Хтось до слова «прогресія» ставиться насторожено, як дуже складний термін з розділів вищої математики. А тим часом найпростіша арифметична прогресія – робота лічильника таксі (де вони ще залишилися). І зрозуміти суть (а в математиці немає нічого важливішого, ніж «зрозуміти суть») арифметичної послідовності не так складно, розібравши кілька елементарних понять.
Математична числова послідовність
Числовою послідовністю прийнято називати якийсь ряд чисел, кожне з яких має власний номер.
а 1 - перший член послідовності;
а 2 - другий член послідовності;
а 7 – сьомий член послідовності;
а n - n-ний член послідовності;
Проте чи будь-який довільний набір цифр і чисел цікавить нас. Нашу увагу зосередимо на числової послідовності, у якої значення n-ного члена пов'язане з його порядковим номером залежністю, яку можна чітко сформулювати математично. Іншими словами: чисельне значення n-ного номера є функцією від n.
a - значення члена числової послідовності;
n – його порядковий номер;
f(n) - функція, де порядковий номер числової послідовності n є аргументом.
Визначення
Арифметичною прогресією прийнято називати числову послідовність, у якій кожен наступний член більше (менше) попереднього одне й те число. Формула n-ного члена арифметичної послідовності виглядає так:
a n – значення поточного члена арифметичної прогресії;
a n+1 - формула наступного числа;
d - різниця (певне число).
Неважко визначити, якщо різниця позитивна (d>0), кожен наступний член аналізованого ряду буде більше попереднього і така арифметична прогресія буде зростаючою.
На поданому нижче графіку неважко простежити, чому числова послідовністьотримала назву «зростаюча».
У випадках, коли різниця негативна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Значення заданого члена
Іноді буває необхідно визначити значення будь-якого довільного члена an арифметичної прогресії. Можна це шляхом розрахунку послідовно значень всіх членів арифметичної прогресії, починаючи з першого до шуканого. Однак такий шлях не завжди прийнятний, якщо, наприклад, необхідно знайти значення п'ятитисячного чи восьмимільйонного члена. Традиційний розрахунок сильно затягнеться за часом. Однак конкретна арифметична прогресія може бути вивчена за допомогою певних формул. Існує і формула n-ного члена: значення будь-якого члена арифметичної прогресії можна визначити як сума першого члена прогресії з різницею прогресії, помноженої на номер шуканого члена, зменшений на одиницю.
Формула універсальна для зростаючої та спадної прогресії.
Приклад розрахунку значення заданого члена
Розв'яжемо наступне завдання на знаходження значення n-ного члена арифметичної прогресії.
Умова: є арифметична прогресія з параметрами:
Перший член послідовності дорівнює 3;
Різниця числового ряду дорівнює 1,2.
Завдання: потрібно знайти значення 214 члена
Рішення: для визначення значення заданого члена скористаємося формулою:
а(n) = а1 + d(n-1)
Підставивши у вираз дані з умови завдання маємо:
а(214) = а1 + d(n-1)
а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Відповідь: 214 член послідовності рівні 258,6.
Переваги такого способу розрахунку очевидні - все рішення займає трохи більше 2 рядків.
Сума заданої кількості членів
Дуже часто в заданому арифметичному ряду потрібно визначити суму значень його відрізка. Для цього також не потрібно обчислювати значення кожного члена і потім підсумовувати. Такий спосіб застосовується, якщо кількість членів, суму яких необхідно знайти, невелика. В інших випадках зручніше скористатися такою формулою.
Сума членів арифметичної прогресії від 1 до n дорівнює сумі першого та n-ного членів, помноженої на номер члена n та діленої надвоє. Якщо у формулі значення n-ного члена замінити на вираз із попереднього пункту статті, отримаємо:
Приклад розрахунку
Наприклад вирішимо задачу з наступними умовами:
Перший член послідовності дорівнює нулю;
Різниця дорівнює 0,5.
У завданні потрібно визначити суму членів ряду з 56 по 101.
Рішення. Скористаємося формулою визначення суми прогресії:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Спочатку визначимо суму значень 101 члена прогресії, підставивши у формулу дані їх умови нашого завдання:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525
Очевидно, для того, щоб дізнатися суму членів прогресії з 56-го по 101-й, необхідно від S 101 відібрати S 55 .
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Таким чином, сума арифметичної прогресії для даного прикладу:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1 782,5
Приклад практичного застосування арифметичної прогресії
Наприкінці статті повернемося наприклад арифметичної послідовності, наведеному у першому абзаці - таксометр (лічильник автомобіля таксі). Розглянемо такий приклад.
Посадка в таксі (до якої входить 3 км пробігу) коштує 50 рублів. Кожен наступний кілометр оплачується із розрахунку 22 руб./км. Відстань подорожі 30 км. Розрахувати вартість подорожі.
