Manekenų trigonometrinės funkcijos. Trigonometrija yra paprasta ir aiški. Trigonometrinės redukcijos formulės

Jau 1905 m. rusų skaitytojai galėjo perskaityti Williamo Jameso „Psichologijoje“ jo samprotavimus apie tai, „kodėl toks blogas mokymosi būdas yra kimšimas?

„Žinios, įgytos vien prisispaudus, beveik neišvengiamai pamirštamos visiškai be pėdsakų. Atvirkščiai, psichinė medžiaga, kurią atmintis kaupia palaipsniui, diena iš dienos, susijusi su įvairiais kontekstais, asociatyviai siejama su kitais išoriniais įvykiais ir ne kartą diskutuojama, sudaro tokią sistemą, įeina į tokį ryšį su kitais mūsų intelekto aspektais. , lengvai atnaujinamas atmintyje dėl daugybės išorinių priežasčių, kurios išlieka ilgalaikiu tvirtu įsigijimu.

Nuo to laiko praėjo daugiau nei 100 metų, ir šie žodžiai nuostabiai išlieka aktualūs. Tai matote kiekvieną dieną dirbdami su moksleiviais. Masinės žinių spragos yra tokios didelės, kad galima teigti, jog mokyklinis matematikos kursas didaktine ir psichologine prasme yra ne sistema, o savotiškas prietaisas, skatinantis Trumpalaikė atmintis ir visiškai nesirūpina ilgalaike atmintimi.

Išmanyti mokyklinį matematikos kursą reiškia įsisavinti kiekvienos matematikos srities medžiagą, mokėti bet kurią iš jų bet kada atnaujinti. Norint tai pasiekti, reikia sistemingai spręsti kiekvieną iš jų, o tai kartais ne visada įmanoma dėl didelio krūvio pamokoje.

Yra dar vienas ilgalaikio faktų ir formulių įsiminimo būdas – tai atskaitos signalai.

Trigonometrija yra viena iš stambių mokyklinės matematikos sekcijų, kurios 8, 9 klasėse mokomasi geometrijos kursuose, 9 klasėje – algebros kursuose, 10 klasėje – algebros ir analizės pradžios kursuose.

Daugiausia trigonometrijos tirtos medžiagos tenka 10 klasei. Didžiąją šios trigonometrinės medžiagos dalį galima išmokti ir įsiminti trigonometrinis ratas(vieneto spindulio apskritimas, kurio centras yra pradžios taške stačiakampė sistema koordinates). Application1.ppt

Tai yra šios trigonometrijos sąvokos:

kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai;
kampų radianinis matavimas;
apibrėžimo sritis ir trigonometrinių funkcijų diapazonas
trigonometrinių funkcijų reikšmės kai kurioms skaitmeninio ir kampinio argumento reikšmėms;
trigonometrinių funkcijų periodiškumas;
lyginės ir nelyginės trigonometrinės funkcijos;
trigonometrinių funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas;
redukcinės formulės;
atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmės;
paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas;
paprasčiausių nelygybių sprendimas;
pagrindinės trigonometrijos formulės.

Apsvarstykite šių sąvokų tyrimą trigonometriniame apskritime.

1) Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimas.

Supažindinę su trigonometrinio apskritimo (vienetinio spindulio apskritimo, kurio centras yra pradinėje vietoje), pradinio spindulio (apskritimo spindulio Ox ašies kryptimi), sukimosi kampo sąvoką, studentai savarankiškai gauna sinuso, kosinuso apibrėžimus. , liestinė ir kotangentas trigonometriniame apskritime, naudojant kurso geometrijos apibrėžimus, tai yra, atsižvelgiant į statųjį trikampį, kurio hipotenuzė lygi 1.

Kampo kosinusas yra apskritimo taško abscisė, kai pradinis spindulys pasukamas tam tikru kampu.

Kampo sinusas yra apskritimo taško ordinatė, kai pradinis spindulys pasukamas tam tikru kampu.

2) Trigonometrinio apskritimo kampų radianinis matavimas.

Įvedę kampo radianinį matą (1 radianas yra centrinis kampas, atitinkantis lanko ilgį, lygų apskritimo spinduliui), studentai daro išvadą, kad radianinio kampo matavimas yra apskritimo kampo skaitinė vertė. , lygus atitinkamo lanko ilgiui, kai pradinis spindulys pasukamas nurodytu kampu. .

Trigonometrinis apskritimas yra padalintas į 12 lygių dalių pagal apskritimo skersmenis. Žinant, kad kampas yra radianas, galima nustatyti radiano matavimą kampams, kurie yra kartotiniai.

Ir radianiniai kampų, kurie yra kartotiniai, matavimai gaunami panašiai:

3) Trigonometrinių funkcijų apibrėžimo sritis ir reikšmių sritis.

Ar apskritimo taško sukimosi kampų ir koordinačių reikšmių atitikimas bus funkcija?

Kiekvienas sukimosi kampas atitinka vieną apskritimo tašką, todėl šis atitikimas yra funkcija.

Funkcijų gavimas

Ant trigonometrinio apskritimo matyti, kad funkcijų apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė, o reikšmių sritis yra .

Supažindinkime su trigonometrinio apskritimo liestinių ir kotangentų linijų sąvokomis.

1) Leiskite Įvedame pagalbinę tiesę, lygiagrečią Oy ašiai, kurioje nustatomos bet kurio skaitmeninio argumento liestinės.

2) Panašiai gauname kotangentų eilutę. Tegul y=1, tada . Tai reiškia, kad kotangento reikšmės nustatomos tiesėje, lygiagrečioje Ox ašiai.

Trigonometriniame apskritime galima lengvai nustatyti apibrėžimo sritį ir trigonometrinių funkcijų verčių diapazoną:

liestine -

kotangentui -

4) Trigonometrinių funkcijų reikšmės trigonometriniame apskritime.

