Uputstvo

Metoda 1. Korištenje Pitagorine teoreme. Teorema kaže: kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata nogu. Iz toga slijedi da obje strane pravougaonog trougla može se izračunati znajući njegove druge dvije strane (slika 2)

Metoda 2. Proizlazi iz činjenice da medijana povučena od do hipotenuze formira 3 slična trougla među sobom (slika 3). Na ovoj slici trouglovi ABC, BCD i ACD su slični.

Primjer 6: Korištenje jediničnih krugova za pronalaženje koordinata

Prvo nalazimo referentni ugao koji odgovara datom uglu. Zatim uzimamo vrijednosti sinusa i kosinusa referentnog kuta i dajemo im znakove koji odgovaraju y- i x-vrijednostima kvadranta. Zatim ćemo pronaći kosinus i sinus datog ugla.

Ugao sita, ugaoni trougao i kubni koren

Poligoni koji se mogu izgraditi kompasom i ravnalom uključuju.

Napomena: ugao sita se ne može iscrtati šestarom i ravnalom. Množenjem dužine stranice kocke kubnim korijenom od 2 dobiva se dužina stranice kocke dvostruke zapremine. Koristeći pionirsku teoriju francuskog matematičara Evarista Galoisa, može se pokazati da za sva tri klasični problemi konstrukcija sa krugom i lenjirom je nemoguća.

Hipotenuza je stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kuta od 90 stepeni. Da bi se izračunala njegova dužina, dovoljno je znati dužinu jedne od kateta i vrijednost jednog od oštrih uglova trougla.

Imajte na umu: trokomponentna konstrukcija ugla i kubnog korijena nije moguća sa šestarom i ravnalom.

S druge strane, rješenje jednačine trećeg stepena prema Cardano formuli može se predstaviti dijeljenjem ugla i kubnog korijena. U budućnosti gradimo neki ugao sa krugom i ravnalom. Međutim, nakon trokuta ovog ugla i određivanja kubnog korijena, završetak konstrukcije kvadrata sita može se izvršiti uz pomoć šestara i ravnala.

Izgradnja rešetkaste palube prema ovom proračunu

Algebarska formulacija konstrukcijskog problema dovodi do jednačine čija će strukturna analiza pružiti dodatne informacije o konstrukciji ternarne strukture. Ovdje se koristi odnos jedan prema jedan ugla i njegovog kosinusa: ako je poznata veličina ugla, dužina kosinusa ugla može se jednoznačno konstruirati na jediničnom krugu i obrnuto.

Uputstvo

S poznatom krakom i oštrim kutom pravokutnog trokuta, tada veličina hipotenuze može biti jednaka omjeru kateta i kosinusa / sinusa ovog kuta, ako je ovaj kut suprotan / susjedan njemu:

h = C1(ili C2)/sinα;

h = S1(ili S2)/cosα.

Primer: Dat je pravougli trougao ABC sa hipotenuzom AB i pravim uglom C. Neka je ugao B 60 stepeni, a ugao A 30 stepeni. Dužina kraka BC je 8 cm. Nađi dužinu hipotenuze AB. Da biste to učinili, možete koristiti bilo koju od gore predloženih metoda:

Ovaj zadatak jedan na jedan omogućava vam da od definicije ugla pređete na definiciju kosinusa ugla. U nastavku, 3 φ označava ugao koji treba podijeliti. Dakle, φ je ugao čija se vrijednost mora odrediti za data 3 φ. Počevši od spojeva poznatih iz trigonometrije.

Prati pod datim uglom 3 φ. Algebarsko razmatranje rješivosti trodimenzionalne jednadžbe direktno dovodi do pitanja mogućnosti konstruiranja rješenja i, shodno tome, do pitanja mogućnosti ili nemogućnosti konstruktivnog trostrukog ugla zadanog ugla.

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Hipotenuza je stranica pravokutnog trougla koja je suprotna pravi ugao. To je najduža stranica pravouglog trougla. Može se izračunati korištenjem Pitagorine teoreme ili korištenjem formula trigonometrijske funkcije.

Vrijednost izlaznog ugla ima veliki uticaj na mogućnost povezivanja trećeg ugla, jer on, kao apsolutni pojam, presudno određuje vrstu rješenja u trodimenzionalnoj jednadžbi. Ako jednadžba triangulacije ima barem jedno realno rješenje koje se može dobiti racionalnim operacijama ili crtanjem kvadratni korijeni za dati početni ugao ovo rješenje je konstruktivno.

