Šioje pamokoje priminsime visus anksčiau išnagrinėtus daugianario faktorinavimo į veiksnius metodus ir apsvarstysime jų taikymo pavyzdžius, be to, išnagrinėsime naują metodą - pilno kvadrato metodą ir išmoksime jį pritaikyti sprendžiant įvairias problemas.

Tema:Faktoringo polinomai

Pamoka:Polinomų faktorizavimas. Viso kvadrato pasirinkimo metodas. Metodų derinys

Prisiminkite pagrindinius daugianario faktoringo metodus, kurie buvo ištirti anksčiau:

Metodas, kai iš skliaustų išimamas bendras veiksnys, tai yra veiksnys, esantis visuose daugianario nariuose. Apsvarstykite pavyzdį:

Prisiminkite, kad monomialas yra laipsnių ir skaičių sandauga. Mūsų pavyzdyje abu nariai turi keletą bendrų, identiškų elementų.

Taigi, išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

;

Prisiminkite, kad padauginę pateiktą daugiklį iš skliausto, galite patikrinti atvaizdavimo teisingumą.

grupavimo metodas. Ne visada įmanoma išskirti bendrą daugianario veiksnį. Tokiu atveju reikia suskirstyti jos narius į grupes taip, kad kiekvienoje grupėje būtų galima išskirti bendrą veiksnį ir pabandyti jį suskaidyti taip, kad išėmus veiksnius grupėse atsirastų bendras veiksnys. visa išraiška, o plėtra gali būti tęsiama. Apsvarstykite pavyzdį:

Pirmąjį terminą sugrupuokite atitinkamai su ketvirtuoju, antrąjį su penktuoju ir trečiąjį su šeštuoju:

Paimkime bendrus veiksnius grupėse:

Išraiška turi bendrą veiksnį. Išimkime:

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas. Apsvarstykite pavyzdį:

;

Parašykime išraišką išsamiai:

Akivaizdu, kad prieš mus yra skirtumo kvadrato formulė, nes yra dviejų išraiškų kvadratų suma ir iš jos atimama jų dviguba sandauga. Vykdykime pagal formulę:

Šiandien mes išmoksime kitą būdą - pilno kvadrato pasirinkimo metodą. Jis pagrįstas sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulėmis. Prisiminkite juos:

Sumos kvadrato formulė (skirtumas);

Šių formulių ypatumas yra tas, kad jose yra dviejų išraiškų kvadratai ir jų dviguba sandauga. Apsvarstykite pavyzdį:

Parašykime išraišką:

Taigi pirmoji išraiška yra , o antroji .

Norint sudaryti sumos arba skirtumo kvadrato formulę, neužtenka dvigubos išraiškų sandaugos. Jį reikia pridėti ir atimti:

Sutraukime visą sumos kvadratą:

Transformuokime gautą išraišką:

Taikome kvadratų skirtumo formulę, primename, kad dviejų išraiškų kvadratų skirtumas yra sandauga, o sumos pagal jų skirtumą:

Taigi, šis metodas visų pirma susideda iš to, kad būtina identifikuoti išraiškas a ir b, kurios yra kvadratinės, tai yra, nustatyti, kurios išraiškos yra kvadratinės šiame pavyzdyje. Po to turite patikrinti, ar yra dvigubas sandaugas, o jei jo nėra, pridėkite ir atimkite, tai nepakeis pavyzdžio reikšmės, tačiau daugianomas gali būti apskaičiuotas naudojant kvadrato formules. kvadratų sumos arba skirtumo ir skirtumo, jei įmanoma.

Pereikime prie pavyzdžių sprendimo.

1 pavyzdys – koeficientas:

Raskite išraiškas, kurios yra kvadratinės:

Parašykime, koks turėtų būti jų dvigubas produktas:

Sudėkime ir atimkime dvigubą sandaugą:

Sutraukime visą sumos kvadratą ir pateikiame panašius:

Rašome pagal kvadratų skirtumo formulę:

2 pavyzdys – išspręskite lygtį:

;

Kairėje lygties pusėje yra trinaris. Turite tai įvertinti. Mes naudojame skirtumo kvadrato formulę:

Turime pirmosios išraiškos kvadratą ir dvigubą sandaugą, antrosios išraiškos kvadrato trūksta, pridėkime ir atimkime:

Sutraukime visą kvadratą ir pateikiame panašius terminus:

Taikome kvadratų skirtumo formulę:

Taigi turime lygtį

Žinome, kad produktas yra lygus nuliui, tik jei bent vienas iš veiksnių nulis. Remdamiesi tuo, parašysime tokias lygtis:

Išspręskime pirmąją lygtį:

Išspręskime antrąją lygtį:

Atsakymas: arba

;

Elgiamės panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje – pasirenkame skirtumo kvadratą.

Gebėjimas atlikti tokią procedūrą yra nepaprastai reikalingas daugelyje matematikos temų, susijusių su kvadratinis trinariskirvis 2 + bx + c . Dažniausiai:

1) Parabolių piešimas y= kirvis 2 + bx+ c;

2) Daugelio kvadratinio trinario užduočių sprendimas ( kvadratines lygtis ir nelygybės, parametrų problemos ir kt.);

3) Darbas su kai kuriomis funkcijomis, turinčiomis kvadratinį trinarį, taip pat darbas su antros eilės kreivėmis (studentams).

Naudingas dalykas, trumpai tariant! Nori gauti penketuką? Tada mokykimės!)

Ką reiškia kvadratiniame trinalyje pasirinkti visą dvinario kvadratą?

Ši užduotis reiškia, kad pradinį kvadratinį trinarį reikia konvertuoti į šią formą:

Skaičius a kas kairėje, kas dešinėje tas pats. X kvadrato koeficientas. Štai kodėl jis pažymėtas viena raidė. Dešinėje padauginta iš laužtinių skliaustų. Pačiuose skliaustuose yra tas pats dvejetainis, apie kurį kalbama šioje temoje. Grynojo x ir kažkokio skaičiaus suma m. Taip, atkreipkite dėmesį grynas x! Svarbu.