Koja priešinga kampui ties puse hipotenuzės, tai yra, kita koja pagal Pitagoro teoremą:

Taigi, apibrėždami sinusą, kosinusą, liestinę, kotangentą, galite nustatyti kampų, kurie yra kartotiniai arba radianai, vertes. Sinuso reikšmės nustatomos išilgai Oy ašies, kosinuso reikšmės išilgai Ox ašies, o liestinės ir kotangentinės vertės gali būti nustatytos iš papildomų ašių, lygiagrečių atitinkamai Oy ir Ox ašims.

Sinuso ir kosinuso lentelės reikšmės yra atitinkamose ašyse taip:

Lentelinės liestinės ir kotangento vertės -

5) Trigonometrinių funkcijų periodiškumas.

Ant trigonometrinio apskritimo matyti, kad sinuso, kosinuso reikšmės kartojasi kas radianą, o liestinės ir kotangento – kiekvieną radianą.

6) Lyginės ir nelyginės trigonometrinės funkcijos.

Šią savybę galima gauti lyginant trigonometrinių funkcijų teigiamų ir priešingų sukimosi kampų vertes. Mes tai gauname

Taigi kosinusas yra lygi funkcija, visos kitos funkcijos yra nelyginės.

7) Didėjančios ir mažėjančios trigonometrinės funkcijos.

Trigonometrinis apskritimas rodo, kad sinuso funkcija didėja ir mažėja

Panašiai argumentuodami gauname kosinuso, liestinės ir kotangentinės funkcijų didėjimo ir mažėjimo intervalus.

8) Redukcijos formulės.

Kampui imame mažesnę trigonometrinio apskritimo kampo reikšmę. Visos formulės gaunamos lyginant trigonometrinių funkcijų reikšmes pasirinktų stačiųjų trikampių kojose.

Redukcijos formulių taikymo algoritmas:

1) Nustatykite funkcijos ženklą, kai sukasi tam tikru kampu.

Sukant už kampo funkcija išsaugoma, pasukus kampu - gaunamas sveikas skaičius, nelyginis skaičius, kofunkcija (

9) Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmės.

Mes pristatome atvirkštines trigonometrinių funkcijų funkcijas, naudodami funkcijos apibrėžimą.

Kiekviena trigonometrinio apskritimo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmė atitinka tik vieną sukimosi kampo reikšmę. Taigi funkcijos apibrėžimo sritis yra , reikšmių sritis yra - Funkcijai apibrėžimo sritis yra , reikšmių sritis yra . Panašiai gauname kosinuso ir kotangento apibrėžimo sritį ir atvirkštinių funkcijų diapazoną.

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmių radimo algoritmas:

1) atitinkamoje ašyje rasti atvirkštinės trigonometrinės funkcijos argumento reikšmę;

2) pradinio spindulio sukimosi kampo nustatymas, atsižvelgiant į atvirkštinės trigonometrinės funkcijos verčių diapazoną.

Pavyzdžiui:

10) Paprasčiausių lygčių sprendimas trigonometriniame apskritime.

Norėdami išspręsti formos lygtį, randame apskritimo taškus, kurių ordinatės yra lygios, ir užrašome atitinkamus kampus, atsižvelgdami į funkcijos periodą.

Lygčiai randame apskritimo taškus, kurių abscisės lygios, ir užrašome atitinkamus kampus, atsižvelgdami į funkcijos periodą.

Panašiai ir formos lygtims Vertės nustatomos liestinių ir kotangentų linijose ir užrašomi atitinkami sukimosi kampai.

Visas trigonometrijos sąvokas ir formules mokiniai gauna patys, aiškiai mokytojui vadovaujant trigonometrinio apskritimo pagalba. Ateityje šis „ratas“ jiems bus atskaitos signalas arba išorinis veiksnys, atkuriantis atmintyje trigonometrijos sąvokas ir formules.

Trigonometrijos tyrimas trigonometriniame apskritime prisideda prie:

optimalaus šiai pamokai bendravimo stiliaus parinkimas, edukacinio bendradarbiavimo organizavimas;
pamokos tikslai tampa asmeniškai reikšmingi kiekvienam mokiniui;
nauja medžiaga remiantis Asmeninė patirtis mokinio veiksmai, mąstymas, jausmai;
į pamoką įeina įvairių formų darbas ir žinių gavimo bei įsisavinimo metodai; yra abipusio ir savarankiško mokymosi elementų; savikontrolė ir savikontrolė;
atsiranda greita reakcija dėl nesusipratimų ir klaidų (bendra diskusija, palaikymas-patarimai, abipusės konsultacijos).

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrės peržiūra skirta tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visos pristatymo apimties. Jeigu tu susidomėjai Šis darbas atsisiųskite pilną versiją.

1. Įvadas.

Artėjant prie mokyklos išgirstu vaikinų balsus iš sporto salės, einu toliau - jie dainuoja, piešia... visur emocijos, jausmai. Mano kabinetas, algebros pamoka, dešimtokai. Štai mūsų vadovėlis, kuriame trigonometrijos kursas yra pusė jo apimties, o jame yra dvi žymės – štai kur radau žodžių, nesusijusių su trigonometrijos teorija.

Tarp nedaugelio yra studentų, kurie myli matematiką, jaučia jos grožį ir neklausia, kodėl reikia mokytis trigonometrijos, kur taikoma studijuojama medžiaga? Dauguma yra tų, kurie tiesiog atlieka užduotis, kad negautų blogo pažymio. Ir mes esame tvirtai įsitikinę, kad matematikos taikomoji vertė yra įgyti žinių, kurių pakaktų sėkmei išlaikęs egzaminą ir priėmimas į universitetą (įstoti ir pamiršti).

