Tiesinės funkcijos apibrėžimas

Pateikiame tiesinės funkcijos apibrėžimą

Apibrėžimas

Formos $y=kx+b$ funkcija, kur $k$ yra nulis, vadinama tiesine funkcija.

Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija. Skaičius $k$ vadinamas tiesės nuolydžiu.

Jei $b=0$ tiesinė funkcija vadinama tiesioginio proporcingumo funkcija $y=kx$.

Apsvarstykite 1 pav.

Ryžiai. 1. Tiesės nuolydžio geometrinė reikšmė

Apsvarstykite trikampį ABC. Matome, kad $BC=kx_0+b$. Raskite tiesės $y=kx+b$ susikirtimo tašką su ašimi $Ox$:

\ \

Taigi $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Raskime šių pusių santykį:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Kita vertus, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Taigi galima padaryti tokią išvadą:

Išvada

Koeficiento $k$ geometrinė reikšmė. Tiesės $k$ nuolydis yra lygus šios tiesės nuolydžio nuo ašies $Ox$ liestinės.

Tiesinės funkcijos $f\left(x\right)=kx+b$ ir jos grafiko tyrimas

Pirmiausia apsvarstykite funkciją $f\left(x\right)=kx+b$, kur $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Todėl ši funkcija didėja visoje apibrėžimo srityje. Kraštutinių taškų nėra.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikas (2 pav.).

Ryžiai. 2. Funkcijos $y=kx+b$ grafikai, kai $k > 0$.

Dabar apsvarstykite funkciją $f\left(x\right)=kx$, kur $k

1. Taikymo sritis yra visi skaičiai.
2. Taikymo sritis yra visi skaičiai.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
4. Jei $x=0,f\left(0\right)=b$. Jei $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ ir $\left(0,\b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Todėl funkcija neturi vingio taškų.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikas (3 pav.).

>>Matema: tiesinė funkcija ir jos grafikas

Tiesinė funkcija ir jos grafikas

Lygties ax + by + c = 0 grafiko sudarymo algoritmas, kurį suformulavome § 28, dėl viso jo aiškumo ir tikrumo matematikai nelabai mėgsta. Paprastai jie pateikia pretenzijas dėl pirmųjų dviejų algoritmo žingsnių. Kodėl, sakoma, lygtį reikia išspręsti du kartus kintamojo y atžvilgiu: pirmiausia ax1 + bu + c = O, tada axi + bu + c = O? Ar ne geriau y iš lygties ax + iš karto išreikšti + c = 0, tada bus lengviau atlikti skaičiavimus (ir, svarbiausia, greičiau)? Patikrinkime. Pirmiausia apsvarstykite lygtis 3x – 2y + 6 = 0 (žr. 2 pavyzdį iš § 28).

Pateikus x konkrečias reikšmes, nesunku apskaičiuoti atitinkamas y reikšmes. Pavyzdžiui, jei x = 0, gauname y = 3; esant x = -2 turime y = 0; jei x = 2, turime y = 6; jei x = 4, gauname: y = 9.

Matote, kaip lengvai ir greitai buvo rasti taškai (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) ir (4; 9), kurie buvo paryškinti 2 pavyzdyje iš § 28.

Panašiai lygtis bx - 2y = 0 (žr. § 28 4 pavyzdį) gali būti konvertuojama į formą 2y = 16 -3x. tada y = 2,5x; nesunku rasti taškų (0; 0) ir (2; 5), atitinkančius šią lygtį.

Galiausiai to paties pavyzdžio lygtis 3x + 2y - 16 = 0 gali būti konvertuojama į formą 2y = 16 -3x ir tada nesunku rasti ją tenkinančius taškus (0; 0) ir (2; 5).

Dabar panagrinėkime šias transformacijas bendra forma.

Taigi tiesinė lygtis (1) su dviem kintamaisiais x ir y visada gali būti konvertuojama į formą
y = kx + m, (2) čia k,m yra skaičiai (koeficientai) ir .

Ši konkreti tiesinės lygties forma bus vadinama tiesine funkcija.

Naudojant lygybę (2), nesunku, nurodant konkrečią x reikšmę, apskaičiuoti atitinkamą y reikšmę. Tegu pvz.

y = 2x + 3. Tada:
jei x = 0, tai y = 3;
jei x = 1, tai y = 5;
jei x = -1, tai y = 1;
jei x = 3, tai y = 9 ir kt.

