Розглянемо тепер квадратне рівняння
де – невідома величина, – параметри (коефіцієнти) рівняння.
До критичним значенням параметра слід віднести, перш за все, значення При вказаному значенні параметра рівняння (1) набуває вигляду
отже, порядок рівняння знижується на одиницю. Рівняння (2) є лінійним рівнянням та метод його вирішення розглядався раніше.
При інших критичних значеннях параметрів визначаються дискримінантом рівняння. Відомо, що з рівняння (1) коренів немає; при воно має єдиний корінь при рівнянні (1) має два різні корені і
1). Знайти всі значення параметра для яких квадратне рівняння
а) має два різні корені;
б) не має коріння;
в) має два рівні корені.
Рішення.Дане рівняння за умовою є квадратним, а тому Розглянемо дискримінант цього рівняння
При рівняння має два різні корені, т.к.
При рівняння коріння немає, т.к. Дане квадратне рівняння неспроможна мати двох рівних коренів, т.к. а це суперечить умові завдання.
Відповідь: При рівнянні має два різні корені.
При рівнянні коріння немає.
2). Вирішити рівняння. Для кожного допустимого значення параметра розв'язати рівняння
Рішення.Розглянемо спочатку випадок, коли
(у разі вихідне рівняння стає лінійним рівнянням). Таким чином, значення параметра є його критичними значеннями. Ясно, що при корені даного рівняння є, а при його корені
Якщо тобто. і то це рівняння є квадратним. Знайдемо його дискримінант:
При всіх значеннях дискримінант набуває невід'ємних значень, причому він звертається в нуль при (ці значення параметра теж є його критичними значеннями).
Тому, якщо те дане рівняння має єдиний корінь
При цьому значенню параметра відповідає корінь
а значенню відповідає корінь
Якщо ж то рівняння має два різні корені. Знайдемо це коріння.
Відповідь.Якщо то якщо то якщо то
якщо то , .
3). Вирішити рівняння. При яких значеннях параметра арівняння має єдине рішення?
Рішення.Дане рівняння рівносильне системі
Наявність квадратного рівняння та умова єдиності рішення, звичайно, призведуть до пошуку коренів дискримінанта. Водночас умова х ≠ -3 має привернути увагу. І «тонкий момент» полягає в тому, що квадратне рівняння системи може мати два корені! Але обов'язково лише один із них має дорівнювати -3. Маємо
D = а 2 - 4 звідси D =0, якщо а= ±2; х = -3 - корінь рівняння х 2 – ах +1 = 0 при
а= -10/3, причому за такого значення адругий корінь квадратного рівняння відмінний
Відповідь. а= ±2 або а = -10/3.
4). Вирішити рівняння. При яких значеннях параметра арівняння
(а- 2)x 2 + (4 - 2а) х+3 = 0 чи має єдине рішення?
Рішення.Зрозуміло, що треба починати з нагоди а= 2. Але за а = 2вихідне рівняння взагалі немає рішень. Якщо а ≠ 2, то це рівняння - квадратне, і, начебто, шукані значення параметра - це коріння дискримінанта. Однак дискримінант звертається в нуль при а = 2або а = 5. Оскільки ми встановили, що а = 2не підходить, то
Відповідь, а = 5.
9). Вирішити рівняння. При яких значеннях параметра арівняння ах 2 - 4х + а+ 3 = 0 має більше одного кореня?
Рішення. При а= 0 рівняння має єдиний корінь, що задовольняє умові. При а≠ 0 вихідне рівняння, будучи квадратним, має два корені, якщо його дискримінант 16 – 4 а 2 – 12апозитивний. Звідси отримуємо -4<а<1.
Однак отриманий проміжок (-4; 1) входить число 0. Відповідь. -4<а<0 или 0<а<1.
10). При яких значеннях параметра арівняння а(а+3)х 2 + (2а+6)х– 3а- 9 = 0 має більше одного кореня?
Рішення. Стандартний крок - почати з випадків а= 0 і а= -3. При а= 0 рівняння має єдине рішення. Цікаво, що за а= -3 Розв'язком рівняння служить будь-яке дійсне число. При а≠ -3 та а≠ 0, розділивши обидві частини даного рівняння на а+3, отримаємо квадратне рівняння ах 2 + 2х- 3 = 0, дискримінант якого 4 (1 + З а) Позитивний при а > ⅓. Досвід попередніх прикладів підказує, що з проміжку
(-⅓ ;∞) треба виключити точку а= 0, а у відповідь не забути увімкнути а = -3.
Відповідь. а= -3, або - ⅓< а < 0, или а > 0.
11). Вирішити рівняння :
Рішення.Спочатку зауважимо, що за дане рівняння рівносильне рівнянню, яке не має рішень. Якщо ж
Рівняння виду f(x; a) = 0 називається рівнянням зі змінною хта параметром а.