Pagrindinis pristatomos pamokos tikslas – parodyti taikomą trigonometrijos reikšmę įvairiose sritysežmogaus veikla. Pateikti pavyzdžiai padės mokiniams įžvelgti šios matematikos dalies ryšį su kitais mokykloje mokomais dalykais. Šios pamokos turinys yra mokinių mokymo elementas.

Papasakokite ką nors naujo apie iš pažiūros seniai žinomą faktą. Parodykite loginį ryšį tarp to, ką jau žinome, ir to, ką dar reikia ištirti. Šiek tiek atidarykite duris ir pažiūrėkite toliau mokyklos mokymo programa. Neįprastos užduotys, ryšys su šiandienos įvykiais – tokias technikas naudoju siekdamas užsibrėžtų tikslų. Juk mokyklinė matematika kaip dalykas prisideda ne tiek prie mokymosi, kiek prie individo, jo mąstymo, kultūros ugdymo.

2. Pamokos apie algebrą ir analizės pradžia santrauka (10 klasė).

Organizavimo laikas: Puslankiu išdėliokite šešias lenteles (planštoriaus modelis), ant stalų – užduočių lapus mokiniams (1 priedas).

Pamokos temos paskelbimas: „Trigonometrija paprasta ir aiški“.

Algebros eigoje ir analizės pradžioje pradedame studijuoti trigonometriją, norėčiau pakalbėti apie taikomąją šios matematikos šakos reikšmę.

Pamokos tezė:

“puiki knyga gamtą gali skaityti tik tie, kurie moka kalbą, kuria ji parašyta, o ta kalba yra matematika“.
(G. Galilėjus).

Pamokos pabaigoje kartu galvosime, ar sugebėjome pažvelgti į šią knygą ir suprasti, kokia kalba ji parašyta.

Smailiojo kampo trigonometrija.

Trigonometrija yra graikiškas žodis ir reiškia „trikampių matavimas“. Trigonometrijos atsiradimas yra susijęs su matavimais žemėje, statybomis ir astronomija. O pirmoji pažintis su ja įvyko tada, kai pasiėmėte matuoklį. Ar atkreipei dėmesį į tai, kaip stovi stalai? Įvertinkite mintyse: jei vieną lentelę laikote styga, tai koks yra lanko, kurį jis sutraukia, laipsnio matas?

Prisiminkite kampų matą: 1 ° = 1/360 apskritimo dalis („laipsnis“ - iš lotynų kalbos grad - žingsnis). Ar žinote, kodėl apskritimas buvo padalintas į 360 dalių, kodėl gi ne į 10, 100 ar 1000 dalių, kaip nutinka, pavyzdžiui, matuojant ilgius? Papasakosiu vieną iš versijų.

Anksčiau žmonės tikėjo, kad Žemė yra Visatos centras ir ji nejuda, o Saulė per dieną vieną kartą apsisuka aplink Žemę, geocentrinę pasaulio sistemą, „geo“ - Žemę ( Brėžinys Nr.1). Babilono žyniai, atlikę astronominius stebėjimus, išsiaiškino, kad lygiadienio dieną, nuo saulėtekio iki saulėlydžio, Saulė dangaus skliaute apibūdina puslankį, kuriame regimasis Saulės skersmuo (skersmuo) telpa lygiai 180 kartų, 1 ° - saulės pėdsakas. ( Pav. Nr. 2).

Ilgą laiką trigonometrija buvo grynai geometrinė. Tęsiate pažintį su trigonometrija spręsdami stačiuosius trikampius. Sužinosite, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kojos santykis su hipotenuze, kosinusas yra gretimos kojos santykis su hipotenuze, tangentas yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis. , o kotangentas yra gretimos kojos santykis su priešinga. Ir atsiminkite tai taisyklingas trikampis, kuris turi duotą kampą, kraštinių santykis nepriklauso nuo trikampio dydžio. Susipažinkite su sinuso ir kosinuso teoremomis sprendžiant savavališkus trikampius.

2010 m. Maskvos metro šventė 75 metų jubiliejų. Kasdien leidžiamės į metro ir nepastebime, kad...

Užduotis numeris 1. Visų eskalatorių pasvirimo kampas Maskvos metro yra 30 laipsnių. Žinodami tai, eskalatoriaus lempų skaičių ir apytikslį atstumą tarp lempų, galite apskaičiuoti apytikslį stoties gylį. Tsvetnoy Bulvar stoties eskalatoriuje yra 15 lempų, o stotyje Prazhskaya - 2 lempos. Apskaičiuokite šių stočių gylį, jei atstumai tarp žibintų, nuo eskalatoriaus įėjimo iki pirmos lempos ir nuo paskutinės lempos iki išėjimo iš eskalatoriaus yra 6 m ( Brėžinys Nr.3). Atsakymas: 48 m ir 9 m

Namų darbai. Giliausia Maskvos metro stotis yra Pobedy parkas. Koks jo gylis? Siūlau savarankiškai rasti trūkstamus duomenis, kad išspręstumėte namų darbų problemą.

Rankose turiu lazerinį žymeklį, tai ir tolimatis. Išmatuokime, pavyzdžiui, atstumą iki lentos.

Kinų dizaineris Huanas Qiaokongas spėjo sujungti du lazerinius tolimačius, transporterį į vieną įrenginį ir gavo įrankį, leidžiantį nustatyti atstumą tarp dviejų plokštumos taškų ( Brėžinys Nr.4). Kaip manote, kurios teoremos pagalba ši problema išspręsta? Prisiminkite kosinuso teoremos formuluotę. Ar sutinkate su manimi, kad jūsų žinių jau pakanka tokiam išradimui sukurti? Išspręskite geometrijos uždavinius ir kasdien atlikite nedidelius atradimus!

Sferinė trigonometrija.

