Триъгълникът е плоска геометрична фигура с един ъгъл, равен на 90 °. Освен това в геометрията много често се изисква да се изчисли площта на такава фигура. Как да направите това, ще кажем по-нататък.

Най-простата формула за определяне на площта на правоъгълен триъгълник

Изходни данни, където: a и b са страните на триъгълника, излизащи от прав ъгъл.

Тоест, площта е равна на половината от произведението на двете страни, които излизат от прав ъгъл. Разбира се, има формула на Heron, използвана за изчисляване на площта на обикновен триъгълник, но за да определите стойността, трябва да знаете дължината на три страни. Съответно ще трябва да изчислите хипотенузата, а това е допълнително време.

Намерете площта на правоъгълен триъгълник, като използвате формулата на Heron

Това е добре позната и оригинална формула, но за това ще трябва да изчислите хипотенузата по протежение на два крака, като използвате Питагоровата теорема.

В тази формула: a, b, c са страните на триъгълника, а p е полупериметърът.

Намерете площта на правоъгълен триъгълник, дадени хипотенуза и ъгъл

Ако нито един от краката не е известен във вашия проблем, тогава няма да можете да използвате най-простия метод. За да определите стойността, трябва да изчислите дължината на краката. Това се прави просто чрез хипотенузата и косинуса на включени ъгъл.

b=c×cos(α)

Познавайки дължината на един от краката, използвайки Питагоровата теорема, можете да изчислите втората страна, излизаща от прав ъгъл.

b 2 \u003d c 2 -a 2

В тази формула c и a са съответно хипотенузата и катетът. Сега можете да изчислите площта, като използвате първата формула. По същия начин може да се изчисли единият катет, като се има предвид вторият и ъгълът. В този случай една от желаните страни ще бъде равна на произведението на крака и тангенса на ъгъла. Има и други начини за изчисляване на площта, но знаейки основните теореми и правила, можете лесно да намерите желаната стойност.

Ако нямате нито една от страните на триъгълника, а само медианата и един от ъглите, тогава можете да изчислите дължината на страните. За да направите това, използвайте свойствата на медианата, за да разделите правоъгълен триъгълник на две. Съответно, тя може да действа като хипотенуза, ако излиза от остър ъгъл. Използвайте Питагоровата теорема, за да намерите дължината на страните на триъгълник, които излизат от прав ъгъл.

Както можете да видите, знаейки основните формули и Питагоровата теорема, можете да изчислите площта на правоъгълен триъгълник, като имате само един от ъглите и дължината на една от страните.

В часовете по геометрия в гимназията всички ни учеха за триъгълници. Но в рамките на училищната програма получаваме само най-необходимите знания и научаваме най-често срещаните и стандартни методи за изчисление. Има ли необичайни начини да се намери това количество?

Като въведение, нека си припомним кой триъгълник се счита за правоъгълен триъгълник, а също така да обозначим понятието площ.

Правоъгълният триъгълник е затворена геометрична фигура, един от ъглите на която е равен на 90 0. Интегралните понятия в дефиницията са краката и хипотенузата. Краката са две страни, които образуват прав ъгъл в точката на свързване. Хипотенузата е страната срещу правия ъгъл. Правоъгълният триъгълник може да бъде равнобедрен (две от страните му ще бъдат с еднакъв размер), но никога равностранен (всички страни са с еднаква дължина). Дефинициите на височина, медиана, вектори и други математически термини няма да бъдат анализирани подробно. Лесно се намират в справочници.

Площ на правоъгълен триъгълник. За разлика от правоъгълниците, правилото за

произведението на страните в дефиницията не е валидно. Говорейки на сух език на термините, площта на триъгълника се разбира като свойството на тази фигура да заема част от равнината, изразена с число. Доста трудно за разбиране, разбирате ли. Няма да се опитваме да задълбаваме в дефиницията, нашата цел не е това. Нека да преминем към основното - как да намерим площта на правоъгълен триъгълник? Няма да извършваме самите изчисления, ще посочим само формулите. За да направите това, нека дефинираме нотацията: A, B, C - страни на триъгълника, крака - AB, BC. Ъгъл ACB е прав. S е площта на триъгълника, h n n е височината на триъгълника, където nn е страната, на която е спусната.