Paprastai šie rezultatai pateikiami formoje lenteles:

Y reikšmės iš antrosios lentelės eilutės vadinamos tiesinės funkcijos y \u003d 2x + 3 reikšmėmis, atitinkamai taškuose x \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d -1, x \u003d -3.

(1) lygtyje kintamieji xnu yra lygūs, o (2) lygtyje jie nėra: vienam iš jų - kintamajam x - priskiriame konkrečias reikšmes, o kintamojo y reikšmė priklauso nuo pasirinktos kintamojo reikšmės. kintamasis x. Todėl paprastai sakoma, kad x yra nepriklausomas kintamasis (arba argumentas), y yra priklausomas kintamasis.

Atkreipkite dėmesį, kad tiesinė funkcija yra speciali tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais. lygties grafikas y - kx + m, kaip ir bet kuri tiesinė lygtis su dviem kintamaisiais, yra tiesė – ji dar vadinama tiesinės funkcijos grafiku y = kx + mp. Taigi sekanti teorema yra teisinga.

1 pavyzdys Sukurkite tiesinės funkcijos y \u003d 2x + 3 grafiką.

Sprendimas. Padarykime lentelę:

Antroje situacijoje nepriklausomas kintamasis x, žymintis, kaip ir pirmoje situacijoje, dienų skaičių, gali įgauti tik reikšmes 1, 2, 3, ..., 16. Iš tiesų, jei x \u003d 16 , tada naudodami formulę y \u003d 500 - Z0x randame: y \u003d 500 - 30 16 \u003d 20. Tai reiškia, kad jau 17 dieną iš sandėlio nebus galima išvežti 30 tonų anglies, nes iki tos dienos sandėlyje liks tik 20 tonų ir teks sustabdyti anglies eksporto procesą. Todėl antrosios situacijos patobulintas matematinis modelis atrodo taip:

y \u003d 500 – ZOD:, kur x \u003d 1, 2, 3, .... 16.

Trečioje situacijoje nepriklausomas kintamasis x teoriškai gali įgyti bet kokią neneigiamą reikšmę (pvz., x reikšmė = 0, x reikšmė = 2, x reikšmė = 3,5 ir tt), tačiau praktiškai turistas negali vaikščioti pastoviu greičiu, nemiegodamas ir nepailsėdamas tiek laiko. kaip jis nori. Taigi turėjome nustatyti pagrįstas x ribas, tarkime, 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Prisiminkite, kad geometrinis negriežtos dvigubos nelygybės 0 modelis< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Vietoj frazės „x priklauso aibei X“ sutinkame rašyti (jie skamba: „elementas x priklauso aibei X“, e – narystės ženklas). Kaip matote, mūsų pažintis su matematine kalba nuolat tęsiasi.

Jei tiesinė funkcija y \u003d kx + m turėtų būti vertinama ne visoms x reikšmėms, o tik x reikšmėms iš kurio nors skaitinio intervalo X, tada jie rašo:

2 pavyzdys. Nubraižykite tiesinę funkciją:

Sprendimas, a) Sudarykite tiesinės funkcijos y = 2x + 1 lentelę

Sukurkime taškus (-3; 7) ir (2; -3) xOy koordinačių plokštumoje ir nubrėžkime per juos tiesią liniją. Tai lygties y \u003d -2x grafikas: + 1. Toliau pasirinkite atkarpą, jungiančią sukonstruotus taškus (38 pav.). Šis segmentas yra tiesinės funkcijos y \u003d -2x + 1 grafikas, kur xe [-3, 2].

Paprastai jie sako taip: atkarpoje [- 3, 2] nubraižėme tiesinę funkciją y \u003d - 2x + 1.

b) Kuo šis pavyzdys skiriasi nuo ankstesnio? Tiesinė funkcija yra ta pati (y \u003d -2x + 1), o tai reiškia, kad ta pati tiesė yra jos grafikas. Bet buk atsargus! - šį kartą x e (-3, 2), ty reikšmės x = -3 ir x = 2 neatsižvelgiamos, jos nepriklauso intervalui (-3, 2). Kaip pažymėjome intervalo galus koordinačių tiesėje? Šviesūs apskritimai (39 pav.), apie tai kalbėjome § 26. Panašiai taškai (- 3; 7) ir B; - 3) brėžinyje turės būti pažymėti šviesiais apskritimais. Tai primins, kad imami tik tie tiesės y \u003d - 2x + 1 taškai, kurie yra tarp taškų, pažymėtų apskritimais (40 pav.). Tačiau kartais tokiais atvejais naudojami ne šviesūs apskritimai, o rodyklės (41 pav.). Tai nėra esminis dalykas, svarbiausia suprasti, kas yra pavojuje.

