Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori
Adunarea fracțiilor este de două tipuri:
- Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori
- Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți
Să începem cu adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adăugăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:
Exemplul 2 Adăugați fracții și .
Răspunsul este o fracție improprie. Dacă vine sfârșitul sarcinii, atunci se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de fracție improprie, trebuie să selectați întreaga parte din ea. În cazul nostru întreaga parte iese în evidență cu ușurință - doi împărțiți la doi este egal cu unul:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:
Exemplul 3. Adăugați fracții și .
Din nou, adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți pizza:
Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii 
Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.
După cum puteți vedea, adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori nu este dificilă. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:
- Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;
Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți
Acum vom învăța cum să adunăm fracții cu diferiți numitori. Când se adună fracții, numitorii acelor fracții trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.
De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.
Dar fracțiile nu pot fi adăugate imediat, deoarece aceste fracții au numitori diferiti. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).
Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi vom lua în considerare doar una dintre ele, deoarece restul metodelor pot părea complicate pentru un începător.
Esența acestei metode constă în faptul că se caută primul (LCM) dintre numitorii ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține al doilea factor suplimentar.
Apoi numărătorii și numitorii fracțiilor sunt înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.
Exemplul 1. Adăugați fracții și
În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6
LCM (2 și 3) = 6
Acum revenim la fracții și . În primul rând, împărțim LCM la numitorul primei fracții și obținem primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.
Numărul rezultat 2 este primul factor suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, facem o mică linie oblică deasupra fracției și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:
Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.
Numărul rezultat 3 este al doilea factor suplimentar. O scriem în a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică deasupra celei de-a doua fracții și scriem factorul suplimentar găsit deasupra ei:
Acum suntem gata să adăugăm. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:
Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:
Așa se termină exemplul. Pentru a adăuga se dovedește.
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:
Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând fracțiile și la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).
Primul desen arată o fracție (patru piese din șase), iar a doua imagine arată o fracție (trei piese din șase). Punând aceste piese împreună obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este incorectă, așa că am evidențiat partea întreagă din ea. Rezultatul a fost (o pizza intreaga si alta a sasea pizza).
Rețineți că am pictat acest exemplu prea detaliat. LA institutii de invatamant nu se obișnuiește să se scrie într-o manieră atât de detaliată. Trebuie să puteți găsi rapid LCM-ul ambelor numitori și factori suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți de numărătorii și numitorii dvs. În timp ce suntem la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:
Dar există și cealaltă față a monedei. Dacă nu se fac note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci întrebări de acest fel „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.
Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:
- Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
- Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție;
- Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
- Adaugă fracții care au aceiași numitori;
- Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;
Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii 
.
Să folosim instrucțiunile de mai sus.
Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor
Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4
Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție
Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem peste prima fracție:
Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Am obținut al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem peste a doua fracție:
Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Am obținut al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem peste a treia fracție:
Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari
Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii noștri suplimentari:
Pasul 4. Adaugă fracții care au aceiași numitori
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Rămâne să adunăm aceste fracții. Aduna:
Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe următoarea linie. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, se trece pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul unei noi linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.
Pasul 5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga parte din el
Răspunsul nostru este o fracție improprie. Trebuie să evidențiem întreaga parte a acesteia. Subliniem:
Am un răspuns
Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
Există două tipuri de scădere de fracții:
- Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
- Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți
Mai întâi, să învățăm cum să scădem fracții cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același.
De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, este necesar să scădem numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:
Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei.
Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:
Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii 
Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții, trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:
- Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
- Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte din el.
Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți
De exemplu, o fracție poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au aceiași numitori. Dar o fracție nu poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).
Numitorul comun se găsește după același principiu pe care l-am folosit atunci când adunăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie peste prima fracție. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care se scrie peste a doua fracție.
Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.
Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii:
Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le aduceți la același numitor (comun).
