Išanalizuosime dviejų tipų lygčių sistemų sprendimo būdus:
1. Sistemos sprendimas pakeitimo metodu.
2. Sistemos sprendimas sudedant (atimant) sistemos lygtis.
Siekiant išspręsti lygčių sistemą pakeitimo metodas turite laikytis paprasto algoritmo:
1. Išreiškiame. Iš bet kurios lygties išreiškiame vieną kintamąjį.
2. Pakaitalas. Vietoj išreikšto kintamojo, gautą reikšmę, pakeičiame kita lygtimi.
3. Gautą lygtį išsprendžiame vienu kintamuoju. Mes randame sistemos sprendimą.
Išspręsti sistema po termino pridėjimo (atėmimo) reikia:
1. Pasirinkite kintamąjį, kuriam darysime tuos pačius koeficientus.
2. Sudedame arba atimame lygtis, todėl gauname lygtį su vienu kintamuoju.
3. Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį. Mes randame sistemos sprendimą.
Sistemos sprendimas – funkcijos grafikų susikirtimo taškai.
Išsamiai apsvarstykime sistemų sprendimą naudodami pavyzdžius.
1 pavyzdys:
Išspręskime pakeitimo metodu
Lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu2x+5y=1 (1 lygtis)
x-10y = 3 (2 lygtis)
1. Išreikšti
Matyti, kad antroje lygtyje yra kintamasis x, kurio koeficientas yra 1, taigi paaiškėja, kad kintamąjį x lengviausia išreikšti iš antrosios lygties.
x=3+10m
2. Išreiškę pirmoje lygtyje vietoj kintamojo x pakeičiame 3 + 10y.
2(3+10m)+5m=1
3. Gautą lygtį išsprendžiame vienu kintamuoju.
2(3+10m)+5y=1 (atviri skliausteliai)
6+20m+5m=1
25m = 1-6
25 m = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Lygčių sistemos sprendimas yra grafikų susikirtimo taškai, todėl reikia rasti x ir y, nes susikirtimo taškas susideda iš x ir y. Raskime x, pirmoje pastraipoje, kurioje išreiškėme, ten pakeičiame y.
x=3+10m
x=3+10*(-0,2)=1
Įprasta pirmoje vietoje rašyti taškus, rašome kintamąjį x, o antroje – y.
Atsakymas: (1; -0,2)
2 pavyzdys:
Išspręskime terminų pridėjimu (atėmimu).
Lygčių sistemos sprendimas sudėjimo metodu3x-2y=1 (1 lygtis)
2x-3y = -10 (2 lygtis)
1. Pasirinkite kintamąjį, tarkime, kad pasirenkame x. Pirmoje lygtyje kintamasis x turi koeficientą 3, antroje - 2. Koeficientus turime padaryti vienodus, tam turime teisę padauginti lygtis arba padalyti iš bet kurio skaičiaus. Padauginkite pirmąją lygtį iš 2, o antrąją iš 3, kad gautumėte bendras santykis 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3m = -10 |*3
6x-9y=-30
2. Iš pirmosios lygties atimkite antrąją, kad atsikratytumėte kintamojo x. Išsprendžiame tiesinę lygtį.
__6x-4y=2
5m=32 | :5
y = 6,4
3. Raskite x. Rastą y pakeičiame bet kurioje lygtyje, tarkime, pirmoje lygtyje.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Susikirtimo taškas bus x=4,6; y = 6,4
Atsakymas: (4.6; 6.4)
Ar norite ruoštis egzaminams nemokamai? Mokytoja internete nemokamai. Nejuokauju.
Jūsų dėmesiui siūlomas nemokamas skaičiuotuvas turi gausų matematinių skaičiavimų galimybių arsenalą. Tai leidžia naudoti internetinį skaičiuotuvą įvairiose srityse veikla: edukacinis, profesionalus ir komercinis. Žinoma, ypač populiarus yra internetinės skaičiuoklės naudojimas studentai ir moksleiviai, jiems daug lengviau atlikti įvairius skaičiavimus.
