KINETIKA BIOLOŠKIH PROCESA

Kako se može opisati dinamika bioloških sistema? U svakom trenutku, biološki sistem ima skup određenih karakteristika. Na primjer, promatrajući populaciju vrste, možete zabilježiti njenu veličinu, površinu koju zauzima teritorija, količinu dostupne hrane, temperaturu okruženje itd. Curenje hemijska reakcija može se okarakterisati koncentracijama supstanci koje učestvuju, pritiskom, temperaturom i nivoom kiselosti medijuma. Skup vrijednosti svih karakteristika koje je istraživač odabrao da opiše sistem je stanje sistema u svakom trenutku. Prilikom kreiranja modela, varijable i parametri se biraju u navedenom skupu. Varijable su one veličine čije su promjene prvenstveno interesantne istraživača, parametri su uslovi „spoljnog okruženja“. Za odabrane varijable se sastavljaju jednačine koje odražavaju obrasce promjena u sistemu tokom vremena. Na primjer, kada se kreira model za rast kulture mikroorganizama, njen broj obično djeluje kao varijabla, a stopa reprodukcije kao parametar. Moguće je da će se temperatura na kojoj dolazi do rasta pokazati značajnom, tada je i ovaj pokazatelj uključen u model kao parametar. A ako je, na primjer, razina aeracije uvijek dovoljna i nema nikakvog utjecaja na procese rasta, onda ona uopće nije uključena u model. U pravilu, parametri ostaju nepromijenjeni tijekom eksperimenta, međutim, vrijedno je napomenuti da to nije uvijek slučaj.

Moguće je opisati dinamiku biološkog sistema (tj. promjenu njegovog stanja tokom vremena) koristeći i diskretne i kontinuirane modele. Diskretni modeli pretpostavljaju da je vrijeme diskretna količina. Ovo odgovara bilježenju vrijednosti varijabli u određenim fiksnim intervalima (na primjer, jednom na sat ili jednom godišnje). U kontinuiranim modelima, biološka varijabla je kontinuirana funkcija vremena, označena, na primjer, x(t).

Često veliki značaj imati početni uslovi modeli - stanje karakteristike koja se proučava u početnom trenutku vremena, tj. at t = 0.

Prilikom proučavanja kontinuirane promjene neke karakteristike x(t) možda znamo informacije o brzini njegove promjene. Ova informacija se općenito može napisati kao diferencijalna jednačina:

Takva formalna notacija znači da je stopa promjene neke karakteristike koja se proučava funkcija vremena i veličine ove karakteristike.

Ako desna strana diferencijalne jednadžbe oblika ne zavisi eksplicitno o vremenu, tj. fer:

tada se ova jednačina naziva autonomna(sistem opisan takvom jednačinom naziva se autonomna). Stanje autonomnih sistema u svakom trenutku vremena karakteriše jedna jedina vrednost - vrednost varijable x trenutno t.

Postavimo sebi pitanje: neka je data diferencijalna jednadžba za x(t), da li je moguće pronaći sve funkcije x(t) zadovoljava ovu jednačinu? Ili: ako je poznata početna vrijednost određene varijable (na primjer, početna veličina populacije, koncentracija tvari, električna provodljivost medija, itd.) i postoji informacija o prirodi promjene u ove varijable, da li je moguće predvidjeti kolika će biti njena vrijednost u svim narednim vremenima? Odgovor na postavljeno pitanje je sljedeći: ako su dani početni uvjeti za i ispunjeni uvjeti Cauchy teoreme za jednačinu (funkcija data u određenom području i njen parcijalni izvod su kontinuirani u ovom području), tada postoji je jedinstveno rješenje jednačine koje zadovoljava date početne uslove. (Podsjetimo se da se svaka kontinuirana funkcija koja zadovoljava diferencijalnu jednačinu naziva rješenjem te jednačine.) To znači da možemo jedinstveno predvidjeti ponašanje biološkog sistema ako su karakteristike njegovog početnog stanja poznate i jednačina modela zadovoljava uslove Cauchyjev teorem.

Stacionarno stanje. Održivost

Razmotrićemo autonomnu diferencijalnu jednačinu

U stacionarnom stanju, vrijednosti varijabli u sistemu se ne mijenjaju s vremenom, odnosno stopa promjene vrijednosti varijabli je 0: . Ako je lijeva strana jednačine (1.2) jednaka nuli, onda je i desna jednaka nuli: . Korijeni ove algebarske jednadžbe su stacionarna stanja diferencijalna jednadžba (1.2).

Primjer 1.1: Pronađite stacionarna stanja jednačine.

Rješenje: Pomaknimo pojam, koji ne sadrži izvod, na desnu stranu jednakosti: . Po definiciji, u stacionarnom stanju vrijedi sljedeća jednakost: . Dakle, jednakost mora postojati . Rješavamo jednačinu:

,

Dakle, jednadžba ima 3 stacionarna stanja: , .

Biološki sistemi konstantno doživljavaju različite vanjske utjecaje i brojne fluktuacije. Istovremeno, oni (biološki sistemi) imaju homeostazu, tj. otporan. Matematičkim jezikom to znači da se varijable, uz mala odstupanja, vraćaju na svoje stacionarne vrijednosti. Hoće li se ovakvo ponašanje biološkog sistema odraziti na njegov matematički model? Da li su stacionarna stanja modela stabilna?

Stabilno stanje je održivo, ako za dovoljno malo odstupanje od ravnotežnog položaja, sistem nikada neće otići daleko od singularne tačke. Stabilno stanje odgovara stabilnom režimu rada sistema.

Stanje ravnoteže jednadžbe je stabilno po Lyapunovu ako se za bilo koje uvijek može pronaći takav da ako , onda za sve .

Postoji analitička metoda za proučavanje stabilnosti Stabilno stanje– Metoda Ljapunova. Da bismo to potkrijepili, podsjećamo Taylor formula.

Slobodno govoreći, Taylorova formula pokazuje ponašanje funkcije u blizini određene tačke. Neka funkcija ima derivate u tački svih redova do n- th inclusive. Tada Taylorova formula vrijedi za:

Odbacivši preostali član, koji sam po sebi predstavlja infinitezimal višeg reda od , dobijamo približnu Taylorovu formulu:

Desna strana približne formule se zove Taylor polinom funkcije, označava se kao .

Primjer 1.2: Proširite funkciju u Taylorov niz u susjedstvu tačke do 4. reda.

Rješenje: Tejlorov niz do 4. reda pišemo u opštem obliku:

Nađimo derivate datu funkciju u tački:

,

Zamijenite dobivene vrijednosti u originalnu formulu:

Analitička metoda za proučavanje stabilnosti stacionarnog stanja ( Metoda Ljapunova) je kako slijedi. Neka je stacionarno stanje jednadžbe . Postavimo malo odstupanje varijable x od njegove stacionarne vrijednosti: , gdje je . Zamijenite izraz za tačku x u originalnu jednačinu: . Lijeva strana jednadžbe će imati oblik: , budući da je u stacionarnom stanju brzina promjene vrijednosti varijable jednaka nuli: . Proširujemo desnu stranu u Taylorov red u blizini stacionarnog stanja, uzimajući u obzir da , ostavljamo samo linearni član na desnoj strani jednačine:

Imam linearizovana jednačina ili jednačina prve aproksimacije. Postoji neka vrijednost konstantan, označimo ga a: . Opće rješenje linearizirane jednačine ima oblik: . Ovaj izraz opisuje zakon prema kojem će se odstupanje od stacionarnog stanja koje smo dali mijenjati s vremenom. Devijacija će vremenom opadati, tj. na , ako je eksponent u eksponentu negativan, tj. . Po definiciji, stabilno stanje će biti održivo. Ako je , tada će se s povećanjem vremena odstupanje samo povećavati, stacionarno stanje je nestabilno. U slučaju kada jednačina prve aproksimacije ne može dati odgovor na pitanje stabilnosti stacionarnog stanja. Neophodno je uzeti u obzir članove višeg reda u proširenju Taylorovog niza.

Pored analitičke metode proučavanja stabilnosti stacionarnog stanja, postoji i grafička.

Primjer 1.3. Neka . Nađite stacionarna stanja jednadžbe i odredite njihov tip stabilnosti koristeći graf funkcije .

Rješenje: Hajde da pronađemo posebne tačke:

,

,

Gradimo graf funkcije (slika 1.1).

Rice. 1.1. Grafikon funkcije (primjer 1.3).

Utvrdimo iz grafa da li je svako od pronađenih stacionarnih stanja stabilno. Postavimo malo odstupanje reprezentativne tačke od singularne tačke ulijevo: . U tački s koordinatom, funkcija uzima pozitivnu vrijednost: ili . Posljednja nejednakost znači da s vremenom koordinata treba da raste, odnosno da se reprezentativna tačka treba vratiti u tačku . Sada postavimo malo odstupanje reprezentativne tačke od singularne tačke udesno: . U ovom području, funkcija zadržava pozitivnu vrijednost, dakle, tokom vremena, koordinatu x takođe raste, odnosno reprezentativna tačka će se udaljiti od tačke. Dakle, malo odstupanje dovodi sistem iz stacionarnog stanja, pa je po definiciji singularna tačka nestabilna. Slično razmišljanje dovodi do činjenice da svako odstupanje od singularne tačke opada s vremenom, stacionarno stanje je stabilno. Odstupanje reprezentativne tačke u bilo kom pravcu od stacionarnog stanja dovodi do njenog uklanjanja iz tačke , ovo je nestabilno stacionarno stanje.

Rješavanje sistema linearnih diferencijalne jednadžbe

Okrenimo se proučavanju sistema jednačina, prvo linearnog. Generalno, sistem linearnih diferencijalnih jednadžbi se može predstaviti kao:

Analiza sistema jednačina počinje nalaženjem stacionarnih stanja. Za sisteme oblika (1.3), singularna tačka je jedinstvena, njene koordinate su (0,0). Izuzetak je degenerirani slučaj, kada se jednačine mogu predstaviti kao:

(1.3*)

U ovom slučaju, svi parovi koji zadovoljavaju relaciju su stacionarne tačke sistema (1.3*). Konkretno, tačka (0,0) je takođe stacionarna za sistem (1.3*). Na faznoj ravni, u ovom slučaju, imamo pravu liniju sa koeficijentom nagiba koja prolazi kroz ishodište, čija je svaka tačka singularna tačka sistema (1.3 *) (vidi tabelu 1.1, tačka 6).

Glavno pitanje na koje treba odgovoriti rezultat proučavanja sistema jednačina je da li je stacionarno stanje sistema stabilno i kakav karakter ovo rješenje ima (monotono ili nemonotono).

Zajednička odluka sistem dvije linearne jednadžbe ima oblik:

karakteristični brojevi može se izraziti u vidu koeficijenata linearnih jednačina na sljedeći način:

Karakteristični brojevi mogu biti 1) realni različitih predznaka, 2) realni istog predznaka, 3) kompleksno konjugirani, a takođe, u degenerisanim slučajevima, 4) čisto imaginarni, 5) realni koji se podudaraju, 6) realni, od kojih je jedan (ili oboje) nula. Ovi slučajevi određuju tip ponašanja rješenja sistema običnih diferencijalnih jednačina. Odgovarajući fazni portreti prikazani su u tabeli 1.1.

Tabela 1.1. Tipovi stacionarnih stanja sistema dve linearne diferencijalne jednadžbe i odgovarajući fazni portreti. Strelice pokazuju smjer kretanja reprezentativne točke

Konstrukcija faznih i kinetičkih portreta sistema dviju linearnih diferencijalnih jednačina

fazna ravan naziva se ravan s koordinatnim osa na kojoj su iscrtane vrijednosti varijabli x i y, svaka tačka ravni odgovara određenom stanju sistema. Skup tačaka na faznoj ravni, čiji položaj odgovara stanjima sistema u procesu promene varijabli u vremenu, prema datim jednačinama sistema koji se proučava, naziva se fazna putanja. Skup faznih putanja za različite početne vrijednosti varijabli daje portret sistema. Zgrada fazni portret omogućava vam da izvučete zaključke o prirodi promjena u varijablama x i y bez poznavanja analitičkih rješenja originalnog sistema jednačina.

Razmotrimo sistem linearnih diferencijalnih jednadžbi:

Izgradnja faznog portreta počinje izgradnjom glavne izokline(izoklina je linija duž koje nagib fazne krive (puterije), određene jednadžbom, ostaje konstantan). Za sistem od dvije linearne diferencijalne jednadžbe, to su uvijek prave linije koje prolaze kroz ishodište. Jednačina izokline horizontalnih tangenti: . Jednadžba izokline vertikalnih tangenti: . Za dalju konstrukciju faznog portreta korisno je konstruisati izoklinu tangenata koje prolaze pod uglom. Da bi se pronašla odgovarajuća jednačina izokline, potrebno je riješiti jednačinu . Također možete pronaći izokline tangenta drugih uglova, koristeći približne vrijednosti tangenta uglova. U konstruisanju faznog portreta može pomoći i odgovor na pitanje pod kojim uglom fazne trajektorije treba da preseku koordinatne ose. Da biste to učinili, u jednačini izoklina zamjenjujemo odgovarajuće jednakosti (da bismo odredili ugao presjeka sa osom OY) i (da bismo odredili ugao presjeka sa osom OX).

Primjer 1.4. Odredite vrstu singularne tačke sistema linearnih jednačina:

Konstruisati fazni i kinetički portret sistema.

Rješenje: Koordinate singularne tačke su (0,0). Koeficijenti linearnih jednadžbi su: , , , . Definirajmo tip stacionarnog stanja (pogledajte odjeljak o karakterističnim brojevima):

Dakle, karakteristični korijeni su imaginarni: dakle, singularna tačka razmatranog linearnog sistema ima tip centra (slika 1.2a).

Jednadžba izokline horizontalnih tangenta: , Jednačina izokline vertikalnih tangenta: . Pod uglom od 45°, putanje sistema seku pravu liniju .

Nakon konstruisanja faznog portreta potrebno je odrediti smjer kretanja po pronađenim putanjama. To se može uraditi na sljedeći način. Uzmite proizvoljnu tačku na bilo kojoj putanji. Na primjer, na izoklini horizontalnih tangenti (1,1). Zamenimo koordinate ove tačke u sistem jednačina. Dobijamo izraze za stope promjene varijabli x,y na ovom mjestu:

Dobijene vrijednosti pokazuju da je stopa promjene varijable x- negativan, odnosno njegova vrijednost treba da se smanji, a varijabla y se ne mijenja. Primljeni smjer označavamo strelicom. Dakle, u primjeru koji se razmatra, kretanje duž faznih trajektorija je usmjereno suprotno od kazaljke na satu. Zamjenom koordinata različitih tačaka u sistem, možete dobiti "kartu" pravaca brzina, tzv. vektorsko polje.

Slika 1.2. Fazni (a) i kinetički (b) portret sistema, primjer 1.4

Imajte na umu da je na izoklinali horizontalnih tangenta varijabla y dostiže svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost na datoj putanji. Naprotiv, na izoklinama vertikalnih tangenti, varijabla x.