În primul rând, găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12
LCM (3 și 4) = 12
Acum revenim la fracții și
Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Scriem cele patru peste prima fracție:
Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un triplu peste a doua fracție:
Acum suntem gata de scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:
Am un răspuns
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza.
Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Fiind la școală, ar trebui să rezolvăm acest exemplu într-un mod mai scurt. O astfel de soluție ar arăta astfel:
Reducerea fracțiilor și la un numitor comun poate fi, de asemenea, reprezentată folosind o imagine. Aducând aceste fracții la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în aceleași fracții (reduse la același numitor):
Primul desen arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracțiune (trei piese din douăsprezece). Prin tăierea a trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.
Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii 
Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le aduceți la același numitor (comun).
Aflați LCM al numitorilor acestor fracții.
Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții.
Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțind 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem peste prima fracție:
Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem peste a doua fracție:
Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem peste a treia fracție:
Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.
Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:
Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune corectă și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o facem mai ușor. Ce se poate face? Puteți reduce această fracție.
Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (mcd) numerele 20 și 30.
Deci, găsim GCD-ul numerelor 20 și 30:
Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la GCD găsit, adică la 10
Am un răspuns
Înmulțirea unei fracții cu un număr
Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acest număr și să lăsați numitorul același.
Exemplul 1. Înmulțiți fracția cu numărul 1.
Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1
Intrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza 1 dată, primești pizza
Din legile înmulțirii, știm că dacă multiplicandul și multiplicatorul sunt interschimbați, atunci produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui întreg și a unei fracții funcționează:
Această intrare poate fi înțeleasă ca ocupând jumătate din unitate. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul fracției cu 4
Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:
Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei pizza de 4 ori, primești două pizza întregi.
Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul pe alocuri, obținem expresia. De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:
Înmulțirea fracțiilor
Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul este o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea.
Exemplul 1 Găsiți valoarea expresiei.
Am un răspuns. Este de dorit să se reducă această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:
Expresia poate fi înțeleasă ca luând o pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:
Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:
Și ia două din aceste trei bucăți:
Vom lua pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza împărțită în trei părți:
O felie din această pizza și cele două felii pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:
Cu alte cuvinte, vorbim de aceeași dimensiune a pizza. Prin urmare, valoarea expresiei este
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:
Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:
Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:
Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție corectă, dar va fi bine dacă se reduce. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun(mcd) numerele 105 și 450.
Deci, să găsim GCD-ul numerelor 105 și 450:
Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la GCD pe care l-am găsit acum, adică la 15
Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție
Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Din aceasta, cei cinci nu își vor schimba sensul, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știți, este egal cu cinci:
Numerele inversate
Acum ne vom familiariza cu subiect interesantîn matematică. Se numește „numere inverse”.
Definiție. Inversa la numărA este numărul care, atunci când este înmulțit cuA oferă o unitate.
Să înlocuim în această definiție în loc de o variabilă A numărul 5 și încercați să citiți definiția:
Inversa la număr 5 este numărul care, atunci când este înmulțit cu 5 oferă o unitate.
Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că poți. Să reprezentăm cinci ca o fracție:
Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar inversată:
Care va fi rezultatul acestui lucru? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:
Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul, deoarece atunci când 5 este înmulțit cu unu, se obține unul.
Reciproca poate fi găsită și pentru orice alt număr întreg.
Puteți găsi, de asemenea, reciproca pentru orice altă fracție. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l întoarceți.
Împărțirea unei fracții cu un număr
Să presupunem că avem jumătate de pizza:
Să o împărțim în mod egal între doi. Câte pizza va primi fiecare?
Se poate observa că după împărțirea jumătate din pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare alcătuind câte o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.
Împărțirea fracțiilor se face folosind reciproce. Reciprocele vă permit să înlocuiți împărțirea cu înmulțirea.
Pentru a împărți o fracție la un număr, trebuie să înmulțiți această fracție cu reciproca divizorului.
