Anoshina O.V.

Literatura principală

1. V. S. Shipachev, Matematică superioară. Curs de bază: manual şi
atelier pentru licență [Certificat al Ministerului Educației al Federației Ruse] / V. S.
Shipaciov; ed. A. N. Tihonova. - Ed. a 8-a, revizuită. si suplimentare Moscova: Yurayt, 2015. - 447 p.
2. V. S. Shipachev, Matematică superioară. Curs complet: manual
pentru acad. Licență [Certificat UMO] / V. S. Shipachev; ed. DAR.
N. Tihonova. - Ed. a IV-a, Rev. si suplimentare - Moscova: Yurayt, 2015. - 608
Cu
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. matematică superioară
în exerciții și sarcini. [Text] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Kozhevnikov. La ora 2 - M .: facultate, 2007. - 304+415c.

Raportare

1.
Test. Efectuat în conformitate cu:
Sarcini și instrucțiuni pentru a efectua lucrări de control
la disciplina „MATEMATICĂ APLICATĂ”, Ekaterinburg, FGAOU
VO „Pedagogic profesional de stat rusesc
Universitatea”, 2016 - 30 ani.
Opțiune munca de control selectați după ultima cifră
cartea de recorduri.
2.
Examen

Integrală nedefinită, proprietățile și calculul integrală antiderivată și integrală nedefinită

Definiție. Se numește funcția F x
funcția antiderivată f x definită pe
un interval dacă F x f x pentru
fiecare x din acest interval.
De exemplu, funcția cos x este
funcţia antiderivată sin x , deoarece
cos x sin x .

Evident, dacă F x este o antiderivată
funcțiile f x , atunci F x C , unde C este o constantă, este de asemenea
funcția antiderivată f x .
Dacă F x este vreo antiderivată
funcția f x , apoi orice funcție de formă
F x F x C este de asemenea
funcția antiderivată f x și orice
primitivul poate fi reprezentat sub această formă.

Definiție. Totalitatea tuturor
antiderivate ale funcției f x ,
definite pe unele
între se numește
integrală nedefinită a
funcţiile f x pe acest interval şi
notat cu f x dx .

Dacă F x este o antiderivată a funcției
f x , atunci se scrie f x dx F x C , deși
mai corect ar fi să scriem f x dx F x C .
Noi, conform tradiției stabilite, vom scrie
f x dx F x C .
Astfel, același simbol
f x dx va desemna ca întreg
multime de antiderivate ale functiei f x ,
și orice element al acestui set.

Proprietăți Integrale

Derivata integralei nedefinite este
integrand și diferența sa față de integrand. Într-adevăr:
1.(f (x)dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x)dx (f (x)dx) dx f (x)dx.

Proprietăți Integrale

3. Integrală nedefinită a
diferenţial continuu (x)
funcția diferențiabilă este egală cu ea însăși
această funcție până la o constantă:
d (x) (x) dx (x) C,
întrucât (x) este o antiderivată a lui (x).

Proprietăți Integrale

4. Dacă funcţiile f1 x şi f 2 x au
antiderivate, apoi funcția f1 x f 2 x
are de asemenea un antiderivat și
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
a 1
X
2. x a dx
C, (a 1).
a 1
dx
3. ln x C .
X
X
A
4.a x dx
C.
în a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

Tabelul integralelor nedefinite

11.
dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
X
12. 2 2 arctan C .
A
A
un x
13.
14.
15.
dx
a2x2
X
arcsin C ..
A
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
un x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 a
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x

Proprietățile diferențialelor

La integrare, este convenabil de utilizat
proprietati: 1
1. dx d (ax)
A
1
2. dx d (ax b),
A
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Exemple

Exemplu. Calculați cos 5xdx .
Soluţie. În tabelul de integrale găsim
cos xdx sin x C .
Să ne transformăm integrală dată la masă
profitand de faptul ca d ax adx .
Apoi:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

Exemple

Exemplu. Calculați x
3x x 1 dx.
Soluţie. Întrucât sub semnul integral
este suma a patru termeni, atunci
extinde integrala ca sumă de patru
integrale:
2
3
2
3
2
3
X
3
X
X
1
dx
X
dx
3
X
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Independența tipului de variabilă

Când se calculează integrale, este convenabil
utilizați următoarele proprietăți
integrale:
Dacă f x dx F x C , atunci
f x b dx F x b C .
Dacă f x dx F x C , atunci
1
f ax b dx F ax b C .
A

