Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo nam omogućavaju da vas kontaktiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i predstojeći događaji.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Y \u003d f (x) i ako se u ovom trenutku može nacrtati tangenta na graf funkcije koja nije okomita na x-os, tada je nagib tangente f "(a). Ovo smo već koristili nekoliko Na primjer, u § 33 je utvrđeno da grafik funkcije y = sin x (sinusoida) u početku formira ugao od 45 ° sa osom apscise (tačnije, tangenta na graf na ishodište čini ugao od 45° sa pozitivnim smerom x ose), a u primeru 5 § 33 tačke su pronađene na datom rasporedu funkcije, u kojem je tangenta paralelna s x-osi. U primjeru 2 iz § 33, sastavljena je jednadžba za tangentu na graf funkcije y = x 2 u tački x = 1 (tačnije, u tački (1; 1), ali češće samo vrijednost apscise je naznačena, uz pretpostavku da ako je vrijednost apscise poznata, onda se vrijednost ordinate može naći iz jednačine y = f(x)). U ovom dijelu ćemo razviti algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf bilo koje funkcije.

Neka su data funkcija y \u003d f (x) i tačka M (a; f (a)), a poznato je i da f "(a) postoji. Sastavimo jednadžbu tangente na graf datu funkciju u datoj tački.Ova jednadžba je kao jednačina bilo koje prave linije, koja nije paralelna sa y-osi, ima oblik y = kx + m, tako da je problem pronaći vrijednosti koeficijenata k i m.

Nema problema s nagibom k: znamo da je k = f "(a). Za izračunavanje vrijednosti m koristimo činjenicu da željena linija prolazi kroz tačku M (a; f (a)). To znači da ako zamenimo koordinate tačaka M u jednadžbu ravne linije, dobijamo tačnu jednakost: f (a) = ka + m, odakle nalazimo da je m = f (a) - ka.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti koeficijenata kita jednačina ravno:

Dobili smo jednadžbu tangente na graf funkcije y = f (x) u tački x \u003d a.
ako, recimo,
Zamjenom u jednadžbi (1) pronađene vrijednosti a = 1, f (a) = 1 f "(a) = 2, dobivamo: y = 1 + 2 (x-f), tj. y = 2x -1.
Uporedite ovaj rezultat sa onim dobijenim u Primeru 2 iz § 33. Naravno, desilo se isto.
Sastavimo jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d tg x na početku. Imamo: dakle cos x f "(0) = 1. Zamjenom pronađenih vrijednosti a = 0, f (a) = 0, f "(a) = 1 u jednadžbu (1), dobivamo: y = x .
Zato smo povukli tangentoid u § 15 (vidi sliku 62) kroz ishodište koordinata pod uglom od 45° u odnosu na osu apscise.
Rešavanje ovih problema je dovoljno jednostavni primjeri, zapravo smo koristili određeni algoritam, koji je ugrađen u formulu (1). Učinimo ovaj algoritam eksplicitnim.

ALGORITAM ZA SASTAVLJANJE JEDNAČINE FUNKCIJE TANGENTE NA GRAFIK y = f (x)

1) Apscisu dodirne tačke označiti slovom a.
2) Izračunajte 1 (a).
3) Pronađite f "(x) i izračunajte f" (a).
4) Pronađene brojeve a, f(a), (a) zamijeniti u formulu (1).

