V stredoškolskom a stredoškolskom kurze študenti študovali tému „Zlomky“. Tento pojem je však oveľa širší, ako sa uvádza v procese učenia. Dnes sa s pojmom zlomok stretávame pomerne často a nie každý vie vypočítať akýkoľvek výraz, napríklad násobenie zlomkov.

čo je zlomok?

Historicky sa stalo, že sa kvôli potrebe merania objavili zlomkové čísla. Ako ukazuje prax, často existujú príklady na určenie dĺžky segmentu, objemu obdĺžnikového obdĺžnika.

Spočiatku sú študenti oboznámení s takým konceptom ako podiel. Napríklad, ak rozdelíte melón na 8 častí, potom každá dostane jednu osminu melónu. Táto jedna časť z ôsmich sa nazýva podiel.

Podiel rovný ½ akejkoľvek hodnoty sa nazýva polovica; ⅓ - tretina; ¼ - štvrtina. Volajú sa záznamy ako 5/8, 4/5, 2/4 obyčajné zlomky. Obyčajný zlomok sa delí na čitateľa a menovateľa. Medzi nimi je zlomková čiara alebo zlomková čiara. Čiastočnú čiaru možno nakresliť ako vodorovnú alebo šikmú čiaru. V tomto prípade ide o znak delenia.

Menovateľ predstavuje, na koľko rovnakých podielov je rozdelená hodnota, objekt; a čitateľ je počet rovnakých podielov. Čitateľ sa píše nad zlomkovú čiaru, menovateľ pod ňu.

Najvhodnejšie je zobraziť obyčajné zlomky na súradnicovom lúči. Ak rozdelíte jeden segment na 4 rovnaké časti, označte každú časť latinským písmenom, potom môžete získať vynikajúcu vizuálnu pomôcku. Takže bod A ukazuje podiel rovný 1/4 celého segmentu jednotky a bod B označuje 2/8 tohto segmentu.

Odrody zlomkov

Zlomky sú bežné, desatinné a zmiešané čísla. Okrem toho možno zlomky rozdeliť na správne a nesprávne. Táto klasifikácia je vhodnejšia pre obyčajné zlomky.

Pod správny zlomok rozumieť číslu, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Nevlastný zlomok je teda číslo, ktorého čitateľ je väčší ako menovateľ. Druhý druh sa zvyčajne zapisuje ako zmiešané číslo. Takýto výraz pozostáva z celočíselnej časti a zlomkovej časti. Napríklad 1½. 1 - celá časť, ½ - zlomok. Ak však potrebujete vykonať nejaké manipulácie s výrazom (delenie alebo násobenie zlomkov, ich zmenšenie alebo prevod), zmiešané číslo sa prevedie na nesprávny zlomok.

Správny zlomkový výraz je vždy menší ako jedna a nesprávny je vždy väčší alebo rovný 1.

Týmto výrazom rozumejú záznam, v ktorom je zastúpené ľubovoľné číslo, ktorého menovateľ zlomkového vyjadrenia možno vyjadriť cez jednotku s niekoľkými nulami. Ak je zlomok správny, potom celá časť v desiatkový zápis sa bude rovnať nule.

Ak chcete napísať desatinnú čiarku, musíte najprv napísať celú časť, oddeliť ju od zlomku čiarkou a potom napísať zlomkový výraz. Treba mať na pamäti, že za čiarkou musí čitateľ obsahovať toľko číselných znakov, koľko núl je v menovateli.

Príklad. Predstavte zlomok 7 21 / 1000 v desiatkovom zápise.

Algoritmus na prevod nevlastného zlomku na zmiešané číslo a naopak

V odpovedi na úlohu je nesprávne zapísať nesprávny zlomok, preto ho treba previesť na zmiešané číslo:

• vydeľte čitateľa existujúcim menovateľom;
• v špecifickom príklade je neúplný kvocient celé číslo;
• a zvyšok je čitateľ zlomkovej časti, pričom menovateľ zostáva nezmenený.

Príklad. Prevod nesprávneho zlomku na zmiešané číslo: 47/5 .

Riešenie. 47: 5. Neúplný kvocient je 9, zvyšok = 2. Preto 47 / 5 = 9 2 / 5.

Niekedy je potrebné reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok. Potom musíte použiť nasledujúci algoritmus:

• celočíselná časť sa vynásobí menovateľom zlomkového výrazu;
• výsledný produkt sa pridá do čitateľa;
• výsledok sa zapíše do čitateľa, menovateľ zostáva nezmenený.

Príklad. Vyjadrite číslo v zmiešanom tvare ako nesprávny zlomok: 9 8/10 .

Riešenie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je čitateľ.

Odpoveď: 98 / 10.

