenje derivacije Neka je odnos između broja jedinki populacije mikroorganizama y i vremena t njenog razmnožavanja dat jednačinom: y = x (t). Neka je ∆ t vremenski interval od neke početne vrijednosti t do t + ∆ t . Tada je y + ∆y = x (t + ∆ t) nova vrijednost veličine populacije koja odgovara trenutku t + ∆ t, a ∆ y + x (t + ∆ t) - x (t) je promjena u broj jedinki organizama. Omjer je prosječna stopa reprodukcije ili, kako kažu, prosječna produktivnost stanovništva. Računajući, dobijamo y ' = P (t) = x ' (t) , odnosno produktivnost populacije u trenutku t .

Populacija je skup jedinki date vrste, koji zauzimaju određeno područje teritorije unutar raspona vrste, slobodno se međusobno križaju i djelomično ili potpuno izolirani od drugih populacija, a također je i elementarna jedinica evolucije. .

Primjer Neka bakterijska populacija u trenutku t (c) ima x(t) pojedinaca. . Odrediti stopu rasta populacije: a) u proizvoljnom trenutku t , b) u trenutku t = 1 c . Rješenje: P = x'(t) = 200t; P(1) = 200 (r/s). Odgovor: 200 o/s.

Zaključak Koncept derivata je veoma važan u hemiji i biologiji, posebno u određivanju brzine reakcije.

Zaključak: Diferencijalni račun je opis svijeta oko nas, napravljen matematičkim jezikom. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata u računanju. Poznavanje derivacije pomaže nam da uspješno rješavamo ne samo matematičke probleme, već i praktične probleme u različitim oblastima nauke, tehnologije i života.

Državni univerzitet Južnog Sahalina

Katedra za matematiku

Rad na kursu

Tema: Praktična primjena izvedenice

Predavač: Lihačeva O.N.

Yuzhno-Sakhalinsk

2002
Uvod

U ovom radu ću razmotriti primjenu derivata u raznim znanostima i industrijama. Rad je podijeljen na poglavlja, od kojih se svako bavi jednim od aspekata diferencijalnog računa (geometrijski, fizičko značenje, itd.)

1. Koncept derivata

1-1. Istorijski podaci

Diferencijalni račun su kreirali Newton i Leibniz krajem 17. stoljeća na osnovu dva problema:

1) o pronalaženju tangente na proizvoljnu pravu

2) o traženju brzine sa proizvoljnim zakonom kretanja

Još ranije se koncept derivata susreo u radovima italijanskog matematičara Tartaglia (oko 1500. - 1557.) - ovdje se pojavila tangenta u toku proučavanja pitanja ugla nagiba pištolja, koja osigurava najveći domet projektila.

U 17. veku, na osnovu teorije kretanja G. Galilea, aktivno se razvijao kinematički koncept derivacije. Razne prezentacije su se počele pojavljivati ​​u djelima Descartesa, francuskog matematičara Robervala i engleskog naučnika L. Gregoryja. Lopital, Bernoulli, Lagrange, Euler, Gauss dali su veliki doprinos proučavanju diferencijalnog računa.

1-2. Koncept derivata

Neka je y \u003d f (x) kontinuirana funkcija argumenta x, definirana u intervalu (a; b), i neka je x 0 proizvoljna točka ovog intervala

Argumentu x dajemo inkrement ∆x, tada će funkcija y = f(x) dobiti prirast ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Granica kojoj teži omjer ∆y / ∆x pri ∆x → 0 naziva se derivacija funkcije f(x).

1-3. Pravila diferencijacije i tablica izvedenica

		(sin x)" = cos x
	(1 / x)" = -1 / x2	(cos x)" = -sin x
	(√x)" = 1 / 2√x	(tg x)" = 1 / cos 2 x
(uv)" = u"v + uv"	(a x)" = a x log x	(ctg x)" = 1 / sin 2 x
(u / v)"=(u"v - uv") / v 2		(arcsin x)" = 1 / √ (1- x 2)
	(log a x)" = (log a e) / x	(arccos x)" = -1 / √ (1- x 2)
	(ln x)" = 1 / x	(arctg x)" = 1 / √ (1+ x 2)
		(arcctg x)" = -1 / √ (1+ x 2)

2. Geometrijsko značenje izvoda

2-1. Tangenta na krivinu

Neka imamo krivu i fiksnu tačku M i na njoj tačku N. Tangenta na tačku M je prava linija, čiji položaj teži da zauzme tetiva MN, ako se tački N neograničeno približava duž krivulja prema M.

