Systém nerovností Je zvykom nazývať akúkoľvek množinu dvoch alebo viacerých nerovností obsahujúcich neznámu veličinu.
Túto formuláciu názorne ilustrujú napr systémy nerovností:
Vyriešte systém nerovností - znamená nájsť všetky hodnoty neznámej premennej, pre ktoré je realizovaná každá nerovnosť systému, alebo dokázať, že také neexistujú .
Takže pre každého jednotlivca systémové nerovnosti vypočítať neznámu premennú. Ďalej z výsledných hodnôt vyberie len tie, ktoré sú pravdivé pre prvú aj druhú nerovnosť. Preto pri dosadení zvolenej hodnoty sa obe nerovnosti systému stanú správnymi.
Poďme analyzovať riešenie niekoľkých nerovností:
Umiestnite jeden pod druhý pár číselných radov; dajte hodnotu navrch X, pod ktorou je prvá nerovnosť o ( X> 1) sa stane pravdou a v spodnej časti je hodnota X, ktoré sú riešením druhej nerovnosti ( X> 4).
Porovnaním údajov o číselné rady, všimnite si, že riešenie pre obe nerovnosti bude X> 4. Odpoveď, X> 4.
Príklad 2
Výpočet prvého nerovnosť dostaneme -3 X< -6, или X> 2, druhý - X> -8, príp X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, pod ktorým prvý systémová nerovnosť a na spodnom číselnom riadku všetky tieto hodnoty X, pod ktorou sa realizuje druhá nerovnosť systému.
Porovnaním údajov zistíme, že oboje nerovnosti budú implementované pre všetky hodnoty X umiestnené od 2 do 8. Súbory hodnôt X označovať dvojitá nerovnosť 2 < X< 8.
Príklad 3 Poďme nájsť
V tejto lekcii začneme so štúdiom systémov nerovností. Najprv zvážime systémy lineárnych nerovností. Na začiatku lekcie zvážime, kde a prečo systémy nerovností vznikajú. Ďalej budeme študovať, čo to znamená riešiť systém, a zapamätáme si spojenie a prienik množín. V závere budeme riešiť konkrétne príklady na sústavy lineárnych nerovníc.
Téma: diétaskutočné nerovnosti a ich systémy
lekcia:Hlavnékoncepcie, riešenie sústav lineárnych nerovníc
Doteraz sme riešili jednotlivé nerovnosti a aplikovali na ne intervalovú metódu, tieto by mohli byť lineárne nerovnosti a hranatý a racionálny. Teraz prejdime k riešeniu systémov nerovníc – najprv lineárne systémy. Pozrime sa na príklad, z ktorého pramení potreba zvažovať systémy nerovností.
Nájdite rozsah funkcie
Nájdite rozsah funkcie
Funkcia existuje vtedy, keď existujú obe odmocniny, t.j.
Ako vyriešiť takýto systém? Je potrebné nájsť všetky x vyhovujúce prvej aj druhej nerovnici.
Nakreslite na os x množinu riešení prvej a druhej nerovnice.
Naším riešením je priesečníkový interval dvoch lúčov.
Tento spôsob znázornenia riešenia sústavy nerovností sa niekedy nazýva strešná metóda.
Riešením sústavy je prienik dvoch množín.
Znázornime to graficky. Máme množinu A ľubovoľnej povahy a množinu B ľubovoľnej povahy, ktoré sa prelínajú.
Definícia: Priesečník dvoch množín A a B je tretia množina, ktorá pozostáva zo všetkých prvkov obsiahnutých v A aj B.
Zvážte na konkrétnych príkladoch riešenia lineárnych sústav nerovníc, ako nájsť priesečníky množín riešení jednotlivých nerovníc zahrnutých v sústave.
Vyriešte systém nerovností:
Odpoveď: (7; 10].
4. Vyriešte systém 
Odkiaľ môže pochádzať druhá nerovnosť systému? Napríklad z nerovnosti
Riešenia každej nerovnice graficky označíme a nájdeme interval ich priesečníka.
Ak teda máme systém, v ktorom jedna z nerovností spĺňa akúkoľvek hodnotu x, potom sa dá eliminovať.
Odpoveď: systém je nekonzistentný.
Uvažovali sme o typických problémoch podpory, na ktoré sa redukuje riešenie ľubovoľného lineárneho systému nerovníc.
Zvážte nasledujúci systém.
7. 
Niekedy je lineárny systém daný dvojitou nerovnosťou; zvážte tento prípad.
8. 
Zvažovali sme systémy lineárnych nerovností, pochopili sme, odkiaľ pochádzajú, považovali sme za typické systémy, na ktoré sa redukujú všetky lineárne systémy, a niektoré z nich sme vyriešili.