3 pavyzdys Raskite didžiausią ir mažiausią tiesinės funkcijos reikšmes segmente.
Sprendimas. Padarykime linijinės funkcijos lentelę

Sukonstruojame taškus (0; 4) ir (6; 7) xOy koordinačių plokštumoje ir per juos nubrėžiame tiesę - tiesinės x funkcijos grafiką (42 pav.).

Turime atsižvelgti į šią tiesinę funkciją ne kaip į visumą, o į atkarpą, ty x e.

Atitinkamas grafiko segmentas paryškintas brėžinyje. Pastebime, kad didžiausia pasirinktai daliai priklausančių taškų ordinatė yra 7 – tai didžiausia atkarpos tiesinės funkcijos reikšmė. Paprastai naudojamas toks žymėjimas: y max = 7.

Pastebime, kad mažiausia taškų, priklausančių 42 paveiksle paryškintai tiesės daliai, ordinatė yra 4 – tai mažiausia atkarpos tiesinės funkcijos reikšmė.
Paprastai naudokite šį įrašą: y vardas. = 4.

4 pavyzdys Raskite y naib ir y naim. tiesinei funkcijai y = -1,5x + 3,5

a) segmente; b) intervale (1,5);
c) ant pusės intervalo .

Sprendimas. Padarykite linijinės funkcijos y \u003d -l, 5x + 3,5 lentelę:

Sukonstruojame taškus (1; 2) ir (5; - 4) xOy koordinačių plokštumoje ir per juos brėžiame tiesę (43-47 pav.). Konstruotoje tiesėje išskirkime dalį, atitinkančią x reikšmes iš atkarpos (43 pav.), iš intervalo A, 5) (44 pav.), iš pusintervalio (47 pav.) ).

a) Naudojant 43 paveikslą, lengva padaryti išvadą, kad y max \u003d 2 (tiesinė funkcija pasiekia šią reikšmę esant x \u003d 1), o y max. = - 4 (tiesinė funkcija pasiekia šią reikšmę, kai x = 5).

b) Naudodami 44 paveikslą darome išvadą, kad ši tiesinė funkcija neturi nei didžiausių, nei mažiausių verčių duotame intervale. Kodėl? Faktas yra tas, kad, skirtingai nei ankstesniu atveju, abu segmento galai, kuriuose buvo pasiekta didžiausia ir mažiausia vertė, neįtraukiami.

c) 45 paveikslo pagalba darome išvadą, kad y max. = 2 (kaip ir pirmuoju atveju), o tiesinė funkcija neturi mažiausios reikšmės (kaip ir antruoju atveju).

d) Naudodami 46 paveikslą darome išvadą: y max = 3,5 (tiesinė funkcija pasiekia šią reikšmę, kai x = 0), o y max. neegzistuoja.

e) Naudodami 47 paveikslą darome išvadą: y max = -1 (tiesinė funkcija pasiekia šią reikšmę esant x = 3), o y max neegzistuoja.

5 pavyzdys. Nubraižykite tiesinę funkciją

y \u003d 2x - 6. Naudodami grafiką atsakykite į šiuos klausimus:

a) prie kokios x reikšmės bus y = 0?
b) kokioms x reikšmėms y bus > 0?
c) kokioms x reikšmėms bus y< 0?

Sprendimas. Padarykime lentelę tiesinei funkcijai y \u003d 2x-6:

Per taškus (0; - 6) ir (3; 0) nubrėžkite tiesią liniją - funkcijos y \u003d 2x - 6 grafiką (48 pav.).

a) y \u003d 0 ties x \u003d 3. Grafikas kerta x ašį taške x \u003d 3, tai yra taškas, kurio ordinatė y \u003d 0.
b) y > 0, kai x > 3. Iš tiesų, jei x > 3, tai tiesė yra virš x ašies, o tai reiškia, kad atitinkamų tiesės taškų ordinatės yra teigiamos.

katė< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje grafiko pagalba nusprendėme:

a) lygtis 2x - 6 = 0 (gavo x = 3);
b) nelygybė 2x - 6 > 0 (gavome x > 3);
c) nelygybė 2x - 6< 0 (получили х < 3).

