, isprekidana linija, itd.:

Ako pažljivo pogledate sve ove figure, možete odabrati dvije od njih koje su formirane zatvorenim linijama (krug i trokut). Ove figure imaju neku vrstu granice koja razdvaja ono što je unutra od onoga što je spolja. To jest, granica dijeli ravan na dva dijela: unutrašnji i vanjsko područje u vezi sa cifrom na koju se odnosi:

Perimetar

Perimetar je zatvorena granica ravni geometrijska figura odvajajući njenu unutrašnju oblast od spoljašnje.

Svaka zatvorena geometrijska figura ima perimetar:

Na slici su perimetri označeni crvenom linijom. Imajte na umu da se obim kruga često naziva dužinom.

Opseg se mjeri u jedinicama dužine: mm, cm, dm, m, km.

Za sve poligone, pronalaženje perimetra se svodi na sabiranje dužina svih strana, odnosno obim poligona je uvijek jednak je zbiru dužina njegovih stranica. Prilikom izračunavanja perimetra, često se označava velikim latiničnim slovom P:

Square

Površina je dio ravni koji zauzima zatvorena ravna geometrijska figura.

Svaka ravna zatvorena geometrijska figura ima određenu površinu. Na crtežima je područje geometrijskih oblika unutrašnje područje, odnosno onaj dio ravnine koji se nalazi unutar perimetra.

izmjeriti površinu figure - znači pronaći koliko puta je druga figura postavljena u datu figuru, uzeta kao jedinica mjere. Obično se kvadrat uzima kao jedinica mjerenja površine, u kojoj je stranica jednaka jedinici mjerenja dužine: milimetar, centimetar, metar itd.

Na slici je prikazan kvadratni centimetar. - kvadrat sa svakom stranom dužine 1 cm:

Površina se mjeri u kvadratne jedinice ah mjerenje dužine. Jedinice površine uključuju: mm 2, cm 2, m 2, km 2 itd.

Tablica konverzije kvadratnih jedinica

	mm 2	cm 2	dm 2	m 2	ar (tkati)	hektar (ha)	km 2
mm 2	1 mm 2	0,01 cm2	10 -4 dm 2	10 -6 m 2	10 -8 ar	10 -10 ha	10 -12 km 2
cm 2	100 mm 2	1 cm 2	0,01 dm 2	10 -4 m 2	10 -6 ari	10 -8 ha	10 -10 km 2
dm 2	10 4 mm 2	100 cm 2	1 dm 2	0,01 m2	10 -4 ar	10 -6 ha	10 -8 km 2
m 2	10 6 mm 2	10 4 cm 2	100 dm 2	1 m 2	0,01 are	10 -4 ha	10 -6 km 2
ar	10 8 mm 2	10 6 cm 2	10 4 dm 2	100 m2	1 are	0,01 ha	10 -4 km 2
ha	10 10 mm 2	10 8 cm 2	10 6 dm 2	10 4 m 2	100 are	1 ha	0,01 km2
km 2	10 12 mm 2	10 10 cm 2	10 8 dm 2	10 6 m 2	10 4 ar	100 ha	1 km 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

Studenti dobijaju znanja o tome kako pronaći perimetar osnovna škola. Zatim se ove informacije konstantno koriste tokom kursa matematike i geometrije.

Teorija zajednička za sve figure

Stranke se obično označavaju latiničnim slovima. Štaviše, mogu se označiti kao segmenti. Tada će vam trebati dva slova za svaku stranu i napisana velikim slovima. Ili unesite oznaku jednim slovom, koje će nužno biti malo.
Slova se uvijek biraju po abecednom redu. Za trougao, oni će biti prva tri. Šestougao će ih imati 6 - od a do f. Ovo je korisno za unos formula.

Sada o tome kako pronaći perimetar. To je zbir dužina svih strana figure. Broj termina zavisi od vrste. Opseg je označen latiničnim slovom P. Jedinice mjere su iste kao one date za stranice.