Primjer 1 Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije u tački x = 1.
Koristimo algoritam, s obzirom na to u ovom primjeru

Na sl. 126 prikazuje hiperbolu, izgrađena je ravna linija y = 2x.
Crtež potvrđuje gornje proračune: zaista, prava y = 2-x dodiruje hiperbolu u tački (1; 1).

odgovor: y \u003d 2-x.
Primjer 2 Nacrtajte tangentu na graf funkcije tako da bude paralelna pravoj liniji y = 4x - 5.
Pročistimo formulaciju problema. Zahtjev da se "nacrta tangenta" obično znači "napraviti jednadžbu za tangentu". Ovo je logično, jer ako je osoba bila u stanju da sastavi jednadžbu za tangentu, onda je malo vjerovatno da će imati poteškoća da gradi na koordinatna ravan prava linija prema njenoj jednačini.
Koristimo algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente, s obzirom da u ovom primjeru, ali, za razliku od prethodnog primjera, ovdje postoji nejasnoća: apscisa tačke tangente nije eksplicitno naznačena.
Počnimo ovako. Željena tangenta mora biti paralelna pravoj liniji y = 4x-5. Dvije prave su paralelne ako i samo ako su im nagibi jednaki. To znači da nagib tangente mora biti jednak nagibu date prave linije: Dakle, možemo pronaći vrijednost a iz jednadžbe f "(a) \u003d 4.
Imamo:
Iz jednačine, dakle, postoje dvije tangente koje zadovoljavaju uslove zadatka: jedna u tački sa apscisom 2, druga u tački sa apscisom -2.
Sada možete djelovati prema algoritmu.

Primjer 3 Iz tačke (0; 1) nacrtajte tangentu na graf funkcije
Koristimo algoritam za sastavljanje jednačine tangente, s obzirom da u ovom primjeru Imajte na umu da ovdje, kao u primjeru 2, apscisa tačke tangente nije eksplicitno naznačena. Ipak, postupamo prema algoritmu.

Po uslovu, tangenta prolazi kroz tačku (0; 1). Zamjenom u jednačinu (2) vrijednosti x = 0, y = 1, dobijamo:
Kao što vidite, u ovom primjeru, tek u četvrtom koraku algoritma uspjeli smo pronaći apscisu dodirne tačke. Zamjenom vrijednosti a \u003d 4 u jednadžbu (2), dobivamo:

Na sl. 127 prikazuje geometrijsku ilustraciju razmatranog primjera: graf funkcije

U § 32 smo primijetili da za funkciju y = f(x), koja ima izvod u fiksnoj tački x, vrijedi približna jednakost:

Radi pogodnosti daljeg razmišljanja, mijenjamo notaciju: umjesto x pisaćemo a, umjesto toga ćemo pisati x, i u skladu s tim ćemo umjesto toga pisati x-a. Tada će približna jednakost koja je gore napisana poprimiti oblik:

Sada pogledajte sl. 128. Tangenta je nacrtana na graf funkcije y = f (x) u tački M (a; f (a)). Označena tačka x na x-osi blizu a. Jasno je da je f(x) ordinata grafa funkcije u navedenoj tački x. A šta je f (a) + f "(a) (x-a)? Ovo je ordinata tangente koja odgovara istoj tački x - vidi formulu (1). Šta znači približna jednakost (3)? To je izračunati približnu vrijednost funkcije, uzima se vrijednost tangentne ordinate.

Primjer 4 Odrediti približnu vrijednost numeričkog izraza 1,02 7 .
Govorimo o pronalaženju vrijednosti funkcije y = x 7 u tački x = 1,02. Koristimo formulu (3), uzimajući u obzir to u ovom primjeru
Kao rezultat, dobijamo:

Ako koristimo kalkulator, dobijamo: 1,02 7 = 1,148685667...
Kao što vidite, tačnost aproksimacije je sasvim prihvatljiva.
odgovor: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich algebra 10 razred

Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, matematika u školi preuzimanje

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir prezentacije lekcije akcelerativne metode interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice samoispitivanja, obuke, slučajevi, zadaci pitanja za raspravu o domaćim zadacima retorička pitanja od studenata Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike grafike, tabele, šeme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjenom zastarjelih znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice diskusioni programi Integrisane lekcije

Vrsta posla: 7

Stanje

Prava y=3x+2 tangenta je na graf funkcije y=-12x^2+bx-10. Naći b , s obzirom da je apscisa dodirne tačke manja od nule.

