Kaip rasti LCM (mažiausias bendras kartotinis)

Bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis yra sveikasis skaičius, kuris be liekanos dalijasi tolygiai iš abiejų pateiktų skaičių.

Mažiausias dviejų sveikųjų skaičių bendras kartotinis yra mažiausias iš visų sveikųjų skaičių, kuris tolygiai ir be liekanos dalijasi iš abiejų pateiktų skaičių.

1 būdas. Savo ruožtu galite rasti kiekvieno iš pateiktų skaičių LCM, didėjančia tvarka užrašydami visus skaičius, gautus padauginus juos iš 1, 2, 3, 4 ir pan.

Pavyzdys 6 ir 9 numeriams.
Skaičius 6 padauginame iš eilės iš 1, 2, 3, 4, 5.
Mes gauname: 6, 12, 18 , 24, 30
Skaičius 9 padauginame iš eilės iš 1, 2, 3, 4, 5.
Mes gauname: 9, 18 , 27, 36, 45
Kaip matote, 6 ir 9 skaičių LCM bus 18.

Šis metodas yra patogus, kai abu skaičiai yra maži ir juos lengva padauginti iš sveikųjų skaičių sekos. Tačiau yra atvejų, kai reikia rasti LCM dviženkliams ar triženkliams skaičiams, taip pat kai yra trys ar net daugiau pradinių skaičių.

2 būdas. LCM galite rasti išskaidę pradinius skaičius į pirminius veiksnius.
Po suskaidymo būtina ištrinti iš gautų eilučių pagrindiniai veiksniai tie patys skaičiai. Likę pirmojo skaičiaus skaičiai bus antrojo koeficientas, o likę antrojo skaičiaus skaičiai bus pirmojo skaičiaus koeficientas.

Pavyzdys 75 ir 60 numeriams.
Mažiausias bendras skaičių 75 ir 60 kartotinis gali būti rastas neišrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, 75 ir 60 išskaidome į pirminius veiksnius:
75 = 3 * 5 * 5 ir
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kaip matote, 3 ir 5 faktoriai atsiranda abiejose eilutėse. Protiškai mes juos „perbraukiame“.
Užrašykime likusius veiksnius, įtrauktus į kiekvieno iš šių skaičių išplėtimą. Išskaidydami skaičių 75 palikome skaičių 5, o išskaidydami skaičių 60 palikome 2 * 2
Taigi, norėdami nustatyti skaičių 75 ir 60 LCM, turime padauginti likusius skaičius iš 75 išplėtimo (tai yra 5) iš 60, o skaičius, likusius po skaičiaus 60 išplėtimo (tai yra 2 * 2 ) padauginkite iš 75. Tai yra, kad būtų lengviau suprasti , sakome, kad dauginame „skersai“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Taip radome skaičių 60 ir 75 LCM. Tai skaičius 300.

Pavyzdys. Nustatykite skaičių 12, 16, 24 LCM
Tokiu atveju mūsų veiksmai bus šiek tiek sudėtingesni. Bet pirmiausia, kaip visada, visus skaičius išskaidome į pirminius veiksnius
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Norėdami teisingai nustatyti LCM, pasirenkame mažiausią iš visų skaičių (tai yra skaičius 12) ir paeiliui peržiūrime jo veiksnius, juos perbraukdami, jei bent vienoje iš kitų skaičių eilučių yra toks pat daugiklis, kuris dar nebuvo perbrauktas. išeiti.

1 žingsnis . Matome, kad 2 * 2 pasitaiko visose skaičių serijose. Juos išbraukiame.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2 veiksmas. Skaičiaus 12 pirminiuose veiksniuose lieka tik skaičius 3. Tačiau jis yra pirminiuose skaičiaus 24 veiksniuose. Skaičius 3 išbraukiame iš abiejų eilučių, o su skaičiumi 16 veiksmų nesitikima .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kaip matote, išskaidydami skaičių 12 mes „nubraukėme“ visus skaičius. Taigi NOC paieška baigta. Belieka tik apskaičiuoti jo vertę.
Skaičiui 12 paimame likusius veiksnius iš skaičiaus 16 (artimiausią didėjimo tvarka)
12 * 2 * 2 = 48
Tai yra NOC

Kaip matote, šiuo atveju rasti LCM buvo šiek tiek sunkiau, bet kai reikia jį rasti trims ar daugiau numerių, šis metodas leidžia tai padaryti greičiau. Tačiau abu būdai rasti LCM yra teisingi.