Izgraditi kinetički portret sistema znači nacrtati zavisnost vrijednosti varijabli x,y od vremena. Fazni portret se može koristiti za izgradnju kinetičkog i obrnuto. Jedna fazna putanja odgovara jednom paru kinetičkih krivulja. Odaberimo proizvoljnu tačku na faznom portretu na proizvoljnoj faznoj putanji. Ovo je početna tačka koja odgovara vremenu. Ovisno o smjeru kretanja u sustavu koji se razmatra, vrijednosti varijabli x,y ili smanjiti ili povećati. Neka su koordinate početne tačke (1,1). Prema konstruisanom faznom portretu, počevši od ove tačke, moramo se kretati suprotno od kazaljke na satu, koordinate x i y dok će se oni smanjiti. Vremenom, koordinata x prolazi kroz 0, vrijednost y pritom ostajući pozitivni. Dalje koordinate x i y nastavlja da se smanjuje, koordinata y prolazi kroz 0 (vrijednost x dok je negativan). Vrijednost x dostiže svoju minimalnu vrijednost na izoklinali vertikalnih tangenti, a zatim počinje rasti. Vrijednost y dostigne svoju minimalnu vrijednost na izoklinali horizontalnih tangenti (vrijed x u ovom trenutku je negativan). Zatim i vrijednost x, i vrijednost y povećati, vraćajući se na početne vrijednosti (slika 1.2b).

Istraživanje stabilnosti stacionarnih stanja nelinearnih sistema drugog reda

Neka biološki sistem bude opisan sistemom dvije autonomne diferencijalne jednadžbe drugog reda opšti pogled:

Stacionarne vrijednosti sistemskih varijabli određuju se iz algebarskih jednačina:

U blizini svakog stacionarnog stanja može se razmotriti sistem prve aproksimacije(linearizovani sistem), čije proučavanje može omogućiti da se odgovori na pitanje stabilnosti singularne tačke i prirode faznih putanja u njenom malom okruženju.

vani

Imamo , , singularna tačka je gruba. Karakteristični korijeni sistema prve aproksimacije jednaki su , oba su realna i negativna, stoga će u blizini nulte singularne tačke ponašanje faznih putanja sistema odgovarati tipu stabilnog čvora.

Uvod

Budući da je koncept nelinearnog dinamičkog sistema dovoljno bogat da pokrije izuzetno širok spektar procesa u kojima je buduće ponašanje sistema određeno prošlošću, metode analize razvijene u ovoj oblasti korisne su u velikom broju konteksta.

Nelinearna dinamika ulazi u literaturu na najmanje tri načina. Prvo, postoje slučajevi u kojima se eksperimentalni podaci o promjeni jedne ili više veličina tokom vremena prikupljaju i analiziraju korištenjem tehnika zasnovanih na nelinearnoj dinamičkoj teoriji, uz minimalne pretpostavke o osnovnim jednačinama koje upravljaju procesom koji proizvodi podatke. Odnosno, to je slučaj u kojem se nastoji pronaći korelacije u podacima koje mogu voditi razvoj matematičkog modela, umjesto da se prvo nagađa model, a zatim se uspoređuje s podacima.

Drugo, postoje slučajevi u kojima se nelinearna dinamička teorija može koristiti da se kaže da neki pojednostavljeni model treba da pokaže važne karakteristike ovog sistema, iz čega proizlazi da se model koji opisuje može izgraditi i proučavati u širokom rasponu parametara. Ovo često rezultira modelima koji se ponašaju kvalitativno različito pod različitim parametrima i pokazuju da jedna regija pokazuje ponašanje koje je vrlo slično onom uočenom u stvarnom sistemu. U mnogim slučajevima, ponašanje modela je prilično osjetljivo na promjene parametara, pa ako se parametri modela mogu izmjeriti u realnom sistemu, model pokazuje realno ponašanje na ovim vrijednostima i može se biti siguran da model bilježi bitne karakteristike sistema.

Treće, postoje slučajevi kada se jednačine modela grade na osnovu detaljni opisi poznate fizike. Numerički eksperimenti tada mogu pružiti informacije o varijablama koje nisu dostupne fizičkim eksperimentima.

Na osnovu drugog puta, ovaj rad je produžetak mog prethodnog rada „Nelinearni dinamički model međuzavisnih industrija“, kao i drugog rada (Dmitriev, 2015.)

Sve potrebne definicije i druge teorijske informacije potrebne u radu će se po potrebi pojaviti u prvom poglavlju. Ovdje će biti date dvije definicije koje su neophodne za razotkrivanje same teme istraživanja.

Prvo, hajde da definišemo dinamiku sistema. Prema jednoj definiciji, dinamika sistema je pristup simulacijskom modeliranju koji, kroz svoje metode i alate, pomaže u procjeni strukture složeni sistemi i njihova dinamika (Šterman). Vrijedi dodati da je sistemska dinamika također tehnika modeliranja koja se koristi za ponovno kreiranje ispravnih (u smislu tačnosti) kompjuterskih modela za složene sisteme za njihovu buduću upotrebu u cilju stvaranja efikasnije kompanije/organizacije, kao i poboljšanja metoda interakciju sa ovim sistemom. Pretežno, potreba za sistemskom dinamikom javlja se kada se suoče sa dugoročnim, strateškim modelima, a takođe je vredno napomenuti da je ona prilično apstraktna.

Govoreći o nelinearnoj diferencijalnoj dinamici, razmotrićemo nelinearni sistem, koji je po definiciji sistem u kome promena rezultata nije proporcionalna promeni ulaznih parametara i u kojem funkcija opisuje zavisnost promene vremena i položaja tačke u prostoru (Boeing, 2016).

Na osnovu gore navedenih definicija postaje jasno da ovo djelo razmatraće različite nelinearne diferencijalne sisteme koji opisuju interakciju kompanija, kao i simulacione modele izgrađene na njihovoj osnovi. Na osnovu toga će se odrediti svrha rada.

Stoga je svrha ovog rada da se izvrši kvalitativna analiza dinamičkih sistema koji opisuju interakciju kompanija u prvoj aproksimaciji i na osnovu njih izgradi simulacijski model.

Da bi se postigao ovaj cilj, identifikovani su sledeći zadaci:

Određivanje stabilnosti sistema.

Izrada faznih portreta.

Pronalaženje integralnih putanja sistema.

Izgradnja simulacijskih modela.

Svaki od ovih zadataka će biti posvećen jednom od dijelova svakog poglavlja rada.

Na osnovu prakse, izgradnja fundamentalnih matematičkih struktura koje efikasno modeliraju dinamiku u različitim fizičkim sistemima i procesima, ukazuje da odgovarajući matematički model u određenoj mjeri odražava blizinu originala koji se proučava, kada je njegov karakteristike može se izvesti iz svojstava i strukture tipa kretanja koji formira dinamiku sistema. Ekonomska nauka je do danas u fazi svog razvoja, u kojoj se u njoj posebno efikasno koriste nove, a u mnogim slučajevima i nestandardne metode i metode fizičko-matematičkog modeliranja. ekonomskim procesima. Iz toga slijedi zaključak o potrebi kreiranja, proučavanja i izgradnje modela koji na neki način mogu opisati ekonomsku situaciju.

Što se tiče razloga za odabir kvalitativne, a ne kvantitativne analize, valja napomenuti da se u velikoj većini slučajeva rezultati i zaključci kvalitativne analize dinamičkih sistema pokazuju značajnijim od rezultata njihove kvantitativne analize. U takvoj situaciji primjereno je ukazati na izjave V.P. Milovanov, u kojem navodi da tradicionalno smatraju da rezultate koji se očekuju primjenom matematičkih metoda na analizu stvarnih objekata treba svesti na numerički rezultat. U tom smislu, kvalitativne metode imaju nešto drugačiji zadatak. Fokusira se na postizanje rezultata koji opisuje kvalitet sistema, na traženje karakterističnih karakteristika svih pojava u cjelini, na predviđanje. Naravno, važno je razumjeti kako će se potražnja promijeniti kada se cijene određene vrste robe mijenjaju, ali ne zaboravite da je mnogo važnije razumjeti da li će u takvim uslovima doći do nestašice ili viška ove robe (Dmitriev , 2016).

Predmet ovog istraživanja je nelinearna diferencijalna i sistemska dinamika.

U ovom slučaju, predmet istraživanja je opis procesa interakcije između kompanija kroz nelinearnu diferencijalnu i sistemsku dinamiku.

Govoreći o praktičnoj primjeni studije, vrijedi je odmah podijeliti na dva dijela. Naime, teorijska, odnosno kvalitativna analiza sistema i praktična, u kojoj će se razmatrati konstrukcija simulacionih modela.

Teorijski dio ove studije daje osnovne pojmove i fenomene. Razmatra jednostavne diferencijalne sisteme, kao u radovima mnogih drugih autora (Teschl, 2012; Nolte, 2015), ali istovremeno omogućava opisivanje interakcije između kompanija. Na osnovu toga, u budućnosti će biti moguće sprovesti dublje studije, ili pak započeti svoje upoznavanje sa onim što čini kvalitativnu analizu sistema.

Praktični dio rada može se iskoristiti za kreiranje sistema za podršku odlučivanju. Sistem za podršku odlučivanju - automatizovan Informacioni sistem, koji ima za cilj podršku poslovanju ili donošenju odluka u organizaciji, omogućavajući vam da birate između mnogo različitih alternativa (Keen, 1980). Čak i ako modeli trenutno nisu baš precizni, ali mijenjajući ih za određenu kompaniju, možete postići preciznije rezultate. Dakle, kada se u njima mijenjaju različiti parametri i uvjeti koji se mogu pojaviti na tržištu, možete dobiti prognozu za budućnost i unaprijed donijeti isplativiju odluku.

1. Interakcija kompanija u uslovima mutualizma

U radu će biti predstavljeni dvodimenzionalni sistemi koji su prilično jednostavni u poređenju sa sistemima višeg reda, ali nam istovremeno omogućavaju da demonstriramo odnose između organizacija koji su nam potrebni.

Vrijedno je započeti rad s odabirom vrste interakcije, koja će biti opisana u budućnosti, jer se za svaki od tipova sistemi koji ih opisuju, iako malo, različiti. Na slici 1.1 prikazana je klasifikacija Eujima Oduma za interakciju stanovništva modifikovana za ekonomsku interakciju (Odum, 1968), na osnovu koje ćemo dalje razmatrati interakciju kompanija.

Slika 1.1. Vrste interakcije između preduzeća

Na osnovu slike 1.1 izdvajamo 4 tipa interakcije i za svaku od njih predstavljamo sistem jednačina koji ih opisuje na osnovu Malthusovog modela (Malthus, 1798). Prema njemu, stopa rasta je proporcionalna trenutnoj brojnosti vrste, drugim riječima, može se opisati sljedećom diferencijalnom jednačinom:

gdje je a parametar koji zavisi od prirodnog priraštaja stanovništva. Također je vrijedno dodati da u sistemima koji se razmatraju u nastavku, svi parametri, kao i varijable, imaju nenegativne vrijednosti.

Proizvodnja sirovina je proizvodnja proizvoda, koja je slična modelu grabežljivac-plijen. Model grabežljivac-plijen, također poznat kao Lotka-Volterra model, je par nelinearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje opisuju dinamiku biološkog sistema s dvije vrste, od kojih je jedna grabežljivac, a druga plijen (Llibre , 2007). Promjena brojnosti ovih vrsta opisana je sljedećim sistemom jednadžbi:

(1.2)

gdje - karakterizira rast proizvodnje prvog poduzeća bez utjecaja drugog (u slučaju modela grabežljivac-plijen, rast populacije plijena bez predatora),

Karakteriše rast proizvodnje drugog preduzeća bez uticaja prvog (rast populacije grabežljivaca bez plijena),

Karakterizira rast proizvodnje prvog poduzeća, uzimajući u obzir utjecaj drugog poduzeća na njega (povećanje broja plijena u interakciji s grabežljivcima),

Karakteriše rast proizvodnje drugog preduzeća, uzimajući u obzir uticaj prvog preduzeća na njega (povećanje broja predatora tokom njihove interakcije sa žrtvama).

Na primjer, predatora, kao što se vidi iz sistema, kao i Odumove klasifikacije, njihova interakcija nameće povoljan efekat. S druge strane nepovoljno. Ako se posmatra u ekonomskim realnostima, tada je, kao što se može vidjeti na slici, najjednostavniji analog proizvođač i njegov dobavljač resursa, koji odgovaraju grabežljivcu i plijeni. Dakle, u nedostatku sirovina, proizvodnja opada eksponencijalno.

Konkurencija je rivalstvo između dvije ili više (u našem slučaju razmatramo dvodimenzionalne sisteme, pa uzimamo upravo konkurenciju dvije vrste) vrsta, ekonomskih grupa za teritorije, ograničenih resursa ili drugih vrijednosti (Elton, 1968). Promjene u broju vrsta, odnosno u broju proizvoda u našem slučaju, opisane su sistemom u nastavku:

(1.3)

U ovom slučaju vrste ili kompanije koje proizvode jedan proizvod negativno utiču jedna na drugu. Odnosno, u nedostatku konkurenta, rast proizvoda će se eksponencijalno povećati.

Sada pređimo na simbiotičku interakciju, u kojoj oba preduzeća imaju pozitivan uticaj jedno na drugo. Počnimo sa mutualizmom. Mutualizam je vrsta odnosa između različitih vrsta u kojoj svaka od njih ima koristi od djelovanja druge, a vrijedno je napomenuti da je prisustvo partnera neophodan uvjet za postojanje (Thompson, 2005). Ovu vrstu odnosa opisuje sistem:

(1.4)

Budući da je interakcija između kompanija neophodna za njihovo postojanje, u nedostatku proizvoda jedne kompanije, proizvodnja robe druge kompanije opada eksponencijalno. To je moguće kada kompanije jednostavno nemaju druge alternative za nabavku.

Razmotrimo još jednu vrstu simbiotske interakcije, protokooperaciju. Protokooperacija je slična mutualizmu, s tim da nema potrebe za postojanjem partnera, jer, na primjer, postoje druge alternative. Budući da su slični, njihovi sistemi izgledaju gotovo identično jedan drugom:

(1.5)

Dakle, odsustvo proizvoda jedne kompanije ne ometa rast proizvoda druge kompanije.

Naravno, pored onih navedenih u paragrafima 3 i 4, mogu se uočiti i druge vrste simbiotskih odnosa: komenzalizam i amensalizam (Hanski, 1999). Ali oni se neće dalje spominjati, budući da je u komenzalizmu jedan od partnera ravnodušan prema njegovoj interakciji s drugim, ali ipak razmatramo slučajeve u kojima postoji utjecaj. A amensalizam se ne razmatra, jer sa ekonomske tačke gledišta, takvi odnosi, kada njihova interakcija šteti jednom, a drugome je ravnodušna, jednostavno ne mogu postojati.

Na osnovu uticaja kompanija jednih na druge, odnosno činjenice da simbiotski odnosi dovode do stabilnog suživota kompanija, u ovom radu ćemo razmatrati samo slučajeve mutualizma i protokooperacije, jer je u oba slučaja interakcija korisna za sve.

Ovo poglavlje je posvećeno interakciji kompanija u uslovima mutualizma. Razmatraće se dva sistema koji su dalji razvoj sistema zasnovanih na Maltusovom modelu, odnosno sistemi sa nametnutim ograničenjima povećanja proizvodnje.

Dinamika para povezanog mutualističkim odnosima, kao što je gore spomenuto, može se opisati u prvoj aproksimaciji sistemom:

(1.6)

Vidi se da sa velikom početnom količinom proizvodnje sistem raste beskonačno, a sa malim količinama proizvodnja pada. U tome leži netačnost bilinearnog opisa efekta koji proizlazi iz mutualizma. Da bismo pokušali ispraviti sliku, uvodimo faktor koji liči na zasićenost grabežljivca, odnosno faktor koji će smanjiti stopu rasta proizvodnje, ako je ona u višku. U ovom slučaju dolazimo do sljedećeg sistema:

(1.7)

gdje je rast proizvodnje proizvoda prve kompanije u njenoj interakciji sa drugom, uzimajući u obzir zasićenje,

Rast proizvodnje proizvoda druge kompanije u njenoj interakciji sa prvom, uzimajući u obzir zasićenje,

Koeficijenti zasićenja.

