Tęsiame pokalbį apie dažniausiai naudojamas trigonometrijos formules. Svarbiausios iš jų – sudėjimo formulės.
1 apibrėžimas
Sudėties formulės leidžia išreikšti skirtumo arba dviejų kampų sumos funkcijas naudojant šių kampų trigonometrines funkcijas.
Pirmiausia pristatysime visas sąrašas sudėjimo formules, tada jas įrodysime ir išanalizuosime keletą iliustruojančių pavyzdžių.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pagrindinės sudėjimo formulės trigonometrijoje
Yra aštuonios pagrindinės formulės: sumos sinusas ir dviejų kampų skirtumo sinusas, sumos ir skirtumo kosinusai, atitinkamai sumos ir skirtumo liestinės ir kotangentai. Žemiau pateikiamos jų standartinės formulės ir skaičiavimai.
1. Dviejų kampų sumos sinusą galima gauti taip:
Apskaičiuojame pirmojo kampo sinuso sandaugą iš antrojo kosinuso;
Pirmojo kampo kosinusą padauginkite iš pirmojo kampo sinuso;
Sudėkite gautas vertes.
Grafinis formulės užrašymas atrodo taip: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
2. Skirtumo sinusas apskaičiuojamas beveik taip pat, tik gautus produktus reikia ne sudėti, o atimti vieną iš kito. Taigi pirmojo kampo sinuso sandaugas apskaičiuojame antrojo kosinusu, o pirmojo kampo kosinusą – antrojo sinusu ir randame jų skirtumą. Formulė parašyta taip: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β
3. Sumos kosinusas. Jai pirmojo kampo kosinuso sandaugas randame atitinkamai antrojo kosinusu ir pirmojo kampo sinuso sandaugą antrojo sinusu ir randame jų skirtumą: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
4. Kosinuso skirtumas: apskaičiuojame duotųjų kampų sinusų ir kosinusų sandaugas, kaip ir anksčiau, ir sudedame. Formulė: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Sumos tangentas. Ši formulė išreiškiama trupmena, kurios skaitiklyje yra norimų kampų liestinių suma, o vardiklyje yra vienetas, iš kurio atimama norimų kampų liestinių sandauga. Viskas aišku iš jos grafinio užrašo: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β
6. Skirtumo liestinė. Apskaičiuojame šių kampų skirtumo reikšmes ir liestinių sandaugą ir su jais elgiamės panašiai. Vardiklyje pridedame prie vieneto, o ne atvirkščiai: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
7. Sumos kotangentas. Skaičiavimams naudojant šią formulę, mums reikia šių kampų sandaugos ir kotangentų sumos, su kuria elgiamės taip: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
8. Skirtumo kotangentas . Formulė yra panaši į ankstesnę, bet skaitiklyje ir vardiklyje - minusas, o ne plius c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.
Tikriausiai pastebėjote, kad šios formulės poromis panašios. Naudodami ženklus ± (pliusas-minusas) ir ∓ (minusas-pliusas), galime juos sugrupuoti, kad būtų lengviau žymėti:
nuodėmė (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β t 1 β c t g (α ± β) = – 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Atitinkamai turime vieną įrašymo formulę kiekvienos reikšmės sumai ir skirtumui, tiesiog vienu atveju atkreipiame dėmesį į viršutinį ženklą, kitu - į apatinį.
2 apibrėžimas
Galime paimti bet kokius kampus α ir β , jiems tiks kosinuso ir sinuso sudėjimo formulės. Jei galime teisingai nustatyti šių kampų liestinių ir kotangentų reikšmes, tada jiems taip pat galios tangento ir kotangento pridėjimo formulės.
Kaip ir dauguma algebros sąvokų, sudėjimo formules galima įrodyti. Pirmoji formulė, kurią įrodysime, yra skirtumo kosinuso formulė. Iš jo galite lengvai nustatyti likusius įrodymus.
Paaiškinkime pagrindines sąvokas. Mums reikia vieneto apskritimo. Tai paaiškės, jei paimsime tam tikrą tašką A ir pasuksime aplink centrą (tašką O) kampus α ir β. Tada kampas tarp vektorių O A 1 → ir O A → 2 bus lygus (α - β) + 2 π z arba 2 π - (α - β) + 2 π z (z yra bet koks sveikasis skaičius). Gauti vektoriai sudaro kampą, lygų α - β arba 2 π - (α - β) , arba jis gali skirtis nuo šių verčių sveikuoju pilnų apsisukimų skaičiumi. Pažvelkite į paveikslėlį:
Mes panaudojome redukcijos formules ir gavome tokius rezultatus:
cos ((α – β) + 2 π z) = cos (α – β) cos (2 π – (α – β) + 2 π z) = cos (α – β)
Apatinė eilutė: kampo tarp vektorių O A 1 → ir O A 2 → kosinusas lygus kampo α - β kosinusui, todėl cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .
