Uvod

Platonove čvrste materije

Šta je Da Vincijev kod?

Platonska čvrsta tela

Arhimedova čvrsta tela

Misterija egipatskog kalendara

Kvazikristali Dana Shechtmana

Penrose pločice

Fullereni

Umjetnički svijet slovenačke umjetnice Matiushke Teije Kraszek

Pravilni poliedri su od antičkih vremena privlačili pažnju filozofa, graditelja, arhitekata, umjetnika i matematičara. Bili su zapanjeni ljepotom, savršenstvom, harmonijom ovih figura.

Pravilni poliedar je trodimenzionalna konveksna geometrijska figura, čije su sve strane isti pravilni mnogouglovi i svi poliedarski uglovi u vrhovima su međusobno jednaki. Postoji mnogo pravilnih poligona, ali postoji samo pet pravilnih poliedara. Nazivi ovih poliedara potiču od Ancient Greece, i označavaju broj ("tetra" - 4, "hexa" - 6, "octa" - 8, "dodeca" - 12, "ikosa" - 20) lica ("hedra").

Ovi pravilni poliedri su nazvani Platonovim čvrstim tijelom po starogrčkom filozofu Platonu, koji im je dao mistično značenje, ali su bili poznati prije Platona. Tetraedar je personificirao vatru, jer je njegov vrh usmjeren prema gore, poput plamena; ikosaedar - kao najstrožija - voda; kocka - najstabilnija figura - zemlja, a oktaedar - vazduh. Dodekaedar je identificiran sa cijelim svemirom i smatran je najvažnijim.

Pravilni poliedri se nalaze u prirodi. Na primjer, skelet jednoćelijskog organizma feodarije po obliku podsjeća na ikosaedar. Kristal pirita (sumporni pirit, FeS2) ima oblik dodekaedra.

Tetraedar - ispravno trouglasta piramida, i heksaedar - kocka - figure s kojima se stalno susrećemo pravi zivot. Da biste bolje osjetili oblik drugih Platonovih tijela, trebali biste ih sami kreirati od debelog papira ili kartona. Nije teško napraviti ravno skeniranje figura. Stvaranje pravilnih poliedara je izuzetno zabavno samim procesom oblikovanja.

Potpuni i bizarni oblici pravilnih poliedara naširoko se koriste u dekorativnoj umjetnosti. Volumetrijske figure mogu se učiniti zabavnijim ako su ravni pravilni poligoni predstavljeni drugim oblicima koji se uklapaju u poligon. Na primjer: pravilan pentagon može se zamijeniti zvijezdom. Takva trodimenzionalna figura neće imati ivice. Možete ga prikupiti tako što ćete vezati krajeve zraka zvijezda. I 10 zvjezdica će biti ravno skeniranje. Trodimenzionalna figura se dobija nakon fiksiranja preostale 2 zvjezdice.

Ako vaše dijete voli da pravi zanate svojim vještim rukama, pozovite ga da sastavi trodimenzionalnu figuru poliedra dodekaedra od ravnih plastičnih zvijezda. Rezultat rada zadovoljit će vaše dijete: on će vlastitim rukama napraviti originalan ukrasni dizajn koji se može koristiti za uređenje dječje sobe. Ali, najzanimljivije je to što ažurna lopta svijetli u mraku. Plastične zvijezde su napravljene uz dodatak moderne bezopasne supstance - fosfora.

GEOMETRIJA PLATONOVA TELA

rev. od 24.06.2013. - (ažurirano)

Glavnih pet Platonovih tela su: oktaedar, zvezdasti tetraedar, kocka, dodekaedar, ikosaedar.

Svaki od geometrijskih uzoraka, da li atomsko jezgro, mikroklasteri, globalna mreža ili udaljenosti između planeta, zvijezda, galaksija, jedno je od pet glavnih "Platonovih čvrstih tijela".

Zašto se ovi obrasci tako često javljaju u prirodi? Jedan od prvih nagovještaja: matematičari su znali da ovi oblici imaju više "simetrije" od bilo koje trodimenzionalne geometrije koju možemo stvoriti.

Od Roberta Lawlora "Sveta geometrija" možemo naučiti da su Hindusi reducirali geometrije Platonovih čvrstih tijela na oktavnu strukturu koju vidimo za zvuk i svjetlost (nota i boja). Grčki matematičar i filozof Pitagora, kroz proces sukcesivnog dijeljenja frekvencije sa pet, prvi je razvio osam "čistih" tonova oktave, poznatih kao dijatonska ljestvica. Uzeo je "monokord" sa jednom žicom i izmjerio tačne talasne dužine dok je svirao različite note. Pitagora je pokazao da se frekvencija (ili brzina vibracije) svake note može predstaviti kao omjer između dva dijela žice, ili dva broja, pa otuda i izraz "dijatonski omjer".

Tabela ispod navodi geometriju u određenom redoslijedu, povezujući je sa brojem spirale fi(). Ovo daje potpunu i potpunu sliku o tome kako različite vibracije rade zajedno. Zasniva se na dodjeljivanju dužina rubovima kocke jednake “ 1 ". Zatim poredimo ivice svih drugih oblika sa ovom vrednošću, bilo da su veći ili manji. Znamo da je u Platonovim telima svaka faseta istog oblika, svaki ugao je identičan, svaki čvor je na istoj udaljenosti od svih ostalih čvorova i svaka linija je iste dužine.

1 Sfera (bez lica) 2 Centralni ikosaedar 1/phi 2 3 Oktaedar 1/ √2 4 zvjezdice tetraedar √2 5 Kocka 1 6 Dodekaedar 1/phi 7 Ikosaedar phi 8 Sfera (bez lica)

Ovo će pomoći da se shvati kako se, uz pomoć vibracija phi spirale, platonska tijela postepeno prelijevaju jedno u drugo.

MULTIDIMENZIONALNOST Univerzuma

Sam koncept povezivanja Platonovih geometrija sa višim ravnima nastaje zato što naučnici znaju: mora postojati geometrija; našli su ga u jednačinama. Platonske geometrije su potrebne da obezbede „više prostora“ da se nevidljive dodatne ose pojavljuju u „skrivenim“ okretima od 90°. U metodi analize podataka, svako lice geometrijskog oblika predstavlja različitu osu ili plan u kojem se može rotirati. Kada počnemo da gledamo na rad Fullera i Jenny, vidimo da je ideja o drugim ravnima koje postoje u "skrivenim" zaokretima od 90° jednostavno netačno objašnjenje zasnovano na nedostatku znanja o "svetim" vezama između geometrije. i vibracije.

Vrlo je vjerovatno da konvencionalni naučnici nikada neće shvatiti da su drevne kulture mogle imati „izgubljenu vezu“ koja sve uvelike pojednostavljuje i objedinjuje. moderne teorije svemirska fizika. Iako može izgledati nevjerovatno da je "primitivna" kultura imala pristup ovoj vrsti informacija, dokazi postoje. Pročitajte klasičnu knjigu Prasada, za sada možete vidjeti da vedska kosmologija ima inherentnu naučnu vještinu.

Šta misliš da vidiš? je zvijezda koja eksplodira s prašinom izbačenom iz nje... Ali ovdje očigledno postoji neka vrsta energetskog polja, koje strukturira prašinu dok se širi u vrlo precizan geometrijski uzorak:

Problem je u tome što tipična magnetna polja u konvencionalnim fizičkim modelima jednostavno ne dozvoljavaju takvu geometrijsku tačnost. Naučnici zaista ne znaju kako da shvate takve stvari!

Slika ispod je NOVA maglina, koja je savršen "kvadrat". Međutim, ovo je još uvijek dvodimenzionalno razmišljanje. Šta je kvadrat u tri dimenzije?
Naravno, kocka!

Gledano u infracrvenom spektru, maglina podseća na džinovsku svetleću kutiju na nebu sa svetlo belim unutrašnjim jezgrom. Umiruća zvijezda MWC 922 leži u središtu sistema i izbacuje svoju unutrašnjost sa suprotnih polova u svemir. Nakon što MWC 922 emituje većinu svog materijala u svemir, on će se skupiti u gusto zvjezdano tijelo poznato kao bijeli patuljak, skriveno u svojim ostacima oblaka.

Iako je gotovo moguće da se eksplozija zvijezde širi samo u jednom smjeru, stvarajući piramidalni oblik, ono što vidite je savršena kocka u svemiru. Budući da su sve četiri strane kocke iste dužine i savršenih uglova od 90° jedna prema drugoj, a opet, kocka ima strukturirane "korake" koje smo vidjeli na prethodnoj slici, naučnici su potpuno zbunjeni. Kocka ima još VEĆU SIMETRIJU od "pravougaone" magline!

Takvi se obrasci pojavljuju ne samo u prostranstvu svemira. Oni se također javljaju na najmanjem nivou atoma i molekula, na primjer, u kubičnoj strukturi obične kuhinjske soli ili natrijevog klorida. Pang Tsaya (Japan) fotografirao je kvazikristale legure aluminijum-bakar-gvožđe u obliku dodekaedra i legure aluminijum-nikl-kobalt u obliku dekagonalne (desetostrane) prizme (vidi fotografiju). Problem je u tome ne možete stvoriti takve kristale koristeći pojedinačne atome povezane zajedno.

