- (Matematika.) Funkcija y = f (x) se poziva čak i ako se ne mijenja kada nezavisna varijabla mijenja samo predznak, odnosno ako je f (x) = f (x). Ako je f (x) = f (x), onda se funkcija f (x) naziva neparnom. Na primjer, y = cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funkcija koja zadovoljava jednakost f (x) = f (x). Pogledajte parne i neparne funkcije... Velika sovjetska enciklopedija

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

Specijalne funkcije koje je uveo francuski matematičar E. Mathieu 1868. pri rješavanju zadataka o oscilaciji eliptične membrane. M. f. se takođe koriste u proučavanju distribucije elektromagnetnih talasa u eliptičnom cilindru... Velika sovjetska enciklopedija

Zahtjev za "grijeh" je preusmjeren ovdje; vidi i druga značenja. Zahtjev "sec" se preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja. "Sine" preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja ... Wikipedia

Funkcija se naziva parna (neparna) ako je za bilo koji i jednakost

.

Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na os
.

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Primjer 6.2. Ispitajte parne ili neparne funkcije

1)
; 2)
; 3)
.

Rješenje.

1) Funkcija je definirana sa
. Hajde da nađemo
.

One.
. znači, datu funkciju je čak.

2) Funkcija je definirana za

One.
. Dakle, ova funkcija je čudna.

3) funkcija je definirana za , tj. za

,
. Dakle, funkcija nije ni parna ni neparna. Nazovimo to opštom funkcijom.

3. Istraživanje funkcije za monotonost.

Funkcija
naziva se povećanjem (opadanjem) na nekom intervalu ako u tom intervalu svaka veća vrijednost argumenta odgovara većoj (manjoj) vrijednosti funkcije.

Funkcije koje rastu (opadaju) na nekom intervalu nazivaju se monotonim.

Ako je funkcija
diferencibilan na intervalu
i ima pozitivan (negativni) izvod
, zatim funkciju
povećava (smanjuje) u ovom intervalu.

Primjer 6.3. Naći intervale monotonosti funkcija

1)
; 3)
.

Rješenje.

1) Ova funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj osi. Nađimo derivat.

Izvod je nula ako
i
. Domen definicije - numerička osa, podijeljena tačkama
,
za intervale. Odredimo predznak derivacije u svakom intervalu.

U intervalu
derivacija je negativna, funkcija opada na ovom intervalu.

U intervalu
derivacija je pozitivna, dakle, funkcija raste na ovom intervalu.

2) Ova funkcija je definirana ako
ili

.

Određujemo predznak kvadratnog trinoma u svakom intervalu.

Dakle, opseg funkcije

Nađimo derivat
,
, ako
, tj.
, ali
. Odredimo predznak derivacije u intervalima
.

U intervalu
derivacija je negativna, pa se funkcija smanjuje na intervalu
. U intervalu
izvod je pozitivan, funkcija raste na intervalu
.

4. Istraživanje funkcije za ekstrem.

Dot
naziva se maksimalna (minimalna) tačka funkcije
, ako postoji takva okolina tačke to za sve
ovo susjedstvo zadovoljava nejednakost

.

Maksimalne i minimalne tačke funkcije nazivaju se tačke ekstrema.

Ako je funkcija
u tački ima ekstrem, onda je derivacija funkcije u ovoj tački jednaka nuli ili ne postoji (neophodan uslov za postojanje ekstrema).

Tačke u kojima je izvod jednak nuli ili ne postoji nazivaju se kritičnim.

5. Dovoljni uslovi za postojanje ekstrema.

Pravilo 1. Ako je tokom tranzicije (s lijeva na desno) kroz kritičnu tačku derivat
mijenja znak iz "+" u "-", a zatim u tački funkcija
ima maksimum; ako od "-" do "+", onda minimum; ako
ne mijenja predznak, onda nema ekstrema.

Pravilo 2. Neka u tački
prvi izvod funkcije
nula
, a drugi izvod postoji i nije nula. Ako a
, onda je maksimalna tačka, ako
, onda je minimalna tačka funkcije.

Primjer 6.4 . Istražite maksimalne i minimalne funkcije:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Rješenje.

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
.

Nađimo derivat
i riješi jednačinu
, tj.
.odavde
su kritične tačke.

Odredimo predznak derivacije u intervalima ,
.

Prilikom prolaska kroz tačke
i
derivacija mijenja predznak iz “–” u “+”, dakle, prema pravilu 1
su minimalni bodovi.

Prilikom prolaska kroz tačku
derivat mijenja znak iz "+" u "-", dakle
je maksimalna tačka.

,
.