Prisiminkite sinuso ir kosinuso apibrėžimus: sinusas yra kampo funkcija, lygi priešingo kampo kojos ir hipotenuzės santykiui, kosinusas yra papildomo kampo sinusas. Todėl taškai A 1 ir A2 turi koordinates (cos α , sin α) ir (cos β , sin β) .
Gauname šiuos dalykus:
O A 1 → = (cos α , sin α) ir O A 2 → = (cos β , sin β)
Jei neaišku, pažiūrėkite į vektorių pradžioje ir pabaigoje esančių taškų koordinates.
Vektorių ilgiai lygūs 1, nes mes turime vieną ratą.
Dabar panagrinėkime vektorių O A 1 → ir O A 2 → skaliarinę sandaugą. Koordinatėse tai atrodo taip:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β
Iš to galime išvesti lygybę:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Taigi įrodyta skirtumo kosinuso formulė.
Dabar įrodysime tokią formulę – sumos kosinusą. Tai lengviau, nes galime naudoti ankstesnius skaičiavimus. Paimkite atvaizdą α + β = α - (- β) . Mes turime:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Tai yra sumos kosinuso formulės įrodymas. Paskutinėje eilutėje naudojama priešingų kampų sinuso ir kosinuso savybė.
Sumos sinuso formulę galima išvesti iš skirtumo kosinuso formulės. Paimkime redukcijos formulę:
formos sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Taigi
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + nuodėmė (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Ir čia yra skirtumo sinuso formulės įrodymas:
nuodėmė (α - β) = nuodėmė (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Atkreipkite dėmesį į priešingų kampų sinuso ir kosinuso savybių naudojimą paskutiniame skaičiavime.
Toliau mums reikia tangento ir kotangento sudėjimo formulių įrodymų. Prisiminkime pagrindinius apibrėžimus (liestinė yra sinuso ir kosinuso santykis, o kotangentas yra atvirkščiai) ir paimkime iš anksto jau išvestas formules. Mes padarėme tai:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Mes turime sudėtingą trupmeną. Toliau jo skaitiklį ir vardiklį turime padalyti iš cos α cos β , atsižvelgiant į tai, kad cos α ≠ 0 ir cos β ≠ 0 , gauname:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α α cos cos β - sin α sin β cos α cos β
Dabar sumažiname trupmenas ir gauname tokios formos formulę: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Gavome t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Tai yra liestinės pridėjimo formulės įrodymas.
Kita formulė, kurią įrodysime, yra skirtumo liestinės formulė. Viskas aiškiai parodyta skaičiavimuose:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Kotangento formulės įrodomos panašiai:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = t g α c t g β c t g α + c t g β
Toliau:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β - c t g
Sudėties formulės naudojamos kampų a ir b sinusais ir kosinusais išreikšti funkcijų cos (a + b), cos (a-b), sin (a + b), sin (a-b) reikšmes.
Sinusų ir kosinusų sudėjimo formulės
Teorema: Bet kuriai a ir b lygybė yra teisinga cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).
Įrodykime šią teoremą. Apsvarstykite šį paveikslą:
Ant jo taškai Ma, M-b, M(a+b) gaunami sukant tašką Mo atitinkamai kampais a, -b ir a+b. Iš sinuso ir kosinuso apibrėžimų šių taškų koordinatės bus tokios: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+) b) (cos(a+ b);sin(a+b)). Kampas MoOM (a + b) \u003d kampas M-bOM, todėl trikampiai MoOM (a + b) ir M-bOM yra lygūs ir yra lygiašoniai. Taigi, bazės MoM (a-b) ir M-bMa taip pat yra lygios. Todėl (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę, gauname:
(1 – cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) – cos(a))^2 + (sin(-b) – sin(a) )^2.
sin(-a) = -sin(a) ir cos(-a) = cos(a). Pakeiskime savo lygybę, atsižvelgdami į šias formules ir sumos bei skirtumo kvadratą, tada:
1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.
Dabar taikome pagrindinę trigonometrinę tapatybę:
2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).
Pateikiame panašius ir sumažiname -2:
cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.
Taip pat galioja šios formulės:
- cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
- sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
- sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).
Šias formules galima gauti iš anksčiau įrodytos, naudojant redukcijos formules ir b pakeičiant -b. Liečiamiesiems ir kotangentams taip pat yra pridėjimo formulės, tačiau jos negalios jokiems argumentams.
Lietinių ir kotangentų pridėjimo formulės
Bet kuriam kampai a,b išskyrus a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n ir a+b =pi/2 +pi*m, bet kuriam sveikieji skaičiai k,n,m galios ši formulė:
tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
Bet kokiems kampams a,b, išskyrus a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n ir a-b =pi/2 +pi*m, bet kokiems sveikiesiems skaičiams k,n,m galios ši formulė :
tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).