Breidenbach je kao kriterijum formulisao da se ugao od tri sekunde može tumačiti samo u racionalnom rešenju trodelne jednačine. Ako takvo rješenje nije dostupno, problem trodijelne konstrukcije je nepomirljiv sa šestarom i ravnalom. Klaster analiza je opća tehnika za sastavljanje malih grupa iz velikog skupa podataka. Slično diskriminantnoj analizi, klaster analiza se takođe koristi za klasifikaciju zapažanja u grupe. S druge strane, diskriminatorna analiza zahtijeva poznavanje članstva u grupama u slučajevima koji se koriste za izvođenje pravila klasifikacije.

Uputstvo

Nogama se nazivaju stranice pravokutnog trougla koje su susjedne pravom kutu. Na slici su noge označene kao AB i BC. Neka su date dužine oba kraka. Označimo ih sa |AB| i |BC|. Da bismo pronašli dužinu hipotenuze |AC|, koristimo Pitagorinu teoremu. Prema ovoj teoremi, zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze, tj. u notaciji našeg crteža |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Iz formule dobijamo da se dužina hipotenuze AC nalazi kao |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Klaster analiza je primitivnija metoda jer ne daje pretpostavke o broju grupa ili članstvu u grupi. Klasifikacija Klaster analiza pruža način da se otkriju potencijalni odnosi i stvori sistematska struktura kroz veliki broj varijabli i zapažanja. Hijerarhijska klaster analiza je glavna statistička metoda tražiti relativno homogene grupe slučajeva na osnovu izmjerenih karakteristika. Počinje sa svakim slučajem kao zasebnim klasterom.

Klasteri se zatim spajaju uzastopno, broj klastera se smanjuje sa svakim korakom dok ne ostane samo jedan klaster. Metoda klasteriranja koristi razlike između objekata za formiranje klastera. Hijerarhijska klaster analiza je najbolja za male uzorke.

Razmotrimo primjer. Neka su dužine kateta |AB| = 13, |BC| = 21. Prema Pitagorinoj teoremi, dobijamo da je |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. od broja 610: |AC| = √610. Koristeći tablicu kvadrata cijelih brojeva, saznajemo da broj 610 nije savršen kvadrat nijednog cijelog broja. Da bismo dobili konačnu vrijednost dužine hipotenuze, pokušajmo iznijeti pun kvadrat ispod znaka korena. Da bismo to učinili, razlažemo broj 610 na faktore. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Prema tabeli prostih brojeva, vidimo da je 61 prost broj. Stoga je dalje smanjenje broja √610 nemoguće. Dobijamo konačan odgovor |AC| = √610.
Ako bi kvadrat hipotenuze bio, na primjer, 675, tada je √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Ako je takvo prebacivanje moguće, izvršite obrnutu provjeru - kvadrirajte rezultat i usporedite s originalnom vrijednošću.

Hijerarhijska klaster analiza je samo jedan od načina da se posmatra formiranje homogenih varijabilnih grupa. Ne postoji poseban način za postavljanje broja klastera za vašu analizu. Možda ćete morati pogledati dendrogram, kao i karakteristike klastera, a zatim prilagoditi broj u koracima kako biste dobili dobro rješenje klastera.

Kada se varijable mjere na različitim skalama, imate tri načina za standardizaciju varijabli. Kao rezultat toga, sve varijable sa približno jednakim proporcijama doprinose mjerenju udaljenosti, čak i ako možete izgubiti informacije o varijansi varijabli.

Javite nam jednu od nogu i ugao uz nju. Za određenost, neka je krak |AB| i ugao α. Tada možemo koristiti formulu za kosinus trigonometrijske funkcije - kosinus ugla je jednak omjeru susjednog kraka i hipotenuze. One. u našoj notaciji cos α = |AB| / |AC|. Odavde dobijamo dužinu hipotenuze |AC| = |AB| / cosα.
Ako znamo nogu |BC| i ugla α, tada koristimo formulu za izračunavanje sinusa ugla - sinus ugla je jednak omjeru suprotnog kraka i hipotenuze: sin α = |BC| / |AC|. Dobijamo da se dužina hipotenuze nalazi kao |AC| = |BC| / cosα.

