Online kalkulator.
Rješenje trouglova.

Rješenje trougla je nalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) sa bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Ovaj matematički program pronalazi stranu $c $, uglove $\alpha $ i $\beta $ date stranice koje je odredio korisnik $a, b $ i ugao između njih $\gamma $

Program ne samo da daje odgovor na problem, već i prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj online kalkulator može biti koristan srednjoškolcima opšteobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditelji kontroliraju rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je prije moguće? zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti zadataka koji se rješavaju povećava.

Ukoliko niste upoznati sa pravilima za unos brojeva, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos brojeva

Brojevi se mogu postaviti ne samo cijeli, već i razlomci.
Cjelobrojni i razlomak u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale tako 2.5 ili tako 2.5

Unesite stranice $a, b $ i ugao između njih $\gamma $ Riješite trougao

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U vašem pretraživaču je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Sačekaj molim te sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Sinusni teorem

Teorema

Stranice trokuta su proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinus teorema

Teorema
Neka je u trouglu ABC AB = c, BC = a, CA = b. Onda
Bočni kvadrat trougla jednak je zbiru kvadrati druge dvije strane minus dvostruki proizvod tih stranica pomnožen kosinusom ugla između njih.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Rešavanje trouglova

Rješenje trougla je nalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri ugla) sa bilo koja tri data elementa koji definiraju trokut.

Razmotrite tri problema za rješavanje trougla. U ovom slučaju koristićemo sljedeću notaciju za stranice trougla ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Rješenje trougla date dvije stranice i ugao između njih

Zadano: $a, b, \ugao C $. Pronađite $c, \ugao A, \ugao B $

Rješenje
1. Po zakonu kosinusa nalazimo $c$:

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Koristeći kosinus teoremu, imamo:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. $\ugao B = 180^\krug -\ugao A -\ugao C $

Rješenje trougla s obzirom na stranicu i susjedne uglove

Dato: $a, \ugao B, \ugao C $. Pronađite $\ugao A, b, c $

Rješenje
1. $\ugao A = 180^\krug -\ugao B -\ugao C $

2. Koristeći sinusnu teoremu, izračunavamo b i c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Rješavanje trougla sa tri strane

Dato: $a, b, c$. Pronađite $\ugao A, \ugao B, \ugao C $

Rješenje
1. Prema teoremi kosinusa, dobijamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Pomoću $\cos A $ nalazimo $\ugao A $ pomoću mikrokalkulatora ili iz tabele.

2. Slično, nalazimo ugao B.
3. $\ugao C = 180^\krug -\ugao A -\ugao B $

Rješavanje trougla date dvije stranice i ugao nasuprot poznatoj strani

Zadano: $a, b, \ugao A $. Pronađite $c, \ugao B, \ugao C $

Rješenje
1. Po teoremi sinusa nalazimo $\sin B $ dobijamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Hajde da uvedemo notaciju: $D = \frac(b)(a) \cdot \sin A $. U zavisnosti od broja D, mogući su sledeći slučajevi:
Ako je D > 1, takav trokut ne postoji, jer $\sin B $ ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji jedinstveni $\ugao B: \quad \sin B = 1 \Strelica desno \ugao B = 90^\krug $
Ako je D Ako je D 2. $\ugao C = 180^\krug -\ugao A -\ugao B $

3. Koristeći sinusnu teoremu, izračunavamo stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova na mreži Igre, zagonetke Grafikovanje funkcija Pravopisni rečnik ruskog jezika Rečnik omladinskog slenga Katalog ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih univerziteta Spisak zadataka

Pravougli trokut se u stvarnosti nalazi na gotovo svakom uglu. Poznavanje svojstava ove figure, kao i sposobnost izračunavanja njene površine, nesumnjivo će vam biti od koristi ne samo za rješavanje problema u geometriji, već iu životnim situacijama.

geometrija trougla

U elementarnoj geometriji, pravougli trokut je figura koja se sastoji od tri povezana segmenta koji tvore tri ugla (dva oštra i jedan pravi). Pravokutni trokut je originalna figura koju karakterizira niz važnih svojstava koja čine osnovu trigonometrije. Za razliku od običnog trokuta, stranice pravokutne figure imaju svoja imena:

Hipotenuza je najduža strana trougla koji je suprotan pravi ugao.
Noge - segmenti koji formiraju pravi ugao. U zavisnosti od ugla koji se razmatra, krak može biti uz njega (tvoreći ovaj ugao sa hipotenuzom) ili nasuprot (ležeći nasuprot ugla). Ne postoje noge za nepravougaone trouglove.