komentuoti. Rusiškai tas pats objektas dažnai vadinamas skirtingai, pavyzdžiui: „namas“, „pastatas“, „statinys“, „kotedžas“, „dvaras“, „kareivinė“, „trobelė“, „trobelė“. Matematine kalba situacija yra maždaug ta pati. Tarkime, lygybė su dviem kintamaisiais y = kx + m, kur k, m yra konkretūs skaičiai, gali būti vadinama tiesine funkcija, gali būti vadinama tiesine lygtimi su dviem kintamaisiais x ir y (arba su dviem nežinomaisiais x ir y), gali gali būti vadinama formule, gali būti vadinama gali būti vadinama ryšiu, jungiančiu x ir y, galiausiai galima pavadinti ryšiu tarp x ir y. Nesvarbu, svarbiausia suprasti, kad visais atvejais mes kalbame apie matematinį modelį y = kx + m

.

Apsvarstykite tiesinės funkcijos grafiką, parodytą 49 paveiksle, a. Jei šiuo grafiku judame iš kairės į dešinę, tai grafiko taškų ordinatės visą laiką didėja, atrodo, kad „lipame į kalną“. Tokiais atvejais matematikai vartoja terminą padidėjimas ir sako taip: jei k>0, tai tiesinė funkcija y \u003d kx + m didėja.

Apsvarstykite tiesinės funkcijos grafiką, parodytą 49 paveiksle, b. Jei šiuo grafiku judame iš kairės į dešinę, tai grafiko taškų ordinatės visą laiką mažėja, atrodo, kad „leidžiame nuo kalno“. Tokiais atvejais matematikai vartoja mažėjimo terminą ir sako taip: jeigu k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Tiesinė funkcija realiame gyvenime

Dabar apibendrinkime šią temą. Mes jau susipažinome su tokia sąvoka kaip tiesinė funkcija, žinome jos savybes ir išmokome sudaryti grafikus. Taip pat apsvarstėte specialius tiesinės funkcijos atvejus ir sužinojote, nuo ko priklauso tiesinių funkcijų grafikų santykinė padėtis. Tačiau pasirodo, kad kasdieniame gyvenime mes taip pat nuolat susikertame su šiuo matematiniu modeliu.

Pagalvokime, kokios realios gyvenimo situacijos yra susijusios su tokia sąvoka kaip tiesinės funkcijos? Be to, tarp kokių kiekių ar gyvenimo situacijų galima nustatyti linijinį ryšį?

Daugelis iš jūsų tikriausiai nelabai supranta, kodėl jiems reikia mokytis tiesinių funkcijų, nes vargu ar tai bus naudinga vėlesniame gyvenime. Bet čia jūs labai klystate, nes su funkcijomis susiduriame nuolat ir visur. Kadangi net įprasta mėnesinė nuoma taip pat yra funkcija, kuri priklauso nuo daugelio kintamųjų. Ir šie kintamieji apima kvadratinius metrus, gyventojų skaičių, tarifus, elektros suvartojimą ir kt.

Žinoma, dažniausiai pasitaikantys tiesinės priklausomybės funkcijų pavyzdžiai yra matematikos pamokos.

Jūs ir aš sprendėme problemas, kai radome atstumus, kuriuos automobiliai, traukiniai ar pėstieji įveikė tam tikru greičiu. Tai yra tiesinės judėjimo laiko funkcijos. Tačiau šie pavyzdžiai pritaikomi ne tik matematikoje, jie yra mūsų kasdieniame gyvenime.

Pieno produktų kalorijų kiekis priklauso nuo riebalų kiekio, o tokia priklausomybė, kaip taisyklė, yra tiesinė funkcija. Taigi, pavyzdžiui, padidėjus grietinės riebalų kiekiui procentais, didėja ir produkto kalorijų kiekis.

Dabar atlikime skaičiavimus ir išspręsdami lygčių sistemą, suraskime k ir b reikšmes:

Dabar išveskime priklausomybės formulę:

Dėl to mes gavome linijinį ryšį.

Norėdami sužinoti garso sklidimo greitį priklausomai nuo temperatūros, tai galima sužinoti taikant formulę: v \u003d 331 + 0,6t, kur v yra greitis (m / s), t yra temperatūra. Jei nubraižysime šios priklausomybės grafiką, pamatysime, kad ji bus tiesinė, tai yra vaizduos tiesią liniją.