Be Euklido plokštumos geometrijos (planimetrijos), gali būti ir kitų geometrijų, kuriose figūrų savybės nagrinėjamos ne plokštumoje, o kituose paviršiuose, pavyzdžiui, rutulio paviršiuje ( Brėžinys Nr.5). Pirmasis matematikas, padėjęs pamatus neeuklido geometrijų raidai, buvo N.I. Lobačevskis – „Geometrijos Kopernikas“. Nuo 1827 m. 19 metų buvo Kazanės universiteto rektorius.

Sferinė trigonometrija, kuri yra sferinės geometrijos dalis, nagrinėja ryšius tarp trikampių kraštinių ir kampų sferoje, kurią sudaro didžiųjų apskritimų lankai sferoje ( Brėžinys Nr.6).

Istoriškai sferinė trigonometrija ir geometrija atsirado dėl astronomijos, geodezijos, navigacijos ir kartografijos poreikių. Apsvarstykite, kuri iš šių krypčių pastaraisiais metais sulaukė tokio spartaus vystymosi, kad jo rezultatas jau naudojamas šiuolaikiniuose komunikatoriuose. ... Šiuolaikinė navigacijos taikymas – tai palydovinės navigacijos sistema, leidžianti iš jo imtuvo signalo nustatyti objekto vietą ir greitį.

Pasaulinė navigacijos sistema (GPS). Norint nustatyti imtuvo platumą ir ilgumą, būtina priimti signalus iš mažiausiai trijų palydovų. Signalo priėmimas iš ketvirtojo palydovo taip pat leidžia nustatyti objekto aukštį virš paviršiaus ( Brėžinys Nr.7).

Imtuvo kompiuteris išsprendžia keturias lygtis keturiuose nežinomuose, kol randamas sprendimas, nubrėžiantis visus apskritimus per vieną tašką ( Brėžinys Nr.8).

Paaiškėjo, kad smailaus kampo trigonometrijos žinių nepakako sudėtingesnėms praktinėms problemoms spręsti. Tiriant sukimosi ir apskritimo judesius, kampo ir apskritimo lanko reikšmė neribojama. Iškilo būtinybė pereiti prie apibendrinto argumento trigonometrijos.

Apibendrinto argumento trigonometrija.

Apskritimas ( Brėžinys Nr.9). Teigiami kampai brėžiami prieš laikrodžio rodyklę, neigiami – pagal laikrodžio rodyklę. Ar esate susipažinęs su tokio susitarimo istorija?

Kaip žinia, mechaniniai ir saulės laikrodžiai sukonstruoti taip, kad jų rodyklės sukasi „pagal saulę“, t.y. ta pačia kryptimi, kuria matome tariamą Saulės judėjimą aplink Žemę. (Prisiminkite pamokos pradžią – geocentrinę pasaulio sistemą). Tačiau Kopernikui atradus tikrąjį (teigiamą) Žemės judėjimą aplink Saulę, akivaizdus (ty tariamas) Saulės judėjimas aplink Žemę yra fiktyvus (neigiamas). Heliocentrinė pasaulio sistema (helio - Saulė) ( Brėžinys Nr.10).

Apšilimas.

Ištraukti dešinė ranka priešais save lygiagrečiai su stalo paviršiumi ir atlikite apskritą sukimąsi 720 laipsnių kampu.
Ištraukti kairiarankis priešais save lygiagrečiai stalo paviršiui ir pasukite apskritimu (-1080) laipsnių.
Padėkite rankas ant pečių ir atlikite 4 sukamuosius judesius pirmyn ir atgal. Kokia yra sukimosi kampų suma?

2010 metais žiema olimpinės žaidynės Vankuveryje išsiaiškinsime čiuožėjo pratimo įvertinimo kriterijus spręsdami uždavinį.

Užduotis numeris 2. Jei čiuožėjas, atlikdamas sraigto pratimą, per 12 sekundžių pasuka 10 800 laipsnių kampu, jis gauna „puikų“ įvertinimą. Nustatykite, kiek apsisukimų čiuožėjas padarys per šį laiką ir jo sukimosi greitį (apsukimų per sekundę). Atsakymas: 2,5 apsisukimų per sek.

Namų darbai. Kokiu kampu sukasi čiuožėjas, gavęs „nepatenkinamą“ įvertinimą, jei, esant tokiam pačiam sukimosi laikui, jo greitis buvo 2 apsisukimai per sekundę.

Patogiausias lankų ir kampų, susijusių su sukimosi judesiais, matas pasirodė esąs radianas (spindulys), kaip didesnis kampo arba lanko matavimo vienetas ( Brėžinys Nr.11). Šis kampo matavimo matas pateko į mokslą per nuostabius Leonhardo Eulerio darbus. Šveicaras pagal gimimą, 30 metų gyveno Rusijoje, buvo Sankt Peterburgo mokslų akademijos narys. Būtent jam mes skolingi „analitinį“ visos trigonometrijos aiškinimą, jis išvedė formules, kurias dabar studijuojate, įvedė vienodus ženklus: nuodėmė x, cos x, tg x.ctg x.

Jei iki XVII amžiaus trigonometrinių funkcijų doktrinos raida buvo statoma geometriniu pagrindu, tai nuo XVII amžiaus trigonometrinės funkcijos pradėtos naudoti mechanikos, optikos, elektros uždaviniams spręsti, svyravimo procesams, bangoms aprašyti. paplitimas. Visur, kur tenka susidurti su periodiniais procesais ir svyravimais, trigonometrinės funkcijos rado pritaikymą. Funkcijos, išreiškiančios periodinių procesų dėsnius, turi ypatingą savybę, būdingą tik joms: jos kartoja savo reikšmes per tą patį argumento keitimo intervalą. Bet kurios funkcijos pakeitimai aiškiausiai perduodami jos grafike ( Brėžinys Nr.12).