Drugi primjer je Bose-Einstein kondenzat. Ukratko, Bose-Einstein kondenzat je velika grupa atoma koja se ponaša kao jedna "čestica" u kojoj svaki atom koji ga sačinjava istovremeno zauzima sav prostor i sve vrijeme u cijeloj strukturi. Mjeri se da svi atomi vibriraju na istoj frekvenciji, kreću se istom brzinom i nalaze se u istom području prostora. Paradoksalno, ali različiti dijelovi sistema djeluju kao cjelina, gubeći sve znakove individualnosti. Upravo je ovo svojstvo potrebno za "superprovodnik". Tipično, Bose-Einstein kondenzati se mogu formirati na ekstremno niskim temperaturama. Međutim, upravo takve procese opažamo u mikroklasterima i kvazikristalima lišenim individualnog atomskog identiteta.

Drugi sličan proces je djelovanje laserske svjetlosti, poznato kao "koherentna" svjetlost. Sve u prostoru i vremenu laserski zrak se ponaša kao jedan "foton", odnosno nemoguće je odvojiti pojedinačne fotone u laserskom snopu.

Štaviše, kasnih 1960-ih engleski fizičar Herbert Fröhlich je to predložio živi sistemi se često ponašaju kao Bose-Einstein kondenzati, samo u velikim razmjerima.

Fotografije magline nude zapanjujuće vidljive dokaze da je geometrija u igri. o više uloge u silama svemira nego što bi većina ljudi vjerovala. Naši naučnici mogu se samo boriti da razumiju ovaj fenomen unutar postojećih tradicionalnih modela.

Stakhov A.P.

Da Vinčijev kod, platonska i arhimedova čvrsta tijela, kvazikristali, fulerini, Penroseove rešetke i svet umetnosti Majka Teija Kraszek

anotacija

Rad slovenačke umjetnice Matyushke Teije Krashek malo je poznat čitaocima koji govore ruski. Istovremeno, na Zapadu ga nazivaju "istočnoevropski Escher" i "slovenački dar" svjetskoj kulturnoj zajednici. Njene umetničke kompozicije inspirisane su najnovijim naučnim otkrićima (fulereni, kvazikristali Dan Šehtman, Penrouzove pločice), koji su zasnovani na pravilnim i polupravilnim poligonima (Platonova i Arhimedova tela), zlatnom preseku i Fibonačijevim brojevima.

Svakako je svaka osoba više puta razmišljala o pitanju zašto je priroda u stanju stvoriti tako nevjerojatne skladne strukture koje oduševljavaju i oduševljavaju oko. Zašto umetnici, pesnici, kompozitori, arhitekti iz veka u vek stvaraju neverovatna umetnička dela. Koja je tajna njihove Harmonije i koji zakoni leže u osnovi ovih harmoničnih stvorenja?

Potraga za ovim zakonima, "Zakonima harmonije univerzuma", započela je u drevnoj nauci. Tokom ovog perioda ljudske istorije naučnici dolaze do niza neverovatnih otkrića koja prožimaju čitavu istoriju nauke. Prvi od njih se smatra divnom matematičkom proporcijom koja izražava Harmoniju. Zove se drugačije: "zlatni rez", "zlatni broj", "zlatna sredina", "zlatni rez" i čak "božanske proporcije". Zlatni presek se takođe naziva PHI broj u čast velikog starogrčkog kipara Fidija (Phidija), koji je koristio ovaj broj u svojim skulpturama.

Triler Da Vinčijev kod, koji je napisao popularni engleski pisac Den Braun, postao je bestseler 21. veka. Ali šta znači Da Vinčijev kod? Postoje različiti odgovori na ovo pitanje. Poznato je da je čuveni "Zlatni rez" bio predmet velike pažnje i oduševljenja Leonarda da Vinčija. Štaviše, sam naziv "Zlatni presek" je u evropsku kulturu uveo Leonardo da Vinči. Na inicijativu Leonarda, čuveni italijanski matematičar i učeni monah Luca Pacioli, Leonardov prijatelj i naučni savetnik, objavio je knjigu "Divina Proportione", prvo matematičko delo u svetskoj književnosti o zlatnom preseku, koje je autor nazvao "Božanstvenim". Proporcija". Poznato je i da je sam Leonardo ilustrovao ovu čuvenu knjigu, nacrtavši za nju 60 divnih crteža. Upravo te činjenice, koje nisu dobro poznate široj naučnoj zajednici, daju za pravo da se iznese hipoteza da „Da Vinčijev kod“ nije ništa drugo do „Zlatni presek“. A potvrdu ove hipoteze može se naći u predavanju za studente Univerzitet Harvard kojih se seća glavni lik knjiga "Da Vincijev kod" prof. Langdon:

„Uprkos svom gotovo mističnom porijeklu, PHI broj je na svoj način igrao jedinstvenu ulogu. Uloga cigle u temelju izgradnje cijelog života na zemlji. Sve biljke, životinje, pa čak i ljudska bića su obdareni fizičke proporcije, približno jednak korijenu omjera broja PHI prema 1. Ova sveprisutnost PHI u prirodi ... ukazuje na povezanost svih živih bića. Nekada se vjerovalo da je PHI broj unaprijed odredio Stvoritelj svemira. Antički naučnici su jednu tačku šest stotina osamnaest hiljaditih zvali "božanskom proporcijom".

Dakle, poznati iracionalni broj PHI = 1,618, koji je Leonardo da Vinci nazvao Zlatnom sredinom, jeste Da Vinčijev kod!

Još jedno matematičko otkriće antičke nauke je pravilni poliedri, koji su imenovani "Platonska čvrsta tela" i "polupravilni poliedri", imenovan "Arhimedova čvrsta tela". Upravo su ovi nevjerovatno lijepi prostorni geometrijski oblici koji su u osnovi dva najveća naučnim otkrićima 20ti vijek - kvazikristali(autor otkrića je izraelski fizičar Dan Shechtman) i fulereni(Nobelova nagrada 1996). Ova dva otkrića najznačajnija su potvrda činjenice da je Zlatna proporcija Univerzalni kod prirode (“Da Vinčijev kod”), koji je u osnovi Univerzuma.

Otkriće kvazikristala i fulerena inspirisalo je mnoge savremene umetnike da stvore dela koja u umetničkom obliku odražavaju najvažnija fizička otkrića 20. veka. Jedan od tih umjetnika je slovenački umjetnik Majka Theia Kraszek. Ovaj članak predstavlja umjetnički svijet Matyushke Teije Krashek kroz prizmu najnovijih znanstvenih otkrića.

Osoba pokazuje interesovanje za pravilne mnogouglove i poliedre kroz svoju svesnu aktivnost - od dvogodišnjeg deteta koje se igra drvenim kockama do zrelog matematičara. Neka od pravilnih i polupravilnih tijela prirodno se javljaju kao kristali, druga kao virusi koji se mogu vidjeti elektronskim mikroskopom.

Šta je pravilni poliedar? Poliedar se naziva pravilnim ako su mu sve strane jednake (ili podudarne) jedna drugoj, a istovremeno su pravilni poligoni. Koliko pravilnih poliedara ima? Na prvi pogled, odgovor na ovo pitanje je vrlo jednostavan - onoliko koliko je pravilnih poligona. Međutim, nije. U Euklidovim elementima nalazimo rigorozan dokaz da postoji samo pet konveksnih pravilnih poliedara i da samo tri vrste pravilnih mnogouglova mogu biti njihova lica: trouglovi, kvadrata i peterokuti (pravilni peterokuti).

Mnoge knjige su posvećene teoriji poliedara. Jedna od najpoznatijih je knjiga engleskog matematičara M. Wennigera "Modeli poliedara". U ruskom prevodu ovu knjigu je objavila izdavačka kuća Mir 1974. godine. Epigraf knjige je izjava Bertranda Russela: "Matematika posjeduje ne samo istinu, već i visoku ljepotu - ljepotu izbrušenu i strogu, uzvišeno čistu i težnju za istinskim savršenstvom, što je svojstveno samo najvećim primjerima umjetnosti."

Knjiga počinje opisom tzv pravilni poliedri, odnosno poliedri formirani od najjednostavnijih pravilnih poligona istog tipa. Ovi poliedri se nazivaju Platonska tijela(sl. 1) , nazvan po starogrčkom filozofu Platonu, koji je u svom radu koristio pravilne poliedre kosmologija.

Slika 1. Platonska tijela: (a) oktaedar ("Vatra"), (b) heksaedar ili kocka ("Zemlja"),

Započećemo naše razmatranje sa pravilni poliedri, čija su lica jednakostranični trouglovi. Prvi od njih je tetraedar(Sl.1-a). U tetraedru, tri jednakostranična trougla se sastaju na jednom vrhu; dok njihove osnove formiraju novi jednakostranični trougao. Tetraedar ima najmanji broj lica među Platonovim telima i trodimenzionalni je analog stana pravougaonog trougla, koji ima najmanji broj strana među pravilnim poligonima.

Sljedeće tijelo, koje čine jednakostranični trouglovi, naziva se oktaedar(Sl.1-b). U oktaedru, četiri trougla se sastaju na jednom vrhu; rezultat je piramida sa četvorougaonom bazom. Ako spojite dvije takve piramide s bazama, dobićete simetrično tijelo sa osam trokutastih lica - oktaedar.

Sada možete pokušati spojiti pet jednakostraničnih trouglova u jednoj tački. Rezultat je figura sa 20 trokutastih lica - ikosaedar(Sl.1-d).

Sljedeći pravilni poligonalni oblik je − kvadrat. Ako spojimo tri kvadrata u jednoj tački, a zatim dodamo još tri, dobićemo savršen oblik sa šest strana, tzv heksaedar ili kocka(Sl. 1-c).

