tačke koje ne leže na istoj pravoj? a) seku; b) ništa se ne može reći; c) ne seku; d) podudaranje; e) imaju tri zajedničke tačke.
2. Koja je od sljedećih izjava tačna? a) Ako dvije tačke kruga leže u ravni, onda cijeli krug leži u ovoj ravni; b) prava linija koja leži u ravni trougla seče dve njegove stranice; c) bilo koje dvije ravni imaju samo jednu zajedničku tačku; d) ravan prolazi kroz dvije tačke, i štaviše, samo jednu; e) prava leži u ravni datog trougla ako siječe dvije prave koje sadrže stranice trougla.
3. Mogu li dvije različite ravni imati samo dvije zajedničke tačke? a) Nikada; b) mogu, ali pod dodatnim uslovima; c) uvijek imati; d) na pitanje se ne može odgovoriti; d) drugi odgovor.
4. Tačke K, L, M leže na jednoj pravoj liniji, tačka N ne leži na njoj. Kroz svake tri tačke povučena je jedna ravan. Koliko je različitih aviona to rezultiralo? a) 1; b) 2; na 3; d) 4; e) beskonačno mnogo.
5. Odaberite tačnu tvrdnju. a) Ravan prolazi kroz bilo koje tri tačke, i štaviše, samo jednu; b) ako dvije tačke prave leže u ravni, tada sve tačke prave leže u ovoj ravni; c) ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda se ne seku; d) kroz pravu i tačku koja na njoj leži, prolazi ravan, i to samo jedna; e) Ravan se ne može povući kroz dve prave koje se seku.
6. Imenujte zajedničku liniju ravnina PBM i MAB. a) PM b) AB; c) PB; d) BM; d) ne može se utvrditi.
7. Prave a i b seku se u tački M. Prava c koja ne prolazi kroz tačku M seče prave a i b. Šta se može reći o međusobnom položaju pravih a, b i c? a) Sve prave leže u različitim ravnima; b) prave a i b leže u istoj ravni; c) sve prave leže u istoj ravni; d) ništa se ne može reći e) prava c se poklapa sa jednom od pravih: ili sa a ili sa b.
8. Prave a i b seku se u tački O. A € a, B € b, Y € AB. Odaberite tačnu tvrdnju. a) Tačke O i Y ne leže u istoj ravni; b) prave OY i a su paralelne; c) prave a, b i tačka Y leže u istoj ravni; d) tačke O i Y se poklapaju; e) tačke Y i A se poklapaju.
Opcija 2.1. Šta se može reći o relativnom položaju dvije ravni koje imaju tri zajedničke tačke koje ne leže na jednoj pravoj?
a) seku; b) ništa se ne može reći; c) ne seku; d) podudaranje; e) imaju tri zajedničke tačke.
2. Koja je od sljedećih izjava tačna?
a) Ako dvije tačke kruga leže u ravni, onda cijeli krug leži u ovoj ravni; b) prava linija koja leži u ravni trougla seče dve njegove stranice; c) bilo koje dvije ravni imaju samo jednu zajedničku tačku; d) ravan prolazi kroz dvije tačke, i štaviše, samo jednu; e) prava leži u ravni datog trougla ako siječe dvije prave koje sadrže stranice trougla.
3. Mogu li dvije različite ravni imati samo dvije zajedničke tačke?
a) Nikada; b) mogu, ali pod dodatnim uslovima; c) uvijek imati; d) na pitanje se ne može odgovoriti; d) drugi odgovor.
4. Tačke K, L, M leže na jednoj pravoj liniji, tačka N ne leži na njoj. Kroz svake tri tačke povučena je jedna ravan. Koliko je različitih aviona to rezultiralo?
a) 1; b) 2; na 3; d) 4; e) beskonačno mnogo.
5. Odaberite tačnu tvrdnju.
a) Ravan prolazi kroz bilo koje tri tačke, i štaviše, samo jednu; b) ako dvije tačke prave leže u ravni, tada sve tačke prave leže u ovoj ravni; c) ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda se ne seku; d) kroz pravu i tačku koja na njoj leži, prolazi ravan, i to samo jedna; e) Ravan se ne može povući kroz dve prave koje se seku.
6. Imenujte zajedničku liniju ravnina PBM i MAB.
a) PM b) AB; c) PB; d) BM; d) ne može se utvrditi.
