Zvažovali sme niekoľko fyzikálne úplne odlišných systémov a ubezpečili sme sa, že pohybové rovnice sú zredukované na rovnakú formu

Rozdiely medzi fyzickými systémami sa prejavujú iba v odlišná definícia množstvá a v rôznych fyzický zmysel premenlivý X: môže to byť súradnica, uhol, náboj, prúd atď. Všimnite si, že v tomto prípade, ako vyplýva zo samotnej štruktúry rovnice (1.18), má veličina vždy rozmer inverzného času.

Rovnica (1.18) popisuje tzv harmonické vibrácie.

Rovnica harmonické vibrácie(1,18) je lineárny Diferenciálnej rovnice druhého rádu (pretože obsahuje druhú deriváciu premennej X). Linearita rovnice to znamená

ak nejakú funkciu x(t) je riešením tejto rovnice, potom funkcia Cx(t) bude tiež jeho riešením ( C je ľubovoľná konštanta);

ak funkcie x 1 (t) a x 2 (t) sú riešenia tejto rovnice, potom ich súčet x 1 (t) + x 2 (t) bude tiež riešením tej istej rovnice.

Je dokázaná aj matematická veta, podľa ktorej má rovnica druhého rádu dve nezávislé riešenia. Všetky ostatné riešenia podľa vlastností linearity možno získať ako ich lineárne kombinácie. Je ľahké priamou diferenciáciou skontrolovať, či nezávislé fungujú a spĺňajú rovnicu (1.18). Takže všeobecné riešenie tejto rovnice je:

kde C1,C2 sú ľubovoľné konštanty. Toto riešenie môže byť prezentované aj v inej forme. Predstavujeme množstvo

a definujte uhol ako:

Potom sa všeobecné riešenie (1.19) zapíše ako

Podľa trigonometrických vzorcov je výraz v zátvorkách

Konečne prichádzame na všeobecné riešenie rovnice harmonických kmitov ako:

Nezáporná hodnota A volal amplitúda oscilácie, - počiatočná fáza oscilácie. Celý kosínusový argument - kombinácia - sa nazýva oscilačná fáza.

Výrazy (1.19) a (1.23) sú dokonale ekvivalentné, takže z dôvodu jednoduchosti môžeme použiť ktorýkoľvek z nich. Obe riešenia sú periodickými funkciami času. V skutočnosti sú sínus a kosínus periodické s bodkou . Preto sa rôzne stavy systému, ktorý vykonáva harmonické kmity, po určitom čase opakujú t*, pre ktorú fáza kmitania dostáva prírastok, ktorý je násobkom :

Z toho teda vyplýva

Najmenej z týchto časov

volal perióda oscilácie (obr. 1.8), a - jeho kruhový (cyklický) frekvencia.

Ryža. 1.8.

Tiež používajú frekvencia váhanie

V súlade s tým sa kruhová frekvencia rovná počtu kmitov na sekúnd.

Ak teda systém v čase t charakterizované hodnotou premennej x(t), potom rovnakú hodnotu bude mať premenná po určitom čase (obr. 1.9), tj

Rovnaká hodnota sa samozrejme po chvíli zopakuje. 2T, ZT atď.

Ryža. 1.9. Doba oscilácie

Všeobecné riešenie obsahuje dve ľubovoľné konštanty ( C1, C2 alebo A, a), ktorých hodnoty by mali byť určené dvoma počiatočné podmienky. Zvyčajne (aj keď nie nevyhnutne) ich úlohu zohrávajú počiatočné hodnoty premennej x(0) a jeho derivát.

Vezmime si príklad. Nech riešenie (1.19) rovnice harmonických kmitov opisuje pohyb pružinového kyvadla. Hodnoty ľubovoľných konštánt závisia od spôsobu, akým sme kyvadlo vyviedli z rovnováhy. Prameň sme napríklad ťahali do diaľky a pustil loptu bez počiatočnej rýchlosti. V tomto prípade

Nahrádzanie t = 0 v (1.19) nájdeme hodnotu konštanty Od 2

Riešenie teda vyzerá takto:

Rýchlosť zaťaženia sa zistí diferenciáciou vzhľadom na čas

Nahrádzanie tu t = 0, nájdite konštantu Od 1:

Konečne

V porovnaní s (1.23) zistíme, že je amplitúda kmitania a jeho počiatočná fáza sa rovná nule: .