Tako smo dobili dva sistema: Maltuzijanski model rasta sa i bez zasićenja.

1.1 Stabilnost sistema u prvoj aproksimaciji

Stabilnost sistema u prvoj aproksimaciji razmatra se u mnogim stranim (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 i drugi) i radovima na ruskom jeziku (Ahromeyeva, 1992; Bellman, 1954; 1967, 1967; Krasovsky, 1959 i drugi), a njegovo definisanje je osnovni korak za analizu procesa koji se dešavaju u sistemu. Da biste to učinili, izvršite sljedeće neophodne korake:

Nađimo ravnotežne tačke.

Hajde da pronađemo Jacobian matricu sistema.

Nađite svojstvene vrijednosti Jacobian matrice.

Klasifikujemo tačke ravnoteže prema teoremi Ljapunova.

Nakon što smo razmotrili korake, vrijedi se detaljnije zadržati na njihovom objašnjenju, pa ću dati definicije i opisati metode koje ćemo koristiti u svakom od ovih koraka.

Prvi korak, traženje ravnotežnih tačaka. Da bismo ih pronašli, svaku funkciju izjednačavamo sa nulom. Odnosno, rešavamo sistem:

gdje a i b znače sve parametre jednačine.

Sljedeći korak je pronalaženje Jacobian matrice. U našem slučaju, ovo će biti matrica 2 po 2 sa prvim derivatima u nekom trenutku, kao što je prikazano u nastavku:

Nakon što završimo prva dva koraka, prelazimo na pronalaženje korijena sljedeće karakteristične jednadžbe:

Gdje tačka odgovara ravnotežnim tačkama pronađenim u prvom koraku.

Nakon što smo pronašli i , prelazimo na četvrti korak i koristimo sljedeće Ljapunovljeve teoreme (Parks, 1992):

Teorema 1: Ako svi korijeni karakteristične jednadžbe imaju negativan realni dio, tada je ravnotežna tačka koja odgovara originalnom i lineariziranom sistemu asimptotski stabilna.

Teorema 2: Ako barem jedan od korijena karakteristične jednadžbe ima pozitivan realni dio, tada je ravnotežna tačka koja odgovara originalnom i lineariziranom sistemu asimptotski nestabilna.

Također, gledajući i moguće je preciznije odrediti vrstu stabilnosti, na osnovu podjele prikazane na slikama 1.2 (Univerzitet Lamar).

Slika 1.2. Vrste stabilnosti ravnotežnih tačaka

Uzimajući u obzir potrebne teorijske informacije, prelazimo na analizu sistema.

Zamislite sistem bez zasićenja:

Vrlo je jednostavan i nije pogodan za praktičnu upotrebu, jer nema ograničenja. Ali kao prvi primjer sistemske analize je pogodan za razmatranje.

Prvo, hajde da pronađemo tačke ravnoteže tako što ćemo desnu stranu jednadžbe izjednačiti sa nulom. Dakle, nalazimo dvije ravnotežne tačke, nazovimo ih A i B: .

Kombinirajmo korak s potragom za Jacobian matricom, korijenima karakteristične jednadžbe i određivanjem tipa stabilnosti. Pošto su elementarne, odmah dobijamo odgovor:

1. U tački , , nalazi se stabilan čvor.

u trenutku: ...sedlo.

Kao što sam već napisao, ovaj sistem je previše trivijalan, tako da nije bilo potrebno objašnjenje.

Sada analizirajmo sistem od zasićenja:

(1.9)

Pojava ograničenja na međusobno zasićenje proizvoda od strane preduzeća približava nas stvarnoj slici onoga što se dešava, a takođe malo komplikuje sistem.

Kao i ranije, izjednačavamo prave dijelove sistema sa nulom i rješavamo rezultirajući sistem. Tačka je ostala nepromijenjena, ali druga točka u ovom slučaju sadrži više parametara nego prije: .

U ovom slučaju, Jacobijeva matrica ima sljedeći oblik:

Oduzmite od nje matricu identiteta pomnoženu sa , i izjednačite determinantu rezultujuće matrice u tačkama A i B sa nulom.

Na tački slične rane slike:

stabilan čvor.

Ali u točki sve je nešto složenije, a iako je matematika još uvijek prilično jednostavna, složenost uzrokuje neugodnost rada s dugim literalnim izrazima. Pošto se ispostavi da su vrijednosti prilično dugačke i nezgodno zapisane, one nisu date, dovoljno je reći da je u ovom slučaju, kao i kod prethodnog sistema, dobijena vrsta stabilnosti sedlo.

2 Fazni portreti sistema

Velika većina nelinearnih dinamičkih modela su složene diferencijalne jednadžbe koje se ili ne mogu riješiti, ili je to neka vrsta složenosti. Primjer je sistem iz prethodnog odjeljka. Uprkos prividnoj jednostavnosti, pronalaženje vrste stabilnosti u drugoj tački ravnoteže nije bio lak zadatak (iako ne sa matematičke tačke gledišta), a sa povećanjem parametara, ograničenja i jednačina za povećanje broja preduzeća u interakciji, složenost će se samo povećati. Naravno, ako su parametri numerički izrazi, onda će sve postati nevjerovatno jednostavno, ali tada će analiza nekako izgubiti svaki smisao, jer ćemo na kraju moći pronaći ravnotežne točke i saznati njihove tipove stabilnosti samo za određeni slučaj, a ne opšti.

U takvim slučajevima vrijedi se sjetiti fazne ravni i faznih portreta. U primijenjenoj matematici, posebno u kontekstu analize nelinearnih sistema, fazna ravan je vizualni prikaz određenih karakteristika određenih tipova diferencijalnih jednačina (Nolte, 2015). Koordinatna ravan sa osovinama vrijednosti bilo kojeg para varijabli koje karakteriziraju stanje sistema - dvodimenzionalni slučaj zajedničkog n-dimenzionalnog faznog prostora.

Zahvaljujući faznoj ravni moguće je grafički odrediti postojanje graničnih ciklusa u rješenjima diferencijalne jednadžbe.

Rješenja diferencijalne jednadžbe su porodica funkcija. Grafički, ovo se može prikazati u faznoj ravni kao dvodimenzionalno vektorsko polje. Na ravni su nacrtani vektori koji predstavljaju derivacije u karakterističnim tačkama u odnosu na neki parametar, u našem slučaju, s obzirom na vrijeme, odnosno (). Sa dovoljno ovih strelica u jednom području, ponašanje sistema se može vizualizirati i granični ciklusi se mogu lako identificirati (Boeing, 2016).

Vektorsko polje je fazni portret, određena putanja duž linije toka (tj. putanja koja je uvijek tangentna na vektore) je fazna putanja. Tokovi u vektorskom polju ukazuju na promjenu sistema tokom vremena, opisanu diferencijalnom jednačinom (Jordan, 2007).

Vrijedi napomenuti da se fazni portret može izgraditi čak i bez rješavanja diferencijalne jednadžbe, a u isto vrijeme, dobra vizualizacija može pružiti mnogo korisne informacije. Osim toga, u ovom trenutku postoji mnogo programa koji mogu pomoći u izgradnji faznih dijagrama.

Stoga su fazne ravni korisne za vizualizaciju ponašanja fizičkih sistema. Konkretno, oscilatorni sistemi, kao što je već spomenuti model predator-plijen. U ovim modelima, fazne trajektorije se mogu "uvijati" prema nuli, "izaći iz spirale" u beskonačnost ili doseći neutralnu stabilnu situaciju koja se zove centri. Ovo je korisno u određivanju da li je dinamika stabilna ili ne (Jordan, 2007).

Fazni portreti predstavljeni u ovom odeljku biće napravljeni pomoću alata WolframAlpha ili će biti obezbeđeni iz drugih izvora. Maltuzijanski model rasta bez zasićenja.

Hajde da napravimo fazni portret prvog sistema sa tri skupa parametara da uporedimo njihovo ponašanje. Set A ((1,1), (1,1)), koji će se nazivati ​​pojedinačnim skupom, set B ((10,0.1), (2,2)), kada je odabran, sistem doživljava oštar pad proizvodnje, i skup C ((1,10), (1,10)) za koji se, naprotiv, javlja nagli i neograničeni rast. Treba napomenuti da će vrijednosti duž osi u svim slučajevima biti u istim intervalima od -10 do 10, radi pogodnosti međusobnog poređenja faznih dijagrama. Naravno, ovo se ne odnosi na kvalitativni portret sistema čije su ose bezdimenzionalne.

Slika 1.3 Fazni portret sa parametrima A

diferencijalna granična jednadžba uzajamnosti

Slika 1.3 iznad prikazuje fazne portrete sistema za tri specificirana skupa parametara, kao i fazni portret koji opisuje kvalitativno ponašanje sistema. Ne zaboravite da je sa praktične tačke gledišta najvažniji prvi kvartal, jer je količina proizvodnje, koja može biti samo nenegativna, naša osovina.

Na svakoj od slika jasno je vidljiva stabilnost u tački ravnoteže (0,0). I na prvoj slici, „tačka sedla“ je također uočljiva u tački (1,1), drugim riječima, ako u sistem zamijenimo vrijednosti skupa parametara, onda u tački ravnoteže B. Kada se promijene granice konstrukcije modela, sedlo se nalazi i na drugim faznim portretima.

Maltuzijanski model rasta od zasićenja.

Konstruirajmo fazne dijagrame za drugi sistem, u kojem postoji zasićenje, sa tri nova skupa vrijednosti parametara. Set A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), skup B ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) i skup C ((20,1,100), (20,1,100) )).

Slika 1.4. Fazni portret sa parametrima A

Kao što vidite, za bilo koji skup parametara, tačka (0,0) je ravnotežna, a takođe i stabilna. Također na nekim slikama možete vidjeti sedlo.

U ovom slučaju su razmatrane različite skale kako bi se jasnije pokazalo da se čak i kada se sistemu doda faktor zasićenja, kvalitativna slika ne mijenja, odnosno samo zasićenje nije dovoljno. Treba uzeti u obzir da je u praksi kompanijama potrebna stabilnost, odnosno ako posmatramo nelinearne diferencijalne jednadžbe, onda nas najviše zanimaju stabilne ravnotežne tačke, a u tim sistemima samo nulte tačke su takve tačke, što znači da takvi matematički modeli očigledno nisu prikladni za preduzeća. Uostalom, to znači da su samo uz nultu proizvodnju kompanije u stabilnosti, što se jasno razlikuje od stvarne slike svijeta.

U matematici, integralna kriva je parametarska kriva koja predstavlja specifično rješenje obične diferencijalne jednačine ili sistema jednačina (Lang, 1972). Ako je diferencijalna jednadžba predstavljena kao vektorsko polje, tada su odgovarajuće integralne krive tangente na polje u svakoj tački.

Integralne krive su poznate i pod drugim nazivima, ovisno o prirodi i interpretaciji diferencijalne jednadžbe ili vektorskog polja. U fizici, integralne krive za električno polje ili magnetsko polje su poznate kao linije polja, a integralne krive za polje brzine fluida poznate su kao strujne linije. U dinamičkim sistemima, integralne krive za diferencijalnu jednačinu nazivaju se trajektorije.

Slika 1.5. Integralne krive

Rješenja bilo kojeg od sistema se također mogu smatrati jednadžbama integralnih krivulja. Očigledno, svaka fazna putanja je projekcija neke integralne krive u prostor x,y,t na faznu ravan.

Postoji nekoliko načina da se konstruišu integralne krive.

Jedna od njih je metoda izoklina. Izoklina je kriva koja prolazi kroz tačke u kojima će nagib funkcije koja se razmatra uvijek biti isti, bez obzira na početne uslove (Hanski, 1999).

Često se koristi kao grafička metoda za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi. Na primjer, u jednadžbi oblika y "= f (x, y), izokline su linije u (x, y) ravni koje se dobijaju izjednačavanjem f (x, y) sa konstantom. Ovo daje niz linija ( za različite konstante) duž kojih rješenja krivulja imaju isti gradijent. Izračunavanjem ovog gradijenta za svaku izoklinalu, polje nagiba se može vizualizirati, što čini relativno lakim crtanje približnih krivulja rješenja. Slika ispod prikazuje primjer korištenja metode izokline .

Slika 1.6. Izoklina metoda

Ova metoda ne zahtijeva kompjuterske proračune i bila je vrlo popularna u prošlosti. Sada postoje softverska rješenja koja će izuzetno precizno i ​​brzo izgraditi integralne krive na računarima. Međutim, i pored toga, metoda izokline se dobro pokazala kao alat za proučavanje ponašanja rješenja, jer omogućava da se prikažu područja tipičnog ponašanja integralnih krivulja.

Maltuzijanski model rasta bez zasićenja.

Počnimo s činjenicom da uprkos postojanju različitih metoda konstrukcije, nije tako lako prikazati integralne krive sistema jednačina. Ranije spomenuta izoklina metoda nije prikladna jer radi za diferencijalne jednadžbe prvog reda. A softverski alati koji imaju mogućnost crtanja takvih krivulja nisu u javnom domenu. Na primjer, Wolfram Mathematica, koja je sposobna za to, je plaćena. Stoga ćemo pokušati što više iskoristiti mogućnosti Wolfram Alpha, rad s kojim je opisan u raznim člancima i radovima (Orca, 2009). Čak i unatoč činjenici da slika očito neće biti sasvim pouzdana, ali će vam barem omogućiti da pokažete ovisnost u ravninama (x, t), (y, t). Prvo, riješimo svaku od jednadžbi za t. To jest, izvodimo zavisnost svake od varijabli u odnosu na vrijeme. Za ovaj sistem dobijamo:

(1.10)

(1.11)

Jednačine su simetrične, pa ćemo uzeti u obzir samo jednu od njih, odnosno x(t). Neka konstanta bude jednaka 1. U ovom slučaju koristićemo funkciju crtanja.

Slika 1.7. Trodimenzionalni model za jednačinu (1.10)

Maltuzijanski model rasta od zasićenja.

Uradimo isto za drugi model. Na kraju, dobijamo dve jednačine koje pokazuju zavisnost varijabli o vremenu.

(1.12)

(1.13)

Ponovo napravimo trodimenzionalni model i linije nivoa.

Slika 1.8. Trodimenzionalni model za jednačinu (1.12)

Pošto su vrijednosti varijabli nenegativne, onda u razlomku sa eksponentom dobijamo negativan broj. Dakle, integralna kriva opada s vremenom.

Ranije je data definicija dinamike sistema kako bi se razumjela suština rada, ali sada se zadržimo na tome detaljnije.

Dinamika sistema - metodologija i metod matematičko modeliranje za formiranje, razumijevanje i diskusiju o složenim problemima, koje je prvobitno razvio 1950-ih Jay Forrester i opisao u svom radu (Forrester, 1961).

Dinamika sistema je jedan aspekt teorije sistema kao metoda za razumijevanje dinamičkog ponašanja složenih sistema. Osnova metode je prepoznavanje da se struktura svakog sistema sastoji od brojnih odnosa između njegovih komponenti, koje su često jednako važne u određivanju njegovog ponašanja kao i same pojedinačne komponente. Primjeri su teorija haosa i društvena dinamika, opisana u radovima različitih autora (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznjecov, 2001; Tabor, 2001). Također se tvrdi da se, budući da se svojstva cjeline često ne mogu pronaći u svojstvima elementa, u nekim slučajevima ponašanje cjeline ne može objasniti u smislu ponašanja dijelova.