O štai laiškai m ir n teisingai - kai kurie naujas numeriai. Kas bus gauta dėl mūsų transformacijų. Jie gali pasirodyti teigiami, neigiami, vientisi, trupmeniniai – visokie! Pamatysite patys toliau pateiktuose pavyzdžiuose. Šie skaičiai priklauso nuo koeficientųa, birc. Jie turi savo specialias bendrąsias formules. Gana stambi, su frakcijomis. Todėl čia ir dabar jų neduosiu. Kodėl jūsų šviesiems protams reikia papildomų šiukšlių? Taip, ir tai neįdomu. Būkime kūrybingi.)

Ką reikia žinoti ir suprasti?

Visų pirma, reikia žinoti mintinai. Bent du iš jų yra suma kvadratu ir skirtumas kvadratu.

Šie:

Be šios poros formulių – niekur. Ne tik šioje pamokoje, bet ir apskritai beveik visoje kitoje matematikoje. Ar užuomina aiški?)

Tačiau vien įsimintų formulių čia neužtenka. Reikia protingesnio mokėti taikyti šias formules. Ir ne tiek tiesiogiai, iš kairės į dešinę, kiek atvirkščiai, iš dešinės į kairę. Tie. pagal pradinį kvadratinį trinarį, sugebėti iššifruoti sumos / skirtumo kvadratą. Tai reiškia, kad jūs turėtumėte lengvai, automatiškai atpažinti tipų lygybes:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Be šio naudingo įgūdžių taip pat nėra būdo... Taigi, jei kyla problemų dėl šių paprastų dalykų, uždarykite šį puslapį. Čia jums dar per anksti.) Pirmiausia eikite į aukščiau pateiktą nuorodą. Ji skirta tau!

Oi, kiek laiko domėjaisi šia tema? Puiku! Tada skaitykite toliau.)

Taigi:

Kaip kvadratiniame trinalyje pasirinkti visą dvinario kvadratą?

Žinoma, pradėkime nuo paprasto.

1 lygis. Koeficientas ties x2 lygu 1

Tai pati paprasčiausia situacija, reikalaujanti minimalių papildomų transformacijų.

Pavyzdžiui, duotas kvadratinis trinalis:

X 2 +4x+6

Išoriškai išraiška labai panaši į sumos kvadratą. Žinome, kad sumos kvadrate yra grynieji pirmosios ir antrosios išraiškos kvadratai ( a 2 ir b 2 ), taip pat dvigubas produktas 2 ab tos pačios išraiškos.

Na, mes jau turime pirmosios išraiškos kvadratą gryna forma. tai X 2 . Tiesą sakant, tai yra šio lygio pavyzdžių paprastumas. Turime gauti antrosios išraiškos kvadratą b 2 . Tie. rasti b. Ir pasitarnaus kaip užuomina išraiška su x pirmajame laipsnyje, t.y. 4x. Po visko 4x gali būti pavaizduotas kaip dvigubas produktas xx už dvikovą. Kaip šitas:

4 x = 2 ́ x 2

Taigi, jei 2 ab=2x2 ir a= x, tada b=2 . Tu gali rašyti:

X 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ x 2+2 2 ….

Taigi mus Aš noriu. Bet! Matematika Noriu, kad mūsų veiksmai būtų pradinės išraiškos esmė nepasikeitė. Taip ji sukurta. Pridėjome prie dvigubo produkto 2 2 , taip pakeisdamas pradinę išraišką. Taigi, norint neįžeisti matematikos, tai yra labiausiai 2 2 reikia dabar Atimti. Kaip šitas:

…= x 2 +2 ́ x 2+ 2 2 -2 2 ….

Beveik visi. Belieka tik pridėti 6 pagal pradinį trinarį. Šešiukas niekur nedingo! Mes rašome:

= X 2 +2 ́ x 2+2 2 - 2 2 +6 = …

Dabar pirmieji trys terminai suteikia grynąjį (arba - pilnas) dvinario kvadratas x+2 . Arba (x+2) 2 . To mes ir siekiame.) Netgi netingėsiu ir dėsiu skliaustus:

… = (x 2 +2 ́ x 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

Skliaustai nekeičia posakio esmės, tačiau aiškiai nurodo, kas, kaip ir kodėl. Belieka šiuos tris terminus sutraukti į pilną kvadratą pagal formulę, likusią uodegą suskaičiuoti skaičiais -2 2 +6 (tai būtų 2) ir parašykite:

X 2 +4x+6 = (x+2) 2 +2

Viskas. Mes išskirtas skliaustas kvadratas (x+2) 2 nuo originalo kvadratinis trinaris X 2 +4x+6. Pavertė tai suma viso kvadrato dvinaris (x+2) 2 ir kažkoks pastovus skaičius (du). Ir dabar aš parašysiu visą mūsų transformacijų grandinę kompaktiška forma. Dėl aiškumo.

Ir tai viskas.) Tai yra viso kvadrato pasirinkimo procedūros esmė.

Beje, kokie čia skaičiai m ir n? Taip. Kiekvienas iš jų yra lygus dviem: m=2, n=2 . Taip atsitiko per atranką.

Kitas pavyzdys:

Pasirinkite visą dvinario kvadratą:

X 2 -6x+8

Ir vėl pirmas žvilgsnis į terminą su x. 6x paverčiame dvigubu x ir trijų sandauga. Prieš dvigubą - minusas. Taigi išskiriame skirtumas kvadratu. Sudedame (kad gautume pilną kvadratą) ir iš karto atimame (kompensuodami) trigubą kvadrate, t.y. 9. Na, nepamirškite apie aštuntuką. Mes gauname:

Čia m=-3 ir n=-1 . Abu yra neigiami.

Ar supranti principą? Tada atėjo laikas įvaldyti ir bendrasis algoritmas. Viskas tas pats, bet per laiškus. Taigi, turime kvadratinį trinarį x 2 + bx+ c (a=1) . Ką mes darome:

bx b /2 :

b Su.