1. Mordkovich A.G. a iné Algebra 9. ročník: Proc. Pre všeobecné vzdelanie Inštitúcie - 4. vydanie. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: chor.
2. Mordkovich A.G. a iné Algebra 9. ročník: Zošit úloh pre žiakov vzdelávacie inštitúcie/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina a ďalší - 4. vyd. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: chor.
3. Yu. N. Makarychev, Algebra. 9. ročník: učebnica. pre študentov všeobecného vzdelávania. inštitúcie / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. vydanie, Rev. a dodatočné - M.: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. ročník 16. vyd. - M., 2011. - 287 s.
5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. vyd., vymazané. — M.: 2010. — 224 s.: chorý.
6. Algebra. 9. ročník O 2 hod.. Časť 2. Zošit úloh pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina a ďalší; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. vydanie, Rev. — M.: 2010.-223 s.: chor.
1. Portál prírodných vied ().
2. Elektronický vzdelávací a metodický komplex na prípravu ročníkov 10-11 pre vstupné testy v informatike, matematike, ruskom jazyku ().
4. Vzdelávacie centrum "Technológia vzdelávania" ().
5. Sekcia College.ru o matematike ().
1. Mordkovich A.G. a kol Algebra 9. ročník: Zošit úloh pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina a kol - 4. vydanie. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s.: chor. Č. 53; 54; 56; 57.
Program na riešenie lineárnych, štvorcových a zlomkových nerovností nedáva len odpoveď na problém, ale vedie podrobné riešenie s vysvetlivkami, t.j. zobrazuje proces riešenia, aby si overil znalosti z matematiky a/alebo algebry.
Navyše, ak je v procese riešenia niektorej z nerovností potrebné riešiť napr. kvadratická rovnica, následne sa zobrazí aj jeho podrobné riešenie (je súčasťou spojleru).
Tento program môže byť užitočný pre študentov stredných škôl pri príprave kontrolná práca, rodičia kontrolovať riešenie nerovností svojimi deťmi.
Tento program môže byť užitočný pre študentov stredných škôl všeobecnovzdelávacie školy pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred skúškou, rodičia ovládať riešenie mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo to len chcete mať hotové čo najskôr? domáca úloha matematika alebo algebra? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.
Týmto spôsobom môžete viesť svoje vlastné školenia a/alebo školenia vašich mladších bratov alebo sestier, pričom sa zvýši úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré je potrebné riešiť.
Pravidlá pre zadávanie nerovností
Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atď.
Čísla je možné zadávať ako celé čísla alebo zlomky.
navyše zlomkové čísla možno zadať nielen ako desatinné číslo, ale aj ako obyčajný zlomok.
Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
V desatinných zlomkoch možno zlomkovú časť od celého čísla oddeliť buď bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné miesta takže: 2,5x - 3,5x^2
Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.
Menovateľ nemôže byť záporný.
Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
celú časť oddelené od zlomku ampersandom: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5y +1/7y^2
Výsledok: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)
Pri zadávaní výrazov možno použiť zátvorky. V tomto prípade pri riešení nerovnice sa výrazy najskôr zjednodušia.
Napríklad: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)
Vyberte požadované znamienko nerovnosti a zadajte polynómy do polí nižšie.
Vyriešte systém nerovností Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.
Aby sa riešenie zobrazilo, musí byť povolený JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.
Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je v rade.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Počkaj, prosím sek...
Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať do Formulára spätnej väzby .
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.
Naše hry, hádanky, emulátory:
Trochu teórie.
Systémy nerovností s jednou neznámou. Číselné rozpätia
S pojmom sústava ste sa zoznámili v 7. ročníku a naučili ste sa riešiť sústavy lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Ďalej budú uvažované systémy lineárnych nerovností s jednou neznámou. Množiny riešení sústav nerovníc možno zapisovať pomocou intervalov (intervaly, polintervaly, segmenty, lúče). Dozviete sa aj o zápise číselných intervalov.
Ak v nerovnostiach \(4x > 2000 \) a \(5x \leq 4000 \) je neznáme číslo x rovnaké, potom sa tieto nerovnosti zvažujú spolu a hovorí sa, že tvoria systém nerovností: $$ \left\ (\začiatok( pole)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(pole)\vpravo.$$
Zložená zátvorka ukazuje, že musíte nájsť také hodnoty x, pre ktoré sa obe nerovnosti systému zmenia na skutočné číselné nerovnosti. Tento systém je príkladom systému lineárnych nerovností s jednou neznámou.