7. Koju od navedenih ravni seče prava RM (sl. 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1
8. Dvije ravni se seku u pravoj liniji c. Tačka M leži samo u jednoj ravni. Šta se može reći o relativnom položaju tačke M i prave c?
a) Ne može se izvući zaključak; b) prava c prolazi kroz tačku M; c) tačka M leži na pravoj c; d) prava c ne prolazi kroz tačku M; d) drugi odgovor.
9. Prave a i b seku se u tački M. Prava c koja ne prolazi kroz tačku M seče prave a i b. Šta se može reći o međusobnom položaju pravih a, b i c?
a) Sve prave leže u različitim ravnima; b) prave a i b leže u istoj ravni; c) sve prave leže u istoj ravni; d) ništa se ne može reći e) prava c se poklapa sa jednom od pravih: ili sa a ili sa b.
10. Prave a i b seku se u tački O. A € a, B € b, Y € AB. Odaberite tačnu tvrdnju.
a) Tačke O i Y ne leže u istoj ravni; b) prave OY i a su paralelne; c) prave a, b i tačka Y leže u istoj ravni; d) tačke O i Y se poklapaju; e) tačke Y i A se poklapaju.
su zrake AB i AC okomite na njegovu ivicu? 2. Da li je tačno da je linearni ugao BAC diedarski ugao ako zrake AB i AC leže na stranama diedarskog ugla? 3. Da li je tačno da je ugao BAC linearni ugao diedarskog ugla ako su zrake AB i AC okomite na njegovu ivicu, a tačke E i C leže na stranama ugla? 4. Linearni ugao diedarskog ugla je 80 stepeni. Postoji li prava na jednoj od strana ugla koja je okomita na drugu stranu? 5. Ugao ABC - linearni ugao diedralnog ugla sa alfa ivicom. Da li je prava alfa okomita na ravan ABC? Da li je tačno da sve prave okomite na datu ravan i koje seku datu pravu leže u istoj ravni?
Aksiomi stereometrije.
A1. Kroz bilo koje tri tačke koje ne leže na datoj pravoj, prolazi ravan, i štaviše, samo jedna;
Sl.1. Kroz pravu i tačku koja ne leži na njoj prolazi ravan, i to samo jedna;
Sl.2. Kroz dvije prave koje se ukrštaju prolazi ravan, i to samo jedna;
Sl.3. Ravan prolazi kroz dve paralelne prave, i štaviše, samo jednu.
A2. Ako dvije tačke prave leže u ravni, onda sve tačke prave leže u ovoj ravni;
A3 Ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda imaju zajedničku pravu liniju na kojoj leže sve zajedničke tačke ovih ravni.
Glavne figure stereometrije- bodova (A, B, C…), ravno (a, b, c…), avion ( …) , poliedri i tijela revolucije.
Ispod reznu ravninu volumetrijsku figuru razumjet ćemo ravan, s obje strane koje se nalaze tačke ove figure.
Per mjera udaljenosti između tačke, prave i ravni ćemo uzeti dužinu njihove zajedničke okomice.
2. Međusobni raspored linija u prostoru.
U prostoru mogu dvije prave linije biti paralelan, ukrštati ili seći.
| 1A | Def. Paralelno prave u prostoru su prave koje leže u istoj ravni i ne seku se. Prema 3. Ravan prolazi kroz dvije paralelne prave, i to samo jednu. | |
| 1B | T 1 (o tranzitivnosti). Dvije prave paralelne s trećom su paralelne jedna s drugom. | |
| 2A | Prema riječi 2. Nakon dva ukrštanje prave linije prolaze kroz ravan, i štaviše, samo jednu | |
| 3A | Def. Dvije linije se pozivaju ukrštanje ako ne leže u istoj ravni. | |
| T 2 (Znak linija koje se seku). Ako jedna od dvije prave leži u određenoj ravni, a druga siječe ovu ravan u tački koja ne pripada prvoj liniji, tada su takve prave nagnute. | ||
| 3B | Def. Ugao između kosih linija je ugao između linija koje se sijeku paralelne s njima. | |
| 3B | Def. Zajednička okomica dvije prave koje se sijeku je segment koji ima krajeve na tim pravima i okomit je na njih (udaljenost između kosih linija). |
- Međusobni raspored linija i ravni u prostoru.