O tokius praktinius žinių panaudojimo būdus taikant linijinę funkcinę priklausomybę galima išvardyti ilgai. Pradedant nuo telefono mokesčių, plaukų ilgio ir ūgio ir net patarlių literatūroje. Ir šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką.

Kalendorinis teminis planavimas matematikoje, vaizdo įrašą matematika internete, matematika mokykloje parsisiųsti

A. V. Pogorelovas, Geometrija 7-11 klasei, Vadovėlis ugdymo įstaigoms

Tiesinė funkcija yra y=kx+b formos funkcija, kur x yra nepriklausomas kintamasis, k ir b yra bet kokie skaičiai.
Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesi linija.

1. Norėdami nubraižyti funkcijų grafiką, mums reikia dviejų funkcijos grafikui priklausančių taškų koordinačių. Norėdami juos rasti, turite paimti dvi x reikšmes, pakeisti jas į funkcijos lygtį ir iš jų apskaičiuoti atitinkamas y reikšmes.

Pavyzdžiui, norint nubraižyti funkciją y= x+2, patogu imti x=0 ir x=3, tada šių taškų ordinatės bus lygios y=2 ir y=3. Gauname taškus A(0;2) ir B(3;3). Sujungkime juos ir gaukime funkcijos y= x+2 grafiką:

2. Formulėje y=kx+b skaičius k vadinamas proporcingumo koeficientu:
jei k>0, tai funkcija y=kx+b didėja
jei k
Koeficientas b parodo funkcijos grafiko poslinkį išilgai OY ašies:
jei b>0, tai funkcijos y=kx+b grafikas gaunamas iš funkcijos y=kx grafiko, perkeliant b vienetus aukštyn išilgai OY ašies
jei b
Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduoti funkcijų y=2x+3 grafikai; y = ½x+3; y=x+3

Atkreipkite dėmesį, kad visose šiose funkcijose koeficientas k Virš nulio, ir funkcijos yra didėja. Be to, kuo didesnė k reikšmė, tuo didesnis tiesės polinkio kampas į teigiamą OX ašies kryptį.

Visose funkcijose b=3 - ir matome, kad visi grafikai kerta OY ašį taške (0;3)

Dabar apsvarstykite funkcijų y=-2x+3 grafikus; y=- ½ x+3; y=-x+3

Šį kartą visose funkcijose koeficientas k mažiau nei nulis ir funkcijos mažinti. Koeficientas b=3, o grafikai, kaip ir ankstesniu atveju, kerta OY ašį taške (0;3)

Panagrinėkime funkcijų y=2x+3 grafikus; y = 2x; y = 2x-3

Dabar visose funkcijų lygtyse koeficientai k yra lygūs 2. Ir gavome tris lygiagrečias tieses.

Tačiau koeficientai b yra skirtingi, ir šie grafikai kerta OY ašį skirtinguose taškuose:
Funkcijos y=2x+3 (b=3) grafikas kerta OY ašį taške (0;3)
Funkcijos y=2x (b=0) grafikas kerta OY ašį taške (0;0) - pradžios taške.
Funkcijos y=2x-3 (b=-3) grafikas kerta OY ašį taške (0;-3)

Taigi, jei žinome koeficientų k ir b požymius, tai iš karto galime įsivaizduoti, kaip atrodo funkcijos y=kx+b grafikas.
Jeigu k 0

Jeigu k>0 ir b>0, tada funkcijos y=kx+b grafikas atrodo taip:

Jeigu k>0 ir b, tada funkcijos y=kx+b grafikas atrodo taip:

Jeigu k, tada funkcijos y=kx+b grafikas atrodo taip:

Jeigu k=0, tada funkcija y=kx+b virsta funkcija y=b ir jos grafikas atrodo taip:

Funkcijos y=b grafiko visų taškų ordinatės lygios b Jei b = 0, tada funkcijos y=kx (tiesioginis proporcingumas) grafikas eina per pradžią:

3. Atskirai pažymime lygties x=a grafiką.Šios lygties grafikas yra lygiagreti OY ašiai tiesė, kurios visų taškų abscisė x=a.

Pavyzdžiui, lygties x=3 grafikas atrodo taip:
Dėmesio! Lygtis x=a nėra funkcija, nes viena argumento reikšmė atitinka skirtingas funkcijos reikšmes, o tai neatitinka funkcijos apibrėžimo.