Teraz vyvedieme kyvadlo z rovnováhy iným spôsobom. Zasiahneme náklad tak, aby získal počiatočnú rýchlosť, ale počas nárazu sa prakticky nepohol. Potom máme ďalšie počiatočné podmienky:

naše riešenie vyzerá takto

Rýchlosť zaťaženia sa bude meniť podľa zákona:

Dajme to sem:

Najjednoduchší typ vibrácií je harmonické vibrácie- kolísanie, pri ktorom sa posunutie kmitajúceho bodu z rovnovážnej polohy v čase mení podľa sínusového alebo kosínusového zákona.

Takže pri rovnomernom otáčaní gule po obvode jej premietanie (tieň v rovnobežných lúčoch svetla) vykonáva harmonický kmitavý pohyb na zvislej obrazovke (obr. 1).

Posun z rovnovážnej polohy pri harmonických vibráciách je opísaný rovnicou (nazýva sa to kinematický zákon harmonického pohybu) v tvare:

kde x - posunutie - hodnota charakterizujúca polohu kmitajúceho bodu v čase t vzhľadom k rovnovážnej polohe a meraná vzdialenosťou od rovnovážnej polohy k polohe bodu v danom čase; A - amplitúda kmitania - maximálne posunutie telesa z rovnovážnej polohy; T - perióda kmitania - čas jedného úplného kmitu; tie. najmenšie rozpätiečas, po ktorom sa opakujú hodnoty fyzikálnych veličín charakterizujúcich osciláciu; - počiatočná fáza;

Fáza kmitania v čase t. Argumentom je fáza oscilácie periodická funkcia, ktorý pre danú amplitúdu kmitania určuje stav oscilačný systém(posunutie, rýchlosť, zrýchlenie) telesa v akomkoľvek danom čase.

Ak sa v počiatočnom okamihu oscilujúci bod maximálne posunie z rovnovážnej polohy, potom sa posun bodu z rovnovážnej polohy zmení podľa zákona

Ak je kmitajúci bod v polohe stabilnej rovnováhy, potom sa posunutie bodu z rovnovážnej polohy mení podľa zákona

Hodnota V, prevrátená hodnota periódy a rovná sa počtu úplných kmitov vykonaných za 1 s, sa nazýva frekvencia kmitov:

Ak v čase t telo urobí N úplných kmitov, potom

hodnota , ukazujúci, koľko kmitov teleso vykoná za s, sa nazýva cyklická (kruhová) frekvencia.

Kinematický zákon harmonického pohybu možno zapísať takto:

Graficky je závislosť posunu kmitajúceho bodu od času znázornená kosínusom (alebo sínusoidou).

Obrázok 2, a ukazuje časovú závislosť posunutia oscilujúceho bodu z rovnovážnej polohy pre prípad.

Poďme zistiť, ako sa mení rýchlosť oscilujúceho bodu s časom. Aby sme to dosiahli, nájdeme časovú deriváciu tohto výrazu:

kde je amplitúda projekcie rýchlosti na osi x.

Tento vzorec ukazuje, že počas harmonických kmitov sa mení aj priemet rýchlosti telesa na os x podľa harmonického zákona s rovnakou frekvenciou, s inou amplitúdou a je pred fázou miešania o (obr. 2, b) .

Aby sme zistili závislosť zrýchlenia, nájdeme časovú deriváciu projekcie rýchlosti:

kde je amplitúda projekcie zrýchlenia na osi x.

Pre harmonické kmity vedie projekcia zrýchlenia fázový posun o k (obr. 2, c).

§ 6. MECHANICKÉ KMITYZákladné vzorce

Harmonická vibračná rovnica

kde X - posunutie bodu kmitania z rovnovážnej polohy; t- čas; ALE,ω, φ- resp. amplitúda, uhlová frekvencia, počiatočná fáza kmitov; - fáza kmitov v súčasnosti t.

Frekvencia uhlovej oscilácie

kde ν a T sú frekvencia a perióda kmitov.

rýchlosť bodu vytvárajúceho harmonické oscilácie,

Harmonické zrýchlenie

Amplitúda ALE výsledné kmitanie získané sčítaním dvoch kmitov s rovnakými frekvenciami vyskytujúcimi sa pozdĺž jednej priamky je určené vzorcom

kde a 1 a ALE 2 - amplitúdy zložiek kmitania; φ 1 a φ 2 - ich počiatočné fázy.

