Unesite funkciju za koju želite pronaći integral

Kalkulator pruža DETALJNO rješenje određenih integrala.

Ovaj kalkulator rješava definitivni integral funkcije f(x) sa datim gornjim i donjim granicama.

Primjeri

Uz korištenje diplome
(kvadrat i kocka) i razlomci

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Kvadratni korijen

Sqrt(x)/(x + 1)

kockasti koren

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Korištenje sinusa i kosinusa

2*sin(x)*cos(x)

Arcsine

X*arcsin(x)

Arc kosinus

x*arccos(x)

Primjena logaritma

X*log(x, 10)

prirodni logaritam

Izlagač

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Iracionalni razlomci

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangent

X*arctg(x)

Arc tangent

X*arcctg(x)

Hiberbolički sinus i kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hiberbolički tangent i kotangens

ctgh(x)/tgh(x)

Hiberbolički arcsin i arkosinus

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolički arktangens i arkotangens

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Pravila za unos izraza i funkcija

Izrazi se mogu sastojati od funkcija (oznake su date abecednim redom): apsolutno (x) Apsolutna vrijednost x
(modul x ili |x|) arccos(x) Funkcija - arc kosinus od x arccosh(x) Arc kosinus hiperboličan iz x arcsin(x) Arcsine from x arcsinh(x) Arksinus hiperbolički iz x arctg(x) Funkcija - tangenta luka od x arctgh(x) Tangenta luka je hiperbolična iz x e e broj koji je približno jednak 2,7 exp(x) Funkcija - eksponent iz x(koji je e^x) log(x) ili log(x) Prirodni logaritam od x
(Za dobijanje log7(x), trebate unijeti log(x)/log(7) (ili, na primjer, for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Broj je "Pi", što je približno jednako 3,14 sin(x) Funkcija - sinus od x cos(x) Funkcija - kosinus od x sinh(x) Funkcija - Hiperbolički sinus od x gotovina(x) Funkcija - Hiperbolički kosinus od x sqrt(x) Funkcija je kvadratni korijen od x sqr(x) ili x^2 Funkcija - kvadrat x tg(x) Funkcija - Tangenta od x tgh(x) Funkcija - Hiperbolički tangent od x cbrt(x) Funkcija je kubni korijen x

U izrazima možete koristiti sljedeće operacije: Realni brojevi unesite u formular 7.5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- divizija x^3- eksponencijaliranje x + 7- dodatak x - 6- oduzimanje
Ostale karakteristike: sprat (x) Funkcija - zaokruživanje x dolje (primjer pod (4.5)==4.0) plafon(x) Funkcija - zaokruživanje x gore (primjer strop(4,5)==5,0) znak(x) Funkcija - Sign x erf(x) Funkcija greške (ili integral vjerovatnoće) laplace(x) Laplaceova funkcija

Izračunajte površinu figure ograničene linijama.

Rješenje.

Pronalazimo tačke preseka datih pravih. Da bismo to uradili, rešavamo sistem jednačina:

Da bismo pronašli apscise tačaka preseka datih pravih, rešavamo jednačinu:

Mi nalazimo: x 1 = -2, x 2 = 4.

Dakle, ove prave, koje su parabola i prava, seku se u tačkama A(-2; 0), B(4; 6).

Ove linije čine zatvorenu figuru, čija se površina izračunava pomoću gornje formule:

Prema Newton-Leibnizovoj formuli nalazimo:

Pronađite površinu područja ograničene elipsom.

Rješenje.

Iz jednadžbe elipse za I kvadrant imamo . Odavde, prema formuli, dobijamo

Primijenimo zamjenu x = a grijeh t, dx = a cos t dt. Nove granice integracije t = α i t = β određuju se iz jednačina 0 = a grijeh t, a = a grijeh t. Može se staviti α = 0 i β = π /2.

Nalazimo jednu četvrtinu potrebne površine

Odavde S = pab.

Pronađite površinu figure ograničenu linijamay = - x 2 + x + 4 iy = - x + 1.

Rješenje.

Nađite tačke preseka pravih y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, izjednačavajući ordinate pravih: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 ili x 2 - 2x- 3 = 0. Pronađite korijene x 1 = -1, x 2 = 3 i njihove odgovarajuće ordinate y 1 = 2, y 2 = -2.