To je omjer kateta i hipotenuze koji čini osnovu trigonometrije: sinusi, tangenti i sekanti definirani su kao omjer stranica pravougaonog trougla.

Pravougli trougao u stvarnosti

Ova cifra se široko koristi u stvarnosti. Trokuti se koriste u dizajnu i tehnologiji, tako da izračunavanje površine figure moraju obaviti inženjeri, arhitekti i dizajneri. Osnove tetraedara ili prizme imaju oblik trokuta - trodimenzionalne figure koje je lako sresti u svakodnevnom životu. Osim toga, kvadrat je najjednostavniji prikaz "ravnog" pravokutnog trokuta u stvarnosti. Kvadrat je bravarski, crtački, građevinski i stolarski alat kojim grade uglove i školarci i inženjeri.

Površina trougla

Square geometrijska figura- ovo je kvantifikacija koliki je dio ravnine omeđen stranicama trougla. Površina običnog trokuta može se pronaći na pet načina, koristeći Heronovu formulu ili operirajući u proračunima s takvim varijablama kao što su baza, stranica, kut i polumjer upisane ili opisane kružnice. Najviše jednostavna formula površina se izražava kao:

gdje je a stranica trougla, h njegova visina.

Formula za izračunavanje površine pravokutnog trokuta je još jednostavnija:

gdje su a i b noge.

Radeći s našim online kalkulatorom, možete izračunati površinu trokuta koristeći tri para parametara:

dvije noge;
noga i susedni ugao;
nogu i suprotnog ugla.

U zadacima ili svakodnevnim situacijama dobit ćete različite kombinacije varijabli, pa vam ovaj oblik kalkulatora omogućava da izračunate površinu trokuta na nekoliko načina. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Keramička pločica

Recimo da želite zidove kuhinje obložiti keramičkim pločicama koje imaju oblik pravokutnog trokuta. Da biste odredili potrošnju pločica, morate saznati površinu jednog elementa obloge i ukupnu površinu površine koju treba tretirati. Neka vam je potrebno obraditi 7 kvadratnih metara. Dužina nogu jednog elementa je 19 cm svaka, tada će površina pločice biti jednaka:

To znači da je površina jednog elementa 24,5 kvadratnih centimetara ili 0,01805 kvadratnih metara. Poznavajući ove parametre, možete izračunati da će vam za završetak 7 kvadratnih metara zida trebati 7 / 0,01805 = 387 obloženih pločica.

školski zadatak

Pusti unutra školski zadatak u geometriji je potrebno pronaći površinu pravokutnog trokuta, znajući samo da je stranica jedne noge 5 cm, a vrijednost suprotnog ugla 30 stepeni. Naš online kalkulator prati ilustracija koja prikazuje stranice i uglove pravokutnog trokuta. Ako je stranica a = 5 cm, onda je njen suprotni ugao ugao alfa, jednak 30 stepeni. Unesite ove podatke u obrazac kalkulatora i dobijte rezultat:

Dakle, kalkulator ne samo da izračunava površinu datog trokuta, već i određuje dužinu susjednog kraka i hipotenuze, kao i vrijednost drugog ugla.

Zaključak

Pravougaoni trokuti se nalaze u našim životima bukvalno na svakom uglu. Određivanje područja takvih figura bit će vam korisno ne samo pri rješavanju školskih zadataka iz geometrije, već iu svakodnevnim i profesionalnim aktivnostima.

Trokut se naziva pravouglim trouglom ako mu je jedan od uglova 90º. Strana naspram pravog ugla naziva se hipotenuza, a druge dvije su katete.

Za pronalaženje ugla u pravokutnom trokutu koriste se neka svojstva pravokutnih trokuta, a to su: činjenica da je zbir oštrih uglova 90º, kao i činjenica da nasuprot kateta čija je dužina polovina hipotenuze leži ugao jednak 30º.

Brza navigacija po članku

Jednakokraki trougao

Jedno od svojstava jednakokračnog trougla je da su dva njegova ugla jednaka. Da biste izračunali vrijednosti uglova pravokutnog jednakokračnog trokuta, morate znati da:

Pravi ugao je 90º.
Vrijednosti oštrih uglova određuju se formulom: (180º-90º)/2=45º, tj. uglovi α i β su 45º.