Počiatočnú fázu φ výslednej oscilácie možno zistiť zo vzorca

Frekvencia úderov vznikajúca sčítaním dvoch kmitov vyskytujúcich sa pozdĺž tej istej priamky s rôznymi, ale hodnotami blízkymi frekvenciami ν 1 a ν 2,

Rovnica trajektórie bodu zúčastňujúceho sa dvoch vzájomne kolmých kmitov s amplitúdami A 1 a A 2 a počiatočnými fázami φ 1 a φ 2,

Ak sú počiatočné fázy φ 1 a φ 2 zložiek kmitania rovnaké, potom rovnica trajektórie má tvar

t.j. bod sa pohybuje po priamke.

V prípade, že fázový rozdiel , rovnica nadobúda tvar

t.j. bod sa pohybuje po elipse.

Diferenciálna rovnica harmonických kmitov hmotného bodu

, alebo , kde m je hmotnosť bodu; k- koeficient kvázi-elastickej sily ( k=tω 2).

Celková energia hmotného bodu vytvárajúceho harmonické oscilácie,

Doba kmitania telesa zaveseného na pružine (pružinové kyvadlo),

kde m- telesná hmotnosť; k- tuhosť pružiny. Vzorec platí pre elastické vibrácie v medziach, v ktorých je splnený Hookov zákon (s malou hmotnosťou pružiny v porovnaní s hmotnosťou tela).

Perióda kmitania matematického kyvadla

kde l- dĺžka kyvadla; g- gravitačné zrýchlenie. Doba kmitania fyzického kyvadla

kde J- moment zotrvačnosti kmitajúceho telesa okolo osi

výkyvy; a- vzdialenosť ťažiska kyvadla od osi kývania;

Znížená dĺžka fyzického kyvadla.

Vyššie uvedené vzorce sú presné pre prípad nekonečne malých amplitúd. Pre konečné amplitúdy tieto vzorce poskytujú len približné výsledky. Pri amplitúdach nie väčších ako chyba v hodnote periódy nepresahuje 1%.

Obdobie torzných kmitov telesa zaveseného na elastickom vlákne,

kde J- moment zotrvačnosti telesa okolo osi zhodnej s elastickou niťou; k- tuhosť elastickej nite, ktorá sa rovná pomeru pružného momentu, ktorý nastáva, keď je niť skrútená do uhla, o ktorý je niť skrútená.

Diferenciálna rovnica tlmených kmitov , alebo ,

kde r- koeficient odporu; 5 - koeficient tlmenia: ;ω 0 - vlastná uhlová frekvencia vibrácií *

Rovnica tlmenej oscilácie

kde A(t)- amplitúdy tlmených kmitov v súčasnosti t;ω je ich uhlová frekvencia.

Uhlová frekvencia tlmených kmitov

О Závislosť amplitúdy tlmených kmitov od času

ja

kde ALE 0 - momentálna amplitúda kmitov t=0.

Logaritmické znižovanie oscilácií

kde A(t) a A(t+T)- amplitúdy dvoch po sebe nasledujúcich kmitov oddelených v čase od seba periódou.

Diferenciálna rovnica vynútených vibrácií

kde je vonkajšia periodická sila pôsobiaca na kmitajúci materiálový bod a spôsobujúca vynútené kmity; F 0 - jeho hodnota amplitúdy;

Amplitúda vynútených vibrácií

Rezonančná frekvencia a rezonančná amplitúda a

Príklady riešenia problémov

Príklad 1 Bod osciluje podľa zákona x(t)=, kde A = 2 pozri Určenie počiatočnej fázy φ ak

X(0) = cm a X , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­ мента t=0.

Riešenie. Používame pohybovú rovnicu a vyjadrujeme posunutie v súčasnosti t=0 cez počiatočnú fázu:

Odtiaľ nájdeme počiatočnú fázu:

* Vo vyššie uvedených vzorcoch pre harmonické kmity bola rovnaká hodnota jednoducho označená ω (bez indexu 0).