1. Відкинемо перші 3 км, ціна яких включена у вартість посадки.
30 – 3 = 27 км.
2. Подальший розрахунок - не що інше як аналіз арифметичного числового ряду.
Номер члена – число км пробігу (мінус перші три).
Значення члена – сума.
Перший член у цій задачі дорівнюватиме a 1 = 50 р.
Різниця прогресії d = 22 р.
цікавить нас число - значення (27 +1) члена арифметичної прогресії - показання лічильника в кінці 27-го кілометра - 27,999 ... = 28 км.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
На формулах, що описують ті чи інші числові послідовності, побудовані розрахунки календарних даних на скільки завгодно тривалий період. В астрономії у геометричній залежності від відстані небесного тіла до світила знаходиться довжина орбіти. Крім того, різні числові ряди з успіхом застосовуються у статистиці та інших прикладних розділах математики.
Інший вид числової послідовності – геометрична
Геометрична прогресія характеризується більшими, порівняно з арифметичною, темпами зміни. Не випадково в політиці, соціології, медицині найчастіше, щоб показати велику швидкість поширення того чи іншого явища, наприклад захворювання при епідемії, кажуть, що процес розвивається у геометричній прогресії.
N-ний член геометричного числового ряду відрізняється від попереднього тим, що він множиться на якесь постійне число - знаменник, наприклад перший член дорівнює 1, знаменник відповідно дорівнює 2, тоді:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n – значення поточного члена геометричної прогресії;
b n+1 - формула наступного члена геометричної прогресії;
q – знаменник геометричної прогресії (постійне число).
Якщо графік арифметичної прогресії є прямою, то геометрична малює дещо іншу картину:
Як і у випадку арифметичної, геометрична прогресія має формулу значення довільного члена. Якийсь n-ний член геометричної прогресії дорівнює добутку першого члена на знаменник прогресії в ступені n зменшеного на одиницю:
приклад. Маємо геометричну прогресію з першим членом рівним 3 і знаменником прогресії, рівним 1,5. Знайдемо 5-й член прогресії
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Сума заданого числа членів розраховується за допомогою спеціальної формули. Сума n перших членів геометричної прогресії дорівнює різниці добутку n-ного члена прогресії на його знаменник і першого члена прогресії, поділеної на зменшений на одиницю знаменник:
Якщо b n замінити користуючись розглянутою вище формулою, значення суми n перших членів розглянутого числового ряду набуде вигляду:
приклад. Геометрична прогресія починається з першого члена, що дорівнює 1. Знаменник заданий рівним 3. Знайдемо суму перших восьми членів.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.
Цілі уроку:
- розширення та поглиблення уявлень учнів про завдання, які вирішуються з використанням арифметичної прогресії; організація пошукової діяльності учнів під час виведення формули суми перших n членів арифметичної прогресії;
- розвиток умінь самостійно здобувати нові знання, використовувати для досягнення поставленого завдання вже отримані знання;
- вироблення бажання та потреби узагальнювати отримані факти, розвиток самостійності.
Завдання:
- узагальнити та систематизувати наявні знання на тему “Арифметична прогресія”;
- вивести формули для обчислення суми n перших членів арифметичної прогресії;
- навчити застосовувати отримані формули під час вирішення різних завдань;
- звернути увагу учнів на порядок дій при знаходженні значення числового виразу.
Обладнання:
- картки із завданнями для роботи в групах та парах;
- оцінний лист;
- презентація “Арифметична прогресія”.
I. Актуалізація опорних знань.
1. Самостійна робота у парах.
1-й варіант:
Дайте визначення арифметичної прогресії. Запишіть рекурентну формулу, за допомогою якої задається арифметична прогресія. Привіт приклад арифметичної прогресії та вкажіть її різницю.
2-й варіант:
Запишіть формулу n члена арифметичної прогресії. Знайдіть 100-й член арифметичної прогресії ( a n}: 2, 5, 8 …
У цей час два учні на зворотному боці дошки готують відповіді на ці питання.
Учні оцінюють роботу партнера, звіряючи з дошкою. (Листочки з відповідями здають).
2. Ігровий момент.
Завдання 1.
Вчитель.Я задумала деяку арифметичну прогресію. Поставте мені лише два питання, щоб після відповідей ви швидко змогли б назвати 7-й член цієї прогресії. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)
Запитання учнів.
- Чому дорівнює шостий член прогресії і чому дорівнює різниця?
- Чому дорівнює восьмий член прогресії і чому дорівнює різниця?
Якщо питань більше не піде, то вчитель може стимулювати їх - "заборона" на d (різницю), тобто не дозволяється запитувати, чому дорівнює різниця. Можна поставити запитання: чому дорівнює 6-й член прогресії та чому дорівнює 8-й член прогресії?
