Trigonometrijske funkcije za lutke. Trigonometrija je jednostavna i jasna. Formule trigonometrijske redukcije

Već 1905. ruski čitaoci mogli su pročitati u Psihologiji Williama Jamesa, njegovo razmišljanje o tome "zašto je trpanje tako loš način učenja?"

„Znanje stečeno pukim trpanjem gotovo se neizbježno potpuno bez traga zaboravlja. Naprotiv, mentalni materijal, akumuliran pamćenjem postepeno, dan za danom, u vezi s različitim kontekstima, asocijativno povezan s drugim vanjskim događajima i više puta podvrgnut diskusijama, formira takav sistem, ulazi u takvu vezu s drugim aspektima našeg intelekta. , lako se obnavlja u pamćenju masom vanjskih razloga koji ostaju dugoročna čvrsta akvizicija.

Od tada je prošlo više od 100 godina, a ove riječi zadivljujuće ostaju aktuelne. To vidite svaki dan kada radite sa školarcima. Masovne praznine u znanju su toliko velike da se može tvrditi da školski predmet matematike u didaktičkom i psihološkom smislu nije sistem, već neka vrsta uređaja koji podstiče kratkoročno pamćenje i nimalo ne mari za dugotrajno pamćenje.

Poznavati školski predmet matematike znači savladati gradivo svake od oblasti matematike, moći u svakom trenutku ažurirati bilo koju od njih. Da biste to postigli, morate se sistematski baviti svakim od njih, što ponekad nije uvijek moguće zbog velikog opterećenja u lekciji.

Postoji još jedan način dugoročnog pamćenja činjenica i formula - to su referentni signali.

Trigonometrija je jedan od velikih odsjeka školske matematike koji se izučava u predmetu geometrije u 8., 9. razredu iu predmetu algebre u 9. razredu, algebre i početku analize u 10. razredu.

Najveća količina materijala koji se proučava iz trigonometrije pada na 10. razred. Velik dio ovog materijala iz trigonometrije može se naučiti i zapamtiti trigonometrijski krug(krug jediničnog radijusa sa središtem u početku pravougaoni sistem koordinate). Application1.ppt

Ovo su sljedeći koncepti trigonometrije:

definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ugla;
radijansko mjerenje uglova;
domena definicije i raspona trigonometrijskih funkcija
vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke vrijednosti numeričkog i kutnog argumenta;
periodičnost trigonometrijskih funkcija;
parne i neparne trigonometrijske funkcije;
povećanje i smanjenje trigonometrijskih funkcija;
formule redukcije;
vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija;
rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina;
rješenje najjednostavnijih nejednačina;
osnovne formule trigonometrije.

Razmotrite proučavanje ovih koncepata na trigonometrijskom krugu.

1) Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Nakon uvođenja pojma trigonometrijske kružnice (krug jediničnog poluprečnika sa središtem na početku), početnog poluprečnika (poluprečnika kružnice u pravcu ose Ox), ugla rotacije, učenici samostalno dobijaju definicije za sinus, kosinus , tangenta i kotangens na trigonometrijski krug, koristeći definicije iz geometrije kursa, odnosno uzimajući u obzir pravokutni trokut s hipotenuzom jednakom 1.

Kosinus ugla je apscisa tačke na kružnici kada je početni poluprečnik rotiran za dati ugao.

Sinus ugla je ordinata tačke na kružnici kada je početni radijus rotiran za dati ugao.

2) Radijansko mjerenje uglova na trigonometrijskom krugu.

Nakon uvođenja radijanske mjere ugla (1 radijan je centralni ugao, koji odgovara dužini luka jednakoj poluprečniku kruga), učenici zaključuju da je radijanski ugao numerička vrijednost ugla rotacije na kružnici. , jednaka dužini odgovarajućeg luka kada je početni polumjer rotiran za dati ugao. .

Trigonometrijski krug je podijeljen na 12 jednakih dijelova prečnicima kruga. Znajući da je ugao radijan, može se odrediti radijansko mjerenje za uglove koji su višestruki od .

I radijanska mjerenja uglova koji su višestruki dobivaju se na sličan način:

3) Područje definicije i domena vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Hoće li podudarnost uglova rotacije i vrijednosti koordinata točke na kružnici biti funkcija?

Svaki ugao rotacije odgovara jednoj tački na kružnici, tako da je ova korespondencija funkcija.

Dobivanje funkcija

Na trigonometrijskom krugu se može vidjeti da je domen definicije funkcija skup svih realnih brojeva, a domen vrijednosti je .

Uvedemo pojmove linija tangenta i kotangensa na trigonometrijskom krugu.

1) Neka Uvodimo pomoćnu ravnu liniju paralelnu sa Oy osi, na kojoj se određuju tangente za bilo koji numerički argument.

2) Slično, dobijamo liniju kotangensa. Neka je y=1, onda . To znači da su vrijednosti kotangensa određene na pravoj liniji koja je paralelna s osom Ox.

Na trigonometrijskom krugu se lako može odrediti domen definicije i raspon vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

za tangentu -

za kotangens -

4) Vrijednosti trigonometrijskih funkcija na trigonometrijskom krugu.