Метод 1. Как да намерите площта на правоъгълен триъгълник, ако е известен размерът на краката му

Метод 2. Намерете площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник

Метод 3. Изчисляване на площта през правоъгълник

Завършваме правоъгълния триъгълник до квадрат (ако триъгълникът

равнобедрен) или правоъгълник. Получаваме прост четириъгълник, съставен от 2 еднакви правоъгълни триъгълника. В този случай стойността на площта на един от тях ще бъде равна на половината от площта на получената фигура. S на правоъгълник се изчислява чрез произведението на страните. Означаваме тази стойност с M. Желаната стойност на площта ще бъде равна на половината от M.

Метод 4. "Питагорови панталони." Известната теорема на Питагор

Всички помним нейната формулировка: "сумата от квадратите на краката ...". Но не всеки може

да речем, и тук някои "панталони". Факт е, че първоначално Питагор изучава връзката, изградена върху страните на правоъгълен триъгълник. След като идентифицира модели в съотношението на страните на квадратите, той успя да изведе формулата, известна на всички нас. Може да се използва, когато стойността на една от страните е неизвестна.

Метод 5. Как да намерите площта на правоъгълен триъгълник с помощта на формулата на Heron

Това също е доста просто изчисление. Формулата включва изразяване на площта на триъгълник по отношение на числените стойности на неговите страни. За изчисления трябва да знаете големината на всички страни на триъгълника.

S = (p-AC)*(p-BC), където p = (AB+BC+AC)*0,5

В допълнение към горното има много други начини да намерите размера на такава мистериозна фигура като триъгълник. Сред тях: изчисление по метода на вписана или описана окръжност, изчисление с помощта на координатите на върховете, използване на вектори, абсолютни стойности, синуси, тангенти.

Правоъгълен триъгълник е триъгълник, в който един от ъглите е 90°. Площта му може да се намери, ако са известни два крака. Можете, разбира се, да отидете по дългия път - да намерите хипотенузата и да изчислите площта от , но в повечето случаи това ще отнеме само допълнително време. Ето защо формулата за площта на правоъгълен триъгълник изглежда така:

Площта на правоъгълен триъгълник е половината от произведението на краката.

Пример за изчисляване на площта на правоъгълен триъгълник.
Даден е правоъгълен триъгълник с катети а= 8 см, b= 6 см.
Ние изчисляваме площта:
Площта е: 24 cm 2

Също така в правоъгълен триъгълник се прилага Питагоровата теорема. - сумата от квадратите на двата катета е равна на квадрата на хипотенузата.
Формулата за площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник се изчислява по същия начин, както за правилен правоъгълен триъгълник.

Пример за изчисляване на площта на равнобедрен правоъгълен триъгълник:
Даден е триъгълник с крака а= 4 см, b\u003d 4 см. Изчислете площта:
Изчисляваме площта: \u003d 8 cm 2

Формулата за площта на правоъгълен триъгълник по отношение на хипотенузата може да се използва, ако в условието е даден един крак. От Питагоровата теорема намираме дължината на неизвестния катет. Например, като се има предвид хипотенузата ° Си крак а, крак bще бъде равно на:
След това изчисляваме площта по обичайната формула. Пример за изчисляване на формулата за площта на правоъгълен триъгълник с помощта на хипотенузата е идентичен с описания по-горе.

Нека разгледаме една интересна задача, която ще помогне за консолидиране на знанията за формули за решаване на триъгълник.
Задача: Площта на правоъгълен триъгълник е 180 квадратни метра. вижте намерете по-малкия катет на триъгълника, ако той е с 31 см по-малък от втория.
Решение: обозначават краката аи b. Сега нека заместим данните във формулата за площта: знаем също, че единият крак е по-малък от другия а – b= 31 см
От първото условие получаваме това
Заместваме това условие във второто уравнение:

Тъй като намерихме страните, премахваме знака минус.
Оказва се, че кракът а= 40 см, и b= 9 см.