Bet kokiems kampams a,b, išskyrus a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m ir bet kokiems sveikiesiems skaičiams k,n,m galios ši formulė:
ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).
Pateikiami santykiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina ir trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – daugiakampio funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per pusės kampo liestinę ir pan.
Šiame straipsnyje mes išvardinsime visus pagrindinius trigonometrines formules, kurių pakanka daugumai trigonometrijos problemų išspręsti. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles.
Puslapio naršymas.
Pagrindinės trigonometrinės tapatybės
Pagrindinis trigonometrinės tapatybės nustatyti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vieneto apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją per bet kurią kitą.
Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.
Liejamos formulės
Liejamos formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio tam tikru kampu savybę. Šios trigonometrinės formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkais kampais prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių.
Straipsnyje galima išnagrinėti šių formulių pagrindimą, mnemoninę taisyklę, kaip jas įsiminti, ir jų taikymo pavyzdžius.
Papildymo formulės
Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos šių kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra šių trigonometrinių formulių išvedimo pagrindas.
Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu
Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis.
Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampas .
Pusės kampo formulės
Pusės kampo formulės parodykite, kaip pusės kampo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos sveikojo kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės išplaukia iš formulių dvigubas kampas.
Jų išvadas ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.
Sumažinimo formulės
Trigonometrinės mažėjančių laipsnių formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralių trigonometrinių funkcijų galių prie sinusų ir kosinusų pirmojo laipsnio, bet kelių kampų. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios.
Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės
pagrindinė paskirties vieta trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės yra pereiti prie funkcijų sandaugos, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrinės išraiškos. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes leidžia apskaičiuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą.
Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės
Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules.
Universalus trigonometrinis pakeitimas
Pagrindinių trigonometrijos formulių apžvalgą užbaigiame formulėmis, išreiškiančiomis trigonometrines funkcijas pusės kampo liestinės atžvilgiu. Šis pakeitimas vadinamas universalus trigonometrinis pakeitimas. Jo patogumas slypi tuo, kad visos trigonometrinės funkcijos išreiškiamos pusės kampo liestine racionaliai be šaknų.
Bibliografija.
- Algebra: Proc. 9 ląstelėms. vid. mokykla / Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova; Red. S. A. Teljakovskis.- M.: Švietimas, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakovas M.I. Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. vid. mokykla – 3 leidimas. - M.: Švietimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 ląstelių. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorova.- 14 leid.- M.: Švietimas, 2004.- 384 p.: iliustr.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.
Autorių teisės priklauso protingiems studentams
Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia svetainės dalis, įskaitant vidinę medžiagą ir išorinį dizainą, negali būti atgaminta jokia forma arba naudojama be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.
Aš neįtikinsiu jūsų nerašyti apgaulės lapų. Rašyk! Įskaitant trigonometrijos sukčiavimo lapus. Vėliau planuoju paaiškinti, kam reikalingi cheat sheets ir kuo jie naudingi. O čia – informacija, kaip ne mokytis, o atsiminti kai kurias trigonometrines formules. Taigi - trigonometrija be cheat sheet!Įsiminimui naudojame asociacijas.
1. Sudėjimo formulės:
kosinusai visada „eina poromis“: kosinusas-kosinusas, sinusas-sinusas.
Ir dar vienas dalykas: kosinusai yra „neadekvatūs“. Jie „viskas negerai“, todėl keičia ženklus: „-“ į „+“ ir atvirkščiai.
Sinusai - "mišinys": sinusas-kosinusas, kosinusas-sinusas.
2. Sumos ir skirtumo formulės:
kosinusai visada „eina poromis“. Pridėję du kosinusus – „bandeles“, gauname porą kosinusų – „koloboks“. O atėmus kolobokų tikrai negausime. Gauname porą sinusų. Dar su minusu priekyje.
Sinusai - "mišinys" :
3. Formulės sandaugai paversti suma ir skirtumu.
Kada gauname kosinusų porą? Pridedant kosinusus. Štai kodėl
Kada gauname sinusų porą? Atimant kosinusus. Iš čia:
„Sumaišymas“ gaunamas tiek sudėjus, tiek atimant sinusus. Kas smagiau: pridėti ar atimti? Teisingai, sulenkite. O formulei pridėkite:
Pirmoje ir trečioje formulėse skliausteliuose – suma. Nuo terminų vietų pertvarkymo suma nesikeičia. Tvarka svarbi tik antrajai formulei. Tačiau, kad nesusipainiotumėte, kad būtų lengviau atsiminti, visose trijose formulėse pirmuosiuose skliaustuose imame skirtumą
ir, antra, suma
Lovytės paklodės kišenėje suteikia ramybės: jei pamiršite formulę, galite ją nurašyti. Ir jie suteikia pasitikėjimo: jei nepavyks pasinaudoti cheat sheet, formulės gali būti lengvai įsimenamos.