Razmotrimo funkciju f(x) i krivu y = f(x) koja odgovara ovoj funkciji. Za neku vrijednost x, funkcija ima vrijednost y = f(x). Ove vrijednosti na krivulji odgovaraju tački M(x 0 , y 0). Uvedemo novi argument x 0 + ∆x, njegova vrijednost odgovara vrijednosti funkcije y 0 + ∆y = f(x 0 + ∆x). Odgovarajuća tačka je N(x 0 + ∆x, y 0 + ∆y). Nacrtajte sekans MN i označite sa φ ugao koji formira sekansa sa pozitivnim smjerom ose Ox. Slika pokazuje da je ∆y / ∆x = tg φ. Ako se sada ∆x približi 0, tada će se tačka N kretati duž krive, sekansa MN će se rotirati oko tačke M, a ugao φ će se promijeniti. Ako, kao ∆x → 0, ugao φ teži nekom α, tada će prava linija koja prolazi kroz M i čini ugao α sa pozitivnim smjerom ose apscise biti tražena tangenta. Istovremeno, njegov koeficijent nagiba:

To jest, vrijednost derivacije f"(x) za datu vrijednost argumenta x jednaka je tangenti ugla formiranog s pozitivnim smjerom ose Ox tangentom na graf funkcije f (x ) u tački M (x, f (x)).

Tangenta na prostornu liniju ima definiciju sličnu definiciji tangente na ravnu krivu. U ovom slučaju, ako je funkcija data jednadžbom z = f(x, y), nagibi na osama OX i OY će biti jednaki parcijalnim izvodima f u odnosu na x i y.

2-2. Tangentna ravan na površinu

Tangentna ravan na površinu u tački M je ravan koja sadrži tangente na sve prostorne krive površine koje prolaze kroz M - tačku dodira.

Uzmimo površinu datu jednadžbom F(x, y, z) = 0 i neku običnu tačku M(x 0 , y 0 , z 0) na njoj. Posmatrajmo na površini neku krivu L koja prolazi kroz M. Neka je kriva data jednadžbama

x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t).

Zamijenimo ove izraze u jednadžbu površine. Jednačina će se pretvoriti u identičnost, budući da kriva u potpunosti leži na površini. Koristeći svojstvo invarijantnosti oblika diferencijala, diferenciramo rezultirajuću jednadžbu s obzirom na t:

Jednačine tangente na krivu L u tački M imaju oblik:

Pošto su razlike x - x 0, y - y 0, z - z 0 proporcionalne odgovarajućim diferencijalima, konačna jednadžba ravni izgleda ovako:

F" x (x - x 0) + F" y (y - y 0) + F" z (z - z 0)=0

i za poseban slučaj z = f(x, y):

Z - z 0 \u003d F "x (x - x 0) + F" y (y - y 0)

primjer: Pronađite jednadžbu tangentne ravni u tački (2a; a; 1,5a) hiperboličkog paraboloida

Rješenje:

Z" x \u003d x / a = 2; Z" y = -y / a \u003d -1

Jednačina željene ravni:

Z - 1,5a = 2(x - 2a) - (Y - a) ili Z = 2x - y - 1,5a

3-1. Brzina materijalne tačke

Neka je zavisnost puta s od vremena t u datom pravolinijsko kretanje materijalna tačka je izražena jednačinom s = f(t), a t 0 je određeni trenutak u vremenu. Razmotrimo drugo vrijeme t, označimo ∆t = t - t 0 i izračunajmo prirast putanje: ∆s = f(t 0 + ∆t) - f(t 0). Odnos ∆s / ∆t naziva se prosječna brzina kretanja tokom vremena ∆t proteklog od početnog trenutka t 0 . Brzina je granica ovog omjera kao ∆t → 0.