Prikaži rješenje

Rješenje

Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=-12x^2+bx-10 kroz koju prolazi tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, tj. y"(x_0)=-24x_0+b=3. S druge strane, tačka tangente pripada i grafu funkcije i tangenta, tj. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Dobijamo sistem jednadžbi \begin(slučajevi) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(slučajevi)

Rješavajući ovaj sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, dodirne tačke su manje od nule, dakle x_0=-1, zatim b=3+24x_0=-21.

Odgovori

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Prava y=-3x+4 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=-x^2+5x-7. Pronađite apscisu dodirne tačke.

Prikaži rješenje

Rješenje

Nagib linije prema grafu funkcije y=-x^2+5x-7 u proizvoljnoj tački x_0 je y"(x_0). Ali y"=-2x+5, tako da je y"(x_0)=- 2x_0+5.Ugaoni koeficijent prave y=-3x+4 specificiran u uslovu je -3.Paralelne linije imaju iste koeficijente nagiba.Zbog toga nalazimo takvu vrijednost x_0 da je =-2x_0 +5=-3.

Dobijamo: x_0 = 4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. Nivo profila". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Prikaži rješenje

Rješenje

Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi kroz tačke A(-6; 2) i B(-1; 1). Sa C(-6; 1) označimo tačku preseka pravih x=-6 i y=1, a sa \alfa ugao ABC (na slici se vidi da je oštar). Tada pravac AB formira tupi ugao \pi -\alpha sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Kao što znate, tg(\pi -\alpha) će biti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x_0. primeti, to tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odavde, pomoću formula redukcije, dobijamo: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Prava y=-2x-4 tangenta je na graf funkcije y=16x^2+bx+12. Naći b , s obzirom da je apscisa dodirne tačke veća od nule.

Prikaži rješenje

Rješenje

Neka je x_0 apscisa tačke na grafu funkcije y=16x^2+bx+12 kroz koju

je tangenta na ovaj graf.

Vrijednost derivacije u tački x_0 jednaka je nagibu tangente, tj. y"(x_0)=32x_0+b=-2. S druge strane, tačka tangente pripada i grafu funkcije i tangenta, tj. 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Dobijamo sistem jednadžbi \begin(slučajevi) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(slučajevi)

Rješavajući sistem, dobijamo x_0^2=1, što znači ili x_0=-1 ili x_0=1. Prema uslovu apscise, dodirne tačke su veće od nule, dakle x_0=1, zatim b=-2-32x_0=-34.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) definirane na intervalu (-2; 8). Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y=6.

Prikaži rješenje

Rješenje

Prava y=6 je paralelna sa Ox osom. Dakle, nalazimo takve tačke u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna sa Ox osom. Na ovaj grafikon takve tačke su tačke ekstrema (maksimalne ili minimalne tačke). Kao što vidite, postoje 4 ekstremne tačke.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Prava y=4x-6 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=x^2-4x+9. Pronađite apscisu dodirne tačke.

Prikaži rješenje

Rješenje

Nagib tangente na graf funkcije y \u003d x ^ 2-4x + 9 u proizvoljnoj tački x_0 je y "(x_0). Ali y" \u003d 2x-4, što znači y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Nagib tangente y = 4x-7 specificiran u uvjetu jednak je 4. Paralelne prave imaju iste nagibe. Dakle, nalazimo takvu vrijednost x_0 da je 2x_0-4 = 4. Dobijamo : x_0 \u003d 4.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za ispit-2017. nivo profila. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Vrsta posla: 7
Tema: Geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije

Stanje

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x_0. Pronađite vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x_0.

Prikaži rješenje

Rješenje

Sa slike utvrđujemo da tangenta prolazi kroz tačke A(1; 1) i B(5; 4). Sa C(5; 1) označimo tačku preseka pravih x=5 i y=1, a sa \alfa ugao BAC (na slici se vidi da je oštar). Tada pravac AB formira ugao \alpha sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Tangenta je prava linija koja prolazi kroz tačku krive i poklapa se s njom u ovoj tački do prvog reda (slika 1).