Завдання 2.
На дошці записано 20 чисел: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Вчитель стоїть спиною до дошки. Учні називають номер числа, а вчитель миттєво називає саме число. Поясніть, як це мені вдається?
Вчитель пам'ятає формулу n-го члена a n = 3n - 2і, підставляючи значення n, знаходить відповідні значення a n.
ІІ. Постановка навчальної задачі.
Пропоную вирішити старовинне завдання, що відноситься до II тисячоліття до нашої ери, знайдену в єгипетських папірусах.
Завдання:“Нехай тобі сказано: розділи 10 заходів ячменю між 10 людьми, різниця між кожною людиною та її сусідом дорівнює 1/8 міри”.
- Як це завдання пов'язані з темою арифметична прогресія? (Кожен наступний отримує на 1/8 міри більше, значить різницю d=1/8, 10 чоловік, отже n=10.)
- А що, на вашу думку, означає число 10 заходів? (Сума всіх членів прогресії.)
- Що ще необхідно знати, щоб було легко та просто розділити ячмінь згідно з умовою завдання? (Перший член прогресії.)
Завдання уроку- Отримання залежності суми членів прогресії від їх числа, першого члена і різниці, і перевірка того, чи правильно в давнину вирішували поставлене завдання.
Перш ніж зробити висновок формули, подивимося, як вирішували завдання давні єгиптяни.
А вирішували її так:
1) 10 мір: 10 = 1 міра – середня частка;
2) 1 міра ∙ = 2 заходи – подвоєна середнячастка.
Подвоєна середнячастка – це сума часток 5-го та 6-го чоловік.
3) 2 заходи – 1/8 міри = 1 7/8 міри – подвоєна частка п'ятої людини.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - частка п'ятого; і так далі можна знайти частку кожної попередньої та наступної людини.
Отримаємо послідовність:
ІІІ. Розв'язання поставленого завдання.
1. Робота у групах
Перша група:Знайти суму 20 послідовних натуральних чисел: S 20 =(20+1)∙10 =210.
Друга група:Знайти суму натуральних чисел від 1 до 100 (Легенда про маленького Гаусса).
S 100 = (1+100) ∙ 50 = 5050
Висновок: 
ІІІ-я група:Знайти суму натуральних чисел від 1 до 21.
Рішення: 1+21=2+20=3+19=4+18…
Висновок:
IV-я група:Знайти суму натуральних чисел від 1 до 101.
Висновок:
Цей спосіб вирішення розглянутих завдань називається “Метод Гаусса”.
2. Кожна група представляє розв'язання задачі на дошці.
3. Узагальнення запропонованих рішень для довільної арифметичної прогресії:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + an-2 + an-1 + an .
Знайдемо цю суму розмірковуючи аналогічно:
4. Вирішили ми поставлене завдання?(Так.)
IV. Первинне осмислення та застосування отриманих формул під час вирішення завдань.
1. Перевірка розв'язання старовинної задачі за формулою.
2. Застосування формули під час вирішення різних задач.
3. Вправи формування вміння застосування формули під час вирішення задач.
А) №613
Дано: ( а n) -арифметична прогресія;
(а n): 1, 2, 3, …, 1500
Знайти: S 1500
Рішення: , а 1 = 1, а 1500 = 1500,
Б) Дано: ( а n) -арифметична прогресія;
(а n): 1, 2, 3, …
S n = 210
Знайти: n
Рішення:
V. Самостійна робота із взаємоперевіркою.
Денис вступив на роботу кур'єром. У перший місяць його зарплата становила 200 рублів, кожен наступний вона підвищувалася на 30 рублів. Скільки всього він заробив за рік?
Дано: ( а n) -арифметична прогресія;
а 1 = 200, d = 30, n = 12
Знайти: S 12
Рішення:
Відповідь: 4380 рублів отримав Денис протягом року.
VI. Інструктаж за домашнім завданням.
- п. 4.3 - вивчити висновок формули.
- №№ 585, 623 .
- Скласти завдання, яке вирішувалося б з використанням формули суми n перших членів арифметичної прогресії.
VII. Підбиття підсумків уроку.
1. Оціночний лист
2. Продовжи пропозиції
- Сьогодні на уроці я дізнався…
- Вивчені формули …
- Я вважаю що …
3. Чи зможеш знайти суму чисел від 1 до 500? Яким методом вирішуватимеш це завдання?
Список літератури.
1. Алгебра, 9-й клас. Підручник для загальноосвітніх установ. За ред. Г.В. Дорофєєва.М.: "Освіта", 2009.
У математиці є своя краса, як у живопису та поезії.