Násobenie obyčajných zlomkov

S obyčajnými zlomkami môžete vykonávať rôzne algebraické operácie. Ak chcete vynásobiť dve čísla, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Navyše násobenie zlomkov s rôznych menovateľov sa nelíši od súčinu zlomkových čísel s rovnakými menovateľmi.

Stáva sa, že po zistení výsledku musíte zlomok znížiť. AT celkom určite výsledný výraz by mal byť čo najviac zjednodušený. Samozrejme, nemožno povedať, že nesprávny zlomok v odpovedi je chyba, ale je tiež ťažké ho nazvať správnou odpoveďou.

Príklad. Nájdite súčin dvoch obyčajných zlomkov: ½ a 20/18.

Ako je zrejmé z príkladu, po nájdení produktu sa získa redukovateľný zlomkový zápis. Čitateľ aj menovateľ sú v tomto prípade deliteľné 4 a výsledkom je odpoveď 5/9.

Násobenie desatinných zlomkov

Súčin desatinných zlomkov je vo svojom princípe celkom odlišný od súčinu obyčajných zlomkov. Takže násobenie zlomkov je nasledovné:

• dva desatinné zlomky musia byť napísané pod sebou tak, aby boli číslice úplne vpravo jedna pod druhou;
• musíte vynásobiť zapísané čísla napriek čiarkam, teda ako prirodzené čísla;
• spočítajte počet číslic za čiarkou v každom z čísel;
• vo výsledku získanom po vynásobení musíte spočítať toľko číslicových znakov napravo, koľko je obsiahnutých v súčte oboch faktorov za desatinnou čiarkou, a dať oddeľovacie znamienko;
• ak je v súčine menej číslic, potom treba pred ne napísať toľko núl, aby toto číslo pokryli, dať čiarku a priradiť celú časť rovnajúcu sa nule.

Príklad. Vypočítajte súčin dvoch desatinných miest: 2,25 a 3,6.

Riešenie.

Násobenie zmiešaných frakcií

Ak chcete vypočítať súčin dvoch zmiešaných frakcií, musíte použiť pravidlo na násobenie frakcií:

• previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky;
• nájsť súčin čitateľov;
• nájsť súčin menovateľov;
• zapíšte výsledok;
• čo najviac zjednodušiť výraz.

Príklad. Nájdite súčin 4½ a 6 2/5.

Násobenie čísla zlomkom (zlomky číslom)

Okrem hľadania súčinu dvoch zlomkov, zmiešaných čísel, existujú úlohy, pri ktorých je potrebné násobiť zlomkom.

Takže nájsť prácu desatinný zlomok a prirodzené číslo, potrebujete:

• napíš číslo pod zlomok tak, aby číslice úplne vpravo boli nad sebou;
• nájsť prácu, napriek čiarke;
• v získanom výsledku oddeľte časť celého čísla od zlomkovej časti pomocou čiarky, pričom počítajte vpravo počet znakov, ktoré sú za desatinnou čiarkou v zlomku.

Ak chcete vynásobiť obyčajný zlomok číslom, musíte nájsť súčin čitateľa a prirodzeného faktora. Ak je odpoveďou redukovateľný zlomok, mal by sa previesť.

Príklad. Vypočítajte súčin 5/8 a 12.

Riešenie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odpoveď: 7 1 / 2.

Ako môžete vidieť z predchádzajúceho príkladu, bolo potrebné výsledný výsledok zmenšiť a previesť nesprávny zlomkový výraz na zmiešané číslo.

Násobenie zlomkov sa vzťahuje aj na hľadanie súčinu čísla v zmiešanej forme a prírodného faktora. Ak chcete vynásobiť tieto dve čísla, mali by ste vynásobiť celú časť zmiešaného faktora číslom, vynásobiť čitateľa rovnakou hodnotou a ponechať menovateľa nezmenený. Ak je to potrebné, musíte výsledok čo najviac zjednodušiť.

Príklad. Nájdite súčin 9 5 / 6 a 9.

Riešenie. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Odpoveď: 88 1 / 2.

Násobenie faktormi 10, 100, 1000 alebo 0,1; 0,01; 0,001

Z predchádzajúceho odseku vyplýva nasledovné pravidlo. Ak chcete vynásobiť desatinný zlomok 10, 100, 1 000, 10 000 atď., musíte posunúť čiarku doprava o toľko číslic, koľko je núl v násobiteľi za jednotkou.

Príklad 1. Nájdite súčin 0,065 a 1000.

Riešenie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odpoveď: 65.

Príklad 2. Nájdite súčin 3,9 a 1000.

Riešenie. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Odpoveď: 3900.