Ako je poznata vrijednost jednog od oštrih uglova, drugi se može naći po formuli: β=180º-90º-α, ili α=180º-90º-β. Najčešće se ovaj omjer koristi ako je jedan od uglova 60º ili 30º.

Ključni koncepti

Zbir unutrašnjih uglova trougla je 180º. Pošto je jedan ugao pravi, druga dva će biti oštra. Da biste ih pronašli, morate znati sljedeće:

druge metode

Vrijednosti oštrih uglova pravokutnog trokuta mogu se izračunati znajući vrijednost medijane - linije povučene od vrha do suprotne strane trokuta, i visine - ravne linije, koja je spuštena okomita od pravog ugla do hipotenuze. Neka je s medijan povučen iz pravog ugla do sredine hipotenuze, h visina. U ovom slučaju ispada da:

sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sinα=h/b; sinβ=h/a.

Dvije strane

Ako su u pravokutnom trokutu poznate dužine hipotenuze i jedne od kateta, ili dvije stranice, za pronalaženje vrijednosti oštrih uglova koriste se trigonometrijski identiteti:

α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Prvi su segmenti koji se nalaze pored pravog ugla, a hipotenuza je najduži deo figure i nalazi se nasuprot ugla od 90 stepeni. Pitagorin trougao je onaj čije su stranice jednake prirodni brojevi; njihove dužine se u ovom slučaju nazivaju "pitagorina trojka".

egipatski trougao

Da bi sadašnja generacija naučila geometriju u obliku u kojem se sada uči u školi, razvijala se nekoliko stoljeća. Osnovna poenta je Pitagorina teorema. Stranice pravougaonika poznate su cijelom svijetu) su 3, 4, 5.

Malo ljudi nije upoznato sa frazom " Pitagorine pantalone jednaki u svim pravcima." Međutim, u stvari, teorema zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) \u003d a 2 + b 2 (zbir kvadrata nogu).

Među matematičarima se trougao sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m, itd.) naziva "egipatskim". Zanimljivo je da je ono što je upisano na slici jednako jedan. Ime je nastalo oko 5. veka pre nove ere, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.

Prilikom izgradnje piramida, arhitekte i geodeti su koristili omjer 3:4:5. Ispostavile su se da su takve strukture proporcionalne, ugodne za pogled i prostrane, a također su se rijetko srušile.

Kako bi izgradili pravi ugao, graditelji su koristili uže na kojem je bilo vezano 12 čvorova. U ovom slučaju, vjerovatnoća konstruiranja pravokutnog trougla se povećala na 95%.

Znakovi jednakosti figura

Oštar ugao u pravokutnom trokutu i velika stranica, koji su jednaki istim elementima u drugom trokutu, neosporan su znak jednakosti figura. Uzimajući u obzir zbir uglova, lako je dokazati da su i drugi oštri uglovi jednaki. Dakle, trouglovi su identični u drugom kriterijumu.
Kada se dvije figure nalože jedna na drugu, rotiramo ih na način da, kada se spoje, postanu jedan jednakokraki trokut. Po svom svojstvu, stranice, odnosno hipotenuze su jednake, kao i uglovi u osnovi, što znači da su ove figure iste.

Po prvom znaku vrlo je lako dokazati da su trokuti zaista jednaki, glavno je da su dvije manje stranice (tj. noge) jednake jedna drugoj.

Trokuti će biti isti prema II znaku, čija je suština jednakost kraka i oštrog ugla.

Svojstva pravokutnog trougla

Visina, koja je spuštena iz pravog ugla, dijeli lik na dva jednaka dijela.

Stranice pravokutnog trokuta i njegovu medijanu lako se prepoznaju po pravilu: medijana, koja je spuštena na hipotenuzu, jednaka je njegovoj polovini. može se naći i Heronovom formulom i tvrdnjom da je jednak polovini umnoška nogu.

U pravokutnom trokutu vrijede svojstva uglova od 30 o, 45 o i 60 o.