Krak nasuprot ugla na polovini hipotenuze, odnosno drugi krak prema Pitagorinoj teoremi:

Dakle, po definiciji sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa, možete odrediti vrijednosti za uglove koji su višestruki ili radijani. Vrijednosti sinusa se određuju duž ose Oy, kosinusne vrijednosti duž ose Ox, a vrijednosti tangente i kotangensa mogu se odrediti iz dodatnih osa paralelnih s osa Oy i Ox, respektivno.

Tabelarne vrijednosti sinusa i kosinusa nalaze se na odgovarajućim osama kako slijedi:

Tabelarne vrijednosti tangenta i kotangensa -

5) Periodičnost trigonometrijskih funkcija.

Na trigonometrijskom krugu se može vidjeti da se vrijednosti sinusa, kosinusa ponavljaju svaki radijan, a tangenta i kotangens - svaki radijan.

6) Parne i neparne trigonometrijske funkcije.

Ovo svojstvo se može dobiti poređenjem vrijednosti pozitivnih i suprotnih uglova rotacije trigonometrijskih funkcija. Shvatili smo to

Dakle, kosinus je ravnomjerna funkcija, sve ostale funkcije su neparne.

7) rastuće i opadajuće trigonometrijske funkcije.

Trigonometrijski krug pokazuje da se sinusna funkcija povećava i opadajući

Slično argumentirajući, dobijamo intervale povećanja i smanjenja kosinusnih, tangentnih i kotangensnih funkcija.

8) Formule redukcije.

Za ugao uzimamo manju vrijednost ugla na trigonometrijskom krugu. Sve formule su dobijene poređenjem vrijednosti trigonometrijskih funkcija na kracima odabranih pravokutnih trokuta.

Algoritam za primjenu formula redukcije:

1) Odredite predznak funkcije pri rotaciji kroz zadati ugao.

Prilikom skretanja iza ugla funkcija je sačuvana, pri okretanju za ugao - dobiva se cijeli broj, neparan broj, kofunkcija (

9) Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija.

Uvodimo inverzne funkcije za trigonometrijske funkcije koristeći definiciju funkcije.

Svaka vrijednost sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa na trigonometrijskom krugu odgovara samo jednoj vrijednosti ugla rotacije. Dakle, za funkciju, domen definicije je , domen vrijednosti je - Za funkciju, domen definicije je , domen vrijednosti je . Slično, dobijamo domen definicije i opseg inverznih funkcija za kosinus i kotangens.

Algoritam za pronalaženje vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija:

1) nalaženje na odgovarajućoj osi vrednosti argumenta inverzne trigonometrijske funkcije;

2) pronalaženje ugla rotacije početnog radijusa, uzimajući u obzir raspon vrijednosti inverzne trigonometrijske funkcije.

Na primjer:

10) Rješenje najjednostavnijih jednačina na trigonometrijskom krugu.

Da bismo riješili jednadžbu oblika , nalazimo tačke na kružnici čije su ordinate jednake i zapisujemo odgovarajuće uglove, uzimajući u obzir period funkcije.

Za jednačinu nalazimo tačke na kružnici čije su apscise jednake i zapisujemo odgovarajuće uglove, uzimajući u obzir period funkcije.

Slično za jednačine oblika Vrijednosti se određuju na linijama tangenta i kotangensa i bilježe se odgovarajući kutovi rotacije.

Sve pojmove i formule trigonometrije učenici primaju sami pod jasnim vodstvom nastavnika uz pomoć trigonometrijskog kruga. U budućnosti će im ovaj "krug" služiti kao referentni signal ili vanjski faktor za reprodukciju u memoriji pojmova i formula trigonometrije.

Proučavanje trigonometrije na trigonometrijskom krugu doprinosi:

odabir stila komunikacije koji je optimalan za ovu lekciju, organizovanje obrazovne saradnje;
ciljevi časa postaju lično značajni za svakog učenika;
novi materijal na osnovu lično iskustvo akcije, razmišljanja, osećanja učenika;
lekcija uključuje razne forme rad i metode sticanja i usvajanja znanja; postoje elementi međusobnog i samoučenja; samokontrola i međusobna kontrola;
javlja brza reakcija o nesporazumima i greškama (zajednička diskusija, podrška-savjeti, međusobne konsultacije).

Nazad napred

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako si zainteresovan ovo djelo preuzmite punu verziju.

1. Uvod.

Približavajući se školi, čujem glasove momaka iz sale, idem dalje - pevaju, crtaju... emocije, osećanja su svuda. Moja kancelarija, čas algebre, učenici desetog razreda. Evo našeg udžbenika u kojem je kurs trigonometrije pola obima, a u njemu se nalaze dva bookmark-a - to su mjesta na kojima sam pronašao riječi koje nisu vezane za teoriju trigonometrije.

Među rijetkima su studenti koji vole matematiku, osjećaju njenu ljepotu i ne pitaju se zašto je potrebno učiti trigonometriju, gdje se primjenjuje učeni materijal? Većina su oni koji jednostavno izvršavaju zadatke kako ne bi dobili lošu ocjenu. I čvrsto smo uvjereni da je primijenjena vrijednost matematike stjecanje znanja dovoljnog za uspjeh polaganje ispita i prijem na univerzitet (upisati i zaboraviti).