Exemplu

Calcula
1
6
2
3
X
dx
2
3
X
C
.
3 6
5

Metode de integrare Integrare pe părți

Această metodă se bazează pe formula udv uv vdu .
Următoarele integrale sunt luate prin metoda integrării pe părți:
a) x n sin xdx, unde n 1,2...k;
b) x n e x dx , unde n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx , unde n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , unde n 0, 1, 2,... k .
La calcularea integralelor a) și b) intrați
n 1
notație: x n u , apoi du nx dx , și, de exemplu
sin xdx dv , atunci v cos x .
La calcularea integralelor c), d) notăm pentru u funcţia
arctgx , ln x , iar pentru dv iau x n dx .

Exemple

Exemplu. Calculați x cos xdx .
Soluţie.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Exemple

Exemplu. calculati
x ln xdx
dx
u ln x, du
X
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Metoda de înlocuire variabilă

Fie necesar să se găsească f x dx , și
ridică direct primitivul
pentru f x nu putem, dar știm asta
ea există. Deseori găsite
antiderivată prin introducerea unei noi variabile,
conform formulei
f x dx f t t dt , unde x t și t este noul
variabil

Integrarea funcțiilor care conțin un trinom pătrat

Luați în considerare integrala
axb
dx,
x px q
conținând trinom pătratîn
numitorul integrandului
expresii. Se ia și o astfel de integrală
metoda de schimbare a variabilelor,
identificat anterior în
numitor pătrat plin.
2

Exemplu

calculati
dx
.
x4x5
Soluţie. Să transformăm x 2 4 x 5 ,
2
selectând un pătrat întreg după formula a b 2 a 2 2ab b 2 .
Atunci obținem:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Exemplu

Găsi
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Integrală definită, principalele sale proprietăți. formula Newton-Leibniz. Aplicații ale unei integrale definite.

Conceptul de integrală definită duce la
problema găsirii ariei unui curbiliniu
trapez.
Să fie dat un interval
funcția continuă y f (x) 0
O sarcină:
Trasează graficul său și găsește aria F a figurii,
mărginite de această curbă, două drepte x = a și x
= b, iar de jos - un segment al axei absciselor dintre puncte
x = a și x = b.

Se numește cifra aABb
trapez curbiliniu

Definiție

b
f(x)dx
Sub o integrală definită
A
dintr-o funcție continuă dată f(x) on
acest segment este inteles
incrementul corespunzător
primitiv, adică
F (b) F (a) F (x) /
b
A
Numerele a și b sunt limitele integrării,
este intervalul de integrare.

Regulă:

Integrala definită este egală cu diferența
valorile integrandului antiderivat
funcții pentru limitele superioare și inferioare
integrare.
Introducerea notației pentru diferență
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
A
formula Newton-Leibniz.

Proprietățile de bază ale unei integrale definite.

1) Valoarea unei integrale definite nu depinde de
notație variabilă de integrare, adică
b
b
A
A
f (x)dx f (t)dt
unde x și t sunt orice litere.
2) O integrală definită cu aceeași
in afara
integrarea este zero
A
f (x)dx F (a) F (a) 0
A

3) La rearanjarea limitelor integrării
integrala definită își inversează semnul
b
A
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
A
b
(proprietate de aditivitate)
4) Dacă intervalul este împărțit într-un număr finit
intervale parțiale, apoi integrala definită,
luate de-a lungul intervalului este egală cu suma anumit
integrale preluate pe toate intervalele sale parțiale.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
A
A
f(x)dx

5) Un multiplicator constant poate fi scos
pentru semnul unei integrale definite.
6) O integrală definită a algebricii
sume ale unui număr finit de continue
funcții este egală cu aceeași algebrică
sumă integrale definite de la acestea
funcții.

3. Schimbarea variabilei într-o integrală definită.

3. Înlocuirea unei variabile într-o anumită
integrală.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
A
a(), b(), (t)
Unde
Fort[; ] , funcțiile (t) și (t) sunt continue pe;
5
Exemplu:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Integrale improprii.

Integrale improprii.
Definiție. Fie definită funcția f(x).
interval infinit, unde b< + . Если
există
b
lim
f(x)dx,
b
A
atunci această limită se numește improprie
integrală a funcției f(x) pe interval
}