- (Matema.) Funkcija y \u003d f (x) iškviečiama, net jei ji nesikeičia, kai nepriklausomas kintamasis keičia tik ženklą, tai yra, jei f (x) \u003d f (x). Jei f (x) = f (x), tai funkcija f (x) vadinama nelygine. Pavyzdžiui, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija

Funkcija, kuri tenkina lygybę f (x) = f (x). Žr. Lyginės ir Nelyginės funkcijos... Didžioji sovietinė enciklopedija

F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija

F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija

F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija

F(x) = x yra nelyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x2 yra lyginės funkcijos pavyzdys. f(x) = x3 ... Vikipedija

Specialios funkcijos, kurias 1868 m. pristatė prancūzų matematikas E. Mathieu sprendžiant elipsinės membranos virpesių uždavinius. M. f. taip pat naudojami tiriant paskirstymą elektromagnetines bangas elipsiniame cilindre... Didžioji sovietinė enciklopedija

„Nuodėmės“ prašymas nukreipiamas čia; taip pat žr. kitas reikšmes. Užklausa „sec“ nukreipiama čia; taip pat žr. kitas reikšmes. "Sine" peradresuoja čia; taip pat žr. kitas reikšmes ... Vikipedija

Funkcija vadinama lygine (nelygine), jei bet kuriai ir lygybei

.

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu
.

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei.

6.2 pavyzdys. Patikrinkite, ar nėra lyginių ar nelyginių funkcijų

1)
; 2)
; 3)
.

Sprendimas.

1) Funkcija apibrėžiama su
. Raskime
.

Tie.
. Reiškia, suteikta funkcija yra lygus.

2) Funkcija yra apibrėžta

Tie.
. Taigi ši funkcija yra keista.

3) funkcija apibrėžta , t.y. dėl

,
. Todėl funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė. Pavadinkime tai bendra funkcija.

3. Monotoniškumo funkcijos tyrimas.

Funkcija
vadinamas didėjimu (mažėjimu) tam tikrame intervale, jei šiame intervale kiekviena didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę (mažesnę) funkcijos reikšmę.

Funkcijos, didėjančios (mažėjančios) tam tikru intervalu, vadinamos monotoninėmis.

Jei funkcija
skiriasi intervalu
ir turi teigiamą (neigiamą) išvestinę
, tada funkcija
šiame intervale padidėja (sumažėja).

6.3 pavyzdys. Raskite funkcijų monotoniškumo intervalus

1)
; 3)
.

Sprendimas.

1) Ši funkcija apibrėžta visoje skaičių ašyje. Raskime išvestinę.

Išvestinė lygi nuliui, jei
ir
. Apibrėžimo sritis – skaitinė ašis, padalinta iš taškų
,
intervalams. Kiekviename intervale nustatykime išvestinės ženklą.

Intervale
išvestinė yra neigiama, funkcija mažėja šiame intervale.

Intervale
išvestinė yra teigiama, todėl funkcija šiame intervale didėja.

2) Ši funkcija apibrėžiama, jei
arba

.

Kiekviename intervale nustatome kvadratinio trinalio ženklą.

Taigi, funkcijos apimtis

Raskime išvestinę
,
, jei
, t.y.
, bet
. Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose
.

Intervale
išvestinė yra neigiama, todėl funkcija intervale mažėja
. Intervale
išvestinė yra teigiama, funkcija didėja intervale
.

4. Ekstremo funkcijos tyrimas.

Taškas
vadinamas maksimaliu (minimaliu) funkcijos tašku
, jei yra tokia taško kaimynystė kad visiems
ši kaimynystė tenkina nelygybę

.

Maksimalus ir minimalus funkcijos taškai yra vadinami ekstremumais.

Jei funkcija
taške turi ekstremumą, tai funkcijos išvestinė šiame taške lygi nuliui arba neegzistuoja (būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga).

Taškai, kuriuose išvestinė yra lygi nuliui arba neegzistuoja, vadinami kritiniais.

5. Pakankamos sąlygos ekstremumui egzistuoti.

1 taisyklė. Jei perėjimo metu (iš kairės į dešinę) per kritinį tašką išvestinė
pakeičia ženklą iš „+“ į „-“, tada taške funkcija
turi maksimumą; jei nuo "-" iki "+", tada minimumas; jeigu
nekeičia ženklo, tada nėra ekstremumo.