Formule perimetra za različite oblike

Za trokut: P \u003d a + b + c. Ako je jednakokračan, tada se formula pretvara: P = 2a + c. Kako pronaći obim trokuta ako je jednakostraničan? Ovo će pomoći: P = 3a.

Za proizvoljni četvorougao: P=a+b+c+d. Njegov poseban slučaj je kvadrat, formula perimetra: P=4a. Postoji i pravougaonik, tada je potrebna sljedeća jednakost: P = 2 (a + b).

Šta ako ne znate dužinu jedne ili više stranica trougla?

Koristite kosinusni teorem ako postoje dvije strane među podacima i ugao između njih, koji je označen slovom A. Zatim, prije pronalaska perimetra, morat ćete izračunati treću stranu. Za to je korisna sljedeća formula: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Poseban slučaj ove teoreme je onaj koji je Pitagora formulirao za pravokutni trokut. Sadrži vrijednost kosinusa pravi ugao postaje nula, što znači da posljednji član jednostavno nestaje.

Postoje situacije kada možete saznati kako pronaći obim trokuta na jednoj strani. Ali u isto vrijeme poznati su i uglovi figure. Ovdje u pomoć dolazi sinusni teorem, kada su omjeri dužina stranica i sinusa odgovarajućih suprotnih uglova jednaki.

U situaciji kada perimetar figure treba pronaći po površini, druge formule će dobro doći. Na primjer, ako je poznat polumjer upisane kružnice, onda je u pitanju kako pronaći obim trokuta korisna sljedeća formula: S \u003d p * r, ovdje je p poluperimetar. Mora se izvesti iz ove formule i pomnožiti sa dva.

Primjeri zadataka

Prvi uslov. Nađite obim trougla čije su stranice 3, 4 i 5 cm.
Rješenje. Morate koristiti jednakost koja je gore navedena i jednostavno zamijeniti podatke u zadatku vrijednosti u njega. Proračuni su laki, vode do broja 12 cm.
Odgovori. Opseg trougla je 12 cm.

Drugi uslov. Jedna strana trougla je 10 cm, a poznato je da je druga 2 cm veća od prve, a treća 1,5 puta veća od prve. Potrebno je izračunati njegov perimetar.
Rješenje. Da biste saznali, morate izbrojati dvije strane. Drugi je definiran kao zbir 10 i 2, treći je jednak proizvodu 10 i 1,5. Zatim ostaje samo da se izbroji zbir tri vrijednosti: 10, 12 i 15. Rezultat će biti 37 cm.
Odgovori. Obim je 37 cm.

Treći uslov. Postoji pravougaonik i kvadrat. Jedna strana pravougaonika je 4 cm, a druga 3 cm duža. Potrebno je izračunati vrijednost stranice kvadrata ako je njegov obim 6 cm manji od pravokutnika.
Rješenje. Druga strana pravougaonika je 7. Znajući to, lako je izračunati njegov obim. Proračun daje 22 cm.
Da biste saznali stranu kvadrata, prvo morate oduzeti 6 od obima pravokutnika, a zatim podijeliti rezultirajući broj sa 4. Kao rezultat, imamo broj 4.
Odgovori. Stranica kvadrata je 4 cm.

Sigurno je svako od nas u školi naučio tako važnu komponentu geometrije kao što je perimetar. Pronalaženje perimetra jednostavno je neophodno za rješavanje mnogih problema. Naš članak će vam reći kako pronaći perimetar.

Vrijedno je zapamtiti da je perimetar bilo koje figure gotovo uvijek zbir njenih strana. Pogledajmo nekoliko različitih geometrijskih oblika.

1. Pravougaonik je četvorougao čije su paralelne stranice u paru jednake. Ako je jedna strana X, a druga Y, dobijamo sljedeću formulu za pronalaženje perimetra ove figure:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Primjer rješavanja problema:

   Recimo da je stranica X = 5 cm, strana Y = 10 cm. Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu, dobijamo - P = 2*5 cm + 2* 10 cm = 30 cm.

2. Trapez je četverougao čije su dvije suprotne strane paralelne, ali nisu jednake. Opseg trapeza je zbir sve četiri njegove stranice:

   P = X+Y+Z+W, gdje su X, Y, Z, W stranice slike.