Jau kreipėmės į savo kūną pagalbos sprendžiant sukimosi problemas. Įsiklausykime į savo širdies plakimą. Širdis yra nepriklausomas organas. Smegenys kontroliuoja visus mūsų kūno raumenis, išskyrus širdį. Ji turi savo valdymo centrą – sinusinį mazgą. Su kiekvienu širdies susitraukimu plinta visame kūne – pradedant nuo sinusinio mazgo (soros grūdelio dydžio) elektros. Jį galima įrašyti naudojant elektrokardiografą. Jis nubraižo elektrokardiogramą (sinusoidą) ( Brėžinys Nr.13).

Dabar pakalbėkime apie muziką. Matematika yra muzika, tai proto ir grožio sąjunga.
Muzika yra matematika pagal skaičiavimą, algebra pagal abstrakciją, trigonometrija pagal grožį. harmoninis svyravimas(harmonika) yra sinusinė banga. Grafike matyti, kaip kinta oro slėgis klausytojo ausies būgnelyje: aukštyn ir žemyn lanku, periodiškai. Oras spaudžia stipriau, paskui silpniau. Smūgio jėga yra gana maža, o svyravimai vyksta labai greitai: šimtai ir tūkstančiai smūgių kas sekundę. Tokius periodinius virpesius suvokiame kaip garsą. Pridėjus dvi skirtingas harmonikas, gaunama sudėtingesnė bangos forma. Trijų harmonikų suma yra dar sudėtingesnė, o gamtos garsai ir muzikos instrumentų garsai susideda iš daugybės harmonikų. ( Brėžinys Nr.14.)

Kiekviena harmonika apibūdinama trimis parametrais: amplitudė, dažnis ir fazė. Virpesių dažnis rodo, kiek oro slėgio smūgių įvyksta per vieną sekundę. Dideli dažniai suvokiami kaip „aukšti“, „ploni“ garsai. Virš 10 kHz – girgždėjimas, švilpimas. Maži dažniai suvokiami kaip „žemi“, „bosiniai“ garsai, ūžesys. Amplitudė yra virpesių diapazonas. Kuo didesnis tarpas, tuo stipresnis smūgis į ausies būgnelį ir garsesnis garsas kurį girdime Brėžinys Nr.15). Fazė – svyravimų poslinkis laike. Fazė gali būti matuojama laipsniais arba radianais. Priklausomai nuo fazės, nulio skaičius perkeliamas grafike. Norint nurodyti harmoniką, pakanka nurodyti fazę nuo -180 iki +180 laipsnių, nes virpesiai kartojasi esant didelėms reikšmėms. Du sinusiniai signalai, kurių amplitudė ir dažnis yra vienodi, bet skirtingos fazės, pridedami algebriškai ( Brėžinys Nr.16).

Pamokos santrauka. Kaip manote, ar mums pavyko perskaityti kelis puslapius iš Didžiosios gamtos knygos? Sužinojęs apie taikomąją trigonometrijos reikšmę, ar supratote jos vaidmenį įvairiose žmogaus veiklos srityse, ar supratote pateiktą medžiagą? Tada prisiminkite ir išvardinkite trigonometrijos taikymo sritis, kurias sutikote šiandien arba žinojote anksčiau. Tikiuosi, kad kiekvienas iš jūsų šios dienos pamokoje rado sau kažką naujo ir įdomaus. Galbūt šis naujasis parodys, kaip pasirinkti ateities profesija, bet kad ir kuo taptum, matematinis išsilavinimas padės tapti savo srities profesionalu ir intelektualiai išsivysčiusiu žmogumi.

Namų darbai. Perskaitykite pamokos metmenis

Kartą mokykloje trigonometrijos studijoms buvo skirtas atskiras kursas. Sertifikatas buvo vertinamas iš trijų matematikos disciplinų: algebros, geometrijos ir trigonometrijos.

Tada kaip reformos dalis mokyklinis išsilavinimas trigonometrija nustojo egzistuoti kaip atskiras dalykas. AT moderni mokykla pirmoji pažintis su trigonometrija vyksta 8 klasės geometrijos kurse. Gilesnis dalyko studijavimas tęsiamas 10 klasės algebros kurse.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai pirmiausia pateikiami geometrijoje per stačiojo trikampio kraštinių santykį.

Stačiakampio trikampio smailusis kampas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis.

kosinusas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

liestinė smailusis kampas stačiakampiame trikampyje yra priešingos kojos ir gretimos kojos santykis.

Kotangentas smailusis kampas stačiakampiame trikampyje vadinamas gretimos kojos ir priešingos kojos santykiu.

Šie apibrėžimai taikomi tik smailiems kampams (nuo 0° iki 90°).

Pavyzdžiui,

trikampyje ABC, kur ∠C=90°, BC – kampui A priešinga kojelė, AC – kampui A besiribojanti kojelė, AB – hipotenuzė.

10 klasės algebros kurse supažindinama su bet kurio kampo (taip pat ir neigiamo) sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimais.

Apsvarstykite R spindulio apskritimą, kurio centras yra taškas O(0;0). Apskritimo susikirtimo taškas su teigiama x ašies kryptimi bus pažymėtas P 0 .

Geometrijoje kampas laikomas plokštumos, kurią riboja du spinduliai, dalimi. Pagal šį apibrėžimą kampo reikšmė svyruoja nuo 0° iki 180°.

Trigonometrijoje kampas laikomas spindulio OP 0 sukimosi aplink pradinį tašką O rezultatu.

Kartu jie sutiko teigiama apvažiavimo kryptimi laikyti pluošto sukimąsi prieš laikrodžio rodyklę, o pagal laikrodžio rodyklę – neigiama (šis susitarimas siejamas su tikruoju Saulės judėjimu aplink Žemę).