Simulacija zaista može pokazati cjelinu praktični značaj dinamički sistem. Iako je to moguće u proračunskim tabelama, postoji mnogo softverskih paketa koji su optimizirani posebno za ovu svrhu.

Samo modeliranje je proces stvaranja i analize prototipa fizičkog modela kako bi se predvidio njegov učinak u stvarnom svijetu. Simulacijsko modeliranje se koristi da pomogne dizajnerima i inženjerima da razumiju pod kojim uvjetima iu kojim slučajevima proces može propasti i koja opterećenja može izdržati (Khemdy, 2007). Simulacija također može pomoći u predviđanju ponašanja protoka tekućine i ostalog fizičke pojave. Model analizira približne radne uvjete zbog primijenjenog softvera za simulaciju (Strogalev, 2008).

Ograničenja mogućnosti simulacionog modeliranja imaju zajednički uzrok. Konstrukcija i numerički proračun tačnog modela garantuje uspeh samo u onim oblastima gde postoji egzaktna kvantitativna teorija, odnosno kada su poznate jednačine koje opisuju određene pojave, a zadatak je samo da se te jednačine reše sa potrebnom tačnošću. U onim oblastima u kojima ne postoji kvantitativna teorija, izgradnja egzaktnog modela ima ograničenu vrijednost (Bazykin, 2003).

Međutim, mogućnosti modeliranja nisu neograničene. Prije svega, to je zbog činjenice da je teško procijeniti obim primjenjivosti simulacionog modela, posebno vremenski period za koji se prognoza može izgraditi sa potrebnom tačnošću (Zakon, 2006). Osim toga, po svojoj prirodi, simulacijski model je vezan za određeni objekt, a kada se pokušava primijeniti na drugi, čak i sličan objekt, zahtijeva radikalno prilagođavanje ili, barem, značajnu modifikaciju.

Postoji opšti razlog za postojanje ograničenja simulacije. Konstrukcija i numerički proračun „tačnog” modela uspješan je samo ako postoji kvantitativna teorija, odnosno samo ako su poznate sve jednačine, a problem se svodi samo na rješavanje tih jednačina sa određenom točnošću (Bazykin, 2003).

Ali i pored toga, simulacijsko modeliranje je odličan alat za vizualizaciju dinamičkih procesa, omogućavajući, uz manje-više ispravan model, donošenje odluka na osnovu njegovih rezultata.

U ovom radu će se graditi modeli sistema pomoću alata za dinamiku sistema koje nudi program AnyLogic.

Maltuzijanski model rasta bez zasićenja/

Prije izgradnje modela potrebno je razmotriti elemente sistemske dinamike koje ćemo koristiti i povezati ih sa našim sistemom. Sljedeće definicije su preuzete iz informacija pomoći programa AnyLogic.

Pogon je glavni element dijagrama sistemske dinamike. Koriste se za predstavljanje objekata stvarnog svijeta u kojima se akumuliraju određeni resursi: novac, supstance, broj grupa ljudi, neki materijalni objekti itd. Akumulatori odražavaju statičko stanje simuliranog sistema, a njihove vrijednosti se mijenjaju tokom vremena u skladu sa tokovima koji postoje u sistemu. Iz toga slijedi da je dinamika sistema određena tokovima. Protoci koji ulaze i izlaze iz akumulatora povećavaju ili smanjuju vrijednosti akumulatora.

Protok je, kao i prethodno spomenuti pogon, glavni element sistemsko-dinamičkih dijagrama.

Dok kante definiraju statički dio sistema, tokovi određuju stopu promjene binova, odnosno kako se zalihe mijenjaju tokom vremena, a time određuju i dinamiku sistema.

Agent može sadržavati varijable. Varijable se obično koriste za modeliranje promjenjivih karakteristika agenta ili za pohranjivanje rezultata modela. Obično se dinamičke varijable sastoje od akumulatorskih funkcija.

Agent može imati parametre. Parametri se često koriste za predstavljanje nekih karakteristika modeliranog objekta. Oni su korisni kada instance objekta imaju isto ponašanje kao što je opisano u klasi, ali se razlikuju u nekim vrijednostima parametara. Postoji jasna razlika između varijabli i parametara. Varijabla predstavlja stanje modela i može se mijenjati tokom simulacije. Parametar se obično koristi za statički opis objekata. Tokom jednog "provođenja" modela, parametar je obično konstanta i mijenja se samo kada je potrebno rekonfigurirati ponašanje modela.

Veza je element sistemske dinamike koji se koristi za određivanje odnosa između elemenata dijagrama toka i akumulatora. On ne stvara automatski veze, već prisiljava korisnika da ih eksplicitno nacrta u grafičkom uređivaču (međutim, vrijedi napomenuti da AnyLogic takođe podržava mehanizam za brzo postavljanje veza koje nedostaju). Na primjer, ako se u jednadžbi spominje bilo koji element od A ili početna vrijednost elementa B, onda prvo trebate povezati ove elemente vezom koja ide od A do B, a tek onda unijeti izraz u svojstva B .

Postoje još neki elementi sistemske dinamike, ali oni neće biti uključeni u tok rada, pa ćemo ih izostaviti.

Za početak, razmotrimo od čega će se sastojati model sistema (1.4).

Prvo, odmah označavamo dva pogona, koji će sadržavati vrijednosti količine proizvodnje svakog od preduzeća.

Drugo, pošto imamo dva člana u svakoj jednačini, dobijamo dva toka prema svakom pogonu, jedan dolazni, drugi odlazni.

Treće, prelazimo na varijable i parametre. Postoje samo dvije varijable. X i Y, odgovorni za rast proizvodnje. Imamo i četiri opcije.

Četvrto, s obzirom na veze, svaki od tokova mora biti povezan sa varijablama i parametrima uključenim u jednadžbu protoka, a obje varijable moraju biti povezane s akumulatorima kako bi se vrijednost mijenjala tokom vremena.

Detaljan opis izgradnje modela, kao primjer rada u AnyLogic okruženju za modeliranje, ostavićemo za sljedeći sistem, budući da je on nešto složeniji i koristi više parametara, a odmah ćemo preći na razmatranje gotove verzije sistem.

Slika 1.9 ispod prikazuje konstruisani model:

Slika 1.9. Model sistemske dinamike za sistem (1.4)

Svi elementi dinamike sistema odgovaraju gore opisanim, tj. dva pogona, četiri toka (dva dolazna, dva odlazna), četiri parametra, dvije dinamičke varijable i potrebne veze.

Slika pokazuje da što je više proizvoda, to je njegov rast jači, što dovodi do naglog povećanja broja robe, što odgovara našem sistemu. No, kao što je ranije spomenuto, odsustvo ograničenja za ovaj rast ne dozvoljava primjenu ovog modela u praksi.

Maltuzijanski model rasta od zasićenja/

Razmatrajući ovaj sistem, zadržimo se na konstrukciji modela detaljnije.

Prvi korak je dodavanje dva diska, nazovimo ih X_stock i Y_stock. Svakom od njih dodjeljujemo početnu vrijednost 1. Imajte na umu da u odsustvu tokova u klasičnom zadata jednačina nema ništa u skladištu.

Slika 1.10. Izgradnja modela sistema (1.9)

Sljedeći korak je dodavanje niti. Napravimo dolazni i odlazni stream za svaki disk koristeći grafički editor. Ne smijemo zaboraviti da jedna od ivica toka mora biti u pogonu, inače neće biti spojene.

Možete vidjeti da je jednačina za pogon postavljena automatski, naravno, korisnik je može sam napisati odabirom „proizvoljnog“ načina jednadžbe, ali je najlakši način da ovu radnju prepustite programu.

Naš treći korak je dodavanje šest parametara i dvije dinamičke varijable. Hajde da svakom elementu damo ime u skladu sa njegovim literalnim izrazom u sistemu, a takođe postavimo početne vrednosti parametara na sledeći način: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0,2.

Svi elementi jednadžbi su prisutni, ostaje samo napisati jednadžbe za tokove, ali za to prvo morate dodati veze između elemenata. Na primjer, odlazni tok odgovoran za termin mora biti povezan sa e1 i x. I svaka dinamička varijabla mora biti povezana sa svojim odgovarajućim zalihama (X_stock x, Y_stock y). Kreiranje veza je slično dodavanju niti.

Nakon kreiranja potrebnih veza, možete nastaviti sa pisanjem jednadžbi za tokove, što je prikazano na desnoj slici. Naravno, možete ići obrnutim redoslijedom, ali ako postoje veze, prilikom pisanja jednadžbi pojavljuju se savjeti za zamjenu potrebnih parametara / varijabli, što olakšava zadatak u složenim modelima.

Nakon što završite sve korake, možete pokrenuti simulacijski model i pogledati njegov rezultat.

Razmatrajući sisteme nelinearnih diferencijalnih jednačina za interakciju kompanija u uslovima mutualizma, možemo izvući nekoliko zaključaka.

Postoje dva stanja sistema: nagli neograničeni rast, ili tendencija količine proizvodnje na nulu. Koje od ta dva stanja će sistem zauzeti zavisi od parametara.

Nijedan od predloženih modela, uključujući i model koji uzima u obzir zasićenje, nije pogodan za praktičnu upotrebu, zbog nedostatka stabilnog položaja različitog od nule, kao i zbog razloga opisanih u stavu 1.

U slučaju pokušaja daljeg proučavanja ove vrste simbiotske interakcije kako bi se kreirao model koji kompanije mogu primijeniti u praksi, potrebno je dodatno komplikovati sistem i uvesti nove parametre. Na primjer, Bazykin u svojoj knjizi daje primjer dinamike dvije mutualističke populacije uz uvođenje dodatnog faktora intraspecifične konkurencije. Zbog čega sistem poprima oblik:

(1.15)

I u ovom slučaju pojavljuje se stabilna pozicija sistema različita od nule, odvojena od nule „sedlom“, što ga približava stvarnoj slici onoga što se dešava.

2. Interakcija kompanija u uslovima protokooperacije

Sve osnovne teorijske informacije iznesene su u prethodnom poglavlju, pa će u analizi modela razmatranih u ovom poglavlju, uglavnom, teorija biti izostavljena, s izuzetkom nekoliko tačaka s kojima se nismo susreli u prethodnom poglavlju. poglavlje, a može doći i do smanjenja u proračunima. Model interakcije između organizacija razmatran u ovom poglavlju u uslovima protokooperacije, koji se sastoji od sistema od dve jednačine zasnovane na Maltuzijanskom modelu, izgleda kao sistem (1.5). Sistemi analizirani u prethodnom poglavlju pokazali su da je za njihovu maksimalnu aproksimaciju postojećim modelima potrebno komplikovati sisteme. Na osnovu ovih nalaza, modelu ćemo odmah dodati ograničenje rasta. Za razliku od prethodnog tipa interakcije, kada je rast koji ne zavisi od druge kompanije negativan, u ovom slučaju su svi znaci pozitivni, što znači da imamo konstantan rast. Izbjegavajući ranije opisane nedostatke, pokušat ćemo je ograničiti na logističku jednačinu, također poznatu kao Verhulstova jednačina (Gershenfeld, 1999), koja ima sljedeći oblik:

, (2.1)

gdje je P veličina populacije, r je parametar koji pokazuje stopu rasta, K je parametar odgovoran za maksimalnu moguću veličinu populacije. Odnosno, vremenom će veličina populacije (u našem slučaju proizvodnja) težiti određenom parametru K.

Ova jednačina će pomoći da se obuzda nagli rast proizvodnje koji smo do sada vidjeli. Dakle, sistem ima sljedeći oblik:

(2.2)

Ne zaboravite da je količina uskladištene robe u skladištu za svaku kompaniju različita, pa su i parametri koji ograničavaju rast različiti. Nazovimo ovaj sistem "", i u budućnosti ćemo koristiti ovo ime kada ga budemo razmatrali.

Drugi sistem koji ćemo razmotriti je dalji razvoj modeli sa ograničenjem Verhulst. Kao iu prethodnom poglavlju, uvodimo ograničenje zasićenja, tada će sistem poprimiti oblik:

(2.3)

Sada svaki od pojmova ima svoju granicu, pa se bez dalje analize može vidjeti da neće biti neograničenog rasta, kao u modelima iz prethodnog poglavlja. A pošto svaki od pojmova pokazuje pozitivan rast, onda količina proizvodnje neće pasti na nulu. Nazovimo ovaj model “model protooperacije sa dva ograničenja”.

Ova dva modela raspravljaju se u različitim izvorima o biološkim populacijama. Sada ćemo pokušati donekle proširiti sisteme. Da biste to učinili, razmotrite sljedeću sliku.

Na slici je prikazan primjer procesa dvije kompanije: industrije čelika i uglja. U oba preduzeća postoji rast proizvodnje koji je nezavisan od drugog, a takođe postoji i povećanje proizvodnje koje se postiže njihovom interakcijom. To smo već uzeli u obzir u ranijim modelima. Sada je vrijedno obratiti pažnju na činjenicu da kompanije ne samo da proizvode proizvode, već ih i prodaju, na primjer, tržištu ili kompaniji koja s njim komunicira. One. na osnovu logičnih zaključaka, postoji potreba za negativnim rastom preduzeća zbog prodaje proizvoda (na slici su za to zaslužni parametri β1 i β2), kao i zbog prenošenja dijela proizvodnje na drugo preduzeće. . Ranije smo to uzimali u obzir samo sa pozitivnim predznakom za drugu kompaniju, ali nismo uzeli u obzir činjenicu da se broj proizvoda smanjuje za prvo preduzeće prilikom prenosa proizvoda. U ovom slučaju dobijamo sistem:

(2.4)

A ako se za pojam može reći da ako je u prethodnim modelima naznačeno da karakterizira prirodni priraštaj, a parametar može biti negativan, onda praktički nema razlike, onda o pojmu ovo se ne može reći. Osim toga, u budućnosti, kada se razmatra takav sistem sa ograničenjem nametnutim na njega, ispravnije je koristiti pojmove pozitivnog i negativnog rasta, jer im se u ovom slučaju mogu nametnuti različita ograničenja, što je nemoguće za prirodne rast. Nazovimo to "model proširene proto-saradnje".

Konačno, četvrti model koji se razmatra je prošireni model proto-kooperacije sa prethodno navedenim ograničenjem logističkog rasta. A sistem za ovaj model je sljedeći:

, (2.5)

gdje je povećanje proizvodnje prvog preduzeća, nezavisno od drugog, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - povećanje proizvodnje prvog preduzeća, zavisno od drugog, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - povećanje proizvodnje drugog preduzeća, nezavisno od prvog, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - povećanje proizvodnje drugog preduzeća, u zavisnosti od prvog, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - potrošnju robe prve kompanije, koja nije vezana za drugu, - potrošnju robe druge kompanije, koja nije povezana sa drugom , - potrošnja robe prve industrije od strane druge industrije, - potrošnja dobara druge industrije prva industrija.

U budućnosti će se ovaj model nazivati ​​"prošireni protooperacijski model sa logističkim ograničenjem".

1 Stabilnost sistema u prvoj aproksimaciji

Protooperacijski model s ograničenjem Verhulsta

Metode za analizu stabilnosti sistema navedene su u sličnom dijelu prethodnog poglavlja. Prije svega, nalazimo ravnotežne tačke. Jedan od njih je, kao i uvek, nula. Druga je tačka sa koordinatama.

Za nultu tačku λ1 = , λ2 = , pošto su oba parametra nenegativna, dobijamo nestabilan čvor.

Pošto nije baš zgodno raditi sa drugom tačkom, zbog nedostatka mogućnosti skraćivanja izraza, definiciju tipa stabilnosti prepustićemo faznim dijagramima, jer oni jasno pokazuju da li je ravnotežna tačka stabilna. ili ne.