Aišku? Pirmieji du pavyzdžiai buvo labai paprasti, su sveikaisiais skaičiais. Dėl pažinties. Dar blogiau, kai transformacijų metu trupmenos išeina. Svarbiausia čia nebijoti! O kad nebijotų, visi turi žinoti veiksmus su trupmenomis, taip...) Bet čia yra penkių lygių, ar ne? Mes apsunkiname užduotį.

Tarkime, kad pateiktas toks trinaris:

X 2 +x+1

Kaip sutvarkyti sumos kvadratą šiame trinalyje? Jokiu problemu! Panašus. Dirbame ties taškais.

1. Mes žiūrime į terminą su x pirmajame laipsnyje ( bx) ir paverskite jį dvigubu x sandaugab /2 .

Mūsų terminas su x yra tik x. Tai kas? Kaip mes galime paversti vienišą X dvigubas produktas? Taip, labai lengva! Tiesiogiai pagal instrukcijas. Kaip šitas:

Skaičius b pradiniame trinalyje – vienas. Tai yra, b/2 pasirodo trupmeninis. Pusė. 1/2. Na, gerai. Jau nemaža.)

2. Pridedame prie dvigubos sandaugos ir iš karto atimame skaičiaus kvadratą b/2. Pridedame - papildyti visą kvadratą. Išvežame – už kompensaciją. Pačioje pabaigoje pridedame laisvą terminą Su.

Tęsiame:

3. Pirmus tris narius paverčiame sumos / skirtumo kvadratu pagal atitinkamą formulę. Išorėje likusi išraiška kruopščiai apskaičiuojama skaičiais.

Pirmieji trys terminai yra atskirti skliausteliuose. Žinoma, negalima atskirti. Tai daroma tik dėl patogumo ir mūsų transformacijų aiškumo. Dabar aiškiai matote, kad skliausteliuose yra visas sumos kvadratas (x+1/2) 2 . O viskas, kas lieka už sumos kvadrato ribų (jei skaičiuoti) duoda +3/4. Finišo linija:

Atsakymas:

Čia m=1/2 , a n=3/4 . Trupmeniniai skaičiai. Taip atsitinka. Toks trinomas pagavo...

Tokia ta technologija. Supratau? Ar galite pereiti į kitą lygį?

2 lygis. Koeficientas ties x 2 nelygus 1 – ką daryti?

Tai yra bendresnis atvejis nei atvejis a=1. Skaičiavimų apimtis, žinoma, didėja. Tai liūdina, taip... Bet bendras sprendimas apskritai išlieka toks pat. Prie jo pridedamas tik vienas naujas žingsnis. Tai mane džiugina.)

Kol kas apsvarstykite nekenksmingą atvejį, kuriame nėra jokių frakcijų ir kitų spąstų. Pavyzdžiui:

2 x 2 -4 x+6

Viduryje yra minusas. Taigi, mes pritaikysime skirtumo kvadratą. Bet koeficientas x kvadrate yra dvigubas. Ir su vienu dirbti lengviau. Su grynu x. Ką daryti? Ir išmeskime šį dvikovą iš skliaustų! Kad netrukdytų. Mes turime teisę! Mes gauname:

2(x 2 -2 x+3)

Kaip šitas. Dabar trinaris skliausteliuose – jau su švarus X kvadratas! Kaip reikalauja 1 lygio algoritmas.O dabar jau galima dirbti su šiuo naujuoju trinamiu pagal seną nusistovėjusią schemą. Čia mes veikiame. Parašykime jį atskirai ir pakeiskime:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2x1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2x1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Pusiau padaryta. Belieka įterpti gautą išraišką skliausteliuose ir išplėsti juos atgal. Gaukite:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Pasiruošę!

Atsakymas:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Mes nustatome galvoje:

Jei koeficientas x kvadrate nėra lygus vienetui, tada šį koeficientą išimame iš skliaustų. Kai trinalis lieka skliausteliuose, dirbame pagal įprastą algoritmą a=1. Jame pasirinkę visą kvadratą, įklijuokite rezultatą į vietą ir atidarykite išorinius skliaustus atgal.

Bet ką daryti, jei koeficientai b ir c nesidalija iš a? Tai yra labiausiai paplitęs ir kartu blogiausias atvejis. Tada tik trupmenos, taip... Nėra ką veikti. Pavyzdžiui:

3 x 2 +2 x-5

Viskas yra tas pats, mes siunčiame tris iš skliaustų, gauname:

Deja, nei du, nei penki nėra visiškai dalijami iš trijų, todėl naujojo (sumažinto) trinalio koeficientai yra trupmeninis. Na, nieko didelio. Tiesioginis darbas su trupmenomis: du trečdaliai x virsta padvigubėjo x x sandauga vienas trečia, pridėkite trečdalio kvadratą (ty 1/9), atimkite, atimkite 5/3...

Apskritai, jūs suprantate!

Nuspręskite, kas jau yra. Tai turėtų baigtis:

Ir dar vienas grėblys. Daugelis studentų puikiai kovoja su teigiamomis sveikųjų skaičių ir net trupmenomis, tačiau laikosi neigiamų. Pavyzdžiui:

- x 2 +2 x-3

Ką daryti su minusu priešx 2 ? Sumos / skirtumo kvadrato formulėje reikia bet kokio pliuso... Ne klausimas! Visi vienodi. Išimame šį minusą skliausteliuose. Tie. minus vienas. Kaip šitas:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) (x 2 -2 x+3)

Ir visi dalykai. Ir su trinamiu skliausteliuose – vėl rievėtu takeliu.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Taigi, minusas:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

Tai viskas. Ką? Nežinote, kaip iš skliaustų įdėti minusą? Na, tai klausimas septintos klasės elementariai algebrai, o ne kvadratiniams trinomams ...