Pavyzdžiui, kai spindulys OP 0 sukasi aplink tašką O kampu α prieš laikrodžio rodyklę, taškas P 0 eis į tašką P α,

sukant kampu α pagal laikrodžio rodyklę - į tašką F.

Pagal šį apibrėžimą kampas gali turėti bet kokią reikšmę.

Jei ir toliau suksime spindulį OP 0 prieš laikrodžio rodyklę, sukant kampu α°+360°, α°+360° 2,…,α°+360° n, kur n yra sveikas skaičius (n∈Ζ), vėl pateksime į tašką P α:

Kampai matuojami laipsniais ir radianais.

1° yra kampas, lygus 1/180 tiesiojo kampo laipsnio matavimo.

1 radianas yra centrinis kampas, kurio lanko ilgis yra lygus apskritimo spinduliui:

∠AOB=1 rad.

Radiano žymėjimas paprastai nerašomas. Laipsnio žymėjimas įraše negali būti praleistas.

Pavyzdžiui,

Taškas P α , gautas iš taško P 0 sukant spindulį OP 0 aplink tašką O kampu α prieš laikrodžio rodyklę, turi koordinates P α (x;y).

Numeskime statmeną P α A iš taško P α į x ašį.

Stačiame trikampyje OP α A:

P α A yra koja, priešinga kampui α,

OA yra kojelė, esanti greta kampo α,

OP α yra hipotenuzė.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Pagal sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimą stačiakampiame trikampyje turime:

Taigi, apskritimo, kurio centras yra savavališko spindulio pradžioje, atveju sinusas kampas α – taško P α ordinatės ir spindulio ilgio santykis.

kosinusas kampas α – taško P α abscisių ir spindulio ilgio santykis.

liestinė kampas α – taško P α ordinatės ir jo abscisių santykis.

Kotangentas kampas α – taško P α abscisių ir jo ordinačių santykis.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo α vertės ir nepriklauso nuo spindulio R ilgio (tai išplaukia iš apskritimų panašumo).

Todėl patogu rinktis R=1.

Apskritimas, kurio centras yra taške ir kurio spindulys R=1, vadinamas vienetiniu apskritimu.

Apibrėžimai

1) sinusas kampas α yra vienetinio apskritimo taško P α (x; y) ordinatės:

2) kosinusas kampas α vadinamas vienetinio apskritimo taško P α (x; y) abscisėmis:

3) liestinė kampas α yra taško P α (x; y) ordinatės santykis su jo abscisėmis, ty sin α ir cos α santykis (kur cos α≠ 0):

4) Kotangentas kampas α yra taško P α (x; y) abscisių ir jo ordinatės santykis, ty cosα ir sinα santykis (kur sinα≠0):

Tokiu būdu pateikti apibrėžimai leidžia atsižvelgti ne tik į kampų trigonometrines, bet ir į skaitinių argumentų trigonometrines funkcijas (jei sinα, cosα, tgα ir ctgα laikysime atitinkamomis trigonometrinėmis kampo funkcijomis α radianais, yra, skaičiaus α sinusas yra kampo sinusas α radianais, α kosinusas yra kampo kosinusas α radianais ir kt.).

Trigonometrinių funkcijų savybės nagrinėjamos algebros kurse 10 ar 11 klasėje kaip atskira tema. Trigonometrinės funkcijos plačiai naudojamas fizikoje.

Rubrika: |

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei Artimiausi renginiai.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Šioje pamokoje kalbėsime apie tai, kaip atsiranda poreikis diegti trigonometrines funkcijas ir kodėl jos tiriamos, ką reikia suprasti šioje temoje, o kur tereikia prikišti ranką (tai yra technika). Atminkite, kad technika ir supratimas yra du skirtingi dalykai. Sutikite, yra skirtumas: išmokti važiuoti dviračiu, tai yra suprasti, kaip tai padaryti, arba tapti profesionaliu dviratininku. Kalbėsime apie supratimą, apie tai, kodėl mums reikalingos trigonometrinės funkcijos.

Yra keturios trigonometrinės funkcijos, tačiau jas visas galima išreikšti viena, naudojant tapatybes (lygybes, kurios jas jungia).

Formalūs stačiakampių smailių kampų trigonometrinių funkcijų apibrėžimai (1 pav.).

sinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas vadinamas priešingos kojos ir hipotenuzės santykiu.

kosinusas Stačiakampio trikampio smailusis kampas vadinamas gretimos kojos ir hipotenuzės santykiu.

liestinė Stačiakampio trikampio smailusis kampas vadinamas priešingos kojos ir gretimos kojos santykiu.

Kotangentas Stačiakampio trikampio smailusis kampas vadinamas gretimos kojos ir priešingos kojos santykiu.

Ryžiai. 1. Stačiojo trikampio smailiojo kampo trigonometrinių funkcijų apibrėžimas

Šie apibrėžimai yra formalūs. Teisingiau sakyti, kad yra tik viena funkcija, pavyzdžiui, sinusas. Jei jos nebūtų taip reikalingos (ne taip dažnai naudojamos) technikoje, nebūtų įdiegta tiek įvairių trigonometrinių funkcijų.

Pavyzdžiui, kampo kosinusas yra lygus to paties kampo sinusui, pridėjus (). Be to, kampo kosinusas visada gali būti išreikštas to paties kampo sinusu iki ženklo, naudojant pagrindinį trigonometrinė tapatybė(). Kampo liestinė – sinuso ir kosinuso arba atvirkštinio kotangento santykis (2 pav.). Kai kurie iš viso nenaudoja kotangento, pakeičiant jį . Todėl svarbu suprasti ir mokėti dirbti su viena trigonometrine funkcija.

Ryžiai. 2. Įvairių trigonometrinių funkcijų sujungimas

Bet kam išvis reikalingos tokios funkcijos? Kokioms praktinėms problemoms jie naudojami? Pažvelkime į kelis pavyzdžius.

