Pravougaoni koordinatni sistem je par okomitih koordinatnih linija, koje se nazivaju koordinatne ose, koje su postavljene tako da se seku u svom početku.
Označavanje koordinatnih osa slovima x i y općenito je prihvaćeno, ali slova mogu biti bilo koja. Ako se koriste slova x i y, tada se ravan naziva xy-ravan. Različite aplikacije mogu koristiti druga slova osim x i y, a kao što je prikazano na slikama ispod, postoje uv avioni i ts-plane.
Ordered Pair
Pod uređenim parom realnih brojeva podrazumijevamo dva realna broja u određenom redoslijedu. Svaka tačka P in koordinatna ravan može se povezati sa jedinstvenim uređenim parom realnih brojeva povlačenjem dve prave kroz tačku P, jednu okomitu na x-osu, a drugu okomitu na y-osu.
Na primjer, ako uzmemo (a,b)=(4,3), onda na koordinatnoj traci
Izgraditi tačku P(a,b) znači definirati tačku sa koordinatama (a,b) na koordinatnoj ravni. Na primjer, razne tačke izgrađeno na slici ispod.
U pravougaonom koordinatnom sistemu, koordinatne ose dele ravan na četiri regiona koji se nazivaju kvadrantima. Numerirani su u smjeru suprotnom od kazaljke na satu rimskim brojevima, kao što je prikazano na slici.
Definicija grafa
raspored jednadžba sa dvije varijable x i y, naziva se skup tačaka na xy ravni, čije su koordinate članovi skupa rješenja ove jednačine
Primjer: nacrtajte grafik y = x 2
Pošto je 1/x nedefinisan kada je x=0, možemo nacrtati samo tačke za koje je x ≠ 0
Primjer: Pronađite sva sjecišta sa osama
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x
Neka je y = 0, zatim 3x = 6 ili x = 2
je tražena tačka presjeka x-ose.
Utvrdivši da je x=0, nalazimo da je tačka preseka y-ose tačka y=3.
Na ovaj način možete riješiti jednačinu (b), a rješenja za (c) su data u nastavku
x-crossing
Neka je y = 0
1/x = 0 => x se ne može odrediti, tj. nema preseka sa y-osom
Neka je x = 0
y = 1/0 => y je takođe nedefinisan, => nema preseka sa y-osom
Na slici ispod, tačke (x,y), (-x,y),(x,-y) i (-x,-y) predstavljaju uglove pravougaonika.
Graf je simetričan oko x-ose ako je za svaku tačku (x,y) grafa tačka (x,-y) takođe tačka na grafu.
Graf je simetričan oko y-ose ako za svaku tačku grafa (x,y) tačka (-x,y) takođe pripada grafu.
Graf je simetričan u odnosu na centar koordinata ako za svaku tačku (x,y) grafa, tačka (-x,-y) takođe pripada ovom grafu.
definicija:
Raspored funkcije na koordinatnoj ravni je definiran kao graf jednadžbe y = f(x)
Grafikon f(x) = x + 2
Primjer 2. Grafikon f(x) = |x|
Grafikon se poklapa sa linijom y = x za x > 0 i sa linijom y = -x
za x< 0 .
graf od f(x) = -x
Kombinacijom ova dva grafikona dobijamo
graf f(x) = |x|
Primjer 3 Graf
t(x) = (x 2 - 4) / (x - 2) \u003d
= ((x - 2)(x + 2)/(x - 2)) =
= (x + 2) x ≠ 2
Stoga se ova funkcija može napisati kao
y = x + 2 x ≠ 2
Grafikon h(x)= x 2 - 4 ili x - 2
grafikon y = x + 2 x ≠ 2
Primjer 4 Graf
Grafovi funkcija s pomakom
Pretpostavimo da je graf funkcije f(x) poznat
Tada možemo pronaći grafove
y = f(x) + c - grafik funkcije f(x), pomjeren
UP za c vrijednosti
y = f(x) - c - grafik funkcije f(x), pomjeren
DOLJE za c vrijednosti
y = f(x + c) - grafik funkcije f(x), pomjeren
LIJEVO za c vrijednosti
y = f(x - c) - grafik funkcije f(x), pomjeren
Desno po c vrijednostima
Primjer 5. Izgradnja
graf y = f(x) = |x - 3| + 2
Pomjerite graf y = |x| 3 vrijednosti udesno da dobijete grafikon
Pomjerite graf y = |x - 3| UP 2 vrijednosti za iscrtavanje y = |x - 3| + 2
Parcela
y = x 2 - 4x + 5
Hajde da se transformišemo zadata jednačina kako slijedi, dodajući 4 na oba dijela:
y + 4 = (x 2 - 4x + 5) + 4 y = (x 2 - 4x + 4) + 5 - 4
y = (x - 2) 2 + 1
Ovdje vidimo da se ovaj graf može dobiti pomicanjem grafika y = x 2 udesno za 2 vrijednosti jer je x 2 i više za 1 vrijednost jer +1.