Osnovna svrha predstavljene lekcije je da pokaže primijenjenu vrijednost trigonometrije u raznim poljima ljudska aktivnost. Navedeni primjeri pomoći će učenicima da uvide povezanost ovog dijela matematike sa drugim predmetima koji se izučavaju u školi. Sadržaj ove lekcije je element obuke učenika.

Ispričajte nešto novo o naizgled davno poznatoj činjenici. Pokažite logičnu vezu između onoga što već znamo i onoga što još treba proučiti. Otvorite malo vrata i pogledajte dalje školski program. Neobični zadaci, povezanost sa današnjim događajima - to su tehnike koje koristim za postizanje svojih ciljeva. Uostalom, školska matematika kao predmet doprinosi ne toliko učenju koliko razvoju pojedinca, njegovog mišljenja, kulture.

2. Sažetak lekcije o algebri i počecima analize (10. razred).

Vrijeme organizacije: Postavite šest stolova u polukrug (model kutomjera), na stolove radne listove za učenike (Prilog 1).

Najava teme časa: "Trigonometrija je jednostavna i jasna."

U toku algebre i na početku analize počinjemo da učimo trigonometriju, želeo bih da govorim o primenjenom značaju ovog odeljka matematike.

Teza lekcije:

“odlična knjiga prirodu mogu čitati samo oni koji znaju jezik na kojem je napisana, a taj jezik je matematika.”
(G. Galileo).

Na kraju lekcije zajedno ćemo razmisliti da li smo uspjeli zaviriti u ovu knjigu i razumjeti jezik na kojem je napisana.

Trigonometrija oštrog ugla.

Trigonometrija je grčka riječ i znači "mjera trouglova". Pojava trigonometrije povezana je sa mjerenjima na tlu, konstrukcijom i astronomijom. A prvo poznanstvo s njom dogodilo se kada si uzeo kutomjer. Jeste li obratili pažnju na to kako stoje stolovi? Procijenite u svom umu: ako uzmete jednu tabelu za tetivu, kolika je onda mjera stepena luka koji on vuče zajedno?

Prisjetite se mjere uglova: 1 ° = 1/360 dio kruga (“stepen” - od latinskog grad - korak). Znate li zašto je krug podijeljen na 360 dijelova, zašto nije podijeljen na 10, 100 ili 1000 dijelova, kao što se događa, na primjer, kada se mjeri dužina? Reći ću vam jednu od verzija.

Ranije su ljudi vjerovali da je Zemlja centar Univerzuma i da je nepomična, a Sunce napravi jednu revoluciju oko Zemlje dnevno, geocentrični sistem svijeta, "geo" - Zemlja ( Crtež br. 1). Babilonski sveštenici, koji su vršili astronomska posmatranja, otkrili su da na dan ekvinocija, od izlaska do zalaska sunca, Sunce opisuje polukrug na nebeskom svodu, u koji se prividni prečnik (prečnik) Sunca uklapa tačno 180 puta, 1 ° - trag sunca. ( Slika br. 2).

Dugo vremena trigonometrija je bila čisto geometrijske prirode. Upoznavanje s trigonometrijom nastavljate rješavanjem pravokutnih trokuta. Naučite da je sinus oštrog ugla pravokutnog trokuta omjer suprotne katete i hipotenuze, kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze, tangenta je omjer suprotne katete i susjedne katete , a kotangens je omjer susjednog kraka prema suprotnom. I zapamtite to u pravougaonog trougla, koji ima dati ugao, odnos strana ne zavisi od veličine trokuta. Upoznajte se sa sinusnim i kosinusnim teoremama za rješavanje proizvoljnih trouglova.

Moskovski metro je 2010. godine proslavio svoju 75. godišnjicu. Svaki dan silazimo u metro i ne primećujemo da...

Zadatak broj 1. Ugao nagiba svih pokretnih stepenica u moskovskom metrou je 30 stepeni. Znajući ovo, broj lampi na pokretnim stepenicama i približnu udaljenost između lampi, možete izračunati približnu dubinu stanice. Na pokretnim stepenicama stanice Tsvetnoy Bulvar nalazi se 15 lampi, a na stanici Prazhskaya 2 lampe. Izračunajte dubinu ovih stanica ako su udaljenosti između lampi, od ulaza u pokretne stepenice do prve lampe i od posljednje lampe do izlaza iz pokretnih stepenica 6 m ( Crtež br. 3). Odgovor: 48 m i 9 m

Zadaća. Najdublja stanica moskovskog metroa je Park Pobedy. Kolika je njegova dubina? Predlažem da samostalno pronađete podatke koji nedostaju kako biste riješili problem domaće zadaće.

U rukama imam laserski pokazivač, ujedno je i daljinomjer. Izmjerimo, na primjer, udaljenost do ploče.

Kineski dizajner Huan Qiaokong je pogodio da spoji dva laserska daljinomjera, kutomjer u jedan uređaj i dobio alat koji vam omogućava da odredite udaljenost između dvije tačke na ravni ( Crtež br. 4). Kako mislite, uz pomoć koje teoreme je riješen ovaj problem? Prisjetimo se formulacije kosinusne teoreme. Da li se slažete sa mnom da je vaše znanje već dovoljno da napravite takav izum? Riješite probleme iz geometrije i svaki dan pravite mala otkrića!

Sferna trigonometrija.