Atminkite: dirbkite su neigiamu koeficientu a nieko iš esmės nesiskiria nuo darbo su pozityvumu. Išryškinti neigiamą a iš skliaustų, o tada – pagal visas taisykles.

Kodėl reikia turėti galimybę pasirinkti visą kvadratą?

Pirmas naudingas dalykas yra greitai ir be klaidų nupiešti paraboles!

Pavyzdžiui, tokia užduotis:

Nubraižykite funkciją:y=- x 2 +2 x+3

Ką mes ketiname daryti? Statyti pagal taškus? Žinoma, kad įmanoma. Maži žingsneliai ilgame kelyje. Gana nuobodu ir neįdomu...

Pirmiausia tai primenu statant bet koks paraboles, mes jai visada pateikiame standartinį klausimų rinkinį. Jų yra dvi. Būtent:

1) Kur nukreiptos parabolės šakos?

2) Kur yra viršus?

Su šakų kryptimi viskas aišku nuo pradinės išraiškos. Filialai bus nukreipti žemyn, nes koeficientas priešx 2 - neigiamas. Minus vienas. Minusas prieš x kvadratą visada apverčia parabolę.

Tačiau su viršūnės vieta ne viskas taip akivaizdu. Žinoma, yra bendra formulė jo abscisei apskaičiuoti pagal koeficientus a ir b.

Šitas:

Bet ne visi prisimena šią formulę, oi, ne visi... Ir 50% tų, kurie dar prisimena, suklumpa iš netikėtumo ir sutrinka banalioje aritmetikoje (dažniausiai skaičiuojant žaidimą). Gaila, tiesa?)

Dabar sužinosite, kaip rasti bet kurios parabolės viršūnės koordinates tavo mintyse per vieną minutę! Ir x, ir y. Vienu ypu ir be jokių formulių. Kaip? Pasirinkę visą kvadratą!

Taigi, savo išraiškoje pasirenkame visą kvadratą. Mes gauname:

y=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Kas gerai išmano Bendra informacija apie funkcijas ir gerai įvaldęs temą“ funkcijų grafiko transformacijos “, jis nesunkiai išsiaiškins, kad mūsų norima parabolė gaunama iš įprastos parabolės y= x 2 trijų transformacijų pagalba. Tai:

1) Pakeiskite šakų kryptį.

Tai rodo minuso ženklas prieš laužtinius skliaustus ( a=-1). Tai buvo y= x 2 , tapo y=- x 2 .

Konversija: f ( x ) -> - f ( x ) .

2) Lygiagretusis parabolės vertimas y=- x 2 X 1 vienetas į DEŠINĘ.

Taip gaunamas tarpinis grafikas y=-(x-1 ) 2 .

Konversija: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m=-1).

Kodėl poslinkis į dešinę, o ne į kairę, nors skliausteliuose yra minusas? Tai yra grafų transformacijų teorija. Tai atskira problema.

Ir, galiausiai,

3) Lygiagretus perdavimas parabolės y=-( x -1) 2 4 vienetai AUKŠTYN.

Taip gaunama galutinė parabolė. y=-(x-1) 2 +4 .

Konversija: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n = +4)

O dabar žiūrime į savo transformacijų grandinę ir galvojame: Kur juda parabolės viršūnė?y=x 2 ? Tai buvo taške (0; 0), po pirmos transformacijos viršūnė niekur nepajudėjo (parabolė tiesiog apsivertė), po antrosios nuslinko x žemyn +1, o po trečiosios per y +4. Viso viršūnė pasiekė tašką (1; 4) . Tai visa paslaptis!

Nuotrauka bus tokia:

Tiesą sakant, būtent dėl ​​šios priežasties taip atkakliai atkreipiau jūsų dėmesį į skaičius. m ir n, gautas renkantis visą kvadratą. Neatspėjote kodėl? Taip. Esmė ta, kad taškas su koordinatėmis (- m ; n ) - tai visada parabolės viršūnė y = a ( x + m ) 2 + n . Mes tiesiog žiūrime į skaičius konvertuotame trinalyje ir tavo mintyse mes pateikiame teisingą atsakymą, kur yra viršus. Patogu, tiesa?)

Parabolių piešimas yra pirmas naudingas dalykas. Pereikime prie antrojo.

Antras naudingas dalykas yra kvadratinių lygčių ir nelygybių sprendimas.

Taip taip! Viso kvadrato pasirinkimas daugeliu atvejų pasirodo daug greičiau ir efektyviau tradiciniai tokių problemų sprendimo būdai. Abejoti? Prašau! Štai jums užduotis:

Išspręskite nelygybę:

x 2 +4 x+5 > 0

Išmoko? Taip! Tai klasika kvadratinė nelygybė . Visos tokios nelygybės išsprendžiamos standartiniu algoritmu. Tam mums reikia:

1) Iš nelygybės sudarykite standartinės formos lygtį ir ją išspręskite, suraskite šaknis.

2) Nubrėžkite X ašį ir taškais pažymėkite lygties šaknis.

3) Schematiškai pavaizduokite parabolę pagal pradinę išraišką.

4) Nustatykite +/- plotus paveiksle. Pasirinkite norimas sritis pagal pradinę nelygybę ir užrašykite atsakymą.

Tiesą sakant, visas šis procesas erzina, taip...) Ir, be to, jis ne visada apsaugo nuo klaidų nestandartinėse situacijose, kaip šis pavyzdys. Pirmiausia pabandykime modelį, ar ne?

Taigi atlikime pirmąjį punktą. Iš nelygybės sudarome lygtį:

x 2 +4 x+5 = 0

Standartinė kvadratinė lygtis, jokių gudrybių. Mes nusprendžiame! Mes laikome diskriminantu:

D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Viskas! Ir diskriminantas yra neigiamas! Lygtis neturi šaknų! Ir ant ašies nėra ką piešti... Ką daryti?

Čia kai kurie gali daryti išvadą, kad pradinė nelygybė taip pat neturi sprendimų.. Tai lemtingas kliedesys, taip... Bet paryškinus visą kvadratą, teisingą atsakymą į šią nelygybę galima duoti per pusę minutės! Abejoti? Na, jūs galite tam skirti laiko.