Du žmonės ( BET ir AT) išstumkite automobilį iš balos (3 pav.). Žmogus AT gali nustumti automobilį į šoną, nors vargu ar tai padės BET. Kita vertus, jo pastangų kryptis gali pamažu pasislinkti (4 pav.).

Ryžiai. 3. AT pastumia automobilį į šoną

Ryžiai. keturi. AT pradeda keisti kryptį

Akivaizdu, kad jų pastangos bus efektyviausios, kai jie stums automobilį viena kryptimi (5 pav.).

Ryžiai. 5. Efektyviausia bendra pastangų kryptis

Kiek AT padeda stumti mašiną, jei jos jėgos kryptis yra artima jėgos, kuria ji veikia, krypčiai BET, yra kampo funkcija ir išreiškiama jo kosinusu (6 pav.).

Ryžiai. 6. Kosinusas kaip pastangų efektyvumo charakteristika AT

Jei padauginsime jėgos, su kuria AT, kampo kosinusu, gauname jo jėgos projekciją jėgos, kuria ji veikia, kryptį BET. Kuo arčiau kampas tarp jėgų krypčių yra , tuo efektyvesnis bus rezultatas. bendras veiksmas BET ir AT(7 pav.). Jei jie ta pačia jėga stums automobilį priešingomis kryptimis, automobilis liks vietoje (8 pav.).

Ryžiai. 7. Bendrų pastangų efektyvumas BET ir AT

Ryžiai. 8. Priešinga jėgų kryptis BET ir AT

Svarbu suprasti, kodėl kampą (jo indėlį į galutinį rezultatą) galime pakeisti kosinusu (ar kita trigonometrine kampo funkcija). Tiesą sakant, tai išplaukia iš tokios panašių trikampių savybės. Kadangi iš tikrųjų mes sakome taip: kampą galima pakeisti dviejų skaičių santykiu (koja-hipotenuzė arba koja-koja). Tai būtų neįmanoma, jei, pavyzdžiui, tam pačiam skirtingų stačiakampių trikampių kampui šie santykiai būtų skirtingi (9 pav.).

Ryžiai. 9. Panašių trikampių kraštinių lygūs santykiai

Pavyzdžiui, jei santykis ir santykis būtų skirtingi, tada liestinės funkcijos negalėtume įvesti, nes tam pačiam kampui skirtinguose stačiakampiuose trikampiuose liestinė būtų skirtinga. Tačiau dėl to, kad panašių stačiakampių trikampių kojų ilgių santykiai yra vienodi, funkcijos reikšmė nepriklausys nuo trikampio, o tai reiškia, kad smailusis kampas ir jo trigonometrinės reikšmės funkcijos yra „vienas su vienu“.

Tarkime, kad žinome tam tikro medžio aukštį (10 pav.). Kaip išmatuoti šalia esančio pastato aukštį?

Ryžiai. 10. 2 pavyzdžio sąlygos iliustracija

Randame tokį tašką, kad per šį tašką nubrėžta linija ir namo viršūnė eis per medžio viršūnę (11 pav.).

Ryžiai. 11. 2 pavyzdžio uždavinio sprendimo iliustracija

Galime išmatuoti atstumą nuo šio taško iki medžio, atstumą nuo jo iki namo ir žinome medžio aukštį. Iš proporcijos galite rasti namo aukštį:.

Proporcija yra dviejų skaičių santykis. AT Ši byla panašių stačiųjų trikampių kojelių ilgių santykio lygybė. Be to, šie santykiai yra lygūs tam tikram kampo matui, kuris išreiškiamas trigonometrine funkcija (pagal apibrėžimą tai yra liestinė). Gauname, kad kiekvienam smailiam kampui jo trigonometrinės funkcijos reikšmė yra unikali. Tai yra, sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas iš tikrųjų yra funkcijos, nes kiekvienas aštrusis kampas atitinka tiksliai vieną kiekvieno iš jų reikšmę. Todėl juos galima toliau tyrinėti ir panaudoti jų savybes. Visų kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės jau apskaičiuotos, jas galima naudoti (jas galima rasti iš Bradis lentelių arba naudojant bet kurią inžinerinis skaičiuotuvas). Tačiau ne visada galime išspręsti atvirkštinę problemą (pavyzdžiui, pagal sinuso vertę atkurti jį atitinkančio kampo matą).

Tegu kurio nors kampo sinusas lygus arba apytikslis (12 pav.). Koks kampas atitiks šią sinuso vertę? Žinoma, vėl galime naudoti Bradis lentelę ir rasti kokią nors reikšmę, bet pasirodo, kad ji nebus vienintelė (13 pav.).

Ryžiai. 12. Kampo radimas pagal jo sinuso reikšmę

Ryžiai. 13. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų polivalentiškumas

Todėl atkuriant kampo trigonometrinės funkcijos reikšmę, atsiranda atvirkštinių trigonometrinių funkcijų polisemija. Tai gali atrodyti sudėtinga, bet iš tikrųjų su panašiomis situacijomis susiduriame kasdien.

Jei uždengiate langus ir nežinote, ar lauke šviesu ar tamsu, arba atsidūrėte oloje, tada pabudus sunku pasakyti, ar dabar valanda dienos, nakties ar kitą dieną (14 pav.). Tiesą sakant, jei paklausite mūsų „Kiek dabar valanda?“, turėtume sąžiningai atsakyti: „Valanda plius padaugink iš kur“

Ryžiai. 14. Polisemijos iliustracija laikrodžio pavyzdžiu

Galime daryti išvadą, kad – tai laikotarpis (intervalas, po kurio laikrodis rodys tą patį laiką kaip ir dabar). Trigonometrinės funkcijos taip pat turi periodus: sinusą, kosinusą ir kt. Tai yra, jų vertės kartojasi po tam tikro argumento pakeitimo.