Druga definicija: ovo je granična pozicija sekante na Δ x→0.

Objašnjenje: Uzmite pravu koja siječe krivu u dvije tačke: ALI i b(vidi sliku). Ovo je sekansa. Okrenut ćemo ga u smjeru kazaljke na satu dok ne bude samo jedan zajednička tačka sa krivinom. Tako da dobijamo tangentu.

Stroga definicija tangente:

Tangenta na graf funkcije f, diferencibilan u jednoj tački xo, je prava koja prolazi kroz tačku ( xo; f(xo)) i ima nagib f′( xo).

Nagib ima ravnu liniju y=kx +b. Koeficijent k i je faktor nagiba ovu pravu liniju.

Ugaoni koeficijent je jednak tangenti oštar ugao formirana ovom pravom linijom sa osom apscisa:

k = tgα

Ovdje je ugao α ugao između prave y=kx +b i pozitivan (tj. u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) smjer x-ose. To se zove ugao nagiba ravno(Sl.1 i 2).

Ako je ugao nagiba ravan y=kx +b akutna, onda je nagib pozitivan broj. Grafikon se povećava (slika 1).

Ako je ugao nagiba ravan y=kx +b tupo, onda je nagib negativan broj. Grafikon se smanjuje (slika 2).

Ako je prava paralelna sa x-osi, onda je nagib prave nula. U ovom slučaju, nagib prave je također nula (pošto je tangenta nule nula). Jednačina prave linije će izgledati kao y = b (slika 3).

Ako je ugao nagiba prave linije 90º (π/2), odnosno okomit je na os x, tada je ta prava data jednakošću x=c, gdje c- neki realni broj (slika 4).

Jednadžba tangente na graf funkcijey = f(x) u tački xo:

Primjer: Nađimo jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 u tački sa apscisom 2.

Rješenje .

Pratimo algoritam.

1) Točka dodira xo jednako 2. Izračunaj f(xo):

f(xo) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Pronađite f′( x). Da bismo to učinili, koristimo formule diferencijacije navedene u prethodnom odjeljku. Prema ovim formulama, X 2 = 2X, a X 3 = 3X 2. znači:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Sada, koristeći rezultirajuću vrijednost f′( x), izračunati f′( xo):

f′( xo) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Dakle, imamo sve potrebne podatke: xo = 2, f(xo) = 1, f ′( xo) = 4. Zamjenjujemo ove brojeve u tangentnu jednadžbu i nalazimo konačno rješenje:

y= f(xo) + f′( xo) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x - 2) = 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x = 4x - 7.

Odgovor: y \u003d 4x - 7.

Jednadžba tangente na graf funkcije

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Chelyabinsk region

Jednadžba tangente na graf funkcije

Članak je objavljen uz podršku Hotelskog kompleksa ITAKA+. Boraveći u gradu brodograditelja Severodvinsk, nećete se suočiti s problemom pronalaska privremenog smještaja. , na web stranici hotelskog kompleksa "ITAKA +" http://itakaplus.ru, možete jednostavno i brzo iznajmiti stan u gradu, za bilo koji period, uz dnevno plaćanje.

Na sadašnjoj fazi razvoj obrazovanja kao jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno misleće ličnosti. Sposobnost za kreativnost kod učenika se može razviti samo ako su sistematski uključeni u osnove istraživačke aktivnosti. Osnova da učenici koriste svoje kreativne snage, sposobnosti i talente su formirana punopravna znanja i vještine. U tom smislu, problem formiranja sistema osnovnih znanja i vještina za svaku temu školskog predmeta matematike je od velikog značaja. Istovremeno, potpune vještine trebaju biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već njihovog pažljivo osmišljenog sistema. U najširem smislu, sistem se shvata kao skup međusobno povezanih elemenata koji imaju integritet i stabilnu strukturu.