Folosind această regulă, vom nota împărțirea jumătății noastre de pizza în două părți.
Deci, trebuie să împărțiți fracția la numărul 2. Aici dividendul este o fracție, iar divizorul este 2.
Pentru a împărți o fracție la numărul 2, trebuie să înmulțiți această fracție cu inversul divizorului 2. Reciprocul divizorului 2 este o fracție. Deci trebuie să înmulțiți cu
Numătorul și cel cu care este împărțit este numitorul.
Pentru a scrie o fracție, scrieți mai întâi numărătorul acesteia, apoi trasați o linie orizontală sub acest număr și scrieți numitorul sub linie. Linia orizontală care separă numărătorul și numitorul se numește bară fracțională. Uneori este descris ca un „/” sau „∕” oblic. În acest caz, numărătorul este scris în stânga liniei, iar numitorul în dreapta. Deci, de exemplu, fracția „două treimi” va fi scrisă ca 2/3. Pentru claritate, numărătorul este de obicei scris în partea de sus a liniei, iar numitorul în partea de jos, adică în loc de 2/3, puteți găsi: ⅔.
Pentru a calcula produsul fracțiilor, înmulțiți mai întâi numărătorul lui unu fractii la alt numărător. Scrieți rezultatul la numărătorul noului fractii. Apoi înmulțiți și numitorii. Specificați valoarea finală în noua fractii. De exemplu, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Pentru a împărți o fracție la alta, mai întâi înmulțiți numărătorul primei cu numitorul celei de-a doua. Faceți același lucru cu a doua fracție (divizor). Sau, înainte de a efectua toți pașii, mai întâi „întoarceți” divizorul, dacă vă este mai convenabil: numitorul ar trebui să fie în locul numărătorului. Apoi înmulțiți numitorul dividendului cu noul numitor al divizorului și înmulțiți numărătorii. De exemplu, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
Surse:
- Sarcini de bază pentru fracții
Numerele fracționale vă permit să exprimați valoarea exactă a unei cantități în moduri diferite. Cu fracțiile, puteți efectua aceleași operații matematice ca și cu numerele întregi: scădere, adunare, înmulțire și împărțire. Să înveți cum să decizi fractii, este necesar să ne amintim unele dintre caracteristicile lor. Ele depind de tip fractii, prezența unei părți întregi, un numitor comun. Unele operații aritmetice după execuție necesită reducerea părții fracționale a rezultatului.
Vei avea nevoie
- - calculator
Instruire
Privește cu atenție numerele. Dacă există zecimale și neregulate printre fracții, uneori este mai convenabil să efectuați mai întâi acțiuni cu zecimale și apoi să le convertiți în forma greșită. Poti sa traduci fractiiîn această formă inițial, scriind valoarea după virgulă zecimală la numărător și punând 10 la numitor. Dacă este necesar, reduceți fracția împărțind numerele de mai sus și de dedesubt la un divizor. Fracțiile în care se evidențiază întreaga parte duc la forma greșită înmulțind-o cu numitorul și adunând numărătorul la rezultat. Această valoare va deveni noul numărător fractii. Pentru a extrage întreaga parte din incorect inițial fractii, împărțiți numărătorul la numitor. Scrieți întregul rezultat din fractii. Iar restul diviziunii devine noul numărător, numitorul fractiiîn timp ce nu se schimbă. Pentru fracțiile cu o parte întreagă, este posibil să se efectueze acțiuni separat, mai întâi pentru întregul și apoi pentru părțile fracționale. De exemplu, suma 1 2/3 și 2 ¾ poate fi calculată:
- Conversia fracțiilor la forma greșită:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Însumarea separată a părților întregi și fracționale ale termenilor:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Rescrieți-le prin separatorul „:” și continuați împărțirea obișnuită.
Pentru a obține rezultatul final, reduceți fracția rezultată împărțind numărătorul și numitorul la un număr întreg, cel mai mare posibil în acest caz. În acest caz, trebuie să existe numere întregi deasupra și sub linie.