Konačno, postoji još jedna mogućnost konstruisanja pravilnog poliedra na osnovu korišćenja sledećeg pravilnog poligona − Pentagon. Ako sakupimo 12 peterokuta na način da se tri peterokuta sastaju u svakoj tački, dobićemo još jedno platonsko telo, tzv. dodecahedron(Sl.1-e).

Sljedeći pravilni poligon je hexagon. Međutim, ako spojimo tri šesterokuta u jednoj tački, onda ćemo dobiti površinu, odnosno nemoguće je izgraditi trodimenzionalnu figuru od šesterokuta. Bilo koji drugi pravilni poligoni iznad šesterokuta uopće ne mogu formirati čvrsta tijela. Iz ovih razmatranja proizilazi da postoji samo pet pravilnih poliedara čija lica mogu biti samo jednakostranični trouglovi, kvadrati i peterokuti.

Postoje neverovatne geometrijske veze između svih pravilni poliedri. Na primjer, kocka(Sl.1-b) i oktaedar(Sl.1-c) su dvojne, tj. se dobijaju jedno od drugog ako se kao vrhovi drugog uzmu težišta lica jedne i obrnuto. Slično dual ikosaedar(Sl.1-d) i dodecahedron(Sl.1-e) . Tetrahedron(Sl.1-a) je dualno samoj sebi. Dodekaedar se dobija iz kocke konstruisanjem "krova" na njenim plohama (Euklidov metod), vrhovi tetraedra su bilo koja četiri vrha kocke koja nisu u paru susedna duž ivice, odnosno svi ostali pravilni poliedri mogu biti dobijene iz kocke. Sama činjenica postojanja samo pet zaista pravilnih poliedara je iznenađujuća jer na ravni ima beskonačno mnogo pravilnih mnogouglova!

Numeričke karakteristike Platonovih tijela

Glavne numeričke karakteristike Platonska tijela je broj strana lica m, broj lica koja konvergiraju na svakom vrhu, m, broj lica G, broj vrhova AT, broj rebara R i broj ravnih uglova At na površini poliedra, Euler je otkrio i dokazao poznatu formulu

B P + G = 2,

povezujući broj vrhova, ivica i lica bilo kojeg konveksnog poliedra. Gore navedene numeričke karakteristike su date u tabeli. jedan.

Tabela 1

Numeričke karakteristike Platonovih tijela

Zlatni presek u dodekaedru i ikosaedru

Dodekaedar i njegov dvojni ikosaedar (sl. 1-d, e) zauzimaju posebno mjesto među Platonska tijela. Prije svega, mora se naglasiti da je geometrija dodecahedron i ikosaedar direktno povezana sa zlatnim rezom. Zaista, ivice dodecahedron(Sl.1-e) su pentagons, tj. pravilnih peterokuta zasnovanih na zlatnom preseku. Ako pažljivo pogledate ikosaedar(Sl. 1-d), tada možete vidjeti da se pet trouglova konvergira na svakom od njegovih vrhova, čije vanjske strane čine pentagon. Već su ove činjenice dovoljne da se uvjerimo da zlatni rez igra bitnu ulogu u izgradnji ova dva Platonska tijela.

Ali postoje dublji matematički dokazi za fundamentalnu ulogu koju igra zlatni rez ikosaedar i dodecahedron. Poznato je da ova tijela imaju tri specifične sfere. Prva (unutrašnja) sfera je upisana u tijelo i dodiruje njegova lica. Označimo poluprečnik ove unutrašnje sfere kao R i. Druga ili srednja sfera dodiruje njene ivice. Označimo poluprečnik ove sfere sa R m . Konačno, treća (spoljna) sfera je opisana oko tela i prolazi kroz njegove vrhove. Označimo njegov radijus sa Rc. U geometriji je dokazano da su vrijednosti polumjera navedenih sfera za dodecahedron i ikosaedar, koji ima ivicu jedinične dužine, izražava se u terminima zlatnog preseka t (tabela 2).

tabela 2

Zlatni rez u sferama dodekaedra i ikosaedra


ikosaedar
Dodecahedron

Imajte na umu da je omjer radijusa = isti kao za ikosaedar, i za dodecahedron. Dakle, ako dodecahedron i ikosaedar imaju iste upisane sfere, onda su i njihove opisane sfere jednake jedna drugoj. Dokaz ovog matematičkog rezultata je dat u Počeci Euclid.

U geometriji su poznati i drugi odnosi dodecahedron i ikosaedar potvrđujući njihovu povezanost sa zlatnim rezom. Na primjer, ako uzmemo ikosaedar i dodecahedron sa dužinom ivice jednakom jedan, i izračunaju njihovu spoljašnju površinu i zapreminu, zatim se iskazuju kroz zlatni presek (tabela 3).

Tabela 3

Zlatni presek u vanjskom području i zapremini dodekaedra i ikosaedra

	ikosaedar	Dodecahedron
vanjsko područje

Dakle, postoji ogroman broj relacija do kojih su došli drevni matematičari, što potvrđuje izuzetnu činjenicu da je zlatni rez je glavni omjer dodekaedra i ikosaedra, a ova činjenica je posebno zanimljiva sa stanovišta tzv "dodekaedarsko-ikosaedarska doktrina", koje ćemo razmotriti u nastavku.

Platonova kosmologija

Pravilni poliedri razmatrani gore se nazivaju Platonska tijela, budući da su zauzimali važno mjesto u Platonovom filozofskom konceptu strukture svemira.

Platon (427-347 pne)

Četiri poliedra personificirala su u njemu četiri esencije ili "elementa". Tetrahedron simbolizirano Vatra, budući da mu je vrh usmjeren prema gore; ikosaedar vode, budući da je to "najpotegnutiji" poliedar; Kocka zemlja, kao najstabilniji poliedar; Oktaedar Zrak, kao naj"prozračniji" poliedar. peti poliedar, Dodecahedron, oličava "sve što postoji", "univerzalni um", simbolizuje ceo univerzum i smatra se glavna geometrijska figura svemira.

Stari Grci su skladne odnose smatrali osnovom svemira, pa su četiri elementa bila povezana takvim omjerom: zemlja / voda = zrak / vatra. Atome "elemenata" Platon je uštimao u savršene konsonancije, poput četiri žice lire. Podsjetimo da je konsonancija ugodna konsonancija. U vezi sa ovim tijelima, valjalo bi reći da je takav sistem elemenata, koji uključuje četiri elementa zemlju, vodu, zrak i vatru, kanonizirao Aristotel. Ovi elementi su ostali četiri kamena temeljca univerzuma tokom mnogih vekova. Sasvim ih je moguće poistovjetiti sa četiri nama poznata stanja materije - čvrstom, tekućem, plinovitom i plazmom.

Tako su stari Grci ideju „kroz“ harmonije bića povezivali s njenim utjelovljenjem u platonskim telima. Uticao je i uticaj poznatog grčkog mislioca Platona Počeci Euclid. U ovoj knjizi, koja je vekovima bila jedini udžbenik geometrije, dat je opis "idealnih" linija i "idealnih" figura. "Najidealnija" linija - ravno, i "najidealniji" poligon - pravilan poligon, vlasništvo jednake strane i jednakih uglova. Može se uzeti u obzir najjednostavniji pravilan poligon jednakostranični trokut, budući da ima najmanji broj strana koje mogu omeđiti dio ravnine. Zanimljivo je to Počeci Euklid počinje opisom konstrukcije pravougaonog trougla i završi sa pet Platonska tijela. primeti, to Platonska tijela posvećena finalnoj, odnosno 13. knjizi Poceo Euclid. Inače, ova činjenica, odnosno smještanje teorije pravilnih poliedara u završnu (to jest, takoreći najvažniju) knjigu Poceo Euklid, dao je povoda starogrčkom matematičaru Proklu, koji je bio komentator Euklida, da iznese zanimljivu hipotezu o pravim ciljevima koje je Euklid težio, stvarajući Počeci. Prema Proklu, Euklid je stvorio Počeci ne u svrhu predstavljanja geometrije kao takve, već da bi dao potpunu sistematizovanu teoriju konstrukcije "idealnih" figura, posebno pet Platonska tijela, usput ističući neka od najnovijih dostignuća u matematici!

Nije slučajno da jedan od autora otkrića fulerena, nobelovac Harold Kroto, u svom Nobelovom predavanju započinje svoju priču o simetriji kao „osnovi naše percepcije fizičkog svijeta” i njenoj „ulozi u pokušajima da se objasni to sveobuhvatno” upravo sa Platonska tijela i "elementi svih stvari": „Koncept strukturalne simetrije datira još iz antike...” Najpoznatiji primjeri se, naravno, mogu naći u Platonovom Timeju, gdje u 53. dijelu, govoreći o „Elementima”, piše: „Prvo, svakom ( !) , naravno, jasno je da su vatra i zemlja, voda i vazduh tela, a svako telo je čvrsto ”(!!) Platon raspravlja o problemima hemije na jeziku ova četiri elementa i povezuje ih sa četiri platonova tela (u to vrijeme samo četiri, dok Hiparh nije otkrio peti - dodekaedar). Iako na prvi pogled takva filozofija može izgledati pomalo naivno, ona ukazuje na duboko razumijevanje kako priroda zapravo funkcionira.

Polupravilni poliedri

Poznata su mnoga savršenija tijela, tzv polupravilni poliedri ili Arhimedova tela. Oni također imaju sve poliedarske uglove jednake i sva lica su pravilni poligoni, ali nekoliko različite vrste. Postoji 13 polupravilnih poliedara čije se otkriće pripisuje Arhimedu.