Euklidska udaljenost: Euklidska udaljenost je najčešća metoda mjerenja. Euklidska udaljenost na kvadrat: Euklidska udaljenost na kvadrat fokusira pažnju na objekte koji su udaljeniji jedan od drugog. Udaljenost gradskog bloka: I gradski blokovi i Euklidska udaljenost su posebni slučajevi metrike Minkowskog. Dok Euklidska udaljenost odgovara dužini najkraće staze između dvije tačke, udaljenost gradskog bloka je zbir udaljenosti duž svake dimenzije. Pearsonova korelacioni rastojanje Razlika između 1 i kosinus koeficijenta dva posmatranja Kosinus koeficijent je kosinus ugla između dva vektora. Jaccardova udaljenost Razlika između 1 i Jacquardovog koeficijenta za dva opažanja Za binarne podatke, Jaccardov koeficijent je jednak omjeru količine preklapanja i zbroja dva opažanja. Najbliži susjed Ova metoda pretpostavlja da udaljenost između dva klastera odgovara udaljenosti između karakteristika u njihovom najbližem susjedstvu. Najbolji susjed U ovoj metodi, udaljenost između dva klastera odgovara maksimalnoj udaljenosti između dva objekta u različitim klasterima. Prosjek grupe: Kod ove metode, udaljenost između dva klastera odgovara prosječnoj udaljenosti između svih parova objekata u različitim klasterima. Ova metoda se općenito preporučuje jer sadrži veću količinu informacija. Medijan Ova metoda je identična metodi centroida, samo što nije ponderisana. Zatim se za svaki slučaj izračunava kvadratna euklidska udaljenost do srednje vrijednosti klastera. Klaster koji se spaja je onaj koji barem povećava sumu. Odnosno, ova metoda minimizira povećanje ukupan iznos kvadratne udaljenosti unutar klastera. Ova metoda teži stvaranju manjih klastera.

• Ovo je geometrijska udaljenost u višedimenzionalnom prostoru.
• Pogodan je samo za kontinuirane varijable.
• Kosinus Distance Kosinus ugla između dva vektora vrednosti.
• Ova metoda se preporučuje pri crtanju nacrtanih klastera.
• Ako nacrtani klasteri formiraju jedinstvene "grude", metoda je prikladna.
• Težište klastera je središnja tačka u višedimenzionalnom prostoru.
• Ne treba ga koristiti ako su veličine klastera vrlo različite.
• Ward Srednje vrijednosti za sve varijable se izračunavaju za svaki klaster.
• Ove udaljenosti se zbrajaju za sve slučajeve.

Ideja je da se minimizira udaljenost između podataka i odgovarajućeg klastera klastera.

Radi jasnoće, razmotrite primjer. Neka je dužina kraka |AB| = 15. I ugao α = 60°. Dobijamo |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Razmislite kako možete provjeriti svoj rezultat pomoću Pitagorine teoreme. Da bismo to uradili, moramo izračunati dužinu drugog kraka |BC|. Koristeći formulu za tangentu ugla tg α = |BC| / |AC|, dobijamo |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Zatim, primjenjujemo Pitagorinu teoremu, dobijamo 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Provjera je obavljena.

Funkcija sinusa je definirana iz koncepta sinusa, s obzirom da ugao uvijek mora biti izražen u radijanima. Možemo uočiti nekoliko karakteristika sinusoidne funkcije.

• Vaša domena sadrži sve realne.
• U ovom slučaju se kaže da je funkcija periodična, s periodom 2π.

Kosinusna funkcija je definirana iz koncepta kosinusa, s obzirom da ugao uvijek mora biti izražen u radijanima.

Možemo uočiti nekoliko karakteristika kosinusne funkcije. Tako je periodični period 2π. . Ograničenje ne uklanja općenitost formule, jer uvijek možemo svesti uglove drugog, trećeg i četvrtog kvadranta na prvi. Vježba. - Izračunajte sinus od 15º bez upotrebe kalkulatora.

Nakon izračunavanja hipotenuze, provjerite da li rezultirajuća vrijednost zadovoljava Pitagorinu teoremu.

Izvori:

• Table primarni brojevi od 1 do 10000

Noge nazovite dvije kratke stranice pravokutnog trougla koje čine njegov vrh, čija je vrijednost 90 °. Treća stranica u takvom trokutu naziva se hipotenuza. Sve ove stranice i uglovi trokuta međusobno su povezani određenim odnosima koji vam omogućavaju da izračunate dužinu noge ako je poznato nekoliko drugih parametara.

Kosinus zbira dva ugla

Kosinus razlike dva ugla

Da bismo dobili formulu, možemo nastaviti na isti način kao u prethodnom dijelu, ali ćemo vidjeti još jednu vrlo jednostavnu demonstraciju zasnovanu na Pitagorinoj teoremi. Pojednostavljivanje i mijenjanje predznaka, imamo Zbir tangente i razlika dva ugla.