Tačiau skaičiuotuvas gali būti naudingas įrankis kai kuriose verslo srityse ir skirtingų profesijų žmonėms. Žinoma, būtinybę naudoti skaičiuoklę versle ar darbe pirmiausia lemia pati veiklos rūšis. Jei verslas ir profesija siejami su nuolatiniais skaičiavimais ir skaičiavimais, tuomet verta išbandyti elektroninį skaičiuotuvą ir įvertinti jo naudingumo laipsnį konkrečiam verslui.
Šis internetinis skaičiuotuvas gali
- Teisingai vykdykite standartines matematines funkcijas, parašytas vienoje eilutėje, pvz. 12*3-(7/2) ir gali apdoroti didesnius skaičius, nei skaičiuojame didžiulius skaičius internetinėje skaičiuoklėje. Net nežinome, kaip teisingai paskambinti tokiu numeriu ( yra 34 simboliai ir tai nėra riba).
- Išskyrus liestinė, kosinusas, sinusas ir kitos standartinės funkcijos – skaičiuotuvas palaiko skaičiavimo operacijas lanko liestinė, lanko liestinė ir kiti.
- Yra arsenale logaritmus, faktorialai ir kitų šaunių funkcijų
- Šis internetinis skaičiuotuvas gali sudaryti diagramas!!!
Grafikams braižyti paslauga naudoja specialų mygtuką (braižomas pilkas grafikas) arba pažodinį šios funkcijos atvaizdavimą (Plot). Norėdami sukurti grafiką internetiniame skaičiuoklėje, tiesiog parašykite funkciją: plot(tan(x)),x=-360..360.
Mes paėmėme paprasčiausią liestinės diagramą ir po kablelio nurodėme X kintamojo diapazoną nuo -360 iki 360.
Galite sukurti absoliučiai bet kokią funkciją su bet kokiu kintamųjų skaičiumi, pavyzdžiui: diagrama(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) Arba dar sudėtingesnis, nei galite pagalvoti. Atkreipiame dėmesį į kintamojo X elgesį – intervalas nuo ir iki nurodomas naudojant du taškus.
Vienintelis neigiamas dalykas (nors sunku tai pavadinti neigiamu). internetinis skaičiuotuvas tai jis nemoka statyti rutulių ir kitų trimačių figūrų – tik plokštumą.
Kaip dirbti su matematikos skaičiuokle
1. Ekrane (skaičiuotuvo ekrane) įvesta išraiška ir jos skaičiavimo rezultatas rodomas įprastais simboliais, kaip rašome ant popieriaus. Šis laukas skirtas tiesiog dabartinei operacijai peržiūrėti. Įrašas rodomas ekrane, kai įvedate matematinę išraišką įvesties eilutėje.
2. Išraiškos įvesties laukas skirtas skaičiuojamai išraiškai rašyti. Čia reikia pastebėti, kad kompiuterinėse programose naudojami matematiniai simboliai ne visada sutampa su tais, kuriuos dažniausiai naudojame popieriuje. Kiekvienos skaičiuotuvo funkcijos apžvalgoje rasite tinkamą konkrečios operacijos pavadinimą ir skaičiavimų pavyzdžius skaičiuoklėje. Šiame puslapyje žemiau pateikiamas visų galimų skaičiuotuvo operacijų sąrašas, taip pat nurodant teisingą jų rašybą.
3. Įrankių juosta – tai skaičiuotuvo mygtukai, pakeičiantys rankinį matematinių simbolių, nurodančių atitinkamą operaciją, įvedimą. Kai kurie skaičiuotuvo mygtukai (papildomos funkcijos, vienetų keitiklis, matricų ir lygčių sprendimas, grafikai) užduočių juostą papildo naujais laukeliais, kuriuose įvedami duomenys konkrečiam skaičiavimui. Lauke „Istorija“ yra matematinių išraiškų rašymo pavyzdžių ir šeši naujausi jūsų įrašai.