Razmotrimo metodologiju za podučavanje učenika kako da sastave jednadžbu tangente na graf funkcije. U suštini, svi zadaci za pronalaženje jednačine tangente svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, familije) linija izaberu one od njih koje zadovoljavaju određeni zahtjev – tangente su na graf određene funkcije. U ovom slučaju, skup linija iz kojih se vrši odabir može se specificirati na dva načina:

a) tačka koja leži na ravni xOy (centralna olovka pravih);
b) ugaoni koeficijent (paralelni snop linija).

S tim u vezi, prilikom proučavanja teme "Tangensa na graf funkcije" u cilju izolacije elemenata sistema, identificirali smo dvije vrste zadataka:

1) zadaci na tangentu zadanu tačkom kroz koju ona prolazi;
2) zadaci na tangentu zadanu njenim nagibom.

Učenje rješavanja problema na tangenti provedeno je pomoću algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njegova temeljna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne točke označena slovom a (umjesto x0), u vezi s tim jednadžba tangente ima oblik

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(uporedi sa y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ova metodološka tehnika, po našem mišljenju, omogućava studentima da brzo i lako shvate gdje su upisane koordinate trenutne tačke u opštoj jednačini tangente, i gde su dodirne tačke.

Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f(x)

1. Označite slovom a apscisu dodirne tačke.
2. Naći f(a).
3. Pronađite f "(x) i f "(a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f (a), f "(a). opšta jednačina tangenta y = f (a) = f "(a) (x - a).

Ovaj algoritam se može sastaviti na osnovu samostalnog odabira operacija od strane učenika i redosleda njihovog izvođenja.

Praksa je pokazala da dosljedno rješavanje svakog od ključnih zadataka pomoću algoritma omogućava formiranje sposobnosti pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao jake tačke za akcije . Ovaj pristup odgovara teoriji postupnog formiranja mentalnih radnji koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identifikovana su dva ključna zadatka:

• tangenta prolazi kroz tačku koja leži na krivulji (problem 1);
• tangenta prolazi kroz tačku koja ne leži na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Izjednačiti tangentu na graf funkcije u tački M(3; – 2).

Rješenje. Tačka M(3; – 2) je dodirna tačka, pošto

1. a = 3 - apscisa dodirne tačke.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 je tangentna jednadžba.

Zadatak 2. Napišite jednačine svih tangenti na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2, prolazeći kroz tačku M(- 3; 6).

Rješenje. Tačka M(– 3; 6) nije tangentna tačka, jer je f(– 3) 6 (sl. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - tangentna jednadžba.

Tangenta prolazi kroz tačku M(– 3; 6), pa njene koordinate zadovoljavaju jednačinu tangente.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ako je a = – 4, onda je tangentna jednadžba y = 4x + 18.

Ako je a \u003d - 2, tada tangentna jednadžba ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti ključni zadaci će biti sljedeći:

• tangenta je paralelna nekoj pravoj liniji (problem 3);
• tangenta prolazi pod nekim uglom na datu pravu (problem 4).

Zadatak 3. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = x 3 - 3x 2 + 3, paralelno s pravom y = 9x + 1.

Rješenje.

1. a - apscisa dodirne tačke.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Ali, s druge strane, f "(a) = 9 (uslov paralelizma). Dakle, moramo riješiti jednačinu 3a 2 - 6a = 9. Njeni korijeni a = 1, a = 3 (sl. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 je tangentna jednačina;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x – 24 je tangentna jednačina.

Zadatak 4. Napišite jednačinu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, koja prolazi pod uglom od 45° na pravu liniju y = 0 (slika 4).

Rješenje. Iz uslova f "(a) = tg 45 ° nalazimo a: a - 3 \u003d 1^a=4.