Вирішити рівняння з параметром а– це означає, для кожного значення азнайти значення х, що задовольняють цього рівняння.
приклад 1. ах= 0
приклад 2. ах = а
приклад 3.
х + 2 = ах
х - ах = -2
х(1 – а) = -2
Якщо 1 – а= 0, тобто. а= 1, то х 0 = -2 коріння немає
Якщо 1 – а 0, тобто. а 1, то х =
приклад 4.
(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)
Якщо а= 1, то 0 х = 0
х– будь-яке дійсне число
Якщо а= -1, то 0 х = -2
Коренів немає
Якщо а 1, а-1, то х= (Єдине рішення).
Це означає, що кожному припустимому значенню авідповідає єдине значення х.
Наприклад:
якщо а= 5, то х = = ;
якщо а= 0, то х= 3 і т.д.
Дидактичний матеріал
1. ах = х + 3
2. 4 + ах = 3х – 1
3. а = +
при а= 1 коріння немає.
при а= 3 коріння немає.
при а = 1 х– будь-яке дійсне число, крім х = 1
при а = -1, а= 0 рішень немає.
при а = 0, а= 2 рішень немає.
при а = -3, а = 0, 5, а= -2 рішень немає
при а = -з, з= 0 рішень немає.
Квадратні рівняння з параметром
приклад 1.Вирішити рівняння
(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0
При а = 1 6х + 7 = 0
В разі а 1 виділимо ті значення параметра, за яких Дзвертається в нуль.
Д = (2(2 а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
20а + 16 = 0
20а = -16
Якщо а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.
Якщо а> -4/5 та а 1, то Д > 0,
х = 
Якщо а= 4/5, то Д = 0,
приклад 2.При яких значеннях параметра а рівняння
х 2 + 2( а + 1)х + 9а- 5 = 0 має 2 різних негативних кореня?
Д = 4 ( а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)
4(а – 1)(а – 6) > 0
по т. Вієта: х 1 + х 2 = -2(а + 1)
х 1 х 2 = 9а – 5
За умовою х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0
| В підсумку | 4(а – 1)(а – 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0 |
а < 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9 |
 (Рис. 1) < a < 1, либо a > 6 |
приклад 3.Знайдіть значення а, у яких дане рівняння має рішення.
х 2 – 2( а – 1)х + 2а + 1 = 0
Д = 4 ( а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 0
4а(а – 4) 0
а( а – 4)) 0
а( а – 4) = 0
а = 0 або а – 4 = 0
а = 4
(Рис. 2)
Відповідь: а 0 та а 4
Дидактичний матеріал
1. При якому значенні арівняння ах 2 – (а + 1) х + 2а- 1 = 0 має один корінь?
2. При якому значенні арівняння ( а + 2) х 2 + 2(а + 2)х+ 2 = 0 має один корінь?
3. При яких значеннях а рівняння ( а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 має більше двох коренів?
4. При яких значеннях рівняння 2 х 2 + х – а= 0 має хоча б один загальний корінь із рівнянням 2 х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При яких значеннях а рівняння х 2 +ах+ 1 = 0 та х 2 + х + а= 0 чи мають хоча б один загальний корінь?
1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1
2. При а = 0
3. При а = 2
4. При а = 10
5. При а = - 2
Показові рівняння з параметром
Приклад 1.Знайти всі значення а, при яких рівняння
9 х – ( а+ 2)*3 х-1/х +2 а*3 -2/х = 0 (1) має рівно два корені.
Рішення. Помноживши обидві частини рівняння (1) на 3 2/х, отримаємо рівносильне рівняння
3 2(х+1/х) – ( а+ 2)*3 х+1/х + 2 а = 0 (2)
Нехай 3 х + 1/х = утоді рівняння (2) набуде вигляду у 2 – (а + 2)у + 2а= 0, або
(у – 2)(у – а) = 0, звідки у 1 =2, у 2 = а.
Якщо у= 2, тобто. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х= log 3 2 або х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.
Це рівняння не має дійсних коренів, оскільки його Д= log 2 3 2 – 4< 0.
Якщо у = а, тобто. 3 х+1/х = ато х + 1/х= log 3 а, або х 2 –х log 3 а + 1 = 0. (3)
Рівняння (3) має рівно два корені тоді і тільки тоді, коли
Д = log 2 3 2 - 4 > 0, або | log 3 а | >2.
Якщо log 3 а > 2, то а> 9, і якщо log 3 а< -2, то 0 < а < 1/9.
Відповідь: 0< а < 1/9, а > 9.
Приклад 2. При яких значеннях рівняння 2 2х – ( а – 3) 2 х – 3 а= 0 Чи має рішення?