Analiza ovog sistema je komplikovanija od prethodne zbog činjenice da se dodaje faktor zasićenja, pa se tako pojavljuju novi parametri, a pri pronalaženju tačaka ravnoteže biće potrebno rešiti ne linearnu, već bilinearnu jednačinu zbog varijabla u nazivniku. Stoga, kao iu prethodnom slučaju, definiciju tipa stabilnosti prepuštamo faznim dijagramima.

Uprkos pojavi novih parametara, Jakobijan u nultoj tački, kao i korijeni karakteristične jednadžbe, izgledaju slično prethodnom modelu. Dakle, u nultoj tački, nestabilan čvor.

Pređimo na napredne modele. Prvi od njih ne sadrži nikakva ograničenja i ima oblik sistema (2.4)

Napravimo promjenu varijabli, , i . Novi sistem:

(2.6)

U ovom slučaju dobijamo dve tačke ravnoteže, tačku A(0,0), B(). Tačka B leži u prvom kvartalu jer varijable imaju nenegativnu vrijednost.

Za tačku ravnoteže A dobijamo:

. - nestabilan čvor

. - sedlo,

. - sedlo,

. - stabilan čvor

U tački B, korijeni karakteristične jednadžbe su kompleksni brojevi: λ1 = , λ2 = . Ne možemo odrediti vrstu stabilnosti oslanjajući se na Ljapunovljeve teoreme, pa ćemo provesti numeričke simulacije koje neće pokazati sva moguća stanja, ali će nam omogućiti da saznamo barem neka od njih.

Slika 2.2. Numerička simulacija traženja tipa stabilnosti

Uzimajući u obzir ovaj model, morat će se suočiti s računskim poteškoćama, jer ima veliki broj različitih parametara, kao i dva ograničenja.

Ne ulazeći u detalje proračuna, dolazimo do sljedećih tačaka ravnoteže. Tačka A(0,0) i tačka B sa sljedećim koordinatama:

(), gdje je a =

Za tačku A određivanje tipa stabilnosti je trivijalan zadatak. Korijeni karakteristične jednadžbe su λ1 = , λ2 = . Tako dobijamo četiri opcije:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - nestabilan čvor.

2.λ1< 0, λ2 >0 - sedlo.

3. λ1 ​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Govoreći o tački B, vrijedi se složiti da će zamjena skraćenica u izraz za to zakomplicirati rad s Jacobianom i pronalaženje korijena karakteristične jednadžbe. Na primjer, nakon pokušaja da ih pronađe pomoću računarskih alata WolframAlpha, izlaz korijena je trajao oko pet redaka, što ne dozvoljava rad s njima u doslovnom smislu. Naravno, ako već postoje parametri, čini se da je moguće brzo pronaći ravnotežnu tačku, ali ovo je poseban slučaj, jer ćemo ravnotežno stanje, ako ga ima, pronaći samo za ove parametre, što nije pogodno za odluku sistem podrške za koji se planira kreirati model.

Zbog složenosti rada sa korijenima karakteristične jednačine, konstruiramo međusobni raspored nul-izoklina po analogiji sa sistemom analiziranim u Bazykinovom radu (Bazykin, 2003). To će nam omogućiti da razmotrimo moguća stanja sistema i da u budućnosti, prilikom konstruisanja faznih portreta, pronađemo tačke ravnoteže i tipove njihove stabilnosti.

Nakon nekih proračuna, nulte-izokliničke jednadžbe poprimaju sljedeći oblik:

(2.7)

Dakle, izokline imaju oblik parabola.

Slika 2.3. Moguća null-izoklinička lokacija

Ukupno su četiri moguća slučaja njihovog međusobnog rasporeda prema broju zajedničkih tačaka između parabola. Svaki od njih ima svoje skupove parametara, a samim tim i fazne portrete sistema.

2 Fazni portreti sistema

Konstruirajmo fazni portret sistema, pod uslovom da a preostali parametri su jednaki 1. U ovom slučaju dovoljan je jedan skup varijabli, jer se kvalitet neće promijeniti.

Kao što se može vidjeti iz donjih slika, nulta tačka je nestabilan čvor, a druga tačka, ako zamijenimo numeričke vrijednosti parametara, dobijamo (-1,5, -1,5) - sedlo.

Slika 2.4. Fazni portret sistema (2.2)

Dakle, pošto ne bi trebalo doći do promjena, onda za ovaj sistem postoje samo nestabilna stanja, što je najvjerovatnije zbog mogućnosti neograničenog rasta.

Protooperacijski model sa dva ograničenja.

U ovom sistemu postoji dodatni ograničavajući faktor, pa se fazni dijagrami moraju razlikovati od prethodnog slučaja, kao što se vidi na slici. Nulta tačka je takođe nestabilan čvor, ali se u ovom sistemu pojavljuje stabilna pozicija, odnosno stabilan čvor. Sa ovim parametrima, svojim koordinatama (5.5,5.5), prikazan je na slici.

Slika 2.5. Fazni portret sistema (2.3)

Dakle, ograničenje svakog člana omogućilo je postizanje stabilne pozicije sistema.

Prošireni protooperacijski model.

Napravimo fazne portrete za prošireni model, ali odmah koristeći njegov modificirani oblik:

Razmotrimo četiri skupa parametara, kao što su da razmotrimo sve slučajeve sa nultom tačkom ravnoteže, kao i da demonstriramo fazne dijagrame numeričke simulacije koji se koriste za tačku ravnoteže koja nije nula: skup A(1,0.5,0.5) odgovara stanju , skup B(1,0.5,-0.5) odgovara postavite C(-1.0.5,0.5) i postavite D(-1.0.5,-0.5) , odnosno stabilan čvor u nultoj tački. Prva dva skupa će demonstrirati fazne portrete za parametre koje smo razmatrali u numeričkoj simulaciji.

Slika 2.6. Fazni portret za sistem (2.4) sa parametrima A-D.

Na slikama je potrebno obratiti pažnju na tačke (-1,2) i (1,-2), u njima se pojavljuje „sedlo“. Za detaljniji prikaz, na slici je prikazana drugačija skala slike sa sedlom (1,-2). Na slici je u tačkama (1,2) i (-1,-2) vidljiv stabilan centar. Što se tiče nulte tačke, počevši od figure do figure na faznim dijagramima, možemo jasno razlikovati nestabilan čvor, sedlo, sedlo i stabilni čvor.

Prošireni model proto-saradnje s logističkim ograničenjem.

Kao iu prethodnom modelu, demonstriraćemo fazne portrete za četiri slučaja nulte tačke, a pokušaćemo da zabeležimo i različita od nulte rešenja u ovim dijagramima. Da biste to učinili, uzmite sljedeće skupove parametara sa parametrima navedenim u sljedećem redoslijedu (): A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2 ,1) i D (1,2,1,2). Preostali parametri za sve skupove bit će sljedeći: , .

Na slikama prikazanim ispod, mogu se uočiti četiri ravnotežna stanja nulte tačke opisana u prethodnom odeljku za ovaj dinamički sistem. I takođe na slikama, stabilan položaj tačke sa jednom koordinatom različitom od nule.

Slika 2.7. Fazni portret za sistem (2.5) sa parametrima A-B

3 Integralne putanje sistema

Protooperacijski model s ograničenjem Verhulsta

Kao iu prethodnom poglavlju, svaku od diferencijalnih jednadžbi rješavamo posebno i eksplicitno izražavamo ovisnost varijabli o vremenskom parametru.

(2.8)

(2.9)

Iz dobijenih jednačina se može vidjeti da se vrijednost svake od varijabli povećava, što je prikazano u trodimenzionalnom modelu u nastavku.

Slika 2.8. Trodimenzionalni model za jednačinu (2.8)

Ovaj tip dijagrama u početku liči na nezasićeni 3D Malthusov model o kojem se govori u Poglavlju 1 po tome što ima sličan brzi rast, ali kasnije možete vidjeti smanjenje stope rasta kako se dostigne izlazna granica. Stoga je konačni izgled integralnih krivulja sličan dijagramu logističke jednadžbe koja je korištena da ograniči jedan od pojmova.

Protooperacijski model sa dva ograničenja.

Svaku od jednadžbi rješavamo koristeći Wolfram Alpha alate. Dakle, zavisnost funkcije x(t) se svodi na sljedeći oblik:

(2.10)

Kod druge funkcije situacija je slična, pa izostavljamo njeno rješenje. Numeričke vrijednosti su se pojavile zbog zamjene parametara određenim odgovarajućim vrijednostima, što ne utiče na kvalitativno ponašanje integralnih krivulja. Grafikoni ispod pokazuju upotrebu ograničenja rasta jer eksponencijalni rast postaje logaritamski tokom vremena.

Slika 2.9. Trodimenzionalni model za jednačinu (2.10)

Prošireni protooperacijski model

Gotovo slično modelima sa mutualizmom. Jedina razlika je u bržem rastu u odnosu na te modele, što se može vidjeti iz donjih jednačina (ako se pogleda stepen eksponenta) i grafikona. Integralna kriva mora imati oblik eksponenta.

(2.11)

(2.12)

Prošireni model proto-saradnje s logističkim ograničenjem

Ovisnost x(t) izgleda ovako:

Bez grafa je teško procijeniti ponašanje funkcije, pa ćemo je izgraditi koristeći alate koji su nam već poznati.

Slika 2.10 3D model za jednačinu

Vrijednost funkcije se smanjuje za ne-male vrijednosti druge varijable, što je zbog nepostojanja ograničenja na negativni bilinearni član, i očigledan je rezultat

4 Sistemska dinamika interakcionih kompanija

Protooperacijski model s ograničenjem Verhulsta.

Konstruirajmo sistem (2.2). Koristeći nam već poznate alate, gradimo simulacijski model. Ovaj put, za razliku od mutualističkih modela, model će imati logističko ograničenje.

Slika 2.11. Model sistemske dinamike za sistem (2.2)

Pokrenimo model. U ovom modelu vrijedi istaći činjenicu da rast iz odnosa nije ničim ograničen, a rast outputa bez utjecaja drugog ima specifično ograničenje. Ako pogledate izraz same logističke funkcije, možete vidjeti da u slučaju kada varijabla (broj robe) premašuje maksimalnu moguću zapreminu skladištenja, termin postaje negativan. U slučaju kada postoji samo logistička funkcija, to je nemoguće, ali uz dodatni uvijek pozitivan faktor rasta to je moguće. A sada je važno shvatiti da će se logistička funkcija nositi sa situacijom ne prebrzog rasta broja proizvoda, na primjer, linearnih. Hajde da pogledamo slike ispod.

Slika 2.12. Primjer rada modela sistemske dinamike za sistem (2.2)

Na lijevoj slici prikazan je 5. korak programa koji odgovara predloženom modelu. Ali u ovom trenutku vrijedi obratiti pažnju na pravu figuru.

Prvo, za jedan od dolaznih tokova za Y_stock, veza do x, izražena u terminima , je uklonjena. Ovo je učinjeno kako bi se pokazala razlika u performansama modela sa linearnim uvijek pozitivnim protokom i bilinearnim rastom, koji je prikazan za X_stock. Kod linearnih neograničenih tokova, nakon prekoračenja parametra K, sistem u nekom trenutku dolazi u ravnotežu (u ovom modelu ravnotežno stanje je 200 hiljada jedinica robe). Ali mnogo ranije, bilinearni rast dovodi do naglog povećanja količine robe, prelazeći u beskonačnost. Ako i desno i lijevo ostavimo konstantno pozitivne tokove bilinearne, onda već na oko 20-30 koraka vrijednost akumulatora dolazi na razliku od dvije beskonačnosti.

Na osnovu navedenog, slobodno se može reći da je u slučaju dalje upotrebe ovakvih modela potrebno ograničiti svaki pozitivan rast.

Protooperacijski model sa dva ograničenja.

Nakon što smo otkrili nedostatke prethodnog modela i uveli ograničenje na drugi termin faktorom zasićenja, izgradićemo i pokrenuti novi model.

Slika 2.13. Model dinamike sistema i primjer njegovog rada za sistem (2.3)

Ovaj model, na kraju, donosi dugo očekivane rezultate. Pokazalo se da ograničava rast vrijednosti akumulatora. Kao što se vidi sa desne slike, za oba preduzeća ravnoteža je postignuta uz blagi višak zapremine skladišta.

Prošireni protooperacijski model.

Kada se razmatra sistemska dinamika ovog modela, pokazaće se mogućnosti softverskog okruženja AnyLogic za živopisnu vizualizaciju modela. Svi prethodni modeli su napravljeni koristeći samo elemente sistemske dinamike. Stoga su sami modeli izgledali nenametljivo, nisu dopuštali praćenje dinamike promjena u količini proizvodnje tijekom vremena i promjenu parametara dok je program radio. Kada radimo sa ovim i narednim modelima, pokušaćemo da iskoristimo širi spektar mogućnosti programa da bismo promenili tri gore navedena nedostatka.

Prvo, pored sekcije „dinamika sistema“, program sadrži i sekcije „slike“, „3D objekti“ koji omogućavaju diverzifikaciju modela, što je korisno za njegovu dalju prezentaciju, jer čini model izgleda „prijatnije“.

Drugo, da biste pratili dinamiku promjena vrijednosti modela, postoji odjeljak "statistika" koji vam omogućava da dodate grafikone i razne alate za prikupljanje podataka povezujući ih s modelom.

Treće, za promjenu parametara i drugih objekata tokom izvođenja modela postoji odjeljak „kontrole“. Objekti u ovom odjeljku omogućavaju vam da promijenite parametre dok model radi (na primjer, "klizač"), odaberete različita stanja objekta (na primjer, "prebacite") i izvršite druge radnje koje mijenjaju početno navedene podatke tokom rada .

Model je pogodan za nastavu upoznavanja sa dinamikom promjena u proizvodnji preduzeća, ali nedostatak ograničenja rasta ne dozvoljava korištenje u praksi.

Prošireni model proto-saradnje s logističkim ograničenjem.

Koristeći već pripremljeni prethodni model, dodaćemo parametre iz logističke jednadžbe kako bismo ograničili rast.

Izostavljamo konstrukciju modela, jer je prethodnih pet modela predstavljenih u radu već pokazalo sve potrebne alate i principe za rad sa njima. Vrijedi samo napomenuti da je njegovo ponašanje slično modelu proto-kooperacije s Verhulstovim ograničenjem. One. nedostatak zasićenja otežava njegovu praktičnu primjenu.

Nakon analize modela u smislu proto-saradnje, definišemo nekoliko glavnih tačaka:

Modeli koji se razmatraju u ovom poglavlju u praksi su prikladniji od mutualističkih, budući da imaju stabilne ravnotežne pozicije različite od nule čak i sa dva člana. Da podsjetim da smo u modelima mutualizma to uspjeli postići samo dodavanjem trećeg člana.

Odgovarajući modeli moraju imati ograničenja za svaki od pojmova, jer u suprotnom, naglo povećanje bilinearnih faktora "uništava" cijeli simulacijski model.

Polazeći od stava 2, kada se proširenom modelu doda protooperacija sa Verhulstovim ograničenjem faktora zasićenja, kao i dodavanjem niže kritične količine proizvodnje, model treba da postane što je moguće bliži stvarnom stanju stvari. Ali nemojte zaboraviti da će takve manipulacije sistemom zakomplicirati njegovu analizu.