Koristeći formulu površine figure, dobijamo

Pronađite površinu zatvorenu parabolomy = x 2 + 1 i direktnox + y = 3.

Rješenje.

Rješavanje sistema jednačina

naći apscise tačaka preseka x 1 = -2 i x 2 = 1.

Pretpostavljam y 2 = 3 - x i y 1 = x 2 + 1, na osnovu formule koju dobijamo

Izračunajte površinu sadržanu u Bernoullijevoj lemniskatir 2 = a 2 cos 2 φ .

Rješenje.

U polarnom koordinatnom sistemu, površina figure ograničena lukom krive r = f(φ ) i dva polarna radijusa φ 1 = ʅ i φ 2 = ʆ , izražava se integralom

Zbog simetrije krivulje prvo odredimo jednu četvrtinu željene površine

Dakle, ukupna površina je S = a 2 .

Izračunajte dužinu luka astroidax 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Rješenje.

Zapisujemo jednačinu astroida u obliku

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Hajde da stavimo x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 sin t.

Odavde dobijamo parametarske jednačine astroida

x = a cos 3 t, y = a grijeh 3 t, (*)

gdje je 0 ≤ t ≤ 2π .

S obzirom na simetriju krive (*), dovoljno je pronaći jednu četvrtinu dužine luka L odgovara promjeni parametra t od 0 do π /2.

Dobijamo

dx = -3a cos 2 t grijeh t dt, dy = 3a grijeh 2 t cos t dt.

Odavde nalazimo

Integriranje rezultirajućeg izraza u rasponu od 0 do π /2, dobijamo

Odavde L = 6a.

Pronađite područje ograničeno Arhimedovom spiralomr = aφ i dva radijus vektora koji odgovaraju polarnim uglovimaφ 1 iφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Rješenje.

Područje ograničeno krivom r = f(φ ) se izračunava po formuli , gdje je α i β - granice promjene polarnog ugla.

Dakle, dobijamo

(*)

Iz (*) slijedi da je područje ograničeno polarnom osom i prvim zaokretom Arhimedove spirale ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Slično, nalazimo područje ograničeno polarnom osom i drugim zaokretom Arhimedove spirale ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Tražena površina jednaka je razlici ovih površina

Izračunaj zapreminu tela dobijenu rotacijom oko oseOx figura omeđena parabolamay = x 2 ix = y 2 .

Rješenje.

Rešimo sistem jednačina

i dobiti x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, odakle su tačke preseka krivih O(0; 0), B(jedanaest). Kao što se može vidjeti na slici, željeni volumen tijela okretanja jednak je razlici između dva volumena nastala rotacijom oko ose Ox krivolinijski trapezi OCBA i ODBA:

Izračunajte površinu omeđenu osomOx i sinusoiday = grijehx na segmentima: a); b) .

Rješenje.

a) Na segmentu, funkcija sin xčuva znak, a samim tim i formulom , pod pretpostavkom y= grijeh x, mi nalazimo

b) Na segmentu , funkcija sin x menja znak. Za ispravno rješenje zadatka potrebno je segment podijeliti na dva i [ π , 2π ], u svakom od kojih funkcija zadržava svoj predznak.

Prema pravilu znakova, na segmentu [ π , 2π ] područje se uzima sa znakom minus.

Kao rezultat, željena površina je jednaka

Odrediti zapreminu tijela ograničenu površinom dobivenom rotacijom elipseoko glavne osea .

Rješenje.

S obzirom da je elipsa simetrična u odnosu na koordinatne osi, dovoljno je pronaći volumen nastao rotacijom oko ose Ox području OAB, jednako jednoj četvrtini površine elipse, i udvostručiti rezultat.

Označimo volumen tijela revolucije kroz V x; onda, na osnovu formule, imamo , gdje je 0 i a- apscisa tačaka B i A. Iz jednadžbe elipse nalazimo . Odavde

Dakle, potrebna zapremina je jednaka . (Kada se elipsa rotira oko male ose b, zapremina tijela je )

Pronađite područje ograničeno parabolamay 2 = 2 px ix 2 = 2 py .

Rješenje.