   Primjer rješavanja problema:

   Recimo da je stranica X = 5 cm, strana Y = 10 cm, strana Z = 8 cm, stranica W = 20 cm. Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu, dobijamo - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. Opseg kruga (opseg) može se izračunati pomoću formule:

   P = 2rπ = dπ, gdje je r polumjer kružnice, d je prečnik kružnice.

   Primjer rješavanja problema:

   Recimo da je poluprečnik r naše kružnice 5 cm, tada će prečnik d biti 2 * 5 cm = 10 cm. Poznato je da je π = 3,14. Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu, dobijamo - P = 2 * 5 cm * 3,14 = 31,4 cm.

4. Ako trebate pronaći obim trokuta, možete naići na brojne probleme dok to radite, jer trokuti mogu imati vrlo različite oblike. Na primjer, postoje akutni, tupi, jednakokračni, pravokutni ili jednakostrani trouglovi. Iako je formula za sve vrste trokuta:

   P = X+Y+Z, gdje su X, Y, Z stranice slike.

   Problem je u tome što kada rješavate mnoge probleme pronalaženja perimetra ove figure, nećete uvijek znati dužine svih strana. Na primjer, umjesto informacije o dužini jedne od stranica, možete imati stepen ugla ili dužinu visine određenog trougla. To će značajno zakomplicirati zadatak, ali neće učiniti njegovo rješenje nerealnim. Kako pronaći obim trougla, bez obzira na oblik, možete pročitati "".

5. Opseg takve figure kao što je romb nalazi se na isti način kao i obim kvadrata, jer je romb paralelogram koji ima jednake strane. Možete saznati kako pronaći obim kvadrata čitajući članak na našoj web stranici "".

   Sada znate kako pronaći stranu perimetra geometrijske figure koja vam je potrebna!

U sljedećem test zadataka Pronađite obim figure prikazane na slici.

Postoji mnogo načina za pronalaženje perimetra oblika. Možete transformirati izvorni oblik na takav način da se perimetar novog oblika može lako izračunati (na primjer, promijeniti u pravougaonik).

Drugo rješenje je tražiti obim figure direktno (kao zbir dužina svih njegovih strana). Ali u ovom slučaju se ne može osloniti samo na crtež, već se na osnovu podataka problema pronaći dužine segmenata.

Želim da vas upozorim: u jednom od zadataka, među predloženim odgovorima, nisam našao onaj koji mi je ispao.

c) .

Pomaknimo stranice malih pravougaonika iz unutrašnjeg područja u vanjsku. Kao rezultat toga, veliki pravougaonik je zatvoren. Formula za pronalaženje perimetra pravougaonika

U ovom slučaju, a=9a, b=3a+a=4a. Dakle, P=2(9a+4a)=26a. Obimu velikog pravougaonika dodajemo zbir dužina četiri segmenta, od kojih je svaki jednak 3a. Kao rezultat, P=26a+4∙3a= 38a .

c) .

Nakon prenošenja unutrašnjih stranica malih pravougaonika na spoljašnju površinu, dobijamo veliki pravougaonik, čiji je obim P=2(10x+6x)=32x, i četiri segmenta, dva dužine x, dva dužine 2x.

Ukupno, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Pomjerimo 6 horizontalnih "koraka" iznutra prema van. Opseg rezultujućeg velikog pravougaonika je P=2(6y+8y)=28y. Ostaje da se pronađe zbir dužina segmenata unutar pravougaonika 4y+6∙y=10y. Dakle, obim figure je P=28y+10y= 38g .

D) .

Pomaknimo vertikalne segmente iz unutrašnjeg područja figure ulijevo, u vanjsko područje. Da biste dobili veliki pravougaonik, pomaknite jednu od 4x dužine u donji lijevi ugao.

Opseg originalne figure nalazimo kao zbir opsega ovog velikog pravougaonika i dužina preostala tri segmenta P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

e) .