Ak potrebujete množiť prirodzené číslo a 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 atď., mali by ste vo výslednom produkte posunúť čiarku doľava o toľko číslic, koľko je nuly pred jednotkou. V prípade potreby sa pred prirodzené číslo napíše dostatočný počet núl.

Príklad 1. Nájdite súčin 56 a 0,01.

Riešenie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odpoveď: 0,56.

Príklad 2. Nájdite súčin 4 a 0,001.

Riešenie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odpoveď: 0,004.

Takže nájdenie produktu rôznych frakcií by nemalo spôsobovať ťažkosti, snáď s výnimkou výpočtu výsledku; V tomto prípade sa bez kalkulačky jednoducho nezaobídete.

) a menovateľ menovateľom (dostaneme menovateľa súčinu).

Vzorec na násobenie zlomkov:

Napríklad:

Pred pristúpením k násobeniu čitateľov a menovateľov je potrebné skontrolovať možnosť zníženia zlomkov. Ak sa vám podarí zlomok znížiť, bude pre vás jednoduchšie pokračovať vo výpočtoch.

Delenie obyčajného zlomku zlomkom.

Delenie zlomkov zahŕňajúcich prirodzené číslo.

Nie je to také strašidelné, ako sa zdá. Rovnako ako v prípade sčítania prevedieme celé číslo na zlomok s jednotkou v menovateli. Napríklad:

Násobenie zmiešaných frakcií.

Pravidlá pre násobenie zlomkov (zmiešané):

• previesť zmiešané frakcie na nesprávne;
• vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov;
• znížime zlomok;
• ak dostaneme nevlastný zlomok, tak premeníme nevlastný zlomok na zmiešaný.

Poznámka! Ak chcete vynásobiť zmiešaný zlomok iným zmiešaným zlomkom, musíte ich najskôr uviesť do formy nesprávnych zlomkov a potom vynásobiť podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov.

Druhý spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom.

Je vhodnejšie použiť druhý spôsob násobenia obyčajného zlomku číslom.

Poznámka! Na vynásobenie zlomku prirodzeným číslom je potrebné vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a čitateľa ponechať nezmenený.

Z uvedeného príkladu je zrejmé, že túto možnosť je vhodnejšie použiť vtedy, keď je menovateľ zlomku delený bezo zvyšku prirodzeným číslom.

Viacúrovňové zlomky.

Na strednej škole sa často nachádzajú trojposchodové (alebo viac) zlomky. Príklad:

Aby sa takýto zlomok dostal do jeho obvyklej podoby, používa sa rozdelenie na 2 body:

Poznámka! Pri delení zlomkov je veľmi dôležité poradie delenia. Buďte opatrní, tu sa dá ľahko zmiasť.

Poznámka, napríklad:

Pri delení jedného zlomkom bude výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený:

Praktické tipy na násobenie a delenie zlomkov:

1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť. Všetky výpočty robte opatrne a presne, sústredene a jasne. Je lepšie zapísať si do návrhu pár riadkov navyše, ako sa zmiasť vo výpočtoch v hlave.

2. V úlohách s rôznymi druhmi zlomkov – prejdite na typ obyčajných zlomkov.

3. Všetky zlomky redukujeme, až kým to už nie je možné.

4. Viacúrovňové zlomkové výrazy prenesieme na bežné, pomocou delenia cez 2 body.

5. Jednotku v mysli rozdelíme na zlomok, a to jednoduchým otočením zlomku.

Obyčajné zlomkové čísla sa prvýkrát stretávajú so školákmi v 5. ročníku a sprevádzajú ich po celý život, pretože v každodennom živote je často potrebné zvážiť alebo použiť nejaký predmet nie úplne, ale oddelene. Začiatok štúdia tejto témy - zdieľanie. Akcie sú rovnakými časťami do ktorých je objekt rozdelený. Koniec koncov, nie je vždy možné vyjadriť napríklad dĺžku alebo cenu produktu ako celé číslo, treba brať do úvahy časti alebo podiely akejkoľvek miery. Slovo "zlomok" sa v ruštine objavilo v 8. storočí zo slovesa "rozdrviť" - rozdeliť na časti a má arabské korene.

Zlomkové výrazy sa dlho považovali za najťažšiu časť matematiky. V 17. storočí, keď sa objavili prvé učebnice matematiky, sa im hovorilo „lomené čísla“, čo bolo veľmi ťažké zobraziť v chápaní ľudí.

Modernú formu jednoduchých zlomkových zvyškov, ktorých časti sú presne oddelené vodorovnou čiarou, prvýkrát presadil Fibonacci - Leonardo z Pisy. Jeho spisy pochádzajú z roku 1202. Ale cieľom tohto článku je jednoducho a jasne vysvetliť čitateľovi, ako dochádza k násobeniu zmiešaných zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Spočiatku je potrebné určiť odrody frakcií:

• správne;
• nesprávne;
• zmiešané.