2 taisyklė. Tegul taške
pirmoji funkcijos išvestinė
nulis
, o antroji išvestinė egzistuoja ir yra nulis. Jeigu
, tada yra maksimalus taškas, jei
, tada yra mažiausias funkcijos taškas.

Pavyzdys 6.4 . Ištirkite maksimalias ir minimalias funkcijas:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Sprendimas.

1) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiasi intervale
.

Raskime išvestinę
ir išspręskite lygtį
, t.y.
.iš čia
yra kritiniai taškai.

Nustatykime išvestinės ženklą intervaluose ,
.

Pravažiuojant taškus
ir
išvestinė keičia ženklą iš „–“ į „+“, todėl pagal 1 taisyklę
yra minimalūs taškai.

Kai eina per tašką
išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“, taigi
yra maksimalus taškas.

,
.

2) Funkcija yra apibrėžta ir tęstinė intervale
. Raskime išvestinę
.

Išspręsdami lygtį
, rasti
ir
yra kritiniai taškai. Jei vardiklis
, t.y.
, tada išvestinė neegzistuoja. Taigi,
yra trečias kritinis taškas. Išvestinės ženklą nustatykime intervalais.

Todėl funkcija taške turi minimumą
, maksimalus taškuose
ir
.

3) Funkcija yra apibrėžta ir tolydi, jei
, t.y. adresu
.

Raskime išvestinę

.

Raskime kritinius taškus:

Taškų apylinkės
nepriklauso apibrėžimo sričiai, todėl jie nėra ekstremalūs t. Taigi panagrinėkime kritinius taškus
ir
.

4) Funkcija yra apibrėžta ir tęsiama intervale
. Mes naudojame taisyklę 2. Raskite išvestinę
.

Raskime kritinius taškus:

Raskime antrąją išvestinę
ir nustatyti jo ženklą taškuose

Taškuose
funkcija turi minimumą.

Taškuose
funkcija turi maksimumą.

Kintamojo y priklausomybė nuo kintamojo x, kuriame kiekviena x reikšmė atitinka vieną y reikšmę, vadinama funkcija. Žymėjimas yra y=f(x). Kiekviena funkcija turi keletą pagrindinių savybių, tokių kaip monotoniškumas, paritetas, periodiškumas ir kt.

Apsvarstykite pariteto savybę išsamiau.

Funkcija y=f(x) iškviečiama, net jei ji tenkina šias dvi sąlygas:

2. Funkcijos reikšmė taške x, priklausančiame funkcijos apimčiai, turi būti lygi funkcijos reikšmei taške -x. Tai yra, bet kuriame taške x iš funkcijos srities ši lygybė f(x) = f(-x) turi būti teisinga.

Lyginės funkcijos grafikas

Jei sukursite lyginės funkcijos grafiką, jis bus simetriškas y ašiai.

Pavyzdžiui, funkcija y=x^2 yra lyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.

Paimkite savavališką x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Todėl f(x) = f(-x). Taigi mums tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra lygi. Žemiau yra funkcijos y=x^2 grafikas.

Paveikslėlyje parodyta, kad grafikas yra simetriškas y ašiai.

Nelyginės funkcijos grafikas

Funkcija y=f(x) vadinama nelygine, jei ji tenkina šias dvi sąlygas:

1. Duotos funkcijos sritis turi būti simetriška taško O atžvilgiu. Tai yra, jei kuris nors taškas a priklauso funkcijos sričiai, tai atitinkamas taškas -a taip pat turi priklausyti duotosios funkcijos sričiai.

2. Bet kuriam taškui x iš funkcijos srities turi būti tenkinama lygybė f (x) = -f (x).

Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas taško O – pradžios – atžvilgiu. Pavyzdžiui, funkcija y=x^3 yra nelyginė. Pažiūrėkime. Apibrėžimo sritis yra visa skaitmeninė ašis, o tai reiškia, kad ji yra simetriška taško O atžvilgiu.

Paimkite savavališką x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Todėl f(x) = -f(x). Taigi mums tenkinamos abi sąlygos, o tai reiškia, kad funkcija yra nelyginė. Žemiau yra funkcijos y=x^3 grafikas.