Arhimed (287 pne - 212 pne)

Mnogo Arhimedova čvrsta tela mogu se podijeliti u nekoliko grupa. Prvi od njih se sastoji od pet poliedara, koji se dobijaju iz Platonska tijela kao rezultat njihovog skraćivanje. Krnje tijelo je tijelo sa odsječenim vrhom. Za Platonska tijela skraćivanje se može izvršiti na način da i rezultirajuća nova lica i preostali dijelovi starih budu pravilni poligoni. Na primjer, tetraedar(Sl. 1-a) može se odrezati tako da se njegove četiri trokutaste strane pretvore u četiri šestougaone, a na njih se dodaju četiri pravilne trokutaste. Na ovaj način, pet Arhimedova čvrsta tela: skraćeni tetraedar, skraćeni heksaedar (kocka), skraćeni oktaedar, skraćeni dodekaedar i skraćeni ikosaedar(Sl. 2).


(a)	(b)	(u)


(G)	(e)

Slika 2. Arhimedova tijela: (a) skraćeni tetraedar, (b) skraćena kocka, (c) skraćeni oktaedar, (d) skraćeni dodekaedar, (e) skraćeni ikosaedar

U svom Nobelovom predavanju, američki naučnik Smalley, jedan od autora eksperimentalnog otkrića fulerena, govori o Arhimedu (287-212 pne) kao o prvom istraživaču skraćenih poliedara, posebno, skraćeni ikosaedar, međutim, uz naznaku da možda Arhimed prisvaja ovu zaslugu i da su možda ikosaedri bili skraćeni mnogo prije njega. Dovoljno je spomenuti one pronađene u Škotskoj i datirane oko 2000. godine prije Krista. stotine kamenih predmeta (očigledno za ritualne svrhe) u obliku sfera i raznih poliedri(tijela omeđena sa svih strana ravnim lica), uključujući ikosaedre i dodekaedre. Izvorno Arhimedovo djelo, nažalost, nije sačuvano, a njegovi rezultati su dospjeli do nas, kako se kaže, "iz druge ruke". Tokom renesanse sve Arhimedova čvrsta tela jedan za drugim su iznova „otkriveni“. Na kraju, Kepler je 1619. godine u svojoj knjizi „Svetska harmonija“ („Harmonice Mundi“) dao iscrpan opis čitavog skupa arhimedovih čvrstih tela – poliedara, čije je svako lice pravilan poligon, i sve vrhovi nalaze se u ekvivalentnom položaju (kao atomi ugljika u molekulu C 60). Arhimedova čvrsta tijela se sastoje od najmanje dva razne vrste poligoni, za razliku od 5 Platonska tijela, čija su sva lica ista (kao u molekulu C 20, na primjer).

Slika 3. Konstrukcija arhimedovog skraćenog ikosaedra
iz Platonovog ikosaedra

Pa kako konstruisati Arhimedov skraćeni ikosaedar od Platonski ikosaedar? Odgovor je ilustrovan uz pomoć Sl. 3. Zaista, kao što se može vidjeti iz tabele. 1,5 lica konvergiraju na bilo kojem od 12 vrhova ikosaedra. Ako se u svakom vrhu 12 dijelova ikosaedra odsječe (odsječe) ravninom, tada se formira 12 novih peterokutnih lica. Zajedno sa već postojećih 20 lica, koja su se nakon takvog rezanja iz trokutastog pretvorila u šesterokutnu, činiće 32 lica skraćenog ikosaedra. U ovom slučaju će biti 90 ivica i 60 vrhova.

drugu grupu Arhimedova čvrsta telačine dva tijela tzv kvazi-tačno poliedri. "Kvazi" čestica naglašava da su lica ovih poliedara pravilni poligoni samo dva tipa, pri čemu je svako lice jednog tipa okruženo poligonima drugog tipa. Ova dva tijela se zovu rombikuboktaedar i ikosidodekaedar(Sl. 4).

Slika 5. Arhimedova tijela: (a) rombikuboktaedar, (b) rombikozidodekaedar

Konačno, postoje dvije takozvane "snub" modifikacije - jedna za kocku ( snub cube), drugi je za dodekaedar ( snub dodecahedron) (Sl. 6).


(a)	(b)

Slika 6 Arhimedova čvrsta tela: (a) prsnuta kocka, (b) prtljasti dodekaedar

U pomenutoj knjizi Wennigera "Modeli poliedara" (1974) čitalac može pronaći 75 različitih modela pravilnih poliedara. "Teorija poliedara, posebno konveksnih poliedara, jedno je od najfascinantnijih poglavlja geometrije" Ovo je mišljenje ruskog matematičara L.A. Lyusternak, koji je učinio mnogo u ovoj oblasti matematike. Razvoj ove teorije povezan je sa imenima istaknutih naučnika. Veliki doprinos razvoju teorije poliedra dao je Johanes Kepler (1571-1630). Svojevremeno je napisao skicu "O pahuljici", u kojoj je dao sljedeću primjedbu: “Među pravilnim tijelima, prvo, početak i rodonačelnik ostalih je kocka, a njen pratilac, ako mogu tako reći, je oktaedar, jer oktaedar ima onoliko uglova koliko kocka ima lica.” Kepler je prvi objavio puna lista trinaest Arhimedova čvrsta tela i dao im imena po kojima su poznati do danas.

Kepler je prvi proučavao tzv zvjezdani poliedri, koji su, za razliku od Platonovog i Arhimedovog tijela, pravilni konveksni poliedri. Početkom prošlog stoljeća, francuski matematičar i mehaničar L. Poinsot (1777-1859), čiji se geometrijski radovi odnose na poliedre u obliku zvijezde, razvio je Keplerov rad i otkrio postojanje još dva tipa pravilnih nekonveksnih poliedri. Dakle, zahvaljujući radu Keplera i Poinsota, postala su poznata četiri tipa takvih figura (slika 7). Godine 1812. O. Cauchy je dokazao da ne postoje drugi pravilni poliedari u obliku zvijezde.

Slika 7 Pravilni zvjezdani poliedri (Poinsot čvrsta tijela)

Mnogi čitaoci mogu imati pitanje: „Zašto uopće proučavati pravilne poliedre? Kakva je korist od njih?" Na ovo pitanje se može odgovoriti: „A čemu služi muzika ili poezija? Je li sve lijepo korisno? Modeli poliedara prikazani na sl. 1-7, prije svega, ostavljaju estetski dojam na nas i mogu se koristiti kao ukrasni ukrasi. Ali u stvari, široka manifestacija pravilnih poliedara u prirodnim strukturama izazvala je veliko interesovanje za ovu granu geometrije u moderna nauka.

Šta je kalendar?

Ruska poslovica kaže: „Vreme je oko istorije“. Sve što postoji u Univerzumu: Sunce, Zemlja, zvijezde, planete, poznati i nepoznati svjetovi, i sve što postoji u prirodi, živo i neživo, sve ima prostorno-vremensku dimenziju. Vrijeme se mjeri posmatranjem procesa koji se periodično ponavljaju određenog trajanja.

Još u davna vremena ljudi su primijetili da dan uvijek ustupa mjesto noći, a godišnja doba prolaze u strogom slijedu: proljeće dolazi za zimom, ljeto za proljećem, jesen za ljetom. U potrazi za tragom za ove pojave, čovjek je skrenuo pažnju na nebeska tijela - Sunce, Mjesec, zvijezde - i na rigoroznu periodičnost njihovog kretanja po nebu. Bila su to prva zapažanja koja su prethodila rođenju jedne od najstarijih nauka - astronomije.

Astronomija je bazirala mjerenje vremena na kretanju nebeskih tijela, koje odražava tri faktora: rotaciju Zemlje oko svoje ose, rotaciju Mjeseca oko Zemlje i kretanje Zemlje oko Sunca. Na kojoj se od ovih pojava zasniva mjerenje vremena, zavise i različiti koncepti vremena. Astronomija zna zvjezdani vrijeme, sunčano vrijeme, lokalni vrijeme, struk vrijeme, porodiljsko odsustvo vrijeme, atomski vrijeme itd.

Sunce, kao i sva druga svetila, učestvuje u kretanju po nebu. Pored dnevnog kretanja, Sunce ima i takozvano godišnje kretanje, a čitava putanja godišnjeg kretanja Sunca po nebu naziva se ekliptika. Ako, na primjer, uočimo lokaciju sazviježđa u određenom večernjem času, a zatim ponavljamo ovo zapažanje svakog mjeseca, tada će se pred nama pojaviti drugačija slika neba. Pogled na zvjezdano nebo se neprestano mijenja: svako godišnje doba ima svoju sliku večernjih sazviježđa, a svaka takva slika se ponavlja svake godine. Posljedično, nakon isteka godine, Sunce se u odnosu na zvijezde vraća na svoje prvobitno mjesto.

Radi pogodnosti orijentacije u zvjezdanom svijetu, astronomi su podijelili cijelo nebo u 88 sazviježđa. Svaki od njih ima svoje ime. Od 88 sazvežđa, posebno mesto u astronomiji zauzimaju ona kroz koja prolazi ekliptika. Ova sazvežđa, pored sopstvenih imena, imaju i generalizovano ime - zodijak(od grčka riječ"zoop" životinja), kao i simboli (znakovi) nadaleko poznati širom svijeta i razne alegorijske slike uključene u kalendarske sisteme.