Atkreipkite dėmesį, kad paspaudus papildomų funkcijų iškvietimo mygtukus, reikšmių keitiklį, sprendžiant matricas ir lygtis, braižant grafikus, visas skaičiuoklės skydelis pasislenka aukštyn, uždengdamas dalį ekrano. Užpildykite reikiamus laukus ir paspauskite mygtuką „I“ (paveikslėlyje paryškintas raudonai), kad pamatytumėte viso dydžio ekraną.
4. Skaičių klaviatūroje yra skaičiai ir aritmetiniai ženklai. Mygtukas „C“ ištrina visą įrašą išraiškos įvesties lauke. Norėdami ištrinti simbolius po vieną, turite naudoti rodyklę įvesties eilutės dešinėje.
Stenkitės visada uždaryti skliaustus išraiškos pabaigoje. Daugeliui operacijų tai nėra kritiška, internetinis skaičiuotuvas viską apskaičiuos teisingai. Tačiau kai kuriais atvejais galimos klaidos. Pavyzdžiui, kai didinama iki trupmeninės laipsnio, dėl neuždarytų skliaustų laipsnio trupmenos vardiklis pereis į bazės vardiklį. Ekrane uždarymo skliaustas pažymėtas šviesiai pilka spalva, jis turi būti uždarytas baigus įrašymą.