Zaključak

Kao rezultat studije napravljena je analiza šest sistema koji opisuju dinamiku proizvodnje po preduzećima koja međusobno utiču jedni na druge. Kao rezultat toga, ravnotežne tačke i tipovi njihove stabilnosti određivani su na jedan od sljedećih načina: analitički, ili zahvaljujući izgrađenim faznim portretima u slučajevima kada analitičko rješenje iz nekog razloga nije moguće. Za svaki od sistema izgrađeni su fazni dijagrami, kao i trodimenzionalni modeli na kojima je prilikom projektovanja moguće dobiti integralne krive u ravnima (x, t), (y, t). Nakon toga, korištenjem AnyLogic okruženja za modeliranje, izgrađeni su svi modeli i razmatrane su njihove opcije ponašanja pod određenim parametrima.

Nakon analize sistema i izgradnje njihovih simulacionih modela, postaje očigledno da se ovi modeli mogu posmatrati samo kao obuka, odnosno za opisivanje makroskopskih sistema, ali ne i kao sistem podrške odlučivanju za pojedinačne kompanije, zbog njihove niske tačnosti i na pojedinim mestima. nije sasvim pouzdana reprezentacija tekućih procesa. Ali isto tako ne zaboravite da bez obzira koliko je dinamički sistem koji opisuje model istinit, svaka kompanija/organizacija/industrija ima svoje procese i ograničenja, tako da nije moguće kreirati i opisati opšti model. U svakom konkretnom slučaju, modificirat će se: da se zakomplikuje ili, naprotiv, da se pojednostavi za daljnji rad.

Izvodeći zaključak iz zaključaka za svako poglavlje, vrijedi se fokusirati na otkrivenu činjenicu da uvođenje ograničenja na svaki od članova jednačine, iako komplikuje sistem, ali i omogućava otkrivanje stabilnih položaja sistema, kao i da ga približi onome što se dešava u stvarnosti. I vrijedno je napomenuti da su modeli proto-kooperacije pogodniji za proučavanje, jer imaju stabilne pozicije različite od nule, za razliku od dva mutualistička modela koja smo razmatrali.

Time je svrha ove studije postignuta, a zadaci realizovani. U budućnosti, kao nastavak ovog rada, razmatrat će se prošireni model interakcije tipa proto-operacije sa tri ograničenja koja su na njega uvedena: logistika, faktor zasićenja, niži kritični broj, koji bi trebao omogućiti stvaranje preciznijeg model za sistem podrške odlučivanju, kao i model sa tri kompanije. Kao produžetak rada, osim simbioze, možemo razmotriti još dva tipa interakcije, koji su spomenuti u radu.

Književnost

1. Bhatia Nam Parshad; Szegh Giorgio P. (2002). Teorija stabilnosti dinamičkih sistema. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Diferencijalne jednadžbe. London: Thompson. pp. 96-111.

Boeing, G. (2016). Vizuelna analiza nelinearnih dinamičkih sistema: haos, fraktali, samosličnost i granice predviđanja. sistemima. 4(4):37.

4. Campbell, David K. (2004). Nelinearna fizika: Svježi dah. Priroda. 432 (7016): 455-456.

Elton C.S. (1968) reprint. ekologija životinja. Velika britanija: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Industrial Dynamics. MIT Press.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Ekonomska dinamika (Treće izdanje). Berlin: Springer. pp. 407-428.

9. Gershenfeld Neil A. (1999). Priroda matematičkog modeliranja. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

10 Goodman M. (1989). Bilješke o proučavanju sistemske dinamike. Pegasus.

Grebogi C, Ott E, and Yorke J. (1987). Haos, čudni atraktori i granice fraktalnih bazena u nelinearnoj dinamici. Science 238 (4827), str. 632-638.

12 Hairer Ernst; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi I: Nekruti problemi, Berlin, New York

Hanski I. (1999) Metapopulacijska ekologija. Oxford University Press, Oxford, str. 43-46.

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Račun: pojedinačni i multivarijabilni (6 izdanje). John Wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Globalni analitički prvi integrali za realni planarni Lotka-Volterra sistem, J. Math. Phys.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Nelinearne obične diferencijalne jednačine: Uvod za naučnike i inženjere (4. izdanje). Oxford University Press.

Khalil Hassan K. (2001). nelinearni sistemi. Prentice Hall.

Univerzitet Lamar, Online Math Notes - Phase Plane, P. Dawkins.

Univerzitet Lamar, Online Math Notes - Systems of Differential Equations, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Diferencijalni razdjelnici. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Law Averill M. (2006). Simulacijsko modeliranje i analiza sa softverom Expertfit. McGraw-Hill Science.

Lazard D. (2009). Trideset godina rješavanja polinomskih sistema, a sada? Journal of Symbolic Computation. 44(3):222-231.

24 Lewis Mark D. (2000). Obećanje dinamičkih sistemskih pristupa za integrisani račun ljudskog razvoja. razvoj djeteta. 71(1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). Esej o principu stanovništva, u reprintu Oxford World's Classics, str. 61, kraj VII poglavlja

26. Morecroft John (2007). Strateško modeliranje i poslovna dinamika: pristup sistema povratnih informacija. John Wiley & Sons.

27. Nolte D.D. (2015), Uvod u modernu dinamiku: haos, mreže, prostor i vrijeme, Oxford University Press.

Automatika i telemehanika, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, dr. teh. nauka (Institut za sistemsku analizu RAS, Moskva)

KVALITATIVNA ANALIZA DINAMIČKIH SISTEMA SA Vd-ENTROPJSKIM OPERATOROM

Predložena je metoda za proučavanje postojanja, jedinstvenosti i lokalizacije singularnih tačaka razmatrane klase DSEE. Dobijaju se uslovi za stabilnost "u malom" i "u velikom". Dati su primjeri primjene dobijenih uslova.

1. Uvod

Mnogi problemi matematičkog modeliranja dinamičkih procesa mogu se riješiti na osnovu koncepta dinamičkih sistema sa entropijskim operatorom (DEOS). DSEE je dinamički sistem u kojem je nelinearnost opisana parametarskim problemom maksimizacije entropije. Feio-moiološki, DSEO je model makrosistema sa "sporom" samoreprodukovanjem i "brzom" alokacijom resursa. Neka svojstva DSEO su proučavana u. Ovaj rad nastavlja ciklus istraživanja kvalitativnih svojstava DSEO-a.

Razmatramo dinamički sistem sa Vd-entropijskim operatorom:

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.

U ovim izrazima:

C(x, y), u(x) su kontinuirano diferencibilne vektorske funkcije;

Entropija

(1.2) Hv (y) = uz 1n kao > 0, s = T~m;

T - (r x w)-matrica sa elementima ^ 0 ima ukupan rang jednak r;

Pretpostavlja se da je vektorska funkcija u(x) kontinuirano diferencibilna, skup

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

gdje su a- i a + vektori iz E+, gdje je a- vektor sa malim komponentama.

Koristeći dobro poznatu reprezentaciju entropijskog operatora u terminima Lagrangeovih množitelja. transformišemo sistem (1.1) u sledeći oblik:

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

gdje su rk = exp(-Ak) > 0 eksponencijalni Lagrangeovi množitelji.

Uz DSEE općeg oblika (1.1) razmotrićemo, slijedeći klasifikaciju datu u .

DSEE sa odvojivim protokom:

(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),

gdje je B (n x m)-matrica;

DSEO sa multiplikativnim tokom:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab

gdje je W (n x m)-matrica sa nenegativnim elementima, a je vektor sa pozitivnim komponentama, ® je znak koordinatnog množenja.

Cilj ovog rada je proučavanje postojanja, jedinstvenosti i lokalizacije singularnih tačaka DSEE i njihove stabilnosti.

2. Singularne tačke

2.1. Postojanje

Razmotrimo sistem (1.4). Singularne tačke ovog dinamičkog sistema određene su sledećim jednačinama:

(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;

(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^kao r^ = dk(x), k = 1,r.

Razmotrimo prvo pomoćni sistem jednačina:

(2.4) C(q, z) = r, q e R,

gdje je skup R definiran jednakošću (1.3) i C(q, r) je vektorska funkcija sa komponentama

(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

Jednačina (2.4) ima jedinstveno rješenje r* za svaki fiksni vektor q, što slijedi iz svojstava Vg-entropijskog operatora (vidi ).

Iz definicije komponenti vektorske funkcije S(g, z) dolazi do očigledne procjene:

(2.6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Označimo rješenje prve jednadžbe sa r+, a druge - sa r-. Hajde da definišemo

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

i r-dimenzionalni vektori

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin , zmin).

Lema 2.1. Za sva q G Q (1 . 3) rješenja z*(q) jednadžbe (2.4) pripadaju vektoru 1 segmentu

zmin< z*(q) < zmax,

gdje su vektori zmin i zmax definirani izrazima (2.7)-(2.9).

Dokaz teoreme je dat u Dodatku. Qq

qk(x) (1.3) za x G Rn, onda imamo

Posljedica 2.1. Neka su ispunjeni uslovi leme 2.1 i neka funkcije qk(x) zadovoljavaju uslove (1.3) za sve ex x G Rn. Tada za sve x G Rm rješenja z* jednačine (2.3) pripadaju vektorskom segmentu

zmin< z* < zmax

Vratimo se sada na jednačine (2.2). koji određuju komponente vektorske funkcije y(z). Elementi njegovog Jakobijana imaju oblik

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

za sve z G R+ osim za 0 i g. Stoga je vektorska funkcija y(z) striktno monotono rastuća. Prema lemi 2.1, ograničena je odozdo i odozgo, tj. za sve z G Rr (dakle za sve x G Rn) njegove vrijednosti pripadaju skupu

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

gdje su komponente vektora yk, y+ određene izrazima:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Razmotrimo prvu jednačinu u (2.1) i prepišemo je kao:

(2.14) L(x, y) = 0 za sve y e Y ⊂ E^.

Ova jednačina određuje zavisnost varijable x od varijable y koja pripada Y

mi (1.4) se svodi na postojanje implicitne funkcije x(y) definisane jednačinom (2.14).

Lema 2.2. Neka su ispunjeni sljedeći uslovi:

a) vektorska funkcija L(x, y) je kontinuirana u skupu varijabli;

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 za sve ex x e En za bilo koje fiksno y e Y.

Tada postoji jedinstvena implicitna funkcija x*(y) definirana na Y. U ovoj lemi, J(x, y) je Jakobijan s elementima

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Dokaz je dat u Dodatku. Iz gornjih lema slijedi

Teorema 2.1. Neka su ispunjeni uslovi leme 2.1 i 2.2. Tada postoji jedinstvena singularna tačka DSEE (1.4) i, prema tome, (1.1).

2.2. Lokalizacija

Proučavanje lokalizacije singularne tačke podrazumijeva se kao mogućnost utvrđivanja intervala u kojem se ona nalazi. Ovaj zadatak nije vrlo jednostavan, ali za neku klasu DSEE-a takav interval se može uspostaviti.

Okrenimo se prvoj grupi jednadžbi u (2.1) i predstavimo ih u obliku

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

gdje su y- i y+ definisani jednakostima (2.12), (2.13).

Teorema 2.2. Neka je vektorska funkcija L(x,y) kontinuirano diferencibilna i monotono rastuća u obje varijable, tj.

--> 0, --> 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Tada rješenje sistema (2.16) u odnosu na varijablu x pripada intervalu (2.17) xmin x x x xmax,

a) vektori xmin, xmax imaju oblik

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- i x+ - komponente rješenja sljedećih jednačina

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

sa oo m naravno.

Dokaz teoreme je dat u Dodatku.

3. Održivost DSEA "u malom"

3.1. DSEE sa odvojivim tokom Okrenimo se DSEE jednadžbi sa odvojivim tokom, predstavljajući ih u obliku:

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

Ovdje vrijednosti komponenti vektorske funkcije q(x) pripadaju skupu Q (1.3), (n × w)-matrica B ima ukupan rang jednak n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Neka sistem koji razmatramo ima singularnu tačku x. Za proučavanje stabilnosti ove singularne tačke "u malom" konstruišemo linearizovani sistem

gdje je A (n x n)-matrica, čiji su elementi izračunati u tački x, a vektor t = x - x. Prema prvoj jednačini u (3.1), matrica linearizovanog sistema ima

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x = g (x),

| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,

I k \u003d 1, g, I \u003d 1, str

Iz (3.1) određuju se elementi matrice Yr: dy.

"bkz P" 8=1

3, r8 x8, 5 1, r.

Da bismo odredili elemente matrice Zx, prelazimo na posljednju grupu jednadžbi u (3.1). B pokazuje da ove jednadžbe definiraju implicitnu vektorsku funkciju r(x), koja je kontinuirano diferencibilna ako je vektorska funkcija g(x) kontinuirano diferencibilna. Jakobijan Zx vektorske funkcije z(x) je definiran jednadžbom

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \

Iz ove jednačine imamo (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x).

Zamjenjujući ovaj rezultat u jednakost (3.3). dobijamo:

A = 1 (x) + P (x), P (x) = VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).

Dakle, jednačina linearizovanog sistema poprima oblik

(c.i) | = (j+p)e

Ovdje se elementi matrica J, P izračunavaju u singularnoj tački. Dovoljni uslovi stabilnosti "u malom" DSEE (3.1) određuju se sledećim

Teorema 3.1. DSEE (3.1) ima singularnu tačku x koja je stabilna "u malom" ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

a) matrice J, P (3.10) linearizovanog sistema (3.11) imaju realne i različite sopstvene vrednosti, a matrica J ima maksimalnu svojstvenu vrednost

Pmax = max Pg > 0,

Wmax = maxUi< 0;

Umax + Ptah<

Iz ove teoreme i jednakosti (3.10) slijedi da za singularne tačke za koje je Qx(x) = 0 i (ili) za X, = 0 i tkj ^ 1 za sve ex k,j, dovoljni uslovi teoreme nisu zadovoljan.

3.2. DSEE sa multiplikativnim protokom Razmotrimo jednadžbe (1.6). prezentujući ih u obliku:

X® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj PZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

sistemima. imat će:

(3.13)

U ovom izrazu, diag C] je dijagonalna matrica sa pozitivnim elementima a1,..., an, Yr, Zx su matrice definisane jednakostima (3.4)-(3.7).

Predstavljamo matricu A u obliku

(3.14) A = dijagnoza + P (x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

Označiti: maxi ai = nmax i wmax je maksimalna vlastita vrijednost matrice P(x) (3.15). Tada teorema 3.1 vrijedi i za DSEE (1.6). (3.12).