Poznato je da u procesu kretanja duž ekliptike, Sunce prelazi 13 sazviježđa. Međutim, astronomi su smatrali da je potrebno da putanju Sunca podijele ne na 13, već na 12 dijelova, ujedinjujući sazviježđa Škorpion i Zmijonik u jedno pod općim imenom Škorpion (zašto?).

Problemima mjerenja vremena bavi se posebna nauka tzv hronologija. On je u osnovi svih kalendarskih sistema koje je stvorilo čovječanstvo. Stvaranje kalendara u antici bio je jedan od najvažnijih zadataka astronomije.

Šta je "kalendar" i šta su kalendarski sistemi? Riječ kalendar dolazi od latinske riječi calendarium, što doslovno znači "knjiga dugova"; u takvim knjigama bili su naznačeni prvi dani svakog meseca - kalende, u kojoj u Drevni Rim dužnici plaćaju kamatu.

Od davnina u zemljama istočne i Jugoistočna Azija prilikom izrade kalendara veliki značaj dao periodičnost kretanja Sunca, Meseca, kao i Jupiter i Saturn, dvije džinovske planete Sunčevog sistema. Postoji razlog za vjerovanje da je ideja stvaranja jupiterijski kalendar sa nebeskom simbolikom 12-godišnjeg životinjskog ciklusa povezanog s rotacijom Jupiter oko Sunca, koji napravi potpunu revoluciju oko Sunca za oko 12 godina (11.862 godine). S druge strane, druga džinovska planeta Sunčevog sistema - Saturn napravi potpunu revoluciju oko Sunca za oko 30 godina (29.458 godina). Želeći da usklade cikluse kretanja džinovskih planeta, stari Kinezi su došli na ideju da uvedu 60-godišnji ciklus Sunčevog sistema. Tokom ovog ciklusa, Saturn napravi 2 potpune revolucije oko Sunca, a Jupiter 5 revolucija.

Prilikom izrade godišnjih kalendara koriste se astronomske pojave: promjena dana i noći, promjena mjesečevih faza i promjena godišnjih doba. Upotreba raznih astronomskih fenomena dovela je do stvaranja tri vrste kalendara među različitim narodima: lunarni, zasnovano na kretanju mjeseca, solarno, zasnovano na kretanju sunca, i lunisolar.

Struktura egipatskog kalendara

Jedan od prvih solarnih kalendara bio je Egipatski, nastao u 4. milenijumu pne. Prvobitna egipatska kalendarska godina sastojala se od 360 dana. Godina je bila podijeljena na 12 mjeseci od po tačno 30 dana. Međutim, kasnije se pokazalo da takvo trajanje kalendarske godine ne odgovara astronomskoj. A onda su Egipćani dodali još 5 dana kalendarskoj godini, koji, međutim, nisu bili dani mjeseci. Bilo je 5 državni praznici povezivanje susednih kalendarskih godina. Dakle, egipatska kalendarska godina imala je sledeću strukturu: 365 = 12´ 30 + 5. Imajte na umu da je egipatski kalendar prototip modernog kalendara.

Postavlja se pitanje: zašto su Egipćani podijelili kalendarsku godinu na 12 mjeseci? Uostalom, postojali su kalendari sa različitim brojem mjeseci u godini. Na primjer, u kalendaru Maja, godina se sastojala od 18 mjeseci po 20 dana u mjesecu. Sledeće pitanje u vezi sa egipatskim kalendarom je zašto je svaki mesec imao tačno 30 dana ( tačnije danima)? Mogu se postaviti neka pitanja o egipatskom sistemu mjerenja vremena, posebno o izboru takvih jedinica vremena kao što su sat, minut, sekunda. Posebno se postavlja pitanje: zašto je jedinica sata izabrana tako da stane tačno 24 puta dnevno, odnosno zašto je 1 dan = 24 (2´12) sata? Dalje: zašto 1 sat = 60 minuta i 1 minut = 60 sekundi? Ista pitanja važe i za izbor jedinica ugaonih veličina, posebno: zašto je krug podeljen na 360°, odnosno zašto je 2p = 360° = 12´ 30°? Ovim pitanjima se dodaju i druga, posebno: zašto su astronomi smatrali da je svrsishodno smatrati da postoji 12 zodijak znakova, iako u stvari, u procesu svog kretanja duž ekliptike, Sunce prelazi 13 sazviježđa? I još jedno "čudno" pitanje: zašto je vavilonski brojevni sistem imao vrlo neobičnu osnovu - broj 60?

Odnos egipatskog kalendara sa numeričkim karakteristikama dodekaedra

Analizirajući egipatski kalendar, kao i egipatske sisteme za mjerenje vremena i ugaonih vrijednosti, otkrivamo da se četiri broja ponavljaju sa neverovatnom konstantnošću: 12, 30, 60 i iz njih izveden broj 360 = 12´30. Postavlja se pitanje: Postoji li onda neka fundamentalna naučna ideja koja bi mogla dati jednostavno i logično objašnjenje za upotrebu ovih brojeva u egipatskim sistemima?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, ponovo ćemo se osvrnuti na dodecahedron prikazano na sl. 1-d. Podsjetimo da su svi geometrijski omjeri dodekaedra zasnovani na zlatnom omjeru.

Da li su Egipćani poznavali dodekaedar? Istoričari matematike priznaju da su stari Egipćani poznavali pravilne poliedre. Ali da li su posebno poznavali svih pet pravilnih poliedara dodecahedron i ikosaedar kako one najteže? Drevni grčki matematičar Proklo pripisuje konstrukciju pravilnih poliedara Pitagori. Ali mnoge matematičke teoreme i rezultati (posebno, Pitagorina teorema) Pitagora je pozajmio od starih Egipćana tokom svog veoma dugog „poslovnog putovanja“ u Egipat (prema nekim izveštajima, Pitagora je u Egiptu živeo 22 godine!). Stoga možemo pretpostaviti da je Pitagora vjerovatno također posudio znanje o pravilnim poliedrima od starih Egipćana (a možda i od starih Babilonaca, jer je prema legendi Pitagora živio u starom Babilonu 12 godina). Ali postoje i drugi, čvršći dokazi da su Egipćani imali informacije o svih pet pravilnih poliedara. Konkretno, Britanski muzej ima ptolemejsku kocku u obliku ikosaedar, odnosno "Platonsko čvrsto", dual dodecahedron. Sve ove činjenice nam daju za pravo da postavimo hipotezu da Egipćani su poznavali dodekaedar. A ako je to tako, onda iz ove hipoteze proizlazi vrlo harmoničan sistem koji omogućava da se objasni nastanak egipatskog kalendara, a ujedno i porijeklo egipatskog sistema za mjerenje vremenskih intervala i geometrijskih uglova.

Ranije smo ustanovili da dodekaedar na svojoj površini ima 12 lica, 30 ivica i 60 ravnih uglova (tabela 1). Na osnovu hipoteze koju su Egipćani znali dodecahedron a njegove numeričke karakteristike su 12, 30. 60, kakvo je onda bilo njihovo iznenađenje kada su otkrili da se ciklusi Sunčevog sistema izražavaju istim brojevima, odnosno 12-godišnji ciklus Jupitera, 30-godišnji ciklus Saturna i, konačno, 60-ljetni ciklus Sunčevog sistema. Dakle, između tako savršene prostorne figure kao što je dodecahedron, i Solarni sistem, postoji duboka matematička veza! Ovaj zaključak su izveli drevni naučnici. To je dovelo do činjenice da dodecahedron je usvojena kao "glavna figura", koja je simbolizirala Harmonija Univerzuma. Tada su Egipćani odlučili da svi njihovi glavni sistemi (kalendarski sistem, sistem mjerenja vremena, sistem mjerenja ugla) trebaju odgovarati numeričkim parametrima. dodecahedron! Budući da je, prema idejama drevnih ljudi, kretanje Sunca duž ekliptike imalo strogo kružni karakter, tada su se Egipćani iznenađujuće lijepo složili, nakon što su odabrali 12 znakova Zodijaka, među kojima je udaljenost luka bila točno 30 °. godišnje kretanje Sunca duž ekliptike sa strukturom njihove kalendarske godine: jedan mjesec je odgovarao kretanju Sunca duž ekliptike između dva susjedna znaka Zodijaka!Štaviše, kretanje Sunca za jedan stepen odgovaralo je jednom danu u Egiptu kalendarske godine! U ovom slučaju, ekliptika je automatski podijeljena na 360°. Deleći svaki dan na dva dela, prateći dodekaedar, Egipćani su zatim podelili svaku polovinu dana na 12 delova (12 lica dodecahedron) i tako uveden sat je najvažnija jedinica vremena. Podijelite jedan sat na 60 minuta (60 ravnih uglova na površini dodecahedron), Egipćani su na ovaj način uveli minuta je sljedeća važna jedinica vremena. Slično su ušli daj mi sekund- najmanja jedinica vremena za taj period.

Dakle, birajući dodecahedron kao glavne "harmonične" figure univerzuma, a striktno prateći numeričke karakteristike dodekaedra 12, 30, 60, Egipćani su uspeli da izgrade izuzetno harmoničan kalendar, kao i sisteme za merenje vremena i ugaonih vrednosti. Ovi sistemi su se u potpunosti slagali sa njihovom "teorijom harmonije", zasnovanom na zlatnom rezu, jer je upravo ta proporcija u osnovi dodecahedron.