Prosečno ubrzanje neravnomernog kretanja u intervalu (t; t + ∆t) je vrednost =∆v / ∆t. Trenutačno ubrzanje materijalne tačke u trenutku t bit će granica prosječnog ubrzanja:

To jest, prvi vremenski izvod (v "(t)).

primjer: Ovisnost putanje koju tijelo pređe o vremenu data je jednadžbom s \u003d A + Bt + Ct 2 + Dt 3 (C = 0,1 m / s, D = 0,03 m / s 2). Odredite vrijeme nakon početka kretanja, nakon čega će ubrzanje tijela biti jednako 2 m / s 2.

Rješenje:

v(t) = s "(t) = B + 2Ct + 3Dt 2 ; a(t) = v"(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;

1,8 = 0,18t; t = 10 s

3-2. Toplotni kapacitet supstance na datoj temperaturi

Povećati različite temperature T za istu vrijednost, jednaku T 1 - T, po 1 kg. data supstanca treba različitu količinu toplote Q 1 - Q, i odnos

jer ova supstanca nije konstantna. Dakle, za datu supstancu, količina toplote Q je nelinearna funkcija temperature T: Q = f(T). Tada je ΔQ = f(t + ΔT) - f(T). Stav

naziva se prosječni toplinski kapacitet na intervalu , a granica ovog izraza pri ∆T → 0 naziva se toplinski kapacitet date tvari na temperaturi T.

3-3. Snaga

Promjena mehaničko kretanje tijelo je uzrokovano silama koje na njega djeluju iz drugih tijela. Da bi se kvantitativno okarakterisao proces razmene energije između tela u interakciji, u mehanici se uvodi pojam rada sile. Da bi se okarakterisala stopa obavljanja posla, uvodi se koncept moći:

4. Diferencijalni račun u ekonomiji

4-1. Funkcionalno istraživanje

Diferencijalni račun je matematički aparat koji se široko koristi za ekonomsku analizu. Osnovni zadatak ekonomske analize je proučavanje odnosa ekonomskih veličina zapisanih kao funkcije. U kom pravcu će se promeniti državni prihod ako se povećaju porezi ili ako se uvedu uvozne carine? Hoće li se prihodi firme povećati ili smanjiti kada se poveća cijena njenih proizvoda? U kom omjeru dodatna oprema može zamijeniti penzionere? Da bi se riješili takvi problemi, moraju se konstruirati funkcije veze varijabli uključenih u njih, koje se zatim proučavaju pomoću metoda diferencijalnog računa. U ekonomiji se često traži da se pronađe najbolja ili optimalna vrijednost indikatora: najveća produktivnost rada, maksimalni profit, maksimalni učinak, minimalni troškovi, itd. Svaki indikator je funkcija jednog ili više argumenata. Stoga se pronalaženje optimalne vrijednosti indikatora svodi na pronalaženje ekstrema funkcije.

Prema Fermatovoj teoremi, ako je tačka ekstremum funkcije, onda derivacija ili ne postoji u njoj ili je jednaka 0. Tip ekstremuma može se odrediti jednim od dovoljnih uslova za ekstrem:

1) Neka je funkcija f(x) diferencijabilna u nekom susjedstvu tačke x 0 . Ako derivacija f"(x) prilikom prolaska kroz tačku x 0 promijeni predznak sa + na -, tada je x 0 maksimalna tačka, ako je od - do +, onda je x 0 minimalna tačka, ako ne promijeni predznak , onda nema ekstrema.

2) Neka je funkcija f (x) dvaput diferencibilna u nekom susjedstvu točke x 0, a f "(x 0) = 0, f "" (x 0) ≠ 0, tada u tački x 0 funkcija f (x 0) ima maksimum, ako je f ""(x 0)< 0 и минимум, если f ""(x 0) > 0.

Osim toga, drugi izvod karakterizira konveksnost funkcije (graf funkcije se naziva konveksan prema gore [dolje] na intervalu (a, b) ako se nalazi na ovom intervalu ne iznad [ne ispod] bilo koje njene tangente ).

primjer: izabrati optimalan obim proizvodnje firme, čija se funkcija profita može modelirati zavisnošću:

π(q) = R(q) - C(q) = q 2 - 8q + 10

Rješenje:

π"(q) = R"(q) - C"(q) = 2q - 8 = 0 → q extr = 4

Za q< q extr = 4 → π"(q) < 0 и прибыль убывает

Za q > q extr = 4 → π"(q) > 0 i profit se povećava

Kada je q = 4, profit uzima minimalnu vrijednost.