Riešenie sústavy nerovníc s jednou neznámou je hodnota neznámej, pri ktorej sa všetky nerovnosti sústavy menia na skutočné číselné nerovnosti. Vyriešiť systém nerovností znamená nájsť všetky riešenia tohto systému alebo zistiť, že žiadne neexistujú.
Nerovnosti \(x \geq -2 \) a \(x \leq 3 \) možno zapísať ako dvojitú nerovnosť: \(-2 \leq x \leq 3 \).
Riešenia sústav nerovníc s jednou neznámou sú rôzne číselné množiny. Tieto sady majú mená. Takže na reálnej osi je množina čísel x taká, že \(-2 \leq x \leq 3 \) je reprezentovaná úsečkou s koncami v bodoch -2 a 3.
| -2 | 3 |
Ak \(a je segment a je označený [a; b]
Ak \(interval a označený (a; b)
Množiny čísel \(x \), ktoré spĺňajú nerovnosti \(a \leq x v polovičných intervaloch a sú označené [a; b) a (a; b]).
Nazývajú sa segmenty, intervaly, polovičné intervaly a lúče číselné intervaly.
Touto cestou, číselné medzery môžu byť dané vo forme nerovností.
Riešením nerovnosti s dvoma neznámymi je dvojica čísel (x; y), ktorá túto nerovnosť zmení na skutočnú číselnú nerovnosť. Vyriešiť nerovnosť znamená nájsť množinu všetkých jej riešení. Riešením nerovnosti x > y teda budú napríklad dvojice čísel (5; 3), (-1; -1), keďže \(5 \geq 3 \) a \(-1 \geq - 1\)
Riešenie systémov nerovností
Už ste sa naučili riešiť lineárne nerovnosti s jednou neznámou. Vedieť, čo je systém nerovností a riešenie systému. Preto vám proces riešenia sústav nerovníc s jednou neznámou nespôsobí žiadne ťažkosti.
A predsa si pripomíname: na vyriešenie systému nerovností musíte vyriešiť každú nerovnosť samostatne a potom nájsť priesečník týchto riešení.
Napríklad pôvodný systém nerovností bol zredukovaný do tvaru:
$$ \left\(\začiatok(pole)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(pole)\vpravo. $$
Ak chcete vyriešiť tento systém nerovností, označte riešenie každej nerovnosti na skutočnej osi a nájdite ich priesečník:
| -2 | 3 |
Priesečníkom je segment [-2; 3] - ide o riešenie pôvodného systému nerovností.
LINEÁRNE ROVNICE A NEROVNICE I
§ 23 Sústavy lineárnych nerovností
Systém lineárnych nerovností je akýkoľvek súbor dvoch alebo viacerých lineárnych nerovností obsahujúcich rovnakú neznámu veličinu.
Príklady takýchto systémov sú:
Vyriešiť systém nerovností znamená nájsť všetky hodnoty neznámej veličiny, pre ktoré je každá nerovnosť systému splnená.
Poďme vyriešiť vyššie uvedené systémy.
Umiestnime dve číselné rady pod seba (obr. 31); v hornej poznámke tieto hodnoty X , pod ktorou je prvá nerovnosť ( X > 1) a v spodnej časti - tieto hodnoty X , pod ktorou je splnená druhá nerovnosť ( X > 4).
Pri porovnaní výsledkov na číselných osách zistíme, že obe nerovnosti budú súčasne uspokojené pre X > 4. Odpoveď, X > 4.
Prvá nerovnosť dáva -3 X < -б, или X > 2 a druhý - X > -8, príp X < 8. Далее поступаем так же, как и в первом примере. На одной числовой прямой отмечаем все те значения X , pod ktorou je splnená prvá nerovnosť systému a na druhej skutočnej čiare, ktorá sa nachádza pod prvou, všetky tieto hodnoty X , pre ktorú je splnená druhá nerovnosť systému (obr. 32).
Porovnanie týchto dvoch výsledkov ukazuje, že obe nerovnosti budú platiť súčasne pre všetky hodnoty X , uzavreté od 2 do 8. Súbor takýchto hodnôt X zapisuje sa ako dvojitá nerovnosť 2< X < 8.
Príklad 3. Riešte sústavu nerovníc
Prvá nerovnosť systému dáva 5 X < 10, или X < 2, второе X > 4. Akékoľvek číslo, ktoré spĺňa obe nerovnosti súčasne, teda nesmie byť väčšie ako 2 a viac ako 4 (obr. 33).
Ale také čísla neexistujú. Preto tento systém nerovností nie je splnený pre žiadne hodnoty X . Takéto systémy nerovností sa nazývajú nekonzistentné.