Paveikslėlyje aiškiai matyti, kad nelyginė funkcija y=x^3 yra simetriška pradžios atžvilgiu.

Apibrėžimas 1. Funkcija vadinama net (nelyginis ) jei kartu su kiekviena kintamojo reikšme
prasmė - X taip pat priklauso
ir lygybė

Taigi funkcija gali būti lyginė arba nelyginė tik tada, kai jos apibrėžimo sritis yra simetriška tikrosios linijos (skaičių) pradžios atžvilgiu X ir - X kartu priklauso
). Pavyzdžiui, funkcija
nėra nei lyginis, nei nelyginis, nes jo apibrėžimo sritis
nėra simetriškas kilmei.

Funkcija
net, nes
simetriškas koordinačių pradžios atžvilgiu ir.

Funkcija
keista, nes
ir
.

Funkcija
nėra nei lyginis, nei nelyginis, nes nors
ir yra simetriškas kilmės atžvilgiu, lygybės (11.1) netenkinamos. Pavyzdžiui,.

Lyginės funkcijos grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu OU, nes jei taškas

taip pat priklauso grafikui. Nelyginės funkcijos grafikas yra simetriškas kilmei, nes jei
priklauso grafikui, tada taškui
taip pat priklauso grafikui.

Įrodant, ar funkcija yra lyginė ar nelyginė, naudingi šie teiginiai.

Teorema 1. a) Dviejų lyginių (nelyginių) funkcijų suma yra lyginė (nelyginė) funkcija.

b) Dviejų lyginių (nelyginių) funkcijų sandauga yra lyginė funkcija.

c) Lyginės ir nelyginės funkcijos sandauga yra nelyginė funkcija.

d) Jei f yra lygi funkcija rinkinyje X, ir funkcija g apibrėžta rinkinyje
, tada funkcija
- net.

e) Jei f yra nelyginė rinkinio funkcija X, ir funkcija g apibrėžta rinkinyje
ir lyginis (nelyginis), tada funkcija
- lyginis (nelyginis).

Įrodymas. Įrodykime, pavyzdžiui, b) ir d).

b) Tegul
ir
yra net funkcijos. Taigi, tada. Panašiai nagrinėjamas ir nelyginių funkcijų atvejis
ir
.

d) Leiskite f yra lygi funkcija. Tada.

Kiti teoremos teiginiai įrodomi panašiai. Teorema įrodyta.

Teorema 2. Bet kokia funkcija
, apibrėžta rinkinyje X, kuri yra simetriška kilmės atžvilgiu, gali būti pavaizduota kaip lyginės ir nelyginės funkcijos suma.

Įrodymas. Funkcija
galima parašyti formoje

.

Funkcija
yra lygus, nes
, ir funkcija
yra keista, nes. Šiuo būdu,
, kur
- net ir
yra nelyginė funkcija. Teorema įrodyta.

Apibrėžimas 2. Funkcija
paskambino periodinis leidinys jei yra skaičius
, toks, kad bet kuriam
numeriai
ir
taip pat priklauso apibrėžimo sričiai
ir lygybės

Toks skaičius T paskambino laikotarpį funkcijas
.

1 apibrėžimas reiškia, kad jei T– funkcijos laikotarpis
, tada skaičius T taip pat yra funkcijos laikotarpis
(nes keičiant T ant - T išlaikoma lygybė). Naudojant matematinės indukcijos metodą, galima parodyti, kad jei T– funkcijos laikotarpis f, tada ir
, taip pat yra laikotarpis. Iš to išplaukia, kad jei funkcija turi tašką, tai ji turi be galo daug periodų.

Apibrėžimas 3. Mažiausias iš teigiamų funkcijos periodų vadinamas jos pagrindinis laikotarpį.

Teorema 3. Jeigu T yra pagrindinis funkcijos laikotarpis f, tada likę laikotarpiai yra jo kartotiniai.

Įrodymas. Tarkime priešingai, tai yra, kad yra laikotarpis funkcijas f (>0), o ne keli T. Tada, padalijimas ant T su likusia dalimi gauname
, kur
. Štai kodėl

tai yra – funkcijos laikotarpis f, ir
, o tai prieštarauja faktui, kad T yra pagrindinis funkcijos laikotarpis f. Iš gauto prieštaravimo išplaukia teoremos tvirtinimas. Teorema įrodyta.