Pored ravne geometrije Euklida (planimetrija), mogu postojati i druge geometrije u kojima se svojstva figura ne razmatraju na ravni, već na drugim površinama, na primjer, na površini lopte ( Crtež br. 5). Prvi matematičar koji je postavio temelje za razvoj neeuklidske geometrije bio je N.I. Lobačevski - "Kopernik geometrije". Od 1827. godine, 19 godina, bio je rektor Kazanskog univerziteta.

Sferna trigonometrija, koja je dio sferne geometrije, razmatra odnose između stranica i uglova trokuta na sferi koju čine lukovi velikih krugova na sferi ( Crtež br. 6).

Istorijski gledano, sferna trigonometrija i geometrija su nastale iz potreba astronomije, geodezije, navigacije i kartografije. Razmotrite koji od ovih pravaca poslednjih godina je dobio tako brz razvoj da se njegov rezultat već koristi u modernim komunikatorima. ... Savremena primena navigacije je satelitski navigacioni sistem koji vam omogućava da odredite lokaciju i brzinu objekta iz signala njegovog prijemnika.

Globalni navigacijski sistem (GPS). Da biste odredili geografsku širinu i dužinu prijemnika, potrebno je primiti signale od najmanje tri satelita. Prijem signala sa četvrtog satelita također omogućava određivanje visine objekta iznad površine ( Crtež br. 7).

Računar-prijemnik rješava četiri jednadžbe sa četiri nepoznate sve dok se ne pronađe rješenje koje povlači sve kružnice kroz jednu tačku ( Crtež br. 8).

Pokazalo se da je znanje iz trigonometrije oštrog ugla nedovoljno za rješavanje složenijih praktičnih problema. Prilikom proučavanja rotacijskih i kružnih kretanja, vrijednost kuta i kružnog luka nije ograničena. Postojala je potreba prelaska na trigonometriju generalizovanog argumenta.

Trigonometrija generalizovanog argumenta.

Krug ( Crtež br. 9). Pozitivni uglovi se crtaju suprotno od kazaljke na satu, negativni uglovi u smeru kazaljke na satu. Da li ste upoznati sa istorijom takvog sporazuma?

Kao što znate, mehanički i sunčani satovi su dizajnirani na način da im se kazaljke rotiraju „prema suncu“, tj. u istom pravcu u kojem vidimo prividno kretanje Sunca oko Zemlje. (Sjetite se početka lekcije - geocentrični sistem svijeta). Ali sa Kopernikovim otkrićem pravog (pozitivnog) kretanja Zemlje oko Sunca, prividno (tj. prividno) kretanje Sunca oko Zemlje je fiktivno (negativno). Heliocentrični sistem svijeta (helio - Sunce) ( Crtež br. 10).

Zagrijavanje.

Izvući desna ruka ispred vas, paralelno sa površinom stola i izvršite kružnu rotaciju od 720 stepeni.
Izvući lijeva ruka ispred vas, paralelno sa površinom stola i izvršite kružno okretanje za (-1080) stepeni.
Stavite ruke na ramena i napravite 4 kružna pokreta naprijed-nazad. Koliki je zbir uglova rotacije?

Zima 2010 olimpijske igre u Vancouveru ćemo rješavanjem zadatka saznati kriterije za ocjenjivanje vježbe klizača.

Zadatak broj 2. Ako klizač napravi okret od 10.800 stepeni dok izvodi vježbu šrafa za 12 sekundi, tada dobija ocjenu "odlično". Odredite koliko će okretaja klizač napraviti za to vrijeme i brzinu njegove rotacije (okreta u sekundi). Odgovor: 2,5 okretaja/sek.

Zadaća. Pod kojim uglom se okreće klizač, koji je dobio ocjenu "nezadovoljavajuće", ako je, uz isto vrijeme rotacije, njegova brzina bila 2 okretaja u sekundi.

Pokazalo se da je najpogodnija mjera lukova i uglova povezanih s rotacijskim pokretima radijanska (radijus) mjera, kao veća mjerna jedinica ugla ili luka ( Crtež br. 11). Ova mjera mjerenja ugla ušla je u nauku kroz izvanredna djela Leonharda Eulera. Švajcarac po rođenju, živio je u Rusiji 30 godina, bio je član Petrogradske akademije nauka. Njemu dugujemo "analitičko" tumačenje sve trigonometrije, on je izveo formule koje sada proučavate, uveo uniformne znakove:. grijeh x, cos x, tg x.ctg x.

Ako se do 17. stoljeća razvoj doktrine trigonometrijskih funkcija gradio na geometrijskoj osnovi, onda su se od 17. stoljeća trigonometrijske funkcije počele koristiti za rješavanje problema u mehanici, optici, elektricitetu, za opisivanje oscilatornih procesa, valova. propagacija. Gdje god se radi o periodičnim procesima i oscilacijama, trigonometrijske funkcije su našle primjenu. Funkcije koje izražavaju zakone periodičnih procesa imaju posebno svojstvo svojstveno samo njima: ponavljaju svoje vrijednosti kroz isti interval promjene argumenta. Promjene bilo koje funkcije najjasnije se prenose na njenom grafu ( Crtež br. 12).