y = x 2 - 4x + 5
Reflections
(-x, y) je odraz (x, y) oko y-ose
(x, -y) je odraz (x, y) oko x-ose
Grafikoni y = f(x) i y = f(-x) su refleksije jedni drugih oko y-ose
Dijagrami y = f(x) i y = -f(x) su odrazi jedni drugih oko x-ose
Grafikon se može dobiti refleksijom i prevođenjem:
nacrtati graf
Nađimo njegov odraz u odnosu na y-osu i dobijemo graf
Pomjerite ovaj graf u pravu za 2 vrijednosti i dobijete graf
Evo željenog grafikona
Ako se f(x) pomnoži pozitivnom konstantom c, onda
graf f(x) se vertikalno smanjuje ako je 0< c < 1
graf f(x) se proteže okomito ako je c > 1
Kriva nije graf y = f(x) za bilo koju funkciju f
Matematika je prilično složena nauka. Proučavajući ga, potrebno je ne samo rješavati primjere i probleme, već i raditi s raznim figurama, pa čak i avionima. Jedan od najčešće korišćenih u matematici je koordinatni sistem na ravni. Djeca su više od godinu dana podučavana kako pravilno raditi s njim. Stoga je važno znati šta je to i kako s njim pravilno raditi.
Hajde da shvatimo šta je ovaj sistem, koje radnje možete izvršiti s njim, a takođe saznati njegove glavne karakteristike i karakteristike.
Definicija koncepta
Koordinatna ravan je ravan na kojoj je definisan određeni koordinatni sistem. Takvu ravan definiraju dvije prave linije koje se seku pod pravim uglom. Tačka preseka ovih linija je ishodište koordinata. Svaka tačka na koordinatnoj ravni je data parom brojeva, koji se nazivaju koordinate.
U školskom predmetu matematike učenici moraju prilično blisko sarađivati sa koordinatnim sistemom - graditi figure i tačke na njemu, odrediti kojoj ravni pripada ova ili ona koordinata, a također odrediti koordinate tačke i napisati ih ili imenovati. Stoga, hajde da razgovaramo detaljnije o svim karakteristikama koordinata. Ali prvo, hajde da se dotaknemo istorije stvaranja, a zatim ćemo pričati o tome kako raditi na koordinatnoj ravni.
Istorijat
Ideje o stvaranju koordinatnog sistema bile su u danima Ptolomeja. Već tada su astronomi i matematičari razmišljali o tome kako da nauče kako postaviti poziciju tačke na ravni. Nažalost, tada nije postojao nama poznat koordinatni sistem i naučnici su morali da koriste druge sisteme.
U početku postavljaju tačke navodeći geografsku širinu i dužinu. Dugo vremena je to bio jedan od najčešće korištenih načina mapiranja ovih ili onih informacija. Ali 1637. Rene Descartes je stvorio svoj vlastiti koordinatni sistem, kasnije nazvan po "kartezijanskom".
Već u krajem XVII in. koncept "koordinatne ravni" je postao široko korišten u svijetu matematike. Unatoč činjenici da je prošlo nekoliko stoljeća od stvaranja ovog sistema, on se još uvijek široko koristi u matematici, pa čak i u životu.