Російський вчений, механік Н.Є. Жуковський
Досить поширеними завданнями на вступних випробуваннях з математики є завдання, пов'язані з поняттям арифметичної прогресії. Для успішного вирішення таких завдань необхідно добре знати властивості арифметичної прогресії та мати певні навички їх застосування.
Попередньо нагадаємо основні властивості арифметичної прогресії та наведемо найважливіші формули, пов'язані з цим поняттям.
Визначення. Числова послідовність, в якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на одне й те число, називається арифметичною прогресією. При цьому числоназивається різницею прогресії.
Для арифметичної прогресії справедливі формули
, (1)
де. Формула (1) називається формулою загального члена арифметичної прогресії, а формула (2) є основною властивістю арифметичної прогресії: кожен член прогресії збігається із середнім арифметичним своїх сусідніх членів і .
Відзначимо, що саме через цю властивість прогресія називається «арифметичною».
Наведені вище формули (1) та (2) узагальнюються наступним чином:
(3)
Для обчислення сумиперших членів арифметичної прогресіїзазвичай застосовується формула
(5) де і .
Якщо взяти до уваги формулу (1), то з формули (5) випливає
Якщо позначити, то
де. Оскільки формули (7) і (8) є узагальненням відповідних формул (5) і (6).
Зокрема , з формули (5) випливає, що
До маловідомих більшості учнів належить властивість арифметичної прогресії, сформульоване у вигляді наступної теореми.
Теорема.Якщо то
Доведення.Якщо то
Теорему доведено.
Наприклад, використовуючи теорему, можна показати, що
Перейдемо до розгляду типових прикладів розв'язання завдань «Арифметична прогресія».
приклад 1.Нехай і. Знайти.
Рішення.Застосовуючи формулу (6), отримуємо . Так як і , то чи .
приклад 2.Нехай втричі більше , а при розподілі на в приватному виходить 2 і в залишку 8. Визначити і .
Рішення.З умови прикладу випливає система рівнянь
Так як , , і , то із системи рівнянь (10) отримуємо
Рішенням цієї системи рівнянь є і .
приклад 3.Знайти, якщо і.
Рішення.Відповідно до формули (5) маємо або . Однак, використовуючи властивість (9), отримуємо .
Так як і , то з рівності випливає рівнянняабо .
приклад 4.Знайти, якщо.
Рішення.За формулою (5) маємо
Проте, використовуючи теорему, можна записати
Звідси і формули (11) отримуємо .
Приклад 5. Дано: . Знайти.
Рішення.Так як, то. Однак, тому.
Приклад 6.Нехай, і. Знайти.
Рішення.Використовуючи формулу (9), отримуємо . Тому, якщо , або .
Так як і , то тут маємо систему рівнянь
Вирішуючи яку, отримуємо і .
Натуральним коренем рівнянняє.
Приклад 7.Знайти, якщо і.
Рішення.Оскільки за формулою (3) маємо, що , то з умови завдання випливає система рівнянь
Якщо підставити виразу друге рівняння системи, Отримаємо або .
Корінням квадратного рівняння єта .
Розглянемо два випадки.
1. Нехай тоді. Оскільки і , то .
У такому разі, згідно з формулою (6), маємо
2. Якщо , то , і
Відповідь: і .
Приклад 8.Відомо, що і . Знайти.
Рішення.Беручи до уваги формулу (5) та умову прикладу, запишемо та .
Звідси випливає система рівнянь
Якщо перше рівняння системи помножимо на 2, а потім складемо його з другим рівнянням, то отримаємо
Згідно з формулою (9) маємо. У зв'язку з (12) випливаєабо .
Оскільки і , то .
Відповідь: .
Приклад 9.Знайти, якщо і.
Рішення.Оскільки, і за умовою, то чи .
З формули (5) відомощо . Так як, то.
Отже, тут маємо систему лінійних рівнянь
Звідси отримуємо і. Зважаючи на формулу (8), запишемо .
приклад 10.Вирішити рівняння .
Рішення.Із заданого рівняння випливає, що . Припустимо, що , , і . В такому випадку .
Згідно з формулою (1), можна записати або .
Оскільки , то рівняння (13) має єдиний відповідний корінь .
Приклад 11.Знайти максимальне значення за умови, що .
Рішення.Оскільки , то аналізована арифметична прогресія є спадною. У цьому вираз приймає максимальне значення у разі, коли є номером мінімального позитивного члена прогресії.
Скористаємося формулою (1) і тим фактом, що і . Тоді отримаємо, що чи.
Оскільки , то чи . Однак у цій нерівностінайбільше натуральне числотому .
Якщо значення і підставити у формулу (6), то отримаємо .
Відповідь: .
приклад 12.Визначити суму всіх двоцифрових натуральних чисел, які при розподілі на число 6 дають у залишку 5.