Do tohto výrazu dosaďte dané hodnoty X(0) a ALE:φ= = . Hodnota argumentu je splnená dvoma hodnotami uhla:

Aby sme sa rozhodli, ktorá z týchto hodnôt uhla φ tiež spĺňa podmienku , najprv nájdeme:

Nahradením tohto výrazu hodnotou t=0 a striedavo hodnoty počiatočných fáz a nájdeme

T ok ako vždy A>0 a ω>0, potom podmienku spĺňa len prvá hodnota počiatočnej fázy. Teda požadovaná počiatočná fáza

Na základe zistenej hodnoty φ zostrojíme vektorový diagram (obr. 6.1). Príklad 2 Hmotný bod s hmotnosťou t\u003d 5 g vykonáva harmonické oscilácie s frekvenciou ν = 0,5 Hz. Amplitúda oscilácie A=3 cm Určte: 1) rýchlosť υ bodov v čase, keď došlo k zápočtu x== 1,5 cm; 2) maximálna sila F max pôsobiaca na bod; 3) Obr. 6,1 celkovej energie E oscilačný bod.

a vzorec rýchlosti získame tak, že vezmeme prvú časovú deriváciu posunu:

Na vyjadrenie rýchlosti pomocou posunu je potrebné zo vzorcov (1) a (2) vylúčiť čas. Aby sme to dosiahli, odmocníme obe rovnice a vydelíme prvú ALE 2 , druhý na A 2 ω 2 a pridajte:

, alebo

Riešenie poslednej rovnice pre υ , Nájsť

Po vykonaní výpočtov podľa tohto vzorca získame

Znamienko plus zodpovedá prípadu, keď sa smer rýchlosti zhoduje s kladným smerom osi X, znamienko mínus - keď sa smer rýchlosti zhoduje so záporným smerom osi X.

Posun pri harmonickom kmitaní je možné okrem rovnice (1) určiť aj rovnicou

Opakovaním rovnakého riešenia s touto rovnicou dostaneme rovnakú odpoveď.

2. Silu pôsobiacu na bod zistíme podľa druhého Newtonovho zákona:

kde a - zrýchlenie bodu, ktoré získame prevzatím časovej derivácie rýchlosti:

Dosadením výrazu zrýchlenia do vzorca (3) dostaneme

Preto maximálna hodnota sily

Dosadením do tejto rovnice hodnoty π, ν, t a A, Nájsť

3. Celková energia oscilujúceho bodu je súčtom kinetických a potenciálnych energií vypočítaných pre ľubovoľný časový okamih.

Najjednoduchší spôsob výpočtu celkovej energie je v momente, keď kinetická energia dosiahne svoju maximálnu hodnotu. V tomto bode je potenciálna energia nulová. Takže celková energia E oscilačný bod sa rovná maximálnej kinetickej energii

Maximálnu rýchlosť určíme zo vzorca (2) s nastavením: . Dosadením rýchlostného výrazu do vzorca (4) nájdeme

Nahradením hodnôt veličín do tohto vzorca a vykonaním výpočtov získame

alebo mcJ.

Príklad 3 Na koncoch tenkej tyče l= 1 m a hmotnosť m 3 =400 g malé guličky spevníme hmotou m 1 = 200 g a m 2 = 300 g. Tyč kmitá okolo vodorovnej osi, kolmej na

dikulárna tyč a prechádzajúca jej stredom (bod O na obr. 6.2). Definujte obdobie T vibrácie spôsobené tyčou.

Riešenie. Perióda kmitania fyzického kyvadla, čo je tyč s guľôčkami, je určená vzťahom

kde J- t - jeho hmotnosť; l OD - vzdialenosť od ťažiska kyvadla k osi.

Moment zotrvačnosti tohto kyvadla sa rovná súčtu momenty zotrvačnosti loptičiek J 1 a J 2 a rod J 3:

Berúc gule ako hmotné body, vyjadrujeme momenty ich zotrvačnosti:

Keďže os prechádza stredom tyče, potom jej moment zotrvačnosti okolo tejto osi J 3 = =. Nahradenie výsledných výrazov J 1 , J 2 a J 3 do vzorca (2) zistíme celkový moment zotrvačnosti fyzického kyvadla:

Vykonaním výpočtov pomocou tohto vzorca zistíme

Ryža. 6.2 Hmotnosť kyvadla pozostáva z hmotnosti guľôčok a hmotnosti tyče:

Vzdialenosť l OD zistíme ťažisko kyvadla od osi kmitania na základe nasledujúcich úvah. Ak je os X smerujte pozdĺž tyče a zarovnajte začiatok s bodom ó, potom požadovaná vzdialenosť l sa rovná súradnici ťažiska kyvadla, t.j.