Gerai žinoma, kad trigonometrinės funkcijos yra periodinės. Pagrindinis laikotarpis
ir
lygus
,
ir
. Raskite funkcijos laikotarpį
. Leisti
yra šios funkcijos laikotarpis. Tada

(nes
.

ororor
.

Reikšmė T, nustatytas iš pirmosios lygybės, negali būti laikotarpis, nes jis priklauso nuo X, t.y. yra funkcija X, o ne pastovus skaičius. Laikotarpis nustatomas iš antrosios lygybės:
. Laikotarpių yra be galo daug
mažiausias teigiamas periodas gaunamas, kai
:
. Tai yra pagrindinis funkcijos laikotarpis
.

Sudėtingesnės periodinės funkcijos pavyzdys yra Dirichlet funkcija

Atkreipkite dėmesį, kad jei T tada yra racionalus skaičius
ir
yra racionalieji skaičiai pagal racionalųjį X ir neracionalu, kai neracionalu X. Štai kodėl

bet kuriam racionaliam skaičiui T. Todėl bet koks racionalus skaičius T yra Dirichlet funkcijos laikotarpis. Akivaizdu, kad ši funkcija neturi pagrindinio periodo, nes yra teigiamų racionaliųjų skaičių, savavališkai artimų nuliui (pavyzdžiui, racionalųjį skaičių galima padaryti pasirinkus n savavališkai arti nulio).

Teorema 4. Jei funkcija f nustatyti filmavimo aikštelėje X ir turi laikotarpį T, ir funkcija g nustatyti filmavimo aikštelėje
, tada sudėtinga funkcija
taip pat turi laikotarpį T.

Įrodymas. Todėl turime

tai yra įrodytas teoremos teiginys.

Pavyzdžiui, nuo cos x turi laikotarpį
, tada funkcijos
turėti laikotarpį
.

Apibrėžimas 4. Iškviečiamos funkcijos, kurios nėra periodinės neperiodinis .

Slėpti Rodyti

Funkcijos nustatymo būdai

Tegu funkcija pateikiama formule: y=2x^(2)-3 . Priskirdami bet kokią reikšmę nepriklausomam kintamajam x, galite naudoti šią formulę atitinkamoms priklausomo kintamojo y reikšmėms apskaičiuoti. Pavyzdžiui, jei x=-0.5 , tai naudojant formulę gauname, kad atitinkama y reikšmė yra y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 .

Atsižvelgiant į bet kurią reikšmę, kurią paima x argumentas formulėje y=2x^(2)-3 , galima apskaičiuoti tik vieną ją atitinkančią funkcijos reikšmę. Funkciją galima pavaizduoti kaip lentelę:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Naudodami šią lentelę galite išsiaiškinti, kad argumento -1 reikšmė atitiks funkcijos -3 reikšmę; o reikšmė x=2 atitiks y=0 ir pan. Taip pat svarbu žinoti, kad kiekviena argumento reikšmė lentelėje atitinka tik vieną funkcijos reikšmę.

Daugiau funkcijų galima nustatyti naudojant grafikus. Grafo pagalba nustatoma, kuri funkcijos reikšmė koreliuoja su tam tikra x reikšme. Dažniausiai tai bus apytikslė funkcijos reikšmė.

Lyginė ir nelyginė funkcija

Funkcija yra lygi funkcija, kai f(-x)=f(x) bet kuriam x iš domeno. Tokia funkcija bus simetriška Oy ašiai.

Funkcija yra nelyginė funkcija kai f(-x)=-f(x) bet kuriam x srityje. Tokia funkcija bus simetriška kilmei O (0;0) .

Funkcija yra net ne, nei keista ir paskambino funkcija bendras vaizdas kai jis neturi simetrijos ašies arba pradžios atžvilgiu.

Nagrinėjame šią pariteto funkciją:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) su simetriška kilmės apibrėžimo sritimi. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Vadinasi, funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) yra nelyginė.

Periodinė funkcija

Funkcija y=f(x) , kurios srityje f(x+T)=f(x-T)=f(x) yra teisinga bet kuriam x, vadinama periodinė funkcija su periodu T \neq 0 .

Funkcijos grafiko pakartojimas bet kuriame abscisių ašies segmente, kurio ilgis T .