Mokiniams pateikiama daug matematikos užduočių. Tarp jų labai dažnai yra užduočių su tokia formuluote: yra dvi reikšmės. Kaip rasti mažiausią bendrąjį duotųjų skaičių kartotinį? Būtina mokėti atlikti tokias užduotis, nes įgyti įgūdžiai naudojami dirbant su trupmenomis, kai skirtingus vardiklius. Straipsnyje analizuosime, kaip rasti LCM ir pagrindines sąvokas.

Prieš rasdami atsakymą į klausimą, kaip rasti LCM, turite apibrėžti terminą "daugelis".. Dažniausiai šios sąvokos formuluotė yra tokia: kokios nors reikšmės A kartotinis yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš A be liekanos. Taigi 4, 8, 12, 16, 20 ir pan. būtina riba.

Šiuo atveju tam tikros reikšmės daliklių skaičius gali būti ribojamas, o kartotinių yra be galo daug. Ta pati vertė yra ir gamtos vertybėms. Tai rodiklis, kurį jie dalija be liekanos. Išnagrinėję tam tikrų rodiklių mažiausios vertės sąvoką, pereikime prie to, kaip ją rasti.

NOC radimas

Mažiausias dviejų ar daugiau eksponentų kartotinis yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris visiškai dalijasi iš visų nurodytų skaičių.

Yra keletas būdų, kaip rasti tokią vertę. Panagrinėkime šiuos metodus:

1. Jei skaičiai maži, įrašykite visus iš jo dalijamus eilutę. Tęskite tai, kol tarp jų rasite ką nors bendro. Įraše jie žymimi raide K. Pavyzdžiui, 4 ir 3 mažiausias kartotinis yra 12.
2. Jei jie yra dideli arba jums reikia rasti 3 ar daugiau reikšmių kartotinį, čia turėtumėte naudoti kitą metodą, kuris apima skaičių skaidymą į pirminius veiksnius. Pirmiausia išdėliokite didžiausią iš nurodytų, tada visus likusius. Kiekvienas iš jų turi savo skaičių daugiklių. Pavyzdžiui, išskaidykime 20 (2*2*5) ir 50 (5*5*2). Mažesniems iš jų pabraukite veiksnius ir pridėkite prie didžiausio. Rezultatas bus 100, o tai bus mažiausias pirmiau minėtų skaičių bendras kartotinis.
3. Radus 3 skaičius (16, 24 ir 36), principai yra tokie patys kaip ir kitų dviejų. Išplėskime kiekvieną iš jų: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Į didžiausių išskaidymą nepateko tik du dvejetai iš skaičiaus 16 išplėtimo. Sudedame juos ir gauname 144, tai yra mažiausias rezultatas pagal anksčiau nurodytas skaitines reikšmes.

Dabar žinome, kokia yra bendroji dviejų, trijų ar daugiau verčių mažiausios vertės nustatymo metodika. Tačiau yra ir privačių metodų, padeda ieškoti NOC, jei ankstesni nepadeda.

Kaip rasti GCD ir NOC.

Privatūs paieškos būdai

Kaip ir bet kurioje matematinėje dalyje, yra specialių atvejų, kai galima rasti LCM, kurie padeda konkrečiose situacijose:

• jei vienas iš skaičių dalijasi iš kitų be liekanos, tai mažiausias šių skaičių kartotinis jam lygus (NOC 60 ir 15 lygus 15);
• Kopirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių daliklių. Mažiausia jų reikšmė lygi šių skaičių sandaugai. Taigi skaičiams 7 ir 8 tai bus 56;
• ta pati taisyklė galioja ir kitais atvejais, įskaitant specialiuosius, apie kuriuos galima pasiskaityti specializuotoje literatūroje. Tai taip pat turėtų apimti sudėtinių skaičių išskaidymo atvejus, apie kuriuos rašomi atskiri straipsniai ir net daktaro disertacijos.