4. Održivost DSEA "u velikom"

Okrenimo se DESO jednadžbi (1.4), u kojima vrijednosti komponenti vektorske funkcije q(x) pripadaju skupu Q (1.3). U sistemu koji se razmatra postoji singularna tačka Z, do koje su vektori z(x) = z ^ z-> 0 i

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Uvedemo vektore devijacije £, C, P od singularne tačke: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009

1

Cilj rada je razvoj superkompjuterski orijentisane logičke metode (metoda Boolean constraint) i servisno orijentisane tehnologije za kreiranje i korišćenje računarskog sistema za kvalitativno proučavanje dinamike ponašanja putanja autonomnih binarnih dinamičkih sistema preko konačan vremenski interval. Relevantnost teme potvrđuje sve veći opseg primjene binarnih modela u naučnim i primijenjenim istraživanjima, kao i potreba za kvalitativnom analizom takvih modela sa velikom dimenzijom vektora stanja. Prikazan je matematički model autonomnog binarnog sistema na konačnom vremenskom intervalu i Bulova jednačina ekvivalentna ovom sistemu. Predlaže se da se specifikacija dinamičkog svojstva napiše jezikom predikatske logike koristeći ograničene egzistencijalne i univerzalne kvantifikatore. Dobijene su Bulove jednačine za traženje ravnotežnih stanja i ciklusa binarnog sistema i uslovi za njihovo izolovanje. Specificirana su glavna svojstva tipa dosegljivosti (dohvatljivost, sigurnost, simultana dosegljivost, dosegljivost pod faznim ograničenjima, privlačnost, povezanost, ukupna dosegljivost). Za svako svojstvo, njegov model je izgrađen u obliku Bulovog ograničenja (Booleova jednačina ili kvantificirane Bulove formule) koje zadovoljava logičku specifikaciju svojstva i jednačine dinamike sistema. Stoga se provjera izvodljivosti različitih svojstava ponašanja trajektorija autonomnih binarnih dinamičkih sistema u konačnom vremenskom intervalu svodi na problem izvodljivosti Booleovih ograničenja korištenjem modernih SAT i TQBF rješavača. Dat je demonstracijski primjer korištenja ove tehnologije za testiranje izvodljivosti nekih od prethodno navedenih svojstava. U zaključku su navedene glavne prednosti metode Bulovog ograničenja, karakteristike njene softverske implementacije u okviru servisno orijentisanog pristupa, te su naznačeni pravci daljeg razvoja metode za druge klase binarnih dinamičkih sistema.

binarni dinamički sistem

dinamičko svojstvo

kvalitativna analiza

boolean constraints

problem booleove zadovoljivosti

1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Teorija i praksa SAT rješavanja. Dagstuhl Reports. 2015.vol. 5. br. 4. R. 98–122.

2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. Dvanaest godina QBF evaluacije: QSAT je PSPACE-Hard i to pokazuje. fundam. informisati. 2016.vol. 149. R. 133-58.

3. Bohman D., Posthof H. Binarni dinamički sistemi. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 str.

4. Maslov S.Yu. Teorija deduktivnih sistema i njena primena. Moskva: Radio i komunikacija, 1986. 133 str.

5. Jhala R., Majumdar R. Provjera softverskog modela. ACM Computing Surveys. 2009.vol. 41 br. 4 R. 21:1–21:54.

6. Vasiliev S.N. Metoda redukcije i kvalitativna analiza dinamičkih sistema. I–II // Izvestiya RAN. Teorija i sistemi upravljanja. 2006. br. 1. S. 21–29. br. 2, str. 5–17.

7. DIMACS format [Elektronski izvor]. Način pristupa: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (pristupljeno 24.07.2018).

8. QDIMACS standard [Elektronski izvor]. Način pristupa: http://qbflib.org/qdimacs.html (pristupljeno 24.07.2018.).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Sistemi diskretnog vremena sa dinamikom zasnovanom na događajima: nedavni razvoj metoda analize i sinteze. Mario Alberto Jordan (ur.). Diskretni vremenski sistemi. intech. 2011. R. 447–476.

10. Vasiliev S.N. Dostupnost i povezanost u automatskoj mreži s općim pravilom prebacivanja // Diferencijalne jednadžbe. 2002. V. 38. br. 11. S. 1533–1539.

11. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Gorsky S.A., Pashinin A.A. Multi-agent tehnologija za automatizaciju paralelnog rješenja Bulovih jednadžbi u distribuiranom računarskom okruženju // Računske tehnologije. 2016. V. 21. br. 3. S. 5–17.

12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. QBF rješavač s svjesnom ovisnosti. Journal on Satisfiability. Boolean Modeling and Computing. 2010. vol. 9. R. 71–76.

13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A., Gorsky S.A. Distribuirani rješavači primijenjenih problema zasnovani na mikroservisima i mrežama agenata. Proc. Od 41. pripravnika. Konvencija o informacionoj i komunikacijskoj tehnologiji, elektronici i mikroelektronici (MIPRO-2018). R. 1643–1648.

14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. Skalabilni paralelni rješavač problema Booleove zadovoljivosti. Proc. Od 41. pripravnika. Konvencija o informacionoj i komunikacijskoj tehnologiji. Elektronika i mikroelektronika (MIPRO-2018). R. 244–249.

15. Bičkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pašinjin A.A. Tehnologija primijenjenog rješavanja problema zasnovana na modelu distribuiranog računarskog predmetnog domena: decentralizirani pristup // Parallel Computing Technologies XII Međunarodna konferencija, PaVT’2018, Rostov na Donu, 2–6. travnja 2018. Kratki članci i opisi postera. Čeljabinsk: Izdavački centar SUSU, 2018. P. 34–48.

Opseg primjene binarnih dinamičkih modela je izuzetno širok, a svake godine se samo povećava broj objekata i zadataka gdje je njihova upotreba potrebna. Klasičan primjer je binarni sinhroni automat, koji je model mnogih diskretnih uređaja u sistemima upravljanja, računarskoj tehnici, telemehanici. Moderne primjene binarnih dinamičkih modela uključuju probleme bioinformatike, ekonomije, sociologije i niz drugih oblasti koje se čine daleko od upotrebe dvovrijednih varijabli. S tim u vezi, značajno raste važnost razvoja novih i unapređenja postojećih metoda za kvalitativnu analizu ponašanja putanja binarnih dinamičkih sistema (DDS).

Kao što je poznato, cilj kvalitativne analize dinamičkog sistema (ne samo binarnog) je da se dobije pozitivan ili negativan odgovor na pitanje: Da li traženo dinamičko svojstvo važi u datom sistemu? Preformulirajmo ovo pitanje na sljedeći način: Da li ponašanje putanja dinamičkog sistema zadovoljava određeni skup ograničenja koja karakteriziraju svojstvo? Dalje ćemo koristiti ovu interpretaciju cilja kvalitativne analize dinamičkih svojstava sistema.

Za DDS, čiji se rad razmatra na konačnom vremenskom intervalu, takva ograničenja su Booleova i napisana su jezikom Bulovih jednačina ili Bulovih formula sa kvantifikatorima. Prvi tip ograničenja dovodi do potrebe za rješavanjem SAT problema (boolean problem zadovoljivosti); druga vrsta ograničenja je povezana sa rješenjem TQBF problema (provjera istinitosti kvantificiranih Booleovih formula). Prvi problem je tipičan predstavnik NP klase složenosti, a drugi problem je PSPACE klasa složenosti. Kao što je poznato, PSPACE-potpunost diskretnog problema daje jači dokaz njegove nerješivosti od NP-potpunosti. Zbog toga je svođenje problema kvalitativne analize DDS-a na SAT problem poželjnije od svođenja na TQBF problem. U opštem slučaju, proučavanje svakog svojstva DDS-a ne može biti predstavljeno jezikom Bulovih jednačina.

Teorijska mogućnost korištenja Bulovih ograničenja (naime, Booleovih jednačina) u kvalitativnoj analizi DDS-a je prvi put prikazana u . Međutim, treba napomenuti da je primjena ovog pristupa u praksi u to vrijeme bila ograničena nedostatkom efikasnih algoritama i programa za rješavanje Bulovih jednačina (posebno sa velikim brojem nepoznatih varijabli), što bi značajno smanjilo prostor pretraživanja. U poslednjoj deceniji, kao rezultat intenzivnog istraživanja u ovoj oblasti, pojavio se dovoljan broj različitih efikasnih rešavača Bulovih jednačina (SAT rešavača) koji koriste savremena dostignuća (nove heuristike, brze strukture podataka, paralelno računarstvo, itd.) u rešavanju problem Booleove zadovoljivosti. Slični procesi (ali sa izvesnim zakašnjenjem) se takođe primećuju u oblasti kreiranja sve efikasnijih algoritama i programa za rešavanje TQBF problema. Dakle, do danas postoje svi neophodni preduslovi za sistematski razvoj metode Bulovih ograničenja u kvalitativnoj analizi DDS-a, njegove softverske implementacije i primene u rešavanju naučnih i primenjenih problema.

Pored metode Booleovog ograničenja, druge metode kvalitativne analize su također primjenjive na DDS, koje uključuju deduktivnu analizu, provjeru modela i metodu redukcije. Svaka od ovih metoda (uključujući metodu booleovog ograničenja) ima svoja ograničenja, prednosti i nedostatke. Uobičajeni nedostatak je to što su sve metode po prirodi nabrajajuće i problem redukcije nabrajanja je fundamentalan za ove metode.

Značaj deduktivne analize, koja uključuje primjenu aksioma i pravila zaključivanja za dokazivanje ispravnog funkcionisanja sistema, prepoznaje veliki broj stručnjaka, ali ovo je naporna i stoga rijetko korištena metoda. U metodi provjere modela, traženi jezik specifikacije svojstava koristi jezik temporalne logike, što je neobično za stručnjake za dinamiku automata. Metoda redukcije je povezana sa konstrukcijom pojednostavljenog (u određenom smislu) modela originalnog sistema, proučavanjem njegovih svojstava i uslova za prenošenje ovih svojstava na originalni složeni sistem. Uslovi za prenosivost imovine su dovoljni samo u ovom slučaju. Jednostavnost ideje redukcione metode u kvalitativnoj analizi DDS-a suočava se s problemom izbora pojednostavljenog sistema koji zadovoljava sve uslove metode.

Praktična upotreba metode Booleovog ograničenja uključuje algoritmizaciju i automatizaciju sljedećih procesa:

1) razvoj logičkog jezika za specifikaciju dinamičkih svojstava fokusiranog na specijaliste za sistemsku dinamiku;

2) izgradnju modela dinamičkog svojstva u obliku Bulovog ograničenja ovog ili onog tipa koji zadovoljava logičku specifikaciju svojstva i jednačine dinamike binarnog sistema;

3) prezentacija dobijenog modela u međunarodnom formatu DIMACS ili QDIMACS;

4) izbor (razvoj) efikasnog paralelnog (distribuiranog) rešavača problema zadovoljivosti Bulovih ograničenja (SAT ili TQBF rešavač);

5) razvoj alata za kreiranje softverskih usluga;

6) razvoj servisa za kvalitativno istraživanje različitih dinamičkih svojstava DDS.

cilj ove studije je rešenje samo prva dva problema u vezi sa algoritmizacijom kvalitativnih studija autonomnog (bez kontrolnih ulaza) sinhronog DDS-a. Takvi sistemi u publikacijama na engleskom jeziku nazivaju se sinhrone Bulove mreže (Boolean network). Drugi aspekti primjene metode Bulovog ograničenja (uključujući DDS sa kontrolnim ulazima) su predmet sljedećih publikacija.

Matematički model autonomnog DDS-a

Neka je X = Bn (B = (0, 1) skup binarnih vektora dimenzije n (prostor stanja DDS). Neka t∈T = (1,…,k) označava diskretno vrijeme (broj ciklusa).

Za svako stanje x0∈X, nazvano početno stanje, definišemo putanju x(t, x0) kao konačan niz stanja x0, x1,…, xk iz skupa X. Dalje ćemo razmotriti DDS u kojem svaki par susjednih stanja xt, x(t - 1) (t∈T) putanje su povezane relacijom

xt = F(xt - 1). (jedan)

Ovdje je F:X>X vektorska funkcija logičke algebre, nazvana prijelazna funkcija. Dakle, za bilo koji x0∈X, sistem Bulovih jednačina (1) predstavlja model dinamike ponašanja DDS putanja u prostoru stanja X na konačnom vremenskom intervalu T = (1, 2,…,k). Ovdje i ispod, pretpostavlja se da je vrijednost k u definiciji skupa T unaprijed određena konstanta. Ovo ograničenje je sasvim prirodno. Stvar je u tome da je u kvalitativnoj analizi ponašanja DDS putanja od praktičnog interesa pitanje šta se može reći o izvodljivosti nekog dinamičkog svojstva za fiksno, ne preveliko k. Izbor vrijednosti k u svakom konkretnom slučaju zasniva se na apriornoj informaciji o trajanju procesa u simuliranom diskretnom sistemu.

Poznato je da je sistem Bulovih jednačina (1) sa početnim stanjem x0∈X za T = (1, 2,…,k) ekvivalentan jednoj Bulovoj jednačini oblika

Za k = 1 (razmatraju se samo jednostepeni prelazi), jednačina (2) poprima oblik

(3)

Rješenja ove jednačine definiraju usmjereni graf koji se sastoji od 2n vrhova označenih jednim od 2n stanja skupa X. Vrhovi x0 i x1 grafa povezani su lukom usmjerenim od stanja x0 do stanja x1. Takav graf u teoriji binarnih automata naziva se prelazni dijagram. Reprezentacija ponašanja DDS-a u obliku prelaznog dijagrama je vrlo jasna i pri konstruisanju trajektorija i pri proučavanju njihovih svojstava, ali je praktično ostvariva samo za male dimenzije n vektora stanja x∈X.

Jezik znači za određivanje dinamičkih svojstava

Najpogodnije je specificirati dinamičku specifikaciju svojstva na jeziku formalne logike. Prateći rad , označavamo sa X0∈X, X1∈X, X*∈X skupove početnih, dopuštenih i ciljnih stanja.

Glavni sintaksički elementi logičke formule dinamičkog svojstva su: 1) subjektne varijable (komponente vektora x0, x1,…, xk, vrijeme t); 2) ograničeni kvantifikatori postojanja i univerzalnosti; 3) logičke veze v, &; konačne formule. Konačna formula predstavlja tvrdnju da neka stanja skupa putanja x(t, x0) (x0∈X0) pripadaju skupovima evaluacije X* i X1.

Treba napomenuti da upotreba ograničenih egzistencijalnih i univerzalnih kvantifikatora pruža način pisanja dinamičkog svojstva koji je poznat stručnjaku za dinamiku. U procesu konstruisanja Booleovog modela, svojstva za sistem (1) se zamjenjuju ograničenim kvantifikatorima običnim kvantifikatorima prema sljedećim definicijama:

gdje je A(y) predikat koji ograničava vrijednost varijable y.

Zbog konačnosti raspona varijable t, ograničeni kvantifikatori postojanja i univerzalnosti u odnosu na ovu varijablu zamijenjeni su ekvivalentnim formulama koje ne sadrže kvantifikatore

U nastavku ćemo pretpostaviti da su elementi skupova X0, X1, X* određeni nulama sljedećih Bulovih jednačina

ili karakteristične funkcije ovih skupova , .

Uzimajući u obzir ograničenje na početna stanja G0(x) = 0, zajedno sa jednadžbama (2, 3), koristit ćemo sljedeće Booleove jednadžbe da skratimo notaciju:

(4)

Preliminarna kvalitativna analiza autonomnog DDS-a

U fazi preliminarne analize može se identifikovati (ako je potrebno) grananje stanja (skup njegovih neposrednih prethodnika), prisustvo ravnotežnih stanja i zatvorenih putanja (ciklusa).

Stanje x1 u (3) će se zvati nasljednikom stanja x0, a x0 prethodnikom stanja x1. U autonomnom DDS-u, svako stanje ima samo jednog nasljednika, a broj prethodnika datog stanja može varirati od nule do 2n - 1. Svi neposredni prethodnici x0 stanja s∈X su nule iz Booleove jednačine

Ako jednačina (6) nema rješenja, onda nema prethodnika stanja s.

Stanja ravnoteže (ako postoje) su rješenja Bulove jednačine

Putanja x0, x1,…, xk naziva se ciklus dužine k ako su stanja x0, x1,…, xk-1 međusobno parno različita i xk = x0. Ciklični niz dužine k (ako postoji) je rješenje Bulove jednačine

gdje je = 0 ( ) - uslovi parne razlike za skup stanja C ciklusa dužine k. Ako nijedno od stanja ciklusa nema prethodnike koji ne pripadaju skupu C, onda se takav ciklus naziva izolovanim. Neka su elementi s skupa C određeni rješenjem Bulove jednadžbe Gc(s) = 0. Tada je lako pokazati da je uvjet izolacije ciklusa ekvivalentan odsustvu nula u sljedećoj Booleovoj jednačini:

Rješenja jednačine (7) (ako postoje) određuju stanja ciklusa koja imaju prethodnike koji ne pripadaju skupu C.