Vježba. U današnjem članku ćemo pogledati vrlo specifičan podskup: trigonometrijske funkcije. Da bismo uživali u svemu što matematika nudi, moramo to uvesti. U sljedećem članku ćemo vidjeti druge stilove uvoza, svaki sa svojim prednostima i nedostacima. Ali uz ovu jednostavnu instrukciju, već imate pristup cijelom prostoru imena matematičkog modula ispunjenom desetinama funkcija, uključujući i one kojima ćemo se danas baviti.

Uputstvo

Koristite Pitagorinu teoremu da izračunate dužinu kraka (A) ako znate dužinu druge dvije stranice (B i C) pravokutnog trokuta. Ova teorema kaže da je zbir dužina kateta na kvadrat jednak kvadratu hipotenuze. Iz ovoga slijedi da je dužina svake od nogu jednaka kvadratni korijen iz razlike kvadrata dužina hipotenuze i drugog kraka: A=√(C²-B²).

U osnovi, morat ćemo izračunati sinus, kosinus i tangent ugla, kao i njegov inverzne funkcije. Dodatno, željeli bismo biti u mogućnosti raditi i u radijanima i u stupnjevima, tako da možemo koristiti i odgovarajuće funkcije konverzije.

Trebate imati na umu da ove funkcije očekuju da se argument daje u radijanima, a ne u stepenima. U tu svrhu, bićete zainteresovani da znate da imate sledeću konstantu. Dakle, možemo koristiti ovaj izraz umjesto numeričke vrijednosti.

Ne postoji direktna funkcija za kosekans, sekans i kotangens jer to nije neophodno jer su oni jednostavno inverzni od sinusa, kosinusa i tangente. Kao i ranije, vraćeni ugao je također u radijanima. Još jedna korisna funkcija matematike omogućava nam da znamo vrijednost hipotenuze pravokutnog trokuta s obzirom na njegove katete, što nam omogućava da izračunamo kvadratni korijen zbira njihovih kvadrata.

Koristite definiciju direktne trigonometrijske funkcije "sinus" za akutni ugao, ako znate vrijednost ugla (α) nasuprot izračunatom kraku i dužinu hipotenuze (C). Ova definicija kaže da je sinus ovog poznatog ugla jednak omjeru dužine željenog kraka i dužine hipotenuze. To znači da je dužina željenog kraka jednaka proizvodu dužine hipotenuze i sinusa poznatog ugla: A=C∗sin(α). Za iste poznate vrijednosti, možete koristiti definiciju funkcije kosekansa i izračunati željenu dužinu dijeljenjem dužine hipotenuze sa kosekansom poznatog kuta A=C/cosec(α).

Koristite definiciju kosinusa direktne trigonometrijske funkcije ako je, osim dužine hipotenuze (C), poznata i vrijednost oštrog ugla (β) pored željenog kraka. Kosinus ovog ugla definira se kao omjer dužina željenog kraka i hipotenuze, a iz toga možemo zaključiti da je dužina kateta jednaka umnošku dužine hipotenuze i kosinusa poznatog ugao: A=C∗cos(β). Možete koristiti definiciju funkcije sekansa i izračunati željenu vrijednost dijeljenjem dužine hipotenuze sa sekantom poznatog kuta A=C/sec(β).

Izvedite traženu formulu iz slične definicije za derivaciju tangente trigonometrijske funkcije, ako je, pored vrijednosti oštrog ugla (α) koji leži nasuprot željenom kraku (A), dužina drugog kraka (B) poznato. Tangens ugla nasuprot željenom kraku je omjer dužine ovog kraka i dužine drugog kraka. To znači da će željena vrijednost biti jednaka proizvodu dužine poznatog kraka i tangenta poznatog ugla: A=B∗tg(α). Iz ovih istih poznatih veličina može se izvesti još jedna formula korištenjem definicije kotangens funkcije. U ovom slučaju, da bi se izračunala dužina kraka, biće potrebno pronaći omjer dužine poznatog kraka i kotangensa poznatog ugla: A=B/ctg(α).

Povezani video zapisi

Reč "katet" došla je na ruski iz grčkog. AT tačan prevod to znači visak, odnosno okomito na površinu zemlje. U matematici se nogama nazivaju stranice koje čine pravi ugao pravouglog trougla. Strana suprotna ovom uglu naziva se hipotenuza. Termin "noga" se također koristi u arhitekturi i tehnologiji zavarivanja.

Nacrtaj pravougli trougao ACB. Označite njegove krakove a i b, i hipotenuzu c. Sve stranice i uglovi pravokutnog trokuta povezani su određenim odnosima. Omjer kraka nasuprot jednom od oštrih uglova prema hipotenuzi naziva se sinus ovog ugla. U ovom trokutu sinCAB=a/c. Kosinus je omjer hipotenuze susjednog kraka, tj. cosCAB=b/c. Inverzni odnosi se nazivaju sekans i kosekans.