| Raktas | Simbolis | Operacija |
|---|---|---|
| pi | pi | pastovus pi |
| e | e | Eulerio numeris |
| % | % | proc |
| () | () | Atidaryti/uždaryti skliaustus |
| , | , | Kablelis |
| nuodėmė | nuodėmė (?) | Kampo sinusas |
| cos | cos (?) | Kosinusas |
| įdegis | įdegis (y) | Tangentas |
| sinh | sinh () | Hiperbolinis sinusas |
| grynųjų pinigų | cosh () | Hiperbolinis kosinusas |
| tanh | tanh() | Hiperbolinė tangentė |
| nuodėmė-1 | asin () | Atvirkštinis sinusas |
| cos-1 | acos () | atvirkštinis kosinusas |
| įdegis-1 | įdegis() | atvirkštinė liestinė |
| sinh-1 | asinh () | Atvirkštinis hiperbolinis sinusas |
| cosh-1 | acosh () | Atvirkštinis hiperbolinis kosinusas |
| tanh-1 | atanh () | Atvirkštinė hiperbolinė tangentė |
| x2 | ^2 | Kvadratavimas |
| x 3 | ^3 | kubas |
| x y | ^ | Eksponentiškumas |
| 10 x | 10^() | Eksponentinis koeficientas 10 bazėje |
| e x | exp () | Eulerio skaičiaus didinimas |
| vx | sqrt (x) | Kvadratinė šaknis |
| 3vx | sqrt3(x) | 3 laipsnio šaknis |
| yvx | kvadratas (x, y) | šaknų ištraukimas |
| rąstas 2 x | log2(x) | dvejetainis logaritmas |
| žurnalas | žurnalas (x) | Dešimtainis logaritmas |
| ln | žurnalas (x) | natūralusis logaritmas |
| log y x | log(x,y) | Logaritmas |
| I/II | Sumažinti / iškviesti papildomas funkcijas | |
| vienetas | Vienetų keitiklis | |
| matrica | matricos | |
| išspręsti | Lygtys ir lygčių sistemos | |
| Braižybos | ||
| Papildomos funkcijos (skambinti mygtuku II) | ||
| mod | mod | Padalijimas su likusia dalimi |
| ! | ! | Faktorinis |
| i/j | i/j | įsivaizduojamas vienetas |
| Re | Re() | Visos tikrosios dalies pasirinkimas |
| Aš | Aš() | Realios dalies pašalinimas |
| |x| | abs () | Absoliuti skaičiaus reikšmė |
| Arg | arg() | Funkcijos argumentas |
| nCr | ncr() | Binominis koeficientas |
| gcd | gcd () | GCD |
| lcm | lcm() | NOC |
| suma | suma() | Visų sprendimų suma |
| fac | faktorizuoti () | Pirminis faktorizavimas |
| skirt | diff() | Diferencijavimas |
| Deg | laipsnių | |
| Rad | radianų | |
I. kirvis 2 \u003d 0 – Nebaigtas kvadratinė lygtis (b = 0, c = 0 ). Sprendimas: x=0. Atsakymas: 0.
Išspręskite lygtis.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
Sprendimas. Išplėskite skliaustus padaugindami 2x kiekvienam terminui skliausteliuose:
2x2 +6x=6x-x2 ; terminų perkėlimas iš dešinės į kairę:
2x2 +6x-6x+x2=0; Čia yra panašūs terminai:
3x 2 = 0, taigi x = 0.
Atsakymas: 0.
II. ax2+bx=0 –Nebaigtas kvadratinė lygtis (s = 0 ). Sprendimas: x (ax+b)=0 → x 1 =0 arba ax+b=0 → x 2 =-b/a. Atsakymas: 0; -b/a.
5x2 -26x=0.
Sprendimas. Išimkite bendrą veiksnį X skliausteliuose:
x(5x-26)=0; kiekvienas koeficientas gali būti lygus nuliui:
x=0 arba 5x-26=0→ 5x=26, padalykite abi lygybės puses iš 5 ir gauname: x \u003d 5.2.
Atsakymas: 0; 5,2.
3 pavyzdys 64x+4x2=0.
Sprendimas. Išimkite bendrą veiksnį 4x skliausteliuose:
4x(16+x)=0. Mes turime tris veiksnius, 4≠0, todėl arba x=0 arba 16+x=0. Iš paskutinės lygybės gauname x=-16.
Atsakymas: -16; 0.
4 pavyzdys(x-3) 2 + 5x = 9.
Sprendimas. Taikydami dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulę, atidarykite skliaustus:
x 2 -6x+9+5x=9; transformuoti į formą: x 2 -6x+9+5x-9=0; Čia yra panašūs terminai:
x2-x=0; kentėti X už skliaustų gauname: x (x-1)=0. Iš čia arba x=0 arba x-1=0→ x=1.
Atsakymas: 0; 1.
III. ax2+c=0 –Nebaigtas kvadratinė lygtis (b = 0 ); Sprendimas: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
Jeigu (-c/a)<0 , tada nėra tikrų šaknų. Jeigu (-s/a)>0
5 pavyzdys x 2 -49=0.
Sprendimas.
x 2 \u003d 49, iš čia x=±7. Atsakymas:-7; 7.
6 pavyzdys 9x2-4=0.
Sprendimas.
Dažnai reikia rasti kvadratinės lygties šaknų kvadratų sumą (x 1 2 + x 2 2) arba kubelių sumą (x 1 3 + x 2 3), rečiau - atvirkštinių dydžių sumą. šaknų kvadratai arba aritmetikos suma kvadratinės šaknys iš kvadratinės lygties šaknų:
Vietos teorema gali padėti:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Express per p ir q:
1) lygties šaknų kvadratų suma x2+px+q=0;
2) lygties šaknų kubelių suma x2+px+q=0.
Sprendimas.
1) Išraiška x 1 2 + x 2 2 gautas padalijus abi lygties puses kvadratu x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 + x 2) 2 \u003d (-p) 2; atidarykite skliaustus: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; išreiškiame norimą sumą: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Turime naudingą lygtį: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) Išraiška x 1 3 + x 2 3 pavaizduoti pagal kubų sumos formulę tokia forma:
(x 1 3 + x 2 3)=(x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2) = -p (p 2 -2q-q) = -p (p 2 -3 q ).