Prvo, nalazimo koordinate presječnih tačaka parabola kako bismo odredili interval integracije. Transformirajući originalne jednačine, dobijamo i . Izjednačavanjem ovih vrijednosti dobijamo ili x 4 - 8str 3 x = 0.

x 4 - 8str 3 x = x(x 3 - 8str 3) = x(x - 2str)(x 2 + 2px + 4str 2) = 0.

Pronalazimo korijene jednadžbi:

S obzirom na činjenicu da je tač A presek parabola je u prvoj četvrtini, zatim granice integracije x= 0 i x = 2str.

Željena površina se nalazi po formuli

Primjer1 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 i x = 2

Izgradimo lik (vidi sliku) Gradimo pravu liniju x + 2y - 4 = 0 duž dvije tačke A (4; 0) i B (0; 2). Izražavajući y u terminima x, dobijamo y = -0,5x + 2. Prema formuli (1), gdje je f (x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, mi naći

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 sq. jedinice

Primjer 2 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 i y = 0.

Rješenje. Hajde da napravimo figuru.

Napravimo pravu liniju x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruirajmo pravu liniju x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, S(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Nađite tačku preseka pravih rešavanjem sistema jednačina:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Da bismo izračunali potrebnu površinu, AMC trokut podijelimo na dva trokuta AMN i NMC, jer kada se x promijeni iz A u N, površina je ograničena pravom linijom, a kada se x promijeni iz N u C, to je prava linija

Za trougao AMN imamo: ; y = 0,5x + 2, tj. f (x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Za NMC trougao imamo: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Izračunavajući površinu svakog od trokuta i zbrajajući rezultate, nalazimo:

sq. jedinice

sq. jedinice

9 + 4, 5 = 13,5 kvadratnih metara. jedinice Provjerite: = 0,5AC = 0,5 sq. jedinice

Primjer 3 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

U ovom slučaju potrebno je izračunati površinu krivolinijskog trapeza ograničenog parabolom y = x 2 , prave linije x = 2 i x = 3 i osa Ox (vidi sliku) Prema formuli (1), nalazimo površinu krivolinijskog trapeza

= = 6kv. jedinice

Primjer 4 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = - x 2 + 4 i y = 0

Hajde da napravimo figuru. Željeno područje je zatvoreno između parabole y \u003d - x 2 + 4 i osovina Oh.

Pronađite tačke preseka parabole sa x-osom. Uz pretpostavku y = 0, nalazimo x = Budući da je ova figura simetrična oko ose Oy, izračunavamo površinu figure koja se nalazi desno od ose Oy i udvostručujemo rezultat: \u003d + 4x] kvadrat. jedinice 2 = 2 sq. jedinice

Primjer 5 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Ovdje je potrebno izračunati površinu krivolinijskog trapeza ograničenog gornjom granom parabole y 2 \u003d x, osa Ox i prave linije x = 1x = 4 (vidi sliku)

Prema formuli (1), gdje je f(x) = a = 1 i b = 4, imamo = (= kv. jedinica

Primjer 6 . Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Željena oblast je ograničena polutalasnom sinusoidom i Ox osom (vidi sliku).

Imamo - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kvadratna metra. jedinice

Primjer 7 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = - 6x, y = 0 i x = 4.

Figura se nalazi ispod ose Ox (vidi sliku).

Stoga se njegova površina nalazi po formuli (3)

= =

Primjer 8 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y = i x = 2. Napravit ćemo krivu y = po točkama (vidi sliku). Dakle, površina figure se nalazi po formuli (4)

Primjer 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Ovdje trebate izračunati površinu ograničenu krugom x 2 + y 2 = r 2 , tj. površina kruga poluprečnika r sa središtem u ishodištu. Nađimo četvrti dio ove oblasti, uzimajući granice integracije od 0

dor; imamo: 1 = = [

shodno tome, 1 =

Primjer 10 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y \u003d x 2 i y = 2x

Ova brojka je ograničena parabolom y = x 2 i prava linija y = 2x (vidi sliku) Da bismo odredili točke presjeka datih linija, rješavamo sistem jednadžbi: x 2 – 2x = 0 x = 0 i x = 2

Koristeći formulu (5) za pronalaženje površine, dobijamo

= }