2) Funkcija je definirana i kontinuirana u intervalu
. Nađimo derivat
.

Rješavanjem jednačine
, nađi
i
su kritične tačke. Ako je imenilac
, tj.
, onda izvod ne postoji. dakle,
je treća kritična tačka. Odredimo predznak derivacije u intervalima.

Dakle, funkcija ima minimum u tački
, maksimum u tačkama
i
.

3) Funkcija je definirana i kontinuirana ako
, tj. at
.

Nađimo derivat

.

Hajde da pronađemo kritične tačke:

Susjedstva tačaka
ne pripadaju domenu definicije, pa nisu ekstremni t. Dakle, hajde da istražimo kritične tačke
i
.

4) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
. Koristimo pravilo 2. Pronađite izvod
.

Hajde da pronađemo kritične tačke:

Nađimo drugi izvod
i odredi njegov predznak u tačkama

U tačkama
funkcija ima minimum.

U tačkama
funkcija ima maksimum.

Zavisnost varijable y od varijable x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y, naziva se funkcija. Oznaka je y=f(x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, parnost, periodičnost i druga.

Razmotrite svojstvo parnosti detaljnije.

Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako zadovoljava sljedeća dva uslova:

2. Vrijednost funkcije u tački x koja pripada opsegu funkcije mora biti jednaka vrijednosti funkcije u tački -x. To jest, za bilo koju tačku x, iz domene funkcije, sljedeća jednakost f (x) = f (-x) mora biti istinita.

Grafikon parne funkcije

Ako napravite graf parne funkcije, on će biti simetričan u odnosu na y-os.

Na primjer, funkcija y=x^2 je parna. Hajde da to proverimo. Područje definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična u odnosu na tačku O.

Uzmite proizvoljan x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prema tome, f(x) = f(-x). Dakle, oba uslova su za nas zadovoljena, što znači da je funkcija parna. Ispod je graf funkcije y=x^2.

Slika pokazuje da je graf simetričan oko y-ose.

Grafikon neparne funkcije

Funkcija y=f(x) naziva se neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uslova:

1. Domen date funkcije mora biti simetričan u odnosu na tačku O. To jest, ako neka tačka a pripada domenu funkcije, tada odgovarajuća tačka -a takođe mora pripadati domenu date funkcije.

2. Za bilo koju tačku x, iz domena funkcije, mora biti zadovoljena sljedeća jednakost f (x) \u003d -f (x).

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na tačku O - ishodište. Na primjer, funkcija y=x^3 je neparna. Hajde da to proverimo. Područje definicije je cijela numerička osa, što znači da je simetrična u odnosu na tačku O.

Uzmite proizvoljan x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Stoga je f(x) = -f(x). Dakle, oba uslova su za nas zadovoljena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je graf funkcije y=x^3.

Slika jasno pokazuje da je neparna funkcija y=x^3 simetrična u odnosu na ishodište.

Definicija 1. Funkcija se poziva čak (odd ) ako zajedno sa svakom vrijednošću varijable
značenje - X takođe pripada
i jednakost

Dakle, funkcija može biti parna ili neparna samo kada je njena oblast definicije simetrična u odnosu na ishodište koordinata na realnoj pravoj (brojevi X i - X istovremeno pripadaju
). Na primjer, funkcija
nije ni paran ni neparan, budući da je njegov domen definicije
nije simetrično u odnosu na porijeklo.

Funkcija
čak, jer
simetrično u odnosu na početak koordinata i.

Funkcija
čudno jer
i
.

Funkcija
nije ni paran ni neparan, budući da iako
i simetrična je u odnosu na ishodište, jednakosti (11.1) nisu zadovoljene. Na primjer,.

Grafikon parne funkcije je simetričan u odnosu na os OU, budući da je poenta

takođe pripada grafu. Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište, jer ako
pripada grafu, zatim tački
takođe pripada grafu.

Kada se dokazuje da li je funkcija parna ili neparna, korisni su sljedeći iskazi.

Teorema 1. a) Zbir dvije parne (neparne) funkcije je parna (neparna) funkcija.

b) Proizvod dvije parne (neparne) funkcije je parna funkcija.

c) Proizvod parne i neparne funkcije je neparna funkcija.

d) Ako f je parna funkcija na setu X, i funkciju g definisano na setu
, zatim funkciju
- čak.

e) Ako f je neparna funkcija na setu X, i funkciju g definisano na setu
i paran (neparan), zatim funkcija
- čak i čudno).

Dokaz. Dokažimo, na primjer, b) i d).

b) Neka
i
su čak i funkcije. Onda, dakle. Slučaj neparnih funkcija razmatra se slično
i
.

d) Neka f je parna funkcija. Onda.