Jei planetoje nesikeistų diena ir naktis ar metų laikai, tai mes negalėtume naudoti periodinio laiko. Juk metus skaičiuojame tik didėjimo tvarka, o paroje būna valandos, o kiekvieną naują dieną skaičiavimas prasideda iš naujo. Ta pati situacija ir su mėnesiais: jei dabar sausis, tai po mėnesiais vėl ateis sausis ir pan. Išoriniai atskaitos taškai padeda panaudoti periodinį laiko (valandų, mėnesių) skaičiavimą, pavyzdžiui, Žemės sukimąsi aplink savo ašį ir Saulės bei Mėnulio padėties danguje pasikeitimą. Jei Saulė visada kabėtų toje pačioje padėtyje, tada norėdami apskaičiuoti laiką, skaičiuotume sekundžių (minučių) skaičių nuo šio skaičiavimo. Tada data ir laikas galėtų skambėti taip: milijardas sekundžių.

Išvada: nėra jokių sunkumų dėl atvirkštinių funkcijų dviprasmiškumo. Iš tiesų, gali būti variantų, kai tam pačiam sinusui yra skirtingos kampo reikšmės (15 pav.).

Ryžiai. 15. Kampo atstatymas jo sinuso verte

Paprastai spręsdami praktines problemas visada dirbame standartiniame diapazone nuo iki . Šiame diapazone kiekvienai trigonometrinės funkcijos vertei yra tik dvi atitinkamos kampo matavimo vertės.

Apsvarstykite judantį diržą ir švytuoklę kibiro pavidalu su skyle, iš kurios iškrenta smėlis. Švytuoklė svyruoja, juosta juda (16 pav.). Dėl to smėlis paliks pėdsaką sinuso (arba kosinuso) funkcijos grafiko pavidalu, kuris vadinamas sinusine banga.

Tiesą sakant, sinuso ir kosinuso grafikai skiriasi vienas nuo kito tik atskaitos tašku (jei nubraižysite vieną iš jų ir ištrinsite koordinačių ašis, negalėsite nustatyti, kuris grafikas buvo nubrėžtas). Todėl nėra prasmės vadinti kosinuso grafu (kam tam pačiam grafikui sugalvoti atskirą pavadinimą)?

Ryžiai. 16. Problemos teiginio iliustracija 4 pavyzdyje

Iš funkcijos grafiko taip pat galite suprasti, kodėl atvirkštinės funkcijos turės daug reikšmių. Jei sinuso reikšmė fiksuota, t.y. nubrėžkite tiesę, lygiagrečią x ašiai, tada sankirtoje gauname visus taškus, kuriuose kampo sinusas yra lygus duotajam. Aišku, kad tokių taškų bus be galo daug. Kaip pavyzdyje su laikrodžiu, kur laiko reikšmė skyrėsi , tik čia kampo reikšmė skirsis dydžiu (17 pav.).

Ryžiai. 17. Sinuso polisemijos iliustracija

Jei atsižvelgsime į laikrodžio pavyzdį, tada taškas (valandos rodyklės pabaiga) juda aplink apskritimą. Lygiai taip pat galima apibrėžti ir trigonometrines funkcijas – apsvarstykite ne stačiojo trikampio kampus, o kampą tarp apskritimo spindulio ir teigiamos ašies krypties. Apskritimų skaičius, kurį taškas pravažiuos (sutarėme, kad judėjimą pagal laikrodžio rodyklę skaičiuosime su minuso ženklu, o prieš laikrodžio rodyklę su pliuso ženklu), tai yra laikotarpis (18 pav.).

Ryžiai. 18. Sinuso reikšmė apskritime

Taigi, atvirkštinė funkcija yra vienareikšmiškai apibrėžtas tam tikru intervalu. Šiam intervalui galime apskaičiuoti jo reikšmes, o visas likusias gauti iš rastų reikšmių pridėdami ir atimdami funkcijos laikotarpį.

Apsvarstykite kitą laikotarpio pavyzdį. Automobilis važiuoja keliu. Įsivaizduokite, kad jos ratas įvažiavo į dažus arba į balą. Kelyje kartais galite pamatyti dažų žymes ar balas (19 pav.).

Ryžiai. 19. Laikotarpio iliustracija

Mokyklos kurse yra daug trigonometrinių formulių, tačiau iš esmės pakanka prisiminti tik vieną (20 pav.).

Ryžiai. dvidešimt. Trigonometrinės formulės

Formulė dvigubas kampas taip pat lengva išvesti sumas iš sinuso pakeičiant (panašiai ir kosinusą). Taip pat galite gauti produktų formules.

Tiesą sakant, jums reikia labai mažai prisiminti, nes sprendžiant uždavinius šios formulės bus prisimintos pačios. Žinoma, kažkas bus tingus daug nuspręsti, bet tada jam nereikės šios technikos, taigi ir pačių formulių.

O kadangi formulių nereikia, tai nereikia jų ir įsiminti. Jums tereikia suprasti mintį, kad trigonometrinės funkcijos yra funkcijos, su kuriomis, pavyzdžiui, apskaičiuojami tiltai. Beveik joks mechanizmas neapsieina be jų naudojimo ir skaičiavimo.

1. Dažnai kyla klausimas, ar laidai gali būti visiškai lygiagretūs žemei. Atsakymas: ne, jie negali, nes viena jėga veikia žemyn, o kitos veikia lygiagrečiai – jos niekada nesubalansuos (21 pav.).

2. Vienoje plokštumoje vežimą traukia gulbė, vėžiai ir lydekos. Viena kryptimi skrenda gulbė, kita traukia vėžiai, trečia – lydeka (22 pav.). Jų galios gali subalansuoti. Šį balansavimą galite apskaičiuoti tiesiog naudodami trigonometrines funkcijas.