Наводиться 8 прикладів розкладання багаточленів на множники. Вони включають приклади з розв'язанням квадратних і біквадратних рівнянь, приклади зі зворотними багаточленами і приклади з знаходженням цілих коренів у багаточленів третього і четвертого ступеня.
Зміст
Див. також: Методи розкладання багаточленів на множники
Коріння квадратного рівняння
Розв'язання кубічних рівнянь
1. Приклади з розв'язуванням квадратного рівняння
Приклад 1.1
x 4 + х 3 - 6 х 2.
Виносимо x 2
за дужки:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Коріння рівняння:
, .
.
Приклад 1.2
Розкласти на множники багаточлен третього ступеня:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Виносимо x за дужки:
.
Вирішуємо квадратне рівняння x 2 + 6 x + 9 = 0:
Його дискримінант: .
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, то коріння рівняння кратні: ;
.
Звідси отримуємо розкладання багаточлена на множники:
.
Приклад 1.3
Розкласти на множники багаточлен п'ятого ступеня:
x 5 – 2 x 4 + 10 x 3.
Виносимо x 3
за дужки:
.
Вирішуємо квадратне рівняння x 2 - 2 x + 10 = 0.
Його дискримінант: .
Оскільки дискримінант менший за нуль, то коріння рівняння комплексне: ;
, .
Розкладання многочлена на множники має вигляд:
.
Якщо нас цікавить розкладання на множники з дійсними коефіцієнтами, то:
.
Приклади розкладання багаточленів на множники за допомогою формул
Приклади з біквадратними багаточленами
Приклад 2.1
Розкласти біквадратний багаточлен на множники:
x 4 + x 2 - 20.
Застосуємо формули:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).
;
.
Приклад 2.2
Розкласти на множники багаточлен, що зводиться до біквадратного:
x 8+x4+1.
Застосуємо формули:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):
;
;
.
Приклад 2.3 зі зворотним багаточленом
Розкласти на множники зворотний багаточлен:
.
Поворотний многочлен має непарний ступінь. Тому він має корінь x = - 1
. Ділимо багаточлен на x - (-1) = x + 1. В результаті отримуємо:
.
Робимо підстановку:
, ;
;
;
.
Приклади розкладання багаточленів на множники з цілим корінням
Приклад 3.1
Розкласти багаточлен на множники:
.
Припустимо, що рівняння
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 · (-6) 2 + 11 · (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 · (-3) 2 + 11 · (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 · (-2) 2 + 11 · (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 · (-1) 2 + 11 · (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 · 1 2 + 11 · 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 · 2 2 + 11 · 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 · 3 2 + 11 · 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 · 6 2 + 11 · 6 - 6 = 60.
Отже, ми знайшли три корені:
x 1 = 1
, x 2 = 2
, x 3 = 3
.
Оскільки вихідний многочлен - третього ступеня, він має трохи більше трьох коренів. Оскільки ми знайшли три корені, то вони прості. Тоді
.
Приклад 3.2
Розкласти багаточлен на множники:
.
Припустимо, що рівняння
має хоча б одне ціле коріння. Тоді він є дільником числа 2
(Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
-2, -1, 1, 2
.
Підставляємо ці значення по черзі:
(-2) 4 + 2 · (-2) 3 + 3 · (-2) 3 + 4 · (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 · (-1) 3 + 3 · (-1) 3 + 4 · (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 · 1 3 + 3 · 1 3 + 4 · 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 · 2 3 + 3 · 2 3 + 4 · 2 + 2 = 54.
Отже, ми знайшли один корінь:
x 1 = -1
.
Ділимо багаточлен на x - x 1 = x - (-1) = x + 1:
Тоді,
.
Тепер потрібно вирішити рівняння третього ступеня:
.
Якщо припустити, що це рівняння має ціле коріння, він є дільником числа 2
(Члена без x). Тобто цілий корінь може бути одним із чисел:
1, 2, -1, -2
.
Підставимо x = -1
:
.
Отже, ми знайшли ще один корінь x 2
= -1
. Можна було б, як і в попередньому випадку, поділити багаточлен на , але ми згрупуємо члени:
.
Квадратний тричлен можна розкласти на множники так:
A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)
де a - Число, коефіцієнт перед старшим коефіцієнтом,
x – змінна (тобто буква),
x 1 і x 2 – числа, коріння квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 які знайдені через дискримінант.
Якщо квадратне рівняння має лише один корінь, то розкладання має такий вигляд:
a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2
Приклади розкладання квадратного тричлена на множники:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7
− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)
- − x 2 + 4 x − 4 = 0; ⇒ x 0 = 2
− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2
Якщо квадратний тричлен є неповним (b = 0 або c = 0), його можна розкласти на множники наступними способами:
- c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)
- b = 0 ⇒ застосувати формулу скороченого множення для різниці квадратів.