Pomicanjem unutrašnjih strana malih pravokutnika na vanjsko područje, dobivamo veliki kvadrat. Njegov perimetar je P=4∙10x=40x. Da biste dobili obim originalne figure, morate sabrati zbir dužina osam segmenata, svaki 3x dugačak, na opseg kvadrata. Ukupno, P=40x+8∙3x= 64x .

b) .

Premjestimo sve horizontalne "stepenice" i vertikalne gornje segmente na vanjsko područje. Opseg rezultujućeg pravougaonika je P=2(7y+4y)=22y. Da biste pronašli obim originalne figure, morate na opseg pravougaonika dodati zbir dužina četiri segmenta, svaki sa dužinom y: P=22y+4∙y= 26g .

D) .

Premjestite sve horizontalne linije iz unutrašnjeg područja u vanjsko područje i pomaknite dvije vertikalne vanjske linije u lijevom i desnom kutu, respektivno, z lijevo i desno. Kao rezultat, dobijamo veliki pravougaonik, čiji je obim P=2(11z+3z)=28z.

Opseg originalne figure jednak je zbiru opsega velikog pravougaonika i dužina šest segmenata u z: P=28z+6∙z= 34z .

b) .

Rješenje je potpuno slično rješenju prethodnog primjera. Nakon transformacije figure, nalazimo opseg velikog pravokutnika:

P=2(5z+3z)=16z. Obimu pravougaonika dodajemo zbir dužina preostalih šest segmenata, od kojih je svaki jednak z: P=16z+6∙z= 22z .

Geometrija se, ako se ne varam, u moje vrijeme izučavala od petog razreda i perimetar je bio i jeste jedan od ključnih pojmova. dakle, perimetar je zbir dužina svih strana (označeno latiničnim slovom P). Općenito, ovaj termin se tumači na različite načine, npr.

• ukupna dužina ivice figure,
• dužina svih njegovih strana,
• zbir dužina njegovih lica,
• dužina granične linije,
• zbir svih dužina stranica poligona

Različiti oblici imaju svoje formule za određivanje perimetra. Da bih razumio samo značenje, predlažem da samostalno izvedem nekoliko jednostavnih formula:

1. za kvadrat
2. za pravougaonik
3. za paralelogram
4. za kocku
5. za kutiju

Perimetar kvadrata

Na primjer, uzmimo najjednostavniji - perimetar kvadrata.

Sve strane kvadrata su jednake. Neka se onda jedna strana zove "a" (kao i ostale tri).

P = a + a + a + a

ili kompaktnije notacije

Perimetar pravokutnika

Zakomplikujmo zadatak i uzmimo pravougaonik. U ovom slučaju više nije moguće reći da su sve stranice jednake, pa neka su dužine stranica pravougaonika jednake a i b.

Tada će formula izgledati ovako:

P = a + b + a + b

Perimetar paralelograma

Slična situacija bit će i s paralelogramom (vidi perimetar pravokutnika)

perimetar kocke

Šta učiniti ako imamo posla s trodimenzionalnom figurom? Na primjer, uzmite kocku. Kocka ima 12 stranica i sve su jednake. Prema tome, obim kocke se može izračunati na sljedeći način:

Perimetar kutije

Pa, da bismo popravili materijal, izračunavamo perimetar paralelepipeda. Ovdje je potrebno malo razmisliti. Učinimo to zajedno. Kao što znamo, kvadar je figura čije su stranice pravokutnici. Svaki paralelepiped ima dvije baze. Uzmimo jednu od baza i pogledajmo njene stranice - one imaju dužine a i b. Prema tome, obim baze je P = 2a + 2b. Tada je obim dvije baze

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Ali imamo i "c" stranu. Dakle, formula za izračunavanje perimetra paralelepipeda će izgledati ovako:

P = 4a + 4b + 4c

Kao što možete vidjeti iz gornjih primjera, sve što treba učiniti da bi se odredio obim oblika je pronaći dužinu svake od strana, a zatim ih sabrati.

U zaključku, želio bih napomenuti da nema svaka figura perimetar. Na primjer, Sfera nema perimetar.