Для того щоб задане рівняннямало рішення, необхідно і достатньо, щоб рівняння t 2 – (a – 3) t – 3a= 0 мало хоча б один позитивний корінь. Знайдемо коріння за теоремою Вієта: х 1 = -3, х 2 = а = >
а – позитивне число.
Відповідь: при а > 0
Дидактичний матеріал
1. Знайти всі значення а, при яких рівняння
25 х – (2 а+ 5) * 5 х-1/х + 10 а* 5 -2/х = 0 має рівно 2 рішення.
2. При яких значеннях а рівняння
2(а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 має єдиний корінь?
3. При яких значеннях параметра а рівняння
4 х - (5 а-3) 2 х +4 а 2 – 3а= 0 Чи має єдине рішення?
Логарифмічні рівняння з параметром
приклад 1.Знайти всі значення а, при яких рівняння
log 4x (1 + ах) = 1/2 (1)
має єдине рішення.
Рішення. Рівняння (1) рівносильне рівнянню
1 + ах = 2хпри х > 0, х 1/4 (3)
х = у
ау 2 – у + 1 = 0 (4)
Не виконується (2) умова (3).
Нехай а 0, то ау 2 – 2у+ 1 = 0 має дійсне коріння тоді і тільки тоді, коли Д = 4 – 4а 0, тобто. при а 1.Щоб вирішити нерівність (3), побудуємо графіки функцій Галицький М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.І.Поглиблене вивчення курсу алгебри та математичного аналізу. - М.: Просвітництво, 1990
1. Завдання.
При яких значеннях параметра aрівняння ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 має рівно один корінь?
1. Рішення.
При a= 1 рівняння має вигляд 2 x= 0 і, очевидно, має єдиний корінь x= 0. Якщо a№ 1, то це рівняння є квадратним і має єдиний корінь при тих значеннях параметра, при яких дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю. Прирівнюючи дискримінант до нуля, отримуємо рівняння щодо параметра a
4a 2 - 8a= 0, звідки a= 0 або a = 2.
1. Відповідь:рівняння має єдиний корінь при aПро (0; 1; 2).
2. Завдання.
Знайти всі значення параметра a, при яких має два різні корені рівняння x 2 +4ax+8a+3 = 0.
2. Рішення.
Рівняння x 2 +4ax+8a+3 = 0 має два різні корені тоді і тільки тоді, коли D =
16a 2 -4(8a+3) > 0. Отримуємо (після скорочення на загальний множник 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, звідки
2. Відповідь:
| aО (-Ґ ; 1 – | Ц 7 2 |
) І (1 + | Ц 7 2 |
; Ґ ). |
3. Завдання.
Відомо що
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
а) Побудуйте графік функції f 1 (x) при a = 1.
б) При якому значенні aграфіки функцій f 1 (x) та f 2 (x) мають єдину загальну точку?
3. Рішення.
3.а.Перетворюємо f 1 (x) наступним чином
Графік цієї функції при a= 1 зображено малюнку праворуч.
3.б.Відразу зазначимо, що графіки функцій y =
kx+bі y = ax 2 +bx+c
(a№ 0) перетинаються в єдиній точці тоді і лише тоді, коли квадратне рівняння kx+b =
ax 2 +bx+cмає єдине коріння. Використовуючи уявлення f 1 з 3.а, прирівняємо дискримінант рівняння a = 6x-x 2 -6 на нуль. З рівняння 36-24-4 a= 0 отримуємо a= 3. Зробивши те саме з рівнянням 2 x-a = 6x-x 2 -6 знайдемо a= 2. Неважко переконатися, що це значення параметра задовольняють умовам завдання. Відповідь: a= 2 або a = 3.
4. Завдання.
Знайти всі значення a, при яких безліч розв'язків нерівності x 2 -2ax-3aі 0 містить відрізок.
4. Рішення.
Перша координата вершини параболи f(x) =
x 2 -2ax-3aдорівнює x 0 =
a. З властивостей квадратичної функції умова f(x) і 0 на відрізку рівносильно сукупності трьох систем
має рівно два рішення?
5. Рішення.
Перепишемо це рівняння у вигляді x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Це квадратне рівняння, воно має рівно два рішення, якщо його дискримінант строго більший за нуль. Обчислюючи дискримінант, отримуємо, що умовою наявності рівно двох коренів є виконання нерівності a 2 +a-6 > 0. Вирішуючи нерівність, знаходимо a < -3 или a> 2. Перше з нерівностей, очевидно, рішень у натуральних числахнемає, а найменшим натуральним рішенням другого є число 3.
5. Відповідь: 3.
6. Завдання (10 кл.)
Знайти всі значення a, при яких графік функції або після очевидних перетворень, a-2 = |
2-a| . Останнє рівняння рівносильне нерівності aі 2.
6. Відповідь: aПро )