4. Dviejų linijų lygiagretumo sąlyga:

Funkcijos y=k 1 x+b 1 grafikas yra lygiagretus funkcijos y=k 2 x+b 2 grafikui, jei k 1 =k 2

5. Sąlyga, kad dvi tiesios linijos būtų statmenos:

Funkcijos y=k 1 x+b 1 grafikas yra statmenas funkcijos y=k 2 x+b 2 grafikui, jei k 1 *k 2 =-1 arba k 1 =-1/k 2

6. Funkcijos y=kx+b grafiko susikirtimo taškai su koordinačių ašimis.

su OY ašimi. Bet kurio taško, priklausančio OY ašiai, abscisė yra lygi nuliui. Todėl norint rasti susikirtimo tašką su OY ašimi, funkcijos lygtyje vietoj x reikia pakeisti nulį. Gauname y=b. Tai yra, susikirtimo taškas su OY ašimi turi koordinates (0;b).

Su x ašimi: bet kurio taško, priklausančio x ašiai, ordinatė yra lygi nuliui. Todėl norint rasti susikirtimo tašką su OX ašimi, funkcijos lygtyje reikia pakeisti nulį, o ne y. Gauname 0=kx+b. Taigi x=-b/k. Tai reiškia, kad susikirtimo taškas su OX ašimi turi koordinates (-b / k; 0):

Linijinė funkcija vadinama formos funkcija y = kx + b, apibrėžtas visų realiųjų skaičių aibėje. Čia k– kampo koeficientas (realusis skaičius), b – nemokamas narys (tikrasis numeris), x yra nepriklausomas kintamasis.

Konkrečiu atveju, jei k = 0, gauname pastovią funkciją y=b, kurio grafikas yra tiesė, lygiagreti Ox ašiai, einanti per tašką su koordinatėmis (0;b).

Jeigu b = 0, tada gauname funkciją y=kx, kuris yra tiesiogiai proporcingai.

b – segmento ilgis, kuris nukerta liniją išilgai Oy ašies, skaičiuojant nuo pradžios.

Koeficiento geometrinė reikšmė k – pasvirimo kampas tiesiai į teigiamą Ox ašies kryptį laikoma prieš laikrodžio rodyklę.

Tiesinės funkcijos savybės:

1) Tiesinės funkcijos sritis yra visa realioji ašis;

2) Jeigu k ≠ 0, tada tiesinės funkcijos diapazonas yra visa tikroji ašis. Jeigu k = 0, tada tiesinės funkcijos diapazoną sudaro skaičius b;

3) Tiesinės funkcijos lygumas ir nelygumas priklauso nuo koeficientų verčių k ir b.

a) b ≠ 0, k = 0, Vadinasi, y = b yra lyginis;

b) b = 0, k ≠ 0, Vadinasi y = kx yra nelyginis;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, Vadinasi y = kx + b yra bendroji funkcija;

d) b = 0, k = 0, Vadinasi y = 0 yra ir lyginė, ir nelyginė funkcija.

4) Tiesinė funkcija neturi periodiškumo savybės;

5) Sankirtos taškai su koordinačių ašimis:

Jautis: y = kx + b = 0, x = -b/k, Vadinasi (-b/k; 0)- susikirtimo taškas su abscisių ašimi.

Oy: y=0k+b=b, Vadinasi (0;b) yra susikirtimo su y ašimi taškas.

Pastaba.Jei b = 0 ir k = 0, tada funkcija y=0 išnyksta bet kuriai kintamojo vertei X. Jeigu b ≠ 0 ir k = 0, tada funkcija y=b neišnyksta jokiai kintamojo vertei X.

6) Ženklo pastovumo intervalai priklauso nuo koeficiento k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- teigiamas at x iš (-b/k; +∞),

y = kx + b- neigiamas at x iš (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- teigiamas at x iš (-∞; -b/k),

y = kx + b- neigiamas at x iš (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b teigiamas visoje apibrėžimo srityje,

k = 0, b< 0; y = kx + b yra neigiamas visoje apibrėžimo srityje.

7) Tiesinės funkcijos monotoniškumo intervalai priklauso nuo koeficiento k.

k > 0, Vadinasi y = kx + b didėja visoje apibrėžimo srityje,

k< 0 , Vadinasi y = kx + b mažėja visoje apibrėžimo srityje.

8) Tiesinės funkcijos grafikas yra tiesė. Norint nubrėžti tiesią liniją, pakanka žinoti du taškus. Tiesios linijos padėtis koordinačių plokštumoje priklauso nuo koeficientų verčių k ir b. Žemiau yra lentelė, kuri tai aiškiai iliustruoja.