Primjeri koordinatnih ravnina
Prije nego što počnemo govoriti o teoriji, dat ćemo nekoliko ilustrativnih primjera koordinatne ravni kako biste je mogli zamisliti. Koordinatni sistem se prvenstveno koristi u šahu. Na ploči svaki kvadrat ima svoje koordinate - jedno slovo koordinatno, drugo - digitalno. Uz njegovu pomoć možete odrediti poziciju određenog komada na ploči.
Drugi najupečatljiviji primjer je omiljena igra "Battleship". Zapamtite kako, kada igrate, imenujete koordinatu, na primjer, B3, čime tačno pokazujete gdje ciljate. Istovremeno, prilikom postavljanja brodova, postavljate tačke na koordinatnoj ravni.
Ovaj koordinatni sistem se široko koristi ne samo u matematici, logičke igre, ali i u vojnim poslovima, astronomiji, fizici i mnogim drugim naukama.
Koordinatne ose
Kao što je već spomenuto, u koordinatnom sistemu se razlikuju dvije ose. Hajde da pričamo malo o njima, jer su od velike važnosti.
Prva os - apscisa - je horizontalna. Označava se kao ( Ox). Druga os je ordinata, koja prolazi okomito kroz referentnu tačku i označava se kao ( Oy). Ove dvije ose formiraju koordinatni sistem, dijeleći ravan na četiri četvrtine. Početna tačka se nalazi u tački preseka ove dve ose i poprima vrednost 0 . Samo ako je ravan formirana od dvije ose koje se sijeku okomito i imaju referentnu tačku, to je koordinatna ravan.
Također imajte na umu da svaka od osi ima svoj smjer. Obično, kada se konstruiše koordinatni sistem, uobičajeno je da se smer ose označi u obliku strelice. Pored toga, prilikom konstruisanja koordinatne ravni svaka od osa je potpisana.
četvrtine
Recimo sada nekoliko riječi o takvom konceptu kao što su četvrtine koordinatne ravni. Ravan je podijeljena sa dvije ose na četiri četvrtine. Svaki od njih ima svoj broj, dok je numerisanje ravni u suprotnom smeru kazaljke na satu.
Svaki od kvartova ima svoje karakteristike. Dakle, u prvom tromjesečju apscisa i ordinata su pozitivne, u drugom tromjesečju apscisa je negativna, ordinata je pozitivna, u trećem su i apscisa i ordinata negativne, u četvrtom apscisa je pozitivna, a ordinata negativna.
Pamteći ove karakteristike, lako možete odrediti kojoj četvrti pripada određena točka. Osim toga, ove informacije mogu vam biti korisne ako morate da izvršite proračune koristeći kartezijanski sistem.
Rad sa koordinatnom ravninom
Kada smo shvatili koncept aviona i razgovarali o njegovim četvrtima, možemo prijeći na takav problem kao što je rad s ovim sistemom, a također razgovaramo o tome kako staviti tačke, koordinate figura na njega. Na koordinatnoj ravni to nije tako teško kao što se na prvi pogled čini.
Prije svega, sam sistem je izgrađen, na njega se primjenjuju sve važne oznake. Zatim se radi direktno sa tačkama ili figurama. U ovom slučaju, čak i kod konstruisanja figura, tačke se prvo primenjuju na ravan, a zatim se figure već crtaju.
Pravila za konstruisanje aviona
Ako odlučite početi označavati oblike i tačke na papiru, trebat će vam koordinatna ravan. Na njemu su ucrtane koordinate tačaka. Da biste napravili koordinatnu ravan, potrebni su vam samo ravnalo i olovka ili olovka. Prvo se nacrta horizontalna apscisa, a zatim vertikalna - ordinata. Važno je zapamtiti da se ose sijeku pod pravim uglom.
Sljedeća obavezna stavka je obilježavanje. Jedinice-segmenti su označeni i potpisani na svakoj od osi u oba smjera. To je učinjeno kako biste tada mogli raditi s avionom s maksimalnom pogodnošću.
Označavanje tačke
Hajde sada da pričamo o tome kako nacrtati koordinate tačaka na koordinatnoj ravni. Ovo su osnove koje trebate znati da biste uspješno postavili različite oblike na ravan, pa čak i označili jednadžbe.