Рішення.Позначимо через множину всіх двозначних натуральних чисел, тобто. . Далі, побудуємо підмножину, що складається з тих елементів (чисел) множини, які при розподілі на число 6 дають у залишку 5.
Неважко встановитищо . Очевидно, що елементи множиниутворюють арифметичну прогресію, в якій та .
Для встановлення потужності (числа елементів) множини припустимо, що . Оскільки і , то з формули (1) випливає або . Зважаючи на формулу (5), отримаємо .
Наведені вище приклади вирішення завдань у жодному разі що неспроможні претендувати на вичерпну повноту. Ця стаття написана на основі аналізу сучасних методів вирішення типових завдань на задану тему. Для глибшого вивчення методів вирішення завдань, пов'язаних з арифметичною прогресією, доцільно звернутися до списку літератури, що рекомендується.
1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М.: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.
3. Мединський М.М. Повний курс елементарної математики у завданнях та вправах. Книга 2: Числові послідовності та прогресії. - М.: Едітус, 2015. - 208 с.
Залишились питання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
При вивченні алгебри в загальноосвітній школі (9 клас) однією з важливих тем є вивчення числових послідовностей, до яких належать прогресії – геометрична та арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію та приклади з рішеннями.
Що являє собою арифметична прогресія?
Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення розглянутої прогресії, а також навести основні формули, які будуть використані при вирішенні завдань.
Арифметична чи алгебраїчна прогресія - це такий набір упорядкованих раціональних чисел, кожен член якого відрізняється від попереднього на певну постійну величину. Ця величина називається різницею. Тобто, знаючи будь-який член упорядкованого ряду чисел та різницю, можна відновити всю арифметичну прогресію.
Наведемо приклад. Наступна послідовність чисел буде арифметичною прогресією: 4, 8, 12, 16, ..., оскільки різниця в цьому випадку дорівнює 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). А ось набір чисел 3, 5, 8, 12, 17 вже не можна віднести до виду прогресії, оскільки різниця для нього не є постійною величиною (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Важливі формули
Наведемо тепер основні формули, які знадобляться вирішення завдань з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом a n n-й членпослідовності, де n – ціле число. Різницю позначимо латинською літерою d. Тоді справедливі такі вирази:
- Для визначення значення n-го члена підійде формула: n = (n-1) * d + a 1 .
- Для визначення суми перших n доданків: S n = (a n +a 1) * n/2.
Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням у 9 класі, достатньо запам'ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які завдання типу, що розглядається. Також слід пам'ятати, що різниця прогресії визначається за формулою: d = a n - a n-1 .
Приклад №1: знаходження невідомого члена
Наведемо простий приклад арифметичної прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.
Нехай дана послідовність 10, 8, 6, 4, ..., необхідно знайти п'ять членів.
З умови завдання вже випливає, що перші 4 доданки відомі. П'яте можна визначити двома способами:
- Обчислимо для початку різницю. Маємо: d = 8 – 10 = -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члени, що стоять поряд один з одним. Наприклад, d = 4 – 6 = -2. Оскільки відомо, що d = a n - a n-1 тоді d = a 5 - a 4 , звідки отримуємо: a 5 = a 4 + d. Підставляємо відомі значення: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Другий спосіб вимагає знання різниці аналізованої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d = -2). Знаючи, що перший член a 1 = 10, скористаємося формулою для числа n послідовності. Маємо: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Підставляючи останній вираз n = 5, отримуємо: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Як видно, обидва способи рішення привели до того самого результату. Зазначимо, що у цьому прикладі різниця d прогресії є негативною величиною. Такі послідовності називаються спадними, оскільки кожен наступний член менший за попередній.
Приклад №2: різниця прогресії
Тепер ускладнимо трохи завдання, наведемо приклад, як
Відомо, що деякий 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.
Скористаємося формулою визначення невідомого члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Підставимо до неї відомі дані з умови, тобто числа a 1 і a 7 маємо: 18 = 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d = (18 - 6) / 6 = 2. Отже, відповіли першу частину завдання.
Щоб відновити послідовність до 7 члена, слід скористатися визначенням прогресу алгебри, тобто a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d і так далі. У результаті відновлюємо всю послідовність: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, а 7 = 18.
Приклад №3: складання прогресії
Ускладнимо ще сильніша умова завдання. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна навести наступний приклад: дано два числа, наприклад, - 4 і 5. Необхідно скласти алгебраїчну прогресію так, щоб між цими містилося ще три члени.