Notă
Nu faceți aritmetică cu fracții care au numitori diferiți. Alegeți un număr astfel încât, atunci când numărătorul și numitorul fiecărei fracții sunt înmulțiți cu acesta, ca rezultat, numitorii ambelor fracții să fie egali.
La înregistrare numere fracționare dividendul este scris deasupra liniei. Această cantitate este denumită numărătorul unei fracții. Sub linie se scrie divizorul sau numitorul fracției. De exemplu, un kilogram și jumătate de orez sub formă de fracție se va scrie astfel: 1 ½ kg de orez. Dacă numitorul unei fracții este 10, se numește fracție zecimală. În acest caz, numărătorul (dividendul) se scrie în dreapta întregii părți, despărțit prin virgulă: 1,5 kg de orez. Pentru comoditatea calculelor, o astfel de fracție poate fi întotdeauna scrisă într-o formă greșită: 1 2/10 kg de cartofi. Pentru a simplifica, puteți reduce valorile numărătorului și numitorului împărțindu-le la un singur număr întreg. În acest exemplu, este posibilă împărțirea la 2. Rezultatul este 1 1/5 kg de cartofi. Asigurați-vă că numerele cu care veți face aritmetica sunt în aceeași formă.
Instruire
Se obișnuiește să se separe ordinarul și zecimalul fractii, cunoștință cu care începe în liceu. În prezent, nu există un astfel de domeniu de cunoaștere în care acest lucru să nu fie aplicat. Chiar și în vorbim despre primul secol al XVII-lea, și toate deodată, ceea ce înseamnă 1600-1625. De asemenea, de multe ori trebuie să vă ocupați de operații elementare pe , precum și de transformarea lor dintr-o formă în alta.
Reducerea fracțiilor la un numitor comun este poate cea mai importantă operație. Este baza tuturor calculelor. Deci, să presupunem că sunt două fractii a/b și c/d. Apoi, pentru a le aduce la un numitor comun, trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun (M) al numerelor b și d, apoi să înmulțiți numărătorul primului fractii pe (M/b), iar al doilea numărător pe (M/d).
Compararea fracțiilor este o altă sarcină importantă. Pentru a face acest lucru, dați simplul dat fractii la un numitor comun și apoi comparați numărătorii, al căror numărător este mai mare, fracția respectivă este mai mare.
Pentru a efectua adunarea sau scăderea fracțiilor obișnuite, trebuie să le aduceți la un numitor comun și apoi să efectuați operația matematică necesară din aceste fracții. Numitorul rămâne neschimbat. Să presupunem că trebuie să scazi c/d din a/b. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun M al numerelor b și d și apoi să scădeți pe celălalt de la un numărător fără a schimba numitorul: (a*(M/b)-(c*(M/d) )/M
Este suficient doar să înmulțiți o fracție cu alta, pentru aceasta trebuie doar să le înmulțiți numărătorii și numitorii:
(a / b) * (c / d) \u003d (a * c) / (b * d) Pentru a împărți o fracție la alta, trebuie să înmulțiți fracția de dividend cu reciproca divizorului. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Merită să ne amintim că, pentru a obține o reciprocă, trebuie să schimbați numărătorul și numitorul.
În matematică tipuri diferite numerele au fost studiate încă de la începuturile sale. Există un număr mare de seturi și subseturi de numere. Printre acestea se numără numere întregi, raționale, iraționale, naturale, pare, impare, complexe și fracționale. Astăzi vom analiza informații despre ultima mulțime - numere fracționale.
Definiţia fractions
Fracțiile sunt numere formate dintr-o parte întreagă și fracții dintr-o unitate. La fel ca numerele întregi, există un număr infinit de numere fracționale între două numere întregi. În matematică se efectuează operații cu fracții, deoarece cu numere întregi și numere naturale. Este destul de simplu și poate fi învățat în câteva lecții.