Prilikom konstruisanja tačaka treba zapamtiti kako su njihove koordinate ispravno zabilježene. Dakle, obično postavljajući tačku, dva broja se pišu u zagradama. Prva znamenka označava koordinatu točke duž ose apscise, druga - duž ordinatne ose.
Tačku treba izgraditi na ovaj način. Označite prvo na osi Ox datu tačku, a zatim označite tačku na osi Oy. Zatim nacrtajte zamišljene linije iz ovih oznaka i pronađite mjesto njihovog sjecišta - to će biti data tačka.
Sve što treba da uradite je da ga označite i potpišete. Kao što vidite, sve je prilično jednostavno i ne zahtijeva posebne vještine.
Postavljanje oblika
Pređimo sada na takvo pitanje kao što je konstrukcija figura na koordinatnoj ravni. Da biste izgradili bilo koju figuru na koordinatnoj ravni, trebali biste znati kako postaviti tačke na nju. Ako znate kako to učiniti, onda postavljanje figure u avion nije tako teško.
Prije svega, trebat će vam koordinate tačaka na slici. Na njima ćemo primijeniti one koje ste odabrali na naš koordinatni sistem. Razmotrimo crtanje pravougaonika, trougla i kruga.
Počnimo s pravougaonikom. Primjena je prilično laka. Prvo se na ravan primjenjuju četiri točke, koje označavaju uglove pravokutnika. Tada su sve tačke uzastopno povezane jedna s drugom.
Crtanje trougla nije ništa drugačije. Jedina stvar je da ima tri ugla, što znači da su tri tačke primijenjene na ravan, označavajući njene vrhove.
Što se tiče kružnice, ovdje treba znati koordinate dvije tačke. Prva tačka je centar kružnice, druga tačka koja označava njegov poluprečnik. Ove dvije tačke su ucrtane na ravan. Zatim se uzima kompas, mjeri se udaljenost između dvije tačke. Tačka kompasa se postavlja u tačku koja označava centar, a kružnica je opisana.
Kao što vidite, ovdje također nema ništa komplicirano, glavna stvar je da su uvijek pri ruci ravnalo i kompas.
Sada znate kako nacrtati koordinate oblika. Na koordinatnoj ravni to nije tako teško učiniti, kao što se na prvi pogled može činiti.
zaključci
Dakle, s vama smo razmotrili jedan od najzanimljivijih i najosnovnijih pojmova za matematiku s kojim svaki učenik mora da se bavi.
Saznali smo da je koordinatna ravan ravan formirana presekom dve ose. Uz njegovu pomoć možete postaviti koordinate tačaka, staviti oblike na njih. Avion je podijeljen na četvrti, od kojih svaka ima svoje karakteristike.
Glavna vještina koju treba razviti pri radu s koordinatnom ravninom je sposobnost pravilne primjene date bodove. Da biste to učinili, trebali biste znati ispravnu lokaciju osi, karakteristike četvrti, kao i pravila po kojima se postavljaju koordinate tačaka.
Nadamo se da su informacije koje smo prezentirali bile pristupačne i razumljive, te da su vam bile korisne i pomogle u boljem razumijevanju ove teme.
Tačke su “registrovane” - “stanovnici”, svaka tačka ima svoj “kućni broj” – svoju koordinatu. Ako se tačka uzima u ravnini, tada je za njenu "registraciju" potrebno navesti ne samo "kućni broj", već i "broj stana". Podsjetimo kako se to radi.
Nacrtajmo dvije međusobno okomite koordinatne prave i kao početnu tačku na obje prave uzmemo tačku njihovog presjeka, tačku O. Dakle, na ravan je postavljen pravougaoni koordinatni sistem (slika 20) koji transformiše uobičajeni avion koordinirati. Tačka O naziva se ishodište koordinata, koordinatne linije (x-osa i y-osa) nazivaju se koordinatne ose, a pravi uglovi formirani od koordinatnih osa nazivaju se koordinatni uglovi. Koordinate pravougaoni uglovi numerisan kao što je prikazano na slici 20.