Slično se dokazuju i druge tvrdnje teoreme. Teorema je dokazana.

Teorema 2. Bilo koja funkcija
, definisano na setu X, koji je simetričan u odnosu na ishodište, može se predstaviti kao zbir parne i neparne funkcije.

Dokaz. Funkcija
može se napisati u formi

.

Funkcija
je čak, jer
, i funkciju
je čudno jer. Na ovaj način,
, gdje
- čak i
je neparna funkcija. Teorema je dokazana.

Definicija 2. Funkcija
pozvao periodični ako postoji broj
, takav da za bilo koji
brojevi
i
takođe pripadaju domenu definicije
i jednakosti

Takav broj T pozvao period funkcije
.

Definicija 1 implicira da ako T– period funkcije
, zatim broj T također je period funkcije
(jer prilikom zamjene T na - T održava se jednakost). Koristeći metodu matematičke indukcije, može se pokazati da ako T– period funkcije f, zatim i
, je takođe period. Iz toga slijedi da ako funkcija ima period, onda ima beskonačno mnogo perioda.

Definicija 3. Najmanji od pozitivnih perioda funkcije naziva se njen main period.

Teorema 3. Ako T je glavni period funkcije f, tada su preostali periodi višestruki od toga.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, odnosno da postoji period funkcije f (>0), ne višestruko T. Zatim, podjela na T sa ostatkom, dobijamo
, gdje
. Zbog toga

to je – period funkcije f, i
, što je u suprotnosti sa činjenicom da T je glavni period funkcije f. Iz dobijene kontradikcije slijedi tvrdnja teoreme. Teorema je dokazana.

Dobro je poznato da su trigonometrijske funkcije periodične. Glavni period
i
jednaki
,
i
. Pronađite period funkcije
. Neka
je period ove funkcije. Onda

(jer
.

ororor
.

Značenje T, određen iz prve jednakosti, ne može biti period, jer zavisi od X, tj. je funkcija od X, nije konstantan broj. Period se određuje iz druge jednakosti:
. Postoji beskonačno mnogo perioda
najmanji pozitivni period se dobija kada
:
. Ovo je glavni period funkcije
.

Primjer složenije periodične funkcije je Dirichletova funkcija

Imajte na umu da ako T onda je racionalan broj
i
su racionalni brojevi pod racionalnim X i iracionalno kada je iracionalno X. Zbog toga

za bilo koji racionalni broj T. Dakle, bilo koji racionalni broj T je period Dirichletove funkcije. Jasno je da ova funkcija nema glavni period, jer postoje pozitivni racionalni brojevi proizvoljno blizu nule (na primjer, racionalni broj se može napraviti odabirom n proizvoljno blizu nule).

Teorema 4. Ako funkcija f postavljeno na setu X i ima menstruaciju T, i funkciju g postavljeno na setu
, zatim kompleksnu funkciju
takođe ima period T.

Dokaz. Dakle, imamo

odnosno dokazana je tvrdnja teoreme.

Na primjer, pošto cos x ima menstruaciju
, zatim funkcije
imati menstruaciju
.

Definicija 4. Pozivaju se funkcije koje nisu periodične neperiodični .

Sakrij prikaz

Načini postavljanja funkcije

Neka je funkcija data formulom: y=2x^(2)-3 . Dodjeljujući bilo koju vrijednost nezavisnoj varijabli x, možete koristiti ovu formulu da izračunate odgovarajuće vrijednosti zavisne varijable y. Na primjer, ako je x=-0.5, onda koristeći formulu, dobijamo da je odgovarajuća vrijednost y y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5.

S obzirom na bilo koju vrijednost koju uzima argument x u formuli y=2x^(2)-3, može se izračunati samo jedna vrijednost funkcije koja joj odgovara. Funkcija se može predstaviti kao tabela:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Koristeći ovu tablicu, možete shvatiti da će za vrijednost argumenta -1 odgovarati vrijednost funkcije -3; a vrijednost x=2 će odgovarati y=0, i tako dalje. Također je važno znati da svaka vrijednost argumenta u tablici odgovara samo jednoj vrijednosti funkcije.

Više funkcija može se postaviti pomoću grafikona. Uz pomoć grafa se utvrđuje koja vrijednost funkcije korelira sa određenom vrijednošću x. Najčešće će to biti približna vrijednost funkcije.

Parna i neparna funkcija

Funkcija je ravnomjerna funkcija, kada je f(-x)=f(x) za bilo koji x iz domene. Takva funkcija će biti simetrična u odnosu na Oy os.