Sekansa ovog ugla se dobija dijeljenjem hipotenuze sa susednim krakom, odnosno secCAB=c/b. Ispada da je recipročan kosinus, odnosno može se izraziti formulom secCAB=1/cosSAB.
Kosekans je jednak količniku dijeljenja hipotenuze suprotnim krakom i recipročan je od sinusa. Može se izračunati pomoću formule cosecCAB=1/sinCAB

Oba kraka su povezana tangentom i kotangensom. AT ovaj slučaj tangenta će biti omjer strane a prema strani b, odnosno suprotnog kraka prema susjednom. Ovaj odnos se može izraziti formulom tgCAB=a/b. Prema tome, inverzni omjer će biti kotangens: ctgCAB=b/a.

Odnos između veličina hipotenuze i oba kraka odredio je starogrčki matematičar Pitagora. Teoremu nazvanu po njemu ljudi još uvijek koriste. Kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrata nogu, odnosno c2 \u003d a2 + b2. Prema tome, svaki katet će biti jednak kvadratnom korijenu razlike između kvadrata hipotenuze i drugog kraka. Ova formula se može napisati kao b=√(c2-a2).

Dužina noge se takođe može izraziti kroz veze koje poznajete. Prema sinusnoj i kosinusnoj teoremi, krak jednak je proizvodu hipotenuzu na jednu od ovih funkcija. Takođe se može izraziti u terminima tangenta ili kotangensa. Noga a može se naći, na primjer, po formuli a = b * tan CAB. Na potpuno isti način, ovisno o datoj tangenti ili kotangensu, određuje se i drugi krak.

U arhitekturi se također koristi izraz "noga". Primjenjuje se na jonski kapitel i označava liniju viska kroz sredinu leđa. To jest, u ovom slučaju, ovaj pojam označava okomicu na datu pravu.

U tehnologiji zavarivanja postoji koncept "ugaonog zavarivanja nogu". Kao iu drugim slučajevima, ovo je najkraća udaljenost. Ovdje govorimo o razmaku između jednog od dijelova koji treba zavariti do granice šava koji se nalazi na površini drugog dijela.

Povezani video zapisi

Izvori:

• šta je krak i hipotenuza

Povezani video zapisi

Bilješka

Prilikom izračunavanja stranica pravokutnog trokuta, poznavanje njegovih karakteristika može igrati:
1) Ako krak pravog ugla leži nasuprot ugla od 30 stepeni, onda je jednak polovini hipotenuze;
2) Hipotenuza je uvek duža od bilo kog kateta;
3) Ako je kružnica opisana oko pravokutnog trougla, onda njegovo središte mora ležati u sredini hipotenuze.

Tamo gde su razmatrani zadaci za rešavanje pravouglog trougla, obećao sam da ću predstaviti tehniku ​​za pamćenje definicija sinusa i kosinusa. Koristeći ga, uvijek ćete brzo zapamtiti koji krak pripada hipotenuzi (susednoj ili suprotnoj). Odlučio sam da ne odlažem u nedogled, potreban materijal je u nastavku, pročitajte ga 😉

Činjenica je da sam više puta primijetio kako učenici od 10. do 11. razreda teško pamte ove definicije. Vrlo dobro pamte da se kateta odnosi na hipotenuzu, ali koju zaboravljaju i zbunjen. Cijena greške, kao što znate na ispitu, je izgubljen rezultat.

Informacije koje ću iznijeti direktno matematici nemaju nikakve veze. Povezuje se sa figurativnim mišljenjem, i sa metodama verbalno-logičkog povezivanja. Tako je, i ja sam se jednom zauvek setio definicije podataka. Ako ih ipak zaboravite, onda ih je uz pomoć predstavljenih tehnika uvijek lako zapamtiti.

Dozvolite mi da vas podsjetim na definicije sinusa i kosinusa u pravokutnom trokutu:

Kosinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Sinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:

Dakle, koje asocijacije kod vas izaziva riječ kosinus?

Vjerovatno svako ima svoje Zapamtite link:

Tako ćete odmah imati izraz u sjećanju -

«… omjer SJEDNOG kraka prema hipotenuzi».

Problem sa definicijom kosinusa je riješen.