Već smo se obratili svom tijelu za pomoć u rješavanju problema rotacije. Slušajmo otkucaje našeg srca. Srce je samostalan organ. Mozak kontrolira svaki mišić u našem tijelu osim srca. Ona ima svoj kontrolni centar - sinusni čvor. Sa svakom kontrakcijom srca po cijelom tijelu - počevši od sinusnog čvora (veličine zrna prosa) - širi se struja. Može se snimiti pomoću elektrokardiografa. Crta elektrokardiogram (sinusoid) ( Crtež br. 13).

Hajde sada da pričamo o muzici. Matematika je muzika, to je spoj uma i lepote.
Muzika je matematika po proračunu, algebra po apstrakciji, trigonometrija po lepoti. harmonijske oscilacije(harmonik) je sinusni talas. Grafikon pokazuje kako se pritisak vazduha na bubnoj opni slušaoca menja: gore-dole u luku, periodično. Vazduh gura jače, pa slabije. Sila udara je prilično mala, a oscilacije se javljaju vrlo brzo: stotine i hiljade udaraca svake sekunde. Takve periodične vibracije percipiramo kao zvuk. Dodavanje dva različita harmonika proizvodi složeniji valni oblik. Zbir tri harmonika je još složeniji, a prirodni zvukovi i zvuci muzičkih instrumenata sastoje se od velikog broja harmonika. ( Crtež br. 14.)

Svaki harmonik karakteriziraju tri parametra: amplituda, frekvencija i faza. Frekvencija oscilovanja pokazuje koliko se udara zračnog tlaka dogodi u jednoj sekundi. Velike frekvencije se percipiraju kao "visoki", "tanki" zvukovi. Iznad 10 kHz - škripa, zvižduk. Male frekvencije se percipiraju kao "niski", "basovi" zvuci, tutnjava. Amplituda je opseg oscilacija. Što je veći raspon, to je jači udar na bubnu opnu i na glasniji zvuk koje čujemo Crtež br. 15). Faza je pomicanje oscilacija u vremenu. Faza se može mjeriti u stepenima ili radijanima. U zavisnosti od faze, broj nule se pomera na grafikonu. Da biste odredili harmonik, dovoljno je odrediti fazu od -180 do +180 stepeni, jer se oscilacija ponavlja pri velikim vrijednostima. Dva sinusoidna signala sa istom amplitudom i frekvencijom, ali različitim fazama se zbrajaju algebarski ( Crtež br. 16).

Sažetak lekcije. Mislite li da smo uspjeli pročitati nekoliko stranica iz Velike knjige prirode? Nakon što ste naučili o primijenjenom značenju trigonometrije, jeste li razumjeli njenu ulogu u različitim područjima ljudske djelatnosti, jeste li razumjeli prezentirani materijal? Zatim se prisjetite i navedite područja primjene trigonometrije koje ste danas sreli ili ste znali prije. Nadam se da je svako od vas pronašao nešto novo i zanimljivo za sebe u današnjoj lekciji. Možda će vam ovaj novi pokazati put do izbora buduća profesija, ali bez obzira ko postanete, vaše matematičko obrazovanje će vam pomoći da postanete profesionalac u svojoj oblasti i intelektualno razvijena osoba.

Zadaća. Pročitajte nacrt lekcije

Jednom u školi, odvojen je predmet za proučavanje trigonometrije. Certifikat je dobio ocjene iz tri matematičke discipline: algebra, geometrija i trigonometrija.

Zatim, kao dio reforme školsko obrazovanje trigonometrija je prestala da postoji kao poseban predmet. AT savremena škola prvo upoznavanje sa trigonometrijom dešava se u kursu geometrije 8. razreda. Dublje proučavanje ovog predmeta nastavlja se u kursu algebre 10. razreda.

Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa prvo su date u geometriji kroz odnos stranica pravokutnog trokuta.

Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze.

kosinus oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

tangenta Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne krake i susjedne.

Kotangens oštar ugao u pravokutnom trokutu naziva se omjer susjednog kraka i suprotnog.

Ove definicije važe samo za oštre uglove (od 0º do 90°).

Na primjer,

u trouglu ABC, gde je ∠C=90°, BC je krak suprotan uglu A, AC je krak susedan uglu A, AB je hipotenuza.

U predmetu algebre 10. razreda uvode se definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za bilo koji ugao (uključujući i negativne).

Razmotrimo kružnicu poluprečnika R sa centrom u početku, tačku O(0;0). Točka presjeka kružnice sa pozitivnim smjerom x-ose označit će se sa P 0 .

U geometriji se ugao smatra dijelom ravnine ograničene s dvije zrake. Sa ovom definicijom, vrijednost ugla varira od 0° do 180°.

U trigonometriji se ugao smatra rezultatom rotacije zraka OP 0 oko početne tačke O.

Istovremeno, složili su se da rotaciju zraka u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatraju pozitivnim smjerom obilaznice, a u smjeru kazaljke na satu negativnim (ovaj dogovor je povezan sa pravim kretanjem Sunca oko Zemlje).

Na primjer, kada se snop OP 0 rotira oko tačke O pod uglom α suprotno od kazaljke na satu, tačka P 0 će ići u tačku P α ,

pri okretanju kroz ugao α u smjeru kazaljke na satu - do tačke F.

Sa ovom definicijom, ugao može poprimiti bilo koju vrijednost.