Funkcija je neparna funkcija kada je f(-x)=-f(x) za bilo koji x u domeni. Takva funkcija će biti simetrična u odnosu na ishodište O (0;0) .

Funkcija je čak ni, niti čudno i pozvao funkcija opšti pogled kada nema simetriju u odnosu na os ili ishodište.

Ispitujemo sljedeću funkciju radi pariteta:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) sa simetričnim domenom definicije oko ishodišta. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Dakle, funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) je neparna.

Periodična funkcija

Funkcija y=f(x) , u čijoj domeni je f(x+T)=f(x-T)=f(x) istina za bilo koji x, naziva se periodična funkcija sa periodom T \neq 0 .

Ponavljanje grafika funkcije na bilo kojem segmentu apscisne ose, koji ima dužinu T .

Intervali u kojima je funkcija pozitivna, odnosno f (x) > 0 - segmenti apscisne ose, koji odgovaraju tačkama grafika funkcije koje leže iznad ose apscise.

f(x) > 0 uključeno (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Praznine gdje je funkcija negativna, tj. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Ograničenje funkcije

ograničeno odozdo uobičajeno je pozvati funkciju y=f(x), x \u X kada postoji broj A za koji vrijedi nejednakost f(x) \geq A za bilo koje x \in X .

Primjer funkcije ograničene ispod: y=\sqrt(1+x^(2)) budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 za bilo koji x.

omeđen odozgo funkcija y=f(x), x \in X se poziva ako postoji broj B za koji vrijedi nejednakost f(x) \neq B za bilo koje x \in X .

Primjer funkcije ograničene ispod: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 za bilo koji x \in [-1;1] .

Ograničeno uobičajeno je pozvati funkciju y=f(x), x \u X kada postoji broj K > 0 za koji je nejednakost \left | f(x) \desno | \neq K za bilo koji x \u X .

Primjer ograničena funkcija: y=\sin x je ograničen na cijeloj brojevnoj pravoj, jer \levo | \sin x \right | \neq 1.

Povećana i opadajuća funkcija

Uobičajeno je govoriti o funkciji koja raste na intervalu koji se razmatra kao povećanje funkcije kada će veća vrijednost x odgovarati većoj vrijednosti funkcije y=f(x) . Odavde se ispostavlja da će uzimajući iz razmatranog intervala dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) i x_(1) > x_(2) biti y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Poziva se funkcija koja se smanjuje na intervalu koji se razmatra opadajuća funkcija kada će veća vrijednost x odgovarati manjoj vrijednosti funkcije y(x) . Odavde se ispostavlja da će uzimajući iz razmatranog intervala dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) i x_(1) > x_(2) biti y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funkcijski korijeni uobičajeno je da se imenuju tačke u kojima funkcija F=y(x) siječe osu apscise (dobive se kao rezultat rješavanja jednadžbe y(x)=0).

a) Ako parna funkcija raste za x > 0, onda se smanjuje za x< 0

b) Kada se parna funkcija smanjuje za x > 0, tada se povećava za x< 0

c) Kada se neparna funkcija povećava za x > 0, tada raste i za x< 0

d) Kada se neparna funkcija smanji za x > 0, tada će se smanjiti i za x< 0

Ekstremi funkcije

Minimalna tačka funkcije y=f(x) takvu tačku uobičajeno je nazvati x=x_(0) , u kojoj će njena okolina imati druge tačke (osim tačke x=x_(0) ), a zatim nejednakost f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - oznaka funkcije u tački min.

Maksimalna tačka funkcije y=f(x) takvu tačku uobičajeno je nazvati x=x_(0) , u kojoj će njena okolina imati druge tačke (osim tačke x=x_(0) ), a zatim nejednakost f(x) biće zadovoljan za njih< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Neophodan uslov

Prema Fermatovoj teoremi: f"(x)=0, onda kada je funkcija f(x) , koja je diferencibilna u tački x_(0) , u ovoj tački će se pojaviti ekstremum.

Dovoljno stanje

1. Kada se predznak derivacije promijeni sa plus na minus, tada će x_(0) biti minimalna tačka;
2. x_(0) - biće maksimalna tačka samo kada derivacija promeni predznak sa minusa na plus kada prolazi kroz stacionarnu tačku x_(0) .

Najveća i najmanja vrijednost funkcije u intervalu

Koraci izračunavanja:

1. Traženje izvedenice f"(x) ;
2. Nalaze se stacionarne i kritične tačke funkcije i biraju one koje pripadaju intervalu;
3. Vrijednosti funkcije f(x) nalaze se na stacionarnim i kritičnim točkama i krajevima segmenta. Najmanji od rezultata će biti najmanju vrijednost funkcije, i više - najveći.