Articolul prezintă două tipuri
Fracții comune
Fracțiile obișnuite sunt partea întreagă a și două numere scrise prin bara fracțională b/c. Fracțiile comune pot fi extrem de utile dacă partea fracțională nu poate fi reprezentată în formă zecimală rațională. În plus, este mai convenabil să efectuați operații aritmetice printr-o linie fracțională. Partea de sus este numită numărător, partea de jos este numitorul.
Acțiuni cu fracții obișnuite: exemple
Proprietatea de bază a unei fracții. Laînmulțind numărătorul și numitorul cu același număr care nu este zero, rezultă un număr egal cu cel dat. Această proprietate a unei fracții ajută la aducerea unui numitor pentru adunare (acest lucru va fi discutat mai jos) sau la reducerea unei fracții, făcându-l mai convenabil pentru numărare. a/b = a*c/b*c. De exemplu, 36/24 = 6/4 sau 9/13 = 18/26
Reducere la un numitor comun. Pentru a aduce numitorul unei fracții, trebuie să reprezentați numitorul sub formă de factori, apoi să înmulțiți cu numerele lipsă. De exemplu, 7/15 și 12/30; 7/5*3 și 12/5*3*2. Vedem că numitorii diferă cu doi, așa că înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 2. Obținem: 14/30 și 12/30.
Fracții compuse- fracții ordinare cu o parte întreagă evidențiată. (A b/c) Pentru a reprezenta o fracție compusă ca fracție comună, înmulțiți numărul din fața fracției cu numitorul și apoi adăugați-l la numărător: (A*c + b)/c.
Operații aritmetice cu fracții
Nu va fi de prisos să luăm în considerare binecunoscutele operații aritmetice doar atunci când lucrați cu numere fracționale.
Adunare si scadere. Adunarea și scăderea fracțiilor este la fel de ușor ca numerele întregi, cu excepția unei dificultăți - prezența unei bare fracționale. Când se adună fracții cu același numitor, este necesar să se adună doar numărătorii ambelor fracții, numitorii rămânând neschimbați. De exemplu: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
Dacă numitorii a două fracții sunt numere diferite, mai întâi trebuie să le aduceți la unul comun (așa cum am discutat mai sus). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Scăderea are loc exact după același principiu: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9.
Înmulțirea și împărțirea. Acțiuni cu fracțiile prin înmulțire apar după următorul principiu: numărătorii și numitorii se înmulțesc separat. LA vedere generala formula de înmulțire arată astfel: a/b *c/d = a*c/b*d. În plus, pe măsură ce înmulțiți, puteți reduce fracția eliminând aceiași factori de la numărător și numitor. Într-o altă limbă, numărătorul și numitorul sunt divizibile cu același număr: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.
Pentru a împărți o fracție obișnuită la alta, trebuie să schimbați numărătorul și numitorul divizorului și să efectuați înmulțirea a două fracții, conform principiului discutat mai devreme: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5
zecimale
Decimalele sunt versiunea mai populară și mai frecvent utilizată a numerelor fracționale. Ele sunt mai ușor de notat într-un rând sau de prezentat pe un computer. Structura fracției zecimale este următoarea: mai întâi se scrie numărul întreg, iar apoi, după virgulă, se scrie partea fracțională. La baza lor, fracțiile zecimale sunt fracții compuse, dar partea lor fracțională este reprezentată de un număr împărțit la un multiplu de 10. De aici și numele lor. Operațiile cu fracții zecimale sunt similare cu operațiile cu numere întregi, deoarece sunt scrise și în sistemul numeric zecimal. De asemenea, spre deosebire de fracțiile obișnuite, zecimalele pot fi iraționale. Aceasta înseamnă că pot fi infinite. Sunt scrise ca 7,(3). Se citește următoarea intrare: șapte întregi, trei zecimi în perioada.