Перш ніж починати вирішувати це завдання, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа у майбутній прогресії. Оскільки між ними будуть ще три члени, тоді a 1 = -4 і a 5 = 5. Встановивши це, переходимо до завдання, яке аналогічне попередньому. Знову для n-го члена скористаємося формулою, отримаємо: a 5 = a 1 + 4*d. Звідки: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Тут отримали не ціле значення різниці, проте воно є раціональним числом, тому формули для прогресу алгебри залишаються тими ж самими.
Тепер додамо знайдену різницю до a 1 і відновимо члени прогресії, що бракують. Отримуємо: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, що збіглося з умовою задачі.
Приклад №4: перший член прогресії
Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії із рішенням. У всіх попередніх завданнях було відоме перше число прогресу алгебри. Тепер розглянемо завдання іншого типу: нехай дані два числа, де a 15 = 50 і a 43 = 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.
Формули, якими користувалися досі, припускають знання a 1 і d. За умови завдання про ці числа нічого невідомо. Проте випишемо вирази для кожного члена, про який є інформація: a 15 = a 1 + 14 * d і a 43 = a 1 + 42 * d. Отримали два рівняння, у яких 2 невідомі величини (a 1 та d). Це означає, що завдання зводиться до розв'язання системи лінійних рівнянь.
Вказану систему найпростіше вирішити, якщо виразити у кожному рівнянні a 1 , а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; друге рівняння: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, звідки різниця d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (наведено лише 3 знаки точності після коми).
Знаючи d, можна скористатися будь-яким із 2 наведених вище виразів для a 1 . Наприклад, першим: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити член прогресії, який заданий в умові. Отримаємо: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Невелика похибка пов'язані з тим, що з обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.
Приклад №5: сума
Тепер розглянемо кілька прикладів із рішеннями на суму арифметичної прогресії.
Нехай дано числова прогресія наступного виду: 1, 2, 3, 4, ...,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?
Завдяки розвитку комп'ютерних технологій можна це завдання вирішити, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машина зробить відразу ж, як людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в умі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є алгебраїчною прогресією, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100)/2 = 5050.
Цікаво відзначити, що це завдання носить назву "гаусової", оскільки на початку XVIII століття знаменита німецька ще у віці всього 10 років, змогла вирішити її в розумі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебраїчної прогресії, але він помітив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то виходить завжди один результат, тобто 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а оскільки цих сум буде рівно 50 (100/2), то для отримання правильної відповіді достатньо помножити 50 на 101.
Приклад №6: сума членів від n до m
Ще одним типовим прикладом суми арифметичної прогресії є наступний: дано такий чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., потрібно знайти, чому дорівнюватиме сума його членів з 8 по 14.
Завдання вирішується двома способами. Перший передбачає перебування невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків небагато, такий спосіб не є досить трудомістким. Проте пропонується вирішити це завдання другим методом, який є більш універсальним.
Ідея полягає в отриманні формули для суми прогресу алгебри між членами m і n, де n > m - цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:
- S m = m*(a m + a 1)/2.
- S n = n*(a n + a 1)/2.
Оскільки n > m, то очевидно, що 2 сума включає першу. Останній висновок означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член a m (у разі взяття різниці він віднімається із суми S n), то отримаємо необхідну відповідь на завдання. Маємо: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1-m/2). У цей вираз необхідно підставити формули для a n і a m. Тоді отримаємо: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Отримана формула є дещо громіздкою, проте сума S mn залежить від n, m, a 1 і d. У нашому випадку a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Підставляючи ці числа отримаємо: S mn = 301.
Як видно з наведених рішень, всі завдання ґрунтуються на знанні виразу для n-го члена та формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якого з цих завдань, рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і потім приступати до вирішення.
Ще одна порада полягає у прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на питання, не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно чинити саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність припуститися помилки менше. Наприклад, у прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулі S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m і розбити загальне завдання на окремі завдання (у разі спочатку знайти члени a n і a m).
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, рекомендується перевіряти, як це було зроблено в деяких наведених прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з'ясували. Якщо розібратися, це не так складно.
У чому головна сутьформули?
Ця формула дозволяє знайти будь-який ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .
Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1і різниця прогресії d, Так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.
Завчити (або зашпаргалити) цю формулу мало. Потрібно засвоїти її суть і застосувати формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, так...) Як не забути- я не знаю. А от як згадати,при необхідності - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)
Отже, розберемося із формулою n-го члена арифметичної прогресії.
Що таке формула взагалі – ми собі уявляємо.) Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії – доступно викладено у попередньому уроці. Загляньте, до речі, як не читали. Там просто все. Залишилося розібратися, що таке n-й член.
Прогресію у загальному вигляді можна записати у вигляді ряду чисел:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- Позначає перший член арифметичної прогресії, a 3- третій член, a 4- Четвертий, і так далі. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5, якщо сто двадцятий - з a 120.