Ypatingi atvejai yra mažiau paplitę nei standartiniai pavyzdžiai. Tačiau jų dėka galite išmokti dirbti su įvairaus sudėtingumo trupmenomis. Tai ypač pasakytina apie trupmenas., kur yra skirtingi vardikliai.

Kai kurie pavyzdžiai

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kurių dėka galite suprasti mažiausio kartotinio radimo principą:

1. Randame LCM (35; 40). Iš pradžių išdėstome 35 = 5 * 7, tada 40 = 5 * 8. Prie mažiausio skaičiaus pridedame 8 ir gauname NOC 280.
2. NOC (45; 54). Išdėliojame kiekvieną iš jų: 45 = 3*3*5 ir 54 = 3*3*6. Prie 45 pridedame skaičių 6. Gauname NOC lygų 270.
3. Na, paskutinis pavyzdys. Yra 5 ir 4. Paprastų jų kartotinių nėra, todėl mažiausias bendras kartotinis šiuo atveju bus jų sandauga, lygi 20.

Pavyzdžių dėka galite suprasti, kaip yra NOC, kokie yra niuansai ir kokia yra tokių manipuliacijų prasmė.

Rasti NOC yra daug lengviau, nei gali atrodyti iš pradžių. Tam naudojamas ir paprastas išskaidymas, ir paprastų reikšmių dauginimas viena iš kitos.. Gebėjimas dirbti su šia matematikos dalimi padeda toliau mokytis matematines temas, ypač įvairaus sudėtingumo frakcijos.

Nepamirškite periodiškai spręsti pavyzdžių įvairiais metodais, tai lavina loginį aparatą ir leidžia atsiminti daugybę terminų. Išmokite metodus, kaip rasti tokį rodiklį, ir galėsite gerai dirbti su likusiais matematiniais skyriais. Sėkmės mokantis matematikos!

Vaizdo įrašas

Šis vaizdo įrašas padės suprasti ir prisiminti, kaip rasti mažiausią bendrąjį kartotinį.

Apsvarstykite tris būdus, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį.

Faktoringo nustatymas

Pirmasis būdas yra rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, įtraukiant pateiktus skaičius į pirminius veiksnius.

Tarkime, kad turime rasti skaičių LCM: 99, 30 ir 28. Norėdami tai padaryti, kiekvieną iš šių skaičių išskaidome į pirminius veiksnius:

Kad norimas skaičius dalytųsi iš 99, 30 ir 28, būtina ir pakanka, kad į jį būtų įtraukti visi pirminiai šių daliklių koeficientai. Norėdami tai padaryti, turime paimti visus pirminius šių skaičių veiksnius iki didžiausios galios ir padauginti juos kartu:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Taigi LCM (99, 30, 28) = 13 860. Joks kitas skaičius, mažesnis nei 13 860, nėra tolygiai dalijamas iš 99, 30 arba 28.

Norėdami rasti mažiausią bendrąjį nurodytų skaičių kartotinį, turite juos išskaidyti į pirminius veiksnius, tada paimti kiekvieną pirminį koeficientą su didžiausiu rodikliu, su kuriuo jis atsiranda, ir padauginti šiuos veiksnius kartu.

Kadangi pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių koeficientų, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai. Pavyzdžiui, trys skaičiai: 20, 49 ir ​​33 yra pirminiai. Štai kodėl

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

Tą patį reikėtų daryti ir ieškant mažiausiojo bendro įvairių kartotinių pirminiai skaičiai. Pavyzdžiui, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Rasti atrankos būdu

Antrasis būdas – derinant surasti mažiausią bendrą kartotinį.