Operații de bază cu numere zecimale
Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale. Efectuarea acțiunilor cu fracții nu este mai dificilă decât cu numere naturale întregi. Regulile sunt exact aceleași cu cele folosite la adunarea sau scăderea numerelor naturale. De asemenea, pot fi considerate o coloană în același mod, dar dacă este necesar, înlocuiți locurile lipsă cu zerouri. De exemplu: 5,5697 - 1,12. Pentru a efectua o scădere pe coloană, trebuie să egalizați numărul de numere după virgulă zecimală: (5,5697 - 1,1200). Deci, valoarea numerică nu se va modifica și poate fi numărată într-o coloană.
Acțiuni cu zecimale nu poate fi produs dacă unul dintre ele are o formă irațională. Pentru a face acest lucru, trebuie să convertiți ambele numere în fracții obișnuite și apoi să utilizați tehnicile descrise mai devreme.
Înmulțirea și împărțirea.Înmulțirea zecimalelor este similară cu înmulțirea numerelor naturale. Ele pot fi, de asemenea, înmulțite cu o coloană, pur și simplu ignorând virgula și apoi separate printr-o virgulă în valoarea finală, același număr de cifre ca și suma după virgulă a fost în două fracții zecimale. De exemplu, 1,5 * 2,23 = 3,345. Totul este foarte simplu și nu ar trebui să provoace dificultăți dacă ați stăpânit deja înmulțirea numerelor naturale.
Împărțirea coincide și cu împărțirea numerelor naturale, dar cu o ușoară digresiune. A se împărți în numar decimal coloană, trebuie să renunțați la virgula din divizor și să înmulțiți dividendul cu numărul de cifre după punctul zecimal din divizor. Apoi faceți împărțirea ca în cazul numerelor naturale. Cu o împărțire incompletă, puteți adăuga zerouri la dividendul din dreapta, adăugând și un zero după virgulă zecimală.
Exemple de acțiuni cu fracții zecimale. Decimalele sunt un instrument foarte util pentru numărarea aritmetică. Ele combină comoditatea numerelor naturale, întregi și precizia fracțiilor comune. În plus, este destul de simplu să convertiți o fracție în alta. Operațiile cu fracții nu sunt diferite de operațiile cu numere naturale.
- Adunare: 1,5 + 2,7 = 4,2
- Scădere: 3,1 - 1,6 = 1,5
- Înmulțire: 1,7 * 2,3 = 3,91
- Diviziune: 3,6: 0,6 = 6
În plus, zecimale sunt potrivite pentru reprezentarea procentelor. Deci, 100% = 1; 60% = 0,6; și invers: 0,659 = 65,9%.
Asta este tot ce trebuie să știi despre fracții. Articolul a luat în considerare două tipuri de fracții - ordinare și zecimale. Ambele sunt destul de ușor de calculat, iar dacă aveți o stăpânire completă a numerelor naturale și a operațiilor cu ele, puteți începe în siguranță să învățați numerele fracționale.
Pentru a exprima o parte ca o fracțiune a întregului, trebuie să împărțiți partea la întreg.
Sarcina 1.În clasă sunt 30 de elevi, patru lipsesc. Ce proporție de elevi lipsește?
Soluţie:
Răspuns: nu sunt elevi în clasă.
Găsirea unei fracții dintr-un număr
Pentru a rezolva probleme în care este necesară găsirea unei părți dintr-un întreg, este adevărată următoarea regulă:
Dacă o parte a întregului este exprimată ca o fracție, atunci pentru a găsi această parte, puteți împărți întregul la numitorul fracției și înmulțiți rezultatul cu numărătorul acesteia.
Sarcina 1. Au fost 600 de ruble, această sumă a fost cheltuită. Câți bani ai cheltuit?
Soluţie: pentru a găsi de la 600 de ruble, trebuie să împărțiți această sumă în 4 părți, astfel vom afla câți bani este un sfert:
600: 4 = 150 (pag.)