Ako trebate zapamtiti definiciju sinusa u pravokutnom trokutu, a zatim zapamtite definiciju kosinusa, možete lako ustanoviti da je sinus oštrog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne noge i hipotenuze. Na kraju krajeva, postoje samo dvije noge, ako je susjedna noga "zauzeta" kosinusom, tada za sinus ostaje samo suprotna strana.

Šta je sa tangentom i kotangensom? Ista konfuzija. Učenici znaju da je to omjer nogu, ali problem je zapamtiti koji se na koji odnosi - ili suprotno od susjednih, ili obrnuto.

definicije:

Tangenta Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i susjedne:

Kotangens Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i suprotnog:

Kako zapamtiti? Postoje dva načina. Jedan koristi i verbalno-logičku vezu, drugi - matematičku.

MATEMATIČKA METODA

Postoji takva definicija - tangent oštrog ugla je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

* Sjećajući se formule, uvijek možete odrediti da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu omjer suprotne noge i susjedne.

Isto tako. Kotangens oštrog ugla je omjer kosinusa ugla i njegovog sinusa:

Dakle! Sjećajući se ovih formula, uvijek možete utvrditi da:

Tangens oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i susjedne

Kotangens oštrog ugla u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i suprotnog kraka.

VERBALNO-LOGIČKA METODA

O tangenti. Zapamtite link:

Odnosno, ako trebate zapamtiti definiciju tangente, koristeći ovu logičku vezu, lako se možete sjetiti šta je to

"...odnos suprotne noge i susedne"

Ako je u pitanju kotangens, onda se prisjećajući definicije tangente, lako možete izraziti definiciju kotangensa -

"...odnos susedne noge i suprotne noge"

Na mjestu postoji zanimljiva tehnika za pamćenje tangente i kotangensa " Matematički tandem " , pogledaj.

METODA UNIVERZALNA

Možete samo samljeti. Ali, kako praksa pokazuje, zahvaljujući verbalno-logičkim vezama, osoba dugo pamti informacije, i to ne samo matematičke.

Nadam se da vam je materijal bio koristan.

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u danima antičke Grčke. Tokom srednjeg vijeka, naučnici sa Bliskog istoka i Indije dali su značajan doprinos razvoju ove nauke.

Ovaj članak je posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama glavnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Njihovo značenje u kontekstu geometrije je objašnjeno i ilustrovano.

U početku su definicije trigonometrijskih funkcija, čiji je argument ugao, izražene kroz omjer stranica pravokutnog trokuta.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus ugla (sin α) je omjer kraka nasuprot ovom kutu i hipotenuze.

Kosinus ugla (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangent ugla (t g α) je omjer suprotnog kraka i susjednog.

Kotangens ugla (c t g α) je omjer susjednog kraka i suprotnog.

Ove definicije su date za oštar ugao pravouglog trougla!

Hajde da damo ilustraciju.

U trouglu ABC sa pravim uglom C, sinus ugla A jednak je odnosu kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa omogućavaju izračunavanje vrijednosti ovih funkcija iz poznatih dužina stranica trokuta.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa: od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus uzimaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangente i kotangensa je cijela brojevna prava, tj. funkcije mogu uzeti bilo koju vrijednost.

Gore navedene definicije odnose se na oštre uglove. U trigonometriji se uvodi koncept ugla rotacije, čija vrijednost, za razliku od oštrog ugla, nije ograničena okvirima od 0 do 90 stepeni. Ugao rotacije u stepenima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞.

U ovom kontekstu, može se definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla proizvoljne veličine. Zamislite jediničnu kružnicu sa središtem na početku kartezijanskog koordinatnog sistema.

Početna tačka A sa koordinatama (1, 0) rotira oko centra jedinične kružnice za neki ugao α i ide do tačke A 1 . Definicija je data kroz koordinate tačke A 1 (x, y).

Sinus (sin) ugla rotacije

Sinus ugla rotacije α je ordinata tačke A 1 (x, y). sinα = y

Kosinus (cos) ugla rotacije

Kosinus ugla rotacije α je apscisa tačke A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) ugla rotacije

Tangens ugla rotacije α je odnos ordinate tačke A 1 (x, y) i njene apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) ugla rotacije

Kotangens ugla rotacije α je odnos apscise tačke A 1 (x, y) i njene ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus su definirani za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Situacija je drugačija sa tangentom i kotangensom. Tangenta nije definisana kada tačka nakon rotacije ide u tačku sa nultom apscisom (0 , 1) i (0 , - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži podjelu nulom. Slična je situacija i sa kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definisan u slučajevima kada ordinata tačke nestaje.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus su definirani za sve uglove α.