Ďalej si musíte pamätať, ako sa násobia zlomkové čísla s rovnakými menovateľmi. Samotné pravidlo tohto procesu sa dá ľahko formulovať nezávisle: výsledkom násobenia jednoduchých zlomkov s rovnakými menovateľmi je zlomkový výraz, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov týchto zlomkov. . To znamená, že v skutočnosti je novým menovateľom druhá mocnina jedného z existujúcich.

Pri násobení jednoduché zlomky s rôznymi menovateľmi pre dva alebo viac faktorov sa pravidlo nemení:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jediný rozdiel je v tom, že vytvorené číslo pod zlomkovou čiarou bude súčinom rôznych čísel a, prirodzene, nemôže byť nazývané druhou mocninou jedného číselného výrazu.

Stojí za to zvážiť násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi pomocou príkladov:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Príklady používajú spôsoby redukcie zlomkových výrazov. Číslami menovateľa môžete zmenšiť iba čísla čitateľa, susediace faktory nad alebo pod zlomkovou čiarou nie je možné zmenšiť.

Spolu s jednoduchým zlomkové čísla, existuje koncept zmiešaných zlomkov. Zmiešané číslo pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti, to znamená, že je to súčet týchto čísel:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Ako funguje násobenie?

Na zváženie je uvedených niekoľko príkladov.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Príklad používa násobenie čísla číslom obyčajná zlomková časť, pravidlo pre túto akciu môžete zapísať podľa vzorca:

a * b/c = a*b /c.

V skutočnosti je takýto súčin súčtom rovnakých zlomkových zvyškov a počet členov označuje toto prirodzené číslo. Špeciálny prípad:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Existuje ďalšia možnosť riešenia násobenia čísla zlomkovým zvyškom. Stačí vydeliť menovateľa týmto číslom:

d* e/f = e/f: d.

Je užitočné použiť túto techniku, keď je menovateľ delený prirodzeným číslom bezo zvyšku alebo, ako sa hovorí, úplne.

Preveďte zmiešané čísla na nesprávne zlomky a získajte produkt vyššie opísaným spôsobom:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Tento príklad zahŕňa spôsob, ako reprezentovať zmiešaný zlomok ako nesprávny zlomok, môže byť tiež reprezentovaný ako všeobecný vzorec:

a bc = a*b+ c / c, kde menovateľ nového zlomku vznikne vynásobením celočíselnej časti menovateľom a jeho pripočítaním k čitateľovi pôvodného zlomkového zvyšku, pričom menovateľ zostáva rovnaký.

Tento proces funguje aj opačne. Ak chcete vybrať časť celého čísla a zlomkový zvyšok, musíte rozdeliť čitateľa nesprávneho zlomku jeho menovateľom pomocou „rohu“.

Násobenie nesprávnych zlomkov vyrábané bežným spôsobom. Keď sa záznam dostane pod jednu zlomkovú čiaru, ak je to potrebné, musíte zlomky zmenšiť, aby ste pomocou tejto metódy znížili čísla a bolo jednoduchšie vypočítať výsledok.

Na internete je množstvo pomocníkov na riešenie aj zložitých problémov. matematické problémy v rôznych programoch. Dostatočný počet takýchto služieb ponúka svoju pomoc pri výpočte násobenia zlomkov s rôznymi číslami v menovateľoch – takzvané online kalkulačky na počítanie zlomkov. Sú schopní nielen násobiť, ale aj vykonávať všetky ostatné jednoduché aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami a zmiešané čísla. Nie je ťažké s ním pracovať, na stránke webu sa vyplnia príslušné polia, vyberie sa znamienko matematickej akcie a stlačí sa tlačidlo „vypočítať“. Program počíta automaticky.

Téma aritmetických operácií so zlomkovými číslami je aktuálna počas celého vzdelávania žiakov stredných a vysokých škôl. Na strednej škole už neuvažujú nad najjednoduchším druhom, ale celočíselné zlomkové výrazy, ale znalosti pravidiel pre transformáciu a výpočty, získané skôr, sa uplatňujú v pôvodnej podobe. Dobre naučené základné vedomosti dávajú plnú dôveru v úspešné riešenie najzložitejších úloh.

Na záver má zmysel citovať slová Leva Tolstého, ktorý napísal: „Človek je zlomok. Nie je v silách človeka zväčšovať svojho čitateľa – svoje zásluhy, ale ktokoľvek môže svojho menovateľa – svoj názor na seba zmenšiť, a týmto zmenšením sa priblížiť k svojej dokonalosti.