А як позначити у загальному вигляді будь-якийчлен арифметичної прогресії, з будь-якимномером? Дуже просто! Ось так:
a n
Це і є n-й член арифметичної прогресії.Під літерою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4 тощо.
І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри букву записали...
Цей запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. Використовуючи позначення a n, ми можемо швидко знайти будь-якийчлен будь-якийарифметичній прогресії. І ще купу завдань щодо прогресії вирішити. Самі далі побачите.
У формулі n-го члена арифметичної прогресії:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- Перший член арифметичної прогресії;
n- Номер члена.
Формула пов'язує ключові параметри будь-якої прогресії: a n; a 1; dі n. Навколо цих властивостей і крутяться всі завдання з прогресії.
Формула n-го члена можна використовувати й у записи конкретної прогресії. Наприклад, завдання може бути сказано, що прогресія задана умовою:
a n = 5 + (n-1) ·2.
Таке завдання може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умову з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 =5, а d=2.
А буває ще зліше!) Якщо взяти ту ж умову: a n = 5 + (n-1) · 2,та розкрити дужки та привести подібні? Отримаємо нову формулу:
a n = 3 + 2n.
Це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут і ховається підводний камінь. Деякі думають, що перший член – це трійка. Хоча реально перший член - п'ятірка... Трохи нижче ми попрацюємо з такою формулою.
У завдання на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n+1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більший за номер n на одиницю. Наприклад, якщо в якомусь завданні ми беремо за a nп'ятий член, то a n+1буде шостим членом. І тому подібне.
Найчастіше позначення a n+1зустрічається у рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова!) Це просто спосіб висловлювання члена арифметичної прогресії через попередній.Припустимо, нам дана арифметична прогресія ось у такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвертий – через третій, п'ятий – через четвертий, тощо. А як порахувати одразу, скажімо двадцятий член, a 20? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємось, 20-й не порахувати. У цьому є принципова відмінність рекурентної формули від формули n-го члена. Рекурентна працює тільки через попереднійчлен, а формула n-го члена – через першийі дозволяє відразузнаходити будь-який член за його номером. Не прораховуючи цілий ряд чисел по порядку.
В арифметичній прогресії рекурентну формулу легко перетворити на звичайну. Порахувати пару послідовних членів, обчислити різницю d,знайти, якщо треба, перший член a 1, Записати формулу у звичайному вигляді, та й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.
Застосування формули n члена арифметичної прогресії.
Спочатку розглянемо пряме застосування формули. Наприкінці попереднього уроку було завдання:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.
Це завдання можна без будь-яких формул вирішити, просто з сенсу арифметичної прогресії. Додавати, та додавати... Годинник-другий.)
А за формулою рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.
В умовах наведено всі дані для використання формули: a 1 =3, d=1/6.Залишається збагнути, чому одно n.Не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:
Прошу звернути увагу! Замість індексу nз'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один.Ось це і буде наше n.Саме це значення n= 121 ми і підставимо далі до формули, до дужок. Підставляємо всі числа у формулу та вважаємо:
a 121 = 3 + (121-1) · 1/6 = 3 +20 = 23
Ось і всі справи. Так само швидко можна було знайти і п'ятсот десятий член, і тисяча третій, кожен. Ставимо замість nпотрібний номер в індексі у літери " a"і в дужках, та й рахуємо.
Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-якийчлен арифметичної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .
Вирішимо завдання хитрішим. Нехай нам трапилося таке завдання:
Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 = -2; d=-0,5.
Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n члена арифметичної прогресії!Так Так. Руками запишіть, прямо в зошиті:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А тепер, дивлячись на літери формули, розуміємо, які дані ми маємо, а чого не вистачає? Є d=-0,5,є сімнадцятий член ... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так...
У нас ще є номер n! В умові a 17 =-2заховані два параметри.Це значення сімнадцятого члена (-2), та її номер (17). Тобто. n=17.Ця "дрібниця" часто проскакує повз голову, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) завдання не вирішити. Хоча... і без голови теж.)
Тепер можна просто тупо підставити наші дані у формулу:
a 17 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ах да, a 17нам відомо, що це -2. Ну гаразд, підставимо:
-2 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ось по суті, і все. Залишилося висловити перший член арифметичної прогресії з формули, та порахувати. Вийде відповідь: a 1 = 6.
Такий прийом – запис формули та проста підстановка відомих даних – чудово допомагає у простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити! Без цього вміння математику можна взагалі не вивчати.
Ще одне популярне завдання:
Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 =2; a 15 = 12.
Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Розуміємо, що нам відомо: a 1 = 2; a 15 = 12; та (спеціально виокремлю!) n=15. Сміливо підставляємо у формулу:
12 = 2 + (15-1) d
Вважаємо арифметику.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Це правильна відповідь.