A sada se okrenemo slici 21, koja prikazuje pravougaoni koordinatni sistem i označenu tačku M. Povučemo kroz nju pravu liniju paralelnu sa y osom. Prava siječe x-osu u nekoj tački, ova tačka ima koordinatu - na x-osi. Za tačku prikazanu na slici 21, ova koordinata je -1,5, naziva se apscisa tačke M. Zatim kroz tačku M povučemo pravu liniju paralelnu sa x osom. Prava siječe y-osu u nekoj tački, ova tačka ima koordinatu - na y-osi.
Za tačku M, prikazanu na slici 21, ova koordinata je 2, zove se ordinata tačke M. Ukratko napisano ovako: M (-1,5; 2). Apscisa je napisana na prvom mjestu, ordinata - na drugom. Oni koriste, ako je potrebno, drugi oblik zapisa: x = -1,5; y = 2.
Napomena 1 . U praksi, za pronalaženje koordinata tačke M, obično se umesto pravih linija paralelnih sa koordinatnim osama i koje prolaze kroz tačku M grade segmenti ovih pravih od tačke M do koordinatnih ose (slika 22).
Napomena 2. U prethodnom dijelu uveli smo različite oznake za praznine u brojevima. Konkretno, kao što smo se dogovorili, oznaka (3, 5) znači da se na koordinatnoj liniji razmatra interval sa krajevima u tačkama 3 i 5. U ovom odeljku, par brojeva razmatramo kao koordinate tačke; na primjer, (3; 5) je tačka na koordinatna ravan sa apscisom 3 i ordinatom 5. Kako je ispravno odrediti iz simboličke notacije šta je u pitanju: o intervalu ili o koordinatama tačke? Većinu vremena to je jasno iz teksta. Šta ako nije jasno? Obratite pažnju na jedan detalj: koristili smo zarez u oznaci intervala, a zarez u oznaci koordinata. Ovo, naravno, nije mnogo značajno, ali ipak razlika; mi ćemo ga primijeniti.
S obzirom na uvedene termine i oznake, horizontalna koordinatna linija se naziva apscisa, ili x-osa, a vertikalna koordinatna linija se naziva y-osa, ili y-osa. Oznake x, y se obično koriste kada se specificira pravougaoni koordinatni sistem na ravni (vidi sliku 20) i često kažu ovo: dat je koordinatni sistem xOy. Međutim, postoje i druge oznake: na primjer, na slici 23 dat je koordinatni sistem tOs.
Algoritam za pronalaženje koordinata tačke M, date u pravougaonom koordinatnom sistemu hOu
Upravo tako smo postupili, pronalazeći koordinate tačke M na slici 21. Ako tačka M 1 (x; y) pripada prvom koordinatnom uglu, tada je x\u003e 0, y\u003e 0; ako tačka M 2 (x; y) pripada drugom koordinatnom uglu, onda x< 0, у >0; ako tačka M 3 (x; y) pripada trećem koordinatnom uglu, onda x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).
Ali šta se dešava ako tačka čije koordinate treba pronaći leži na jednoj od koordinatnih osa? Neka tačka A leži na x-osi, a tačka B na y-osi (slika 25). Nema smisla crtati ravnu liniju paralelnu y-osi kroz tačku A i pronaći točku presjeka ove linije s x-osom, jer već postoji takva presječna točka - to je tačka A, njena koordinata ( apscisa) je 3. Na isti način, ne morate povlačiti kroz tačku I pravu paralelnu x-osi - ova prava je sama x-osa, koja siječe y-osu u tački O sa koordinatom ( ordinata) 0. Kao rezultat, za tačku A dobijamo A (3; 0). Slično, za tačku B dobijamo B(0; - 1.5). A za tačku O imamo O(0; 0).
Općenito, svaka tačka na osi x ima koordinate (x; 0), a svaka tačka na y osi ima koordinate (0; y)
Dakle, razgovarali smo o tome kako pronaći koordinate tačke u koordinatnoj ravni. Ali kako riješiti inverzni problem, tj. kako, nakon davanja koordinata, konstruirati odgovarajuću tačku? Da bismo razvili algoritam, izvešćemo dva pomoćna, ali u isto vreme važna argumenta.