Nahradenie hodnôt veličín m 1 , m 2 , m, l a vykonávaní výpočtov, zistíme

Po výpočtoch podľa vzorca (1) získame periódu oscilácie fyzického kyvadla:

Príklad 4 Fyzické kyvadlo je tyč s dĺžkou l= 1 m a hmotnosť 3 t 1 s pripevnený na jeden z jeho koncov obručou s priemerom a hmotnosťou t 1 . Horizontálna os Oz

kyvadlo prechádza stredom tyče kolmo na ňu (obr. 6.3). Definujte obdobie T kmity takéhoto kyvadla.

Riešenie. Perióda kmitania fyzického kyvadla je určená vzorcom

(1)

kde J- moment zotrvačnosti kyvadla okolo osi kývania; t - jeho hmotnosť; l C - vzdialenosť od ťažiska kyvadla k osi kývania.

Moment zotrvačnosti kyvadla sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti tyče J 1 a obruč J 2:

(2).

Moment zotrvačnosti tyče vo vzťahu k osi kolmej na tyč a prechádzajúcej jej ťažiskom je určený vzorcom . V tomto prípade t= 3t 1 a

Moment zotrvačnosti obruče nájdeme pomocou Steinerovej vety ,kde J- moment zotrvačnosti okolo ľubovoľnej osi; J 0 - moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej ťažiskom rovnobežnej s danou osou; a - vzdialenosť medzi určenými osami. Aplikovaním tohto vzorca na obruč dostaneme

Nahrádzanie výrazov J 1 a J 2 do vzorca (2) nájdeme moment zotrvačnosti kyvadla okolo osi otáčania:

Vzdialenosť l OD od osi kyvadla k jeho ťažisku je

Dosadenie výrazov do vzorca (1). J, l c a hmotnosti kyvadla zistíme dobu jeho kmitania:

Po výpočte podľa tohto vzorca dostaneme T\u003d 2,17 s.

Príklad 5 Sčítajú sa dve oscilácie rovnakého smeru, vyjadrené rovnicami ; X 2 = =, kde ALE 1 = 1 cm, A 2 \u003d 2 cm, s, s, ω \u003d \u003d. 1. Určte počiatočné fázy φ 1 a φ 2 zložiek kmitania

bani. 2. Nájdite amplitúdu ALE a počiatočná fáza φ výsledného kmitania. Napíšte rovnicu pre výsledné kmitanie.

Riešenie. 1. Rovnica harmonického kmitania má tvar

Transformujme rovnice uvedené v podmienke úlohy do rovnakého tvaru:

Z porovnania výrazov (2) s rovnosťou (1) zistíme počiatočné fázy prvého a druhého kmitu:

Rád a rád.

2. Na určenie amplitúdy ALE výslednej fluktuácie je vhodné použiť vektorový diagram uvedený v ryža. 6.4. Podľa kosínusovej vety dostaneme

kde je fázový rozdiel zložiek kmitania.Keďže , potom dosadením nájdených hodnôt φ 2 a φ 1 dostaneme rad.

Nahraďte hodnoty ALE 1 , ALE 2 a do vzorca (3) a vykonajte výpočty:

A= 2,65 cm.

Tangentu počiatočnej fázy φ výsledného kmitania je možné určiť priamo z obr. 6.4: , odkiaľ pochádza počiatočná fáza

Harmonické vibrácie sú vibrácie, pri ktorých fyzikálne množstvo sa v čase mení podľa harmonického (sínusového, kosínusového) zákona. Rovnicu harmonickej oscilácie možno zapísať takto:
X(t) = A∙cos(ω t+φ )
alebo
X(t) = A∙sin(ω t+φ )

X - odchýlka od rovnovážnej polohy v čase t
A - amplitúda kmitania, rozmer A je rovnaký ako rozmer X
ω - cyklická frekvencia, rad/s (radiány za sekundu)
φ - počiatočná fáza, rad
t - čas, s
T - perióda oscilácie, s
f - frekvencia oscilácií, Hz (Hertz)
π - konštanta približne rovná 3,14, 2π=6,28

Perióda oscilácie, frekvencia v hertzoch a cyklická frekvencia sú spojené vzťahmi.
ω=2πf , T=2π/ω , f=1/T , f=ω/2π
Aby ste si zapamätali tieto vzťahy, musíte pochopiť nasledujúce.
Každý z parametrov ω, f, T jednoznačne určuje ostatné. Na opis kmitov stačí použiť jeden z týchto parametrov.