Taigi, savo išraiškoje pasirenkame visą kvadratą. Mes gauname:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Pradinė nelygybė pradėjo atrodyti taip:

(x+2) 2 +1 > 0

O dabar nieko toliau nesprendę ir nekeisdami tiesiog įjungiame elementarią logiką ir galvojame: jei į kokios nors išraiškos kvadratą (reikšmė akivaizdžiai yra neneigiamas!) pridėkite dar vieną, tai koks skaičius bus baigtas? Taip! Griežtai teigiamas!

Dabar pažvelkime į nelygybę:

(x+2) 2 +1 > 0

Įrašą iš matematikos kalbos verčiame į rusų kalbą: kuriai x yra griežtai teigiamas išraiška bus griežta daugiau nulis? Neatspėjote? Taip! Su bet kokiu!

Štai jūsų atsakymas: x yra bet koks skaičius.

Dabar grįžkime prie algoritmo. Vis dėlto esmės supratimas ir paprastas įsiminimas yra du skirtingi dalykai.)

Algoritmo esmė ta, kad iš kairės standartinės nelygybės pusės sudarome parabolę ir žiūrime, kur ji yra virš X ašies, o kur žemiau. Tie. kur yra teigiamos kairiosios pusės reikšmės, kur yra neigiamos.

Jei padarysime parabolę iš kairės pusės:

y=x 2 +4 x+5

Ir nubraižykite jo grafiką, tai pamatysime visi visa parabolė eina virš x ašies. Nuotrauka atrodys taip:

Parabolė kreiva, taip... Štai kodėl ji schematiška. Bet tuo pat metu viskas, ko mums reikia, yra matoma paveikslėlyje. Parabolė neturi susikirtimo su X ašimi taškų, nėra žaidimo nulinių verčių. Ir, žinoma, neigiamų vertybių taip pat nėra. Tai rodoma nuspalvinant visą X ašį kaip visumą. Beje, ne veltui čia pavaizdavau Y ašį ir viršūnės koordinates. Palyginkite parabolės viršūnių koordinates (-2; 1) ir mūsų transformuotą išraišką!

y=x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

O kaip tu? Taip! Mūsų atveju m=2 ir n=1 . Todėl parabolės viršūnė turi koordinates: (- m; n) = (-2; 1) . Viskas logiška.)

Kita užduotis:

Išspręskite lygtį:

x 2 +4 x+3 = 0

Paprasta kvadratinė lygtis. Galite nuspręsti senamadišku būdu. Tai įmanoma per. Kaip nori. Matematika neprieštarauja.)

Paimkime šaknis: x 1 =-3 x 2 =-1

O jei nei vieno, nei kito būdo...neprisimeni? Ką gi, tau gera prasme šviečia dviese, bet... Tebūnie, aš tave išgelbėsiu! Parodysiu, kaip galite išspręsti kai kurias kvadratines lygtis, naudodami tik septintos klasės metodus. Vėlgi pasirinkite visą kvadratą!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

Ir dabar mes rašome gautą išraišką kaip ... kvadratų skirtumas! Taip, taip, septintoje klasėje yra vienas:

a 2 -b 2 = (a-b) (a+b)

Aktoriai a skliausteliuose išsikiša(x+2) , ir vaidmenyje b- vienas. Mes gauname:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Šį išplėtimą įterpiame į lygtį, o ne kvadratinį trinarį:

(x+1)(x+3)=0

Belieka išsiaiškinti, kad veiksnių sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada kai kuris nors iš jų yra lygus nuliui. Taigi mes prilyginame (proto!) Nuliui kiekvieną skliaustą.

Mes gauname: x 1 =-3 x 2 =-1

Tai viskas. Tos pačios dvi šaknys. Toks yra sumanus imtuvas. Be diskriminanto.)

Beje, apie diskriminantą ir apie bendroji formulė kvadratinės lygties šaknys:

Pamokoje aš praleidau šios sudėtingos formulės išvedimą. Dėl nenaudingumo. Bet čia jam vieta.) Ar norėtumėte sužinoti kaip gauti šią formulę? Iš kur atsiranda diskriminanto išraiška ir kodėl būtentb 2 -4ac, o ne kaip nors kitaip? Vis dėlto visiškas to, kas vyksta, esmės supratimas yra daug naudingesnis nei neapgalvotas įvairiausių raidžių ir simbolių rašymas, tiesa?)

Trečias naudingas dalykas yra kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas.

Štai mes! Įtraukiame kvadratinį trinarį bendras vaizdas kirvis 2 + bx+ c ir… pradedame rinktis visą kvadratą! Taip teisingai per laiškus! Buvo aritmetika, ji tapo algebra.) Pirmiausia, kaip įprasta, išimame raidę a skliausteliuose, o visus kitus koeficientus padalinkite iš a:

Kaip šitas. Tai visiškai legalus konvertavimas: a nelygu nuliui, ir gali būti iš jo padalintas. Ir vėl dirbame su skliaustais pagal įprastą algoritmą: iš termino su x sudarome dvigubą sandaugą, pridedame / atimame antrojo skaičiaus kvadratą ...

Viskas taip pat, bet su raidėmis.) Pabandyk pabaigti pats! Sveikas!)

Po visų transformacijų turėtumėte gauti štai ką:

Ir kodėl mums reikia statyti tokias krūvas iš nekenksmingo trinario – klausiate? Nieko, dabar bus įdomu! Ir dabar, žinoma, šį dalyką sulyginame iki nulio:

Mes tai sprendžiame kaip įprastą lygtį, dirbame pagal visas taisykles, tik su raidėmis. Atliekame elementarias:

1) Perkelkite didesnę dalį į dešinę. Perkeldami pliusą, keičiame į minusą. Kad prieš pačią trupmeną nebūtų nupieštas minusas, aš tiesiog pakeisiu visus skaitiklio ženklus. Kairėje skaitiklyje buvo4ac-b 2 , o po perdavimo tampa -( 4ac-b 2 ) , t.y. b 2 -4 ac. Kažkas pažįstamo, ar nemanai? Taip! Diskriminuojantis, jis yra labiausiai ...) Bus taip:

2) Iš koeficiento išvalome skliaustų kvadratą. Mes padalijame abi dalis iš " a“. Kairėje, prieš skliaustus, raidė a dingsta, o dešinėje eina į didelės trupmenos vardiklį, paversdamas jį į 4 a 2 .