Prva diskusija. Neka je I ucrtan u koordinatnom sistemu xOy, paralelan sa y osom i koji siječe x osu u tački s koordinatom (apscisa) 4
(Sl. 26). Svaka tačka koja leži na ovoj pravoj ima apscisu 4. Dakle, za tačke M 1, M 2, M 3 imamo M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). Drugim riječima, apscisa bilo koje točke M prave linije zadovoljava uvjet x = 4. Kažu da je x = 4 - jednačina prava l ili ta prava I zadovoljavaju jednačinu x = 4.
Slika 27 prikazuje linije koje zadovoljavaju jednačine x = - 4 (linija I 1), x = - 1
(prava I 2) x = 3,5 (prava I 3). A koja linija zadovoljava jednačinu x = 0? Pogodio? y osi
Druga diskusija. Neka je u koordinatnom sistemu xOy povučena prava linija I, paralelna sa x-osom i koja seče y-osu u tački sa koordinatom (ordinatom) 3 (slika 28). Svaka tačka koja leži na ovoj pravoj ima ordinatu 3. Dakle, za tačke M 1, M 2, M 3 imamo: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3 ) . Drugim riječima, ordinata bilo koje točke M prave I zadovoljava uvjet y = 3. Kažu da je y = 3 jednačina prave I ili da prava I zadovoljava jednačinu y = 3.
Slika 29 prikazuje linije koje zadovoljavaju jednačine y = - 4 (linija l 1), y = - 1 (linija I 2), y = 3,5 (linija I 3) - A koja linija zadovoljava jednadžbu y = 01 pogodi? x os.
Imajte na umu da matematičari, težeći kratkoći govora, kažu "prava linija x = 4", a ne "prava linija koja zadovoljava jednačinu x = 4". Isto tako, kažu "linija y = 3", a ne "prava koja zadovoljava y = 3". Uradićemo potpuno isto. Vratimo se sada na sliku 21. Imajte na umu da je tačka M (- 1,5; 2), koja je tamo prikazana, tačka preseka prave x = -1,5 i prave y = 2. Sada, očigledno, algoritam za konstruisanje tačke biće jasno prema njenim datim koordinatama.
Algoritam za konstruisanje tačke M (a; b) u pravougaonom koordinatnom sistemu hOu
PRIMJER U koordinatnom sistemu xOy konstruišite tačke: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).
Rješenje. Tačka A je tačka preseka pravih x = 1 i y = 3 (vidi sliku 30).
Tačka B je tačka preseka pravih x = - 2 i y = 1 (slika 30). Tačka C pripada x-osi, a tačka D y-osi (vidi sliku 30).
U zaključku odjeljka, napominjemo da se po prvi put pravokutni koordinatni sistem na ravni počeo aktivno koristiti za zamjenu algebarskog modeli geometrijski francuski filozof René Descartes (1596-1650). Stoga se ponekad kaže "Kartezijanski koordinatni sistem", "Kartezijanske koordinate".
Kompletna lista tema po razredima, kalendarski plan prema školski program matematika online, snimak iz matematike za 7 razred preuzeti
A. V. Pogorelov, Geometrija za 7-11 razred, Udžbenik za obrazovne institucije
Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir prezentacije lekcije akcelerativne metode interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice samoispitivanja, obuke, slučajevi, zadaci pitanja za raspravu o domaćim zadacima retorička pitanja od studenata Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike grafike, tabele, šeme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjenom zastarjelih znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice diskusioni programi Integrisane lekcijePravougaoni koordinatni sistem na ravni formiraju dve međusobno okomite koordinatne ose X'X i Y'Y. Koordinatne osi se sijeku u tački O, koja se naziva ishodište koordinata, na svakoj osi se bira pozitivan smjer. Pozitivan smjer osa (u desnom koordinatnom sistemu) bira se tako da kada se os X'X rotira se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90 °, njegov pozitivni smjer poklapa se s pozitivnim smjerom Y'Y ose. Četiri ugla (I, II, III, IV) formirana od koordinatnih osa X'X i Y'Y nazivaju se koordinatni uglovi (vidi sliku 1).