Koji je optimalni učinak za firmu? Ako firma ne može proizvesti više od 8 jedinica proizvodnje tokom posmatranog perioda (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), onda bi optimalno rješenje bilo da ne proizvodi ništa, već da prima prihod. od iznajmljivanja prostora i/ili opreme. Ako je firma u mogućnosti da proizvede više od 8 jedinica, onda će optimalna proizvodnja za firmu biti na granici njenog proizvodnog kapaciteta.

4-2. Elastičnost potražnje

Elastičnost funkcije f (x) u tački x 0 naziva se granica

Potražnja je količina dobra koju traži kupac. Cenovna elastičnost potražnje E D je mera kako potražnja reaguje na promene cena. Ako je │E D │>1, potražnja se naziva elastičnom, ako je │E D │<1, то неэластичным. В случае E D =0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

4-3. Limit Analysis

Važan dio metoda diferencijalnog računa koje se koriste u ekonomiji su metode granične analize, odnosno skup metoda za proučavanje promjene vrijednosti troškova ili rezultata s promjenama u proizvodnji, potrošnji itd. na osnovu analize njihovih granične vrijednosti. Ograničavajući indikator (indikatori) funkcije je njen derivat (u slučaju funkcije jedne varijable) ili parcijalni izvod (u slučaju funkcije više varijabli)

U ekonomiji se često koriste prosjeci: prosječna produktivnost rada, prosječni troškovi, prosječni prihodi, prosječni profit itd. Ali često se traži da se sazna za koji iznos će se povećati rezultat ako se povećaju troškovi ili obrnuto, za koliko će rezultat biti veći. će se smanjiti ako se smanje troškovi. Nemoguće je odgovoriti na ovo pitanje uz pomoć prosječnih vrijednosti. U takvim problemima potrebno je odrediti granicu odnosa povećanja rezultata i troškova, odnosno pronaći granični efekat. Stoga je za njihovo rješavanje potrebno koristiti metode diferencijalnog računa.

5. Derivat u približnim proračunima

5-1. Interpolacija

Interpolacija je približno izračunavanje vrijednosti funkcije iz nekoliko datih vrijednosti. Interpolacija se široko koristi u kartografiji, geologiji, ekonomiji i drugim naukama. Najjednostavnija opcija interpolacije je Lagrangeov oblik, ali kada postoji mnogo čvornih tačaka i razmaci između njih su veliki, ili želite da dobijete funkciju čija je zakrivljenost minimalna, onda pribegavajte spline interpolaciji, što daje veću tačnost.

Neka je K n sistem čvornih tačaka a = x 0< x 1 <…< x n = b. Функция S k (x) называется сплайн-функцией S k (x) степени k≥0 на K n , если

a) S k (x) ê C k -1 ()

b) S k (x) je polinom stepena najviše k

Spline funkcija Ŝ k (x) ê S k (K n) naziva se interpolirajuća splajn funkcija ako je Ŝ k (x j) = f(x j) za j = 0,1,…,n

U aplikacijama je često dovoljno izabrati k=3 i primijeniti tzv kubna interpolacija.

Pošto je s(x) polinom trećeg stepena na svakom parcijalnom intervalu, onda za x ê

Ovdje su s 2 j , c j 1 , c j 0 nepoznati za j = 1, 2, …, n

Potonji su isključeni zbog zahtjeva s(x j) = y j:

Diferencirajući ovu funkciju i uzimajući u obzir da s "(x) mora biti kontinuirano u cijelom intervalu, a prema tome, posebno u čvorovima, konačno dobijamo sistem jednadžbi:

u odnosu na n+1 nepoznate s 2 0 , s 2 1 ,…, s 2 n. Za njihovo nedvosmisleno određivanje, ovisno o zadatku, dodaju se još dvije jednadžbe:

normalan slučaj (N):

Periodični slučaj (P) (tj.f(x+(x n -x 0))=f(x)):

Navedeno zaglađivanje na ivicama:

primjer: spline interpolacija funkcije f(x)=sin x, n=4.