Ovi iznenađujući zaključci slijede iz poređenja dodecahedron sa solarnim sistemom. A ako je naša hipoteza tačna (neka je neko pokuša opovrgnuti), onda slijedi da je čovječanstvo već milenijumima živjelo pod znakom zlatnog preseka! I svaki put kada pogledamo svoj sat, koji je također izgrađen na korištenju numeričke karakteristike dodecahedron 12, 30 i 60, dodirujemo glavnu "Misteriju univerzuma" zlatni presek, a da to ne znamo!

Dana 12. novembra 1984. godine, u kratkom članku objavljenom u autoritativnom časopisu Physical Review Letters od strane izraelskog fizičara Dana Shechtmana, predstavljeni su eksperimentalni dokazi o postojanju metalne legure sa izuzetnim svojstvima. Kada se proučava metodom difrakcije elektrona, ova legura je pokazala sve znakove kristala. Njegov difrakcijski uzorak se sastoji od svijetlih i pravilno raspoređenih tačaka, baš kao kristal. Međutim, ovu sliku karakteriše prisustvo "ikosaedarske" ili "pentangonalne" simetrije, što je strogo zabranjeno u kristalu zbog geometrijskih razloga. Takve neobične legure nazvane su kvazikristali. Za manje od godinu dana otkrivene su mnoge druge legure ovog tipa. Bilo ih je toliko mnogo da se pokazalo da je kvazikristalno stanje mnogo češće nego što se može zamisliti.

Izraelski fizičar Dan Shechtman

Koncept kvazikristala je od fundamentalnog interesa jer generalizira i upotpunjuje definiciju kristala. Teorija zasnovana na ovom konceptu zamjenjuje prastaru ideju "strukturne jedinice koja se ponavlja u prostoru na strogo periodičan način" ključnim konceptom daleko poredak. Kao što je naglašeno u članku "Kvazikristali" poznati fizičar D Gratia, “Ovaj koncept je doveo do ekspanzije kristalografije, ponovno otkrivena bogatstva koje tek počinjemo istraživati. Njegov značaj u svijetu minerala može se staviti u ravan sa dodavanjem koncepta iracionalnih brojeva racionalnim brojevima u matematici.

Šta je kvazikristal? Koja su njegova svojstva i kako se može opisati? Kao što je gore navedeno, prema osnovni zakon kristalografije na kristalnu strukturu nameću se stroga ograničenja. Prema klasičnim idejama, kristal je sastavljen beskonačno od jedne ćelije, koja treba gusto (licem u lice) „pokriti“ cijelu ravan bez ikakvih ograničenja.

Kao što je poznato, gusto punjenje aviona može se izvesti pomoću trouglovi(Sl.7-a), kvadrata(Sl.7-b) i hexagons(Sl. 7-d). Korišćenjem pentagons (pentagons) takvo punjenje je nemoguće (slika 7-c).


a)	b)	u)	G)

Slika 7 Gusto punjenje ravni može se obaviti pomoću trokuta (a), kvadrata (b) i šesterokuta (d)

To su bili kanoni tradicionalne kristalografije koji su postojali prije otkrića neobične legure aluminija i mangana, nazvane kvazikristal. Takva legura nastaje ultrabrzim hlađenjem taline brzinom od 10 6 K u sekundi. Istovremeno, prilikom proučavanja difrakcije takve legure, na ekranu se prikazuje uređeni uzorak, koji je karakterističan za simetriju ikosaedra, koji ima poznate zabranjene ose simetrije 5. reda.

Nekoliko naučnih grupa širom svijeta u narednih nekoliko godina proučavalo je ovu neobičnu leguru putem elektronske mikroskopije. visoka rezolucija. Svi su oni potvrdili idealnu homogenost materije, u kojoj je očuvana simetrija 5. reda u makroskopskim područjima s dimenzijama bliskim atomskim (nekoliko desetina nanometara).

Prema savremenim pogledima, razvijen je sledeći model za dobijanje kristalne strukture kvazikristala. Ovaj model se zasniva na konceptu "osnovnog elementa". Prema ovom modelu, unutrašnji ikosaedar atoma aluminija okružen je vanjskim ikosaedrom atoma mangana. Ikosaedri su povezani oktaedrima atoma mangana. "Bazni element" ima 42 atoma aluminijuma i 12 atoma mangana. U procesu očvršćavanja dolazi do brzog formiranja "osnovnih elemenata", koji se međusobno brzo povezuju krutim oktaedarskim "mostovima". Podsjetimo da su lica ikosaedra jednakostranični trouglovi. Da bi se formirao oktaedarski most od mangana, potrebno je da se dva takva trougla (po jedan u svakoj ćeliji) približe dovoljno blizu jedan drugom i poredaju se paralelno. Kao rezultat takvog fizičkog procesa formira se kvazikristalna struktura sa "ikosaedarskom" simetrijom.

Poslednjih decenija otkrivene su mnoge vrste kvazikristalnih legura. Pored "ikosaedarske" simetrije (5. red), postoje i legure sa dekagonalnom simetrijom (10. red) i dodekagonalnom simetrijom (12. red). Fizička svojstva kvazikristala počela su se istraživati tek nedavno.

Koji je praktični značaj otkrića kvazikristala? Kao što je navedeno u Gratijinom članku koji je gore citiran, „mehanička čvrstoća kvazikristalnih legura dramatično se povećava; odsustvo periodičnosti dovodi do usporavanja širenja dislokacija u odnosu na konvencionalne metale... Ovo svojstvo je od velike praktične važnosti: upotreba ikosaedarske faze će omogućiti dobijanje lakih i vrlo jakih legura unošenjem malih čestica kvazikristala u aluminijsku matricu.

Koji je metodološki značaj otkrića kvazikristala? Prije svega, otkriće kvazikristala je trenutak velikog trijumfa „dodekaedarsko-ikosaedarske doktrine“, koja prožima čitavu povijest prirodnih znanosti i izvor je dubokih i korisnih naučnih ideja. Drugo, kvazikristali su uništili tradicionalni pojam nepremostive podjele između svijeta minerala, u kojem je bila zabranjena "pentagonalna" simetrija, i svijeta divljih životinja, gdje je "pentagonalna" simetrija jedna od najčešćih. I ne treba zaboraviti da je glavni udio ikosaedra "zlatni rez". A otkriće kvazikristala je još jedna naučna potvrda da je, možda, „zlatna proporcija“, koja se manifestuje i u svijetu divljih životinja i u svijetu minerala, glavna proporcija Univerzuma.

Kada je Dan Shechtman dao eksperimentalni dokaz postojanja kvazikristala sa ikosaedarska simetrija, fizičari u potrazi za teorijskim objašnjenjem za fenomen kvazikristala, skrenuli su pažnju na matematičko otkriće koje je 10 godina ranije napravio engleski matematičar Roger Penrose. Kao "ravni analog" kvazikristala, odabrali smo penrose pločice, koje su aperiodične pravilne strukture formirane od "debelih" i "tankih" rombova, poštujući proporcije "zlatnog preseka". Upravo penrose pločice su usvojili kristalografi da objasne ovaj fenomen kvazikristali. Istovremeno, uloga Penrose dijamanti u prostoru tri dimenzije počeo da se igra ikosaedra, uz pomoć kojih se vrši gusto popunjavanje trodimenzionalnog prostora.

Razmotrite ponovo pažljivo pentagon na sl. osam.

Slika 8 Pentagon

Nakon crtanja dijagonala u njemu, originalni pentagon se može predstaviti kao skup od tri tipa geometrijski oblici. U sredini je novi petougao formiran od presjeka dijagonala. Osim toga, pentagon na sl. 8 uključuje pet jednakokračnih trouglova obojenih žuta, i pet jednakokračnih trouglova obojenih crvenom bojom. Žuti trouglovi su "zlatni" jer je omjer kuka i baze jednak zlatnom omjeru; imaju oštre uglove od 36° na vrhu i oštre uglove od 72° na bazi. Crveni trouglovi su također "zlatni", jer je omjer kuka i baze jednak zlatnom omjeru; imaju tupi ugao od 108° na vrhu i oštar ugl od 36° na bazi.

A sada spojimo dva žuta trougla i dva crvena trougla sa njihovim osnovama. Kao rezultat, dobijamo dva "zlatnog" romba. Prvi (žuti) ima oštri ugao pod uglom od 36° i tupim uglom od 144° (slika 9).


(a)	(b)

Slika 9." Zlatni" rombovi: a) "tanki" romb; (b) "debeli" romb

Romb na sl. 9-a zvaćemo tanak romb, i romb na sl. 9-b - debeli romb.

Engleski matematičar i fizičar Rogers Penrose koristio je "zlatne" rombove na Sl. 9 za izradu "zlatnog" parketa koji je dobio ime Penrose pločice. Penrose pločice su kombinacija debelih i tankih dijamanata, prikazanih na Sl. deset.

Slika 10. Penrose pločice

Važno je to naglasiti penrose pločice imaju "pentagonalnu" simetriju ili simetriju 5. reda, a odnos broja debelih rombova prema tankim teži zlatnom rezu!