U prostoru, prava linija i ravan mogu biti paralelno, seku ili ravno može u potpunosti ležati u ravni.
| 1A | Def. Pravo pozvao paralelna ravan, ako je paralelna s bilo kojom pravom koja leži u ovoj ravni. | |
| 1B | T 3 (Znak paralelizma prave i ravni). Prava koja ne leži u ravni je paralelna s ravninom ako je paralelna s nekom pravom koja leži u toj ravni. | |
| 2A | Def. Direktno pozvan okomito na ravan , ako je okomita na bilo koju liniju koja se siječe u ovoj ravni. | |
| 2B | T 4 (znak okomitosti prave i ravni) Ako je prava koja se siječe s ravninom okomita na bilo koje dvije prave koje se seku koje leže u ovoj ravni, onda je ona također okomita na bilo koju treću pravu koja leži u ovoj ravni. | |
| 2B | T 5 (oko dvije paralelne prave okomite na treću). Ako je jedna od dvije paralelne prave okomita na ravan, onda je i druga prava okomita na tu ravan. | |
| 2G | Def. Ugao između prave i ravni je ugao između date prave i njene projekcije na ravan. | |
| 2D | Def. Svaka druga prava linija, različita od okomice i koja seče ravan, naziva se koso u ovu ravan (sl. vidi ispod). Def. Projekcija koso na ravan naziva se segment koji povezuje osnovu okomice i kose. T 6 (o dužini okomite i kose). 1) Okomita povučena na ravan je kraća od nagnute na ovu ravan; 2) Jednaki kosi odgovaraju jednakim projekcijama; 3) Od dva nagnuta, veća je ona čija je projekcija veća. | |
| 2E | T 7 (oko tri okomice). Prava linija povučena na ravni kroz osnovu nagnute projekcije koja je okomita na nju je također okomita na onu s najvećim nagibom. T 8 (obrnuto). Prava linija povučena na ravni kroz osnovu nagnute ravni i okomita na nju je također okomita na projekciju nagnute ravni na ovu ravan. | |
| 3A | Prema aksiomu 2. Ako dvije tačke prave leže u ravni, onda sve tačke prave leže u ovoj ravni |
- Međusobni raspored aviona u prostoru.
U svemiru avioni mogu biti paralelno ili krst.
| 1A | Def. Dva avion pozvao paralelno ako se ne seku. | |
| T 9 (znak paralelnih ravni). Ako su dve prave jedne ravni koje se seku paralelne sa dvema pravima druge ravni, onda su ove ravni paralelne. | ||
| 1B | T 10 Ako dvije paralelne ravni siječe treća ravnina, tada su direktni presjeci paralelni (osobina paralelnih ravni 1). | |
| 1B | T 11 Segmenti paralelnih pravih zatvorenih između paralelnih ravni su jednaki (osobina paralelnih ravni 2). | |
| 2A | Po aksiomu 3. Ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda imaju zajedničku pravu na kojoj leže sve zajedničke tačke ovih ravni ( ravni se seku u pravoj liniji). | |
| 2B | T 12 (znak okomitosti ravnina). Ako ravan prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su ove ravni okomite. | |
| 2B | Def. diedarski ugao figura koju čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne prave se naziva. Ravan okomita na ivicu diedarskog ugla siječe njegove strane duž dvije zrake. Ugao koji formiraju ove zrake naziva se linearni ugao diedarskog ugla. Per diedralna mjera ugla uzima se mjera odgovarajućeg linearnog ugla. |
I5 Bez obzira na tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, kroz ove tačke prolazi najviše jedna ravan.
I6 Ako dvije tačke A i B prave leže u ravni a, tada svaka tačka prave a leži u ravni a. (U ovom slučaju ćemo reći da prava a leži u ravni a ili da ravan a prolazi kroz pravu a.
I7 Ako dvije ravni a i b imaju zajedničku tačku A, onda imaju još barem jednu zajedničku tačku B.
I8 Postoje najmanje četiri tačke koje ne leže u istoj ravni.
Već iz ovih 8 aksioma može se izvesti nekoliko teorema elementarne geometrije, koje su jasno očigledne i stoga nisu dokazane u školskom predmetu geometrije, a čak su ponekad, iz logičnih razloga, uključene u aksiome određenog školskog predmeta.
Na primjer:
1. Dvije prave imaju najviše jednu zajedničku tačku.
2. Ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda imaju zajedničku pravu na kojoj leže sve zajedničke tačke ove dvije ravni
Dokaz: (za pokazivanje):
Po I 7 $ B, koji takođe pripada a i b, jer A, B "a, zatim prema I 6 AB "b. Dakle, prava AB je zajednička za dvije ravni.