Funkcija je periodična, pa koristimo slučaj P.

Spline funkcija izgleda ovako:

5-2. Taylor formula

Proširenje funkcija u beskonačne serije omogućava vam da dobijete vrijednost funkcije u datoj tački sa bilo kojom točnošću. Ova tehnika se široko koristi u programiranju i drugim disciplinama.

Kaže se da se funkcija širi na datom intervalu u niz stepena ako postoji takav niz stepena a 0 + a 1 (x - a) + a 2 (x - a) 2 + ... + a n (x - a ) n + ..., koja konvergira ovoj funkciji na ovom intervalu. Može se dokazati da je ova dekompozicija jedinstvena:

Neka je funkcija f(x) beskonačno diferencibilna u tački a. Potencijalni niz forme

naziva se Taylorov red za funkciju f(x), zapisan u potencijama razlike (x - a). Općenito, da bi Taylorov red konvergirao na f(x), potrebno je i dovoljno da ostatak reda teži 0. Za a = 0, Taylorov red se obično naziva Maclaurinov red.

I. M. Uvarenkov,

M. Z. Maller

Tečaj matematičke analize, v.1

V. A. Dudarenko,

AA. Dadayan

Matematička analiza

Diferencijalni i integralni račun

T. I. Trofimova

Kurs fizike

O. O. Zamkov

A. V. Tolstopyatenko

Yu. N. Cheremnykh

Matematičke metode u ekonomiji

A. S. Solodovnikov

V. A. Babaitsev

A. V. Brailov

I.G. Shandra

Matematika u ekonomiji

Uvod

1. Koncept derivata

1-1. Istorijski podaci

1-2. Koncept derivata

1-3. Pravila diferencijacije i tablica izvedenica

2. Geometrijsko značenje izvoda

2-1. Tangenta na krivinu

2-2. Tangentna ravan na površinu

3. Upotreba derivata u fizici

3-1. Brzina materijalne tačke

3-2. Toplotni kapacitet na datoj temperaturi

3-3. Snaga

4. Diferencijalni račun u ekonomiji

4-1. Funkcionalno istraživanje

4-2. Elastičnost potražnje

4-3. Limit Analysis

5. Derivat u približnim proračunima

5-1. Interpolacija

5-2. Taylor formula

5-3. Približne kalkulacije

Zaključak

Spisak korišćene literature

Državni univerzitet Južnog Sahalina

Katedra za matematiku

Rad na kursu

Tema: Praktična primjena izvedenice

Predavač: Lihačeva O.N.

Yuzhno-Sakhalinsk

2002 Uvod

U ovom radu ću razmotriti primjenu derivata u raznim znanostima i industrijama. Rad je podijeljen na poglavlja, od kojih se svako bavi jednim od aspekata diferencijalnog računa (geometrijski, fizičko značenje, itd.)

1. Koncept derivata

1-1. Istorijski podaci

Diferencijalni račun su kreirali Newton i Leibniz krajem 17. stoljeća na osnovu dva problema:

1) o pronalaženju tangente na proizvoljnu pravu

2) o traženju brzine sa proizvoljnim zakonom kretanja

Još ranije se koncept derivata susreo u radovima italijanskog matematičara Tartaglia (oko 1500. - 1557.) - ovdje se pojavila tangenta u toku proučavanja pitanja ugla nagiba pištolja, koja osigurava najveći domet projektila.

U 17. veku, na osnovu teorije kretanja G. Galilea, aktivno se razvijao kinematički koncept derivacije. Razne prezentacije su se počele pojavljivati ​​u djelima Descartesa, francuskog matematičara Robervala i engleskog naučnika L. Gregoryja. Lopital, Bernoulli, Lagrange, Euler, Gauss dali su veliki doprinos proučavanju diferencijalnog računa.

1-2. Koncept derivata

Neka je y = f(x) neprekidna funkcija argumenta x, definisana u intervalu (a; b), i neka je x0 proizvoljna tačka ovog intervala

Argumentu x dajemo inkrement ∆x, tada će funkcija y = f(x) dobiti prirast ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Granica kojoj teži omjer ∆y / ∆x pri ∆x → 0 naziva se derivacija funkcije f(x).