A sada hajde da pričamo o još jednom izuzetnom modernom otkriću u oblasti hemije. Ovo otkriće je napravljeno 1985. godine, odnosno nekoliko godina kasnije od kvazikristala. Riječ je o takozvanim "fulerenima". Termin "fulereni" odnosi se na zatvorene molekule kao što su C 60 , C 70 , C 76 , C 84 , u kojima su svi atomi ugljika smješteni na sfernoj ili sferoidnoj površini. U ovim molekulima atomi ugljika nalaze se na vrhovima pravilnih šesterokuta ili peterokuta koji pokrivaju površinu sfere ili sferoida. Centralno mjesto među fulerenima zauzima molekul C 60, koji se odlikuje najvećom simetrijom i kao rezultat toga najvećom stabilnošću. U ovoj molekuli, koja podsjeća na gumu fudbalske lopte i ima strukturu pravilnog skraćenog ikosaedra (sl. 2e i sl. 3), atomi ugljika nalaze se na sfernoj površini u vrhovima 20 pravilnih šesterokuta i 12 pravilnih peterokuta, tako da svaki šestougao graniči sa tri šestougla i tri pentagona, a svaki petougao je oivičen šestouglovima.

Termin "fuleren" potječe od imena američkog arhitekte Buckminstera Fullera, koji je, ispostavilo se, koristio takve strukture prilikom izgradnje kupola zgrada (još jedna upotreba skraćenog ikosaedra!).

"Fulereni" su u suštini strukture koje je napravio čovjek, a proizlaze iz istraživanja fundamentalne fizike. Po prvi put su ih sintetizirali naučnici G. Kroto i R. Smalley (koji su 1996. nobelova nagrada za ovo otkriće). Ali neočekivano su pronađeni u stijenama pretkambrijskog perioda, odnosno ispostavilo se da su fulereni ne samo "ljudske", već i prirodne formacije. Sada se fulereni intenzivno proučavaju u laboratorijama. različite zemlje, pokušavajući utvrditi uslove za njihovo formiranje, strukturu, svojstva i moguća područja primjene. Najpotpunije proučavan predstavnik familije fulerena je fuleren-60 (C 60) (ponekad se naziva i buckminster-fuleren. Poznati su i fuleren C 70 i C 84. Fuleren C 60 se dobija isparavanjem grafita u atmosferi helijuma. Time se formira fini prah nalik čađi koji sadrži 10% ugljika, kada se otopi u benzenu, prah daje crvenu otopinu iz koje se uzgajaju kristali C 60. fizička svojstva. Dakle, pri visokom pritisku, C 60 postaje tvrd, poput dijamanta. Njegovi molekuli formiraju kristalnu strukturu, kao da se sastoje od savršeno glatkih kuglica, koje se slobodno rotiraju u kubičnoj rešetki usmjerenoj na lice. Zbog ovog svojstva, C 60 se može koristiti kao čvrsto mazivo. Fulereni takođe imaju magnetna i supravodljiva svojstva.

Ruski naučnici A.V. Yeletsky i B.M. Smirnov u svom članku "Fulereni", objavljenom u časopisu "Uspekhi fizicheskikh nauk" (1993, tom 163, br. 2), napominje da "fulereni, čije je postojanje utvrđeno sredinom 80-ih i efikasna tehnologijačija je izolacija razvijena 1990. godine, sada je postala predmet intenzivnog istraživanja desetina naučnih grupa. Rezultate ovih studija pomno prate firme koje se bave primjenom. Budući da je ova modifikacija ugljika donijela naučnike brojna iznenađenja, ne bi bilo mudro raspravljati o predviđanjima i moguće posljedice proučavanje fulerena u narednoj deceniji, ali treba biti spreman na nova iznenađenja.”

Matjuška Teja Krasek je diplomirala slikarstvo na Fakultetu vizualna umjetnost(Ljubljana, Slovenija) i slobodni je umjetnik. Živi i radi u Ljubljani. Njena teorijska i praktičan rad fokusira se na simetriju kao koncept povezivanja između umjetnosti i nauke. Njeni radovi su predstavljeni na mnogim međunarodnim izložbama i objavljeni u međunarodnim časopisima (Leonardo Journal, Leonardo on-line).

M.T. Kraszek na izložbi „Kaleidoskopski mirisi“, Ljubljana, 2005

Umjetnički rad Matyushke Teije Kraszek povezuje se s raznim vrstama simetrije, Penrose pločicama i rombovima, kvazikristalima, zlatnim rezom kao glavnim elementom simetrije, Fibonačijevim brojevima itd. Uz pomoć refleksije, mašte i intuicije pokušava pronaći nove odnose, nove nivoe strukture, nove i različite vrste reda u tim elementima i strukturama. U svojim radovima uveliko koristi kompjutersku grafiku kao veoma koristan medij za stvaranje umetničkih dela, koja je spona između nauke, matematike i umetnosti.

Na sl. 11 prikazuje sastav T.M. Crashek povezan sa Fibonačijevim brojevima. Ako odaberemo jedan od Fibonačijevih brojeva (na primjer, 21 cm) za dužinu stranice Penroseovog dijamanta u ovoj uočljivo nestabilnoj kompoziciji, možemo uočiti kako dužine nekih segmenata u kompoziciji formiraju Fibonačijev niz.

Slika 11. Matushka Teija Kraszek "Fibonačijevi brojevi", platno, 1998.

Veliki broj umjetničkih kompozicija umjetnika posvećen je Šehtmanovim kvazikristalima i Penrouzovim rešetkama (sl. 12).


(a)	(b)


(u)	(G)

Slika 12. Svijet Theie Kraszek: (a) Svijet kvazikristala. Kompjuterska grafika, 1996.
(b) Zvijezde. Kompjuterska grafika, 1998 (c) 10/5. Holst, 1998. (d) Quasicube. Platno, 1999

U kompoziciji Matyushke Teije Kraszek i Clifforda Pickovera "Biogenesis", 2005 (Sl. 13), predstavljen je deseterokut koji se sastoji od Penroseovih rombova. Može se posmatrati odnos između Petrouseovih dijamanata; svaka dva susedna Penroseova dijamanta formiraju petougaonu zvezdu.

Slika 13. Matushka Theia Kraszek i Clifford Pickover. Biogeneza, 2005.

na slici Double Star GA(Slika 14) vidimo kako se Penroseove pločice uklapaju u dvodimenzionalni prikaz potencijalno hiperdimenzionalnog objekta sa dekagonalnom bazom. Prilikom prikazivanja slike, umjetnik je koristio metodu tvrdih ivica koju je predložio Leonardo da Vinci. Upravo ova metoda prikazivanja omogućava da se u projekciji slike na ravninu vidi veliki broj pentagona i pentakula, koji su formirani projekcijama pojedinačnih rubova Penroseovih rombova. Osim toga, u projekciji slike na ravan, vidimo deseterokut formiran od ivica 10 susjednih Penroseovih rombova. U suštini, na ovoj slici Matyushka Teija Kraszek je pronašla novi pravilni poliedar, koji vrlo vjerojatno zaista postoji u prirodi.

Slika 14. Matushka Teia Kraszek. Double Star GA

U kompoziciji Crasheka "Zvezde za Donalda" (Sl. 15), možemo posmatrati beskrajnu interakciju Penrouzovih rombova, pentagrama, pentagona, koji se smanjuju prema centralnoj tački kompozicije. Zlatni omjeri su predstavljeni na mnogo različitih načina na različitim skalama.

Slika 15. Matyushka Teija Kraszek "Zvijezde za Donalda", kompjuterska grafika, 2005.

Umjetničke kompozicije Matyushke Teije Kraszek privukle su veliku pažnju predstavnika nauke i umjetnosti. Njena umjetnost je izjednačena s umjetnošću Mauritsa Eschera, a slovenačkog umjetnika nazivaju "istočnoevropskim Escherom" i "slovenskim darom" svjetskoj umjetnosti.

Stakhov A.P. "Da Vincijev kod", Platonska i Arhimedova čvrsta tijela, kvazikristali, fulerini, Penroseove rešetke i umjetnički svijet Matjuške Teije Kraszek // "Akademija trinitarizma", M., El br. 77-6567, izdanje 12561, 07.11. 2005

Ovaj kurs je dizajniran da:

1) konsoliduju, produbljuju i proširuju teorijska znanja iz oblasti metoda za modelovanje površina i objekata, praktične veštine i veštine softverske implementacije metoda;

2) unaprediti veštine samostalnog rada;

3) razvijanje sposobnosti formulisanja sudova i zaključaka, njihovog logičkog i konačnog iznošenja.

Broj strana lica, m

Broj lica koja konvergiraju na vrhu, n

Broj vrhova

Broj rebara

Broj ravnih uglova na površini

Tetrahedron

heksaedar (kocka)

Dodecahedron

Platonova tijela su konveksni poliedri, čija su sva lica pravilni poligoni. Svi poliedarski uglovi pravilnog poliedra su podudarni. Kao što već slijedi iz izračunavanja zbira ravnih uglova na vrhu, ne postoji više od pet konveksnih pravilnih poliedara. Na dole naznačen način može se dokazati da postoji tačno pet pravilnih poliedara (ovo je dokazao Euklid). To su pravilni tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar, dodekaedar i ikosaedar. Nazivi ovih pravilnih poliedara potiču iz Grčke. AT doslovni prevod od grčkog "tetraedar", "oktaedar", "heksaedar", "dodekaedar", "ikosaedar" znači: "tetraedar", "oktaedar", "heksaedar". dodekaedar, dodekaedar.

Tabela br. 1

Tabela broj 2

ime:	Radijus opisane sfere	Poluprečnik upisane sfere
Tetrahedron
Heksaedar

Dodecahedron
ikosaedar

Tetrahedron- tetraedar, čije su sve strane trouglovi, tj. trokutasta piramida; pravilan tetraedar je omeđen sa četiri jednakostranična trougla. (Sl. 1).