Завдання для самостійного вирішення
№1. Квадратний тричлен розкладений на множники: x 2 + 6 x − 27 = (x + 9) (x − a) . Знайдіть a.
Рішення:
Для початку необхідно прирівняти квадратних тричленів до нуля, щоб знайти x 1 і x 2 .
x 2 + 6 x − 27 = 0
a = 1, b = 6, c = − 27
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144
D > 0 – значить буде два різні корені.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9
Знаючи коріння розкладемо квадратний тричлен на множники:
x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)
№2. Рівняння x 2 + p x + q = 0 має коріння − 5; 7. Знайдіть q.
Рішення:
1 спосіб:(Треба знати, як розкладається квадратний тричлен на множники)
Якщо x 1 і x 2 – коріння квадратного тричлена a x 2 + b x + c , його можна розкласти на множники наступним чином: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .
Оскільки в заданому квадратному тричлен старший коефіцієнт (множник перед x 2) дорівнює одиниці, то розкладання буде наступним:
x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x − 35 = x 2 − 2 x − 35
x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35
2 спосіб: (треба знати теорему Вієта)
Теорема Вієта:
Сума коренів наведеного квадратного тричлена x 2 + p x + q дорівнює його другому коефіцієнту p з протилежним знаком, а добуток – вільному члену q.
( x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q
q = x 1 ⋅ x 2 = (−5) ⋅ 7 = − 35.
Насамперед вкажемо деякі уживані назви. Розглянемо багаточлени, до складу яких входить лише одна якась літера, напр., літера x . Тоді найпростішим є багаточлен, в якому два члени, причому в одному з них є буква x в першому ступені, а в іншому зовсім букви x немає, напр., 3x - 5 або 15 - 7x або 8z + 7 (тут вже замість літери x взята буква z) і т. д. Такі багаточлени називаються лінійними двочленами .
3x² – 5x + 7 або x² + 2x – 1
або 5y² + 7y + 8 або z² – 5z – 2 тощо.
Такі багаточлени називаються квадратними тричленами.
Потім ми можемо скласти кубічний чотиричлен, напр.:
x³ + 2x² – x + 1 або 3x³ – 5x² – 2x – 3 тощо,
багаточлен четвертого ступеня, наприклад:
x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5 тощо.
Можливо позначати коефіцієнти при x, при x², при x³ і т.д. також літерами, напр., літерами a, b, c і т.д.
1) загальний виглядлінійного щодо x двочлена ax + b,
2) загальний вигляд квадратного тричлена (щодо x): ax² + bx + c,
3) загальний вигляд кубічного тричлена (щодо x): ax³ + bx² + cx + d і т.д.
Замінюючи в цих формулах букви a, b, c, d … різними числами, отримаємо всілякі лінійні двочлени, квадратні тричлени і т. д. Напр. 3, букву b числом –2 та букву c числом –1, отримаємо квадратний тричлен 3x² – 2x – 1. У окремому випадку можна отримати і двочлен, замінюючи одну з букв нулем, напр., якщо a = +1, b = 0 і c = –3, отримаємо квадратний двочлен x² – 3.
Можна навчитися розкладати деякі квадратні тричлени досить швидко на лінійні множники. Проте обмежимося розглядом лише таких квадратних тричленів, які задовольняють наступним умовам:
1) коефіцієнтом при старшому члені (при х²) служить +1,
2) можна підшукати такі два цілих числа (зі знаками, або два відносних цілих числа), щоб їх сума дорівнювала коефіцієнту при x у першому ступені та їх добуток дорівнював члену, вільному від x (де букви x зовсім немає).
приклади. 1. x² + 5x + 6; легко в умі підшукати два числа (зі знаками), щоб їх сума дорівнювала +5 (коефіцієнту при x) і щоб їх добуток = +6 (члену, вільному від x), – ці числа суть: +2 і +3 [в самому справі, +2 + 3 = +5 та (+2) ∙ (+3) = +6]. З допомогою цих двох чисел замінимо член +5x двома членами, саме: +2x + 3x (звичайно, +2x + 3x = +5x); тоді наш техчлен штучно буде звернений до чотирьохчленів x² + 2x + 3x + 6. Застосуємо тепер до нього прийом угруповання, відносячи перші два члени в одну групу і останні два – в іншу:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
У першій групі ми винесли за дужку x і в другій +3 отримали два члени, у яких виявився загальний множник (x + 2), який також винесли за дужку, і наш тричлен x² + 5x + 6 розклався на 2 лінійних множника: x + 2 та x + 3.