3. Kroz pravu i tačku koja ne leži na njoj, kao i kroz dve prave koje se seku, prolazi jedna i samo jedna ravan.
4. Na svakoj ravni postoje tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji.
KOMENTAR: Ovim aksiomima možete dokazati nekoliko teorema, a većina njih je tako jednostavna. Posebno se iz ovih aksioma ne može dokazati da je skup geometrijski elementi beskonačno.
GRUPA II Aksiomi reda.
Ako su tri tačke date na pravoj liniji, onda se jedna od njih može locirati na druge dvije u odnosu "ležati između", što zadovoljava sljedeće aksiome:
II1 Ako B leži između A i C, tada su A, B, C različite tačke iste linije, a B leži između C i A.
II2 Koje god da su dvije tačke A i B, postoji barem jedna tačka C na pravoj AB takva da B leži između A i C.
II3 Među bilo koje tri tačke na jednoj pravoj, postoji najviše jedna tačka koja leži između dve druge.
Prema Hilbertu, par tačaka A i B se podrazumijeva nad segmentom AB(BA). Tačke A i B nazivaju se krajevi segmenta, a svaka tačka koja leži između tačaka A i B naziva se unutrašnja tačka segmenta. AB(BA).
KOMENTAR: Ali iz II 1-II 3 još ne slijedi da svaki segment ima unutrašnje tačke, već iz II 2, z da segment ima vanjske tačke.
II4 (Pašov aksiom) Neka su A, B, C tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, i neka je A prava u ravni ABC koja ne prolazi ni kroz jednu od tačaka. tačke A, B, C. Zatim ako prava a prolazi kroz tačku odsječka AB, tada prolazi i kroz tačku odsječka AC ili BC.
Sl.1: Bez obzira na tačke A i C, postoji barem jedna tačka D na pravoj AC koja leži između A i C.
Doc-in: I 3 Þ$ tj. ne leži na pravoj AC
Sl.2. Ako C leži na segmentu AD i B između A i C, tada B leži između A i D, a C leži između B i D.Sada možemo dokazati dvije tvrdnje
DC3 Tvrdnja II 4 važi i ako tačke A, B i C leže na istoj pravoj liniji.
I najzanimljivije.
Sl.4 . Između bilo koje dvije tačke prave postoji beskonačan broj drugih tačaka na njoj (samodovoljnih).
Međutim, ne može se utvrditi da je skup tačaka prave neprebrojiv. .
Aksiomi grupa I i II omogućavaju nam da uvedemo tako važne koncepte kao što su poluravnina, zraka, poluprostor i ugao. Dokažimo prvo teoremu.
Th1. Prava a koja leži u ravni a deli skup tačaka ove ravni koje ne leže na pravoj a na dva neprazna podskupa tako da ako tačke A i B pripadaju istom podskupu, tada segment AB nema zajednički tačke sa pravom a; ako ove tačke pripadaju različitim podskupovima, tada segment AB ima zajedničku tačku sa pravom a.
Ideja: uvodi se relacija, naime, t. A i B Ï a su u odnosu na Δ ako segment AB nema zajedničkih tačaka sa pravom a ili se ove tačke poklapaju. Zatim su razmatrani skupovi klasa ekvivalencije u odnosu na Δ. Dokazano je da ih postoje samo dva koristeći jednostavne argumente.
ODA1 Svaki od podskupova tačaka definisanih prethodnom teoremom naziva se poluravnina sa granicom a.
Slično, možemo uvesti koncept zraka i poluprostora.
Zraka- h, a prava linija je .
ODA2 Ugao je par zraka h i k koji izlaze iz iste tačke O i ne leže na istoj pravoj liniji. pa se O naziva vrh ugla, a zrake h i k se nazivaju stranicama ugla. Označava se na uobičajen način: Ðhk.
Tačka M naziva se unutrašnja tačka ugla hk ako tačka M i zrak k leže u istoj poluravni sa granicom, a tačka M i zrak k leže u istoj poluravni sa granicom. Skup svih unutrašnjih tačaka naziva se unutrašnjost ugla.
vanjsko područje ugao - beskonačan skup, jer sve tačke segmenta sa krajevima na različitim stranama ugla su unutrašnje. Iz metodoloških razloga, sljedeće svojstvo se često uključuje u aksiome.
Nekretnina: Ako zraka počinje iz vrha nekog ugla i prolazi kroz barem jednu unutrašnju tačku tog ugla, tada siječe bilo koji segment s krajevima na različitim stranama ugla. (Samo.)