Pasirodo, ši lygybė:

Ar tau nepasisekė? Tada tema „“ skirta jums. Nedelsdami eikite ten!

Kitas žingsnis ištraukti šaknį. Mus domina X, tiesa? O X sėdi po aikšte... Išgauname pagal šaknų ištraukimo taisykles, žinoma. Po ištraukimo atsitinka taip:

Kairėje yra sumos kvadratas dingsta ir tai tik pati suma. Kuris būtinas.) Bet dešinėje pasirodo pliusas/minusas. Nes mūsų didelė dalis, nepaisant nuostabios išvaizdos, yra tik kažkoks skaičius. Trupmeninis skaičius. Priklauso nuo koeficiento a, b, c. Tuo pačiu metu šaknis iš šios trupmenos skaitiklio nėra gražiai išskirta, skiriasi dvi išraiškos. Ir čia yra vardiklio šaknis 4 a 2 gana išgaunamas! Tai pasirodys lengva 2 a.

„Sudėtingas“ klausimas pildymui: ar turėjau teisę ištraukti šaknį iš posakio 4 a2, pateikite atsakymą tik 2a? Juk ištraukimo taisyklė kvadratinė šaknis įpareigoja dėti modulio ženklą, t.y.2|a| !

Pagalvokite, kodėl aš vis tiek praleidau modulio ženklą. Labai naudingas. Užuomina: atsakymas slypi ženkle pliusas/minusas prieš trupmeną.)

Liko tuščių vietų. Pateikiame švarų x kairėje. Norėdami tai padaryti, perkelkite mažą dalį į dešinę. Pakeitus ženklą, pipiras yra skaidrus. Primenu, kad ženklą trupmenoje galima keisti bet kur ir bet kaip. Norime pakeisti prieš trupmeną, norime vardiklyje, norime skaitiklyje. Pakeisiu ženklą skaitiklyje. Tai buvo + b, tapo – b. Tikiuosi, kad nėra prieštaravimų?) Po perkėlimo viskas bus taip:

Sudedame dvi trupmenas su tais pačiais vardikliais ir gauname (pagaliau!):

Na? Ką aš galiu pasakyti? Oho!)

Ketvirtas naudingas dalykas – studentams įsidėmėti!

Dabar sklandžiai pereikime iš mokyklos į universitetą. Nepatikėsite, bet pilno kvadrato pasirinkimas aukštojoje matematikoje taip pat būtinas!

Pavyzdžiui, tokia užduotis:

Raskite neapibrėžtą integralą:

Nuo ko pradėti? Tiesioginis pritaikymas nevynioja. Tik pasirinkus visą kvadratą išsaugoma, taip...)

Tie, kurie nežino, kaip pasirinkti visą kvadratą, amžinai laikysis šio paprasto pavyzdžio. O kas žino kaip, skiria ir gauna:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

O dabar integralas (žinantiems) paimamas su vienu!

Tai puiku, tiesa? Ir tai ne tik integralai! Aš jau tyliu apie analitinę geometriją, su ja antros eilės kreivės – elipsė, hiperbolė, parabolė ir apskritimas.

Pavyzdžiui:

Nustatykite kreivės tipą, pateikta lygtimi:

x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0

Be galimybės pasirinkti visą kvadratą, užduotis negali būti išspręsta, taip ... Bet pavyzdys negali būti lengvesnis! Žinoma, žinantiems.

Sugrupuojame terminus su x ir su y į krūvas ir kiekvienam kintamajam pasirenkame pilnus kvadratus. Gaukite:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(x 2 -6x+9)-9 + (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

Taigi kaip yra? Ar sužinojote, koks gyvūnas?) Na, žinoma! Trijų spindulių apskritimas, kurio centras yra taške (3; 4).

Ir viskas.) Naudingas dalykas yra pasirinkti visą kvadratą!)

Kaip jau minėjau, integraliniame skaičiavime nėra patogios trupmenos integravimo formulės. Ir todėl pastebima liūdna tendencija: kuo „įmantresnė“ trupmena, tuo sunkiau iš jos rasti integralą. Šiuo atžvilgiu tenka griebtis įvairių gudrybių, kurias dabar aptarsiu. Parengti skaitytojai gali iš karto naudotis turinys:

• Paprastųjų trupmenų sumavimo po diferencialo ženklu metodas

Skaitiklio dirbtinės transformacijos metodas

1 pavyzdys

Beje, nagrinėjamą integralą galima išspręsti ir keičiant kintamojo metodą, žymint , tačiau sprendimas bus daug ilgesnis.

2 pavyzdys

Rasti neapibrėžtas integralas. Paleiskite patikrinimą.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Reikėtų pažymėti, kad čia kintamojo pakeitimo metodas nebeveiks.

Dėmesio svarbu! 1, 2 pavyzdžiai yra tipiški ir dažni. Visų pirma, tokie integralai dažnai atsiranda sprendžiant kitus integralus, ypač integruojant neracionalias funkcijas (šaknis).

Aukščiau pateiktas metodas taip pat veikia šiuo atveju jei didžiausia skaitiklio galia yra didesnė už didžiausią vardiklio laipsnį.

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Paleiskite patikrinimą.

Pradėkime nuo skaitiklio.

Skaitiklio pasirinkimo algoritmas yra maždaug toks:

1) Skaitiklyje man reikia sutvarkyti , bet ten . Ką daryti? Skliausteliuose dedu ir dauginu iš: .