1. a = 4 - apscisa dodirne tačke.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - jednadžba tangente.

Lako je pokazati da se rješenje bilo kojeg drugog problema svodi na rješenje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva problema kao primjer.

1. Napišite jednačine tangenti na parabolu y = 2x 2 - 5x - 2, ako se tangente seku pod pravim uglom i jedna od njih dodiruje parabolu u tački sa apscisom 3 (slika 5).

Rješenje. Pošto je data apscisa dodirne tačke, prvi dio rješenja svodi se na ključni problem 1.

1. a \u003d 3 - apscisa dodirne točke jedne od strana pravog kuta.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - jednadžba prve tangente.

Neka a je ugao nagiba prve tangente. Pošto su tangente okomite, onda je ugao nagiba druge tangente. Iz jednačine y = 7x – 20 prve tangente imamo tg a = 7. Pronađite

To znači da je nagib druge tangente .

Dalje rješenje se svodi na ključni zadatak 3.

Neka je B(c; f(c)) tačka tangente druge linije

1. - apscisa druge dodirne tačke.
2.
3.
4.
je jednadžba druge tangente.

Bilješka. Ugaoni koeficijent tangente može se lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravih k 1 k 2 = - 1.

2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Rješenje. Zadatak se svodi na pronalaženje apscisa dodirnih tačaka zajedničkih tangenti, odnosno na rešavanje ključnog problema 1 u opštem obliku, sastavljanje sistema jednačina i njegovo rešavanje (slika 6).

1. Neka je a apscisa dodirne tačke koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Neka je c apscisa tačke tangente koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Pošto su tangente uobičajene, onda

Dakle, y = x + 1 i y = - 3x - 3 su zajedničke tangente.

Osnovni cilj razmatranih zadataka je priprema učenika za samoprepoznavanje tipa ključnog zadatka pri rješavanju složenijih zadataka koji zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, upoređivanja, generalizacije, postavljanja hipoteze i sl.). Takvi zadaci uključuju svaki zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo kao primjer problem (inverzan problemu 1) nalaženja funkcije iz porodice njenih tangenta.

3. Za koje su b i c linije y = x i y = - 2x tangente na graf funkcije y = x 2 + bx + c?

Rješenje.

Neka je t apscisa tačke dodira prave y = x sa parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa dodirne tačke prave y = - 2x sa parabolom y = x 2 + bx + c. Tada će jednačina tangente y = x poprimiti oblik y = (2t + b)x + c - t 2 , a jednačina tangente y = - 2x će imati oblik y = (2p + b)x + c - p 2 .

Sastavite i riješite sistem jednačina

odgovor:

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Napišite jednadžbe tangenti povučenih na graf funkcije y = 2x 2 - 4x + 3 u tačkama preseka grafika sa pravom y = x + 3.

Odgovor: y = - 4x + 3, y = 6x - 9,5.

2. Za koje vrijednosti a tangenta povučena na graf funkcije y = x 2 - ax u tački grafa sa apscisom x 0 = 1 prolazi kroz tačku M (2; 3) ?

Odgovor: a = 0,5.

3. Za koje vrijednosti p linija y = px - 5 dodiruje krivu y = 3x 2 - 4x - 2?

Odgovor: p 1 = - 10, p 2 \u003d 2.

4. Pronađite sve zajedničke tačke grafa funkcije y = 3x - x 3 i tangentu povučenu na ovaj graf kroz tačku P(0; 16).

Odgovor: A(2; - 2), B(- 4; 52).

5. Pronađite najkraću udaljenost između parabole y = x 2 + 6x + 10 i prave

odgovor:

6. Na krivulji y = x 2 - x + 1 pronađite tačku u kojoj je tangenta na graf paralelna s pravom y - 3x + 1 = 0.

Odgovor: M(2; 3).

7. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = x 2 + 2x - | 4x | koji ga dodiruje u dvije tačke. Napravite crtež.

Odgovor: y = 2x - 4.

8. Dokazati da prava y = 2x – 1 ne siječe krivu y = x 4 + 3x 2 + 2x. Pronađite udaljenost između njihovih najbližih tačaka.

odgovor:

9. Na paraboli y = x 2 uzimaju se dvije tačke sa apscisama x 1 = 1, x 2 = 3. Kroz ove tačke se povlači sekansa. U kojoj tački parabole će tangenta na nju biti paralelna sa povučenom sekantom? Napišite jednadžbe za sekans i tangentu.

Odgovor: y \u003d 4x - 3 - jednadžba sekante; y = 4x – 4 je tangentna jednačina.

10. Pronađite ugao q između tangenti na graf funkcije y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, nacrtan u tačkama sa apscisama 0 i 1.

Odgovor: q = 45°.

11. U kojim tačkama tangenta na graf funkcije formira ugao od 135° sa osom Ox?

Odgovor: A(0; - 1), B(4; 3).

12. U tački A(1; 8) do krive povučena je tangenta. Odredite dužinu tangentnog segmenta zatvorenog između koordinatnih osa.

odgovor:

13. Napišite jednadžbu svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija y = x 2 - x + 1 i y = 2x 2 - x + 0,5.

Odgovor: y = - 3x i y = x.

14. Pronađite udaljenost između tangenti na graf funkcije paralelno sa x-osom.

odgovor:

15. Odredite pod kojim uglovima parabola y = x 2 + 2x - 8 siječe x-osu.

Odgovor: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (- 6).

16. Na grafu funkcije pronaći sve tačke, od kojih tangenta u svakoj na ovaj graf siječe pozitivne poluose koordinata, odsijecajući od njih jednake segmente.

Odgovor: A(-3; 11).

17. Prava y = 2x + 7 i parabola y = x 2 – 1 seku se u tačkama M i N. Pronađite presečnu tačku K pravih tangentnih na parabolu u tačkama M i N.

Odgovor: K(1; - 9).

18. Za koje vrijednosti b je prava y = 9x + b tangenta na graf funkcije y = x 3 - 3x + 15?

Odgovor: - 1; 31.

19. Za koje vrijednosti k prava y = kx – 10 ima samo jednu zajedničku tačku sa grafikom funkcije y = 2x 2 + 3x – 2? Za pronađene vrijednosti k, odredite koordinate tačke.

Odgovor: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Za koje vrijednosti b tangenta povučena na graf funkcije y = bx 3 – 2x 2 – 4 u tački sa apscisom x 0 = 2 prolazi kroz tačku M(1; 8)?

Odgovor: b = - 3.

21. Parabola sa vrhom na Ox-osi tangenta je na pravu koja prolazi kroz tačke A(1; 2) i B(2; 4) u tački B. Pronađite jednačinu parabole.

odgovor:

22. Pri kojoj vrijednosti koeficijenta k parabola y \u003d x 2 + kx + 1 dodiruje osu Ox?

Odgovor: k = q 2.

23. Pronađite uglove između prave y = x + 2 i krive y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Pronađite rastojanje između tangenti na graf generatora funkcija sa pozitivnim smjerom ose Ox pod kutom od 45°.

odgovor:

30. Nađite geometrijsko mjesto vrhova svih parabola oblika y = x 2 + ax + b koji dodiruju pravu y = 4x - 1.

Odgovor: prava y = 4x + 3.

Književnost

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra i počeci analize: 3600 zadataka za učenike i studente. - M., Drfa, 1999.
2. Mordkovich A. Četvrti seminar za mlade nastavnike. Tema je "Derivatne aplikacije". - M., "Matematika", br. 21/94.
3. Formiranje znanja i vještina zasnovanih na teoriji postupne asimilacije mentalnih radnji. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moskovski državni univerzitet, 1968.