Položaj tačke A na ravni određen je sa dvije koordinate x i y. X-koordinata je jednaka dužini OB segmenta, y-koordinata je dužina OC segmenta u odabranim jedinicama. Segmenti OB i OC su definisani linijama povučenim iz tačke A paralelno sa Y’Y i X’X osa, respektivno. Koordinata x se naziva apscisa tačke A, koordinata y se naziva ordinata tačke A. Pišu je ovako: A (x, y).
Ako tačka A leži u koordinatnom uglu I, tada tačka A ima pozitivnu apscisu i ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu II, tada tačka A ima negativnu apscisu i pozitivnu ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu III, tada tačka A ima negativnu apscisu i ordinatu. Ako tačka A leži u koordinatnom uglu IV, tada tačka A ima pozitivnu apscisu i negativnu ordinatu.
Pravougaoni koordinatni sistem u prostoru formiraju tri međusobno okomite koordinatne ose OX, OY i OZ. Koordinatne ose se sijeku u tački O, koja se naziva ishodište koordinata, na svakoj osi se bira pozitivan smjer označen strelicama i jedinica mjerenja segmenata na osi. Jedinice mjere su iste za sve ose. OX - apscisa osa, OY - ordinatna osa, OZ - aplikatna osa. Pozitivan smjer osi se bira tako da kada se os OX zarotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90°, njen pozitivni smjer poklapa se s pozitivnim smjerom ose OY, ako se ova rotacija promatra iz pozitivnog smjera OZ ose. Takav koordinatni sistem se zove desni. Ako palac desna ruka uzmimo za pravac X, indeks za pravac Y, a srednji za pravac Z, tada se formira desnoruki koordinatni sistem. Slični prsti lijeve ruke formiraju lijevi koordinatni sistem. Desni i levi koordinatni sistem se ne mogu kombinovati tako da se odgovarajuće ose poklapaju (vidi sliku 2).
Položaj tačke A u prostoru određen je sa tri koordinate x, y i z. Koordinata x je jednaka dužini OB segmenta, y koordinata je dužina OC segmenta, z koordinata je dužina OD segmenta u odabranim jedinicama. Segmenti OB, OC i OD su definisani ravninama povučenim iz tačke A paralelno sa ravnima YOZ, XOZ i XOY, respektivno. Koordinata x naziva se apscisa tačke A, y koordinata se naziva ordinata tačke A, z koordinata se naziva aplikata tačke A. Pišu je ovako: A (a, b, c).
Horts
Pravougaoni koordinatni sistem (bilo koje dimenzije) je također opisan skupom ortova, kousmjerenih s koordinatnim osa. Broj ortova je jednak dimenziji koordinatnog sistema, a sve su okomite jedna na drugu.
U trodimenzionalnom slučaju takvi se vektori obično označavaju i j k ili e x e y e z . U međuvremenu, u slučaju pravi sistem koordinate, slijedeće formule sa unakrsnim proizvodom vektora su važeće:
- [i j]=k ;
- [j k]=i ;
- [k i]=j .
Priča
René Descartes je prvi uveo pravougaoni koordinatni sistem u svom Diskursu o metodi 1637. Stoga se pravougaoni koordinatni sistem naziva i - Kartezijanski sistem koordinate. Koordinatna metoda za opisivanje geometrijskih objekata postavila je osnovu za analitičku geometriju. Pierre Fermat je također doprinio razvoju metode koordinata, ali je njegov rad prvi put objavljen nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo na ravni.
Koordinatnu metodu za trodimenzionalni prostor prvi je primijenio Leonhard Euler još u 18. vijeku.
vidi takođe
Linkovi
Wikimedia Foundation. 2010 .