Ako nastavimo rotirati snop OP 0 u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, pri okretanju kroz ugao α°+360°, α°+360° 2,…,α°+360° n, gdje je n cijeli broj (n∈Ζ), ponovo dolazimo do tačke P α:

Uglovi se mjere u stepenima i radijanima.

1° je ugao jednak 1/180 stepena mere pravog ugla.

1 radijan je centralni ugao čija je dužina luka jednaka poluprečniku kružnice:

∠AOB=1 rad.

Radijanska notacija se obično ne piše. Oznaka diplome u evidenciji se ne smije izostaviti.

Na primjer,

Tačka P α , dobijena iz tačke P 0 okretanjem grede OP 0 oko tačke O pod uglom α suprotno od kazaljke na satu, ima koordinate P α (x;y).

Ispustimo okomicu P α A iz tačke P α na x-osu.

U pravokutnom trokutu OP α A:

P α A je krak nasuprot ugla α,

OA je krak koji se nalazi uz ugao α,

OP α je hipotenuza.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Po definiciji sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u pravokutnom trokutu imamo:

Dakle, u slučaju kružnice sa centrom u početku proizvoljnog radijusa sinus ugao α je odnos ordinate tačke P α i dužine poluprečnika.

kosinus ugao α je odnos apscise tačke P α i dužine poluprečnika.

tangenta ugao α je omjer ordinate tačke P α prema njenoj apscisi.

Kotangens ugao α je odnos apscise tačke P α i njene ordinate.

Vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise samo o vrijednosti α i ne ovise o dužini polumjera R (ovo slijedi iz sličnosti krugova).

Stoga je pogodno odabrati R=1.

Krug sa centrom u početku i poluprečnikom R=1 naziva se jedinični krug.

Definicije

1) sinus ugao α je ordinata tačke P α (x; y) jedinične kružnice:

2) kosinus ugao α se naziva apscisa tačke P α (x; y) jedinične kružnice:

3) tangenta ugao α je omjer ordinate tačke P α (x; y) i njene apscise, odnosno omjer sin α prema cos α (gdje je cos α≠ 0):

4) Kotangens ugao α je odnos apscise tačke P α (x; y) i njene ordinate, odnosno odnos cosα i sinα (gde je sinα≠0):

Definicije koje su uvedene na ovaj način nam omogućavaju da razmotrimo ne samo trigonometrijske funkcije uglova, već i trigonometrijske funkcije numeričkih argumenata (ako smatramo sinα, cosα, tgα i ctgα kao odgovarajuće trigonometrijske funkcije ugla u α radijanima, da je, sinus broja α je sinus ugla u α radijanima, kosinus od α je kosinus ugla u α radijanima, itd.).

Osobine trigonometrijskih funkcija izučavaju se u okviru predmeta algebra u 10. ili 11. razredu kao posebna tema. Trigonometrijske funkcije u širokoj upotrebi u fizici.

Rubrika: |

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo nam omogućavaju da vas kontaktiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i predstojeći događaji.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

U ovoj lekciji ćemo govoriti o tome kako se javlja potreba za uvođenjem trigonometrijskih funkcija i zašto se one proučavaju, šta trebate razumjeti u ovoj temi, a gdje samo trebate napuniti ruku (što je tehnika). Imajte na umu da su tehnika i razumijevanje dvije različite stvari. Slažem se, postoji razlika: naučiti voziti bicikl, odnosno razumjeti kako to učiniti, ili postati profesionalni biciklista. Govorit ćemo o razumijevanju, o tome zašto su nam potrebne trigonometrijske funkcije.

Postoje četiri trigonometrijske funkcije, ali sve se mogu izraziti u terminima jedne koristeći identitete (jednakosti koje ih povezuju).

Formalne definicije trigonometrijskih funkcija za oštre uglove u pravokutnim trokutima (slika 1).

sinus Oštar ugao pravokutnog trokuta naziva se omjer suprotne katete i hipotenuze.

kosinus Oštar ugao pravokutnog trokuta naziva se omjer susjednog kraka i hipotenuze.

tangenta Oštar ugao pravokutnog trokuta naziva se omjer suprotne katete i susjedne katete.

Kotangens Oštar ugao pravouglog trougla naziva se omjer susjednog kraka i suprotnog kraka.

Rice. 1. Definicija trigonometrijskih funkcija oštrog ugla pravokutnog trokuta

Ove definicije su formalne. Ispravnije je reći da postoji samo jedna funkcija, na primjer, sinus. Da nisu toliko potrebne (ne tako često korištene) u tehnologiji, ne bi se uvodilo toliko različitih trigonometrijskih funkcija.

Na primjer, kosinus ugla je jednak sinusu istog ugla sa dodatkom (). Osim toga, kosinus ugla se uvijek može izraziti sinusom istog ugla, do znaka, koristeći osnovnu trigonometrijski identitet(). Tangent ugla je omjer sinusa i kosinusa ili obrnuti kotangens (slika 2). Neki uopće ne koriste kotangens, zamjenjujući ga s . Stoga je važno razumjeti i znati raditi s jednom trigonometrijskom funkcijom.

Rice. 2. Povezivanje raznih trigonometrijskih funkcija

Ali zašto su vam takve funkcije uopće potrebne? Za koje praktične probleme se koriste? Pogledajmo nekoliko primjera.