1-3. Pravila diferencijacije i tablica izvedenica

C" = 0(xn) = nxn-1(sin x)" = cos xx" = 1(1 / x)" = -1 / x2(cos x)" = -sin x(Cu)"=Cu"( √x)" = 1 / 2√x(tg x)" = 1 / cos2 x(uv)" = u"v + uv"(ax)" = ax ln x(ctg x)" = 1 / sin2 x( u / v)"=(u"v - uv") / v2(ex)" = ex(arcsin x)" = 1 / √ (1- x2)(logax)" = (logae) / x(arccos x) " = -1 / √ (1- x2)(ln x)" = 1 / x(arctg x)" = 1 / √ (1+ x2)(arctg x)" = -1 / √ (1+ x2)

2. Geometrijsko značenje izvoda

2-1. Tangenta na krivinu

Neka imamo krivu i fiksnu tačku M i na njoj tačku N. Tangenta na tačku M je prava linija, čiji položaj teži da zauzme tetiva MN, ako se tački N neograničeno približava duž krivulja prema M.

Razmotrimo funkciju f(x) i krivu y = f(x) koja odgovara ovoj funkciji. Za neku vrijednost x, funkcija ima vrijednost y = f(x). Ove vrijednosti na krivulji odgovaraju tački M(x0, y0). Uvodimo novi argument x0 + ∆x čija vrijednost odgovara vrijednosti funkcije y0 + ∆y = f(x0 + ∆x). Odgovarajuća tačka je N(x0 + ∆x, y0 + ∆y). Nacrtajte sekans MN i označite sa φ ugao koji formira sekansa sa pozitivnim smjerom ose Ox. Slika pokazuje da je ∆y / ∆x = tg φ. Ako se sada ∆x približi 0, tada će se tačka N kretati duž krive, sekansa MN će se rotirati oko tačke M, a ugao φ će se promijeniti. Ako, kao ∆x → 0, ugao φ teži nekom α, tada će prava linija koja prolazi kroz M i čini ugao α sa pozitivnim smjerom ose apscise biti tražena tangenta. Istovremeno, njegov koeficijent nagiba:

To jest, vrijednost derivacije f"(x) za datu vrijednost argumenta x jednaka je tangenti ugla formiranog s pozitivnim smjerom ose Ox tangentom na graf funkcije f (x ) u tački M (x, f (x)).

Tangenta na prostornu liniju ima definiciju sličnu definiciji tangente na ravnu krivu. U ovom slučaju, ako je funkcija data jednadžbom z = f(x, y), nagibi na osama OX i OY će biti jednaki parcijalnim izvodima f u odnosu na x i y.

2-2. Tangentna ravan na površinu

Tangentna ravan na površinu u tački M je ravan koja sadrži tangente na sve prostorne krive površine koje prolaze kroz M - tačku dodira.

Uzmimo površinu zadanu jednadžbom F(x, y, z) = 0 i neku običnu tačku M(x0, y0, z0) na njoj. Posmatrajmo na površini neku krivu L koja prolazi kroz M. Neka je kriva data jednadžbama

x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t).

Zamijenimo ove izraze u jednadžbu površine. Jednačina će se pretvoriti u identičnost, budući da kriva u potpunosti leži na površini. Koristeći svojstvo invarijantnosti oblika diferencijala, diferenciramo rezultirajuću jednadžbu s obzirom na t:

Jednačine tangente na krivu L u tački M imaju oblik:

Kako su razlike x - x0, y - y0, z - z0 proporcionalne odgovarajućim diferencijalima, konačna jednadžba ravni izgleda ovako:

F "x (x - x0) + F" y (y - y0) + F "z (z - z0) \u003d 0

i za poseban slučaj z = f(x, y):

Z - z0 \u003d F "x (x - x0) + F" y (y - y0)

primjer: Pronađite jednadžbu tangentne ravni u tački (2a; a; 1,5a) hiperboličkog paraboloida

Rješenje:

Z"x \u003d x / a = 2; Z"y = -y / a \u003d -1

Jednačina željene ravni:

Z - 1,5a = 2(x - 2a) - (Y - a) ili Z = 2x - y - 1,5a

3. Upotreba derivata u fizici

3-1. Brzina materijalne tačke

Neka zavisnost puta s od vremena t u datom pravolinijskom kretanju materijalne tačke bude izražena jednačinom s = f(t), a t0 je neki trenutak vremena. Razmotrimo drugo vrijeme t, označimo ∆t = t - t0 i izračunamo prirast putanje: ∆s = f(t0 + ∆t) - f(t0). Odnos ∆s / ∆t naziva se prosječna brzina kretanja za vrijeme ∆t proteklog od početnog trenutka t0. Brzina je granica ovog omjera kao ∆t → 0.