Pod kutom od 30 °, treba imati na umu da će suprotna noga biti jednaka 1/2 najveće strane.
Ako je ugao 45 o, onda drugi oštri ugao također 45 o. To sugerira da je trokut jednakokračan, a da su mu kraci isti.
Svojstvo ugla od 60 stepeni je da treći ugao ima meru od 30 stepeni.

Područje je lako pronaći pomoću jedne od tri formule:

kroz visinu i stranu na koju se spušta;
prema Heronovoj formuli;
duž stranica i ugla između njih.

Stranice pravokutnog trokuta, odnosno noge, konvergiraju se s dvije visine. Da bismo pronašli treći, potrebno je razmotriti rezultirajući trokut, a zatim, koristeći Pitagorinu teoremu, izračunati potrebnu dužinu. Pored ove formule, postoji i omjer dvostruke površine i dužine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje proračuna.

Teoreme koje se primjenjuju na pravougli trokut

Geometrija pravokutnog trokuta uključuje korištenje teorema kao što su:

U matematici, kada se razmatra trokut, mnogo pažnje se nužno posvećuje njegovim stranicama. Pošto ovi elementi formiraju ovu geometrijsku figuru. Stranice trokuta se koriste za rješavanje mnogih geometrijskih problema.

Definicija koncepta

Segmenti koji spajaju tri tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji nazivaju se stranicama trougla. Elementi koji se razmatraju ograničavaju dio ravni, koji se naziva unutrašnjost date geometrijske figure.

Matematičari u svojim proračunima dozvoljavaju generalizacije u vezi sa stranicama geometrijskih figura. Dakle, u degenerisanom trouglu tri njegova segmenta leže na jednoj pravoj liniji.

Karakteristike koncepta

Izračunavanje stranica trokuta uključuje određivanje svih ostalih parametara figure. Znajući dužinu svakog od ovih segmenata, lako možete izračunati perimetar, površinu, pa čak i uglove trokuta.

Rice. 1. Proizvoljni trougao.

Zbrajanjem strana ove figure možete odrediti perimetar.

P=a+b+c, gdje su a, b, c stranice trougla

A da biste pronašli površinu trokuta, trebali biste koristiti formulu Heron.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Gdje je p poluperimetar.

Uglovi date geometrijske figure izračunavaju se pomoću kosinusne teoreme.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Značenje

Kroz omjer stranica trokuta izražavaju se neka svojstva ove geometrijske figure:

Nasuprot najmanjoj strani trougla nalazi se njegov najmanji ugao.
Vanjski ugao razmatrane geometrijske figure dobija se proširenjem jedne od strana.
Nasuprot jednakih uglova trougla su jednake stranice.
U bilo kojem trouglu jedna od stranica je uvijek veća od razlike druga dva segmenta. A zbir bilo koje dvije strane ove brojke je veći od treće.

Jedan od znakova jednakosti dva trokuta je omjer zbira svih strana geometrijske figure. Ako su ove vrijednosti iste, tada će trokuti biti jednaki.

Neka svojstva trougla zavise od njegovog tipa. Stoga prvo trebate uzeti u obzir veličinu stranica ili uglova ove figure.

Formiranje trouglova

Ako su dvije strane razmatrane geometrijske figure iste, onda se ovaj trokut naziva jednakokračnim.

Rice. 2. Jednakokraki trougao.

Kada su svi segmenti u trokutu jednaki, dobićete jednakostranični trougao.

Rice. 3. Jednakostranični trougao.

Bilo koji proračun je prikladniji za izvođenje u slučajevima kada se proizvoljan trokut može pripisati određenom tipu. Od tada će pronalaženje traženog parametra ove geometrijske figure biti znatno pojednostavljeno.

Iako vam pravilno odabrana trigonometrijska jednadžba omogućuje rješavanje mnogih problema u kojima se razmatra proizvoljan trokut.

Šta smo naučili?

Tri segmenta koja su povezana tačkama i ne pripadaju istoj pravoj liniji čine trougao. Ove strane formiraju geometrijsku ravan, koja se koristi za određivanje površine. Uz pomoć ovih segmenata možete pronaći mnoge važne karakteristike figure, kao što su perimetar i uglovi. Omjer stranica trokuta pomaže u pronalaženju njegovog tipa. Neka svojstva date geometrijske figure mogu se koristiti samo ako su poznate dimenzije svake njene strane.

Tematski kviz

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.3. Ukupno primljenih ocjena: 142.

Online kalkulator. Rješenje trouglova.