2) Dabar bandau atidaryti šiuos skliaustus, kas atsitiks? . Hmm... jau geriau, bet skaitiklyje iš pradžių nėra dvikovos. Ką daryti? Reikia padauginti iš:

3) Dar kartą atidarydami skliaustus: . Ir štai pirmoji sėkmė! Reikalingas pasirodė! Tačiau problema ta, kad atsirado papildomas terminas. Ką daryti? Kad išraiška nepasikeistų, tą patį turiu pridėti prie savo konstrukcijos:
. Gyvenimas tapo lengvesnis. Ar galima vėl tvarkyti skaitiklyje?

4) Jūs galite. Mes bandome: . Išplėskite antrojo termino skliaustus:
. Atsiprašome, bet aš iš tikrųjų turėjau ankstesniame žingsnyje, o ne . Ką daryti? Antrąjį terminą turime padauginti iš:

5) Vėlgi, patikrinimui, aš atveriu skliaustus antrajame termine:
. Dabar tai normalu: gauta iš galutinės 3 dalies konstrukcijos! Bet vėl yra mažas „bet“, atsirado papildomas terminas, o tai reiškia, kad turiu papildyti savo posakį:

Jei viskas padaryta teisingai, tada atidarydami visus skliaustus turėtume gauti pradinį integrando skaitiklį. Mes tikriname:
Gerai.

Šiuo būdu:

Paruošta. Paskutiniame termine taikiau funkcijos pervedimo po diferencialu metodą.

Jei rasime atsakymo išvestinę ir sumažinsime išraišką iki bendro vardiklio, tai gausime būtent pirminį integrandą. Nagrinėjamas išplėtimo į sumą metodas yra ne kas kita, kaip atvirkštinis veiksmas, siekiant suvesti išraišką į bendrą vardiklį.

Skaitiklio pasirinkimo algoritmas tokiuose pavyzdžiuose geriausiai tinka juodraštyje. Turint tam tikrų įgūdžių, tai taip pat veiks protiškai. Prisimenu rekordinį laiką, kai pasirinkau 11 laipsnį, o skaitiklio išplėtimas užtruko beveik dvi Werd eilutes.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Paleiskite patikrinimą.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys.

Paprastųjų trupmenų sumavimo po diferencialo ženklu metodas

Pereikime prie kito trupmenų tipo.
, , , (koeficientai ir nėra lygūs nuliui).

Tiesą sakant, pamokoje jau paslydo pora atvejų su arcsinusu ir arctangentu Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje. Tokie pavyzdžiai išspręsti perkeliant funkciją po diferencialo ženklu ir integruojant naudojant lentelę. Štai keletas tipiškesnių pavyzdžių su ilgu ir dideliu logaritmu:

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Čia patartina pasiimti integralų lentelę ir vadovautis kokiomis formulėmis ir kaip vyksta transformacija. Pastaba, kaip ir kodėlšiuose pavyzdžiuose paryškinti kvadratai. Visų pirma, 6 pavyzdyje pirmiausia turime pavaizduoti vardiklį kaip , tada pažymėkite diferencialo ženklą. Ir visa tai turite padaryti, kad galėtumėte naudoti standartinę lentelės formulę .

Bet ką žiūrėti, pabandykite patys išspręsti pavyzdžius Nr. 7,8, juolab kad jie gana trumpi:

7 pavyzdys

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Jei taip pat galite patikrinti šiuos pavyzdžius, tada didelė pagarba yra jūsų atskyrimo įgūdžiai.

Viso kvadrato pasirinkimo metodas

Formos integralai, (koeficientai ir nėra lygūs nuliui) išsprendžiami pilno kvadrato pasirinkimo metodas, kuris jau pasirodė pamokoje Geometrinių brėžinių transformacijos.

Tiesą sakant, tokie integralai sumažėja iki vieno iš keturių lentelės integralų, kuriuos ką tik svarstėme. Ir tai pasiekiama naudojant pažįstamas sutrumpintas daugybos formules:

Formulės taikomos šia kryptimi, tai yra, metodo idėja yra dirbtinai organizuoti išraiškas vardiklyje arba, o tada konvertuoti jas atitinkamai į arba .

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

tai paprasčiausias pavyzdys, kuriame su terminu – vieneto koeficientas(o ne koks nors skaičius ar minusas).

Mes žiūrime į vardiklį, čia viskas aiškiai redukuojama į bylą. Pradėkime vardiklio konvertavimą:

Akivaizdu, kad reikia pridėti 4. O kad išraiška nepasikeistų - tie patys keturi ir atimti:

Dabar galite taikyti formulę:

Baigus konvertuoti VISADA pageidautina atlikti atvirkštinį judesį: viskas gerai, klaidų nėra.

Švarus aptariamo pavyzdžio dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

Paruošta. „Laisvosios“ kompleksinės funkcijos įtraukimas po diferencialo ženklu: , iš esmės gali būti nepaisomas

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, atsakymas yra pamokos pabaigoje.

11 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Ką daryti, kai priešais – minusas? Tokiu atveju reikia išimti minusą iš skliaustų ir išdėstyti sąlygas tokia tvarka, kokia mums reikia:. Pastovus(„dvigubas“ in Ši byla) nelieskite!

Dabar skliausteliuose pridedame vieną. Analizuodami išraišką, darome išvadą, kad mums reikia vieno už skliaustų - pridėkite:

Čia yra formulė, taikykite:

VISADA atliekame juodraščio patikrą:
, kuris turėjo būti patikrintas.

Švarus pavyzdžio dizainas atrodo maždaug taip:

Mes apsunkiname užduotį

12 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Čia su terminu jau ne vienas koeficientas, o „penki“.

(1) Jei konstanta randama ties, tada iš karto išimame ją iš skliaustų.

(2) Apskritai visada geriau šią konstantą išimti iš integralo, kad ji netrukdytų.