Pogledajte šta je "Koordinatna ravan" u drugim rječnicima:
reznu ravninu- (Pn) Koordinatna ravan tangentna na reznu ivicu u razmatranoj tački i okomita na osnovnu ravninu. […
U topografiji, mreža zamišljenih linija koje okružuju zemlja u geografskom i meridionalnom smjeru, pomoću kojih možete precizno odrediti položaj bilo koje tačke na zemljine površine. Geografske širine se mjere od ekvatora - veliki krug, ... ... Geografska enciklopedija
U topografiji, mreža zamišljenih linija koje okružuju globus u zemljopisnim i meridijanskim smjerovima, pomoću kojih možete precizno odrediti položaj bilo koje točke na zemljinoj površini. Geografske širine se mjere od ekvatora velikog kruga, ... ... Collier Encyclopedia
Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Fazni dijagram. Fazna ravan je koordinatna ravan u kojoj su bilo koje dvije varijable (fazne koordinate) iscrtane duž koordinatnih osa, koje na jedinstven način određuju stanje sistema ... ... Wikipedia
glavna rezna ravan- (Pτ) Koordinatna ravan okomita na liniju presjeka glavne ravnine i ravnine reza. [GOST 25762 83] Teme za rezanje Uopštavajući sistemi pojmova koordinatnih ravni i koordinatnih ravni… Priručnik tehničkog prevodioca
instrumentalna glavna rezna ravan- (Pτi) Koordinatna ravan okomita na liniju preseka instrumentalne glavne ravni i ravni sečenja. [GOST 25762 83] Teme za rezanje Uopštavajući sistemi pojmova koordinatnih ravni i koordinatnih ravni… Priručnik tehničkog prevodioca
ravan za sečenje alata- (Pni) Koordinatna ravan tangentna na reznu ivicu u dotičnoj tački i okomita na ravninu baze alata. [GOST 25762 83] Teme za rezanje Uopštavajući pojmovi za sisteme koordinatnih ravni i ... ... Priručnik tehničkog prevodioca
kinematička glavna rezna ravan- (Pτk) Koordinatna ravan okomita na liniju preseka kinematičke glavne ravni i ravni sečenja ... Priručnik tehničkog prevodioca
kinematička rezna ravan- (Pnk) Koordinatna ravan tangentna na reznu ivicu u razmatranoj tački i okomita na kinematičku osnovnu ravan ... Priručnik tehničkog prevodioca
glavna ravnina- (Pv) Koordinatna ravan povučena kroz razmatranu tačku reznog ruba okomita na smjer brzine glavnog ili neto reznog kretanja u toj tački. Napomena U instrumentalnom koordinatnom sistemu pravac ... ... Priručnik tehničkog prevodioca
Za označavanje relativnog položaja nekih objekata koji se proučavaju, koriste se sljedeće:
- koordinatni snop, kada se njihovo postavljanje ili kretanje odvija duž prave linije na jednoj strani datog objekta, uzetog kao ishodište;
- koordinatna linija, kada se njihovo postavljanje ili kretanje odvija duž prave linije na suprotnim stranama datog objekta, uzete kao referentna tačka;
- koordinatnu ravan kada se njihovo postavljanje ili kretanje odvija duž proizvoljne neravne linije.
Elementi koordinatne ravni
Koordinatna ravan se razlikuje od obične ravni po tome što se na nju primenjuje koordinatni sistem. Primjer je slika bilo kojeg kontinenta s ucrtanim paralelama i meridijanima koji definiraju sistem geografske koordinate, što vam omogućava da pronađete ili postavite poziciju bilo kojeg objekta na karti.
Koordinatni sistem se sastoji od dvije koordinatne linije koje se međusobno sijeku pod pravim uglom u referentnim tačkama. Uobičajeno je da se horizontalna koordinatna linija naziva osa apscisa (apscisa na latinskom je segment). Vertikalna linija - ordinatna os (ordinata od latinskog - poravnanje po redu).
Slično, koordinatna linija se razlikuje od uobičajene prave po tome što je na njoj odabrana neka tačka za početak; odabrati skalu jednog segmenta, ovisno o tome koje udaljenosti treba prikazati; pozitivni referentni smjer, naznačen na koordinatnoj pravoj strelici.
Položaj objekta na takvoj ravni je označen tačkom sa dva broja - koordinatama: apscisa i ordinata.
Korištenje koordinatnih ravnina
Koordinatne ravni se široko koriste za rješavanje geometrijskih i fizičkih problema. Štaviše, u fizici se apscisa često uzima kao vremenska os. Tada y-osa postavlja koordinate tijela na koordinatnoj liniji koja se nalazi duž pravocrtne putanje tijela.