GRUPA III. Aksiomi kongruencije (jednakosti)
Na skup segmenata i uglova uvodi se odnos podudarnosti ili jednakosti (označen sa “=”), koji zadovoljava aksiome:
III 1 Ako je dat segment AB i zraka koja izlazi iz tačke A / , tada $ t.B / pripada ovoj zraci, tako da je AB=A / B / .
III 2 Ako je A / B / =AB i A // B // =AB, onda je A / B / =A // B // .
III 3 Neka A-V-S, A / -V / -S / , AV=A / V / i VS=V / S / , tada AC=A / S /
ODA3 Ako je O / tačka, h / zrak koji izlazi iz ove tačke, a l / poluravnina sa granicom, tada se trojka objekata O / ,h / i l / naziva zastavicom (O / ,h / ,l /).
III 4 Neka su dati Ðhk i zastavica (O / ,h / ,l /). Tada u poluravni l / postoji jedinstveni zrak k / koji izlazi iz tačke O / takav da je Ðhk = Ðh / k / .
III 5 Neka su A, B i C tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Ako je istovremeno AB=A / B / , AC=A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, onda je RABC = ÐA / B / C / .
1. Tačka B / B III 1 je jedina na ovoj gredi (self.)
2. Relacija kongruencije segmenata je relacija ekvivalencije na skupu segmenata.
3. U jednakokrakom trouglu, uglovi na osnovama su jednaki. (Prema III 5).
4. Znaci jednakosti trouglova.
5. Relacija kongruencije uglova je relacija ekvivalencije na skupu uglova. (Izvještaj)
6. Vanjski ugao trougla je veći od svakog ugla trougla koji mu nije susjedan.
7. U svakom trouglu, veći ugao leži nasuprot veće stranice.
8. Svaki segment ima jednu i samo jednu središnju tačku
9. Svaki ugao ima jednu i samo jednu simetralu
Možete uvesti sljedeće koncepte:
ODA4 Ugao jednak njegovom susjednom kutu naziva se pravi ugao..
Može definirati okomite uglove, okomite i kose, itd.
Moguće je dokazati jedinstvenost ^. Možete uvesti koncepte > i< для отрезков и углов:
ODA5 Ako su dati segmenti AB i A / B / i $ t.C, tako da su A / -C-B / i A / C \u003d AB, onda A / B / > AB.
ODA6 Ako su data dva ugla Ðhk i Ðh / k / i ako se zrak l može povući kroz unutrašnjost Ðhk i njegovog vrha tako da je Ðh / k / = Ðhl, tada je Ðhk > Ðh / k / .
A najzanimljivije je da je uz pomoć aksioma grupa I-III moguće uvesti pojam kretanja (preklapanje).
To se radi ovako:
Neka su data dva skupa tačaka p i p /. Pretpostavimo da je uspostavljena korespondencija jedan prema jedan između tačaka ovih skupova. Svaki par tačaka M i N skupa p određuje segment MN. Neka su M / i N / tačke skupa p / koje odgovaraju tačkama MN. Složit ćemo se da nazovemo segment M / N / koji odgovara segmentu MN.
ODA7 Ako je $ korespondencija između p i p / takva da se odgovarajući segmenti uvijek ispostavi da su međusobno kongruentni, tada setovi p i p / se nazivaju kongruentni . Takođe se kaže da se dobija svaki od skupova p i p / pokret od drugog ili da se jedan od ovih skupova može superponirati na drugi. Odgovarajuće tačke skupa p i p / nazivaju se superponiranim.
App1: Tačke koje leže na pravoj pri kretanju prelaze u tačke koje takođe leže na nekoj pravoj.
Utv2 Ugao između dva segmenta koji povezuju bilo koju tačku skupa sa dve druge tačke podudaran je sa uglom između odgovarajućih segmenata kongruentnog skupa.
Možete uvesti koncept rotacije, pomaka, kompozicije pokreta itd.
GRUPA IV. Aksiomi kontinuiteta i.
IV 1 (Arhimedov aksiom). Neka su AB i CD neki segmenti. Tada na pravoj AB postoji konačan skup tačaka A 1 , A 2 , …, A n takvih da su ispunjeni sljedeći uslovi:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-An
IV2 (Kantorov aksiom) Neka je na proizvoljnoj pravoj a dat beskonačan niz segmenata A1V1, A2V2,…, od kojih svaki sljedeći leži unutar prethodnog i, osim toga, za bilo koji segment CD postoji prirodni broj n takav da je AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