Dvoje ljudi ( ALI i AT) gurnite auto iz lokve (slika 3). Čovjek AT može gurnuti automobil u stranu, dok je malo vjerovatno da će pomoći ALI. S druge strane, smjer njegovih napora može se postepeno mijenjati (slika 4).

Rice. 3. AT gura auto u stranu

Rice. četiri. AT počinje da menja pravac

Jasno je da će njihovi napori biti najefikasniji kada gurnu automobil u jednom pravcu (slika 5).

Rice. 5. Najefikasniji zajednički pravac napora

Koliko AT pomaže guranju mašine, sve dok je smjer njene sile blizak smjeru sile s kojom djeluje ALI, je funkcija ugla i izražava se kroz njegov kosinus (slika 6).

Rice. 6. Kosinus kao karakteristika efektivnosti napora AT

Ako pomnožimo veličinu sile kojom AT, na kosinus ugla, dobijamo projekciju njegove sile na smjer sile s kojom djeluje ALI. Što je ugao između smjerova sila bliži , to će rezultat biti učinkovitiji. zajedničko djelovanje ALI i AT(Sl. 7). Ako gurnu automobil istom silom u suprotnim smjerovima, automobil će ostati na mjestu (slika 8).

Rice. 7. Efikasnost zajedničkih napora ALI i AT

Rice. 8. Suprotan smjer sila ALI i AT

Važno je razumjeti zašto ugao (njegov doprinos konačnom rezultatu) možemo zamijeniti kosinusom (ili drugom trigonometrijskom funkcijom ugla). Zapravo, ovo slijedi iz takvog svojstva sličnih trokuta. Pošto u stvari govorimo sljedeće: ugao se može zamijeniti omjerom dva broja (kat-hipotenuza ili nog-noga). To bi bilo nemoguće ako bi, na primjer, za isti ugao različitih pravokutnih trouglova ovi odnosi bili različiti (slika 9).

Rice. 9. Jednaki omjeri strana u sličnim trouglovima

Na primjer, da su omjer i omjer različiti, tada ne bismo mogli uvesti funkciju tangente, jer bi za isti ugao u različitim pravokutnim trokutima tangenta bila različita. Ali zbog činjenice da su omjeri duljina krakova sličnih pravokutnih trokuta isti, vrijednost funkcije neće ovisiti o trokutu, što znači da je oštar kut i vrijednosti njegove trigonometrije funkcije su jedan na jedan.

Pretpostavimo da znamo visinu određenog drveta (slika 10). Kako izmjeriti visinu obližnje zgrade?

Rice. 10. Ilustracija stanja primjera 2

Pronalazimo tačku tako da linija povučena kroz ovu tačku i vrh kuće prolazi kroz vrh drveta (slika 11).

Rice. 11. Ilustracija rješenja zadatka iz primjera 2

Možemo izmjeriti udaljenost od ove tačke do drveta, udaljenost od nje do kuće i znamo visinu drveta. Iz omjera možete pronaći visinu kuće:.

Proporcija je omjer dva broja. AT ovaj slučaj jednakost omjera dužina kateta sličnih pravokutnih trokuta. Štaviše, ovi omjeri su jednaki nekoj mjeri ugla, koja se izražava u terminima trigonometrijske funkcije (po definiciji, ovo je tangenta). Dobijamo da je za svaki akutni ugao vrijednost njegove trigonometrijske funkcije jedinstvena. To jest, sinus, kosinus, tangenta, kotangens su zaista funkcije, jer svaki oštar ugao odgovara tačno jednoj vrijednosti svakog od njih. Stoga se mogu dalje istraživati i njihova svojstva mogu koristiti. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za sve uglove su već izračunate, mogu se koristiti (mogu se pronaći iz Bradisovih tablica ili pomoću bilo koje inženjerski kalkulator). Ali da riješimo inverzni problem (na primjer, pomoću vrijednosti sinusa vratiti mjeru ugla koja mu odgovara), ne možemo uvijek.

Neka je sinus nekog ugla jednak ili približno (slika 12). Koji će ugao odgovarati ovoj vrijednosti sinusa? Naravno, opet možemo koristiti Bradisovu tabelu i pronaći neku vrijednost, ali se ispostavilo da ona neće biti jedina (slika 13).

Rice. 12. Pronalaženje ugla po vrijednosti njegovog sinusa

Rice. 13. Polivalentnost inverznih trigonometrijskih funkcija

Stoga, kada se vraća vrijednost trigonometrijske funkcije ugla, postoji polisemija inverznih trigonometrijskih funkcija. Možda izgleda komplikovano, ali u stvari se svakodnevno suočavamo sa sličnim situacijama.

Ako zavjesite prozore i ne znate da li je vani svjetlo ili mrak, ili ako se nađete u pećini, onda je po buđenju teško reći da li je sada sat dana, noći ili sledećeg dana (slika 14). Zapravo, ako nas pitate "Koliko je sati?", trebali bismo iskreno odgovoriti: "Sat plus pomnožite sa gdje"

Rice. 14. Ilustracija polisemije na primjeru sata

Možemo zaključiti da - ovo je period (interval nakon kojeg će sat pokazati isto vrijeme kao sada). Trigonometrijske funkcije također imaju periode: sinus, kosinus, itd. To jest, njihove vrijednosti se ponavljaju nakon neke promjene u argumentu.