Tangenta je definirana za sve uglove osim α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve uglove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom odlučivanja praktični primjeri nemojte reći "sinus ugla rotacije α". Riječi "ugao rotacije" jednostavno su izostavljene, što implicira da je iz konteksta već jasno o čemu je riječ.

Brojevi

Šta je sa definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne ugla rotacije?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t naziva se broj koji je, redom, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radian.

Na primjer, sinus od 10 π jednak je sinusu ugla rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Razmotrimo to detaljnije.

Bilo koji pravi broj t tačka na jediničnom krugu stavlja se u korespondenciju sa centrom u početku pravougaonog Dekartovog koordinatnog sistema. Sinus, kosinus, tangenta i kotangens su definisani u smislu koordinata ove tačke.

Početna tačka na kružnici je tačka A sa koordinatama (1, 0).

pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara tački do koje će se početna tačka kretati ako se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko kružnice i prođe putanju t.

Sada kada je veza između broja i tačke na kružnici uspostavljena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.

Sinus (sin) broja t

Sinus broja t- ordinata tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus broja t- apscisa tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangent broja t- odnos ordinate prema apscisi tačke jedinične kružnice koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Potonje definicije su u skladu i nisu u suprotnosti sa definicijom datom na početku ovog odjeljka. Tačka na krugu koji odgovara broju t, poklapa se sa tačkom do koje prolazi početna tačka nakon skretanja kroz ugao t radian.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Svaka vrijednost ugla α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa ovog ugla. Kao i svi uglovi α osim α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odgovara određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore pomenuto, je definisan za sve α, osim za α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α , cos α , t g α , c t g α funkcije ugla alfa, ili funkcije kutnog argumenta.

Slično, može se govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k , k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangente. Kotangens je na sličan način definiran za sve brojeve osim π · k , k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (ugaoni argument ili numerički argument) imamo posla.

Vratimo se na podatke na samom početku definicija i ugao alfa koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stepeni. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa su u potpunosti u skladu sa geometrijskim definicijama datim omjerima strana pravokutnog trokuta. Hajde da to pokažemo.

Uzmite jedinični krug sa središtem na pravougaoniku Kartezijanski sistem koordinate. Zarotirajmo početnu tačku A (1, 0) za ugao do 90 stepeni i povučemo iz rezultujuće tačke A 1 (x, y) okomito na x-osu. U rezultirajućem pravokutnom trokutu ugao A 1 O H jednak je kutu rotacije α, dužina kraka O H jednaka je apscisi tačke A 1 (x, y) . Dužina kraka nasuprot uglu jednaka je ordinati tačke A 1 (x, y), a dužina hipotenuze jednaka je jedan, jer je to poluprečnik jedinične kružnice.

U skladu sa definicijom iz geometrije, sinus ugla α jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 = y

To znači da je definicija sinusa oštrog ugla u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentna definiciji sinusa ugla rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stepeni.

Slično, korespondencija definicija se može prikazati za kosinus, tangent i kotangens.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Poznavajući jednu od kateta u pravokutnom trokutu, možete pronaći drugu nogu i hipotenuzu koristeći trigonometrijske odnose - sinus i tangent poznatog ugla. Budući da je omjer kateta nasuprot kuta prema hipotenuzi jednak sinusu ovog ugla, stoga, da bismo pronašli hipotenuzu, katet se mora podijeliti sa sinusom ugla. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Drugi krak se može naći iz tangente poznatog ugla, kao omjer poznatog kraka i tangente. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Da biste izračunali nepoznati ugao u pravokutnom trokutu, trebate oduzeti ugao α od 90 stepeni. β=90°-α

Opseg i površina pravokutnog trokuta kroz krak i ugao nasuprot njemu mogu se izraziti zamjenom prethodno dobijenih izraza za drugi krak i hipotenuzu u formule. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Visinu možete izračunati i kroz trigonometrijske relacije, ali već u unutrašnjem pravokutnom trouglu sa stranicom a, koji ona formira. Da biste to učinili, potrebna vam je stranica a, kao hipotenuza takvog trokuta, pomnožena sa sinusom ugla β ili kosinusom α, jer prema trigonometrijski identiteti oni su ekvivalentni. (sl. 79.2) h=a cos⁡α