1 pavyzdys. Kai didžiausias iš pateiktų skaičių dalijasi iš kitų duotųjų skaičių, tai šių skaičių LCM yra lygus didesniajam iš jų. Pavyzdžiui, duoti keturi skaičiai: 60, 30, 10 ir 6. Kiekvienas iš jų dalijasi iš 60, todėl:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

Kitais atvejais, norint rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojama tokia procedūra:

1. Iš pateiktų skaičių nustatykite didžiausią skaičių.
2. Toliau randame skaičius, kurie yra didžiausio skaičiaus kartotiniai, padauginame jį iš natūraliųjų skaičių didėjančia tvarka ir patikriname, ar likę pateikti skaičiai dalijasi iš gautos sandaugos.

2 pavyzdys. Duoti trys skaičiai 24, 3 ir 18. Nustatykite didžiausią iš jų – tai skaičius 24. Tada suraskite skaičius, kurie yra 24 kartotiniai, patikrindami, ar kiekvienas iš jų dalijasi iš 18 ir iš 3:

24 1 = 24 dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 18.

24 2 = 48 – dalijasi iš 3, bet nesidali iš 18.

24 3 \u003d 72 - dalijasi iš 3 ir 18.

Taigi LCM(24, 3, 18) = 72.

Ieškoti pagal nuoseklųjį radinį LCM

Trečias būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, paeiliui surandant LCM.

Dviejų pateiktų skaičių LCM yra lygi šių skaičių sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro daliklio.

1 pavyzdys. Raskite dviejų nurodytų skaičių LCM: 12 ir 8. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (12, 8) = 4. Padauginkite šiuos skaičius:

Mes suskirstome produktą į jų GCD:

Taigi LCM(12, 8) = 24.

Norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, naudojama tokia procedūra:

1. Pirmiausia randamas bet kurių dviejų nurodytų skaičių LCM.
2. Tada rasto mažiausio bendro kartotinio ir trečiojo duoto skaičiaus LCM.
3. Tada gauto mažiausio bendro kartotinio ir ketvirtojo skaičiaus LCM ir pan.
4. Taigi LCM paieška tęsiasi tol, kol yra skaičių.

2 pavyzdys. Raskime trijų pateiktų skaičių LCM: 12, 8 ir 9. Skaičių 12 ir 8 LCM jau radome ankstesniame pavyzdyje (tai skaičius 24). Belieka rasti mažiausią bendrą 24 kartotinį ir trečiąjį duotąjį skaičių – 9. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: gcd (24, 9) = 3. LCM padauginkite iš 9:

Mes suskirstome produktą į jų GCD:

Taigi LCM(12, 8, 9) = 72.

Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi tolygiai iš kitų natūraliųjų skaičių.

Pavyzdžiui:

Skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;

Skaičius 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.

Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi (12 yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičių dalikliai. Natūralaus skaičiaus daliklis a yra natūralusis skaičius, dalijantis nurodytą skaičių a be pėdsakų. Vadinamas natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du veiksnius sudėtinis .

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrus daliklius. Tai yra skaičiai: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12. Bendras šių dviejų skaičių daliklis a ir b yra skaičius, iš kurio abu duoti skaičiai dalijasi be liekanos a ir b.

bendras kartotinis keli skaičiai vadinami skaičiumi, kuris dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 9, 18 ir 45 turi bendrą 180 kartotinį. Tačiau 90 ir 360 taip pat yra jų bendrieji kartotiniai. Tarp visų jbendrų kartotinių visada yra mažiausias, šiuo atveju jis yra 90. Šis skaičius vadinamas mažiausiaibendrasis kartotinis (LCM).

LCM visada yra natūralusis skaičius, kuris turi būti didesnis už didžiausią skaičių, kuriam jis yra apibrėžtas.

Mažiausias bendras kartotinis (LCM). Savybės.