Так, завдання на a n , a 1і dвирішили. Залишилося навчитися знаходити:
Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 12; d=3. Знайти номер члена.
Підставляємо у формулу n-го члена відомі нам величини:
a n = 12 + (n-1) · 3
На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n та n.Але a n- це якийсь член прогресії з номером n... І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 у формулу:
99 = 12 + (n-1) · 3
Висловлюємося з формули nвважаємо. Отримаємо відповідь: n=30.
А тепер завдання на ту саму тему, але більш творча):
Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Знову пишемо формулу. Що немає ніяких параметрів? Гм... А очі нам навіщо дано?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це –3,6. Можна сміливо записати: a 1 = -3,6.Різниця dможна з ряду визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різницю арифметичної прогресії:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером nі незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що дано саме член прогресії. А тут і того не знаємо... Як бути! Ну, як бути, як бути... Включити творчі здібності!)
Ми припустимо,що 117 - це все-таки член нашої прогресії. З невідомим номером n. І, як у попередній задачі, спробуємо знайти цей номер. Тобто. пишемо формулу (так-так!) і підставляємо наші числа:
117 = -3,6 + (n-1) · 1,2
Знову висловлюємося з формулиn, вважаємо та отримуємо:
Опаньки! Номер вийшов дробовий!Сто один із половиною. А дрібних номерів у прогресіях не буває.Який висновок зробимо? Так! Число 117 не єчленом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто першим і сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто. позитивним цілим, число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку відповідь завдання буде: ні.
Завдання на основі реального варіантуДІА:
Арифметична прогресія задана умовою:
a n = -4 + 6,8 n
Знайти перший і десятий члени прогресії.
Тут прогресію задано не зовсім звичним чином. Формула якась... Буває.) Однак, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії!Вона також дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.
Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член – мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула в задачі – видозмінена. Перший член арифметичної прогресії у ній захований.Нічого, зараз знайдемо.)
Так само, як і в попередніх завданнях, підставляємо n=1у цю формулу:
a 1 = -4 + 6,8 · 1 = 2,8
Ось! Перший член 2,8, а чи не -4!
Аналогічно шукаємо десятий член:
a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64
Ось і всі справи.
А тепер тим, хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)
Припустимо, у складній бойовій обстановці ГІА або ЄДІ ви забули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось... Чи то nтам, чи n+1, чи то n-1...Як бути!?
Спокій! Цю формулу легко вивести. Не дуже суворо, але для впевненості та правильного рішення точно вистачить!) Для висновку достатньо пам'ятати елементарний зміст арифметичної прогресії та мати пару-трійку хвилин часу. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.
Малюємо числову вісь та відзначаємо на ній перший. другий, третій тощо. члени. І відзначаємо різницю dміж членами. Ось так:
Дивимося на картинку і розуміємо: чому дорівнює другий член? Другий одне d:
a 2 =a 1 + 1 ·d
Чому дорівнює третій член? Третійчлен дорівнює перший член плюс два d.
a 3 =a 1 + 2 ·d
Уловлюєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну гаразд, ще один крок).
Чому дорівнює четвертий член? Четвертийчлен дорівнює перший член плюс три d.
a 4 =a 1 + 3 ·d
Час зрозуміти, що кількість проміжків, тобто. d, завжди один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1.Отже, формула буде (без варіантів!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань у математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо картинку намалювати важко, то... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до вирішення весь потужний арсенал математики - рівняння, нерівності, системи і т.д. Картинку в рівняння не вставиш...
Завдання для самостійного вирішення.
Для розминки:
1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 = 3; a 5 =5,1. Знайти a 3 .
Підказка: за картинкою завдання вирішується секунд за 20... За формулою – складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 це завдання вирішено і з картинці, і за формулою. Відчуйте різницю!)
А це – вже не розминка.)
2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Знайти a 3 .
Що, не хочеться малюнок малювати?) Ще б пак! Краще за формулою, так...
3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.
У цьому вся завдання прогресія задана рекурентним способом. Але рахувати до сто двадцять п'ятого члена... Не всім такий подвиг під силу. Зате формула n-го члена під силу кожному!
4. Дана арифметична прогресія (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Знайти номер найменшого позитивного члена прогресії.
5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного та найбільшого негативного членів прогресії.
6. Добуток п'ятого та дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього та одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14 .
Не найпростіше завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не прокотить. Прийде формули писати і рівняння розв'язувати.
Відповіді (безладно):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Вийшло? Це приємно!)
Чи не все виходить? Буває. До речі, в останньому завданні є один тонкий момент. Уважність під час читання завдання буде потрібна. І логіка.
Розв'язання всіх цих завдань докладно розібрано у Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостої, і загальні підходи для вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена – все розписано. Рекомендую.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