Medijan hipotenuze jednak je polovini hipotenuze ili poznatog kraka a podijeljen sa dva sinusa α. Da bismo pronašli medijane krakova, dovodimo formule u odgovarajući oblik za poznata strana i uglovi. (sl.79.3) m_s=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^) 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡) α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Budući da je simetrala pravog ugla u trokutu umnožak dvije stranice i korijena dva, podijeljen zbirom ovih stranica, zamjenjujući jednu od kateta omjerom poznate katete i tangente, dobivamo sljedeće izraz. Slično, zamjenom omjera u drugu i treću formulu, mogu se izračunati simetrale uglova α i β. (sl.79.4) l_s=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Srednja linija ide paralelno s jednom od stranica trokuta, tvoreći drugi sličan pravokutni trokut s istim uglovima, u kojem su sve strane upola manje od originalne. Na osnovu toga, srednje linije se mogu pronaći pomoću sljedećih formula, znajući samo krak i ugao nasuprot njemu. (sl.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Poluprečnik upisane kružnice jednak je razlici između kateta i hipotenuze podijeljenoj sa dva, a da biste pronašli polumjer opisane kružnice, hipotenuzu trebate podijeliti sa dva. Drugi krak i hipotenuzu zamjenjujemo omjerima kateta a prema sinusu i tangentu, respektivno. (Sl. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

U životu se često moramo suočiti matematički problemi: u školi, na fakultetu, a zatim pomoći svom djetetu oko zadaća. Ljudi određenih profesija svakodnevno će se susresti sa matematikom. Stoga je korisno zapamtiti ili prisjetiti matematička pravila. U ovom članku ćemo analizirati jedan od njih: pronalaženje kraka pravokutnog trokuta.

Šta je pravougli trougao

Prvo, prisjetimo se šta je pravougli trougao. Pravougli trougao je geometrijska figura od tri segmenta koji spajaju tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji, a jedan od uglova ove figure je 90 stepeni. Stranice koje tvore pravi ugao nazivaju se katetama, a strana koja leži nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza.

Pronalaženje kraka pravouglog trougla

Postoji nekoliko načina da saznate dužinu noge. Želio bih ih detaljnije razmotriti.

Pitagorina teorema za pronalaženje kraka pravouglog trougla

Ako znamo hipotenuzu i katet, onda možemo pronaći dužinu nepoznatog kraka pomoću Pitagorine teoreme. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbiru kvadrata kateta." Formula: c²=a²+b², gdje je c hipotenuza, a i b su katete. Transformišemo formulu i dobijamo: a²=c²-b².

Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a katet 3 cm Transformišemo formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Zatim odlučujemo: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometrijski odnosi za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Također je moguće pronaći nepoznatu nogu ako su poznate bilo koja druga strana i bilo koji oštar ugao pravokutnog trokuta. Postoje četiri opcije za pronalaženje kraka pomoću trigonometrijskih funkcija: sinusom, kosinusom, tangentom, kotangensom. Za rješavanje problema pomoći će nam donja tabela. Hajde da razmotrimo ove opcije.

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći sinus

Sinus ugla (sin) je omjer suprotnog kraka i hipotenuze. Formula: sin \u003d a / c, gdje je a krak nasuprot datom kutu, a c hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobijemo: a=sin*c.

Primjer. Hipotenuza je 10 cm, a ugao A je 30 stepeni. Prema tabeli, izračunavamo sinus ugla A, on je jednak 1/2. Zatim, koristeći transformiranu formulu, rješavamo: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kosinus

Kosinus ugla (cos) je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos \u003d b / c, gdje je b krak koji je susjedan datom kutu, a c je hipotenuza. Hajde da transformišemo formulu i dobijemo: b=cos*c.

Primjer. Ugao A je 60 stepeni, hipotenuza je 10 cm. Prema tabeli izračunavamo kosinus ugla A, on je jednak 1/2. Zatim rješavamo: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Pomoću tangente pronađite krak pravokutnog trokuta

Tangent ugla (tg) je omjer suprotnog kraka i susjednog. Formula: tg \u003d a / b, gdje je a noga nasuprot uglu, a b susjedna. Hajde da transformišemo formulu i dobijemo: a=tg*b.

Primjer. Ugao A je 45 stepeni, hipotenuza je 10 cm Prema tabeli računamo tangens ugla A, jednak je Reši: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Nađite katet pravokutnog trokuta koristeći kotangens

Kotangens ugla (ctg) je omjer susjednog kraka i suprotnog kraka. Formula: ctg \u003d b / a, gdje je b noga koja se nalazi uz ugao, a suprotna je. Drugim riječima, kotangens je "obrnuta tangenta". Dobijamo: b=ctg*a.

Primjer. Ugao A je 30 stepeni, suprotni krak 5 cm Prema tabeli tangenta ugla A je √3. Izračunajte: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Dakle, sada znate kako pronaći nogu u pravokutnom trokutu. Kao što vidite, nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.