Kita naudinga lygtis: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
Pavyzdžiai.
3) x 2 -3x-4=0. Neišsprendę lygties, apskaičiuokite išraiškos reikšmę x 1 2 + x 2 2.
Sprendimas.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, ir darbas x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d1 pavyzdyje) lygybė:
x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q. Mes turime -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Tada x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
Atsakymas: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4 = 0. Apskaičiuokite: x 1 3 +x 2 3 .
Sprendimas.
Pagal Vietos teoremą, šios sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, ir darbas x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d- keturi. Taikome tai, ką gavome ( 2 pavyzdyje) lygybė: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4)) = 2 (4 + 12) = 2 16 = 32.
Atsakymas: x 1 3 + x 2 3 =32.
Klausimas: o kas, jei mums būtų pateikta neredukuota kvadratinė lygtis? Atsakymas: jį visada galima „sumažinti“ dalijant terminą iš pirmojo koeficiento.
5) 2x2 -5x-7=0. Neišsprendę apskaičiuokite: x 1 2 + x 2 2.
Sprendimas. Mums duota visa kvadratinė lygtis. Padalinkite abi lygties puses iš 2 (pirmasis koeficientas) ir gaukite tokią kvadratinę lygtį: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.
Pagal Vietos teoremą šaknų suma yra 2,5 ; šaknų produktas yra -3,5 .
Mes sprendžiame taip pat, kaip pavyzdys 3) naudojant lygybę: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Atsakymas: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0. Rasti:
Transformuokime šią lygybę ir, pakeisdami Vietos teoremos šaknų sumą, -p, o šaknų produktas per q, gauname dar vieną naudingą formulę. Išvesdami formulę naudojome lygybę 1): x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
Mūsų pavyzdyje x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Pakeiskite šias reikšmes į gautą formulę:
7) x 2 -13x+36=0. Rasti:
Transformuokime šią sumą ir gaukime formulę, pagal kurią iš kvadratinės lygties šaknų bus galima rasti aritmetinių kvadratinių šaknų sumą.
Mes turime x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d 36. Pakeiskite šias reikšmes į gautą formulę:
Patarimas : visada patikrinkite galimybę rasti kvadratinės lygties šaknis pagal tinkamas būdas, po visko 4 peržiūrėta naudingos formulės leidžia greitai atlikti užduotį, visų pirma tais atvejais, kai diskriminantas yra „nepatogus“ skaičius. Visais paprastais atvejais suraskite šaknis ir jas operuokite. Pavyzdžiui, paskutiniame pavyzdyje šaknis pasirenkame naudodami Vieta teoremą: šaknų suma turi būti lygi 13 , ir šaknų produktas 36 . Kokie tai skaičiai? Žinoma, 4 ir 9. Dabar apskaičiuokite šių skaičių kvadratinių šaknų sumą: 2+3=5. Viskas!
I. Vietos teorema sumažintai kvadratinei lygčiai.
Sumažintos kvadratinės lygties šaknų suma x 2 +px+q=0 yra lygus antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Raskite duotosios kvadratinės lygties šaknis naudodami Vietos teoremą.
1 pavyzdys) x 2 -x-30=0. Tai yra sumažinta kvadratinė lygtis ( x 2 +px+q=0), antrasis koeficientas p=-1, ir laisvas terminas q=-30. Pirmiausia įsitikinkite, kad duota lygtis turi šaknis ir kad šaknys (jei yra) bus išreikštos sveikaisiais skaičiais. Tam pakanka, kad diskriminantas būtų pilna aikštė visas skaičius.
Diskriminanto radimas D=b 2 – 4ac=(-1) 2 –4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Dabar pagal Vietos teoremą šaknų suma turi būti lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, t.y. ( -p), o prekė lygi laisvam terminui, t.y. ( q). Tada:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Turime pasirinkti tokius du skaičius, kad jų sandauga būtų lygi -30 , o suma yra vienetas. Tai yra skaičiai -5 ir 6 . Atsakymas: -5; 6.