Komutatyvumas:

Asociatyvumas:

Visų pirma, jei ir yra pirminiai skaičiai , tada:

Mažiausias bendrasis dviejų sveikųjų skaičių kartotinis m ir n yra visų kitų bendrųjų kartotinių daliklis m ir n. Be to, bendrųjų kartotinių rinkinys m,n sutampa su LCM() kartotinių rinkiniu m,n).

Asimptotika gali būti išreikšta kai kuriomis skaičių teorinėmis funkcijomis.

Taigi, Čebyševo funkcija. Taip pat:

Tai išplaukia iš Landau funkcijos apibrėžimo ir savybių g(n).

Kas išplaukia iš pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnio.

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) radimas.

NOC( a, b) galima apskaičiuoti keliais būdais:

1. Jei žinomas didžiausias bendras daliklis, galite naudoti jo ryšį su LCM:

2. Tebūnie žinomas abiejų skaičių kanoninis išskaidymas į pirminius veiksnius:

kur p 1 ,...,p k yra įvairūs pirminiai skaičiai ir d 1,...,dk ir e 1 ,...,ek yra neneigiami sveikieji skaičiai (jie gali būti lygūs nuliui, jei atitinkamo pirminio skaičiaus nėra plėtinyje).

Tada LCM ( a,b) apskaičiuojamas pagal formulę:

Kitaip tariant, LCM išplėtimas apima visus pagrindinius veiksnius, kurie yra įtraukti į bent vieną iš plėtinių skaičių. a, b, ir imamas didžiausias iš dviejų šio koeficiento eksponentų.

Pavyzdys:

Kelių skaičių mažiausiojo bendro kartotinio apskaičiavimas gali būti sumažintas iki kelių nuoseklių dviejų skaičių LCM skaičiavimų:

Taisyklė. Norėdami rasti skaičių serijos LCM, jums reikia:

- išskaidyti skaičius į pirminius veiksnius;

- perkelkite didžiausią plėtrą į norimo produkto veiksnius (faktorių sandaugą didelis skaičius iš pateiktųjų), o tada pridėkite veiksnius iš kitų skaičių, kurie neatsiranda pirmame skaičiuje arba yra jame mažiau kartų, skaidymo;

- gauta pirminių koeficientų sandauga bus nurodytų skaičių LCM.

Bet kokie du ar daugiau natūraliuosius skaičius turi savo NOC. Jei skaičiai nėra vienas kito kartotiniai arba neturi tų pačių plėtimosi faktorių, tai jų LCM yra lygus šių skaičių sandaugai.

Skaičiaus 28 pirminiai koeficientai (2, 2, 7) buvo papildyti koeficientu 3 (skaičiumi 21), gauta sandauga (84) bus mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš 21 ir 28.

Didžiausio skaičiaus 30 pirminiai koeficientai buvo papildyti skaičiaus 25 koeficientu 5, gautas sandaugas 150 yra didesnis už didžiausią skaičių 30 ir dalijasi iš visų duotus skaičius be pėdsakų. Tai mažiausias įmanomas produktas (150, 250, 300...), kurio visi pateikti skaičiai yra kartotiniai.

Skaičiai 2,3,11,37 yra pirminiai, todėl jų LCM yra lygus duotųjų skaičių sandaugai.

taisyklė. Norėdami apskaičiuoti pirminių skaičių LCM, turite padauginti visus šiuos skaičius.

Kitas variantas:

Norėdami rasti mažiausią kelių skaičių bendrąjį kartotinį (LCM), jums reikia:

1) pavaizduokite kiekvieną skaičių kaip jo pirminių veiksnių sandaugą, pavyzdžiui:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) užrašykite visų pirminių veiksnių laipsnius:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) užrašykite visus kiekvieno iš šių skaičių pirminius daliklius (daugiklius);

4) pasirinkti didžiausią kiekvieno iš jų laipsnį, esantį visose šių skaičių plėtiniuose;

5) padauginkite šias galias.

Pavyzdys. Raskite skaičių LCM: 168, 180 ir 3024.

Sprendimas. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Išrašome didžiausius visų pirminių daliklių laipsnius ir padauginame:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.