Obdobie T je čas jednej fluktuácie, je vhodné ju použiť na vykreslenie fluktuačných grafov.
Cyklická frekvencia ω - používa sa na písanie rovníc kmitov, umožňuje vykonávať matematické výpočty.
Frekvencia f - počet kmitov za jednotku času, sa používa všade. V hertzoch meriame frekvenciu, na ktorú sú naladené rádiá, ako aj dosah mobilných telefónov. Frekvencia vibrácií strún sa pri ladení hudobných nástrojov meria v hertzoch.

Výraz (ωt+φ) sa nazýva fáza kmitania a hodnota φ sa nazýva počiatočná fáza, pretože sa rovná fáze kmitania v čase t=0.

Funkcie sínus a kosínus opisujú pomery strán v správny trojuholník. Preto mnohí nechápu, ako tieto funkcie súvisia s harmonickými osciláciami. Tento vzťah je demonštrovaný rovnomerne rotujúcim vektorom. Projekcia rovnomerne rotujúceho vektora vytvára harmonické kmity.
Na obrázku nižšie je príklad troch harmonických kmitov. Rovnaké vo frekvencii, ale odlišné vo fáze a amplitúde.

Voľba počiatočnej fázy umožňuje pri popise harmonických kmitov prejsť od sínusovej funkcie ku kosínusovej funkcii:

Zovšeobecnené harmonické kmitanie v diferenciálnej forme:

Aby podľa harmonického zákona došlo k voľným vibráciám, je potrebné, aby sila, ktorá má tendenciu vrátiť teleso do rovnovážnej polohy, bola úmerná posunutiu telesa z rovnovážnej polohy a smerovala v smere opačnom k ​​posunutiu. :

kde je hmotnosť kmitajúceho telesa.

Fyzikálny systém, v ktorom môžu existovať harmonické oscilácie, sa nazýva harmonický oscilátor, a rovnica harmonických kmitov je rovnica harmonického oscilátora.

1.2. Pridanie vibrácií

Nie je nezvyčajné, že sa systém súčasne podieľa na dvoch alebo viacerých nezávislých osciláciách. V týchto prípadoch vzniká zložitý kmitavý pohyb, ktorý vzniká vzájomným superponovaním (sčítaním) vibrácií. Je zrejmé, že prípady sčítania oscilácií môžu byť veľmi rôznorodé. Závisia nielen od počtu pridaných kmitov, ale aj od parametrov kmitania, od ich frekvencií, fáz, amplitúd, smerov. Nie je možné preskúmať všetky možné rôzne prípady sčítania kmitov, preto sa obmedzíme len na jednotlivé príklady.

Sčítanie harmonických kmitov smerujúcich pozdĺž jednej priamky

Zvážte pridanie rovnako smerovaných kmitov rovnakej periódy, ktoré sa však líšia v počiatočnej fáze a amplitúde. Rovnice pridaných kmitov sú uvedené v nasledujúcom tvare:

kde a sú posuny; a sú amplitúdy; a sú počiatočnými fázami pridaných oscilácií.

Obr.2.

Amplitúdu výsledného kmitania je vhodné určiť pomocou vektorového diagramu (obr. 2), na ktorom sú vynesené vektory amplitúd a sčítaných kmitov pod uhlom a na os a podľa pravidla rovnobežníka je vynesený vektor amplitúdy získa sa celková oscilácia.

Ak sústavu vektorov (rovnobežník) rovnomerne otočíme a vektory premietneme na os , potom ich projekcie budú robiť harmonické kmity v súlade s dané rovnice. Vzájomné usporiadanie vektorov , a zároveň zostáva nezmenené, takže kmitavý pohyb projekcie výsledného vektora bude tiež harmonický.

Z toho vyplýva záver, že celkový pohyb je harmonická oscilácia s danou cyklickou frekvenciou. Definujeme modul amplitúdy ALE výsledná fluktuácia. Do uhla (z rovnosti opačných uhlov rovnobežníka).

v dôsledku toho

odtiaľ: .

Podľa kosínovej vety,

Počiatočná fáza výslednej oscilácie je určená z:

Vzťahy pre fázu a amplitúdu umožňujú nájsť amplitúdu a počiatočnú fázu výsledného pohybu a zostaviť jeho rovnicu: .

bije

Uvažujme prípad , keď sa frekvencie dvoch sčítaných kmitov od seba málo líšia a nech sú amplitúdy rovnaké a počiatočné fázy t.j.