2 pavyzdys) x 2 +6x+8=0. Turime sumažintą kvadratinę lygtį su antruoju koeficientu p=6 ir nemokamas narys q=8. Įsitikinkite, kad yra sveikųjų skaičių šaknų. Raskime diskriminantą D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminantas D 1 yra tobulas skaičiaus kvadratas 1 , todėl šios lygties šaknys yra sveikieji skaičiai. Šaknis pasirenkame pagal Vietos teoremą: šaknų suma lygi –p=-6, o šaknų produktas yra q=8. Tai yra skaičiai -4 ir -2 .
Iš tikrųjų: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Atsakymas: -4; -2.
3 pavyzdys) x 2 +2x-4=0. Šioje sumažintoje kvadratinėje lygtyje antrasis koeficientas p=2, ir laisvas terminas q=-4. Raskime diskriminantą D1, nes antrasis koeficientas yra lyginis skaičius. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminantas nėra tobulas skaičiaus kvadratas, todėl mes tai darome išvada: šios lygties šaknys nėra sveikieji skaičiai ir jų negalima rasti naudojant Vietos teoremą. Taigi, kaip įprasta, šią lygtį išsprendžiame pagal formules (in Ši byla formulės). Mes gauname:
4 pavyzdys). Parašykite kvadratinę lygtį naudodami jos šaknis, jei x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Sprendimas. Norima lygtis bus parašyta tokia forma: x 2 +px+q=0, be to, remiantis Vieta teorema –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 . Tada lygtis bus tokia: x2 +3x-28=0.
5 pavyzdys). Parašykite kvadratinę lygtį naudodami jos šaknis, jei:
II. Vietos teorema pilnai kvadratinei lygčiai ax2+bx+c=0.
Šaknų suma yra minusas b padalytą a, šaknų produktas yra Su padalytą a:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
6 pavyzdys). Raskite kvadratinės lygties šaknų sumą 2x2 -7x-11=0.
Sprendimas.
Esame įsitikinę, kad ši lygtis turės šaknis. Tam pakanka parašyti diskriminanto išraišką ir jo neskaičiuojant tik įsitikinti, kad diskriminantas yra didesnis už nulį. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . O dabar naudokimės teorema Vieta pilnosioms kvadratinėms lygtims.
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
7 pavyzdys). Raskite kvadratinės lygties šaknų sandaugą 3x2 +8x-21=0.
Sprendimas.
Raskime diskriminantą D1, nuo antrojo koeficiento ( 8 ) yra lyginis skaičius. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Kvadratinė lygtis turi 2 šaknis, pagal Vietos teoremą, šaknų sandauga x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. ax 2 +bx+c=0 yra bendroji kvadratinė lygtis
Diskriminuojantis D=b 2 - 4ac.
Jeigu D>0, tada turime dvi tikras šaknis:
Jeigu D=0, tada turime vieną šaknį (arba dvi lygias šaknis) x=-b/(2a).
Jeigu D<0, то действительных корней нет.
Pavyzdys 1) 2x2 +5x-3=0.
Sprendimas. a=2; b=5; c=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 tikros šaknys.
4x2 +21x+5=0.
Sprendimas. a=4; b=21; c=5.
D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 tikros šaknys.
II. ax2+bx+c=0 – specialioji kvadratinė lygtis lygiai sekundei
koeficientas b
Pavyzdys 3) 3x2 -10x+3=0.
Sprendimas. a=3; b\u003d -10 (lyginis skaičius); c=3.
4 pavyzdys) 5x2-14x-3=0.
Sprendimas. a=5; b= -14 (lyginis skaičius); c=-3.
5 pavyzdys) 71x2 +144x+4=0.
Sprendimas. a=71; b=144 (lyginis skaičius); c=4.