Kocka ili pravilni heksaedar- tačno četvorougaona prizma sa jednakim ivicama, omeđenim sa šest kvadrata. (Sl. 1).

Oktaedar- oktaedar; tijelo omeđeno sa osam trouglova; pravilni oktaedar omeđen je sa osam jednakostraničnih trouglova; jedan od pet pravilnih poliedara. (Sl. 1).

Dodecahedron- dodekaedar, tijelo omeđeno sa dvanaest poligona; pravilan pentagon. (Sl. 1).

ikosaedar- dvadesetostrano tijelo, tijelo omeđeno sa dvadeset poligona; pravilan ikosaedar je omeđen sa dvadeset jednakostraničnih trouglova. (Sl. 1).

Kocka i oktaedar su dualni, tj. se dobijaju jedno od drugog ako se kao vrhovi drugog uzmu težišta lica jedne i obrnuto. Dodekaedar i ikosaedar su na sličan način dualni. Tetraedar je dualan samom sebi. Pravilan dodekaedar se dobija iz kocke konstruisanjem „krova“ na njenim plohama (Euklidov metod), vrhovi tetraedra su bilo koja četiri vrha kocke koja nisu u paru susedna duž ivice. Tako se iz kocke dobijaju svi drugi pravilni poliedri. Sama činjenica postojanja samo pet zaista pravilnih poliedara je zadivljujuća – na kraju krajeva, na ravni ima beskonačno mnogo pravilnih mnogouglova!

Svi pravilni poliedri bili su poznati u staroj Grčkoj, a njima je posvećena 13. knjiga Euklidovih "Početaka". Nazivaju se i Platonovim telima, jer. zauzimali su važno mjesto u Platonovom filozofskom konceptu strukture svemira. Četiri poliedra personificirala su u njemu četiri esencije ili "elementa". Tetraedar je simbolizirao vatru, jer. vrh mu je usmjeren prema gore; ikosaedar? vode, jer on je "najstroženiji"; kocka - zemlja, kao "najstabilnija"; oktaedar? vazduha, kao naj"prozračnije". Peti poliedar, dodekaedar, oličavao je "sve što postoji", simbolizirao je cijeli univerzum i smatrao se glavnim.

Stari Grci su skladne odnose smatrali osnovom svemira, pa su četiri elementa bila povezana takvim omjerom: zemlja / voda = zrak / vatra.

U vezi sa ovim tijelima, valjalo bi reći da je prvi sistem elemenata, koji je uključivao četiri elementa? zemlja, voda, vazduh i vatra - kanonizovan od strane Aristotela. Ovi elementi su ostali četiri kamena temeljca univerzuma tokom mnogih vekova. Sasvim ih je moguće poistovjetiti sa četiri nama poznata stanja materije - čvrstom, tekućem, plinovitom i plazmom.

U sistemu harmoničnog uređenja svijeta I. Keplera značajno mjesto su zauzimali pravilni poliedri. Ista ista vjera u harmoniju, ljepotu i matematički pravilnu strukturu svemira dovela je I. Keplera do ideje da, pošto postoji pet pravilnih poliedara, njima odgovara samo šest planeta. Po njegovom mišljenju, sfere planeta su međusobno povezane platonskim telima upisanim u njih. Pošto se za svaki pravilan poliedar poklapaju centri upisane i opisane sfere, ceo model će imati jedno središte, u kojem će se nalaziti Sunce.

Nakon što je obavio ogroman računski posao, I. Kepler je 1596. godine u knjizi "Tajna svemira" objavio rezultate svog otkrića. On upisuje kocku u sferu Saturnove orbite, u kocku? sfera Jupitera, sfera Jupitera - tetraedar, i tako dalje uzastopno se uklapaju jedna u drugu sfera Marsa? dodekaedar, sfera zemlje? ikosaedar, sfera Venere? oktaedar, sfera Merkura. Čini se da je tajna univerzuma otvorena.

Danas se sa sigurnošću može reći da udaljenosti između planeta nisu povezane ni sa jednim poliedrom. Međutim, moguće je da bez "Tajne univerzuma", "Harmonije sveta" I. Keplera, pravilnih poliedara ne bi postojala tri poznata zakona I. Keplera, koji igraju važnu ulogu u opisivanju kretanja. planeta.

Gdje još možete vidjeti ova nevjerovatna tijela? U knjizi njemačkog biologa s početka prošlog stoljeća, E. Haeckel, "Ljepota oblika u prirodi", mogu se pročitati sljedeći redovi: "Priroda hrani u svojim nedrima neiscrpan broj čudesnih stvorenja koja daleko prevazilaze svi oblici koje je stvorila ljudska umjetnost u ljepoti i raznolikosti." Kreacije prirode u ovoj knjizi su lijepe i simetrične. Ovo je neodvojivo svojstvo prirodnog sklada. Ali ovdje možete vidjeti i jednoćelijske organizme? feodarii, čiji oblik tačno prenosi ikosaedar. Šta je uzrokovalo takvu prirodnu geometrizaciju? Možda zbog svih poliedara sa istim brojem lica, ikosaedar ima najveći volumen i najmanja površina površine. Ovo geometrijsko svojstvo pomaže morskom mikroorganizmu da savlada pritisak vodenog stupca.

Zanimljivo je i da je upravo ikosaedar bio u fokusu pažnje biologa u njihovim sporovima oko oblika virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se ranije mislilo. Da bi ustanovili njegov oblik, uzeli su različite poliedre, usmjerili svjetlost na njih pod istim uglovima kao i protok atoma do virusa. Ispostavilo se da samo jedan poliedar daje potpuno istu sjenu? ikosaedar. Njegovo geometrijska svojstva, koji su gore pomenuti, omogućavaju čuvanje genetskih informacija. Pravilni poliedri? najprofitabilnije brojke. I priroda to koristi. Kristali nekih nama poznatih supstanci su u obliku pravilnih poliedara. Dakle, kocka prenosi oblik kristala natrijum hlorida NaCl, monokristal aluminijum-kalijum stipse (KAlSO4) 2 12H2O ima oblik oktaedra, kristal pirit sulfida FeS ima oblik dodekaedra, antimon natrijum sulfat je tetraedar, bor je ikosaedar. Pravilni poliedri definiraju oblik kristalne rešetke neke hemikalije.

Dakle, pravilni poliedri otkrili su nam pokušaje naučnika da se približe tajni svjetske harmonije i pokazali neodoljivu privlačnost i ljepotu ovih geometrijskih figura.

Još u davna vremena ljudi su primijetili da neke trodimenzionalne figure imaju posebna svojstva. To su tzv pravilni poliedri- sva lica su im ista, svi uglovi na vrhovima su jednaki. Svaka od ovih figura je stabilna i može se upisati u sferu. Uz svu raznolikost različitih oblika, postoji samo 5 tipova pravilnih poliedara (slika 1).

Tetrahedron- pravilan tetraedar, lica su jednakostranični trouglovi (slika 1a).

Kocka- ispravan heksagon, lica su kvadrati (slika 1b).

Oktaedar- pravilan oktaedar, lica su jednakostranični trouglovi (slika 1c).

Dodecahedron- pravilan dodekaedar, lica su pravilni pentagoni (slika 1d).

ikosaedar- pravilan dvadesetedar, lica su jednakostranični trouglovi (slika 1e).

Drevni grčki filozof Platon vjerovao je da svaki od pravilnih poliedara odgovara jednom od 5 primarnih elemenata. Prema Platonu, kocka odgovara zemlji, tetraedar vatri, oktaedar vazduhu, ikosaedar vodi, a dodekaedar etru. Osim toga, grčki filozofi su izdvojili još jedan primarni element - prazninu. Poklapa se geometrijski oblik sfera u koju se mogu upisati sva Platonova tijela.

Svih šest elemenata su građevni blokovi univerzuma. Neki od njih su uobičajeni - zemlja, voda, vatra i vazduh. Danas se pouzdano zna da pravilni poliedri, ili Platonova čvrsta tijela, čine osnovu strukture kristala, molekula raznih kemikalija.

Ljudska energetska ljuska je također prostorna konfiguracija. Vanjska granica ljudskog energetskog polja je sfera, najbliža figura je dodekaedar. Tada se figure energetskog polja međusobno zamjenjuju određenim redoslijedom, ponavljajući se u različitim ciklusima. Na primjer, u molekuli DNK izmjenjuju se ikosaedri i dodekaedri.

Utvrđeno je da platonska tijela mogu blagotvorno djelovati na osobu. Ovi oblici imaju sposobnost da modifikuju, organizuju energiju u čakrama ljudskog tela. Štaviše, svaki kristalni oblik ima blagotvoran učinak na čakru, čiji primarni element odgovara.

Neravnoteža energija u Muladhari nestaje kada se koristi kocka (element zemlje), Svadhistana reaguje na udar ikosaedra (element vode), tetraedar (element vatre) blagotvorno deluje na Manipura, Anahata funkcije se obnavljaju uz pomoć oktaedar (vazdušni element). Ista figura doprinosi normalnom funkcioniranju Vishuddhija. Obje gornje čakre - Ajna i Sahasrara - mogu se korigirati dodekaedrom.

Da bi se iskoristila svojstva Platonovih tijela, potrebno je ove figure napraviti od bakarne žice (veličine od 10 do 30 cm u prečniku). Možete ih nacrtati na papiru ili zalijepiti od kartona, ali okviri od bakrene žice su efikasniji. Modele Platonovih čvrstih tijela potrebno je pričvrstiti za projekcije odgovarajućih čakri i prileći malo u duboko opuštanje.