Răspuns: a cheltuit 150 de ruble.
Sarcina 2. Era de 1000 de ruble, această sumă a fost cheltuită. Câți bani s-au cheltuit?
Soluţie: Din starea problemei, știm că 1000 de ruble sunt formate din cinci părți egale. Mai întâi aflăm câte ruble sunt o cincime din 1000, apoi aflăm câte ruble sunt două cincimi:
1) 1000: 5 = 200 (p.) - o cincime.
2) 200 2 \u003d 400 (p.) - două cincimi.
Aceste două acțiuni pot fi combinate: 1000: 5 2 = 400 (p.).
Răspuns: S-au cheltuit 400 de ruble.
A doua modalitate de a găsi o parte dintr-un întreg:
Pentru a găsi o parte dintr-un întreg, puteți înmulți întregul cu o fracție care exprimă acea parte a întregului.
Sarcina 3. Conform statutului cooperativei, pentru valabilitatea ședinței de raportare, la aceasta trebuie să fie prezenți cel puțin membrii organizației. Cooperativa are 120 de membri. Cu ce componență se poate ține ședința de raportare?
Soluţie: 
Răspuns:ședința de raportare poate fi ținută dacă sunt 80 de membri ai organizației.
Găsirea unui număr după fracția sa
Pentru a rezolva probleme în care este necesară găsirea întregului după partea sa, următoarea regulă este adevărată:
Dacă o parte a numărului întreg dorit este exprimată ca fracție, atunci pentru a găsi acest număr întreg, puteți împărți această parte la numărătorul fracției și înmulți rezultatul cu numitorul său.
Sarcina 1. Am cheltuit 50 de ruble, aceasta se ridica la suma inițială. Găsiți suma inițială de bani.
Soluţie: Din descrierea problemei, vedem că 50 de ruble este de 6 ori mai mică decât suma inițială, adică suma inițială este de 6 ori mai mare decât 50 de ruble. Pentru a găsi această sumă, trebuie să înmulțiți 50 cu 6:
50 6 = 300 (r.)
Răspuns: suma inițială este de 300 de ruble.
Sarcina 2. Am cheltuit 600 de ruble, aceasta se ridica la suma inițială de bani. Găsiți suma inițială.
Soluţie: vom presupune că numărul dorit este format din trei treimi. După condiție, două treimi din număr sunt egale cu 600 de ruble. În primul rând, găsim o treime din suma inițială și apoi câte ruble sunt trei treimi (suma inițială):
1) 600: 2 3 = 900 (pag.)
Răspuns: suma inițială este de 900 de ruble.
A doua modalitate de a găsi întregul prin partea sa:
Pentru a găsi un întreg după valoarea părții sale, puteți împărți această valoare la o fracție care exprimă această parte.
Sarcina 3. Segment de linie AB, egală cu 42 cm, este lungimea segmentului CD. Aflați lungimea unui segment CD.
Soluţie: 
Răspuns: lungimea segmentului CD 70 cm
Sarcina 4. Pepeni verzi au fost adusi la magazin. Înainte de prânz, magazinul a vândut, după prânz - a adus pepeni verzi, și rămâne să vândă 80 de pepeni. Cati pepeni au fost adusi in magazin in total?
Soluţie: mai întâi, aflăm ce parte a pepenilor importați este numărul 80. Pentru a face acest lucru, luăm numărul total de pepeni importați ca unitate și scădem din acesta numărul de pepeni pe care am reușit să-i vindem (să vindem):
Și așa, am aflat că 80 de pepeni sunt din total pepeni importati. Acum vom afla câți pepeni verzi din cantitatea totală este și apoi câți pepeni sunt (numărul de pepeni aduși):
2) 80: 4 15 = 300 (pepeni verzi)
Răspuns: in total au fost adusi la magazin 300 de pepeni.