Prosečno ubrzanje neravnomernog kretanja u intervalu (t; t + ∆t) je vrednost =∆v / ∆t. Trenutačno ubrzanje materijalne tačke u trenutku t bit će granica prosječnog ubrzanja:

To jest, prvi vremenski izvod (v "(t)).

primjer: Vremenska zavisnost putanje koju tijelo pređe je data jednačinom s = A + Bt + Ct2 + Dt3 (C = 0,1 m/s, D = 0,03 m/s2). Odrediti vrijeme nakon početka kretanja, nakon kojeg će ubrzanje tijela biti jednako 2 m/s2.

Rješenje:

v(t) = s"(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v"(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2;

1,8 = 0,18t; t = 10 s

3-2. Toplotni kapacitet supstance na datoj temperaturi

Povećati različite temperature T za istu vrijednost, jednaku T1 - T, po 1 kg. datoj supstanci je potrebna različita količina toplote Q1 - Q, i odnos

jer ova supstanca nije konstantna. Dakle, za datu supstancu, količina toplote Q je nelinearna funkcija temperature T: Q = f(T). Tada je ΔQ = f(t + ΔT) - f(T). Stav

naziva se prosječni toplinski kapacitet na intervalu , a granica ovog izraza pri ∆T → 0 naziva se toplinski kapacitet date tvari na temperaturi T.

3-3. Snaga

Promjena mehaničkog kretanja tijela uzrokovana je silama koje na njega djeluju iz drugih tijela. Da bi se kvantitativno okarakterisao proces razmene energije između tela u interakciji, u mehanici se uvodi pojam rada sile. Da bi se okarakterisala stopa obavljanja posla, uvodi se koncept moći:

4. Diferencijalni račun u ekonomiji

4-1. Funkcionalno istraživanje

Diferencijalni račun je matematički aparat koji se široko koristi za ekonomsku analizu. Osnovni zadatak ekonomske analize je proučavanje odnosa ekonomskih veličina zapisanih kao funkcije. U kom pravcu će se promeniti državni prihod ako se povećaju porezi ili ako se uvedu uvozne carine? Hoće li se prihodi firme povećati ili smanjiti kada se poveća cijena njenih proizvoda? U kom omjeru dodatna oprema može zamijeniti penzionere? Da bi se riješili takvi problemi, moraju se konstruirati funkcije veze varijabli uključenih u njih, koje se zatim proučavaju pomoću metoda diferencijalnog računa. U ekonomiji se često traži da se pronađe najbolja ili optimalna vrijednost indikatora: najveća produktivnost rada, maksimalni profit, maksimalni učinak, minimalni troškovi, itd. Svaki indikator je funkcija jednog ili više argumenata. Stoga se pronalaženje optimalne vrijednosti indikatora svodi na pronalaženje ekstrema funkcije.

Prema Fermatovoj teoremi, ako je tačka ekstremum funkcije, onda derivacija ili ne postoji u njoj ili je jednaka 0. Tip ekstremuma može se odrediti jednim od dovoljnih uslova za ekstrem:

1) Neka je funkcija f(x) diferencijabilna u nekom susjedstvu tačke x0. Ako derivacija f"(x) prilikom prolaska kroz tačku x0 promijeni predznak sa + na -, tada je x0 maksimalna tačka, ako je od - do +, tada je x0 minimalna tačka, ako ne promijeni predznak, onda postoji u ovom trenutku nije ekstrem.

2) Neka je funkcija f(x) dva puta diferencibilna u nekoj okolini tačke x0, i f "(x0) = 0, f ""(x0) ≠ 0, tada u tački x0 funkcija f(x0) ima maksimum ako