Ako planeta nije imala promjenu dana i noći ili promjenu godišnjih doba, onda ne bismo mogli koristiti periodično vrijeme. Na kraju krajeva, godine brojimo samo rastućim redoslijedom, a u danu ima sati, a svaki novi dan odbrojavanje počinje iznova. Ista je situacija i sa mjesecima: ako je sada januar, onda će opet u mjesecima doći januar i tako dalje. Vanjske referentne tačke nam pomažu da koristimo periodično brojanje vremena (sati, mjeseci), na primjer, rotaciju Zemlje oko svoje ose i promjenu položaja Sunca i Mjeseca na nebu. Kada bi Sunce uvijek visilo u istom položaju, tada bismo za izračunavanje vremena računali broj sekundi (minuta) od nastanka samog ovog izračuna. Datum i vrijeme bi tada mogli zvučati ovako: milijardu sekundi.

Zaključak: nema poteškoća u pogledu dvosmislenosti inverznih funkcija. Doista, mogu postojati opcije kada za isti sinus postoje različite vrijednosti ugla (slika 15).

Rice. 15. Obnavljanje ugla po vrijednosti njegovog sinusa

Obično pri rješavanju praktičnih problema uvijek radimo u standardnom rasponu od do . U ovom rasponu, za svaku vrijednost trigonometrijske funkcije, postoje samo dvije odgovarajuće vrijednosti mjere kuta.

Zamislite pokretni pojas i klatno u obliku kante s rupom iz koje ispada pijesak. Klatno se ljulja, traka se kreće (slika 16). Kao rezultat toga, pijesak će ostaviti trag u obliku grafa sinusne (ili kosinusne) funkcije, koja se naziva sinusni val.

Zapravo, grafovi sinusa i kosinusa razlikuju se jedan od drugog samo u referentnoj točki (ako nacrtate jednu od njih, a zatim izbrišete koordinatne osi, tada nećete moći odrediti koji je graf nacrtan). Stoga, nema smisla zvati kosinusni graf (zašto smisliti poseban naziv za isti graf)?

Rice. 16. Ilustracija iskaza problema u primjeru 4

Iz grafa funkcije također možete razumjeti zašto će inverzne funkcije imati mnogo vrijednosti. Ako je vrijednost sinusa fiksna, tj. povući pravu liniju paralelnu sa x-osi, a zatim na raskrsnici dobijamo sve tačke u kojima je sinus ugla jednak datom. Jasno je da će takvih tačaka biti beskonačno mnogo. Kao u primjeru sa satom, gdje se vrijednost vremena razlikovala za , samo ovdje će se vrijednost ugla razlikovati za iznos (Sl. 17).

Rice. 17. Ilustracija polisemije za sinus

Ako uzmemo u obzir primjer sa satom, tada se tačka (kraj kazaljke sata) kreće oko kruga. Na isti način se mogu definirati trigonometrijske funkcije - ne uzimajte u obzir uglove u pravokutnom trokutu, već ugao između radijusa kružnice i pozitivnog smjera ose. Broj krugova koje će tačka proći (dogovorili smo se da brojimo kretanje u smjeru kazaljke na satu sa znakom minus, a suprotno od kazaljke na satu sa znakom plus), to je period (slika 18).

Rice. 18. Vrijednost sinusa na kružnici

dakle, inverzna funkcija je jedinstveno definisan na nekom intervalu. Za ovaj interval možemo izračunati njegove vrijednosti, a sve ostalo dobiti iz pronađenih vrijednosti dodavanjem i oduzimanjem perioda funkcije.

Razmotrimo još jedan primjer perioda. Auto se kreće putem. Zamislite da je njen točak zabio u farbu ili u lokvicu. Možete vidjeti povremene tragove boje ili lokve na cesti (Slika 19).

Rice. 19. Ilustracija perioda

U školskom kursu postoji mnogo trigonometrijskih formula, ali uglavnom je dovoljno zapamtiti samo jednu (Sl. 20).

Rice. dvadeset. Trigonometrijske formule

Formula dvostruki ugao također je lako izvesti sume iz sinusa zamjenom (slično za kosinus). Također možete izvesti formule proizvoda.

Zapravo, morate zapamtiti vrlo malo, jer će se s rješavanjem problema ove formule zapamtiti same. Naravno, neko će biti previše lijen da odluči mnogo, ali tada mu neće trebati ova tehnika, a time i same formule.

A pošto formule nisu potrebne, onda ih nema potrebe pamtiti. Samo trebate razumjeti ideju da su trigonometrijske funkcije funkcije s kojima se, na primjer, izračunavaju mostovi. Gotovo nijedan mehanizam ne može bez njihove upotrebe i proračuna.

1. Često se postavlja pitanje da li žice mogu biti apsolutno paralelne sa zemljom. Odgovor: ne, ne mogu, jer jedna sila deluje naniže, dok druge deluju paralelno – nikada neće uravnotežiti (Sl. 21).

2. Labud, rak i štuka vuku kolica u istoj ravni. Labud leti u jednom pravcu, rak vuče u drugom, a štuka u trećem (sl. 22). Njihove moći mogu biti u ravnoteži. Ovo balansiranje možete izračunati samo uz pomoć trigonometrijskih funkcija.