2. x² – x – 12. Тут треба підшукати два числа (відносних), щоб їхня сума дорівнювала –1 і щоб їх добуток дорівнював –12. Такі числа є: –4 і +3.
Перевірка: -4 + 3 = -1; (-4) (+3) = -12. З допомогою цих чисел замінимо член –x двома членами: –x = –4x + 3x, – отримаємо:
x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).
3. x² - 7x + 6; тут необхідні числа суть: -6 і -1. [Перевірка: -6 + (-1) = -7; (-6) (-1) = +6].
x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).
Тут члени другої групи -x + 6 довелося укласти у дужки, зі знаком мінус перед ними.
4. x² + 8x – 48. Тут потрібно підшукати два числа, щоб їхня сума дорівнювала +8 і щоб їх добуток дорівнював –48. Так як твір повинен мати знак мінус, то числа, що шукаються, повинні бути з різними знаками, так як сума наших чисел має знак +, то абсолютна величина позитивного числа повинна бути більшою. Розкладаючи арифметичне число 48 на два множники (а це можна зробити по-різному), отримаємо: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. З цих розкладів легко вибрати відповідне до наших вимог, а саме : 48 = 4 ∙ 12. Тоді наші числа суть: +12 та –4. Подальше просто:
x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).
5. x² + 7x – 12. Тут треба знайти 2 числа, щоб їхня сума дорівнювала +7 і добуток = –12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Очевидно, відповідними числами були б 3 і 4, але їх треба взяти з різними знаками, щоб їх добуток дорівнював –12, а тоді їх сума ні в якому разі не може дорівнювати +7 [-3 + (+4) = +1, +3 + (-4) = -1]. Інші розкладання на множники також дають необхідних чисел; тому ми приходимо до висновку, що даних квадратних тричленів ми ще не вміємо розкласти на лінійні множники, оскільки до нього наш прийом не застосовується (він не задовольняє другу з умов, які були встановлені спочатку).
У нього – квадрат, а складається з трьох доданків (). Ось і виходить – квадратний тричлен.
Приклади неквадратних тричленів:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - кубічний чотиричлен
\(2x+1\) - лінійний двочлен
Корінь квадратного тричлена:
Приклад:
У тричлена \(x^2-2x+1\) корінь \(1\), тому що \(1^2-2·1+1=0\)
У тричлена \(x^2+2x-3\) коріння \(1\) і \(-3\), тому що \(1^2+2-3=0\) і \((-3)^ 2-6-3 = 9-9 = 0 \)
Наприклад:якщо потрібно знайти коріння для квадратного тричлена \(x^2-2x+1\), прирівняємо його до нуля і розв'яжемо рівняння \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)
Готово. Корінь дорівнює \(1\).
Розкладання квадратного тричлена на:
Квадратний тричлен \(ax^2+bx+c\) можна розкласти як \(a(x-x_1)(x-x_2)\), якщо рівняння \(ax^2+bx+c=0\) більше за нуль \ (x_1\) і (x_2\) - коріння того ж рівняння).
Наприклад, Розглянемо тричлен (3x^2+13x-10\).
У квадратного рівняння \(3x^2+13x-10=0\) дискримінант дорівнює 289 (більше за нуль), а коріння дорівнює \(-5\) і \(\frac(2)(3)\). Тому (3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). У вірності цього твердження легко переконається - якщо ми отримаємо вихідний тричлен.
Квадратний тричлен \(ax^2+bx+c\) можна подати як \(a(x-x_1)^2\), якщо дискримінант рівняння \(ax^2+bx+c=0\) дорівнює нулю.
Наприклад, Розглянемо тричлен (x^2+6x+9\).У квадратного рівняння \(x^2+6x+9=0\) дискримінант дорівнює \(0\), а єдиний корінь дорівнює \(-3\). Значить, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (тут коефіцієнт (a=1\), тому перед дужкою не пишеться - немає чого). Зверніть увагу, що саме перетворення можна зробити і по .
Квадратний тричлен \(ax^2+bx+c\) не розкладається на множники, якщо дискримінант рівняння \(ax^2+bx+c=0\) менший за нуль.
Наприклад, у тричленів \(x^2+x+4\) та \(-5x^2+2x-1\) – дискримінант менше нуля. Тому розкласти їх на множники неможливо.
приклад
. Розкладіть на множники (2x^2-11x+12\).
Рішення
:
Знайдемо коріння квадратного рівняння (2x^2-11x+12=0)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)
Отже, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Відповідь
: \(2(x-1,5)(x-4)\)
Отриману відповідь, можливо, записати інакше: \((2x-3)(x-4)\).
приклад
. (Завдання з ОДЕ)Квадратний тричлен розкладений на множники \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Знайдіть (a).
Рішення:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Відповідь
: \(-1,6\)