Intervalai, kuriuose funkcija yra teigiama, ty f (x) > 0 – abscisių ašies atkarpos, atitinkančios funkcijos grafiko taškus, esančius virš abscisių ašies.

f(x) > 0 įjungta (x_(1); x_(2)) \puodelis (x_(3); +\infty)

Tarpai, kur funkcija yra neigiama, t. y. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \puodelis (x_(2); x_(3))

Funkcijos apribojimas

apribota iš apačiosįprasta vadinti funkciją y=f(x), x \in X, kai egzistuoja skaičius A, kuriam nelygybė f(x) \geq A galioja bet kuriam x \in X .

Toliau apribotos funkcijos pavyzdys: y=\sqrt(1+x^(2)), nes y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 bet kuriam x .

apribota iš viršaus funkcija y=f(x), x \in X iškviečiama, jei yra skaičius B, kuriam nelygybė f(x) \neq B galioja bet kuriam x \in X .

Toliau nurodytos funkcijos pavyzdys: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] nes y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 bet kuriam x \in [-1;1] .

Ribotasįprasta vadinti funkciją y=f(x), x \in X, kai egzistuoja skaičius K > 0, kuriam nelygybė \left | f(x) \dešinė | \neq K bet kuriam x \in X .

Pavyzdys ribota funkcija: y=\sin x yra ribojamas visoje skaičių eilutėje, nes \kairė | \sin x \right | \neq 1.

Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas

Įprasta kalbėti apie funkciją, kuri didėja nagrinėjamame intervale kaip didinanti funkcija kai didesnė x reikšmė atitiks didesnę funkcijos y=f(x) reikšmę. Iš čia paaiškėja, kad iš nagrinėjamo intervalo paėmus dvi savavališkas argumento x_(1) ir x_(2) reikšmes ir x_(1) > x_(2) , tai bus y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Funkcija, kuri mažėja nagrinėjamu intervalu, vadinama mažėjanti funkcija kai didesnė x reikšmė atitiks mažesnę funkcijos y(x) reikšmę. Iš čia paaiškėja, kad iš nagrinėjamo intervalo paėmus dvi savavališkas argumento x_(1) ir x_(2) reikšmes ir x_(1) > x_(2) , tai bus y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funkcijų šaknysįprasta įvardyti taškus, kuriuose funkcija F=y(x) kerta abscisių ašį (jie gaunami sprendžiant lygtį y(x)=0 ).

a) Jei lyginė funkcija didėja, kai x > 0, tada ji mažėja, kai x< 0

b) Kai lyginė funkcija sumažėja, kai x > 0, tada ji didėja, kai x< 0

c) Kai nelyginė funkcija didėja, kai x > 0, tada ji didėja ir x< 0

d) Kai nelyginė funkcija sumažėja, kai x > 0, tada ji taip pat mažės ir x< 0

Funkcijų kraštutinumai

Funkcijos minimalus taškas y=f(x) įprasta vadinti tokį tašką x=x_(0) , kuriame jo kaimynystėje bus kiti taškai (išskyrus tašką x=x_(0) ), o jiems tada nelygybė f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - funkcijos žymėjimas taške min.

Funkcijos maksimalus taškas y=f(x) įprasta vadinti tokį tašką x=x_(0) , kuriame jo kaimynystėje bus kiti taškai (išskyrus tašką x=x_(0) ), o tada nelygybė f(x) bus už juos patenkinti< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Būtina sąlyga

Pagal Ferma teoremą: f"(x)=0, tada, kai funkcija f(x) , kuri yra diferencijuojama taške x_(0) , šiame taške atsiras ekstremumas.

Pakankama būklė

1. Kai išvestinės ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, tada x_(0) bus minimalus taškas;
2. x_(0) - bus maksimalus taškas tik tada, kai išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą eidama per stacionarų tašką x_(0) .

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė intervale

Skaičiavimo žingsniai:

1. Ieškau išvestinės f"(x) ;
2. Surandami stacionarūs ir kritiniai funkcijos taškai bei parenkami intervalui priklausantys taškai;
3. Funkcijos f(x) reikšmės randamos stacionariuose ir kritiniuose taškuose bei atkarpos galuose. Mažiausias rezultatas bus mažiausia funkcijos reikšmė, ir dar - didžiausias.