Budući da je ravnotežno stanje ciklus dužine k = 1, njegov uvjet izolacije je sličan uvjetu izolacije sa k ≥ 2, s tom razlikom što Gc(s) ima oblik potpune disjunkcije koja određuje ovo stanje ravnoteže.

U nastavku će se neizolovana ravnotežna stanja i ciklusi zvati atraktorima.

Specifikacija dinamičkih svojstava tipa dosegljivosti

Glavno svojstvo DDS-a, potreba za provjerom koje se najčešće javlja u praksi, je svojstvo dosegljivosti koje se tradicionalno proučava u teoriji grafova (u našem slučaju je takav graf dijagram prijelaza) i njegove različite varijacije. Dostižnost se definiše kao klasični problem analize ponašanja DDS putanja.

Definicija ovog svojstva povezana je sa dodjeljivanjem prethodno uvedenih skupova X0, X*, X1 (koji odgovaraju ovim skupovima Bulovih jednačina). Pretpostavlja se da skupovi X0, X*, X1 zadovoljavaju ograničenje

Pošto je skup T konačan, svojstvo dostižnosti i njegove varijacije će se dalje shvatiti kao svojstvo praktične dosegljivosti (dohvatljivost u konačnom broju ciklusa). Razmatraju se sljedeća svojstva tipa dosegljivosti:

1. Glavno svojstvo dosegljivosti skupa X* iz skupa X0 je formulisano na sledeći način: svaka putanja pokrenuta iz skupa početnih stanja X0 dostiže ciljni skup X*. Koristeći ograničene egzistencijalne i univerzalne kvantifikatore, formula za ovo svojstvo je:

2. Sigurnosno svojstvo osigurava da je za bilo koju putanju pokrenutu iz X0 skup X* nedostižan:

3. Svojstvo simultane dostupnosti. U nekim slučajevima može se postaviti strožiji zahtjev, koji se sastoji u tome da svaka trajektorija stigne do postavljenog cilja u točno k ciklusa (k∈T):

4. Svojstvo dostupnosti pod faznim ograničenjima:

Ovo svojstvo garantuje da su sve putanje emitovane iz skupa X0, sve dok ne stignu do ciljnog skupa X*, u skupu X1.

5. Svojstvo privlačnosti. Neka je X* atraktor. Tada se logička formula svojstva privlačnosti poklapa s formulom glavnog svojstva dosegljivosti:

one. za svaku putanju oslobođenu iz skupa X0, postoji vrijeme t∈T, počevši od kojeg putanja ne ide dalje od skupa X*. Skup X0 u ovom slučaju pripada dijelu područja privlačenja skupa X*(X0∈Xa, gdje je Xa puno područje privlačenja (pul) atraktora).

Imajte na umu da su sve varijable u gornjim formulama svojstava zapravo povezane, budući da je putanja x0, x1,…, xk potpuno određena početnim stanjem. Budući da su kvantifikatori u odnosu na varijablu t zamijenjeni operacijama disjunkcije na više mjesta ili konjunkcije odgovarajućih predikata, u svakoj od formula ostaje jedan ograničeni univerzalni kvantifikator (), koji nam omogućava da zapišemo uslove za izvodljivost ovih svojstva u jeziku Bulovih jednačina (u obliku SAT problema).

Predstavljamo dva svojstva čija provjera dovodi do potrebe rješavanja TQBF problema.

6. Svojstvo povezivanja ciljnog skupa:

one. postoji početno stanje x0∈X0 tako da je svako ciljno stanje x*⊆X* dostupno u nekom trenutku t∈T, što znači da postoji putanja koja odgovara ovom stanju, tako da sva ciljna stanja x*∈X* pripadaju na ovu putanju.

7. Svojstvo ukupne dosegljivosti skupa X* iz X0:

one. svako ciljno stanje je dostupno od X0.

Provjera izvodljivosti dinamičkih svojstava

Za svojstva (1-5), provjera njihove izvodljivosti svodi se na traženje nula Booleove jednadžbe, čija je tehnologija formiranja standardizirane prirode i detaljno se razmatra samo za glavno svojstvo izvodljivosti. Svojstva (6, 7) dovode do problema provjere istinitosti kvantificirane Booleove formule.

1. Glavno svojstvo dostupnosti. Njegova logična formula je

Uzimajući u obzir (4), zapisujemo formulu (8) kao

gdje je karakteristična funkcija skupa stanja putanje oslobođene od početnog stanja x0∈X0. Oslobodimo se egzistencijalnog kvantifikatora u (9). Onda ćemo imati

gdje je karakteristična funkcija skupa X*. Ograničene univerzalne kvantifikatore zamjenjujemo običnim kvantifikatorima. Kao rezultat, dobijamo

Formula (10) je istinita ako i samo ako je izraz podkvantifikator identično istinit, tj.

Identična istinitost implikacije znači da je Boolean funkcija logička posljedica funkcije , tj. bilo koja putanja sa početnim stanjem x0∈X0 dostiže ciljni skup X*.

Zadovoljstvo identiteta (11) je ekvivalentno odsustvu nula u Booleovoj jednačini

Prilikom izvođenja (12) riješili smo se implikacije i zamijenili ϕ*(x0, x1,..., xk) sa . Ako jednačina (12) ima barem jedno rješenje, tada svojstvo dostižnosti ne vrijedi. Takvo rješenje predstavlja (u određenom smislu) kontraprimjer za svojstvo koje se provjerava i može pomoći istraživaču da identifikuje uzrok greške.

Dalje, radi sažetosti, za svako svojstvo (2-4) ispisujemo samo jednačinu tipa (12), sugerirajući čitaocu da samostalno reproducira potrebne argumente bliske onima datim za glavno svojstvo dosegljivosti.

2. Sigurnosna imovina

3. Svojstvo simultane dostupnosti

4. Svojstvo dostupnosti pod faznim ograničenjima

5. Svojstvo privlačnosti. Izvodljivost ove nekretnine provjerava se u dvije faze. U prvoj fazi se saznaje da li je skup X* atraktor. Ako je odgovor da, onda se glavno svojstvo dostupnosti provjerava u drugoj fazi. Ako je X* dostupan iz X0, tada su svi uslovi svojstva privlačnosti zadovoljeni.

6. Svojstvo povezivanja

7. Svojstvo ukupne dostupnosti`

Za svojstva (6, 7), skalarni oblik jednakosti dva Bulova vektora xt = x* ima oblik

Hajde da demonstriramo gornju tehnologiju za kvalitativnu analizu autonomnog DDS-a koristeći metodu Booleovog ograničenja kada provjeravamo izvodljivost nekih od gore navedenih svojstava za model 3.2 iz rada:

Označimo sa x0∈X = B3 početno stanje modela (13). Neka je T = (1, 2). Napišimo funkcije jednostepenih i dvostepenih tranzicija modela (13) potrebne za specifikaciju svojstava:

(14)

gdje je znak "." označava operaciju konjunkcije.

Za provjeru zadovoljivosti svakog svojstva specificiraju se početni (X0) i ciljni (X*) skupovi, koji su određeni nulama jednadžbi G0(x) = 0, G*(x) = 0 ili karakteristikom funkcije ovih skupova (vidi Odjeljak 2). Kao SAT rešavač, koristi se REBUS instrumentalni kompleks (IC) rešavač, a TQBF rešavač je DepQBF. Kodiranje varijabli u Bulovim modelima svojstava koja se razmatraju u nastavku za ove rješavače dato je u tabeli. 1, Booleovi modeli ovih svojstava u DIMACS i QDIMACS formatima nalaze se u tabeli. 2.

Tabela 1

Varijabilno kodiranje

Broj varijable u Booleovom modelu

Nekretnina 1

Nekretnina 2

Nekretnina 3

Nekretnina 4

Svojstvo 5

tabela 2

Boolean model svojstva

Nekretnina 1	Nekretnina 2	Nekretnina 3	Svojstvo 4 (A)	Svojstvo 4 (B)	Svojstvo 5
					e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Glavno svojstvo dosegljivosti (k = 2). Neka je X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1). Početni i ciljni skupovi definirani su jednadžbama G0(x) = x1 = 0 i . Bulova jednadžba (12) u ovom slučaju ima oblik

gdje je funkcija ϕ(x0, x1, x2) definirana u (14). IR REBUS rješavač daje odgovor "unsat" (jednačina nema nule), tako da je zadovoljeno svojstvo dosegljivosti X* iz X0, što se jasno vidi iz sljedećeg dijagrama tranzicije prikazanog na slici.

2. Ciklusi dužine k = 2. Ciklični niz dužine 2 (ako postoji) rješenje je Booleove jednadžbe

Funkcija izgleda tako

Izraz R(x0, x1) nije uključen u jednačinu kada je ciklus pronađen, jer u modelu (13) nema ciklusa dužine k = 1 (ravnotežna stanja). Koristeći IR REBUS rešavač, dobijena su dva odgovora (u DIMACS izlaznom formatu): 1 2 3 4 5 -6 0 i 1 2 -3 4 5 6 0, koji odgovaraju cikličnim sekvencama (slika): ((1 1 1) , (1 1 0)) i ((1 1 0), (1 1 1)). Skupovi stanja oba ciklusa se poklapaju, što znači da model (13) ima jedan ciklus dužine k = 2.

Dijagram tranzicije sistema (13)

3. Svojstvo izolacije ciklusa. Ako su elementi s skupa stanja C ciklusa dužine k = 2 određeni rješenjem Booleove jednadžbe Gc(s) = 0, tada je uvjet izolacije ciklusa ekvivalentan odsustvu nula u sljedećem Booleovu jednadžba:

Pošto je C = ((1 1 1), (1 1 0)), imamo

Za ovu jednačinu IR REBUS rješavač pronalazi dva rješenja: -1 2 3 4 5 -6 0 i -1 2 -3 4 5 -6 0 (u binarnom prikazu, prema kodiranju varijabli u Tabeli 1, to su parovi stanja (0 1 1), (1 1 0) i ((0 1 0), (1 1 0)) Dakle, stanje ciklusa (1 1 0) ima dva prethodnika, (0 1 1) i (0 1 0), koji ne pripadaju ciklusu skupa stanja To znači da izolaciona osobina ciklusa nije zadovoljena, odnosno ovaj ciklus je atraktor.

4. Svojstvo privlačnosti. Neka je X* = C atraktor. Logička formula svojstva privlačnosti ista je kao i formula glavnog svojstva dosegljivosti

a odgovarajuća Bulova jednačina za naš slučaj ima oblik

Napišimo funkcije G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) i . Funkcija ϕ(x0, x1, x2) data je u (14). Za X* = C, izraz je . Razmotrimo dvije opcije za postavljanje skupa početnih stanja X0, za slučajeve ispunjenja (A) i neispunjenja (B) svojstva privlačnosti za k = 2 ciklusa.

A. Neka . Onda

U ovom slučaju, za Booleovu jednačinu (15), odgovor je "nezasićen". Svojstvo privlačnosti za dati skup X0 je zadovoljeno.

B. Neka . Onda

U ovom slučaju, IR REBUS za jednačinu (15) nalazi rješenje: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, koje odgovara putanji ((1 0 1),(1 0 0),(0 1 1)) . Ova putanja sa početnim stanjem x0 = (1 0 1) ne dostiže skup X* = C u dva ciklusa, što znači da osobina privlačenja ne može biti zadovoljena za dati X0.

5. Svojstvo povezivanja. Logička formula svojstva povezanosti ima oblik sljedećeg iskaza:

Za k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), pri čemu je funkcija ϕ(x0, x1, x2) data u (14). Odaberimo stanje (1 0 1) kao početno stanje. Onda . Neka cilj postavi X* = ((0 1 1), (1 0 0)). U ovom slučaju, funkcija G*(x*) ima oblik

Napišimo G*(x*) u CNF formatu:

Koristeći De-Morganov zakon, nalazimo negaciju funkcije ϕ*(x0, x1, x2). Zamjenom svih dobivenih funkcija u (16) i uzimajući u obzir kodiranje Bulovih varijabli (Tablica 1), dobijamo Boolean model u QDIMACS formatu (Tablica 2). DepQBF rješavač daje odgovor "sat", što znači istinitost iskaza (16). Svojstvo povezanosti za date X0, X*, T = (1, 2) je zadovoljeno.

Zaključak

Glavne prednosti metode Booleovog ograničenja u kvalitativnom proučavanju DDS-a uključuju:

1. Logički jezik koji koristi stručnjak za dinamiku automata za specifikaciju dinamičkog svojstva upotrebom kvantifikatora ograničenog postojanja i univerzalnosti.

2. Na osnovu formule svojstava i dinamičkih jednačina, automatski se izvodi konstrukcija odgovarajuće Bulove jednačine ili kvantifikovane Bulove formule.

3. Prilično je jednostavno automatizirati proces pretvaranja rezultirajućih Booleovih izraza u konjunktivni normalni oblik uz daljnju generiranje datoteke u DIMAX i QDIMAX formatima, koji su ulaz za SAT rješavače i QBF rješavače.

4. Problem smanjenja nabrajanja je u određenoj mjeri riješen od strane programera ovih rješavača i zaštićen je od stručnjaka za kvalitativnu analizu DDS-a.

5. Omogućena je mogućnost rješavanja problema kvalitativne analize DDS-a za velike dimenzije vektora stanja n na dovoljno dugom vremenskom intervalu T. U pogledu broja stanja, metoda Booleovog ograničenja je kvantitativno srazmjerna provjeri modela metoda. Zbog činjenice da je posljednjih godina došlo do značajnog povećanja performansi specijaliziranih algoritama za rješavanje SAT i TQBF problema, ukupan broj varijabli u modelu Booleovih svojstava za moderne rješavače može se mjeriti u hiljadama.

Softver za kvalitativnu analizu DDS baziran na metodi Bulovog ograničenja implementiran je u okviru servisno orijentisanog pristupa korišćenjem specijalizovanih rešavača Bulovih jednačina. U radu je prikazan primjer implementacije metode Bulovog ograničenja zasnovanog na pristupu orijentisanom na usluge za traženje ciklusa i ravnotežnih stanja u regulatornim mrežama gena.

Treba napomenuti da je Bulova metoda ograničenja prilično opšta metoda za kvalitativnu analizu DDS-a u konačnom vremenskom intervalu. Primenljiva je ne samo na autonomne sisteme, već i na sisteme sa kontrolnim ulazima, na sisteme sa dubinom memorije većom od jedan, na opšti DDS, kada je prelazna funkcija nerešiva ​​u odnosu na stanje xt i ima oblik F(xt , xt-1) = 0. Za DDS sa ulazima, svojstvo upravljivosti i njegove različite varijacije su od posebne važnosti. Pored problema DDS analize, Boolean metoda ograničenja je primjenjiva i na probleme sinteze povratne sprege (statičke ili dinamičke, po stanju ili po ulazu), koji osiguravaju ispunjenje traženog dinamičkog svojstva u sintetiziranom sistemu.

Studiju je podržala Ruska fondacija za osnovna istraživanja, projekat br. 18-07-00596/18.

Bibliografska veza

Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pašinjin A.A. BOLOVA OGRANIČENJA U KVALITATIVNOJ ANALIZI BINARNIH DINAMIČKIH SISTEMA // Međunarodni časopis za primijenjena i fundamentalna istraživanja. - 2018. - br. 9. - str. 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (datum pristupa: 18.03.2020.). Predstavljamo Vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Akademija prirodne istorije"