Analyticky sčítame tieto rovnice:

Poďme sa transformovať

Ryža. 3.

Keďže sa mení pomaly, hodnotu nemožno nazvať amplitúdou v plnom zmysle slova (amplitúda je konštantná hodnota). Bežne sa táto hodnota môže nazývať premenlivá amplitúda. Graf takýchto výkyvov je na obr.3. Pridané oscilácie majú rovnaké amplitúdy, ale rôzne periódy, pričom periódy a periódy sa od seba mierne líšia. Pri pridávaní takýchto kmitov sa pozorujú údery. Počet úderov za sekundu je určený rozdielom vo frekvenciách pridaných kmitov, t.j.

Údery možno pozorovať pri zvuku dvoch ladičiek, ak sú frekvencie a vibrácie blízko seba.

Sčítanie vzájomne kolmých kmitov

Nechaj hmotný bod sa súčasne zúčastňuje dvoch harmonických kmitov vyskytujúcich sa s rovnakými periódami v dvoch vzájomne kolmých smeroch. Tieto smery môžu byť spojené pravouhlý systém súradnice , umiestnenie počiatku do rovnovážnej polohy bodu. Označme posunutie bodu C pozdĺž osí a , respektíve cez a . (obr. 4).

Zoberme si niekoľko špeciálnych prípadov.

1). Počiatočné fázy kmitov sú rovnaké

Okamžik začiatku odpočítavania voľme tak, aby počiatočné fázy oboch kmitov boli rovné nule. Potom posuny pozdĺž osí a môžu byť vyjadrené rovnicami:

Delením týchto rovníc člen po člen získame rovnice pre trajektóriu bodu C:
alebo .

Následne v dôsledku sčítania dvoch na seba kolmých kmitov bod C kmitá pozdĺž priamky prechádzajúcej počiatkom (obr. 4).

Ryža. štyri.

2). Počiatočný fázový rozdiel je :

Oscilačné rovnice majú v tomto prípade tvar:

Rovnica trajektórie bodu:

V dôsledku toho bod C kmitá pozdĺž priamky prechádzajúcej počiatkom, ale ležiacej v iných kvadrantoch ako v prvom prípade. Amplitúda ALE výsledné výkyvy v oboch uvažovaných prípadoch sa rovnajú:

3). Počiatočný fázový rozdiel je .

Oscilačné rovnice majú tvar:

Vydeľte prvú rovnicu a druhú:

Obe rovnosti odmocníme a sčítame. Získame nasledujúcu rovnicu pre trajektóriu výsledného pohybu kmitajúceho bodu:

Kmitavý bod C sa pohybuje po elipse s poloosami a . Pri rovnakých amplitúdach bude trajektória celkového pohybu kruh. Vo všeobecnom prípade pre , ale násobok, t.j. , pri sčítaní vzájomne kolmých kmitov sa kmitavý bod pohybuje po krivkách nazývaných Lissajousove obrazce.

Lissajousove postavy

Postavy Lissajousa- uzavreté trajektórie ťahané bodom, ktorý súčasne vykonáva dve harmonické kmity v dvoch navzájom kolmých smeroch.

Prvýkrát študoval francúzsky vedec Jules Antoine Lissajous. Tvar obrazcov závisí od vzťahu medzi periódami (frekvenciami), fázami a amplitúdami oboch kmitov.(obr. 5).

Obr.5.

V najjednoduchšom prípade rovnosti oboch periód sú obrazcami elipsy, ktoré s fázovým rozdielom alebo degenerujú do úsečiek a s fázovým rozdielom a rovnosťou amplitúd prechádzajú do kruhu. Ak sa periódy oboch kmitov presne nezhodujú, potom sa fázový rozdiel neustále mení, v dôsledku čoho sa elipsa neustále deformuje. Keď výrazne rôzne obdobia Lissajous čísla nie sú pozorované. Ak sú však periódy spojené ako celé čísla, potom po časovom intervale rovnajúcom sa najmenšiemu násobku oboch periód sa pohyblivý bod opäť vráti na rovnakú pozíciu - získajú sa Lissajousove čísla zložitejšieho tvaru.
Lissajousove obrazce zapadajú do obdĺžnika, ktorého stred sa zhoduje s počiatkom súradníc a strany sú rovnobežné s osami súradníc a umiestnené na oboch stranách vo vzdialenostiach rovných amplitúdam kmitov (obr. 6).