(3) Akivaizdu, kad viskas bus sumažinta iki formulės . Būtina suprasti terminą, būtent, gauti „du“

(4) Taip, . Taigi, mes pridedame prie išraiškos ir atimame tą pačią trupmeną.

(5) Dabar pasirinkite visą kvadratą. Bendru atveju taip pat reikia apskaičiuoti , bet čia turime ilgą logaritmo formulę , o veiksmą atlikti nėra prasmės, kodėl – paaiškės kiek žemiau.

(6) Tiesą sakant, mes galime pritaikyti formulę , tik vietoj „x“ turime, o tai nepaneigia lentelės integralo galiojimo. Griežtai kalbant, trūksta vieno žingsnio – prieš integruojant funkcija turėjo būti paženklinta diferencialiniu ženklu: , tačiau, kaip jau ne kartą esu pastebėjęs, tai dažnai nepaisoma.

(7) Atsakyme po šaknimi pageidautina atidaryti visus skliaustus atgal:

Sunku? Tai nėra sunkiausia integraliniame skaičiavime. Nors nagrinėjami pavyzdžiai nėra tiek sudėtingi, kiek reikalauja geros skaičiavimo technikos.

13 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Atsakykite pamokos pabaigoje.

Vardiklyje yra integralai su šaknimis, kurie pakeitimo pagalba redukuojami į nagrinėjamo tipo integralus, apie juos galite perskaityti straipsnyje Sudėtingi integralai, bet jis skirtas gerai pasiruošusiems studentams.

Skaitiklį perkelkite po diferencialo ženklu

Tai yra paskutinė pamokos dalis, tačiau tokio tipo integralai yra gana dažni! Jei nuovargis susikaupė, gal geriau paskaityti rytoj? ;)

Integralai, kuriuos svarstysime, yra panašūs į ankstesnės pastraipos integralus, jie turi formą: arba (koeficientai , ir nėra lygūs nuliui).

Tai yra, skaitiklyje mes pasirodėme tiesinė funkcija. Kaip išspręsti tokius integralus?

Apibrėžimas

Tokios išraiškos kaip 2 x 2 + 3 x + 5 vadinamos trinamiu kvadratu. Bendruoju atveju kvadratinis trinaris yra a x 2 + b x + c formos išraiška, kur a, b, c a, b, c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.

Apsvarstykite kvadratinį trinarį x 2 - 4 x + 5 . Parašykime tokia forma: x 2 - 2 2 x + 5. Prie šios išraiškos pridėkime 2 2 ir atėmę 2 2 gausime: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Atkreipkite dėmesį, kad x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, taigi x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Mūsų atlikta transformacija vadinama "viso kvadrato pasirinkimas iš kvadratinio trinario".

Pasirinkite tobulą kvadratą iš kvadratinio trinalio 9 x 2 + 3 x + 1 .

Atminkite, kad 9 x 2 = (3 x) 2, „3x=2*1/2*3x“. Tada „9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1“. Pridėkite ir atimkite gautą išraišką `(1/2)^2, gauname

„((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4“.

Parodykime, kaip viso kvadrato ištraukimo iš kvadratinio trinalio metodas naudojamas kvadratiniam trinariui koeficientuoti.

Kvadratinio trinalio koeficientas 4 x 2 - 12 x + 5 .

Iš kvadratinio trinalio pasirenkame visą kvadratą: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Dabar taikykite formulę a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , gausime: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x -1) .

Išlyginkite kvadratinį trinarį – 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Dabar atkreipkite dėmesį, kad 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Prie išraiškos 9 x 2 - 12 x pridedame terminą 2 2, gauname:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Taikome kvadratų skirtumo formulę, turime:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Kvadratinio trinalio koeficientas 3 x 2 - 14 x - 5 .

Negalime pateikti išraiškos 3 x 2 kaip kokios nors išraiškos kvadrato, nes to dar neišmokome mokykloje. Tai išgyvensite vėliau, o jau užduotyje Nr.4 mokysimės kvadratinės šaknys. Parodykime, kaip galime koeficientuoti nurodytą kvadratinį trinarį:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3 (x-7/3-8/3) (x-7/3+8/3) = 3 (x-5) (x+1/3) = (x-5) (3x+1) `.

Parodysime, kaip viso kvadrato metodas naudojamas didžiausioms arba mažiausioms kvadratinio trinalio reikšmėms rasti.
Apsvarstykite kvadratinį trinarį x 2 - x + 3 . Viso kvadrato pasirinkimas:

„(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4“. Atminkite, kad kai „x=1/2“, kvadratinio trinalio reikšmė yra „11/4“, o kai „x!=1/2“, prie „11/4“ pridedama vertė teigiamas skaičius, todėl gauname skaičių, didesnį nei „11/4“. Šiuo būdu, mažiausia vertė kvadratinis trinaris yra „11/4“ ir jis gaunamas naudojant „x=1/2“.

Raskite didžiausią kvadratinio trinalio reikšmę - 16 2 + 8 x + 6 .

Iš kvadratinio trinalio pasirenkame visą kvadratą: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Kai `x=1/4`, kvadratinio trinalio reikšmė yra 7, o kai `x!=1/4` teigiamas skaičius atimamas iš skaičiaus 7, tai yra, gauname skaičių, mažesnį nei 7 . Taigi skaičius 7 yra didžiausia vertė kvadratinis trinaris, ir jis gaunamas su „x=1/4“.

Padalinkite skaitiklį ir vardiklį „(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)“ ir atšaukite trupmeną.

Atkreipkite dėmesį, kad trupmenos vardiklis x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Trupmenos skaitiklį išskaidome į veiksnius, naudodamiesi viso kvadrato ištraukimu iš kvadratinio trinalio. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Ši trupmena buvo sumažinta iki formos „((x+5)(x-3))/(x-3)^2“, sumažinus (x - 3), gauname „(x+5)/(x-3“ )".

Padalinkite daugianario koeficientą x 4 – 13 x 2 + 36.

Šiam daugianariui pritaikykime viso kvadrato metodą. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`