6 pavyzdys) 9x2 -30x+25=0.
Sprendimas. a=9; b\u003d -30 (lyginis skaičius); c=25.
III. ax2+bx+c=0 – kvadratinė lygtis privatus tipas, suteikiamas: a-b+c=0.
Pirmoji šaknis visada yra minusas, o antroji šaknis minusas Su padalytą a:
x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.
7 pavyzdys) 2x2+9x+7=0.
Sprendimas. a=2; b=9; c=7. Patikrinkime lygybę: a-b+c=0. Mes gauname: 2-9+7=0 .
Tada x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a = -7 / 2 \u003d -3,5. Atsakymas: -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – tam tikros formos kvadratinė lygtis pagal sąlygą : a+b+c=0.
Pirmoji šaknis visada lygi vienetui, o antroji – lygi Su padalytą a:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.
8 pavyzdys) 2x2 -9x+7=0.
Sprendimas. a=2; b=-9; c=7. Patikrinkime lygybę: a+b+c=0. Mes gauname: 2-9+7=0 .
Tada x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a = 7/2 \u003d 3,5. Atsakymas: 1; 3,5.
1 puslapis iš 1 1
Kvadratinės lygtys tiriamos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sudėtingo. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.
Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a , b ir c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.
Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, pažymime, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:
- Neturi šaknų;
- Jie turi tiksliai vieną šaknį;
- Jie turi dvi skirtingas šaknis.
Tai yra svarbus skirtumas tarp kvadratinių ir tiesinių lygčių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.
Diskriminuojantis
Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0. Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac .
Šią formulę reikia žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Kitas dalykas yra svarbus: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:
- Jeigu D< 0, корней нет;
- Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
- Jei D > 0, bus dvi šaknys.
Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų ženklus, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis galvoja. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:
Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Rašome pirmosios lygties koeficientus ir randame diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Taigi, diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame taip pat:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė lygtis išlieka:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminuojantis nulis- šaknis bus viena.
Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienai lygčiai buvo parašyti koeficientai. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus – bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.
Beje, jei „užpildysi ranką“, po kurio laiko nebereikės išrašyti visų koeficientų. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50-70 išspręstų lygčių – apskritai ne tiek daug.
Kvadratinės lygties šaknys
Dabar pereikime prie sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:
Pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė
Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Pirmoji lygtis:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:
Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]
Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:
Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda, kai į formulę pakeičiami neigiami koeficientai. Čia vėlgi padės aukščiau aprašyta technika: pažvelkite į formulę pažodžiui, nudažykite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratykite klaidų.
Nebaigtos kvadratinės lygtys
Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:
- x2 + 9x = 0;
- x2 – 16 = 0.
Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi pristatykime naują koncepciją:
Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.
Žinoma, įmanomas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai yra lygūs nuliui: b \u003d c \u003d 0. Šiuo atveju lygtis yra ax 2 \u003d 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknis: x \u003d 0.
Panagrinėkime kitus atvejus. Tegu b \u003d 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 + c \u003d 0. Šiek tiek transformuokime ją:
Kadangi aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus, paskutinė lygybė turi prasmę tik tada, kai (−c / a ) ≥ 0. Išvada:
- Jei nepilna kvadratinė lygtis formos ax 2 + c = 0 tenkina nelygybę (−c / a ) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
- Jei (-c / a )< 0, корней нет.
Kaip matote, diskriminantas nebuvo reikalingas - nepilnas kvadratines lygtis jokių sudėtingų skaičiavimų. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c / a ) ≥ 0. Pakanka išreikšti x 2 reikšmę ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jeigu ten teigiamas skaičius bus dvi šaknys. Jei neigiamas, šaknų iš viso nebus.
Dabar panagrinėkime ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka daugianarį koeficientuoti:
Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustųProduktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, mes išanalizuosime kelias iš šių lygčių:
Užduotis. Išspręskite kvadratines lygtis:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nėra šaknų, nes kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