Cvičenia
Vyriešte tieto sústavy nerovností (č. 179 -184):
Riešenie nerovností (č. 185, 186):
185. (2X + 3) (2 - 2X ) > 0. 186. (2 - π ) (2X - 15) (X + 4) > 0.
Nájdite platné hodnoty písmen zahrnutých v údajoch o rovnosti (č. 187, 188):
Riešenie nerovností (č. 189, 190):
189. 1 < 2X - 5 < 2. 190. -2 < 1 - Oh < 5.
191. Akú teplotu má mať 10 litrov vody, aby po zmiešaní so 6 litrami vody s teplotou 15° vznikla voda s teplotou najmenej 30° a najviac 40°?
192. Jedna strana trojuholníka má 4 cm a súčet ostatných dvoch je 10 cm Nájdite tieto strany, ak sú vyjadrené ako celé čísla.
193. Je známe, že systém dvoch lineárnych nerovností nie je splnený pre žiadne hodnoty neznámej veličiny. Dá sa povedať, že jednotlivé nerovnosti tohto systému nie sú splnené pre žiadne hodnoty neznámej veličiny?
Definícia 1 . súbor bodov v priestore R n , ktorého súradnice vyhovujú rovnici a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n X n = b, sa volá ( n - 1 )-rozmerná nadrovina v n-rozmerný priestor.
Veta 1. Nadrovina rozdeľuje celý priestor na dva polovičné priestory. Polpriestor je konvexná zostava.
Priesečník konečného počtu polpriestorov je konvexná množina.
Veta 2 . Riešenie lineárnej nerovnosti s n neznámy
a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n X n b
je jedným z polopriestorov, na ktoré je celý priestor rozdelený nadrovinou
a 1 X 1 + a 2 X 2 +…+a n X n= b.
Zvážte systém z m lineárne nerovnosti s n neznámy.
Riešením každej nerovnosti sústavy je určitý polpriestor. Riešením systému bude priesečník všetkých polpriestorov. Táto sada bude uzavretá a konvexná.
Riešenie sústav lineárnych nerovníc
s dvoma premennými
Nech je daný systém m lineárne nerovnosti v dvoch premenných.
Riešením každej nerovnosti bude jedna z polrovín, na ktorú je celá rovina rozdelená príslušnou priamkou. Riešením sústavy bude priesečník týchto polrovín. Tento problém sa dá vyriešiť graficky na rovine X 1 0 X 2 .
37. Znázornenie konvexného mnohostenu
Definícia 1. ZATVORENÉ konvexné obmedzene vstúpiť R n majúci konečné číslo rohové body, sa nazýva konvexné n-rozmerný mnohosten.
Definícia 2 . Uzavretá konvexná neohraničená vložka R n , ktorá má konečný počet rohových bodov, sa nazýva konvexná polyedrická oblasť.
Definícia 3 . Veľa ALER n sa nazýva ohraničené, ak existuje n-rozmerná guľa obsahujúca túto sadu.
Definícia 4. Konvexná lineárna kombinácia bodov je výraz, kde t i, .
Veta (reprezentačná veta pre konvexný mnohosten). Akýkoľvek bod konvexného mnohostenu môže byť reprezentovaný ako konvexná lineárna kombinácia jeho rohových bodov.
38. Oblasť prípustných riešení sústavy rovníc a nerovníc.
Nech je daný systém m lineárne rovnice a nerovnice s n neznámy.
Definícia 1 . Bodka R n sa nazýva možné riešenie sústavy, ak jej súradnice vyhovujú rovniciam a nerovniciam sústavy. Totalita všetkých možné riešenia sa nazýva doména možných riešení (ROA) systému.
Definícia 2. Možné riešenie, ktorého súradnice sú nezáporné, sa nazýva prípustné riešenie systému. Súbor všetkých prípustných riešení sa nazýva oblasť prípustných riešení (DDR) systému.
Veta 1 . ODR je uzavretá, konvexná, ohraničená (alebo neohraničená) podmnožina v R n.
Veta 2. Prípustné riešenie systému je referenčným vtedy a len vtedy, ak je tento bod rohovým bodom ODS.
Veta 3 (veta o reprezentácii ODT). Ak je ODR ohraničená množina, potom akékoľvek prípustné riešenie môže byť reprezentované ako konvexná lineárna kombinácia rohových bodov ODR (vo forme konvexnej lineárnej kombinácie podporných riešení systému).
Veta 4 (teoréma o existencii podporného riešenia systému). Ak má systém aspoň jedno prípustné riešenie (ODR), potom medzi prípustnými riešeniami je aspoň jedno referenčné riešenie.
